FORMuLACION ESTRATEGICA

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN NIVELACIÓN GENERAL

Desarrollo del Pensamiento T o m o 3

Parte 1: Solución de Problemas Parte 2: Creatividad

Alfredo Sánchez Amestoy, Ph.D

• GOBIERNO NACIONAL DE LA REPÚBLICA DEL ECUADOR SINIINH

Sistema Nacional de Nivelación y Admisión

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN NIVELACIÓN GENERAL

Desarrollo del Pensamiento Tomo 3

Parte 1: Solución de Problemas Parte 2: Creatividad

Alfredo Sánchez Amestoy, Ph.D.

• GOBIERNO NACIONAL DE LA REPÚBLICA DEL ECUADOR

senescyt S N N H

C O N T E N I D O S TOMO II I

CONTENIDO 3

PÁGINA INICIAL PARTE 1 5

INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSO 6

I INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 8

Justificación y Objetivos de la Unidad 8

1 Características de un problema 9

2 Procedimiento para la solución de un problema 17

II PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE 25


3 Problemas de relaciones de parte-todo y familiares 26

4 Problemas sobre relaciones de orden 36

III PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLE 46


5 Problemas de tablas numéricas 47

6 Problemas de tablas lógicas 57

7 Problemas de tablas conceptuales o semánticas 68

IV PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS 79

Justificación de la Unidad 79

Objetivos de la Unidad 80

8 Problemas de simulación concreta y abstracta 81

9 Problemas con diagramas de flujo y de intercambio 87

10 Problemas dinámicos. Estrategia medios-fines 96

V SOLUCIONES POR BÚSQUEDA EXHAUSTIVA 106


11 Problemas de tanteo sistemático por acotación del error 107

12 Problemas de construcción sistemática de soluciones 113

13 Problemas de búsqueda exhaustiva. Ejercicios de consolidación 124

PÁGINA INICIAL PARTE 2 137

INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSO 138

I PRINCIPIOS DE LA CREATIVIDAD 140

Justificación 140


3

1 introducción a la creatividad 142

2 Estrategias para estimular la creatividad 149

II PENSAMIENTO DIVERGENTE Y CREATIVIDAD 160

Justificación 160


3 Procesos de expansión que estimulan la creatividad 162

4 Procesos de contracción que estimulan la creatividad 175

III EXTENSIÓN DEL CAMPO 187

Justificación 187


5 La extensión de la lógica para estimular la creatividad 189

6 Las transformaciones para estimular la creatividad 198

IV ACTIVACIÓN DE PROCESOS CREATIVOS 203

Justificación 203


7 Ideas activadoras del pensamiento 205

8 Ideas intermedias: trampolín 209

9 Asociación de ideas: palabras activadoras y cadenas de palabras 213

10 Cuestionamiento: análisis de errores y opciones para corregirlos 219

11 Cuestionamiento: reto de ideas y conceptos 223

V DESARROLLO DE LA INVENTIVA 227

Justificación 227


12 Introducción a la inventiva: Análisis de inventos 229

13 Introducción a la inventiva: Evaluación de inventos 241

14 Cómo mejorar inventos concretos 248

15 Invento de un objeto concreto 254

16 Mejora e invención de constructos abstractos 256

BIBLIOGRAFÍA 265

4

D E S A R R O L L O D E L P E N S A M I E N T O

T O M O I I I P A R T E 1

S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S

A l f r e d o S á n c h e z A m e s t o y , P h . D .

P ro feso r T i tu lar Un i ve rs idad S i m ó n Bo l ívar

D i rec to r del Cen t ro para Desar ro l lo e Inves t i gac ión del Pensamien to

Caracas , Venezue la D i recc ión e lec t rón ica :

a l f r e d o s a n c h e z a @ h o t m a i l . c o m

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO TOMO III, PARTE 1 Solución de Problemas

© Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio.

5

I N F O R M A C I Ó N G E N E R A L A C E R C A D E L C U R S O

ORGANIZACIÓN DE LAS LECCIONES

El curso comprende trece lecciones agrupadas en cinco unidades sobre la temática de la solución de problemas:

• La primera unidad es una introducción a la solución de problemas. • Las cuatro unidades siguientes están dedicadas a estrategias específicas para la

solución de problemas basadas en aplicación de un procedimiento general para la solución de cualquier problema.

Las unidades están divididas en lecciones. Cada lección consta de:

Introducción - ¿Qué conocemos acerca del tema? - ¿Qué vamos a aprender?

Cuerpo - Construyamos el conocimiento - Organizamos el conocimiento proceso o concepto - Le damos sentido al conocimiento - Aplicamos el conocimiento -Extendemos, transferimos y generalizamos el conocimiento, y

reflexionamos sobre su aprendizaje y aplicación

Cierre - Concientizamos: Reflexionamos sobre lo aprendido, su utilidad y los valores y actitudes asociados al aprendizaje y a la vida

ENFOQUE Y ESTRATEGIA

¿Cuál es el enfoque? El enfoque obedece a nuestro lema: aprender haciendo y construyendo; aprender a aprender, con una visión sistémica, humana e integral de la persona, el aprendizaje y la vida.

La base operativa de esta concepción del aprendizaje se sustenta en la metodología de procesos, el desarrollo de las habilidades de pensamiento, la transferencia de procesos al aprendizaje, el constructivismo y el aprendizaje significativo.

¿Cuál es la estrategia?

En cuanto 'a logros: monitorear el aprendizaje y estimular el desarrollo autónomo, para la conceptualización, el logro de imágenes mentales claras y diferenciadas; alcanzar el hábito de aplicar y extender cada proceso; es decir, se trabaja para alcanzar las competencias necesarias para utilizar los procesos espontáneamente, con acierto y efectividad.

El aprendizaje se logrará:

• Mediante la mediación y el monitoreo del docente para lograr el desarrollo progresivo de la autonomía del alumno para aprender continuamente hasta lograr su independencia intelectual para pensar, optimizar, crear y actuar.

• Mediante la aplicación de los avances de la ciencia cognitiva, el constructivismo, el enfoque sistemático, la mejora continua, el aprendizaje significativo y el desarrollo integral y humano.

6

• A través de la estimulación adecuada, el aprendizaje gradual, y la verificación y retroalimentación permanentes.

ACTITUDES Y VALORES REQUERIDOS PARA APRENDER Y APRENDER A APRENDER

• Reconocer las fortalezas y debilidades que se tienen y aprovecharlas para generar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y compartir con otros.

• Aceptar sugerencias y orientaciones de docentes y compañeros con interés y humildad.

• Actuar como gestores críticos y responsables del aprendizaje y del crecimiento personal.

• Valorar el interés de docentes, familiares y amigos, en beneficio del crecimiento personal y social.

• Mostrar disposición para reflexionar sobre los logros alcanzados y los beneficios de aprender y aprender a aprender.

OBJETIVOS GENERALES

A través del Desarrollo del Pensamiento el estudiante logrará las competencias requeridas para aprender y aprender a aprender, y para actuar como pensador analítico, crítico, constructivo y abierto al cambio, capaz de monitorear tu propio desarrollo y de entender y mejorar el entorno personal, familiar, social y ecológico que le rodea. En tal sentido se precisa:

1) Desarrollar los conocimientos, las habilidades, las actitudes y los valores asociados a los estilos de pensamiento convergente y divergente y al razonamiento lógico, critico y creativo, requeridos para desempeñarte con éxito y satisfacción en tus ámbitos de competencia académica, familiar, social y ambiental.

2) Despertar en los docentes y estudiantes el interés y la disposición para monitorear el crecimiento propio y de otros, con una perspectiva sistémica, futurista, integral, dinámica, crítica, constructiva, humana y perfectible.

3) Valorar el papel que juega el pensamiento como herramienta indispensable para facilitar el desarrollo intelectual, social, moral y ético de las personas y para proyectar su ámbito de influencia hacia sí mismo, la sociedad y el medio.

ESTÁNDARES DE DESEMPEÑO DE LAS COMPETENCIAS A LOGRAR

Se utilizará una escala de 5 niveles para verificar el avance de los estudiantes en el desarrollo de las competencias del curso, la cual se describe a continuación:

Nivel Desempeño

1. Tiene noción del concepto, procedimiento o actitud que va a desarrollar.

2. Realiza o demuestra el desempeño esperado con la mediación del docente.

3. Realiza o demuestra el desempeño esperado por su propia iniciativa.

4. Realiza o demuestra el desempeño esperado por su cuenta y es capaz de corregir tus propios errores.

5. Realiza todo lo anterior y además es capaz de guiar a otros, de tomar una decisión para introducir modificaciones en su trabajo y de crear nuevos escenarios o productos. Reconoce el valor y la utilidad de sus aprendizajes.

7

J U S T I F I C A C I Ó N

A través de investigaciones se ha podido comprobar que es poca la información que tienen los alumnos acerca de lo que es un problema y de las estrategias más efectivas para resolverlos.

Por tal razón dedicaremos esta primera unidad a identificar en base a sus características los enunciados que corresponden a un problema. Este proceso contribuye a lograr una clara imagen o representación mental del problema, básica para alcanzar la solución del problema luego de aplicar un procedimiento o estrategia.

La representación mental del enunciado se consolida mediante la descripción de ciertos elementos del problema tales como estados, operaciones, restricciones, preguntas, etcétera.

Con la información obtenida generalmente se formulan relaciones y se aplican estrategias de representación (como diagramas, tablas, gráficas, etc.) que facilitan la comprensión de los procesos involucrados en la solución del problema, los estados intermedios que conducen al estado final y las operaciones requeridas para alcanzar cada estado y lograr la solución buscada.

En la etapa de representación generalmente se visualizan y establecen nexos relevantes entre los datos del problema y los conocimientos de la materia requeridos para llegar a la solución deseada. A través de este análisis es posible identificar las fórmulas, las relaciones y las estrategias requeridas para lograr las respuestas pedidas.

Con frecuencia la solución de problemas ha estado rodeada de mitos y creencias que obstaculizan el aprendizaje; se atribuyen a los problemas dificultades no justificadas que más bien surgen de la falta de información acerca de lo que es un problema y de la variedad de estrategias que pueden utilizarse para resolverlos. Casi siempre esto es el resultado del desconocimiento que tienen los alumnos acerca de la naturaleza de los problemas y de la utilidad del uso de estrategias y la poca ejercitación deliberada dirigida a reconocer los tipos de problemas y a desarrollar las habilidades requeridas para aplicar las estrategias apropiadas. De aquí la importancia de este curso sobre solución de problemas.

OBJETIVOS

En esta unidad se presenta una definición de problema, se identifican los tipos de datos presentes en^el enunciado de un problema y se introduce el concepto de estrategia en solución de problemas.

A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:

1. Analizar el enunciado de un problema e identificar sus características esenciales y los datos que se dan.

2. Elaborar estrategias para lograr la representación mental del problema y llegar a la solución que se pide.

3. Aplicar las estrategias previamente diseñadas y verificar la consistencia de los resultados obtenidos.

8

LECCIÓN 1 CARACTERÍSTICAS DE LOS P R O B L E M A S

Con frecuencia escuchamos enunciados como los que siguen:

1. ¡Qué calamidad!, Jaimito aplazó la asignatura.

2. No sé cuánto dinero necesito para hacer la compra en el mercado del norte. 3. Un auto se desplaza a 50 Km por hora. ¿Cuánto demorará dicho auto en llegar a Telurio

que se encuentra a 75 Km de distancia si no tiene ningún tropiezo?

¿En qué se asemejan los tres enunciados?

¿Estás de acuerdo en que los tres enunciados comunican un hecho?

El primer enunciado, que Jaimito aplazó la asignatura.

El segundo enunciado, que la persona que lo dice no sabe cuánto dinero necesita.

Y el tercer enunciado que el auto se desplaza a 50 Km/h.

Ahora, ¿Qué diferencias observas en la estructura de los tres enunciados?

Probablemente te referirás a que el tercero contiene una pregunta mientras que los dos primeros son afirmaciones directas. Ahora, ¿Qué diferencias observas respecto al planteamiento del enunciado?

El primer enunciado es un hecho que es irreversible o final. El segundo enunciado es también un hecho, sin embargo, podemos darnos cuenta que antes de ir al mercado la persona deberá averiguar de una u otra manera la cantidad de dinero que debe llevar, de lo contrario perderá su tiempo.

El tercer enunciado es directo en cuanto a que nos pide determinar el tiempo que tardará el automóvil en llegar a Telurio.

Los enunciados segundo y tercero son diferentes respecto al primero en cuanto ellos nos plantean una interrogante.

Los enunciados segundo y tercero dan o aportan información. El segundo enunciado establece que va a ir de compras y que se dirigirá al mercado del norte, mientras que el tercer enunciado establece que el auto viaja a 50 Km/h y que Telurio queda a 75 Km de distancia.

Los enunciados segundo y tercero los llamamos problemas. En base a sus características ¿Cómo definirías lo que es un problema?

9

En base a las características debes haber planteado una definición similar a la que sigue:

Definición de problema Un problema es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta que debe ser respondida

Veamos algunos ejemplos adicionales. Consideremos los enunciados que siguen y responde las preguntas.

"¿Cuál es el porcentaje de ganancia de una persona que invierte 5.000 Um (unidades monetarias) en mercancías y recauda 6.900 Um al venderla, sabiendo que sus gastos de venta y publicidad son de 800 Um?"

¿Qué información aporta?

¿Qué interrogante plantea?

¿A qué conclusión podemos llegar respecto a si es o no un problema?

"La paz es una condición de vida que contribuye a mejorar las relaciones interpersonales."




"Las grandes ciudades son urbes superpobladas con gran diversidad de actividades comerciales y productivas, generalmente con grandes problemas de contaminación. ¿Cuáles son las principales causas de la contaminación ambiental de las grandes ciudades?"




^ " ' M , " l t " " " 1 1 • ••••• • » ! — - I — • . I . H . . I H — •

Práctica 1: ¿Cuáles de los siguientes planteamientos son problemas y cuáles no? Justifica tu respuesta; para ello completa la tabla que sigue al listado de planteamientos.

10

1. María no tomó en cuenta los aspectos requeridos para comprar ese traje. 2. ¿Cuáles son las variables que deberían tomarse en cuenta para evitar que una persona

contraiga amibiasis? 3. Debemos conocer las causas que provocan la indisciplina de los estudiantes de la

escuela de la comunidad. 4. La disciplina es producto del ambiente y se favorece mediante la adopción de normas que

todos estén dispuestos a aceptar y respetar. 5. ¿Qué debemos hacer para evitar que Marlene cometa el mismo error en el futuro? 6. ¿Cuáles suponen que son las causas que originaron la conducta irregular de Maritza?

Planteamiento ¿Es un problema?

Justificación Planteamiento Si No

Justificación

1

2

3

4

5

6

p i l l W M B W n r t W W W l I F l W M M M M I HUI • • • • I 1 M W 1 1 III W I I M M I I I I I I I I M MI • I l - I IB I I I

Práctica 2: Plantea tres enunciados que sean problemas y tres que no sean problemas.

- muí mu Enunciados que son problemas:

1.

3.

Enunciados que no son problemas:

1.

2.

3.

11

Consideremos ahora los dos problemas que siguen: 1. ¿Cuántos diccionarios marca "YOSE" de 40 Um (unidades monetarias) vendió María

durante el día si recaudó 800 Um por este concepto?

2. ¿Qué debemos hacer para estimular la participación de la comunidad en la solución de sus necesidades?

¿Qué semejanza encuentras en estos dos problemas?

¿Qué diferencias presentan ambas situaciones?

¿Puedes resolver el primer problema? ¿Cuántos diccionarios vendió? ¿Qué ocurre con el segundo problema?

¿A qué tipos de necesidades se refiere el problema? ¿Son las mismas necesidades para todas las comunidades?

Para un mismo tipo de necesidad, ¿Todas las comunidades deben resolverlo de la misma manera? ¿Será que la solución depende de los recursos con que cuenta la comunidad?

¿Qué concluyes de la comparación de los dos problemas respecto a la posibilidad de poderlos resolver directamente?

De esta conclusión se desprende que hay dos clases de problemas respecto al criterio de la posibilidad de solución inmediata.

Clasif icación de los problemas en función de la información que suministran

Problemas / \

Estructurados El enunciado contiene la información necesaria y suficiente para resolver el problema.

No estructurados El enunciado no contiene toda la información necesaria, y se requiere que la persona busque y agregue la información faltante.

En el caso de los problemas estructurados generalmente existe una solución única al problema con base a la información suministrada.

En el caso de los problemas no estructurados la búsqueda de la información está sujeta a la motivación e interés de la persona que resuelve el problema, por tal razón es posible obtener soluciones que pueden ser muy diferentes entre sí, incluso aun habiendo recolectado la misma información porque se pueden combinar los recursos de maneras diferentes.

12

Práctica 3: Plantea dos problemas estructurados y dos problemas no estructurados.

Enunciados de problemas estructurados:

1.

2.

Enunciados de problemas no estructurados:

1.

2

i Volvamos al último ejemplo de los dos problemas. Ambos enunciados aportan información. En el caso del primer enunciado tenemos la siguiente información:

Costo del diccionario "YOSE" 40 Um

Nombre de la vendedora María

Recaudación total por concepto de la venta del diccionario "YOSE" 800 Um

Lo que se evidencia de esta tabla es que la información que aporta un enunciado de un problema viene expresada en términos de una característica la cual está asociada a su respectiva variable. La columna de la izquierda es la variable y la de la derecha es la característica.

En el caso del segundo enunciado, que como vimos es un problema no estructurado, la información se debe buscar o recolectar porque no viene completa en el problema. Sin embargo, podemos identificar variables. No tenemos características.

Tipos de necesidad de una comunidad

Tipos de participación de la comunidad

Tipos de soluciones

Cuando tratemos de resolver este problema debemos recabar la información faltante. La variable "tipos de necesidades de una comunidad" pueden tener muchos valores posibles, por ejemplo, seguridad, vialidad, salud, educación de adultos, educación de jóvenes, etc. De la misma manera podríamos descomponer las otras variables de este problema no estructurado.

Si hablamos del peso del cuerpo, nos referimos a una variable. Si decimos que la variable peso puede tomar los valores desde tres hasta cien kilogramos, estamos hablando del rango de posibles valores de la variable peso.

Si decimos que María pesa 60 Kg, nos referimos a la característica de María con la variable peso del cuerpo. Tenemos pues una variable, una característica y la persona María. Está es como la etiqueta que define a que objeto, hecho o situación donde se aplica la variable.

13

Las variables y la información de un problema Los datos de un problema, cualquiera que éste sea, se expresan en términos de variables, de los valores de éstas o de características de los objetos o situaciones involucradas en el enunciado. Podemos afirmar que los datos siempre provienen de variables. Vale recordar que una variable es una magnitud que puede tomar valores cualitativos o cuantitativos.

Recordemos que las variables cuantitativas son las que tiene valores numéricos, por ejemplo, edad, estatura, temperatura, etc.; mientras que las variables cualitativas son las que tiene valores semánticos o conceptuales, por ejemplo, color, género, estado de ánimo.

Práctica 4: Completa la siguiente tabla en la cual se pide que des algunos valores posibles de la variable a la izquierda y que identifiques el tipo de variable.

i i • • i •• •• • •

Variable Ejemplos de posibles valores de las variables

Tipo de variable Variable Ejemplos de posibles valores de las variables Cualitativa Cuantitativa

Tipo de contaminante

Volumen

Humedad

Peso

Temperatura

Superficie

Color de la piel

Color del cabello

Estado de ánimo

Expresión facial

Actitud hacia el estudio

Clima

Peligrosidad

Población

Edad

Estatura

En este momento también podemos recordar otra característica de las variables que es su aplicación en el proceso de ordenamiento.

Las variables cuantitativas permiten establecer las relaciones llamadas de "orden". Con ellas se construye el ordenamiento natural. Para verificar la posibilidad del ordenamiento tenemos la prueba de "mayor que" o "menor que". Utilizando las relaciones de orden podemos construir secuencias progresivas crecientes o decrecientes. Sí tenemos una secuencia progresiva creciente, si la característica A respecto a una variable cuantitativa es mayor que la de B,

14

entonces colocamos primero B y luego A; y si la secuencia es decreciente, entonces colocamos primero A y luego B. Todas las variables cuantitativas son ordenables.

Las variables cualitativas llevan a la formación de clases cada vez que podemos asociar elementos que tengan la misma característica cualitativa o semántica. Sin embargo, podemos establecer convenciones que nos permiten organizar elementos por ordenamiento; este es el caso del orden alfabético, donde se ha acordado un orden o secuencia determinada para las letras del alfabeto, y podemos ordenar palabras de acuerdo a esa convención. Esto determina su designación como ordenamiento convencional.

(Práctica 5: En cada una de las siguientes situaciones identifica las variables e indica los valores que puede asumir.

a. Un jardinero trabaja solamente los días hábiles de la semana y cobra 250Um por cada día. ¿Cuántos días debe de trabajar la persona para ganar 1.000 Um a la semana?

Variable Valores

Variable Valores

b. Un terreno mide 6.000 m 2 y se desea dividir en 2 parcelas, cuyas dimensiones sean proporcionales a la relación 3:5.

Variable Valores

Variable Valores

c. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm 3 , y el mismo aumenta progresivamente, duplicándose cada 3 horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo de 15 horas?

Variable Valores

Variable Valores

d. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm 3 , y el mismo aumenta progresivamente, incrementándose 10 cm 3 cada dos horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo de 16 horas?

Variable Valores

Variable Valores

e. María, Josefina, Patricia y Carmen son cuatro hermanas. Patricia es de menor estatura que María, pero más alta que Carmen. La estatura de Josefina excede la de María en 5 cm. ¿Cuál hermana es la de menor estatura?

Variable Valores

Variable Valores

Cierre ¿Cuál fue el tema de esta lección?

¿Qué aprendimos en esta lección?

15

¿Qué es un problema?

¿Cómo podemos clasificar los problemas, tomando en cuenta la información que nos dan?

¿Qué diferencias existen entre los dos tipos de problemas mencionados en clase?

¿Qué papel juegan las variables en el análisis y la solución de un problema?

¿Qué utilidad tiene lo aprendido en la lección?

16

LECCION 2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCION DE P R O B L E M A S

Introducción

¿Qué estudiamos en la lección anterior?

¿Qué características debe tener un problema?

¿De qué manera se expresa la información en un problema?

¿En qué se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado?

¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema?

Presentación del proceso

Consideremos el siguiente ejercicio:

Ejercicio 1: Miguel necesitaba ropa y fue al Centro Comercial, para lo cual sacó cierta cantidad de dinero de su alcancía. Vio unos bonitos pantalones y gasto el 50% de lo que llevaba para adquirirlos, luego compró una camisa que le costó 300 Um. Si al final le quedaron 200 Um que gastó para invitar a unos amigos a comer. ¿Cuánto dinero sacó de su alcancía?

Lo primero que debemos hacer es leer todo el enunciado. Nos preguntamos:

¿Tiene información?

¿Tiene una interrogante que debemos responder?

Ya que ambas respuestas son afirmativas, podemos concluir que es un problema.

¿De qué trata el problema?

De una persona que va de compras con cierta cantidad de dinero; le sobra algo y lo consume en comida.

El segundo paso para continuar la resolución del problema es preguntándonos: ¿Qué datos aporta el enunciado? ¿Cuáles son las variables y características?

17

Variable: Cantidad de dinero inicial Característica: Desconocida Variable: Primera compra Característica: Pantalón

Variable: Costo de la primera compra Característica: 50% del dinero inicial

Variable: Segunda compra Característica: Camisa

Variable: Costo de la segunda compra Característica: 300 Um

Variable: Dinero después de las compras Característica: 200 Um

Variable: Destino del remanente Característica: Pagar invitación a comer

Muy bien. Hemos extraído todos los datos expresados en el problema.

En tercer lugar debemos analizar las relaciones que podemos plantear y las operaciones que podemos realizar. Esto es pensar en una estrategia para resolver el problema. ¿Qué relación podemos establecer entre el costo del pantalón y el dinero inicial?

A partir de la tercera variable de la lista podemos decir: 1. "El pantalón le costó la mitad del dinero inicial (50%) o, lo que es lo mismo, que el dinero

inicial es el doble del costo del pantalón."

Otra relación que podemos establecer es:

2. "Después de comprar el pantalón le quedó una cantidad de dinero igual a la mitad del dinero inicial."

Una tercera relación a partir de la quinta y sexta variable sería: 3. "Con el dinero sobrante después de comprar el pantalón se compró una camisa de

300Um y le quedaron 200 Um que gasto en la comida."

Estas relaciones las podemos visualizar de la siguiente manera:

Dinero inicial = ?

liiHii lili

50% pantalón

300 Um camisa

200 Um comida

El cuarto paso es usar la relaciones y operaciones planteadas (usar la estrategia de solución que hemos planteado) para resolver el problema. Veamos cómo queda esto:

De la segunda y tercera relaciones podemos sacar que:

La mitad del dinero inicial es igual a la suma de 300 Um y 200 Um, que son 500 Um

Luego, con la primera o segunda relaciones podemos plantear la siguiente operación:

La cantidad de dinero inicial es el doble de la cantidad que quedó después de comprar el pantalón, La cual es de 500 Um. Por lo tanto, la cantidad de dinero inicial es de 1.000 Um.

El quinto paso es formular la respuesta:

La cantidad de dinero que sacó de la alcancía fue 1.000 Um.

18

El sexto, y último, paso del procedimiento es verificar si todo está correcto. Muy bien. Lo que acabamos de ver es un procedimiento o estrategia que podemos aplicar para resolver cualquier problema. El procedimiento esta listado a continuación. Verifica si esos fueron los pasos que seguimos en la resolución del problema anterior.

Procedimiento para resolver un problema

1. Lee cuidadosamente todo el problema.

2. Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado. 3. Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de

los datos y de la interrogante del problema.

4. Aplica la estrategia de solución del problema.

5. Formula la respuesta del problema.

6. Verifica el proceso y el producto.

i ¿Crees qué es importante tener un procedimiento para la solución de cualquier problema? ¿Por qué?

I t

¿Qué beneficio crees tiene aplicar este procedimiento?

i Práctica del proceso l

Es importante recordar que estas prácticas presentan problemas sencillos para resolver, pero que lo importante es seguir el procedimiento. Si lo seguimos de manera deliberada y en forma sistemática, vamos a alcanzar la automatización del proceso, y por consecuencia, el desarrollo | de la habilidad asociada al procedimiento o estrategia de resolución de problemas.

Práctica 1: Luisa gastó 500 Um en libros y 100 Um en cuadernos. Si tenía disponibles 800 I Um para gastos de materiales educativos, ¿Cuánto dinero le queda para el resto de los < útiles escolares?

1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?

2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.

19

3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema.

4) Aplica la estrategia de solución del problema,

5) Formula la respuesta del problema.

6) ¿Cuál es el paso final en todos los procedimientos? Verificar el procedimiento y el producto. ¿Seguiste todos los pasos en el orden del procedimiento? ¿Verificaste si los datos eran los correctos o que no confundiste o intercambiaste algún número?

¿Las operaciones matemáticas están correctas?

Práctica 2: María compró 50 libros y pagó 100 Um por cada uno. La editorial le hizo una rebaja de un 20% sobre el precio de lista de cada libro. Se pregunta:

¿Cuánto es el precio de lista?

¿Cuánto pagó María por los 50 libros?

¿Cuánto gana el vendedor si logra colocar todos los libros al precio de lista?



20




6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado?

Práctica 3: María, Luis y Ana son hijos de Lucía y José. José al morir deja una herencia que alcanza a 400 mil Um, la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero se divide en dos partes, 1/4 para la madre y el resto para repartirse en partes iguales entre los tres hijos y la madre. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?



21


¿Podrías representar el reparto del dinero de la herencia en el gráfico que se da a la derecha?




Práctica 4: María, Luis y Ana son hijos de Lucía y José. José al morir deja una herencia que alcanza a 400mil Um, la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero se divide en dos partes, 1/4 para la madre y el resto para repartirse entre los tres hijos y la madre, con la condición que la hija menor, María, reciba el doble que los demás en esta parte. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?


22

¿En qué se diferencia este problema del anterior?

SI. Ahora uno de los hijos, María va a recibir el doble de lo que van a recibir sus dos hermanos y su madre de la parte que es para repartir (la otra mitad es completa de la madre).


3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema. Trata de usar una representación gráfica como la usada en el problema anterior.

i

i


i

I



23

Reflexión En esta lección aprendimos que la solución de los problemas debe hacerse siguiendo un procedimiento, sin importar el tipo o naturaleza del problema. Ahora, la clave para resolver el problema está en el paso tres donde debemos plantear relaciones, operaciones y estrategias para tratar de responder lo que se nos pregunta.

En las próximas unidades vamos a conocer varios tipos de problema, y vamos a practicar ese planteamiento de relaciones, operaciones y estrategias concretas para cada tipo de problemas.

Cierre ¿Qué aprendimos en esta lección?

¿Cuál es el objetivo que se persigue al resolver un problema?

¿Cuáles son los pasos del procedimiento para resolver un problema?

1. -

2. -

3. -

4. -

5. -

6 ,

¿Crees qué son importantes todos los pasos? ¿Por qué?

¿Qué crees que pueda ocurrir si olvidamos u omitimos algún paso del procedimiento?

¿Cómo será más fácil resolver un problema, comenzando a escribir fórmulas de manera entusiasta o siguiendo el procedimiento? ¿Por qué?

24

U N I D A D I I : P R O B L E M A S D E R E L A C I O N E S C O N U N A V A R I A B L E

J U S T I F I C A C I O N

En esta unidad, como su nombre lo indica, se presentan problemas acerca de relaciones entre variables o características de objetos o situaciones. Dichas relaciones están presentes en los enunciados de los problemas y pueden ser de diferentes tipos; la naturaleza de la relación determina la estrategia particular a seguir para lograr la solución del problema.

Una relación es un nexo entre dos o más características correspondientes a la misma variable. En el enunciado del problema se dan los valores de las variables que correspondan y se presentan los nexos entre éstas; del análisis de estos nexos surge el tipo de relación y de éste la estrategia particular de representación a utilizar para comprender el problema, lograr la imagen mental, y, en muchos casos, obtener la solución.

Las variables, sus valores y sus relaciones conforman los datos de los problemas. Un dato puede ser una variable, un valor de una variable o una relación entre dos variables o entre sus valores.

A pesar de que el enunciado de un problema siempre presenta relaciones entre sus datos, que como sabemos provienen de las variables, existen ciertos tipos de nexos que determinan clases especiales de problemas los cuales pueden agruparse y resolverse mediante estrategias particulares. De lo dicho se desprende que esta unidad, además de lograr que los jóvenes centren su atención en la identificación y el análisis de las relaciones entre variables y características presentes en el enunciado de un problema, logra identificar estos tipos especiales de relaciones y de estrategias particulares.

En la unidad se presentan relaciones especiales de diferentes tipos: intercambio, parte-todo, causa-efecto, orden, pertenencia, equivalencia, familiares, etc.

OBJETIVOS


1. Centrar su atención en el enunciado del problema y en las relaciones entre sus datos

2. Identificar el tipo de relación presente en el enunciado de un problema

3. Analizar los diferentes tipos de relaciones presentes en el enunciado de un problema y determinar la estrategia más apropiada para enfocar su solución de acuerdo al tipo de relación.

4. Establecer relaciones entre las variables, sus valores y los datos de los problemas.

5. Valorar la utilidad del uso de estrategias en la solución de problemas

J

25

LECCIÓN 3 P R O B L E M A S DE RELACIONES DE PARTE-TODO Y FAMIL IARES

Introducción

¿Sobre qué trató la unidad anterior?

¿Qué características debe tener un problema?

¿Qué debe hacer una persona para resolver un problema?

¿En qué se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado?

¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema?

Presentación y práctica del proceso La lección anterior nos enseñó que debemos seguir una estrategia para resolver los problemas. Ejecutando los pasos de ese procedimiento garantizamos: primero, una comprensión profunda del problema; segundo, generamos las ideas y buscamos las relaciones, operaciones y estrategias particulares para resolver la incógnita que se nos plantea en el problema; y tercero, la corrección de eventuales errores mediante la verificación del procedimiento y del producto del proceso.

Ejercicio 1. Con una balanza de 2 platillos y sólo 3 pesas de 1, 3, y 9 kilos respectivamente, podrás pesar objetos cuyos pesos sean cantidades exactas entre 1 kilo hasta 13 kilos. Se trata de identificar la pesa o grupo de pesas de las disponibles que podrían colocarse en uno o los dos platillos para lograr un determinado equilibrio colocando el objeto en el platillo B. Se pueden combinar las pesas como se desee. ¿Cómo se combinarían las pesas para colocarlas -todas o algunas de ellas- en ambos platillos para pesar 2 ,5 ,7 , 10 y 11 kilos?

V J 1) Lee todo el enunciado. ¿De qué trata el problema?

De una balanza de dos platillos que se sirve para pesar hasta 13Kg usando solamente una o una combinación de las tres pesas de 1, 3, y 9 Kg.

26

2) ¿Cuál es la incógnita del problema?

La incógnita es determinar la pesa o grupos de pesas que deben colocarse en el platillo A o en ambos platillos para equilibrar la balanza.

3) ¿Qué relaciones o estrategias puedo derivar del enunciado del problema?

Primera, que tenemos una balanza de platillo que se equilibra cuando ambos platillos tiene el mismo peso.

Segunda, que cuento con 4 pesas con los valores de 1Kg, 3Kg y 9Kg.

Tercera, que el objeto se coloca en el platillo B.

Cuarta, que tengo total libertad de colocar una o varias pesas en uno u otro platillo para lograr el equilibrio con el objeto.

Y quinta, que el peso del objeto puede calcularse conociendo el peso total del platillo.

4) ¿Cómo podemos pesar?

Si colocamos en el platillo B objetos de 1Kg, 3Kg y 9Kg podemos equilibrarlo colocando en el platillo A la pesa correspondiente al peso del objeto.

Si colocamos un objeto de 4Kg en el platillo A, ¿Cómo podemos equilibrarlo?

No podemos hacerlo con una sola pesa, pero si podemos hacerlo colocando en el platillo A las pesas de 1 Kg y 3Kg juntas. De esta manera podemos pesar objetos cuyo peso sea igual a la suma de los pesos de dos pesas. De esta manera podemos pesar objetos de 4Kg, 10Kg y 12Kg. Y si colocamos las tres pesas en el mismo platillo podemos equilibrar objetos de 13Kg.

Ya hemos completado formas de pesar objetos de 1, 3, 4, 9, 10, 12 y 13 Kg.

¿Pero cómo podemos hacer para pesar un objeto de 2Kg?

Ahora recordamos la estrategia que nos dice que tenemos total libertad para colocar las pesas. Si el objeto pesa 2Kg, puedo equilibrar la balanza colocando el objeto y la pesa de 1Kg en el platillo B y la pesa de 3Kg en el platillo A porque la suma de los pesos en ambos platillos será igual. Colocando el objeto y la pesa de 1Kg en el platillo B podemos pesar 2Kg y 8 Kg colocando en el platillo A las pesas de 3Kg y 9Kg; y si colocamos el objeto y la pesa de 3Kg en el platillo B y la pesa de 9Kg en el platillo A, podemos pesar 6Kg.

Nos falta averiguar ¿Cómo podemos pesar objetos de 5Kg, 7Kg y 11 Kg?

En el último caso acompañamos el objeto con una pesa, y podíamos pesar objetos cuyo peso estaba por debajo del peso que teníamos en el platillo A. Eso lo podemos ampliar con otros pesos en el platillo A si colocamos en él dos pesas. Así, colocando en A las pesas de 9Kg y 3Kg, y en B el objeto y la pesa de 1Kg, podemos pesar un objeto de 11 Kg; y colocando en A las pesas de 9Kg y 1 Kg, y en B, el objeto y la pesa de 3Kg, podemos pesar un objeto de 7Kg

Ahora nos falta solamente como pesar 5Kg. Dándonos cuenta que 9Kg es igual a 5Kg + 4Kg, entonces podemos pesar un objeto de 5Kg poniéndolo en el platillo B con las pesas de 3Kg y 1Kg, que pesan combinadas los 4Kg, y el platillo A la pesa de 9Kg.

De esta manera podemos resumir todas las alternativas de pesado en una tabla indicando que muestre los kilogramos que se desean pesar, el contenido del platillo A y el contenido del platillo B.

27

Cantidad de Kg a pesar Platillo B Platillo A 1 Objeto Pesa 1 Kg 2 Objeto + Pesa 1 Kg Pesa 3Kg 3 Objeto Pesa 3Kg 4 Objeto Pesas 3Kg y 1Kg 5 Objeto + Pesas 3Kg y 1 Kg Pesa 9Kg 6 Objeto + Pesa 3Kg Pesa 9Kg 7 Objeto + Pesa 3Kg Pesas 9Kg y 1 Kg 8 Objeto + Pesa 1 Kg Pesa 9Kg 9 Objeto Pesa 9Kg 10 Objeto Pesas 9Kg y 1 Kg 11 Objeto + Pesa 1 Kg Pesas 9Kg y 3Kg 12 Objeto Pesas 9Kg y 3Kg 13 Objeto Pesas 9Kg, 3Kg y 1Kg

5) Para formular la respuesta a la interrogante de cómo se combinan las pesas para pesar 2, 5, 7, 10 y 11Kg, solamente tenemos que identificar en la tabla anterior la distribución de pesas en cada uno de los platillos. Por ejemplo, para pesar un objeto de 2Kg. Lo colocamos en el platillo B junto con la pesa de 1Kg, y en el platillo A colocamos la pesa de 3Kg. De la misma manera procedemos para las demás cantidades.

6) Por último verificamos cada paso y los resultados de las operaciones.

De esta manera terminamos la solución formal del ejemplo 1 que planteamos al inicio de esta clase. Seguimos paso a paso el procedimiento que aprendimos en la lección 2. En este caso las relaciones que planteamos utilizaban el principio que el equilibrio de la balanza se alcanza cuando el peso total del platillo A es igual al peso total del platillo B, y que esos pesos totales resultan de la suma de todos los pesos que hay en cada platillo.

Problemas sobre relaciones parte-todo En este tipo de problema unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades y para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas donde se relacionan partes para formar una totalidad deseada, por esos se denominan "problemas sobre relaciones parte-todo".

Práctica 1. El precio de venta de un objeto es 700 Um. Este precio resulta de sumar su valor inicial, una ganancia igual a la mitad de su valor y unos gastos de manejo de 25% de su valor. ¿Cuánto es el valor inicial del objeto?

-

¿Qué hacemos en primer lugar?

¿Qué datos se dan?

28

¿De qué variable estamos hablando?

¿Qué se dice acerca del precio de venta del objeto?

¿Qué se pide?

Representación del enunciado del problema:

¿Qué se extrae de este diagrama?

¿Qué se concluye?

¿Cuánto es el valor del objeto?

Práctica 2. La medida de las tres secciones de un lagarto -cabeza, tronco y cola- son las siguientes: la cabeza mide 9 centímetros, la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola. ¿Cuántos centímetros mide en total el lagarto?

¿Cómo se describe el lagarto? Cabeza

Tronco

¿Qué datos da el enunciado del problema?

¿Qué significa que la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del cuerpo?

Escribe esto en palabras y símbolos:

¿Y qué se dice del cuerpo?

Vamos a escribir o a representar estos datos en palabras y símbolos: Medida del tronco = Medida cabeza + medida cola Medida del tronco = 9 cm + medida de la cola

Si colocamos lo que mide la cola obtenemos: Medida del tronco = 9 cm + 9 cm + mitad de la medida del cuerpo Medida del tronco = 18 cm + mitad de la medida del cuerpo

Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:

Medida del tronco

— •

Medida de medio tronco 18 cm

¿Qué observamos en el esquema? ¿Cuánto mide el tronco en total?

Entonces, ¿Cuánto mide en total el lagarto? Para contestar esto completa el esquema que sigue.

Cola Tronco Cabeza

¿Qué estrategias particulares utilizamos para comprender y resolver el problema? Identificamos en el dibujo las partes del lagarto y las medidas respectivas Representemos las cantidades en el esquema

Veamos otro problema de relación entre las partes y el todo.

30

Práctica 3. Un hombre lleva sobre sus hombros un niño que pesa la mitad que él; el niño, al mismo tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad que él, y el perrito lleva accesorios que pesan la mitad que él. Si el hombre con su carga pesa 120 kilos, ¿Cuánto pesa el hombre sin carga alguna?

¿Qué debemos hacer para resolver el problema?

¿Qué se pregunta?

¿Qué observan en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes?

¿Cómo podemos representar estos datos?

¿Cómo lo expresamos en palabras?

¿Qué relación existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga?

¿Cómo calculamos el peso del hombre?

¿Cuánto pesa el hombre?

¿Qué debemos hacer una vez que conocemos el resultado?

31

Problemas sobre relaciones familiares

En esta parte de la lección se presenta un tipo particular de relación referido a nexos de parentesco entre los diferentes componentes de la familia

Las relaciones familiares, por sus diferentes niveles, constituyen un medio útil para desarrollar habilidades de pensamiento de alto nivel de abstracción y es esta la razón por la cual se incluye un tema en la lección que nos ocupa.

Práctica 4. María muestra el retrato de un señor y dice:

"La madre de ese señor es la suegra de mi esposo." ¿Qué parentesco existe entre María y el señor del retrato?

¿Qué se plantea en el problema?

¿Qué personajes figuran en el problema?

¿Qué relaciones podemos establecer entre estos personajes?

Completa las relaciones en la representación. La de Suegra-Yerno ya está indicada.

Madre del señor ^ _ del retrato ^

/

^ \ S u e g r a - Yerno v

X Señor del Esposo . , . . r. . 4 » Mana retrato de Mana

í Relación desconocida

¿Qué se observa en el diagrama con respecto a María y el señor del retrato? ¿Qué tienen en común?

32

¿Qué relación existe entonces entre ambas personas?

Respuesta del problema:

¿Qué hicimos en este ejercicio?

¿Qué tipo de estrategia utilizamos?

Práctica 5. Un joven llego de visita a la casa de una dama; un vecino de la dama le preguntó quién era el visitante y ella le contestó:

"La madre de ese joven es la hija única de mi madre."

¿Qué relación existe entre la dama y el joven?


¿A qué personajes se refiere el problema?

¿Qué afirma la dama?

¿Qué significa ser hija única?

Representación:

Respuesta:

Práctica 6. Un hombre dice, señalando a otro:

"No tengo hermanos ni hermanas, pero el padre de ese hombre es hijo de mi padre' ¿Qué parentesco hay entre "ese hombre" y el que habla?

33


Pregunta:

Representación:

Respuesta:

Práctica 7. Luis dice: "Hoy visité a la suegra de la mujer de mi hermano' ¿A quien visitó Luis?


Pregunta:

Representación:

Respuesta:

34

y i i w i i i i i i • mi ••• iiniii • • » • • i ••••• •• iiiiii • • a Practica 8. Antonio dice: "El padre del sobr ino de mi tío es mi padre". ¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?

i w i m w m m mu i • iimin nina». • • — • i n m i m ¿Qué se plantea en el problema?

Pregunta:

Representación:

Respuesta:

Cierre ¿Qué clases de problemas estudiamos en esta lección?

¿Qué diferencias existen entre los diferentes problemas?

¿Qué hicimos para resolver los problemas de este tipo?

¿Cuál fue la variable en cada caso?

¿Qué estrategia seguimos para resolver estos problemas?

¿Crees que la estrategia estudiada tiene utilidad? ¿Por qué?

LECCIÓN 4 P R O B L E M A S SOBRE RELACIONES DE ORDEN

Introducción ¿Sobre qué trató la lección anterior?

¿Qué características tiene un problema con relaciones parte-todo?

¿Qué debe hacer una persona para resolver un problema de relación parte-todo?

¿En qué se diferencian un problema parte-todo de uno de relaciones familiares?

¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de estos problemas?

Presentación del proceso Vamos a iniciar el trabajo de esta lección con un ejercicio.

Ejercicio 1. José es más bajo que Patricio, pero más alto que Manuel. Manuel a la vez es más bajo que José, pero más alto que Rodrigo. ¿Quién es más alto y quién le sigue en estatura? ' « W B I I I B B M — 1 I I M M I 1

¿Qué debemos hacer en primer lugar?

Leer todo el problema.

¿A qué aspecto o variable se refiere el problema?

¿Qué tipo de variable es?

¿En qué forma se expresa la información relativa a las estaturas?

Muy bien. Seguramente identificaste que el enunciado se refiere a la variable estatura de ciertas personas, que es una variable cuantitativa y que la información está expresada en términos de relaciones de orden (...más o menos alto que...). ¿Qué hacemos luego?

36

Podemos aplicar una estrategia de representación que nos va solución del problema.

La representación puede hacerse de la siguiente manera: se traza una línea o eje vertical, se fija sobre esta línea un punto de referencia u origen a partir del cual se representan los valores de la variable; se coloca una flecha sobre la línea vertical para indicar el sentido creciente de la variable cuyo nombre se escribe al lado de la punta de la flecha. Esto quiere decir que más cerca de la flecha (arriba) es de mayor estatura, y más lejos de la punta de la flecha es de menos estatura (abajo).

Luego leemos el problema parte por parte y vamos aplicando la estrategia, esto es, vamos representando los datos. Podemos utilizar las iniciales de los nombres de las personas para hacer la representación.

¿Cuál es la primera relación que encontramos en el problema?

"José es más bajo que Patricio pero más alto que Manuel".

Podemos ubicar José en algún punto de la línea o eje, lo cual significa que el tiene una estatura.

Luego, como José es más bajo que Patricio eso quiere decir que Patricio debe estar ubicado por arriba de donde ubicamos a José. Eso podemos leerlo José es más bajo que Patricio, o Patricio es más alto que José. Y luego, como José es más alto que Manuel, éste debe estar ubicado abajo de la posición donde ubicamos a José.

Hasta ahora hemos logrado diseñar una estrategia que nos permite representar la información que nos da el problema en un gráfico, esto es, pasamos de relaciones de orden a una representación gráfica.

¿Cuál es la próxima relación que nos da el problema?

"Manuel a la vez es más bajo que José, pero más alto que Rodrigo".

La relación dice que Manuel es más bajo que José. Eso ya lo tenemos representado en el gráfico. Sigue la relación indicando que Manuel es alto que Rodrigo. Eso significa que debemos ubicar a Rodrigo de forma tal que la ubicación de Manuel esté por encima, es decir, más arriba que 'a de Rodrigo. Para eso solo tenemos que ubicarlo en la parte inferior de la línea o eje, tal como se indica en el gráfico de la derecha. Ya hemos agotado las relaciones que nos dan información. El gráfico de la derecha contiene toda la información que suministra el enunciado del problema.

Ahora que hemos completado el gráfico, ¿Podemos contestar quién es el más alto y quién le sigue en estatura? Si. Inspeccionando el gráfico vemos que el de mayor estatura (persona más alta) es el que está más arriba, es decir, Patricio, y le sigue en estatura José.

El último paso es la verificación. Esta estrategia de representación gráfica facilita la verificación de las relaciones que están planteadas en el enunciado del problema, y de la inspección para determinar el resultado.

a facilitar la comprensión y la

• Estatura

Estatura

Patricio

• José

• Manuel

Estatura

• Patricio

• José

• Manuel

• Rodrigo

37

Hemos seguido los seis pasos del procedimiento para resolver problemas con una estrategia de representación de relaciones de orden basadas en variables cuantitativas. A esta estrategia de resolución de problemas la llamamos representación en una dimensión.

Representación en una dimensión

La estrategia utilizada se denomina "Representación en una dimensión" y como ustedes observaron permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto.

¿Qué utilidad tiene esta estrategia?

¿Qué papel juega la variable en estos problemas?

¿En qué casos se puede usar esta estrategia?

Reflexión

Los problemas de esta lección involucran relaciones de orden. Dichos problemas se refieren a una sola variable o aspecto, el cual generalmente toma valores relativos, o sea que se refieren a comparaciones y relaciones con otros valores de la misma variable; por ejemplo cuando decimos "Juan es más alto que Antonio" nos estamos refiriendo a la variable o aspecto estatura y estamos dando la estatura de Juan, pero con relación a la estatura de Antonio; no sabemos cuánto mide Juan ni cuánto mide Antonio.

(Práctica 1 . En el trayecto que recorren Mercedes, Julio, Paula y José al trabajo, Mercedes camina más que Julio. Paula camina más que José, pero menos que Julio. ¿Quién vive más lejos y quién vive más cerca?

Variable:

Pregunta:

Representación:

Respuesta:

38

Podemos aplicar una estrategia de representación que nos va a facilitar la comprensión y la

Estatura solución del problema. La representación puede hacerse de la siguiente manera: se traza una línea o eje vertical, se fija sobre esta línea un punto de referencia u origen a partir del cual se representan los valores de la variable; se coloca una flecha sobre la línea vertical para indicar el sentido creciente de la variable cuyo nombre se escribe al lado de la punta de la flecha. Esto quiere decir que más cerca de la flecha (arriba) es de mayor estatura, y más lejos de la punta de la flecha es de menos estatura (abajo).

Luego leemos el problema parte por parte y vamos aplicando la estrategia, esto es, vamos representando los datos. Podemos utilizar las iniciales de los nombres de las personas para hacer la representación.

¿Cuál es la primera relación que encontramos en el problema?

"José es más bajo que Patricio pero más alto que Manuel".

Podemos ubicar José en algún punto de la línea o eje, lo cual significa que el tiene una estatura.

Luego, como José es más bajo que Patricio eso quiere decir que Patricio debe estar ubicado por arriba de donde ubicamos a José. Eso podemos leerlo José es más bajo que Patricio, o Patricio es más alto que José. Y luego, como José es más alto que Manuel, éste debe estar ubicado abajo de la posición donde ubicamos a José.

Estatura

Patricio

• José

• Manuel

1

Hasta ahora hemos logrado diseñar una estrategia que nos permite representar la información que nos da el problema en un gráfico, esto es, pasamos de relaciones de orden a una representación gráfica.

¿Cuál es la próxima relación que nos da el problema?

"Manuel a la vez es más bajo que José, pero más alto que Rodrigo".

La relación dice que Manuel es más bajo que José. Eso ya lo tenemos representado en el gráfico. Sigue la relación indicando que Manuel es alto que Rodrigo. Eso significa que debemos ubicar a Rodrigo de forma tal que la ubicación de Manuel esté por encima, es decir, más arriba que !a de Rodrigo. Para eso solo tenemos que ubicarlo en la parte inferior de la línea o eje, tal como se indica en el gráfico de la derecha. Ya hemos agotado las relaciones que nos dan información. El gráfico de la derecha contiene toda la información que suministra el enunciado del problema.

Ahora que hemos completado el gráfico, ¿Podemos contestar quién es el más alto y quién le sigue en estatura? Si. Inspeccionando el gráfico vemos que el de mayor estatura (persona más alta) es el que está más arriba, es decir, Patricio, y le sigue en estatura José.

El último paso es la verificación. Esta estrategia de representación gráfica facilita la verificación de las relaciones que están planteadas en el enunciado del problema, y de la inspección para determinar el resultado.

Estatura

Patricio

• José

Manuel

Rodrigo

37

Hemos seguido los seis pasos del procedimiento para resolver problemas con una estrategia de representación de relaciones de orden basadas en variables cuantitativas. A esta estrategia de resolución de problemas la llamamos representación en una dimensión.

Representación en una dimensión

La estrategia utilizada se denomina "Representación en una dimensión" y como ustedes observaron permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto.

¿Qué utilidad tiene esta estrategia?

¿Qué papel juega la variable en estos problemas?

¿En qué casos se puede usar esta estrategia?

Reflexión Los problemas de esta lección involucran relaciones de orden. Dichos problemas se refieren a una sola variable o aspecto, el cual generalmente toma valores relativos, o sea que se refieren a comparaciones y relaciones con otros valores de la misma variable; por ejemplo cuando decimos "Juan es más alto que Antonio" nos estamos refiriendo a la variable o aspecto estatura y estamos dando la estatura de Juan, pero con relación a la estatura de Antonio; no sabemos cuánto mide Juan ni cuánto mide Antonio.

(Práctica 1. En el trayecto que recorren Mercedes, Julio, Paula y José al trabajo, Mercedes camina más que Julio. Paula camina más que José, pero menos que Julio. ¿Quién vive más lejos y quién vive más cerca?

Variable:

Pregunta:

Representación:

Respuesta:

38

( Práctica 2. Juana, Rafaela, Carlota y María fueron de compras al mercado. Carlota gastó menos que Rafaela, pero más que María. Juana gastó más que Carlota pero menos que Rafaela. ¿Quién gastó más y quién gastó menos?

Variable:

Pregunta:

Representación:

Respuesta:

Práctica 3. Luisa tiene más dinero que Antonia pero menos que José. Pedro es más rico que Luisa y menos que José. ¿Quién es el más rico y quién posee menos dinero?

Variable:

Pregunta:

Representación:

Respuesta:

39

Ejercicio 2. Ramírez y Peña son más jóvenes que Sandoval. Gutiérrez es menor que Peña, pero mayor que Ramírez. ¿Quién es el más joven y quién le sigue en edad?


Leer el problema

¿A qué variable se refiere el problema?

La edad de varias personas

¿Qué debemos hacer a continuación?

Como la edad es una variable cuantitativa y el problema está expresado en relaciones de orden, podemos usar la estrategia de "representación en una dimensión". Dibujemos el eje para la variable edad.

Edad I >

La primera relación de orden establece que "Ramírez y Peña son más jóvenes que Sandoval". Colocamos a Sandoval. Sin embargo, no podemos ubicar a Ramírez y Peña. Solo sabemos que son más jóvenes, es decir, que están ubicados a la izquierda de Sandoval.

Sandoval E d a d

I 1 > ^ Ramírez y Peña

En este momento solo anotamos la información concreta que tenemos, y postergamos la información que no podemos ubicar hasta que encontremos alguna otra información que nos ayude a ubicarla.

Luego leemos la próxima relación: "Gutiérrez es menor que Peña pero mayor que Ramírez". Esto nos permite ordenar estas tres personas. De menor a mayor ellas están ubicadas en el orden siguiente: Ramírez, Gutiérrez y Peña.

I I I Ramírez Gutiérrez Peña

Pero ¿Dónde ubicamos este trío? Para responder esta pregunta debemos recordar la información que postergamos en el paso anterior. Ramírez y Peña son menores que Sandoval. Así que los tres deben ubicarse a la izquierda de Sandoval.

Sandoval Edad

I 1 1 1 1 > Ramírez Gutiérrez Peña

Muy bien. Ya hemos vaciado toda la información del enunciado en la representación gráfica de anterior. Por inspección podemos concluir la respuesta a la pregunta:

"Ramírez es el más joven y le sigue en edad Gutiérrez"

40

En el ejercicio anterior el problema se plantea con relaciones de orden con variables de valores relativos como en el caso anterior; la única diferencia entre este ejercicio y las prácticas anteriores está en los enunciados, los cuales presentan ciertas inversiones en la forma de presentar los datos.

Estrategia de postergación

Esta estrategia adicional l lamada de "postergación" consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos, hasta tanto se presente otro dato que complemente la información y nos permita procesarlos.

Práctica 4. Mercedes está estudiando idiomas y considera que el ruso es más difícil que el alemán. Piensa además que el italiano es más fácil que el francés y que el alemán es más difícil que el francés. ¿Cuál es el idioma que es menos difícil para Mercedes y cuál considera el más difícil?

Variable:

Representación:

Respuesta:

Práctica 5. Roberto y Alfredo están más tristes que Tomás, mientras que Alberto está menos triste que Roberto, pero más triste que Alfredo. ¿Quién está menos triste?

Variable:

Representación:

Respuesta:

41

Casos especiales de la representación en una dimensión

Finalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede hacer parecer confuso un problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos o a la redacción del mismo. En este caso se hace necesario prestar atención especial a la variable, a los signos de puntuación y al uso de ciertas palabras presentes en el enunciado.

Práctica 6. Pedro y Ramiro son mejores que Suárez en sus habilidades para golear. La destreza como goleador de García puede deducirse del número acumulativo de goles que lleva durante el año, el cual es inferior al de otros miembros del equipo como Pedro que duplica dicho número. García supera a su compañero de equipo Ramiro. ¿Quién tiene el peor desempeño como goleador? ¿Quién le sigue en tan pobre actuación?

¿A qué variable se refiere el problema?

¿Que se dice acerca de la variable?

¿Qué palabras lucen confusas en el enunciado?

Primero establece la variable como la "habilidad goleadora"; luego da como variable "número de goles" y nos lleva a inferir que a mayor número de goles se tiene una mayor habilidad goleadora; también, afirma que García supera a su compañero de equipo Ramiro, también forzándonos a inferir que es en la habilidad goleadora; por último, nos lleva a inferir que una pobre actuación está asociada a una mala habilidad goleadora. Todas estas son complicaciones que nos obligan a tener especial atención a la variable, a los signos de puntuación y al uso de las palabras en el enunciado.

¿Qué debemos hacer ahora que tenemos todo esto claro?

Representación:

Respuesta:

42

Práctica 7. Juan nació 2 años después de Pedro. Raúl es 3 años mayor que Juan. Francisco es 6 años menor que Raúl. Alberto nació 5 meses después que Francisco. ¿Quién es el más joven y quién es el más viejo?

Variable:

Pregunta:

Representación:

Respuesta:

¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica?

¿Qué diferencia hay si resolvemos la práctica usando como variable la "edad" o el "año de nacimiento"?

Práctica 8. Daría nació 15 años después que Patricio. Said triplica la edad de Patricio. Dinorah, aunque le lleva muchos años de diferencia a Daría, nació después que Patricio. Alfredo, tío de Daría, es menos viejo que Said, pero mucho menos joven que Patricio. ¿Cuál de los cinco es el mayor y cuál es el menor?

Variable:

Pregunta:

43

Representación:

Respuesta:

¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica?

Precisiones acerca de las tablas En este tipo de problemas existe una variable sobre la cual se centra el mismo. Es siempre una variable cuantitativa que sirve para plantear las relaciones de orden que vinculan dos personas, objetos o situaciones de los incluidos en el problema. Por ejemplo, en el Ejercicio 1 de esta lección la variable era "estatura" y José, Patricio, Manuel y Rodrigo eran los sujetos incluidos en el problema. José, Patricio, Manuel y Rodrigo son valores de otra variable llamada "nombre". La variable estatura "depende" de cual valor de la variable nombre he seleccionado. Por tal razón llamamos a la variable "estatura" variable dependiente. Y por complemento, a la variable "nombre" la llamamos variable independiente.

En cierto sentido la variable "nombre" queda fija al seleccionar los personajes del problema. En cambio, la variable estatura depende de cual joven estamos considerando.

La pregunta o incógnita del problema se formula alrededor de la variable dependiente, por ejemplo, en este caso la pregunta es "¿Quién es el más alto?" la cual se refiere .directamente a la variable estatura.

Cierre ¿Qué hicimos en esta lección?

44

¿Por qué se llama representación en una dimensión?

¿Y cómo son las variables en este tipo de problemas?

¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada?

¿Cómo reconocería los problemas que se resuelven aplicando la estrategia "representación en una dimensión?

¿Qué le enseñarías a una persona que resuelve problemas en forma no planificada?

¿Cuáles encargos le harías a una persona para que minimice sus errores al resolver problemas?

45

U N I D A D I I I : P R O B L E M A S D E R E L A C I O N E S C O N D O S V A R I A B L E S


JUSTIFICACIÓN

En la presente lección se plantean problemas que involucran relaciones simultáneas entre dos variables y se pide una respuesta que corresponde a una tercera variable que resulta de las relaciones previamente mencionadas. En este tipo de problemas la estrategia más apropiada para obtener las soluciones es la construcción de tablas. De las tres variables que se dan, dos son cualitativas y permiten construir la tabla y la tercera puede ser cualitativa, cuantitativa o lógica, según el tipo de respuesta que se pide encontrar y los datos dados en el problema. Esta tercera variable siempre está incluida en la pregunta del problema y se utiliza para llenar las celdas o los cuadros de la tabla.

Las lecciones de esta Unidad se refieren a los tres tipos de problemas antes mencionados: relaciones numéricas, relaciones lógicas entre dos o más variables y relaciones entre conceptos. El primer tipo de problema se resuelve mediante la construcción de Tablas Numéricas; el segundo tipo de problema se apoya en las Tablas Lógicas y el tercer tipo se trabaja con Tablas Semánticas o conceptuales; en el primer tipo de tablas se registran en las celdas cantidades o números, en el segundo tipo relaciones lógicas y en el tercero conceptos.

Las tablas son instrumentos muy útiles para resolver problemas pues permiten organizar la información, visualizar el problema y constituyen una especie de memoria externa que nos ayuda a mantener el record de algunos elementos de información que a veces deben de postergarse para relacionarse con datos que se dan posteriormente o que se infieren durante el proceso de resolución de los problemas.

OBJETIVOS


1. Reconocer los tres tipos de problemas que se estudian en la lección y las estrategias más apropiadas para resolverlos.

2. Aplicar apropiadamente las estrategias para resolver problemas mediante tablas numéricas, lógicas y conceptuales.

3. Resolver problemas que involucren dos o más variables simultáneamente.

46

LECCIÓN 5 P R O B L E M A S DE T A B L A S NUMÉRICAS

Introducción ¿Sobre qué trató la unidad anterior?

¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior?

¿Qué tiene en común todas los tipos de estrategias que vimos en la unidad anterior?

¿Cómo eran los diagramas en los problemas de relaciones parte-todo y relaciones familiares?

¿En qué consiste la estrategia de representación en una dimensión?

¿Cómo eran los diagramas en los problemas de relaciones de orden?

¿En qué consiste la estrategia de postergación en la solución de un problema?

Presentación del proceso En esta lección continuamos el estudio de estrategias para la solución de problemas. Veamos a continuación otro ejemplo de problema. • V

Ejercicio 1. Rita, Elsa y Pedro tienen un club para compartir discos de música y películas. Entre los tres tienen 20 objetos, de los cuales 14 son discos de música y 6 películas. Rita tiene 3 discos de música y Elsa tiene el mismo número de películas. Elsa tiene en total tres objetos más que Rita. ¿Cuántos objetos tipo discos de música tiene Elsa, y cuantos objetos tipo películas tiene Pedro si Rita t iene 5 objetos en total?

Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante, Por lo tanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos observar dos cosas: primero, que la información no está suministrada en términos de relaciones de orden; y segundo, que la variable central es número de objetos y requiero de dos calificativos para poder precisarlo, el tipo de objeto y la persona a la cual pertenecen los objetos.

De lo expuesta anteriormente podemos concluir que la estrategia "representación en una dimensión" no nos sirve. La razón principal es que la variable cuantitativa depende de dos

47

variables. Por ejemplo, el primer 3 son objetos de Rita y son del tipo disco de música. Para resolver esto podríamos pensar en una cuadrícula donde por un lado ponemos el dueño y por otro lado ponemos el tipo de objeto, y en el centro en número de objetos. Veamos lo que queremos decir:

Nombre Tipo o b j ^ * ^ ^ Rita Elsa Pedro

Discos de música 3

Películas _____

En cada cuadro sombreado puedo colocar el número de objeto, del tipo a que corresponde y de la persona a que pertenece. Sin embargo, en el problema hablan de un total de discos de música o del total de objetos de una de las personas. Para representar esto podríamos añadir otra línea vertical de cuadros que llamamos "columna" y otra línea de cuadros horizontal que llamamos "fila" las cuales sirviera para colocar los totales. En el caso de las columnas, la el recuadro o celda inferior correspondería al total de objetos de la persona que encabeza la columna; y en el caso de las filas, la celda del lado derecho correspondería al total de objetos del tipo de objeto indicado en el lado izquierdo. La celda en el extremo inferior derecho es como un total de totales, o, simplemente el número total de objetos sin distingos de tipo o dueño. El nuevo recuadro quedaría como sigue:

Nombre Tipo obj. Rita Elsa Pedro Total

Discos de música 1

Películas • 1 i

Total

Ahora leemos el problema parte por parte, y vaciamos la información del problema en el cuadro que tenemos preparado.

Nombre Tipo objr**,,** 1<i Rita Elsa Pedro Total

Discos de música 3 14

Películas 3 6

Total X X+3 20

Todas las informaciones pueden asentarse en el cuadro. Solamente la última información dice que "Elsa tiene en total tres objetos más que Rita", Como no sabemos el total de objetos de Rita, ponemos una X para recordar la información. Esto no es más que una aplicación de la estrategia de postergación que habíamos estudiado en la unidad anterior a este tipo de problemas.

48

Cuando leemos la pregunta nos informa que la solución que buscamos es para el caso que Rita tenga en total 5 objetos. Ahora podemos cambiar la X por un 5, y la X+3 por un 8.

Los recuadros o celdas que no están aún llenas podemos calcularlos recordando que los totales son las sumas de las filas o columnas. Así, Si Rita tiene 5 objetos y 3 son discos de música, entonces tiene 2 películas. Si Elsa tiene 8 objetos y 3 son películas, entonces tiene 5 discos de música. Si Rita y Elsa tienen 2 y 3 películas respectivamente, y el total de películas es de 6, entonces Pedro debe tener 1 película. Haciendo esto para todas las celdas, completamos todas las celdas del recuadro, y queda como sigue:

Nombre Tipo obj. "'"•"-N^ Rita Elsa

I Pedro Total

Discos de música 3 | 5 6 14

Películas 2 j 3 1 6

Total 5 I 8 I 7 20

Ahora podemos contestar las preguntas inspeccionando el recuadro. Elsa tiene 5 discos de música y Pedro tiene 1 película. Antes de concluir, verificamos que hemos vaciado correctamente los datos, que las operaciones han sido correctamente realizadas y que la inspección es la que corresponde.

La búsqueda de una respuesta para este problema nos permite formalizar una nueva estrategia para la solución de problemas en los cuales existe dependencia de dos variables. El recuadro que estructura la estrategia lo denominamos tabla numérica, y a la estrategia de solución del problema la llamamos representación en dos dimensiones.

A diferencia de los problemas formulados con una variable cuantitativa dependiente, una variable cualitativa independiente y relaciones de orden entre las características que resolvimos en la unidad anterior, ahora se trata de problemas con una variable cuantitativa dependiente, dos variables cualitativas independientes y relaciones que definen características de la variable dependiente. Antes era relaciones de orden producto de comparaciones relativas del tipo "Pedro es más alto que José", ahora son relaciones absolutas que definen la característica de la variable cuantitativa del tipo "El número de películas de Elsa es 3.

La estrategia particular (a la que se hace referencia en el paso cuarto del Procedimiento para resolver un problema de la Lección 2) que se utiliza en este caso es la representación mediante tablas numéricas; las tablas son reticulados que tienen filas y columnas, las cuales determinan celdas. En las filas y las columnas se representan los tipos de variables consideradas, y en las celdas sombreadas con gris se insertan los números que son la característica de la variable dependiente. Estos valores son producto de las relaciones absolutas con las características

49

correspondientes al par de variables independientes. Las celdas en el entorno exterior a la zona sombreada corresponden a totalizaciones de filas y columnas, que es una característica propia de estas tablas. Recorriendo la totalidad de celdas en la tabla podemos visualizar y relacionar todos los posibles valores dados en la tabla, obtener datos faltantes y responder la pregunta del problema.

Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas numéricas

Esta es la estrategia aplicada en problemas cuya variable central cuantitativa depende de dos variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación gráfica o tabular llamada "tabla numérica".

Práctica del proceso

d

Práctica 1. Elena, María y Susana estudian tres idiomas (francés, italiano y alemán), y entre las tres tienen 16 libros de consulta. De los cuatro libros de Elena, la mitad son de francés y uno es de italiano. María tiene la misma cantidad de libros de Elena, pero solo tiene la mitad de los libros de francés y la misma cantidad de libros de italiano que Elena. Susana tiene tres libros de alemán, pero en cambio tiene tantos libros de italiano como libros de alemán tiene María. Cuantos libros de francés tiene Susana y cuántos libros de cada idioma tienen entre todas? J


¿Cuál es la pregunta?

¿Cuáles es la variable dependiente?

¿Cuáles son las variables independientes?

Representación:

Respuesta:

50

Práctica 2. Tres muchachas Nelly, Estela y Alicia tienen en conjunto 30 prendas de vestir de las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones. Nelly tiene tres blusas y tres faldas, Alicia que tiene 8 prendas de vestir tiene 4 blusas. El número de pantalones de Nelly es igual al de blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos pantalones como blusas tiene Nelly. La cantidad de pantalones que posee Alicia es la misma que la de blusas de Nelly ¿Cuántas faldas tiene Estela?





Representación:

Respuesta:

Las tablas numéricas Las tablas numéricas son representaciones gráficas que nos permiten visualizar una variable cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia de que la representación sea de una variable cuantitativa es que se pueden hacer totalizaciones (sumas) de columnas y filas. Este hecho enriquece considerablemente el problema porque abre la posibilidad de generar, adicionalmente, representaciones de una dimensión entre cualquiera de las dos variables cualitativas y la variable cuantitativa. También a deducir valores faltantes usando operaciones aritméticas.

51

Práctica 3. Las hijas del señor González, Clara, Isabel y Belinda tienen 9 pulseras y 6 anillos, es decir, un total de 15 accesorios personales. Clara tiene 3 anillos. Isabel tiene tantas pulseras como anillos tiene Clara y, en total, tiene un accesorio más que Clara, que tiene 4. ¿Cuántas pulseras tienen Clara y Belinda?





Representación:

Respuesta:

í

Tablas numéricas con ceros

En algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen elementos asignados. Por ejemplo, si hablamos de hijas e hijos en varios matrimonios, y decimos que Yolanda es la hija única del matrimonio Pérez, eso no significa que la celda de hijos correspondiente al matrimonio Pérez está vacía o le falta información, lo que significa es que a esa celda le corresponde el valor numérico "0" cero, porque al ser Yolanda hija única significa que los Pérez tiene solo una hija, y es hembra. A veces confundimos erróneamente la ausencia de elementos en una celda con una falta de información; si hay ausencia de elementos, entonces la información es que son cero elementos.

Vamos a continuar nuestra práctica incluyendo problemas donde se presentan celdas a las que no les corresponden elementos, por lo tanto, deben ser llenadas con el valor numérico cero.

52

Práctica 4. Tres matrimonios, de apellidos Pérez, Gómez, y García, tienen en total 10 hijos. Yolanda, que es hija de los Pérez, tiene sólo una hermana y no tiene hermanos. Los Gómez tienen un hijo varón y un par de hijas. Con la excepción de María, todos los otros hijos del matrimonio García son varones. ¿Cuántos hijos varones tienen los García?





Representación:

Respuesta:

Práctica 5. En las casas de María, Juana y Paula hay un total de 16 animales domésticos, entre los cuales hay 3 perros, doble número de gatos, y además canarios y loros. En la casa de Juana aborrecen a los perros y a los loros, pero tienen 4 gatos y 2 canarios (con mucho miedo). En la de Paula sólo hay un perro y otros 2 animales, ambos gatos. En la de María tienen 3 canarios y algunos otros animales. ¿Qué otros animales y cuántos de cada tipo hay en la casa de María?


53




Representación:

Respuesta:

Práctica 6. Jorge Romero metió 6 goles durante la temporada de fútbol de 2006 y 6 en la del 2009. En 2007 y 2008 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años (2006 a 2009) metió un total de 15 goles. Pedro Vidal metió 14 goles en 2007 y la mitad en 2009. Su total para los 4 años fue de 21 goles. Enrique Pérez metió tantos goles en 2008 como Vidal metió en los 4 años, pero en las otras temporadas no le fue mejor que a Pedro en 2006. Entre los tres en 2008 metieron 22 goles. ¿Cuántos goles metieron entre los tres en 2007?



54



Representación:

Respuesta:

Práctica 7. Milton, Mortus y Nartis tienen en total 20 mascotas. Milton tiene tres sapos y la misma cantidad de arañas que de murciélagos. Mortus tiene tantas arañas como Milton sapos y murciélagos. Nartis tiene 5 mascotas, una es murciélago y tiene la misma cantidad de sapos que Mortus, que es el mismo número de murciélagos que Milton. Si Milton tiene 7 mascotas, ¿Cuántas y qué clase de mascotas tiene cada uno?





55

Representación:

Respuesta:

¿Cómo denominar una tabla? Una de las variables independientes es desplegada en los encabezados de las columnas, mientras que la otra variable es desplegada como inicio de las filas. Y la variable dependiente es desarrollada en las celdas de la región reticular definida por el cruce de columnas y filas. Por esta razón se habla que las tablas tienen dos entradas, una por las columnas y otra por las filas. En título de una tabla está determinado por la variable dependiente que se visualiza, y se complementa con las variables independientes que caracterizan los valores del cuerpo de la tabla. Así, la tabla de la práctica 1 de esta lección se denomina de la siguiente manera:

"Número de l ibros en función de dueño e id ioma"

Cierre ¿Qué clases de problemas estudiamos en esta lección?

¿Qué hicimos para resolver los problemas de este tipo?

¿Cómo se llama la estrategia desarrollada en esta lección?

¿Qué hacemos cuando determinamos que una celda no tiene elementos asignados?

56

LECCIÓN 6 P R O B L E M A S DE T A B L A S LÓGICAS

Introducción ¿Sobre qué trató la lección anterior?

¿Cómo se llama la forma de representación para resolver esos problemas?

¿Adicionalmente a la denominación de las variables cualitativas y de los valores de la variable cuantitativa que otra información contienen estas tablas?

¿Qué tenemos que hacer si no puedo representar una información específica cuando leo el problema parte por parte?


Iniciemos el trabajo de esta lección con un ejercicio.

Ejercicio 1. Las profesiones de Delia, Ana y Lea son diferentes. Ellas son arquitecta, abogada y médica, aunque no necesariamente en ese orden. Ana contrató la arquitecta para que le diseñara su casa. Lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el día siguiente. ¿Cuáles son las profesiones de Delia, Ana y Lea?




De encontrar las profesiones de tres damas.

¿Qué variables están presentes?

Hay dos variables cualitativas: Nombres de damas (Delia, Ana y Lea) y Profesiones (arquitecta, abogada y médica).

¿Qué otras informaciones están expresadas en el enunciado?

• Cada una de las damas tiene una de esas tres profesiones que son diferentes entre sí. • Nos relatan dos hechos que aportan información sobre las profesiones de las damas.

¿Qué se pregunta en el problema?

Las profesiones de las tres damas.

57

Ninguna de las estrategias particulares anteriores se aplica en este caso. No tenemos esa variable cuantitativa alrededor de la cual se centraba el problema. Sin embargo, tenemos una condición nueva que puede ayudar. Relacionemos uno de los nombres, por ejemplo, Ana, con las tres profesiones:

Ana es arquitecta Ana es abogada Ana es médico

Una de esas tres aseveraciones es verdadera, y las otras dos son falsas. Algo similar se plantea si relacionamos los otros dos nombres con las profesiones. La información que nos permite esclarecer cual de las tres aseveraciones es verdadera, y cuales falsas, son los hechos que involucran a las damas. Para procesar la información de los hechos nos puede ayudar una tabla como la siguiente:

N o m b r e * ^ ^ Delia Ana Lea

Arquitecta •

Abogada

Médica 1 - 1 1

En este caso, lo que asentamos en la región sombreada es el valor de verdad o falsedad de la aseveración que relaciona el valor de la columna con el valor de la fila. Con esta estrategia particular podemos iniciar la lectura parte por parte de la información planteada en los hechos. El primer hecho es: "Ana contrató la arquitecta para que le diseñara su casa". Eso significa que Ana y la arquitecta son personas diferentes, entonces es falso que Ana sea arquitecta, y lo podemos reflejar en la tabla como sigue:

N o m b r e ^ ^ Delia Ana Lea

Arquitecta Falso

Abogada

Médica 1

Luego el enunciado afirma "Lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el día siguiente", lo cual implica que Lea no es abogada, y también que Ana no es abogada. Esto podemos reflejarlo en la tabla.

Nombre ' — ^ Delia Ana Lea

Arquitecta Falso

Abogada Falso Falso

Médica

58

En este momento podemos hacer algunas deducciones basándonos en la observación de la tabla. Si recordamos las relaciones que hicimos de Ana con las profesiones, hemos encontrado que dos de ellas son falsas, podemos concluir que la tercera es verdadera., Entonces Ana es médica. Algo similar ocurre con la fila intermedia; la única opción de profesión que queda para Delia es abogada, por lo cual podemos concluir que Delia es abogada.

NombTe^^ Delia Ana Lea

Arquitecta Falso

Abogada Verdadero Falso Falso

Médica Verdadero

Además, podemos sacar otras deducciones: si Delia es la abogada, entonces es falso que Delia sea arquitecta o médica; de la misma manera la médica no puede ser ni Delia, ni Lea. Y finalmente nos queda que la única opción verdadera de profesión para Lea es arquitecta. Por lo tanto la tabla queda:

N o m b r e ^ ^ Delia Ana Lea

Arquitecta Falso Falso Verdadero

Abogada Verdadero Falso Falso

Médica Falso Verdadero Falso

Ahora, inspeccionando la tabla, podemos contestar la pregunta: Delia es abogada, Ana es médica y Lea es arquitecta. Verificamos y concluimos el problema del ejercicio. En esta representación generamos una tabla cuyas celdas se llenan con dos posibles valores, verdadero o falso, a diferencia de las tablas de la lección anterior en las cuales se colocaban valores numéricos. La variable que graficamos es una variable lógica como las que ya habíamos estudiado anteriormente; en ella solo se reconoce la veracidad o falsedad de una relación. La variable lógica está implícita en el enunciado y debe ser definida por la persona que resuelve el problema para usar esta estrategia particular usando relaciones entre las dos variables cualitativas que siempre están de manera explícita en el enunciado.

Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas lógicas Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen dos variables cualitativas sobre las cuales puede definirse una variable lógica con base a la veracidad o falsedad de relaciones entre las variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación tabular llamada "tabla lógica".

Los valores que toma la variable lógica que se define con base a las dos variables cuantitativas son de dos estados, verdadero o falso, si o no, o, en general, cualquier par de símbolos. Las tablas lógicas no permiten la totalización de columnas o filas. Sin embargo con frecuencia

59

tienen otra característica de gran utilidad: la exclusión mutua que se da entre los valores de una misma fila o columna. Cuando esta característica se da, si en una fila o columna una celda tiene el valor de verdadero, entonces las demás celdas son falsas. Esta propiedad facilita la solución de este tipo de problemas. Una vez que ubiquemos un valor verdadero en una celda, las demás celdas en esa columna o fila son falsas.

La condición de exclusión mutua depende del enunciado del problema. En el ejercicio 1 hay tres damas y tres profesiones y se dice que todas tienen profesiones diferentes; esto obliga a que si una tiene una profesión, ninguna otra puede tener esa misma profesión, o que si una no tiene dos de las profesiones, entonces tiene que tener la profesión que queda disponible. Por lo tanto, en el enunciado debe indicarse que no se repiten las profesiones.

Otro ejemplo, sea la redacción "Ana, Eva y Olga tienen entre las tres, tres hijos, Pedro, Carlos y Luis". Si averiguo que Pedro es hijo de Olga, entonces se que no es hijo de Ana o de Eva porque una persona solo puede ser hijo de una madre; pero no puedo afirmar que Carlos y/o Luis no sean hijos de Olga, porque una madre puede tener más de un hijo y no está excluido en el texto. En este caso solo hay exclusión mutua para las madres, como es natural.

Ahora, con la redacción "Pedro, Carlos y Luis son hijos únicos de Ana, Eva y Olga". Si averiguo que Pedro es hijo de Olga, entonces sé que no es hijo de Ana o de Eva porque una persona solo puede ser hijo de una madre; pero también sé que Carlos y Luís no son hijos de Olga porque Pedro, Carlos y Luis son hijos únicos, es decir, que no tiene hermanos, y por lo tanto sus madres no han dado luz otros hijos. En este caso hay exclusión mutua para las madres, como es natural, pero también la hay para los hijos por la condición que son hijos únicos.


Práctica 1. Suponiendo que se aplica la característica de la exclusión mutua en ambas variables, completa las siguientes tablas lógicas.

a) ^ ^ - ^ N o m b r e País

Pedro Luis Carlos Raúl i

México V Venezuela V

Ecuador

Chile V

b) ^~~~~~-~^Nombre

País Pedro Luis Carlos Raúl

México X Venezuela V Ecuador X

Chile X X

60

^~"" \^Nombre País

Pedro Luis Carlos Raúl

México X X X Venezuela X X Ecuador X Chile

d) ^""~^^Nombre País

Pedro Luis Carlos

México

Venezuela X Ecuador V

Práctica 2: Leonel, Justo y Raúl juegan en el equipo de fútbol del Club. Uno juega de portero, otro de centro campista y el otro de delantero. Se sabe que: Leonel y el portero festejaron el cumpleaños de Raúl. Leonel no es el centro campista. ¿Qué posición juega cada uno de los muchachos?




¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?

Representación:

61

Respuesta:

Práctica 3: José, Justo y Jairo desayunaron con comidas diferentes. Cada uno consumió uno de los siguientes alimentos: magdalenas, tostadas y galletas. José no comió ni magdalenas ni galletas. Justo no comió magdalenas. ¿Quién comió galletas y qué comió Jairo?





Representación:

Respuesta:

Práctica 4: Tres niñas una de ellas con una blusa violeta, otra con una blusa rosa, y la tercera con una blusa blanca, hablan con la maestra. La niña con la blusa violeta le dice: "Nos llamamos Blanca, Rosa, y Violeta". A continuación, otra de las tres niñas le dice: "Yo me llamo Blanca. Como puede usted ver, nuestros nombres son los mismos que los colores de nuestras blusas, pero ninguna de nosotras usa blusas del color de nuestro nombre". La maestra sonríe y dice: "Pero ahora ya se, como os llamáis". ¿Qué color de blusa usa cada una de las niñas?


62




Representación:

Respuesta:

Reflexión

La estrategia de tablas lógicas es de gran utilidad para resolver tanto acertijos como problemas de la vida real. Al ponerlo en práctica debemos ser muy cuidadosos en cuatro cosas:

1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones. 2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta que

tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla. 3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo. 4. Leer las afirmaciones de manera secuencial, y cuando agotemos la lista, volver a

leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que hayamos obtenido.

Práctica 5: En la casa de Gisela hay un canario, un loro, un gato y un perro policía. Se llaman Rampal, Perico, Félix y Rin-Tin-Tin, pero no necesariamente en ese orden. Rin-Tin-Tin es más pequeño que el loro y que Félix. El perro es más joven que Perico. Rampal es el más viejo y no se lleva bien con el loro. ¿Cuál es el nombre de cada animal?




63

¿Cuál puede ser la relación lógica para construir la tabla?

Representación:

Respuesta:

Práctica 6: Piense en estas cuatro personas. 1. Sus nombres son Ana, Luisa, Pedro y Miguel. 2. Trabajan en una escuela, una ferretería, un banco y una farmacia 3. Pedro es el hijo de la persona que trabaja en la ferretería 4. Ana y la persona que trabaja en la farmacia son hermano-hermana 5. El hijo de la persona que trabaja en el banco trabaja en la ferretería 6. Luisa no trabaja en la escuela

¿Dónde trabajan cada uno?





Representación:

•

64

Respuesta:

Práctica 7: En una carrera de autos, en la que no hubo empates, participaron corredores de Francia. Brasil, México, Argentina y Holanda. El mexicano llegó dos lugares atrás del brasileño. El francés no ganó, pero tampoco llegó en último lugar. El holandés ocupó un lugar después que el argentino. Este último no llegó en primer lugar. En qué lugar llegó cada corredor

¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?



Representación:

Respuesta:

Práctica 8: Seis muchachas del preuniversitario: Gloria, Catalina, Blanca, Silvia, Rosa y Marú, tiene noviazgos secretos con otros seis muchachos llamados: Tobías, Raúl, Jacobo, Sergio, Ramiro y Javier. Tratando de descubrir cuáles eran las parejas, las amigas de las chicas averiguaron lo siguiente:

a) Jacobo y Sergio se reunieron con los novios de Blanca y de Rosa. b) Gloria, Javier y Marú son hermanos. c) Catalina y Raúl siempre andan tomados de la mano por los pasillos. d) Tobías le dice cuñado a Javier. e) Ramiro y los novios de Blanca y Gloria están peleados con Tobías. f) Sergio no conoce a las hermanas de Javier ni a Rosa.

65





Representación:

Respuesta:

Práctica 9: Juan, Luis, Miguel y David son artistas. Averigua la actividad de cada uno con base a la siguiente información:

a) Son: bailarín, pintor, cantante y actor. b) Juan y Miguel estuvieron entre el público la noche que el cantante debutó. c) El pintor hizo retratos de Luis y el actor d) El actor, cuya actuación en "La vida de David" fue un éxito, planea trabajar en otra

obra de teatro semejante a la anterior, pero en relación con la vida de Juan. e) Juan nunca ha oído hablar de Miguel





66

Representación:

Respuesta:

Cierre ¿Qué hicimos en esta lección?

¿Por qué se llama tablas lógicas?

¿Y cómo son las variables en este tipo de problemas?

¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada?

¿En qué se diferencia de las tablas lógicas de las tablas numéricas?

LECCIÓN 7 P R O B L E M A S DE T A B L A S C O N C E P T U A L E S

Introducción ¿En qué consiste la estrategia de representación en dos dimensiones?

¿Qué tipos de representaciones en dos dimensiones hemos estudiado?

¿Cuántas variables intervienen en una representación de dos dimensiones?

¿Qué diferencias hay entre las variables que intervienen en una representación de dos dimensiones?


Consideremos el siguiente ejercicio:

Ejercicio 1. Andrés, Carlos y Enrique son tres alumnos que piensan en la importancia del ejercicio. Los tres practican deportes, y le dedican un día a la semana a cada uno de los siguientes deportes: natación, gimnasia y yudo. Si practican deportes los lunes, miércoles y viernes, y en cada día cada uno practican un deporte diferente al de los demás, averigua que deportes practican los jóvenes cada día con base a la siguiente información:

a) Enrique nada el día que sigue a Andrés. b) El que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes. c) Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes.




De tres jóvenes que practican que practican los mismos deportes tres diferentes días.


¿Qué deporte practica cada uno cada día?

¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?

Tres variables. Nombres de los jóvenes, días de práctica y deportes practicado,

68


Los nombres de los jóvenes (Andrés, Carlos y Enrique) y los días de práctica (lunes, miércoles y viernes).

¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?

El deporte practicado. Los valores son: natación, gimnasia y yudo

Representación:

Día Nombre

Lunes Miércoles Viernes

Andrés

Carlos

Enrique

Leemos ahora la información suministrada: "Enrique nada el día que sigue a Andrés". Para esto solo hay dos posibilidades: Lunes nada Andrés y miércoles Enrique o miércoles nada Andrés y viernes Enrique, como suposiciones de trabajo.

Esto podemos representarlo en la tabla como sigue:

Día Nombre


Andrés Nada Nada

Carlos

Enrique Nada Nada

No podemos derivar nada más de esa información. La segunda información dice: "El que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes". Esto significa que una persona hace gimnasia el lunes y luego hace yudo el viernes. Estas suposiciones podemos representarlas como sigue:

Día Nombre


Andrés Nada Gimn. Nada Yudo

Carlos Gimn. Yudo

Enrique Gimn. Nada Nada Yudo 1

La tercera información dice: "Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes". Esto significa que Carlos practica la natación el viernes que es el deporte que se practica con traje de baño. Esto significa dos cosas: primero que Carlos nada el viernes; y segundo, que la opción de Andrés nada el miércoles y Enrique el viernes es imposible porque el viernes está nadando Carlos. Por esta razón debo aceptar que Andrés nada el lunes y Enrique el miércoles; y que

69

solo sobrevive la opción de que sea Enrique el que hace gimnasia el lunes y yudo el viernes porque las otras dos opciones o fallan el lunes o fallan el viernes. Con estas dos definiciones la tabla queda como sigue:

Día Nombre


Andrés Nada

Carlos Nada

Enrique Gimnasia Nada Yudo

Con esta tabla puedo derivar que Carlos debe hacer yudo el lunes y gimnasia el miércoles, y que Andrés debe hacer yudo el miércoles y gimnasia el viernes. Todo esto para cumplir con al condición que cada joven practica un deporte diferente cada día. Finalmente la tabla queda como sigue:

Día Nombre

Lunes Miércoles Viernes 1

Andrés Nada Yudo Gimnasia

Carlos Yudo Gimnasia Nada 1

Enrique Gimnasia Nada i Yudo

Respuesta:

Andrés nada el lunes, luego practica yudo y finalmente el viernes hace gimnasia.

Carlos primero practica yudo, luego hace gimnasia y el viernes nada.

Y Enrique hace gimnasia el lunes, nada el miércoles y practica yudo el viernes.

Hemos resuelto el problema aplicando una variante de nuestra estrategia de dos dimensiones. En este caso no tuvimos la variable cuantitativa ni la variable lógica para una tabla lógica. Ahora tuvimos tres variables cualitativas. La tabla en este caso no estuvo rellenada por números o valores lógicos, sino por valores conceptuales o semánticos. Por tal razón llamamos a esta estrategia "representación en dos dimensiones: tablas conceptuales".

Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas conceptuales Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen tres variables cualitativas, dos de las cuales pueden tomarse como independientes y una dependiente. La solución se consigue construyendo una representación tabular llamada "tabla conceptual" basada exclusivamente en las informaciones aportadas en el enunciado.

En estos problemas no tenemos la exclusión mutua de las tablas lógicas. La única ayuda es cuando conocemos todas las opciones menos una, la última podemos derivarla por exclusión.

70

En estos problemas debemos seguir todas las recomendaciones expuestas en la lección anterior para las tablas lógicas:

1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones. 2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta que

tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla. 3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo. 4. Leer las afirmaciones de manera secuencial, y cuando agotemos la lista, volver a

leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que hayamos obtenido.

Generalmente los enunciados de estos problemas que requieren ser resueltos mediante tablas conceptuales son más extensos porque toda la información para la solución debe ser aportada en la forma de hechos o planteamientos en el mismo.


Práctica 1. De un total de nueve personas, tres toman la prueba A, tres la prueba B y los tres restantes la prueba C. Las nueve personas están divididos partes ¡guales entre españoles, ecuatorianos y chilenos. También, de las nueve personas tres son agrónomos, tres físicos y tres médicos. De las tres personas que fueron sometidas a una misma prueba (A, B o C), no hay dos o más de la misma nacionalidad o profesión. Si una de las personas que se sometió a la prueba B es un médico español, una de las personas que se sometió a la prueba A es un médico ecuatoriano y a la prueba C un agrónomo ecuatoriano. ¿A qué pruebas se sometieron el médico chileno y el agrónomo español?







Representación:

71

Respuesta:

Práctica 2. Tres pilotos -Joel, Jaime y Julián- de la línea aérea "El Viaje Feliz" con sede en Bogotá se turnan las rutas de Dallas, Buenos Aires y Managua. A partir de la siguiente información se quiere determinar en qué día de la semana (de los tres días que trabajan, a saber, lunes, miércoles y viernes) viaja cada piloto a las ciudades antes citadas.

a) Joel los miércoles viaja al centro del continente. b) Jaime los lunes y los viernes viaja a países latinoamericanos. c) Julián es el piloto que tiene el recorrido más corto los lunes

¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?




Representación:

Respuesta:

Práctica 3. En un recital de la escuela de Música se presentaron Norma, Alicia, Héctor y Roberto. Se escucharon obras en el siguiente orden: de Beethoven, Liszt, Mozart y Tchaikovski. El recital se presentó de jueves a domingo; en cada uno de los días el orden de los intérpretes cambio, de tal modo que ningún día aparecieron en el mismo orden, además en ningún día repitieron una interpretación del mismo autor. Si el orden de los autores interpretados no cambió ¿en qué orden se presentaron cada uno de los intérpretes durante los cuatro días? Se sabe que:

a) La interpretación que hizo Alicia de Mozart fue un día antes que la de Liszt. b) Norma abrió magistralmente la presentación del sábado por la noche. c) Héctor, en días seguidos se presentó en primero y segundo lugar, e inauguró el recital. d) Tchaikovski fue presentado el viernes por Norma. e) Roberto no se presentó el sábado antes que sus amigos. f) Roberto interpretó a Mozart el mismo día que Héctor interpretó a Beethoven.

72






Representación:

Respuesta:

Reflexión Estos problemas de tablas conceptuales no tienen la característica del cálculo de subtotales y totales de las tablas numéricas, tampoco tienen la característica de exclusión mutua de las tablas lógicas. Esto las hace que requieran mucha más información para poder resolverlos. Con frecuencia, con el propósito de hacer menos tedioso el enunciado, se usa una cuarta variable, normalmente asociada a una de las variables independientes, que sirve para bifurcar la información que se aporta sobre la variable asociada.

Por ejemplo, puedo hablar de cuatro personas por su apellido, y digo que hay dos damas y dos caballeros. O puedo hablar de cinco niños e introduzco la variable edad de cada niño. O de hablo de seis señoras e introduzco una variable que es el color del cabello, en la forma de tres cabello rubio y tres cabello negro.

Veamos un ejemplo de este tipo ampliación de la estrategia de dos dimensiones con tablas conceptuales o semánticas.

73

Ejercicio 2. Antonio, Manuel, José y Luis son amigos, todos casados, con diferentes profesiones y aficiones. Las esposas son María, Ana, Julia y Luz; sus profesiones son ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador y sus aficiones son pesca, tenis, ajedrez y golf. Entre ellos se dan las siguientes relaciones:

a) Julia, esposa del ingeniero, y Luz, esposa de José son ambas amigas inseparables. b) El golfista, casado con Luz, no conoce al historiador y comparte con el biólogo

algunos conocimientos de interés relacionados con su profesión. c) Luis se reúne con el ingeniero y con el historiador para discutir asuntos de la

comunidad donde viven. d) Durante el domingo Julia y su esposo visitaron a Manuel y su esposa, quienes

mostraron los trofeos ganados por Manuel en los campeonatos de ajedrez; Ana se fue con su esposo el biólogo a jugar tenis.

Se pregunta cuales son las esposas, profesiones y aficiones de los hombres que se mencionan en el problema.




¿Cuál variable es diferente a las demás?

Representación:

rzz Esposa Profesión Afición

Antonio

Manuel 1

José

Luis 1 Las esposas son: María, Ana, Julia y Luz

Las profesiones son: ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador

Las aficiones son: pesca, tenis ajedrez y golf

En el literal a) habla de dos personas: de Julia, esposa del ingeniero y de Luz, esposa de José.

El literal b) habla del golfista, casado con Luz. Con lo cual ya sabemos que en una línea van José, Luz, golf, y que no es ingeniero. Como no conoce al historiador y comparte con el biólogo, entonces es el agrónomo, y la línea queda: José, Luz, agrónomo y golf.

74

I r , * * Esposa Profesión

Afición

Antonio

Manuel

José Luz agrónomo golf

1 Luis i

Del literal c) sacamos que Luis es biólogo y que su esposa no es Luz.

Del literal d) sacamos que Julia no es esposa de Manuel. Manuel es el aficionado al ajedrez y Ana es esposa de Luis quien es el biólogo y es el aficionado al tenis.

i Esposa Profesión Afición

Antonio !

Julia ingeniero

Manuel ajedrez

José Luz ! agrónomo golf

1 Luis Ana biólogo tenis

Y las celdas restantes pueden deducirse por exclusión.

Esposa Profesión Afición

Antonio Julia ingeniero pesca

Manuel María historiador ajedrez

• José Luz agrónomo golf

Luis Ana biólogo tenis

Respuesta:

Por inspección de la tabla podemos contestar la pregunta.

En este problema tuvimos cuatro variables. Los caballeros fueron como la variable independiente, y las otras tres variables dependían del valor de la variable caballeros; es decir esposa, profesión y afición dependía del caballero.

75

Ana, } Práctica 4. Mercedes quería pasar siete días en su casa, deseaba visitar a sus amigas resolver asuntos pendientes en su ciudad natal. Al llegar encontró a sus amigas Corina, Gloria, Juanita, Luisa y Marlene, quienes le habían programado varias actividades Mercedes quería ir a comer con ellas el primer día donde acostumbraban reunirse cuando salían de la escuela. Después de esta reunión cada amiga tenía un día disponible para pasarlo con Mercedes y acompañarla a uno de los siguientes eventos: un partido de fútbol, un concierto, el teatro, el museo, el cine e ir de compras. Con base en la siguiente información encuentre quién invitó a Mercedes y qué actividad realizó cada día. 1) Ana, la amiga que visitó el museo y la que salió con Mercedes un día después de ir al

cine el lunes, tienen las tres el cabello amarillo. 2) Gloria, quien la acompañó al concierto y la dama que pasó el lunes con Mercedes, tienen

las tres el pelo negro. 3) El día que Mercedes pasó con Corina no fue el siguiente al día que correspondió a

Marlene. 4) Las seis salieron con Mercedes en el siguiente orden: Juanita salió con Mercedes un día

después de que ésta fue al cine y cuatro días antes de la visita al museo, Gloria salió con Mercedes un día después de que ésta fue al teatro y el día antes que Marlene invitó a Mercedes

5) Ana y la amiga que invitó a Mercedes a ir de compras tienen el mismo color de cabello Mercedes visitó el teatro dos días después de ir al cine. Ana invitó a Mercedes a salir el miércoles.

o) «n Y 6) Me ^ J A n

Se sugiere usar un formato de tabla como el que se muestra más abajo. Las áreas grises de la izquierda van a ser llenadas con el color del cabello de la amiga que invita a Mercedes. Las áreas de la derecha van a ser llenadas con los lugares a donde cada amiga invitó a Mercedes. En este caso tenemos una exclusión mutua porque cada salió con una amiga y fue a un solo lugar.

Días Color

cabello Amigas I I I I I Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Ana

Corina • I 1 l 1 i Gloria

Juanita I I i J i i _ _ J _ I _ _ I

Luisa 1 I I I 1

Marlene 1 1 1 1 1 1

76

Práctica 5. El señor Pérez asignó a cada uno de sus hijos, incluyendo el de diez años, un trabajo diferente cada día de la semana, de lunes a viernes. Los trabajos se rotaron de modo que cada hijo realizó un trabajo cada día y ningún niño realizó el mismo trabajo dos veces durante la misma semana. Con base en la siguiente información determine la edad de cada niño y el día que realizó cada trabajo. 1) La niña de nueve años barrió el miércoles. 2) Delia lavó los platos el mismo día que Juan limpió el piso. 3) María barrió un día después que Miguel y el día antes que Delia. 4) El hijo de catorce años dio de comer al gato el martes. 5) Juan sacudió el miércoles. 6) María tiene trece años. 7) Uno de los hijos, Miguel o Delia, dio de comer al gato el viernes; el otro lo hizo el jueves. 8) La hija de doce años limpió el piso el lunes. 9) Julia dio de comer al gato el día siguiente al que lavó los platos y el día antes que

sacudió. 10) María lavó los platos el jueves.

Delia limpió el piso el martes. V i l )

Se sugiere usar un formato de tabla como el que se muestra más abajo. Las áreas grises de la izquierda van a ser llenadas con la edad del chico. Las áreas grises de la derecha van a ser llenadas con las actividades que le corresponde hacer a cada chico cada día. En este caso no tenemos una exclusión mutua, solo tenemos completado cuando solo falta una actividad.

Días

Nombre Edad del niño Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Delia z z t z z IZZ María

1 Juan

Julia

Miguel I

77

Cierre

¿Qué logramos en esta lección?

¿Qué tipos de problemas resolvimos en la lección?

¿En qué se parecen y en qué se diferencian los problemas que resolvimos?

¿Qué logramos con el estudio de esta unidad?

¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado con esta unidad?

78

U N I D A D I V : P R O B L E M A S R E L A T I V O S A E V E N T O S D I N Á M I C O S


En los casos estudiados hemos trabajado con problemas referidos a situaciones estáticas, que no cambiaban con el tiempo. En esta lección trabajaremos con situaciones dinámicas, objetos que se mueven, situaciones que toman diferentes valores y configuraciones, intercambios de dinero u objetos, etc.

En la solución de problemas estáticos nos bastó con utilizar estrategias en las cuales se incluyen representaciones entre los datos; por ejemplo en el caso de las estaturas de diferentes personas; los datos se referían a valores determinados que no cambiaban con el tiempo. En los problemas que involucran situaciones dinámicas se requieren estrategias que incluyan diagramas para que reflejen los cambios en las situaciones del problema; dichos diagramas muestran intercambios, flujos, simulaciones, etc. La estrategia consiste en ir representando los cambios o las situaciones que van ocurriendo, o sea, los diferentes estados del problema, con el propósito de facilitar la descripción de lo que está sucediendo en cada momento.

El análisis del dibujo o diagrama permite visualizar el cambio y comprender mejor lo que se plantea en el problema, facilitando de esta manera la obtención de la respuesta. La simulación del cambio, también llamada ejecución simulada del cambio, consiste en reproducir las situaciones o los fenómenos que van ocurriendo; dicha simulación puede ser concreta o abstracta.

La simulación concreta consiste en la sustitución del objeto real por un objeto que lo represente, el cual se mueve como lo haría el objeto real, dicho movimiento muestra la evolución del objeto o de la situación que se describe en el problema; es una imitación directa del cambio y de las acciones o fenómenos que ocurren. Esta simulación también se denomina puesta en acción. Es la vía más sencilla para visualizar la situación, pero requiere de un gran esfuerzo para su realización. Los niveles que siguen reportan mayores beneficios con un esfuerzo menor.

El segundo tipo es la simulación abstracta, la cual requiere imaginarse el movimiento del objeto, tal como se describe en el enunciado del problema, sin objetivar las acciones mediante el uso de acciones concretas. Lo único que se requiere es visualizar el movimiento o acción mediante una representación gráfica, un dibujo o un diagrama. En este segundo tipo de simulación pueden distinguirse tres niveles de abstracción crecientes; el primer nivel consiste en sustituir el objeto real por un dibujo del objeto o su representación; el segundo nivel, consiste en la sustitución del objeto por imágenes y relaciones, o sea por diagramas de flujo y el tercer y último nivel de simulación abstracta que se logra mediante el uso de relaciones y de fórmulas matemáticas. Cada nivel de representación, desde el concreto hasta el abstracto, corresponde a un nivel de abstracción de la mente cada vez más elevado.

El diagrama de flujo es un tipo de simulación abstracta del segundo nivel que permite representar la secuencia de pasos o etapas de una situación cambiante y de los estados que ésta genera, de acuerdo a las condiciones que describen el cambio.

Representación concreta o por puesta en acción

l Representación mediante

dibujos y gráficas


diagramas de flujo


relaciones y fórmulas matemáticas

79

Lo dicho nos permite elaborar una secuencia de niveles de abstracción de la mente asociada al desarrollo de las habilidades para resolver problemas, y al éxito de los alumnos para lograr dicho desarrollo. Es más, podemos afirmar que si se desea que se adquiera el nivel de pensamiento abstracto basado en relaciones y fórmulas matemáticas, es necesario haber desarrollado cada uno de los niveles previos.

La práctica gradual de las estrategias de representación propuesta en este curso son clave para el desarrollo de las habilidades para resolver problemas.

OBJETIVOS

A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de: 1. Analizar problemas sobre situaciones dinámicas mediante el uso de estrategias de

ejecución simulada. 2. Utilizar diferentes tipos y niveles de estrategias de simulación. 3. Valorar la importancia de la simulación para facilitar la comprensión y la resolución de

problemas. 4. Comprender la estrategia medios-fines y la elaboración del diagrama "espacio del

problema".

80

LECCIÓN 8 P R O B L E M A S DE S IMULACIÓN CONCRETA Y A B S T R A C T A

Introducción ¿Sobre qué trató la primera unidad de este libro?

¿Sobre qué trataron la segunda y tercera unidad de este libro?

¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior?

¿Qué tiene en común todas los tipos de estrategias que vimos en la unidad anterior?

¿En qué consiste la estrategia de postergación en la solución de un problema?


Hasta ahora el tiempo no había jugado ningún papel en todos los problemas que hemos estudiado; a este tipo de evento o situación se les denomina estática. Ahora vamos a encontrarnos con situaciones que cambian en el tiempo, las cuales llamaremos dinámicas.

Para entender mejor un fenómeno cambiante podemos ubicarnos en un plano real, y podemos reproducir de manera directa el evento o situación. Esto se denomina simulación concreta. Ahora, también podemos apelar a nuestra memoria, a diagramas y a representaciones simbólicas del fenómeno estudiado; esta segunda alternativa generalmente requiere de un esfuerzo menor y da lugar a lo que llamamos una simulación abstracta.

Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.

Ejercicio 1. La casa de Pedro está ubicada en una calle que tiene dirección norte-sur y tiene 10 metros de ancho la calle. Pedro sale de su casa y camina 30 metros al norte, dobla a la derecha y camina 40 metros, dobla de nuevo a la derecha y camina 10 metros; una vez más dobla a derecha y camina 30 metros. Finalmente, dobla a la izquierda y camina 20 metros. ¿Dónde se encuentra Pedro?

Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lo tanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos observar que la posición de Pedro va cambiando a medida que transcurre el tiempo, o sea, que estamos ante un problema dinámico.

Las variables involucradas son dirección de recorrido y distancia recorrida, pero va tomando valores diferentes a medida que pasa el tiempo.

81

I I I I I I

I Casa de

Pedro calle

10 m

A Norte

ur

30 m

Casa de Pedro calle

A Norte

^ S u r 10 m

Podríamos reproducir o simular el recorrido, pero tendríamos que tener un patio muy grande. Eso sería una representación concreta, pero podemos optar por una representación mediante dibujos y gráficas. Para esto hagamos un diagrama que nos permita visualizar el problema.

A la izquierda tenemos un diagrama que nos sirve para representar la situación que plantea el problema. Está la casa de Pedro, frete a una calle de 10 m de ancho y que tiene una orientación norte-sur.

Con este diagrama como guía podemos iniciar la lectura del problema parte por parte para ir representando los cambios que se describen en el enunciado del problema. Es decir, iniciamos la aplicación de la estrategia particular para la solución de este tipo de problemas.

En el diagrama siguiente representamos el inicio del recorrido. Pedro se desplaza 30 m en dirección norte. Podemos imaginarnos a Pedro caminando por la dirección norte-sur, con su cara mirando en el sentido norte.

El recorrido se inicia justo frente a su casa y termina a 30 m del punto de partida en el sentido norte. Está representado por la flecha negra con la indicación de 30 m.

Seguimos la lectura del programa parte por parte. Al término del recorrido de los 30 m hacia el norte, Pedro dobla a la derecha y recorre 40 m. esto está indicado con la flecha negra que sigue. Ahora Pedro se desplaza en la dirección este-oeste con sentido al este. Luego dobla de nuevo a la derecha, y recorre 10 metros, lo cual está indicado con la tercera flecha. Ahora regresa a la dirección norte-sur, pero ahora con sentido sur. Al término de los 10 metros, dobla de nuevo a su derecha y se desplaza 30 m. Regresa a la dirección este-oeste con sentido oeste. Y finalmente dobla a su izquierda y recorre 20 m, lo cual está representado con la quinta flecha.

Hemos completado de vaciar la información del enunciado del problema. Como resultado de haber usado el diagrama, ahora podemos visualizar el recorrido completo que siguió Pedro.

Por inspección del diagrama, se contesta la pregunta acerca de la ubicación de Pedro. Está a 10 m al este de la puerta de salida de su casa; también podemos contestar que está en la acera de enfrente (cruzando la calle), justo frente a la puerta de su casa. La primera respuesta es precisa ubicando la posición de Pedro, la segunda es informal, en un lenguaje coloquial.

Usando el diagrama podemos verificar la exactitud de cada uno de los pasos, y del resultado final de una manera sencilla. Una vez que verificamos, concluimos el problema.

Hemos resuelto el problema usando una nueva estrategia que denominamos simulación. Si la hacemos recorriendo físicamente lo planteado en el problema, la llamamos simulación concreta.

30 m

40 m

10 m

30 m

20 m

A Norte

Casa de Pedro . c a | |

I c a ^

10 m ur

82

Si la hacemos, como fue el caso, usando un diagrama con una representación simbólica de las diferentes acciones que plantea el problema, la llamamos simulación abstracta. Estas son las estrategias básicas para la solución de problemas dinámicos.

Situación dinámica

Una situación dinámica es un evento o suceso que experimenta cambios a medida que transcurre el tiempo. Por ejemplo: el movimiento de un auto que se desplaza de un lugar A a un lugar B; el intercambio de dinero y objetos de una persona que compra y vende mercancía, etc.

Simulación concreta

La s imulación concreta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en una reproducción física directa de las acciones que se proponen en el enunciado. También se le conoce con el nombre de puesta en acción.

Simulación abstracta

La s imulación abstracta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en la elaboración de gráficos, diagramas y representaciones simbólicas que permiten visualizar las acciones que se proponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción física directa.


(Práctica 1: Una persona camina por la calle Carabobo, paralela a la calle Pichincha; continúa caminando por la calle Chacabuco que es perpendicular a la Pichincha. ¿Está la persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo?




Representación:

Respuesta:

83

Práctica 2: Un conductor emprende el ascenso de una pendiente muy inclinada que además está resbaladiza por las intensas lluvias en la región y que tiene una longitud de 35 metros. Avanza en impulsos de 10 metros pero antes de iniciar el próximo impulso se desliza hacia atrás 2 metros antes de lograr el agarre en la vía. ¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la parte plana de la vía?




Representación:

Respuesta:

Práctica 3: Hay cinco cajas de gaseosas en un lugar y tienen que llevarse a diferentes sitios como sigue: la primera a 10 m de distancia del origen, la segunda a 20 m, la tercera a 30 m, y así sucesivamente hasta colocarlas siempre a 10 m de la anterior. En cada movimiento la persona sale del origen, lleva la caja al lugar que corresponde y regresa al lugar de origen. Este proceso se repite hasta mover todas las cajas y regresar al punto de origen. Si solo se puede llevar una caja en cada intento, ¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?




84

Representación:

Respuesta:

[Práctica 4: Un buque petrolero de 200 m de eslora avanza lentamente a 200 m por minuto para pasar un canal que tiene 200 metros de longitud. ¿Cuánto tiempo se demora el buque desde el instante que inicia su entrada al canal hasta el instante en que sale completamente de éste?




Representación:

Respuesta:

85

Representación mental de un problema La elaboración de diagramas o gráficas ayuda a entender lo que se plantea en el enunciado y a la visualización de la situación. El resultado de esta visualización del problema es lo que se llama la representación mental de éste. Esta representación es indispensable para lograr la solución del problema.

Cierre ¿Qué estudiamos en esta lección?

¿Qué es un problema dinámico?

¿Qué estrategias utilizamos para resolver los problemas?

¿En qué consiste la simulación concreta?

¿A qué se refiere la simulación abstracta?

¿Por qué es importante elaborar esos esquemas o diagramas en la solución de estos problemas?

86

LECCIÓN 9 P R O B L E M A S CON D I A G R A M A S DE FLUJO Y DE INTERCAMBIO

Introducción ¿Qué estudiamos en la lección anterior?

¿Por qué se llaman dinámicos los problemas de esta unidad?

¿Cuál estrategia hemos estudiado para comprender y resolver estos problemas?


La simulación concreta o abstracta permite representar o reconstruir fenómenos que se producen al transcurrir del tiempo. El tipo de problema estudiado se caracteriza por una evolución temporal con un inicio y un final. Otro tipo de problema que depende del tiempo son los de flujo o intercambio. En este caso se identifica una variable y se ve cómo va cambiando su valor mediante acciones repetitivas que se lo incrementan o disminuyen. Por ejemplo, la variable caudal en el caso de un rio. Con cada afluente el caudal del rio se va incrementando, y con cada toma de agua (para riego o consumo) el caudal del rio se va disminuyendo. Problemas de características similares al del caudal del rio son muy frecuentes en la vida cotidiana. Por tal razón planteamos una estrategia de solución de este tipo de problemas dinámicos.

Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.

Ejercicio 1. El rio Verde tiene un caudal de 150 m 3/s (metros cúbicos por segundo) al pasar por la ciudad Tejo. 5 Km aguas abajo de Tejo le desemboca el afluente Rio Azul de 22 m 3/s y 7,5 Km más adelante queda la toma para el acueducto de Pueblo Nuevo que consume 10 m 3/s, ubicado 2,5 Km antes de Pueblo Nuevo. 2,5 Km aguas abajo de Pueblo Nuevo está la toma del sistema de riego del valle Turbio que demanda 37 m 3/s y 10 Km más adelante le desemboca el Rio Blanco de 55 m 3/s. 5 Km más abajo el rio pasa por Caicara donde el acueducto consume 15 m 3/s ¿Cuál es el caudal del rio Verde después de Caicara? ¿Cuánto es la disminución del caudal por conceptos de tomas de acueducto y riegos entre Tejo y Caicara? ¿Cuál es la longitud del recorrido del rio entre Tejo y Caicara?

Tenemos un enunciado que da información y plantea interrogantes. Por lo tanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos observar que el punto de partida es la ciudad de Tejo. Luego vienen las ciudades Pueblo Nuevo y Caicara. A lo largo de este recorrido tiene varios afluentes y tomas de agua.

Si quisiéramos simular este problema deberíamos hacer un tránsito desde Tejo hasta Caicara. Sin embargo, ese tránsito es muy similar al enunciado del problema y no nos aporta mucha ayuda para resolver el problema. En este caso el problema gira alrededor del caudal del Rio

87

Verde, y de sus cambios por los efectos de los afluentes y tomas. Podemos representar esta situación con un esquema como el que sigue:

T . Pueblo „ . Tejo K 1 Caicara 1 Nuevo

En el gráfico se representan los hechos. El Río Verde con la flecha amarilla que apunta en la dirección que fluye el rio. Se muestran las ciudades de Tejo, Pueblo Nuevo y Caicara, y se indica el caudal del rio en Tejo. Con este diagrama podemos iniciar la lectura de la información que aporta el enunciado del problema. Nos habla del afluente Rio Azul a 5Km con caudal 22 m 3/s, de la toma para el acueducto de Pueblo Nuevo a 7,5 Km que consume 10 m 3/s, 2,5 Km antes de llegar a Pueblo Nuevo.

Tejo

150

5 Km

Rio Azul

I 2 2

Pueblo Nuevo Caicara

m 3/s 7,5 Km

2,5 Km

X10 V / s

O

Continuando la lectura podemos vaciar la información del enunciado del problema en el gráfico y obtenemos el siguiente diagrama:

m /s

5 Km

Rio Azul I 22

m 3/s 7,5 Km

Pueblo Nuevo

2,5 2,5 Km^_^Km

'm 3 / s

Acueducto

37 m 3/s

Toma

10 Km

Rio Blanco 55

m 3/s

Caicara

5 Km

•m3/= r m°/s

Acueducto

Con este esquema podemos abordar las respuestas a las interrogantes que nos plantea el problema. La primera, ¿Cuál es el caudal del rio Verde después de Caicara? Para calcular el caudal después de Caicara partimos del caudal en Tejo, le sumamos el total de todos los afluentes, y le restamos el total de todas las tomas. Esto nos da:

150 m 3/s + (22 m 3/s + 55 m 3/s) - (10 m 3/s + 37 m 3/s + 15 m3/s) =

150 m 3/s + 77 m 3/s - 62 m 3/s = 165 m 3/s

¿Cuánto es la disminución del caudal por conceptos de tomas de acueducto y riegos entre Tejo y Caicara? Es la suma de todas las tomas de agua:

10 m 3/s + 37 m 3/s + 15 m 3/s = 62 m 3/s

¿Cuál es la longitud del recorrido del rio entre Tejo y Caicara? A partir del gráfico, por inspección nos da:

5 Km + 7,5 Km + 2,5 Km + 2,5 Km + 10 Km + 5Km = 32,5 Km

88

También podríamos haberlo hecho construyendo una tabla que no da varios resultados a medida que la vamos construyendo.

Localización pHHHHHHHHHn

Distancia al punto previo

Distancia Variación de acumulada caudal

Caudal acumulado

Tejo 0 Km 0 Km 0 m 3 /s 150 m 3 /s

Desembocadura del Rio Verde 5 Km 5 Km +22 m 3 /s 172 m 3 /s

Toma acueducto Pueblo Nuevo 7,5 Km 12,5 Km -10 m 3 /s 162 m 3 /s

Pueblo Nuevo 2,5 Km 15 Km 0 m 3 /s 162 m 3 /s

Toma riego del valle Turbio 2,5 Km 17,5 Km -37 m 3 /s 125 m 3 /s

Desembocadura del Rio Blanco 10 Km 27,5 Km +55 m 3 /s 180 m 3 /s

Toma acueducto Caicara 5 Km 32,5 Km -15 m 3 /s 165 m 3 /s

Caicara 0 Km 32,5 Km 0 m 3 /s 165 m 3 /s

A partir de la tabla podemos obtener todos los valores que habíamos calculado antes, pero ahora, también podemos obtener respuesta a otras interrogantes, por simple inspección, como por ejemplo, ¿cuál es el caudal del Rio Verde en Pueblo Nuevo? La respuesta es 162 m 3/s.

La elaboración del esquema anterior constituye una estrategia particular para resolver este tipo de problemas donde se tienen flujos o intercambios. Esta estrategia se llama de Diagrama de Flujo.

Estrategia de Diagramas de Flujo

Esta es una estrategia que se basa en la construcción de un esquema o diagrama que permite mostrar los cambios en la característica de una variable (incrementos o decrementos) que ocurren en función del tiempo de manera secuencial. Este diagrama generalmente se acompaña con una tabla que resume el flujo de la variable.

En el ejercicio trabajado anteriormente la variable que se muestra es el caudal del rio. Los cambios son originados por los afluentes (aumentos) y las tomas de agua (decrementos).

Práctica 1: Un bus inicia su recorrido sin pasajeros. En la primera parada se suben 25; en la siguiente parada bajan 3 y suben 8; en la otra no se baja nadie y suben 4; en la próxima se bajan 15 y suben 5; luego bajan 8 y se sube 1, y en la última parada no sube nadie y se bajan todos. ¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas quedan en el bus después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizó el bus?


89


Representación:

Completa la siguiente tabla:

Parada Pasajeros antes de parada

# pasajeros que suben

# pasajeros que bajan

Pasajeros después de parada

Respuesta:

Práctica 2: Juan decidió abrir en enero una pequeña tienda de artículos deportivos. Para esto, en el mes de enero tuvo considerables gastos para el equipamiento y compra de artículos para la tienda; invirtió 12.000 Um y solo tuvo 1.900 Um en ingresos producto de las primeras ventas. El mes siguiente aún debió gastar 4.800 Um en operación pero sus ingresos subieron a 3.950 Um. El próximo mes se celebró un torneo de fútbol en la ciudad y las ventas subieron considerablemente a 9.550 Um, mientras que los gastos fueron de 2.950 Um. Luego vino un mes tranquilo en el cual el gasto estuvo en 3.800 Um y las ventas en 3.500 Um. El mes siguiente también fue lento por los feriados y Juan gasto 2.800 Um y genero ventas por 2.500 Um. Para finalizar el semestre, el negocio estuvo muy activo por los equipamientos para los cursos de verano; gastó 7.600 Um y vendió 12.900 Um. ¿Cuál fue el saldo de ingresos y egresos de la tienda de Juan al final del semestre? ¿En qué meses Juan tuvo mayores ingresos que egresos?



90


Representación:


Parada Pasajeros antes

de parada # pasajeros que

suben # pasajeros que

bajan Pasajeros después

de parada

Respuesta:

Práctica 2: Juan decidió abrir en enero una pequeña tienda de artículos deportivos. Para esto, en el mes de enero tuvo considerables gastos para el equipamiento y compra de artículos para la tienda; invirtió 12.000 Um y solo tuvo 1.900 Um en ingresos producto de las primeras ventas. El mes siguiente aún debió gastar 4.800 Um en operación pero sus ingresos subieron a 3.950 Um. El próximo mes se celebró un torneo de fútbol en la ciudad y las ventas subieron considerablemente a 9.550 Um, mientras que los gastos fueron de 2.950 Um. Luego vino un mes tranquilo en el cual el gasto estuvo en 3.800 Um y las ventas en 3.500 Um. El mes siguiente también fue lento por los feriados y Juan gasto 2.800 Um y genero ventas por 2.500 Um. Para finalizar el semestre, el negocio estuvo muy activo por los equipamientos para los cursos de verano; gastó 7.600 Um y vendió 12.900 Um. ¿Cuál fue el saldo de ingresos y egresos de la tienda de Juan al final del semestre? ¿En qué meses Juan tuvo mayores ingresos que egresos?



90

Representación:


Mes Gastos Ingresos Balance

Totales

Respuesta:

Ejercicio 2: Antonio, Alejandro y Arístides son tres amigos que coleccionan cromos (estampas o barajitas) de jugadores de fútbol. Antonio tenía 50 cromos y compró dos paquetes de 5 cromos cada uno. Alejandro tenía 30 cromos y le dio a Antonio 5 de los cromos que tenía repetidos a cambio de 2 que le faltaban. Arístides comienza su colección con 10 cromos, pero Antonio y Alejandro le regalaron cada uno 5 cromos. Al final del día Arístides compró un paquete de cromos y Antonio vendió a un familiar 20 cromos de sus cromos repetidos. Al final del día, ¿cuántos cromos tienen cada uno?

¿De qué trata el problema? De tres amigos que coleccionan cromos de jugadores de fútbol. Durante el día compran, venden, intercambian y se traspasan cromos entre ellos.

¿Cuál es la pregunta? Determinar el número de cromos que tiene cada uno al final del día.

Las variables son el número de cromos y el tipo de transacción. Los tres amigos no son variables porque están fijos en el proceso.

En este problema tenemos flujo de cromos, pero el flujo no es en una única dirección como en el rio, sino que cambia de acuerdo con el tipo de transacción y los amigos participantes.

91

¿Qué podemos hacer? Tratemos un diagrama donde representamos todos los participantes indicando el número de cromos que tenía a comienzos del día. También representamos la primera transacción que es de Antonio. La compra de 10 cromos la podemos representar con una flecha sólida que apunta en la dirección donde quedan los cromos al final de la transacción. Por tal razón la flecha la trazamos apuntando hacia Antonio que es donde quedan los cromos.

_ Antonio Compra

O 50

Arístides 10 30

Alejandro

En la próxima figura seguimos representando otras transacciones usando nuestra convención del sentido de las flechas. Cambiamos el tipo de flecha para indicar que son transacciones de diferente tipo. El intercambio entre Alejandro y Antonio lo representamos con las flechas curvas de dos direcciones, y los regalos de Antonio y Alejandro de 5 cromos a Arístides los representamos con flechas segmentadas.

10 Arístides

Regala 40 _5 C Alejandro

Finalmente, representamos las dos últimas transacciones: la compra de 5 cromos por parte de Arístides con flecha sólida (igual que la compra inicial de Antonio), y la venta de 10 cromos de Antonio para la cual usamos la flecha punteada.

Antonio V e n d e

* 20

Arístides Alejandro

Ya hemos completado el diagrama correspondiente al enunciado del problema. Ahora continuamos la estrategia interpretando el gráfico para obtener la respuesta a las interrogantes planteadas en el problema. Debemos recordar nuestra convención: si la flecha entra a una persona es por esa persona recibe cromos; y por el contrario, si sale es que pierde cromos. Centrémonos ahora en una persona determinada, por ejemplo, Antonio. Del gráfico vemos que

92

tenía 50 cromos, recibe 10 y 5 cromos por las dos flechas que apuntan hacia él, y pierde 20, 2 y 5 cromos por las dos flechas que salen de él. 50 más las 15 que nos da 65 cromos, y si a este número le restamos los 25 cromos que pierde, a Antonio le quedan 40 cromos. Debemos ahora repetir algo similar para los otros dos amigos, y de esta manera, contestar la interrogante del problema. Sin embargo esto podemos hacerlo de manera muy sencilla con una tabla como en el caso de los problemas anteriores.

Amigo Cantidad inicial j Recibe Pierde Cantidad

final |

Antonio 50 10 + 5 20 + 2 + 5 38

Alejandro 30 2 5 + 5 22

Arístides 10 5 + 5 + 5 0 25 Arístides 5 + 5 + 5

Esta tabla nos permite identificar la respuesta a la interrogante del problema.

Respuesta:

Al final del día Antonio tiene 38, Alejandro tiene 22 y Arístides 25

A partir de la tabla podemos hacer otras operaciones. Por ejemplo, inicialmente tenían entre todos 90 cromos, y al final tenían 85 cromos. Esto se debe a que, a pesar de que el grupo adquirió 15 cromos, Antonio vendió 20, así que el grupo tuvo una pérdida neta de 5 cromos.

Práctica 3: Cuatro amigos deciden hacer una donación de sus ahorros, pero antes arreglan sus cuentas. Antonio, por una parte, recibe 5.000 Um de un premio y 1.000 Um por el pago de un préstamo hecho a José y, por otra parte, le paga a Luisa 2.000 Um que le debía. Ana ayuda a Luisa con 1.000 Um. La madre de José le envió 10.000 Um y éste aprovecha para cancelar las deudas de 2.000 Um a Luisa, 3.000 Um a Ana y 1.000 Um a Antonio. Cada uno de los niños decidió donar el 10% de su haber neto para una obra de caridad. ¿Cuánto dona cada niño?



Representación:

93

Usa la siguiente tabla:

Amigo Entrante Saliente Balance Donación

Respuesta:

Práctica 4. El señor Miguel desea ir de Coto a Aricagua y regresar por bus. No existe un bus directo entre ambas ciudades. Los recorridos de los buses son los siguientes: Recorrido 1: Sabima - Coto - Moran - Simeto. Recorrido 2: Coto - Sabima - Simeto - Moran - Aroa. Recorrido 3: Sabima - Simeto - San Pedro - Moran - Aroa - Sabima. Recorrido 4: Simeto - Moran - San Pedro - Aricagua - Simeto. El viaje del bus se realiza solamente en el sentido indicado por los recorridos. No necesariamente tiene que haber un viaje de ida y regreso entre dos ciudades cualesquiera. Utilizando el mapa que se da a continuación, encuentra la ruta que tenga menos escalas para ir de Coto a Aricagua, indicando las ciudades escalas y número de los recorridos usados. Encuentra la ruta de regreso indicando escalas y número de los recorridos.

Moran San Pedro

Coto Aroa Aricagua

Sabima

Simeto

Respuesta:

Para la ida de Coto - Aricagua:

Para el retorno de Aricagua - Coto:

94

Práctica 5: A Josefina le encanta salir con Gerardo y con Manuel. A Gerardo le gustan Verónica y Mercedes. A Mercedes le gustan Gerardo y Rafael. A Verónica le gusta solo Rafael. A Rafael le gustan las tres muchachas y a Manuel le agradan dos jóvenes, Josefina y Verónica. ¿Cómo se podrían formar tres parejas que se gusten?



Representación:

Respuesta:

Cierre

¿Qué aprendimos en esta lección?

¿Qué características tienen estos problemas?

¿En qué consisten estas relaciones?

¿Cómo hicimos para estudiar este nuevo tema durante la lección?

95

LECCIÓN 10 P R O B L E M A S DINÁMICOS. ESTRATEGIA MEDIOS-FINES

Introducción En las dos lecciones anteriores de esta Unidad estudiamos la simulación concreta y abstracta, y trabajamos un tipo de simulación abstracta particular que se llama "diagrama de flujos". El nivel de representación mediante relaciones y fórmulas matemáticas corresponde al más elevado en términos del grado de abstracción. Una visión detallada de este nivel escapa del objetivo de este curso, sin embargo, consideramos importante presentar los fundamentos de este nivel de abstracción.

Recordemos el ejercicio 2 de la lección anterior. Los tres amigos Antonio, Alejandro y Arístides coleccionan cromos. Inicialmente tenían un cierto número de cromos cada uno; se ejerce una acción específica que es la compra de dos paquetes de 5 cromos cada uno por parte de Antonio. Después de ejecutar la acción hay un cambio en el número de cromos que tiene Antonio. Vamos a construir una tabla donde se indique la cantidad de cromos que tiene cada uno de los amigos al inicio, después de cada transacción y al final.

#de fila Número y tipo de transacción Cromos de #de fila Número y tipo de transacción

Antonio Alejandro Arístides 1 Cromos al inicio del día 50 30 10

2 Primero transacción, compra de 10 cromos por Antonio. 60 30 10

3 Segunda transacción, intercambio de cromos: Alejandro da 5 cromos a Antonio y recibe 2 de Antonio.

es 27 10

4 Tercera transacción, regalo de 5 cromos de Antonio y 5 de Alejandro a Arístides.

58 22 20

5 Cuarta transacción, compra de 5 cromos por Arístides. 58 22 25

6 Quinta transacción, venta de 20 cromos por Antonio a una persona extema.

38 22 25

7 Cromos al final del día _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J

38 22 25

Los tres amigos con sus cromos definen el límite de interés de este problema. Para distinguirlo del resto del mundo llamamos estos elementos "sistema". El sistema sirve para definir el ámbito al que se circunscribe o que contiene el problema o situación de interés.

Las tres columnas de la derecha en cada fila representan como está la situación del número de cromos de cada amigo. En la fila 1 hay una situación. En la fila 2 hay una nueva situación diferente a la anterior, y así, se repiten estas situaciones hasta la fila 7. A esta situación le damos el nombre de "estado". A la fila 1 la llamaos estado inicial, a la fila 7 estado final, y a las demás filas estados intermedios. Cada estado está definido por las características de las variables de interés en el sistema. En este caso particular hay solo una variable de interés, el número de cromos de cada uno de los tres amigos. Si Antonio está en su casa o en la calle, sentado o parado, nos tiene sin cuidado. Podemos afirmar que esa variable permite describir íntegramente el estado del sistema.

96

FORMuLACION ESTRATEGICA

Education

Transcript of FORMuLACION ESTRATEGICA