INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

Formulación de Modelos de programación Lineal

Objetivo: Lograr que los alumnos Formulen modelos matemáticos que representen un problema.

Ejercicios tomados de: MATHUR, Kamlesh y D. Solow, Investigación de Operaciones: el Arte en la Toma

de Decisiones. HILLIER, Frederick S. y Gerald J. Lieberman, Introducción a la Investigación de

Operaciones. TAHA, Hamdy A., Investigación de Operaciones: Una Introducción. DAVIS, K. Roscoe.

Mckeown Patrick, G, Modelos cuantitativos para la Administración.

1.- ALIPORT cuenta con US$ 45000 para realizar publicidad al producto “JABON

SUSSIO” durante el próximo semestre. Los medios de publicidad considerados son: TV, radio, diarios y revistas. El objetivo es maximizar la exposición publicitaria del producto JABON SUSSIO durante el semestre (es decir, el número de veces que una persona promedio en el mercado objetivo estaría expuesta al mensaje publicitario).

Se cuenta con estimaciones de la exposición media por cada US$1 desembolsado en

publicidad en cada medio y se ha decidido respecto a las cantidades máximas a

desembolsar en cada medio.

Medio publicitario Exposición por cada

US$1

Desembolso

Máximo

TV 7 US$ 24000

Diarios 6 US$ 4000

Radios 8 US$ 8000

Revistas 5 US$ 12000

Además, se ha especificado que el desembolso en publicidad televisiva no debe ser superior al desembolso conjunto en los restantes medios, así como se requiere que el desembolso en publicidad de revistas no puede ser inferior al desembolso en publicidad de diarios. Plantee el problema de programación lineal para ALIPORT. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.

2.- Un inversionista tiene las actividades A y B que producen dinero, disponibles al

principio de cada uno de los cinco años siguientes (llamémoslos años 1 al 5). Cada $1 invertido en A al principio del año 1, retribuye $1,40 (una utilidad de $0,40) dos años más tarde (en el instante necesario para la reinversión inmediata). Cada $1 invertido en B al principio del año 1, retribuye $1,70 tres años más tarde.

Además, en un instante futuro, estarán disponibles cada una de las actividades C y D. Cada $1 invertido en C al principio del año 2 retribuye $1,90 al final del año 5. Cada $1 invertido en D al principio del año 5, retribuye $1,30 al final del año 5. El inversionista empieza con $20000. Desea saber cuál plan de inversiones maximiza la cantidad de dinero que puede acumular al principio del año 6. Plantee el modelo de Programación Lineal para este problema. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.

3.- El Banco APRA está en proceso de formular una política de créditos que incluye

una colocación máxima de 12 millones de US$. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes acerca de los diferentes tipos de créditos que ofrece el Banco APRA:

Tipo de Crédito Tasa de Interés Probabilidad de un Mal Crédito

Personal 0,14 0,1

Vehículo 0,13 0,07

Hipotecario 0,12 0,03

Agrícola 0,125 0,05

Comercial 0,1 0,02

Los malos créditos son irrecuperables y, por lo tanto, no generan ganancia por intereses alguna para el Banco APRA. La competencia con otras instituciones financieras en el área requiere que el Banco APRA asigne por lo menos el 40% de los fondos totales a créditos agrícolas y comerciales. Además, para ayudar a la industria de la vivienda, los créditos hipotecarios deben ser equivalentes a lo menos al 50% de los créditos personales, para vehículos y comerciales.

Por su parte, la oficina central del Banco APRA ha declarado una política que la razón total de los malos créditos no puede exceder de 0,04. El objetivo del Banco APRA es maximizar su utilidad neta, que se compone de la diferencia entre las ganancias por intereses de los créditos y los fondos perdidos por los malos créditos. Plantee como problema de programación lineal, Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.

4.- Un experimento interesante en la región del Mediterráneo es el sistema de kibbutzim, o comunidades agrícolas comunales, en Israel. Es usual que algunos grupos de kibbutzim se unan para compartir los servicios técnicos comunes y

coordinar su producción. Este ejemplo se refiere a un grupo de tres kibbutzim, al que se llamará la confederación sur de kibbutzim.

La planificación global de la confederación sur de kibbutzim se hace en su oficina de

coordinación técnica. En la actualidad están planeando la producción agrícola para el

próximo año.

La producción agrícola está limitada tanto por la extensión de terreno disponible para

irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas (una oficina del

gobierno nacional) asigna para irrigarlo. La siguiente tabla muestra estos datos:

Kibbutz Terreno para uso (acres) Asignación de agua (pies-acre)

1 400 600

2 600 800

3 300 375

El tipo de cosecha apropiada para la región incluye remolacha, algodón y sorgo, y éstas precisamente las tres que se están estudiando para la estación venidera. Las cosechas difieren primordialmente en su rendimiento neto por acre esperado y en su consumo de agua. Además el ministerio de agricultura ha establecido una cantidad máxima de acres que la confederación puede dedicar a estas cosechas. La siguiente tabla muestra estas cantidades.

Cosecha Cantidad Máxima

(acres)

Consumo de agua

(pies-acres/acre)

Rendimiento Neto (dólares/acre)

Remolacha 600 3 400

Algodón 500 2 300

Sorgo 325 1 100

Los tres kibbutzim que pertenecen a la Confederación del Sur están de acuerdo en que cada kibbutz sembrará la misma proporción irrigables disponibles. Cualquier combinación de estas cosechas se puede sembrar en cualquiera de los kibbutzim. El trabajo al que se enfrenta la oficina de coordinación técnica consiste en planear cuantos acres deben asignarse a cada tipo de cosecha en cada kibbutz, cumpliendo con las restricciones dadas. El objetivo es maximizar el rendimiento neto para la Confederación del Sur. Plantee como problema de programación lineal, Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.

Kibbutzim

Variable de decisión = Xj: Número de acres j-ésimo asignar

a la cosecha de cada Kibbutz

j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Máx Z = 400(X1+X2+X3) + 300(X4+X5+X6) + 100(X7+X8+X9)

Función Objetivo:

Cosecha 1 2 3

Remolacha X1 X2 X3

Algodón X4 X5 X6

Sorgo X7 X8 X9

Kibbutz

s.a.:

X1 + X4 + X7 < 400

X2 + X5 + X8 < 600

X3 + X6 + X9 < 300

X1 + X4 + X7 X2 + X5 + X8

400 600

X2 + X5 + X8 X3 + X6 + X9

600 300

X3 + X6 + X9 X1 + X4 + X7

300 400Xj > 0

Terreno para uso en cada

Asignación de agua

para cada Kibbutz

kibbutz 3X1 + 2X4 + X7 < 600

3X2 + 2X5 + X8 < 800

3X3 + 2X6 + X9 < 375

X1 + X2 + X3 < 600

X4 + X5 + X6 < 500

X7 + X8 + X9 < 325

Total de acres para

cada cosecha

Igual proporción de área plantada

=

=

=

No Negatividad

Kibbutzim

5.- La empresa de jugos “Guatt’s” vende 7 tipos de diferentes jugos envasados en cajas de 1 litro: Durazno, Naranja, Manzana, Piña, Zanahoria y 3 tipos de combinados (combinado F, combinado G y combinado H). Para la elaboración de los diferentes 8 tipos de jugos, se utiliza como materia prima Kgs de fruta fresca de Durazno, Limón, Naranja, Manzana, Piña y Zanahoria. El costo de cada materia prima ($/Kgs) así como el precio de venta de cada tipo de jugo ($/litro) equivalen a:

Costo de Materia Prima ($/kg)

Precio de Venta ($/litro)

Durazno 20 99

Limón 27 -

Naranja 24 99

Manzana 42 95

Piña 36 95

Zanahoria 16 99

A su vez, el precio de venta para cada uno de los 3 tipos de combinados es de 120 ($/litro). Para la elaboración de 1 litro de jugo de Durazno, Naranja, Manzana, Piña y Zanahoria; se utiliza como materia prima solo la fruta fresca correspondiente a cada caso. No obstante, los requerimientos de Kgs necesarios para elaborar cada uno de estos jugos, varía. Además, existen limitaciones para la capacidad de producción mensual en la planta procesadora de jugos “Guatt’s”. La información pertinente de estas situaciones se muestra a continuación:

Requerimientos de Kgs de Materia Prima Capacidad Máxima

Necesaria para elaborar 1 Litro de Jugo Producción (litros)

Durazno 3,75 200

Naranja 3 280

Manzana 2,25 320

Piña 2,5 240

Zanahoria 5 150

Para elaborar 1 litro de jugo de los combinados F, G y H, se requieren exactamente 4 Kgs de materia prima en cada uno de estos 3 casos. El combinado tipo F requiere a lo menos un 25% de Naranja, a lo más un 25% de Limón y exactamente un 50% de Zanahoria. Por su parte, el combinado tipo G requiere a lo menos un 20% de Naranja, a lo menos un 15% de Limón y, a lo menos un 35% de Manzana. Finalmente, el combinado tipo H requiere exactamente 50% de Naranja, 10% de Limón y 40% de Zanahoria.Además, la capacidad de producción en los 3 tipos de combinados está limitada a producir como máximo: 250 litros para el combinado G y 180 litros para los combinados F y H. Plantee el problema de programación lineal que permita programar la producción de jugos “Guatt’s” para un período mensual. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.

Jugos Guatt’s

Variable de decisión = Xj: litros de jugo j-ésimo a elaborar

j = D, N, M, P, Z, F, G, H

Variable de decisión = Yij: kgs. de materia prima i-ésimo a

necesarios para la elaboración

de litros de combinados j-ésimo

j = F, G, Hi = N, L, M, Z

Máx Z = 99(XD+XN+XZ) + 95(XM+XP) + 120 (XF+XG+XH) -

- (20*3,75)XD - (24*3)XN - (42*2,25)XM - (36*2,5)XP -

- (16*5)XZ - 24(YNF+YNG+YNH) - 27(YLF+YLG+YLH) -

- 16(YZF+YZH) - 42YMG

Función Objetivo:

Máx Z = 24XD + 27XN + 0,5XM + 5XP + 19XZ + 120(XF+XG+XH)

- 24(YNF+YNG+YNH) - 16(YZF+YZH) - 42YMG

s.a.:XD < 200

XN < 280

XM < 320

XP < 240

XZ < 150

XF < 180

XG < 250

XH < 180

Xj > 0

YNF > 0,25*4*XF

YLF < 0,25*4*XF

YZF = 0,50*4*XF

YNF+YLF+YZF = 4XF

YNG > 0,20*4*XG

YLG > 0,15*4*XG

YMG > 0,35*4*XG

YNG+YLG+YMG = 4XG

YNH = 0,5*4*XH

YLH = 0,4*4*XH

YZH = 0,1*4*XH

Yij > 0

Obs: Este problema también pudo plantearse definiendo

variables de proporción de la materia prima i-ésima

necesaria para elaborar combinados j-ésimos

Jugos Guatt’s

6.- Una embotelladora debe decidir cuánto producir de cada uno de sus cuatro

productos en el próximo mes. Los productos en cuestión son bebidas de fantasía (Koka-Kola, Fhanta, Eight Up y Zprite), para las cuales el departamento de comercialización ha realizado estimaciones de precio y de cantidad demandada máxima mensual, para el próximo mes:

Marca Cantidad Demandada Precio de Venta

Koka-Kola Sin límite 50,5 ($/botella)

Fhanta 80.000 botellas 51,5 ($/botella)

Eight Up 60.000 botellas 50,0 ($/botella)

Zprite 72.000 botellas 52,4 ($/botella)

La Koka-Kola requiere por cada botella 3 minutos de proceso, la Fhanta requiere por cada botella 2,5 minutos de proceso, mientras que la Eight Up y la Zprite requieren ambas por cada botella 3,8 minutos de proceso. La máquina selladora envía: 14 botellas de Koka-Kola cada 2 horas; 12 botellas de Fhanta cada hora; 27 botellas de Zprite cada 3 horas; y 30 botellas de Eight Up cada 3 horas Se contratan 1.500 horas de “reparto” y se sabe que en 1 hora de reparto se logra colocar 300 botellas de Koka-Kola, ó 200 botellas de Fhanta, ó 180 botellas de Zprite ó 200 botellas de Eight Up. Las horas disponibles del “proceso” mensual son 5.000 horas y las horas disponibles de “sellado” son 2.000 horas mensuales. Los costos por hora son:

Costo por hora “proceso” $ 52

Costo por hora “sellado” $ 47

Costo por hora “reparto” $ 55

Al comienzo del próximo mes no habrá unidades en inventario de productos en proceso y productos terminados. No obstante, en consideración a nuevas políticas de la empresa, se desea terminar el próximo mes con: 500 botellas procesadas y selladas de Koka-Kola, 400 botellas procesadas y selladas de Fhanta, 200 botellas procesadas y selladas de Zprite y 350 botellas procesadas y selladas de Eight Up. Además, durante el mes en cuestión se debe cumplir con la entrega de: 1.200 botellas de Koka-Kola, 600 botellas de Zprite y 450 botellas de Eight Up; todas las cuales corresponden a ventas del mes anterior, ya pagadas al contado. No hay restricción de fondos financieros, realizándose todos los pagos en el mes de producción con fondos propios y vendiéndose todo al contado. Plantee el problema de programación lineal relacionado con la situación – problema de programar la producción de cada producto para el próximo mes. Especifique claramente sus supuestos (de ser ellos necesarios)

7.- Pedro “Charro” García está decidido a instalar una refinadora de Gasolina. Sin

embargo, está indeciso, debido a que no tiene certeza respecto de cuánto producir en cada uno de los 3 tipos de gasolinas posibles (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando 3 tipos de petróleo crudo (1, 2 y 3). La siguiente tabla entrega: los precios de venta por barril de gasolinas y; los precios de compra, por barril, de petróleo crudo. Pedro García puede comprar hasta 5.000 barriles de cada tipo de petróleo crudo diariamente.

Precios de Venta por

Barril (US$)

Precios de Compra por

Barril (US$)

Gasolina 1 70 Crudo 1 45

Gasolina 2 60 Crudo 2 35

Gasolina 3 50 Crudo 3 25

Los 3 tipos de Gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla de petróleo que se utiliza para obtener la gasolina 1 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos 10 y a lo más 1% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 2 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo más 2% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se usa para obtener la gasolina 3 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo más 1% de azufre. El índice de octano y el contenido de azufre de los 3 tipos de crudos están en la siguiente tabla

Índice de Octano

Contenido de Azufre

Crudo 1 12 0,5 %

Crudo 2 6 2,0 %

Crudo 3 8 3,0 %

Además, la transformación de un barril de petróleo crudo en un barril de gasolina cuesta 4

US$. La refinería del “Charro” es capaz de producir en un día, un máximo de 14.000

barriles de gasolina.

Los clientes del “Charro” necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de

gasolina: Gasolina tipo 1, 3.000 barriles; Gasolina tipo 2, 2.000 barriles; Gasolina tipo 3,

1.000 barriles. La compañía se siente comprometida a cumplir con estas demandas.

Pedro García tiene la posibilidad de estimular la demanda de sus productos mediante la

publicidad. Cada US$ invertido diariamente en la publicidad para cualquier tipo de

gasolina, aumenta la demanda diaria del respectivo tipo de gasolina en 10 barriles. Por

ejemplo si el “Charro” decide gastar diariamente 20 US$ para promover la Gasolina tipo 2,

la demanda diaria de la Gasolina tipo 2 se incrementará en 20(10) = 200 barriles.

Formule un PPL que permita a Pedro “Charro” García maximizar sus ganancias diarias. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.

Para la formulación de un PPL resulta crucial hacer una correcta definición de las

variables de decisión, ya que éstas van a estructurar la función objetivo y las restricciones

Variables de Decisión: Xij : número de barriles diarios de crudo i-ésimo utilizado

para la producción diaria de barriles de gasolina tipo j-ésima

Yj : US$ invertidos en publicidad para estimular la demanda

de barriles de gasolina tipo j-ésima

Entonces, el problema consta de 12 variables: 9 referentes a los 3 tipos de gasolina por

cada uno de los 3 tipos de crudo y, las otras 3 referidas a la cantidad de US$ a invertir en

publicidad de cada una de las gasolinas. Así tendríamos:

Gasolina tipo 1 Gasolina tipo 2 Gasolina tipo 3

Crudo 1 X11 X12 X13

Crudo 2 X21 X22 X23

Crudo 3 X31 X32 X33

X11 + X12 + X13 = Barriles de crudo 1 usados diariamente

X21 + X22 + X23 = Barriles de crudo 2 usados diariamente

X31 + X32 + X33 = Barriles de crudo 3 usados diariamente

X11 + X21 + X31 = Barriles de gasolina tipo 1 producidos diariamente

X12 + X22 + X32 = Barriles de gasolina tipo 2 producidos diariamente

X13 + X23 + X33 = Barriles de gasolina tipo 3 producidos diariamente

Y1 = US$ gastados en publicidad para gasolina tipo 1

Y2 = US$ gastados en publicidad para gasolina tipo 2

Y3 = US$ gastados en publicidad para gasolina tipo 3

Función Objetivo:

Se busca la maximización de las ganancias, donde ganancias = ingresos - costos

Maximizar Z = (70-45-4) X11 + (60-45-4) X12 + (50-45-4) X13 + (70-35-4) X21 + (60-35-4) X22

+ (50-35-4) X23 + (70-25-4) X31 + (60-25-4) X32 + (50-25-4) X33 – Y1 – Y2

– Y3.

o bien

Maximizar Z = 21X11 + 11X12 + X13 + 31X21 + 21X22 + 11X23 + 41X31 + 31X32 + 21X33 –

Y1 – Y2 – Y3.

s.a. (sujeto a) La función objetivo queda sujeta a un conjunto de restricciones

Restricciones de Demanda

Restricciones 1 a 3: Producción diaria de gasolina equivalente a la demanda diaria por tipo

1) Gasolina 1: X11 + X21 + X31 = 3.000 + 10(Y1)

o bien X11 + X21 + X31 – 10(Y1) = 3.000

2) Gasolina 2: X12 + X22 + X32 = 2.000 + 10(Y2)

o bien X12 + X22 + X32 – 10(Y2) = 2.000

3) Gasolina 3: X13 + X23 + X33 = 1.000 + 10(Y3)

o bien X13 + X23 + X33 – 10(Y3) = 1.000

Restricciones de Abastecimiento

Restricciones 4 a 6: Cantidad máxima de barriles de crudo que se pueden comprar:

4) X11 + X12 + X13 < 5.000

5) X21 + X22 + X23 < 5.000

6) X31 + X32 + X33 < 5.000

Restricción de Capacidad

Restricción 7: capacidad limitada de la refinería para producir diariamente.

7) X11 + X21 + X31 + X21 + X22 + X32 + X13 + X23 + X33 < 14.000

Restricciones de Balance en la mezcla de octanaje

Restricciones 8 a 10: límites de octanaje:

8) 12 X11 + 6 X21 + 8X31 > 10

X11 + X21 + X31

9) 12 X12 + 6 X22 + 8X32 > 8

X12 + X22 + X32

10) 12 X13 + 6 X23 + 8X33 > 6

X13 + X23 + X33

Restricciones de Balance en la mezcla de azufre

Restricciones 11 a 13: límites de azufre:

11) 0,005 X11 + 0,02 X21 + 0,03 X31 < 0,01

X11 + X21 + X31

12) 0,005 X12 + 0,02 X22 + 0,03 X32 < 0,02

X12 + X22 + X32

13) 0,005 X13 + 0,02 X23 + 0,03 X33 < 0,01

X13 + X23 + X33

Restricciones de No Negatividad

14) Y1, Y2, Y3, X11, X12, X13, X21, X22, X23, X31, X32, X33 > 0