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ÍndiceÍndice..........................................................................................................................1

Introducción...............................................................................................................2

2.1 Teoría del método Simplex..................................................................................3

2.2 Forma tabular del método Simplex......................................................................4

Ejemplo parte 1!" método Simplex........................................................................#

2.3 El método de la$ do$ %a$e$...............................................................................14

2.4 &a$o$ e$peciale$...............................................................................................1'

2.( )$o de $o%t*are.................................................................................................24

2.+ &,-&)SI/-...................................................................................................2+

2.# 0I0I,FÍ..................................................................................................2+

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IntroducciónEl método alebraico e$ mu5 di$pendio$o6 en ra7ón a 8ue trabaja con todo$ lo$dato$ de la$ ecuacione$6 para mejorar é$te a$pecto $e creó el método $implex

cu5a ran 9irtud e$ $u $encille76 método mu5 pr:ctico6 5a 8ue $olo trabaja con lo$coe%iciente$ de la %unción objeti9o 5 de la$ re$triccione$. a$ rela$ de deci$iónpara determinar la 9ariable 8ue entra6 la 8ue $ale6 la ran ;6 5 cómo determinar 8ue e$tamo$ en el óptimo< Toda$ é$ta$ rela$ de deci$ión %ueron deducida$ delmétodo alebraico6 $olamente 8ue a8uí $e =an acomodado para $er u$ada$ en eltipo de tablero $implex 8ue $e u$ar:.

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2.1 Teoría del método Simplex.)n aloritmo e$ un proce$o en el 8ue $e repite un procedimiento $i$tem:tico =a$taobtener el re$ultado de$eado.

El método $implex también e$ un procedimiento alebraico en el 8ue cadaiteración contiene la $olución de un $i$tema de ecuacione$ para obtener unanue9a $olución a la 8ue $e le aplica la prueba de optimidad.

&omo pa$o inicial el método $implex nece$ita 8ue cada una dela$ re$triccione$e$tén en una %orma e$t:ndar expre$ada$ como ecuacione$ mediante la $uma de9ariable$ de =olura o la re$ta de 9ariable$ de excedente6 $e>n $ea el ca$o.

E$te tipo de con9er$ión conduce normalmente a un conjunto de ecuacione$$imult:nea$ donde el n>mero de 9ariable$ excede al n>mero de ecuacione$6 lo8ue eneralmente $ini%ica 8ue la$ ecuacione$ proporcionan un n>mero in%inito depunto$ de $olución. o$ punto$ extremo$ de e$te e$pacio pueden identi%icar$ealebraicamente por medio de la$ $olucione$ b:$ica$ del $i$tema de ecuacione$$imult:nea$.

?e acuerdo con la teoría del :lebra lineal6 una $olución b:$ica $e obtieneiualando a @ la$ 9ariable$ nece$aria$ con el %in de iualar el n>mero total de9ariable$ al n>mero total de ecuacione$6 para 8ue la $olución $ea >nica 5 lueore$ol9er el $i$tema con la$ 9ariable$ re$tante$.

ALGORITMO

1. Expre$e en %orma e$t:ndar el problema lineal.2. Elija una $olución b:$ica %actible inicial6 e$to in9olucra 2 pa$o$"

a! Si toda$ la$ re$triccione$ en el problema oriinal $on del tipo ≤   6

la$ 9ariable$ de =olura $e utili7an como una $olución de inicio.b! Si la$ re$triccione$ en el problema oriinal inclu5en re$triccione$ del

tipo ≥ó=¿  $e utili7a la técnica de la multa o la técnica de 2 pa$o$.

E$ta$ técnica$ $e utili7an para proporcionar una $olución de inicio6 utili7ando la$9ariable$ arti%iciale$ 5Ao de =olura.

3. enere nue9a$ $olucione$ b:$ica$ %actible$ utili7ando la$ condicione$ deoptimidad 5 %actibilidad6 =a$ta 8ue $e obtena la $olución óptima.

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CONDICIÓN DE OPTIMIDADa 9ariable entrante en un problema de maximi7ación e$ la 9ariable nob:$ica con el coe%iciente m:$ neati9o 5 para una minimi7ación6 la 9ariablecon el coe%iciente m:$ rande o m:$ po$iti9o en la ecuación de la %unciónobjeti9o.

)n empate $e rompe arbitrariamente6 el óptimo $e alcan7a cuando todo$lo$ coe%iciente$ en la %unción objeti9o $on @B$ 5 po$iti9o$ para el problemade maximi7ación 5 @B$ 5 neati9o$ para el problema de minimi7ación.

CONDICIÓN DE FACTIBILIDADTanto en problema$ de maximi7ación como de minimi7ación la 9ariable$aliente6 e$ la 9ariable b:$ica actual con el menor cociente po$iti9o 8uere$ulta al di9idir el lado derec=o entre lo$ re$pecti9o$ de la columna pi9ote$eleccionada por la 9ariable entrante!.

2.2 Forma tabular del métodoSimplex.Construcción de la priera ta!la"

a$ columna$ de la tabla e$t:n di$pue$ta$ de la $iuiente %orma" la primeracolumna de la tabla contiene la$ 9ariable$ 8ue $e encuentran en la ba$e o9ariable$ b:$ica$!6 e$to e$6 a8uella$ 8ue toman 9alor para proporcionar una$olución< la $eunda columna recoe lo$ coe%iciente$ 8ue dic=a$ 9ariable$ b:$ica$

tienen en la %unción objeti9o e$ta columna e$ llamada &b!< la tercera mue$tra eltérmino independiente de cada re$tricción C@!< a partir de é$ta aparece unacolumna por cada una de la$ 9ariable$ de deci$ión 5 =olura pre$ente$ en la%unción objeti9o Cj!. Cara tener una 9i$ión m:$ clara de la tabla6 $e inclu5e una %ila8ue contiene lo$ título$ de cada una de la$ columna$.

Sobre e$ta tabla $e arean do$ nue9a$ %ila$" una de ella$6 8ue lidera la tabla6donde aparecen lo$ coe%iciente$ de la$ 9ariable$ de la %unción objeti9o6 5 una>ltima %ila 8ue recoe el 9alor la %unción objeti9o 5 lo$ co$te$ reducido$ Dj &j.

o$ co$te$ reducido$ mue$tran la po$ibilidad de mejora en la $olución D@. Cor e$te

moti9o también $on llamado$ 9alore$ indicadore$.

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Se mue$tra a continuación el a$pecto eneral de la tabla del método Simplex"

Ta!la

  &1 &2 ... &n

Base C! P# P$ P% &&& Pn

C1 &b1 b1 a11 a12 ... a1n

C2 &b2 b2 a21 a22 ... a2n

... ... ... ... ... ... ...

Cm &bm bm am1 am2 ... amn

'   D@ D1&1 D2&2 ... Dn&n

• Todo$ lo$ 9alore$ incluido$ en la tabla 9endr:n dado$ por el modelo delproblema $al9o lo$ 9alore$ de la %ila D o %ila indicadora!. E$to$ $e obtienen de la$iuiente %orma" Dj G&biHCj! para i 1..m6 donde $i j @6 C@ bi 5 &@ @6 5 enca$o contrario Cj aij.

• Se ob$er9a6 al reali7ar el método Simplex6 8ue en e$ta primera tablaocupan la ba$e toda$ la$ 9ariable$ de =olura 5 por ello todo$ lo$ coe%iciente$ dela$ 9ariable$ de =olura $on @ en la %unción objeti9o! el 9alor inicial de D e$ cero.

• Cor e$te mi$mo moti9o tampoco e$ nece$ario reali7ar lo$ c:lculo$ de lo$co$te$ reducido$ en la primera tabla6 pudiéndo$e determinar directamente como elcambio de $ino de lo$ coe%iciente$ de cada 9ariable en la %unción objeti9o6 e$toe$6 &j.

• Condición de parada"

Se cumple la condición de parada cuando la %ila indicadora no contienenin>n 9alor neati9o entre lo$ co$te$ reducido$ cuando el objeti9o e$ lamaximi7ación!6 e$to e$6 no exi$te po$ibilidad de mejora.

Si no $e cumple la condición de parada e$ nece$ario reali7ar una iteraciónm:$ del aloritmo6 e$to e$6 determinar la 9ariable 8ue $e 9uel9e b:$ica 5 la8ue deja de $erlo6 encontrar el elemento pi9ote6 actuali7ar lo$ 9alore$ de latabla 5 comprobar $i $e cumple nue9amente la condición de parada.

E$ también po$ible determinar 8ue el problema no $e encuentra acotado 5$u $olución $iempre re$ultar: mejorable. En tal ca$o no e$ nece$ariocontinuar iterando inde%inidamente 5 $e puede %inali7ar el aloritmo. E$ta

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$ituación ocurre cuando en la columna de la 9ariable entrante a la ba$etodo$ lo$ 9alore$ $on neati9o$ o nulo$.

• Elección de la (aria!le )ue entra a la !ase"

&uando una 9ariable $e 9uel9e b:$ica6 e$ decir6 entra en la ba$e6 comien7aa %ormar parte de la $olución. ,b$er9ando lo$ co$te$ reducido$ en la %ila D6$e decide 8ue entra a la ba$e la 9ariable de la columna en la 8ue é$te $eael de menor 9alor o de ma5or 9alor ab$oluto! entre lo$ neati9o$.

• Elección de la (aria!le )ue sale de la !ase"

)na 9e7 obtenida la 9ariable entrante6 $e determina 8ue $ale de la ba$e la9ariable 8ue $e encuentre en a8uella %ila cu5o cociente C@ACj $ea el menor de lo$ e$trictamente po$iti9o$ teniendo en cuenta 8ue e$ta operación $e=ar: >nicamente cuando Cj $ea $uperior a @!.

• Eleento pi(ote"

El elemento pi9ote de la tabla 8ueda marcado por la inter$ección entre lacolumna de la 9ariable entrante 5 la %ila de la 9ariable $aliente.

• Actuali*ación de la ta!la"

a$ %ila$ corre$pondiente$ a la %unción objeti9o 5 a lo$ título$ permanecer:ninalterada$ en la nue9a tabla. El re$to de 9alore$ deber:n calcular$e como$e explica a continuación"

o En la %ila del elemento pi9ote cada nue9o elemento $e calcula como"

Nuevo Elemento Fila Pivote !nterior Elemento Fila Pivote " Pivote.

o En el re$to de la$ %ila$ cada elemento $e calcula"

Nuevo Elemento Fila !nterior Elemento Fila # $!nterior Elemento Filaen %olumna Pivote & Nuevo Elemento Fila Pivote'.

?e e$ta %orma $e con$iue 8ue todo$ lo$ elemento$ de la columna de la9ariable entrante $ean nulo$ $al9o el de la %ila de la 9ariable $aliente cu5o9alor $er: 1. E$ an:loo a utili7ar el método de au$$ordan parare$ol9er $i$tema$ de ecuacione$ lineale$!.

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Ejemplo parte 1!" método Simplexe$ol9er mediante el método $implex el $iuiente problema"

Ma+ii*ar 

( )$x*+' ,x -2+ 

$ujeto a" 2x - + 1/   2x - ,+ 02   ,x - + 20  x J @ 6 5 J @

Se con$ideran la$ $iuiente$ %a$e$"

1. Reali*ar un ca!io de (aria!les , norali*ar el si-no de los t.rinosindependientes&

Se reali7a un cambio en la nomenclatura de la$ 9ariable$. E$tableciéndo$ela corre$pondencia $iuiente"

o x pa$a a $er K1

o 5 pa$a a $er K2

&omo lo$ término$ independiente$ de toda$ la$ re$triccione$ $on po$iti9o$no e$ nece$ario =acer nada. En ca$o contrario =abría 8ue multiplicar por L1L en ambo$ lado$ de la inecuación teniendo en cuenta 8ue e$ta operacióntambién a%ecta al tipo de re$tricción!.

Norali*ar las restricciones&

Se con9ierten la$ inecuacione$ en ecuacione$ areando variable deol3ura6 exceo 5 arti)iciale $e>n la tabla $iuiente"

Tipo de desi-ualdad Tipo de (aria!le )ue aparece

J exce$o M arti%icial

M arti%icial

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N M =olura

En e$te ca$o $e introduce una 9ariable de =olura K36 K4 5 K(! en cadauna de la$ re$triccione$ del tipo N6 para con9ertirla$ en iualdade$6

re$ultando el $i$tema de ecuacione$ lineale$"

2HK1 M K2 M K3  1'2HK1 M 3HK2 M K4  423HK1 M K2 M K(  24

I-ualar la /unción o!0eti(o a cero&

D 3HK1 K2 @HK3 @HK4 @HK( @

Escri!ir la ta!la inicial del .todo 1iple+&

a tabla inicial del método Simplex e$t: compue$ta por todo$ lo$coe%iciente$ de la$ 9ariable$ de deci$ión del problema oriinal 5 la$ de=olura6 exce$o 5 arti%iciale$ areada$ en el pa$o 2 en la$ columna$6$iendo C@ el término independiente 5 el re$to de 9ariable$ Ci coinciden conKi!6 5 la$ re$triccione$ en la$ %ila$!. a columna &b contiene lo$coe%iciente$ de la$ 9ariable$ 8ue $e encuentran en la ba$e.

a primera %ila e$t: %ormada por lo$ coe%iciente$ de la %unción objeti9o6mientra$ 8ue la >ltima %ila contiene el 9alor la %unción objeti9o 5 lo$ cote

reducido Dj &j.

a >ltima %ila $e calcula como $iue" Dj G&biHCj! para i 1..m6 donde $i j @6 C@ bi 5 &@ @6 5 en ca$o contrario Cj aij. un8ue al tratar$e de laprimera tabla del método Simplex 5 $er todo$ lo$ &b nulo$ $e puede$impli%icar el c:lculo6 5 por e$ta 9e7 di$poner Dj &j.

Ta!la I & Iteración n2 $

  3 2 @ @ @

Base C! P# P$ P% P3 P4 P5

C3 @ 1' 2 1 1 @ @

C4 @ 42 2 3 @ 1 @

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Ta!la I & Iteración n2 $

C( @ 24 3 1 @ @ 1

'   @ 3 2 @ @ @

Condición de parada&

Si el objeti9o e$ la maximi7ación6 cuando en la >ltima %ila %ila indicadora! no

exi$te nin>n 9alor neati9o entre lo$ co$te$ reducido$ columna$ C1 enadelante! $e alcan7a la condición de parada.

En tal ca$o $e llea al %inal del aloritmo 5a 8ue no exi$te po$ibilidad demejora. El 9alor de D columna C@! e$ la $olución óptima del problema.

,tro ca$o po$ible e$ 8ue en la columna de la 9ariable entrante a la ba$etodo$ lo$ 9alore$ $on neati9o$ o nulo$. E$to indica 8ue el problema no $eencuentra acotado 5 $u $olución $iempre re$ultar: mejorable. nte e$ta$ituación no e$ nece$ario continuar iterando inde%inidamente 5 también $epuede dar por %inali7ado el aloritmo.

?e no $er a$í6 $e ejecutan lo$ $iuiente$ pa$o$ de %orma iterati9a.

Elección de la (aria!le entrante , saliente de la !ase&

Se determina en primer luar la 9ariable 8ue entra en la ba$e. Cara ello $ee$coe la columna cu5o 9alor en la %ila D $ea el menor de entre todo$ lo$neati9o$. En e$te ca$o $ería la 9ariable K1 C1! de coe%iciente 3.

Si exi$tie$en do$ o m:$ coe%iciente$ iuale$ 8ue cumplan la condiciónanterior ca$o de empate!6 entonce$ $e optar: por a8uella 9ariable 8ue $eab:$ica.

a columna de la 9ariable 8ue entra en la ba$e $e llama columna.

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)na 9e7 obtenida la 9ariable 8ue entra en la ba$e6 $e procede a determinacual $er: la 9ariable 8ue $ale de la mi$ma. a deci$ión $e toma en ba$e aun $encillo c:lculo" di9idir cada término independiente columna C@! entre elelemento corre$pondiente de la columna pi9ote6 $iempre 8ue ambo$elemento$ $ean e$trictamente po$iti9o$ ma5ore$ 8ue cero!. Se e$coe la

%ila cu5o re$ultado =a5a re$ultado mínimo.

Si =ubiera al>n elemento menor o iual a cero no $e reali7a dic=ocociente. En ca$o de 8ue todo$ lo$ elemento$ de la columna pi9ote %uerande é$ta condición $e =abría cumplido la condición de parada 5 el problematendría una $olución no acotada.

En e$te ejemplo" 1'A2 OPQ 6 42A2 O21Q 5 24A3 O'Q

El término de la columna pi9ote 8ue en la di9i$ión anterior dio luar al

menor cociente po$iti9o indica la %ila de la 9ariable de =olura 8ue $ale de laba$e. En e$te ca$o re$ulta $er K( C(!6 de coe%iciente 3. E$ta %ila $ellama )ila pivote en color (erde!.

Si al calcular lo$ cociente$6 do$ o m:$ re$ultado$ cumplen la condiciónpara eleir el elemento $aliente de la ba$e ca$o de empate!6 $e e$coea8uella 8ue no $ea 9ariable b:$ica $iempre 8ue $ea e$ po$ible!.

a inter$ección de la )ila pivote 5 columna pivote marcael elemento pi9ote6 en e$te ca$o el 3.

Actuali*ar la ta!la&

o$ nue9o$ coe%iciente$ de la tabla $e calculan de la $iuiente manera"

o En la %ila del elemento pi9ote cada nue9o elemento $e calcula como"

Nuevo Elemento Fila Pivote !nterior Elemento Fila Pivote " Pivote

o En el re$to de la$ %ila$ cada elemento $e calcula"

Nuevo Elemento Fila !nterior Elemento Fila # $!nterior ElementoFila en %olumna Pivote & Nuevo Elemento Fila Pivote'

&on e$to $e normali7a el elemento pi9ote 5 $u 9alor pa$a a $er 16mientra$ 8ue el re$to de elemento$ de la columna pi9ote $e anulanan:loo al método de au$$ordan!.

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Se mue$tran a continuación lo$ c:lculo$ para la %ila C4"

 nterior %ila C4 42 2 3 @ 1 @

 

 nterior Elemento Fila en &olumna Ci9ote 2 2 2 2 2 2

  x x x x x x

-ue9a %ila pi9ote ' 1 1A3 @ @ 1A3

 

-ue9a %ila C4 2+ @ #A3 @ 1 2A3

a tabla corre$pondiente a e$ta $eunda iteración e$"

Ta!la II & Iteración n2 %

  3 2 @ @ @

Base C! P# P$ P% P3 P4 P5

C3 @ 2 @ $63 1 @ 2A3

C4 @ 2+ @ #A3 @ 1 2A3

C1 3 ' 1 1A3 @ @ 1A3

'   24 @ 1 @ @ 1

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 l comprobar la condición de parada $e ob$er9a 8ue no $e cumple5a 8ue entre lo$ elemento$ de la >ltima %ila =a5 uno neati9o6 1. Se contin>aiterando nue9amente lo$ pa$o$ + 5 #.

o +.1. a 9ariable 8ue entra en la ba$e e$ K2 C2!6 por $er la 9ariable

8ue corre$ponde a la columna donde $e encuentra el coe%iciente 1.o +.2. Cara calcular la 9ariable 8ue $ale6 $e di9iden lo$ término$ de la

columna C@ entre lo$ término$ corre$pondiente$ de la nue9a columna pi9ote" 2 A1A3 O+Q 6 2+ A #A3 O#'A#Q 5 ' A 1A3 O24Q. &omo el menor cociente po$iti9o e$ +6 la9ariable 8ue $ale de la ba$e e$ K3 C3!.

o +.3. El elemento pi9ote e$ 1A3.

o #. ctuali7ando nue9amente lo$ 9alore$ de la tabla $e obtiene"

Ta!la III & Iteración n2 3

  3 2 @ @ @

Base C! P# P$ P% P3 P4 P

C2 2 + @ 1 3 @ 2

C4 @ 12 @ @ # 1 4

C1 3 + 1 @ 1 @ 1

'   3@ @ @ 3 @ 1

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)na nue9a comprobación de la condición de parada re9ela 8ue entrelo$ elemento$ de la %ila indicadora 9uel9e a =aber uno neati9o6 1. Sini%ica 8uea>n no $e =a lleado a la $olución óptima 5 =a5 8ue $euir iterando pa$o$ + 5 #!"

o +.1. a 9ariable 8ue entra en la ba$e e$ K( C(!6 por $er la 9ariable

8ue corre$ponde al coe%iciente 1.o +.2. Se e$coe la 9ariable 8ue $ale calculando el cociente entre lo$

término$ de la columna de término$ independiente$ 5 lo$ término$corre$pondiente$ de la nue9a columna pi9ote" +A2! O3Q 6 12A4 O3Q6 5 +A1 O+Q. Ene$ta oca$ión e$ K4 C4!.

o +.3. El elemento pi9ote e$ 4.

o #. ?e$pué$ de actuali7ar toda$ la$ %ila$6 $e obtiene la tabla $iuiente"

Ta!la I7 & Iteración n2 4

  3 2 @ @ @

Base C! P# P$ P% P3 P4 P

C2 2 $% @ 1 1A2 1A2 @

C( @ 3 @ @ #A4 1A4 1

C1 3 3 1 @ 3A4 1A4 @

'   33 @ @ (A4 1A4 @

Fin del al-orito&

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Se ob$er9a 8ue en la >ltima %ila todo$ lo$ coe%iciente$ $on po$iti9o$cumpliéndo$e6 por tanto la condición de parada.

a $olución óptima 9iene dada por el 9alor de D en la columna de lo$término$ independiente$ C@!6 en e$te ejemplo" 33. En la mi$ma columna $e

puede 9er el punto donde $e alcan7a6 ob$er9ando la$ %ila$ corre$pondiente$a la$ 9ariable$ de deci$ión 8ue =an entrado en la ba$e" K1 3 5 K2 12.

?e$=aciendo el cambio de 9ariable$ $e obtiene x 3 e 5 12.

2., El método de la do )ae.El método de la$ ?o$ Fa$e$ $e utili7a cuando aparecen 9ariable$ arti%iciale$ en la%orma canónica o e$t:ndar del problema. a primera %a$e trata de re$ol9er elproblema auxiliar DR de minimi7ar la $uma de la$ 9ariable$ arti%iciale$ 5 con$euir 8ue $ea cero con objeto de e9itar inconruencia$ matem:tica$!. )na 9e7 re$ueltoe$te primer problema6 5 $iempre 5 cuando el re$ultado $ea el e$perado6 $ereorani7a la tabla re$ultante para utili7arla en la $eunda %a$e $obre el problemaoriinal.

En ca$o contrario el problema no e$ %actible6 e$ decir6 no tiene $olución 5 no $er:nece$ario continuar con la $eunda %a$e.

FA1E $

E$ta primera %a$e e$ mu5 $imilar al método Simplex6 con la excepción de lacon$trucción de la primera tabla6 adem:$ de la nece$idad de e$tudiar el re$ultadoobtenido para determinar $i $e de$arrolla la $eunda %a$e.

En tal ca$o6 la >ltima tabla de e$ta %a$e $er:6 con aluna$ modi%icacione$6 lautili7ada como tabla inicial para la $eunda %a$e.

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• Construcción de la priera ta!la"

Se elabora de manera an:loa a la tabla inicial del método Simplex6 perocon aluna$ di%erencia$.

&omo $e =a comentado6 en e$ta primera %a$e $e re$uel9e un problemaauxiliar la minimi7ación de la $uma de la$ 9ariable$ arti%iciale$! con una%unción objeti9o auxiliar. Cor lo tanto en la primera %ila de la tabla6 donde $emue$tran lo$ coe%iciente$ de la$ 9ariable$ de la %unción objeti9o6 aparecer:ntodo$ lo$ término$ a cero excepto lo$ coe%iciente$ de 9ariable$ arti%iciale$.El 9alor de cada uno de e$to$ coe%iciente$ e$ L1L debido a 8ue $e e$t:minimi7ando la $uma de dic=a$ 9ariable$ recuerde 8ue minimi7ar DR e$iual 8ue maximi7ar 1!HDR!.

a otra di%erencia para la primera tabla radica en 8ue a=ora $í e$nece$ario calcular la %ila D o %ila indicadora!.

Ta!la  &@ &1 &2 ... &n ... &n

Base C! P# P$ P% &&& Pn89 &&& Pn

C1 &b1 b1 a11 a12 ... a1n ... a1n

C2 &b2 b2 a21 a22 ... a2n ... a2n

... ... ... ... ... ... ... ... ...

Cm &bm bm am1 am2 ... amn ... amn

'   D@ D1 D2 ... Dn ... Dn

Siendo Dj G&biHCj! &j para i 1..m6 donde $i j @6 C@ bi 5 &@ @65 en ca$o contrario Cj aij.

• Condición de parada , paso a la /ase %"

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a condición de parada e$ la mi$ma 8ue en el método Simplex normal. E$to e$6cuando en la %ila indicadora ninuno de lo$ 9alore$ de lo$ co$te$ reducido$ e$neati9o 5a 8ue tal 5 como $e =a planteado el objeti9o e$ la maximi7ación de 1!HDR!.

&umplida la condición de parada e$ nece$ario determinar $i e$ po$ible pa$ar a la$eunda %a$e para obtener la $olución óptima del problema oriinal. E$to $e =aceob$er9ando el re$ultado obtenido en la primera %a$e" $i $u 9alor e$ @6 $ini%ica 8ueel problema oriinal tiene $olución 5 e$ po$ible calcularla6 en ca$o contrario indica8ue $e trata de un problema no %actible 5 no tiene $olución.

FA1E %

a $eunda %a$e del método de la$ ?o$ Fa$e$ $e de$arrolla exactamente iual8ue el método Simplex6 con la $al9edad de 8ue ante$ de iniciar la$ iteracione$ =a58ue eliminar la$ columna$ corre$pondiente$ a la$ 9ariable$ arti%iciale$6 5recon$truir la tabla inicial.

• Eliinar Coluna de (aria!les arti/iciales"

Si =emo$ lleado a la conclu$ión de 8ue el problema oriinal tiene $olución6debemo$ preparar nue$tra tabla para la $eunda %a$e. E$te pa$o e$ mu5$encillo6 $e trata >nicamente de eliminar la$ columna$ corre$pondiente$ ala$ 9ariable$ arti%iciale$.

• Construcción de la ta!la inicial"

a tabla inicial en e$te ca$o $e mantiene ca$i iual a la >ltima tabla de laprimera %a$e. nicamente =abr: 8ue modi%icar la %ila de la %unción objeti9opor la del problema oriinal 5 calcular nue9amente la %ila D de la mi$ma%orma 8ue en la primera tabla de la %a$e 1!.

  partir de e$te punto6 toda$ la$ iteracione$ =a$ta llear a la $olución óptimadel problema no pre$entan ninuna di%erencia con el método Simplex.

E:EMPLO

;inimi7ar

Sujeto a"

 

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;inimi7ar

Sujeto a"

FSE I

 ;inimi7ar

Sujeto a"

 

;inimi7ar

Sujeto a"

 

V.B. Z X1   X2   S1   S2   R 1   R 2   Solución

Z 1 0 0 0 0 -1 -1 0

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R 1 0 2 3 -1 0 1 0 36

R 2 0 3 6 0 -1 0 1 60

FSE II.

 

;inimi7ar

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2.0 %ao epecialeExi$ten ca$o$ e$peciale$ 8ue $e encuentran a menudo en la$ aplicacione$ del

método $implex6 lo$ m:$ importante$ $on"

• ?eeneración.• Solucione$ óptima$ m>ltiple$.• Solucione$ óptima$ no acotada$.• Solucione$ %actible$ no exi$tente$.

$& DEGENERACION&

)n empate al eleir la 9ariable 8ue $ale $e rompe arbitrariamente. El problemaocurre en la $iuiente iteración donde lo$ 9alore$ de una o m:$ 9ariable$ b:$ica$llean a $er cero6 en cu5o ca$o $e dice 8ue la $olución e$ deenerada. En e$tepunto no exi$te la $euridad de 8ue el 9alor de la %unción objeti9o mejorar:6 5a 8uela nue9a $olución óptima puede permanecer deenerada de $er a$í6 e$ po$ible8ue la$ iteracione$ del $implex entren en un circuito 8ue repetir: la$ mi$maa$!$uce$ión de iteracione$ $in alcan7ar nunca la óptima.

El problema $e conoce como ciclaje 5 a%ortunadamente rara$ 9ece$ $e pre$entaen la pr:ctica. En una $ituación de deeneración e$ e$encial lle9ar la$ iteracione$del método $implex =a$ta 8ue $e $ati$%aa completamente la condición deoptimidad.

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%& 1OL;CIONE1 ÓPTIMA1 M;LTIPLE1&

Exi$ten problema$ 8ue tienen m:$ de una $olución óptima. En e$te ca$o $edice 8ue $e tienen $olucione$ óptima$ m>ltiple$ debido a 8ue la $oluciónóptima $e encuentra en un $emento de recta 8ue e$ acotado por una de la$

re$triccione$.

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3& 1OL;CIONE1 ÓPTIMA1 NO ACOTADA1&Exi$ten problema$ para lo$ cuale$ una o m:$ de la$ 9ariable$ puedenaumentar$e inde%inidamente mejorando en %orma inde%inida la %unción objeti9o.En e$ta $ituación6 $e dice 8ue la $olución óptima no e$t: acotada6 por lo 8ue la$olución óptima e$ in%inita.

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4& 1OL;CIONE1 FACTIBLE1 NO En no de$aparecen la$ 9ariable$arti%iciale$.

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2.4 5o de o)t6areC,;U; e$ un prorama para la e$tión de producciónAoperacione$6 método$cuantitati9o$6 ciencia de la e$tión e in9e$tiación de operacione$.

El prorama puede con%iur:ndo$e para mo$trar lo$ módulo$ de C,;6 lo$módulo$ U; o ambo$ módulo$ de C,; 5 U;.

 l abrir el prorama6 =a5 8ue e$peci%icar 8ué módulo utili7aremo$< en e$teca$o6 el de Vinear CroramminW.

Ejercicio a re$ol9er"

MinimizarZ = x

1+ x

2

Sujeto a

 – x1+ x

2≤3   2 x

1+ x

2≤18   x

2≥6   x

1, x

2≥0

En la $iuiente tabla deberemo$ inre$ar lo$ coe%iciente$ 8ue corre$ponden acada 9ariable 5 re$tricción.

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Xa inre$ado$ lo$ coe%iciente$6 damo$ clic al botón color 9erde VSol9eW6en$euida $eleccionaremo$ VIteration$W para 8ue no$ mue$tre lo$ pa$o$ en lo$8ue $e =a ido re$ol9iendo el problema.

Cor >ltimo no$ $er:n 9i$ible$ toda$ la$ iteracione$ 8ue $e calcularon para llear a una $olución óptima6 $iendo la >ltima iteración a8uella 8ue contiene lo$re$ultado$ %inale$.

Solución /ptima"

Z =9 x1=3 x

2=6 S

2=6   S

1=0 S

3=0

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2.7 %8N%95SI:N 

El método Simplex e$ un procedimiento iterati9o 8ue permite ir mejorando la$olución a cada pa$o. El proce$o conclu5e cuando no e$ po$ible $euir mejorando

m:$ dic=a $olución. Cartiendo del 9alor de la %unción objeti9o en un 9érticecual8uiera6 el método con$i$te en bu$car $uce$i9amente otro 9értice 8ue mejore alanterior. a b>$8ueda $e =ace $iempre a tra9é$ de lo$ lado$ del políono o de la$ari$ta$ del poliedro6 $i el n>mero de 9ariable$ e$ ma5or!. &ómo el n>mero de9értice$ 5 de ari$ta$! e$ %inito6 $iempre $e podr: encontrar la $olución. El métodoSimplex $e ba$a en la $iuiente propiedad" $i la %unción objeti9o6 %6 no toma $u9alor m:ximo en el 9értice 6 entonce$ =a5 una ari$ta 8ue parte de 6 a lo laro dela cual % aumenta. ?eber: tener$e en cuenta 8ue e$te método $ólo trabaja parare$triccione$ 8ue tenan un tipo de de$iualdad VNW 5 coe%iciente$ independiente$ma5ore$ o iuale$ a @6 5 =abr: 8ue e$tandari7ar la$ mi$ma$ para el aloritmo. Enca$o de 8ue de$pué$ de é$te proce$o6 apare7can o no 9aríen! re$triccione$ deltipo VJW o VW =abr: 8ue emplear otro$ método$6 $iendo el m:$ com>n el métodode la$ ?o$ Fa$e$.

2.;