INVESTIGACIÓN OPERATIVA 2019... · 2019. 1. 4. · CARÁTULA Presentación I.O. Roberto Valencia...

Autor:Valencia Nuñez Edison Roberto

INVESTIGACIÓNOPERATIVA

PROGRAMACIÓN LINEAL,PROBLEMAS RESUELTOS CON

SOLUCIONES DETALLADAS.

Dr. Galo Naranjo LópezRECTORDra. Adriana Reinoso NúñezVICERRECTORA ACADÉMICAIng. Jorge León MantillaVICERRECTOR ADMINISTRATIVO

TÍTULO DE OBRA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Programación lineal, problemas

ISBN: 978-9978-978-38-2

Autor:Valencia Roberto

Diseño y diagramación: MEGAGRAF

Coautor:Hidalgo Claudio

Impresión: MEGAGRAF-Ambato Primera Edición, 2018Tiraje de 500 ejemplares

CONSEJO EDITORIAL UNIVERSITARIOAdriana Reinoso Núñez PRESIDENTA

Av. Colombia 02-11 y Chile (Cdla. Ingahurco)Teléfono: 593 (03) 2521-081 / 2822-960Fax: 593 (03) 2521-084 www.uta.edu.ecInformación editorial: [email protected]

La edición de este libro se da de conformidad a los literales c) y e) del Art. 6.- Atribuciones, DEL REGLAMENTO PARA LA ELABORACIÓN Y PUBLICACIÓN DE OBRAS O DOCUMENTOS ACADÉMICOS Y/O CIENTÍFICOS; Y, PARA EL FUNCIONAMIENTO DEL CONSEJO EDITORIAL UNIVERSITARIO DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO. Y en aplicación al numeral 1, del literal a) del Art. 71.- De las obras publicadas, DEL REGLAMENTO CARRERA Y ESCALAFÓN DEL PROFESOR E INVESTIGADOR DEL SISTEMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR.

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

resueltos con soluciones detalladas.


Programación lineal, problemasresueltos con soluciones detalladas.

Docente de la Universidad Técnica de Ambato a nivel de grado y posgrado a tiempo completo, en la Facultad de Ingeniería en Sistemas Electrónica e Industrial, Facultad de Contabilidad y Auditoría y Facultad de Administración, desde marzo del 2010.

PhD(c). En Estadística, Universidad del Rosario – Argentina. Máster Universitario en Estadística Aplicada, Universidad de Granada – España. Magister en Matemáticas, Instituto Politécni-co Nacional – México. Magister en Tecnología de la Información y Multimedia Educativa, Universidad Técnica de Ambato - Ecuador. 20 artículos publicados en bases de datos de alto impacto, varias ponencias nacionales e internacionales, 5 libros publicados, con revisores de pares externos y con registro ISBN, todo esto relacionados con el campo amplio y especifico del área de Matemáticas y Estadística.

Profesor de maestrías a nivel nacional, en módulos de Estadísti-ca, Matemáticas, Producción Científica Investigación, Diseño Experimental, y Tecnologías de la información. Módulos impartidos a nivel de grado: Estadística Descriptiva, Estadística Inferencial, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Investigación Operativa, Algebra Lineal, Programación Lineal, Empleo de Ntics I (Ofimática), Empleo de Ntics II (web 2.0), Comercio Electrónico, Circuitos Eléctricos, Metrología.

Instructor de cursos nacionales dirigidos a docentes universitarios y del magisterio de Educación. Instructor de cursos virtuales internacionales. Docente - investigador en proyectos de investi-gación, desempeñando como: Coordinador e investigador en varias áreas multidisciplinarias, investigación especifica: Proce-samiento y análisis de datos, Minería de datos, Big Data y Machine Learning todo esto con software, R-Studio, Stata, Minitab, Sas y Spss. También ha desarrollado proyectos de vinculación con la colectividad.

Docente Coordinador, guía, tutor y calificador de proyectos de investigación a nivel de posgrado. Ha participado en la dirección y codirección de tesis de posgrado y grado.

Coordinador de la Comisión de Seguimiento a Graduados y Bolsa de Empleo en la Facultad de Contabilidad y Auditoría de la Universidad Técnica de Ambato desde marzo del 2012 con resolución FCAUD-CD-549-2012, hasta agosto del 2018.

LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN: ESTADÍSTICA MULTIVARIANTE Y MODELIZACIÓN MATEMÁTICA.

EDISON ROBERTOVALENCIA NUÑEZ

email:[email protected]@[email protected]

Contacto: 0998266715

AMBATO - ECUADORAgosto del 2018

CARÁTULA Presentación I.O.

Roberto Valencia Página 7

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

1 . INVESTIGACIÓN OPERATIVA

2 . PROGRAMACIÓN LINEAL

3 . MODELOS DE TRANSPORTE

4 . MODELOS DE REDES

5 . SOFTWARE DE APLICACIÓN

ROBERTO VALENCIA NUÑEZ

CLAUDIO HIDALGO

AMBATO - ECUADOR



La Investigación de Operaciones (IO) o Investigación

Operativa es una rama de las matemáticas que usa modelos

matemáticos y algoritmos como apoyo para mejorar la

toma de decisiones y determinar la solución óptima. Se

busca que las soluciones obtenidas sean más eficientes (en

tiempo, recursos, beneficios, costos; entre otros) en

comparación a aquellas decisiones adoptadas en forma

intuitiva o sin el apoyo de una herramienta para la toma de

decisiones.

Los modelos de Investigación de Operaciones son

frecuentemente usados para abordar una gran variedad de

problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias

sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones

importantes beneficios y ahorros asociados a su

utilización.

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN



El propósito de aporte es ayudar al estudiante a comprender los problemas de programación lineal (optimización: maximizar ganancias y minimizar costos), modelos de transporte, y modelos de redes, utilizando problemas prácticos desarrollados paso a paso de una manera didáctica, para la compresión del lector, se ha dividido en cuatro partes; primera: una introducción a la investigación operativa, en donde se ve específicamente la manera práctica de la IO y los pasos que se siguen para la toma de decisiones. Segunda: programación lineal en donde se detalla de manera amplia todos los tipos de soluciones por el método gráfico y método simplex, lo que es maximizar ganancias y minimizar costos y además problemas de complemento utilizando el método dual. Tercera: modelos de transporte en donde se presentan problemas prácticos detallados con todos los tipos de soluciones, cuando la oferta es mayor que la demanda o viceversa y, además se aplica el método de los multiplicadores para llegar al costo óptimo. Cuarta: Modelo de redes en donde se hacen problemas prácticos; se numeran todas las actividades con sus respectivos tiempos, se realiza la red del proyecto y se calcula el tiempo más corto por medio de la ruta crítica.

PREFACIO

CAPÍTULO I Investigación Operativa Indice


.................................................................................................................................15 CAPÍTULO I

1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA ....................................................................................... 16

1.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 16

1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA .......................................................... 17

1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ..................................... 20

1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS ......................................................................................... 23

................................................................................................................................ 24 CAPÍTULO II

2. PROGRAMACIÓN LINEAL ............................................................................................ 25

2.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 25

2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL............................ 25

2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN LINEAL. ................. 26

2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES ........................................................................ 26

2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES.................................................. 29

2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES ....................................... 31

2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES ........................................... 33

2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE INECUACIONES ................ 35

2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN .................................................................................. 38

2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN..................... 39

2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MAXIMIZACIÓN) ........... 41

2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MINIMIZACIÓN) ........... 47

2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO .......................................... 50

2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO ..................................................... 51

2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA ................................................................. 52

2.6.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE ACOTADA ........................................................... 63

2.6.3. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA NO ACOTADA ........................................................... 65

2.6.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE NO ACOTADA ..................................................... 68

2.6.5. NINGUNA SOLUCIÓN .......................................................................................... 70

2.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX ........................................... 74

2.7.1. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MENOR IGUAL: “≤ “) . 76

2.7.2. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MAYOR IGUAL: “≥ “) . 87

2.7.3. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (IGUAL: “ = “) ..... 93

2.8. MINIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX ................................................................. 96



2.9. DEGENERACIÓN, SOLUCIONES NO ACOTADAS, SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLEX EN EL MÉTODO SIMPLEX. ............................................................................................... 106

2.9.1. DEGENERACIÓN ................................................................................................ 107

2.9.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS ............................................................................ 110

2.9.3. SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES .................................................................. 111

2.10. DUALIDAD ................................................................................................................. 115

2.11. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ........................................................................................ 127

2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS ........................................................................................ 132

2.12.1. RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO .............................................................. 132

2.12.2. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MAXIMIZACIÓN) .................................. 140

2.12.3. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MINIMIZACIÓN) ................................... 144

2.12.4. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX DEGENERACIÓN .................................... 147

2.12.5. PROBLEMAS DE DUALIDAD ............................................................................... 149

............................................................................................................................. 153 CAPÍTULO III

3. MODELOS DE TRANSPORTE ...................................................................................... 154

3.1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 154

3.2. CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE TRANSPORTE ............................................... 155

3.3. MÉTODOS PARA CALCULAR EL COSTO INICIAL ......................................................... 157

3.3.1. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE ............................................................... 157

3.3.2. MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO ......................................................................... 161

3.3.3. MÉTODO DE VOGEL .......................................................................................... 163

3.4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE DESBALANCEADO ..................................................... 167

3.4.1. LA DEMANDA MAYOR QUE LA OFERTA ............................................................ 167

3.4.2. LA OFERTA MAYOR QUE LA DEMANADA .......................................................... 170

3.5. COSTO ÓPTIMO......................................................................................................... 172

3.5.1. MÉTODO DEL BANQUILLO ................................................................................ 172

3.5.2. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES ............................................................... 173

3.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EQUILIBRADOS PARA CALCULAR EL COSTO ÓPTIMO 174

3.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESBALANCEADOS .................................................... 192

3.8. MODELOS DE ASIGNACIÓN ....................................................................................... 209

3.8.1. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN, MINIMIZACIÓN................................................. 210

3.8.2. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN MAXIMIZACIÓN ................................................. 217

3.9. PROBLEMAS PROPUESTOS DE TRANSPORTE ............................................................ 223

3.9.1. PROBLEMAS BALANCEADOS ............................................................................. 223

3.9.2. PROBLEMAS DESBALANCEADOS ....................................................................... 231



3.9.3. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN .......................................................................... 236

............................................................................................................................. 241 CAPÍTULO IV

4. MODELOS DE REDES ................................................................................................. 242

4.1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 242

4.2. TERMINOLOGÍA DE REDES ........................................................................................ 243

4.3. REDES PERT ((PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE - TÉCNICA DE EVALUACIÓN Y REVISIÓN DE PROGRAMAS).............................................................. 245

4.3.1. REGLAS PARA CONSTRUIR UN DIAGRAMA PERT .............................................. 245

4.3.2. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT ......................................................... 248

4.4. REDES PERT - CÁLCULO DE TIEMPOS ........................................................................ 252

4.5. MÉTODO CPM (CRITICAL PATH METHOD O MÉTODO DE LA RUTA CRÍTICA) ............ 254

4.6. DIFERENCIAS ENTRE LOS MÉTODOS PERT Y CPM ..................................................... 256

4.7. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT-CPM ......................................................... 257

4.8. PERT – COSTOS ......................................................................................................... 268

4.9. PROBLEMAS PROPUESTOS PERT-CPM ...................................................................... 271

................................................................................................................................. 282 APÉNDICE

5. APÉNDICE A ............................................................................................................... 283

5.1. PROGRAMA QM FOR WINDOWS ...................................................................... 283

5.2. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ............................... 288

5.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE ............................................... 292

5.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REDES PERT-CPM ......................................... 295

6. APÉNDICE B ............................................................................................................... 300

6.1. PROGRAMA PHPSIMPLEX EN LA WEB............................................................... 300

7. APÉNDICE C ............................................................................................................... 305

7.1. PROGRAMA GEOGEBRA ................................................................................... 305

........................................................................................................................... 315 BIBLIOGRAFÍA

CAPÍTULO I Investigación Operativa Conceptualización


.................................................................................................................................15CAPÍTULO I

1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA ...................................................................................... 16

1.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 16

1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA ......................................................... 17

1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES .................................... 20

1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS ........................................................................................ 23



CAPÍTULO I

1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA

1.1. INTRODUCCIÓN

1Cuando una persona se enfrenta por vez primera con el término Investigación de Operaciones,

no suele ser conocedora de las características específicas de esta ciencia ni de su objeto de

estudio. Además, la Investigación Operativa puede tener componentes muy diversos

dependiendo de su área de aplicación concreta: Administración de Empresas, Ingeniería u otras.

El objeto de estudio de la Investigación Operativa es la toma científica de decisiones mediante

el empleo de técnicas cuantitativas. Es importante tener esta definición clara y, de esta forma,

nos daremos cuenta de la amplitud de campo de la Investigación Operativa (IO).

Con frecuencia se ha hecho demasiado hincapié en los modelos de Programación Lineal dentro

de la Investigación Operativa, lo cual ha dificultado la distinción entre ambos términos. Lo

cierto es que la Programación Lineal es sólo una parte de la Investigación Operativa aunque, sin

duda, una de las más importantes.

La Investigación Operativa es una ciencia multidisciplinaria que aparece en muchos campos del

ámbito industrial, empresarial y de la administración pública. De hecho, con la aparición de la

Programación Lineal en los años 1940, aparece el sentimiento de dar una cohesión o visión de

conjunto a todas las técnicas anteriormente enunciadas. Esa visión cohesionada, junto con el

concepto de sistema, permite la aparición de la Investigación de Operaciones como ciencia.

Las subdivisiones en las que se establece la IO tienen los siguientes elementos en común:

Son necesarios amplios conocimientos de matemáticas, es decir, del manejo de muchas

técnicas matemáticas, aunque con inmediata aplicación a la realidad.

Es necesario que, al final de cada problema definido, haya una decisión que tomar.

Es preciso definir un modelo que dé cauce a la toma de decisiones.

En el estudio de la Investigación Operativa se puede hacer más énfasis en los aspectos teóricos

de los modelos matemáticos o bien en los aspectos prácticos. Estudiar de forma exclusiva

modelos matemáticos, aun siendo importante para la IO, no constituye el principal ejercicio de

la misma, es necesario verificar la aplicabilidad de los resultados que se deriven de los modelos

matemáticos.

Por ello, en muchos casos, se hace énfasis en los aspectos prácticos de la IO estableciendo

puentes con los diversos ámbitos de la gestión empresarial. En este sentido, y con objeto de

tener una visión precisa para una introducción de las técnicas operativas, se recomienda la

consulta de los capítulos introductorios de alguno de los manuales cuyos autores son:

1 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf



Anderson, D.R., Sweeney, D. J. y Williams, T.A. (2001) (Capítulos 1 y 7) referentes a

la programación lineal.

Hillier, F.S. y Liebermann, G.J. (2001) (Capítulos 1,2 y 3)

Hillier, F.S., Hillier, M.S. y Liebermann, G.J. (2000) (Capítulos 1 y 2) referentes a la

programación lineal.

También a nivel introductorio se pueden visitar algunas de las siguientes páginas web:

http://www.informs.org/ Sociedad Americana de Investigación Operativa.

http://www.orie.cornell.edu/ Departamento de Investigación Operativa de la

Universidad de Cornell en Nueva York.

http://www.worms.ms.unimelb.edu.au/ Información genérica de la Investigación

Operativa.

En este sentido, hay que destacar que las técnicas de Investigación Operativa tienen un auge

inusitado en los Estados Unidos. Algunos de los motivos de este incremento son:

a) razones históricas.

b) la cultura empresarial americana.

c) la dimensión del mercado americano.

En Europa, cada vez se aplican más estas técnicas pero, con frecuencia, con un acento mucho

más teórico. Entre los países europeos que más aplican las técnicas de la IO se pueden destacar

los siguientes: Gran Bretaña, Holanda, Francia y Alemania. Con el fenómeno de la

globalización económica, cada vez son más las empresas multinacionales que emplean técnicas

de Investigación Operativa para la toma científica de decisiones.

1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA

La Investigación Operativa es una disciplina moderna que utiliza modelos matemáticos,

estadísticos y algoritmos para modelar y resolver problemas complejos, determina la solución

óptima y mejora la toma de decisiones. Esta materia también recibe el nombre de

Investigación de Operaciones, Investigación Operacional o Ciencias de la Administración.

(Hillier & Lieberman, 2010).

Actualmente la Investigación Operativa incluye gran cantidad de ramas como la Programación

Lineal, Programación No Lineal, Programación Dinámica, Simulación, Teoría de Colas,

Teoría de Inventarios, Teoría de Grafos, etc.

2Aunque su nacimiento como ciencia se establece durante la Segunda Guerra Mundial y debe

su nombre a las operaciones militares, los verdaderos orígenes de la Investigación

Operativa se remontan mucho más atrás en el tiempo, hasta el siglo XVII (desde el punto de

vista matemático). Incluso se puede considerar que el problema de hacer un uso óptimo de los

recursos disponibles ha existido siempre y con el que la humanidad ha ido tratando a lo largo

de su historia. Sin embargo el crecimiento de esta ciencia se debe, en su mayor parte, al rápido

desarrollo de la informática, que ha posibilitado la resolución de problemas en la práctica y la

2 http://www.phpsimplex.com/investigacion_operativa.htm

http://www.phpsimplex.com/historia.htm

http://www.phpsimplex.com/historia.htm

http://www.phpsimplex.com/investigacion_operativa.htm



obtención de soluciones que de otra forma conllevarían un enorme tiempo de cálculo

haciéndolos inviables.

Debido al gran éxito obtenido por la Investigación Operativa, según Taha (2011) en el campo

militar, ésta se extendió a otros campos tales como la industria, física, administración,

informática, ingeniería, economía, estadística y probabilidad, ecología, educación, servicio

social (p. 850), siendo hoy en día utilizada prácticamente en todas las áreas imaginables donde

se pretenda mejorar la eficiencia.

3En la siguiente tabla se pueden observar algunos ejemplos de casos reales de uso de la

Investigación Operativa por parte de diferentes organizaciones y las ganancias y/o ahorros

conseguidos a raíz de ello.

CASOS REALES DE USO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Organización Aplicación Año Ahorros anuales

Ministerio

holandés de

Infraestructura y

Medio Ambiente

(The Netherlands )

Desarrollo de la política

nacional de administración

del agua, incluyendo mezcla

de nuevas instalaciones,

procedimientos de

operaciones y costes

1985 $15 millones

Electrobras/CEPA

L Brasil

Asignación óptima de

recursos hidráulicos y

térmicos en el sistema

nacional de generación de

energía

1986 $43 millones

United Airlines

Programación de turnos de

trabajo en oficinas de reservas

y aeropuertos para cumplir

con las necesidades del

cliente a un costo mínimo

1986 $6 millones

CITGO Petroleum

Corp.

Optimización de las

operaciones de refinación y

de la oferta, distribución y

comercialización de

productos

1987 $70 millones

Texaco, Inc.

Optimización de la mezcla de

ingredientes disponibles para

que los combustibles

obtenidos cumplieran con los

requerimientos de ventas y

calidad

1989 $30 millones

IBM Integración de una red 1990 $20 millones +

3 http://www.phpsimplex.com/casos_reales.htm



Organización Aplicación Año Ahorros anuales

nacional de inventario de

recambios para mejorar el

apoyo al servicio

$250 millones en

menor inventario

American Airlines

Diseño de un sistema de

estructura de precios,

sobreventas (exceso de

reservas) y coordinación de

vuelos para mejorar los

beneficios

1992 $500 millones más

de ingresos

AT&T

Desarrollo de un sistema

informático en el diseño del

centro de llamadas para guiar

a los clientes del negocio

1993 $750 millones

Delta Airlines

Maximización de ganancias a

partir de la asignación de los

tipos de aviones en 2.500

vuelos nacionales en Estados

Unidos

1994 $100 millones

Procter & Gamble

Rediseño del sistema de

producción y distribución

norteamericano para reducir

costos y mejorar la rapidez de

llegada al mercado

1997 $200 millones

Hewlett-Packard

Rediseño de tamaño y

localización de inventarios de

seguridad en la línea de

producción de impresoras

1998 $280 millones de

ingreso adicional

Coca-Cola

Enterprises (CCE)

La implementación de un

modelo de optimización de

enrutamiento de vehículos

2005

El impacto incluye

un ahorro anual de

$45 millones.

Canadian Pacific

Railway

Por medio de un modelo

matemático que permitió

manejar los horario de

acuerdo con las necesidades

del servicio de entrega de

carga

2007 Reducir sus costos

en $285 millones.

FUENTE: http://www.phpsimplex.com/casos_reales.htm



1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

1. Definición del problema.- Descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se

desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no;

determinar las restricciones del sistema. También hay que tener en cuenta las

alternativas posibles de decisión y las restricciones para producir una solución

adecuada.

2. Construcción del modelo.- El investigador de operaciones debe decidir el

modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que

relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del

sistema. Los parámetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a

partir de datos pasados, o ser estimados por medio de algún método estadístico.

Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o determinístico. El

modelo puede ser matemático, de simulación o heurístico, dependiendo de la

complejidad de los cálculos matemáticos que se requieran.

La construcción del modelo matemático de manera general se puede resumir en cuatro

pasos:

2.1. Identificar las variables de decisión

Un paso crucial en la construcción de un modelo matemático es determinar aquellos factores

sobre los que el decidor tiene control, que normalmente se llaman variables de decisión del

problema. Hay que distinguir entre lo que está a nuestro alcance cambiar (por ejemplo, la

cantidad de artículos a producir de cada producto o el material a utilizar) de aquello que no

podemos modificar (como el número de horas de trabajo disponibles o fechas límite a cumplir),

que normalmente denominaremos parámetros. Según el tipo de problema, lo que a veces es una

variable de decisión en otros casos puede ser un parámetro o viceversa.

Para identificar las variables de decisión, puede ser útil hacerse las siguientes preguntas: ¿qué es

lo que hay que decidir? o ¿sobre qué elementos tenemos control? o ¿cuál sería una respuesta

válida para este caso?

Definición del problema

Construcción del modelo

Solución del modelo

Validación del modelo

Implantación de la solución



2.2. Identificar la función objetivo

El objetivo de la mayoría de los estudios de IO, y el de todos los modelos de optimización, es

encontrar el modo de optimizar alguna medida respetando las restricciones existentes. Aunque

una compañía quizás esté satisfecha con una mejora sustancial de la situación actual,

normalmente el objetivo es buscar el valor óptimo para cierta función.

A la hora de encontrar la función objetivo, la pregunta que podemos hacemos es ¿qué es lo que

queremos conseguir? o si yo fuera el jefe de esta empresa, ¿qué me interesaría más?

2.3. Identificar las restricciones

En la búsqueda de la solución óptima, normalmente existen ciertas restricciones (prohibiciones,

requisitos) que acorta nuestra decisión. Ejemplos de estas condiciones frecuentes son: los

recursos disponibles (trabajadores, máquinas, material, etc.) son limitados; fechas límite

impuestas por los contratos; obstáculos impuestos por la naturaleza del problema (por ejemplo:

el flujo de entrada a un nodo debe ser igual al flujo de salida).

2.4. Traducir los elementos anteriores a un modelo matemático

Una vez identificados los elementos básicos hay que expresarlos matemáticamente. Siguiendo el

orden de pensamiento de los autores Hiller & Liberman (2010) que explica que, se lo hará

dependiendo de la naturaleza de las funciones matemáticas, el modelo será de un tipo u otro; por

ejemplo, si todas ellas son lineales, el problema será de Programación Lineal; si existe más de

una función objetivo, será de programación multicriterio.

3. Solución del modelo.- Una vez que se tiene el modelo, se procede a resolver el

problema aplicando las técnicas matemáticas del método gráfico o simplex, de esta

manera llegamos a la solución óptima del problema. Debemos tener en cuenta que las

soluciones que se obtienen en este punto del proceso, son matemáticos y debemos

interpretarlas en el mundo real. Además, para la solución del modelo, se deben realizar

análisis de sensibilidad, es decir, ver cómo se comporta el modelo a cambios en las

especificaciones y parámetros del sistema. Esto se hace, debido a que los parámetros no

necesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas.

4. La validación del modelo.- La validación de un modelo requiere que se determine si

dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un método

común para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del

sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del sistema. Pero como

no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema continúe replicando el

comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar atentos de cambios posibles

del sistema con el tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo.

5. La Implantación De La Solución.- Consiste en traducir los resultados del modelo

validado en instrucciones para el usuario o los ejecutivos responsables que serán los que

tomen las decisiones.4

4http://invdeop.wordpress.com/2011/04/07/fases-de-la-investigacion-de-operaciones/

http://invdeop.wordpress.com/2011/04/07/fases-de-la-investigacion-de-operaciones/



La comunicación efectiva de los resultados de un estudio es esencial para el éxito del mismo. La

utilidad del análisis será nula si las personas que toman las decisiones no aprecian totalmente su

valor. Los decisores deben comprender completamente el enfoque del analista, las hipótesis y

simplificaciones que se han hecho, y la lógica en la recomendación. Las presentaciones orales

(utilizando transparencias, videos o software especializado) y los informes son formas

tradicionales para la comunicación.

APLICACIÓN

Interpretar la solución. Aplicar la solución.

SOLUCIÓN

Resolver el problema matemático

FORMULACIÓN

Formular el problema real Supuestos y variables del

problema Formular el modelo

matematico

CAPÍTULO I Investigación Operativa Problemas Propuestos


1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS

a) Defina ¿qué es la Investigación Operativa?

b) ¿Cuáles son los elementos en común de la Investigación Operativa?

c) ¿Cuáles son los motivos del auge de la Investigación Operativa?

d) ¿En qué circunstancia y país nace la Investigación Operativa?

e) ¿Qué ramas incluye la Investigación Operativa?

f) Citar siete ejemplos de casos reales de la Investigación Operativa.

g) ¿Cuáles son las fases de estudio de la Investigación Operativa?

h) Describa la solución del modelo.

i) Realizar un resumen del Capitulo1 en SmartArt.

j) Realizar una presentación con ideas primarias, secundarias, terciarias en la herramienta

de drive – presentaciones de Google


CAPÍTULO II………. ............................................................................................................................................................................. нп

2. PROGRAMACIÓN LINEAL ................................................................................................................................................................... нр

2.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................................................... нр

2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL ......................................................................................... нр

2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN LINEAL. ............................................................................. 2с

2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES ............................................................................................................................................... 2с

2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES ......................................................................................................................... 2ф

2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES ............................................................................................................... ом

2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES ................................................................................................................... оо

2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE INECUACIONES ........................................................................................ ор

2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN .............................................................................................................................................................. 3у

2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN ............................................................................................ 3ф

2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MAXIMIZACIÓN) ...................................................................................пм

2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MINIMIZACIÓN).................................................................................... 4т

2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO .......................................................................................................... рл

2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO ............................................................................................................................................ рм

2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA ........................................................................................................................................рн

2.6.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE ACOTADA ................................................................................................................................... со

2.6.3. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA NO ACOTADA .................................................................................................................................. ср

2.6.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE NO ACOTADA ............................................................................................................................. 6у

2.6.5. NINGUNA SOLUCIÓN .................................................................................................................................................................тл

2.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX .......................................................................................................... тп

2.7.1. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MENOR IGUAL: “≤ “) ................................................. 7с

2.7.2. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MAYOR IGUAL: “≥ “) ................................................. 8т

2.7.3. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (IGUAL: “ = “) .............................................................. фо

2.8. MINIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX .................................................................................................................................... 9с

2.9. DEGENERACIÓN, SOLUCIONES NO ACOTADAS, SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLEX EN EL MÉTODO SIMPLEX. .................................... 10с

2.9.1. DEGENERACIÓN ....................................................................................................................................................................... 10т

2.9.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS .................................................................................................................................................... 1мл

2.9.3. SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES .......................................................................................................................................... 1мм

2.10. DUALIDAD ............................................................................................................................................................................................. 1мр

2.11. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.................................................................................................................................................................... 12т

2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................................................................................... 1он

2.12.1. RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO ....................................................................................................................... 1он

2.12.2. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MAXIMIZACIÓN) .............................................................................................. мпл

2.12.3. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MINIMIZACIÓN) ............................................................................................... 1пп

2.12.4. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX DEGENERACIÓN ................................................................................................ 14т

2.12.5. PROBLEMAS DE DUALIDAD ...................................................................................................................................... 14ф

CAPÍTULO II Programación Lineal Conocimientos previos


CAPÍTULO II

2. PROGRAMACIÓN LINEAL

2.1. INTRODUCCIÓN

5En cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman, tienen por objeto hacer el mejor

uso posible (optimización) de sus recursos. Por recursos de una empresa entendemos la

maquinaria que ésta posea, sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, y las materias

primas de que disponga. Tales recursos pueden ser usados para fabricar productos

(electrodomésticos, muebles, comida, ropa, etc.) o servicios (horarios de producción, planes de

marketing y publicidad, decisiones financieras, etc.). La Programación Lineal (PL) es una

técnica matemática diseñada para ayudar a los directivos en la planificación y toma de

decisiones referentes a la asignación de los recursos.

Como ejemplos de problemas donde la PL desarrolla un papel fundamental, podríamos citar

según Dorfman, Samuelson, & Solow (1962) que:

1. A partir de los recursos disponibles, determinar las unidades a producir de cada bien de

forma que se maximice el beneficio de la empresa.

2. Elegir materias primas en procesos de alimentación, para obtener mezclas con unas

determinadas propiedades al mínimo coste.

3. Determinar el sistema de distribución que minimice el coste total de transporte, desde

diversos almacenes a varios puntos de distribución.

Desarrollar un plan de producción que, satisfaciendo las demandas futuras de los productos de

una empresa, minimice al mismo tiempo los costes totales de producción e inventario.

2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Para (Elvis, 2008) las técnicas de PL han sido ampliamente utilizadas en ámbitos tan diferentes

como el militar, industrial, financiero, de marketing, e incluso agrícola. No obstante de tal

diversidad de aplicaciones, todos los problemas de PL tienen cuatro propiedades comunes:

1. Pretenden optimizar (maximizar o minimizar) alguna cantidad (función objetivo). Así,

por ejemplo, el principal objetivo de un banquero sería maximizar beneficios, mientras

que el principal objetivo de una empresa transportista podría ser minimizar los costes de

los envíos.

5 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf



2. Habrá que tener en cuenta las restricciones que limitan el grado en el que es posible

modificar las variables que afectan a nuestra función objetivo. Así, a la hora de decidir

cuántas unidades de cada bien se han de producir, deberemos considerar, entre otras, las

limitaciones de personal y maquinaria de que disponemos.

3. El problema debe presentar distintas alternativas posibles: si una compañía produce

cuatro bienes diferentes, la dirección puede usar PL para determinar las cantidades de

recursos que asigna a la producción de cada uno de ellos (podría optar por hacer una

asignación ponderada, dedicar todos los recursos a la producción de un único bien

abandonando la producción del resto, etc.).

4. En PL, la función objetivo debe ser una función lineal, y las restricciones deben ser

expresables como ecuaciones o inecuaciones lineales.

2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN LINEAL.

Antes de entrar al estudio de la PL, vamos a revisar las ecuaciones lineales, inecuaciones

lineales con dos variables, y sistemas de inecuaciones con dos variables.

2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES

Según (Murrias, 2002). La ecuación general de la recta es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, en donde vamos

analizar específicamente la pendiente o inclinación de la recta (m), ya que en base a esto

graficaremos las inecuaciones lineales con dos variables. Vamos, a analizar los cuatro casos de

la inclinación de la recta que son:

Caso 1.- La pendiente es positiva, y forma un ángulo agudo menor a 900 desde el origen con el

eje positivo de la x.

Ecuación general: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

Dónde:

y= Variable Dependiente

x= Variable Independiente

m= Es la pendiente de la recta

ECUACIÓN DE LA RECTA

Caso1:

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

Caso 2:

𝒚 = −𝒎𝒙 + 𝒃

Caso 3:

𝒚 = ±𝒃

Caso 4:

𝒙 = ±𝒂



b= Es el punto que corta a la recta en el eje y

Ejemplos, graficar las siguientes ecuaciones:

1. 𝑦 = 𝑥 + 2

x y

0

1

2

3

2. 𝒚 = 𝒙

Caso 2.- La pendiente es negativa, y forma un ángulo agudo obtuso mayor a 900 desde el

origen con el eje negativo de la x.

Ecuación: 𝒚 = −𝒎𝒙 + 𝒃

3. 𝒚 = −𝒙 + 𝟒

X Y

0

1

4

3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Recta que pasa por el origen:

Pasa cortando por el origen en el

punto (0,0)

La pendiente es 1, el ángulo es

450, b=0

El ángulo de la pendiente positiva

está en el intervalo de: 𝟎𝐨;𝟗𝟎𝟎



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

4. 𝒚 = −𝒙

Caso 3.- La pendiente es cero, y forma un ángulo de cero grados, la recta es paralela al eje x.

Ecuación: 𝒚 = 𝒃

5. 𝒚 = 𝟑

6. 𝒚 = −𝟐

Caso 4.- La pendiente es infinita, porque el momento de calcular la pendiente con la fórmula

de dos puntos: 𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏 tenemos una división para cero, eso dentro de límites es infinito (∞)

y forma un ángulo de noventa grados con respecto al eje x, la recta es paralela al eje y.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Recta que pasa por el

origen:

Pasa cortando por el

origen en el punto (0,0)

La pendiente es -1, el

ángulo es 1350, b=0

El ángulo de la pendiente

negativa está en el

intervalo de: 𝟗𝟎𝐨; 𝟏𝟖𝟎𝟎

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2.5

3.0

3.5

4.0

x

y Nota:

La pendiente es

cero, y también el

ángulo de

inclinación es cero,

por lo que la recta

es paralela al eje x.



Ecuación: 𝒙 = 𝒂

7. 𝒙 = 𝟒

8. 𝒙 = −𝟏

2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

Según (Grossman S., 2008). Una inecuación lineal con dos incógnitas es cualquier desigualdad

que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de las

formas siguientes:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≥ 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≤ 0

En donde: a, b, c, pertenecen a los reales. La solución general está formada por el conjunto de

todos los pares (𝑥1, 𝑦1) que verifican la inecuación.

Como estudiamos en el tema anterior, la ecuación de la recta, cuando intercambiamos el signo

de desigualdad por el signo igual, obtenemos una ecuación que viene a ser la frontera de la

solución de la desigualdad.

Para resolver estas inecuaciones, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por

la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al

plano.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

𝒎 = ∞ á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟗𝟎𝒐

Recuerda:

La pendiente es infinita, y el ángulo

de inclinación es 90o, por lo que la

recta es paralela al eje y.



Ejemplo: (Vera, 2005).Si queremos resolver la inecuación: 4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0, representamos

en primer lugar la recta: 4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0, en la que intercambiamos el signo de desigualdad

por el signo igual. Para ello despejamos la variable y, y damos dos puntos que corten a los ejes

x, y como se observa en la tabla siguiente:

𝟒𝒚 + 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎, a toda la ecuación divido para (2)

2𝑦 − 𝑥 − 4 = 0

𝑦 =−𝑥−4

2

X Y

0 -2

-4 0

La recta divide al plano en dos partes, una de las cuales es la solución de la inecuación. Para

saber que parte es la solución hay dos procedimientos:

Método # 1.- Se despeja la variable (y), de la inecuación, teniendo cuidado de que si en una

inecuación multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de

sentido.

En este caso tenemos que:

𝑦 ≤−𝑥 − 4

2

Observando la gráfica vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos partes. La

solución de la inecuación será aquella parte que está por debajo de la recta en el eje (y), es

decir, la parte inferior, por lo que al despejar la ordenada, tenemos el sentido de desigualdad

(≤), quiere decir que se pinta la solución por debajo de la recta, cuando tengamos el sentido de

desigualdad (≥), la solución se pinta por encima de la recta con respecto del eje (y).

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Recuerda:

Se pinta el semiplano

inferior, desde la recta que

corta con el eje y, por lo que

al despejar la inecuación el

sentido es: ≤



Método # 2.- Se toma un punto cualquiera el más fácil, que será siempre el punto (0,0) que no

pertenezca a la recta. Para que dicho punto sea solución, se tendrá que cumplir la desigualdad,

por lo que sustituimos en la inecuación inicial el (0,0):

4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0 4(0) + 2(0) + 8 ≤ 0, es decir: 8 ≤ 0

Como esta última desigualdad es evidentemente falsa, concluimos que el semiplano que

contiene al (0,0) No es la solución, por lo que se pinta el semiplano inferior, como habíamos

obtenido antes.

Si al graficar otra inecuación por este segundo método, al reemplazar en la inecuación inicial el

punto (0,0), la desigualdad es verdadera, se pinta el semiplano que contiene dicho punto, y esa

es la solución.

Cualquiera de los procedimientos es válido si se realiza correctamente.

2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES

Para graficar una inecuación lineal seguiremos los pasos expuestos por el autor Barsov (1972)

que sugiere:

1. Reemplazar el signo de desigualdad por el signo igual y dividir el plano cartesiano

tomando como frontera la recta que representa la ecuación obtenida.

2. Tomar puntos de prueba en cada región y verificar si satisfacen la desigualdad, por

cualquiera de los dos métodos.

3. Graficar la solución, teniendo en cuenta que si la desigualdad es ≥ o ≤ la frontera está

incluida en la solución, en caso contrario la frontera no está incluida, y se grafica con

líneas entrecortadas.

9. Ejemplos: graficar la inecuación: 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟓 ≤ 𝟎

2𝑥 − 3𝑦 + 5 ≤ 0

−3𝑦 ≤ −2𝑥 − 5, a esta inecuación multiplicamos por (-1)

3𝑦 ≥ 2𝑥 + 5

𝑦 ≥2𝑥 + 5

3

x y

0 5/3

-5/2 0



10. Graficar: 𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 ≥ 𝟎

𝑦 ≥−5𝑥

4

x y

0 0

4 -5

11. Graficar la inecuación: 𝒙 + 𝒚 + 𝟓 < 𝟎

𝑥 + 𝑦 + 5 < 0

𝑦 < −𝑥 − 5

x y

0 -5

-5 0

Recuerda:

La frontera de la

desigualdad pasa

por el origen, el

primer punto es

(0,0), el otro se

escoge cualquiera

de preferencia

entero.

Recuerda:

Se pinta el semiplano superior, desde la recta que corta con el eje

y, por lo que al despejar la inecuación el sentido es: ≥

Nota: No te olvides que la inecuación inicial fue: ≤, y al multiplicar por

(-1), cambia el sentido de desigualdad.

Recuerda:

La inecuación no tiene igual, en

consecuencia, la recta que es la

frontera no es solución, y la

línea va entrecortada.



Recuerda:

Los valores en x mayores que

dos, y menores o iguales que

cuatro son: 2.1, 3,4

Intervalo: (2; 4

12. Graficar: 𝒚 ≥ 𝟐

13. Graficar: 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟒

2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES

Se llama sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas al conjunto formado por n de

estas inecuaciones, es decir:

{

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 < 0𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 ≥ 0

…… . .𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 + 𝑐𝑛 ≤ 0

Los signos de desigualdad, pueden ser: ≤; ≥; >; <

Obtener la solución de un sistema de este tipo supone obtener el semiplano solución de cada

una de las inecuaciones que lo forman y averiguar la intersección de todos ellos.

Recuerda:

Los valores en (y) mayores

o iguales que dos son:

2,3,4,5,…

Intervalo: 2;∞)



La solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas es siempre un conjunto

convexo.

Se llama conjunto convexo a una región del plano tal; que para dos puntos cualesquiera de la

misma, el segmento que los une está íntegramente contenido en dicha región. Como casos

particulares, un conjunto convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un

segmento, a un punto o al conjunto vacío.

Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la intersección de

ellos, vértices. Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a la solución del sistema de

inecuaciones se denominan puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto

respecto a cada lado o vértice según se incluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o no

acotado, según su área sea o no finita.

14. Graficar el siguiente sistema de inecuaciones:

{

2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3 (𝟏)2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0 (𝟐)2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0 (𝟑)

Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3

2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3

3𝑦 ≥ −3 − 2𝑥

𝑦 ≥ −2𝑥

3− 1

2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0

−𝑦 ≤ 9 − 2𝑥 ∗ (−1)

𝑦 ≥ 2𝑥 − 9

2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0

−5𝑦 ≥ 5 − 2𝑥 ∗ (−1)

5𝑦 ≤ 2𝑥 − 5

𝑦 ≤2𝑥

5− 1

Pasos para graficar el sistema de inecuaciones:

Paso # 1.- Se numera las restricciones Paso # 2.- Se despeja la variable y de cada

inecuación. Paso # 3.- Se realiza la tabla de valores con dos

puntos, cuando x= 0; cuando y= 0; además cuando la

recta pasa por el origen se toma cualquier valor.

Paso # 4.- Se grafica cada una de las inecuaciones

dependiendo del sentido de desigualdad (≤;≥),

obtenida en el paso # 2.

Paso # 5.- Se pinta la intersección de todas las

inecuaciones. Dicha región pintada es la solución del sistema. De no intersecarse una de ellas entonces el

sistema no tiene solución.



Tabla de valores

x y

0 -1

-3/2 0

Tabla de valores

x y

0 -9

9/2 0

Tabla de valores

x Y

0 -1

5/2 0

/

2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE INECUACIONES

Para comprobar la zona sombreada o la intersección de todas las inecuaciones, escogemos un

punto cualquiera que esté dentro de la zona pintada, y remplazamos en cada una de las

inecuaciones, dicho punto debe satisfacer todas las inecuaciones. Ejemplo del ejercicio # 14.

{

2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3 2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0 2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0

Observamos la solución de la gráfica pintada y seleccionamos el P (2,-1). Reemplazamos el punto P (2,-1) en el sistema de inecuaciones iniciales.




2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3

2(2) + 3(−1) ≥ −3

4 − 3 ≥ 0

1 ≥ −3

Verdadero

2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0

2(2) − (−1) − 9 ≤ 0

4 + 1 − 9 ≤ 0

−4 ≤ 0

Verdadero

2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0

2(2) − 5(−1) − 5 ≥ 0

4 + 5 − 5 ≥ 0

4 ≥ 0

Verdadero


{

𝑥 ≥ 0 (𝟏) 𝑦 ≥ 0 (𝟐)𝑦 + 𝑥 − 2 ≤ 0 (𝟑)


𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0

𝑦 + 𝑥 − 2 ≤ 0

𝑦 ≤ −𝑥 + 2

Interpretación de la recta

La recta es paralela al eje y

𝒙 = 𝟎

Solución: 𝟎;+∞)


La recta es paralela al eje x

𝒚 = 𝟎

Solución: 𝟎;+∞)

Tabla de valores

x y

0 2

2 0

Recuerda:

Las inecuaciones 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; quiere

decir que la solución es el primer cuadrante,

y todo dependerá de las otras inecuaciones.




{

𝑥 + 𝑦 > 1 (𝟏)3𝑥 − 5 ≤ 𝑦 (𝟐)𝑦 < 2𝑥 (𝟑)


𝑥 + 𝑦 > 1

𝑦 > −𝑥 + 1

3𝑥 − 5 ≤ 𝑦

𝑦 ≥ 3𝑥 − 5

𝑦 < 2𝑥

Recta que pasa por el origen

Tabla de valores

x y

0 1

1 0

Tabla de valores

x y

0 -5

5/3 0

Tabla de valores

x Y

0 0

1 2


{

1 ≤ 𝑦 ≤ 4 (𝟏)2 ≤ 𝑥 ≤ 4 (𝟐)𝑦 ≥ 𝑥 (𝟑)

Recuerda:

Las inecuaciones número

uno y tres, las rectas son

entrecortadas porque no

contiene el signo igual.




1 ≤ 𝑦 ≤ 4 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑦 ≥ 𝑥

Recta que pasa por el

origen


La recta es paralela al

eje x

𝒚 = 𝟏 ; 𝒚 = 𝟒

Solución: 𝟏; 𝟒


La recta es paralela al

eje y

𝒙 = 𝟐; 𝒙 = 𝟒

Solución: 𝟐; 𝟒

Tabla de valores

x Y

0 0

2 2

2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Optimización.- Para tener significado, esto debería escribirse en una expresión matemática que

contenga una o más variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se formula,

en términos generales, es ¿qué valores deberían tener estas variables para que la expresión

matemática tenga el mayor valor numérico posible (maximización) o el menor valor numérico

posible (minimización)?. A este proceso general de maximización o minimización se lo

denomina optimización.

La optimización, también denominada programación matemática, sirve para encontrar la

respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor

producción o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia,

estos problemas implican utilizar de la manera más eficiente los recursos, tales como dinero,

tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc.



Los problemas de optimización generalmente se clasifican en lineales y no lineales, según las

relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables. Existe una serie de paquetes

de software para resolver problemas de optimización. Por ejemplo, QM for windows o

WinQSB, resuelven modelos de programas lineales6.

2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

1. Definición de variables: Como primer paso para modelar ordenadamente un problema

de optimización, debemos distinguir qué variables son aquellas sobre las que vamos a

tomar decisiones en el problema, siendo cuidadosos y definidas en forma concreta.

Estas variables por lo general las podemos identificar en la pregunta del problema y

generalmente se designan con letras sub-indizadas. Cada variable debe presentar una

cantidad que corresponda a una misma unidad de medida (utilidad, horas, artículos,

precios, entre otros).

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛= Variables del problema.

2. Determinación de la función objetiva: Es la ecuación matemática que representa el

objeto planteado, la misma que se expresa mediante una función lineal de la

combinación de las variables discretas en la pregunta del problema; la que puede

generar un mayor cuando se trata de maximizar beneficios y en un menor valor cuando

se trata de minimizar costos.

𝑍(max 𝑜 min ) = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛

En donde:

𝑧(max 𝑜 min ) =Función Objetiva del problema (F.O.)

𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐𝑛 = Coeficientes unitarios que acompañan a las variables en la F.O.

(beneficios, costos, precios, entre otros)

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥𝑛= Variables del problema, donde se quiere llegar.

3. Planteamiento de las restricciones: Representan las condiciones y/o recursos a las que

está expuesto el problema y se muestran por medio de desigualdad de tipo lineal, ya

sean estas: físicas, económicas, técnicas, entre otras.

𝐴11𝑥1 + 𝐴12𝑥2 + 𝐴13𝑥3 + … + 𝐴1𝑛𝑥𝑛 𝑇1 𝐵1

𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 𝐴23𝑥3 + … + 𝐴2𝑛𝑥𝑛 𝑇2 𝐵2

𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + … + 𝐴3𝑛𝑥𝑛 𝑇3 𝐵3

: : : : : : :

𝐴𝑚1𝑥1 + 𝐴𝑚2𝑥2 + 𝐴𝑚3𝑥3 + … + 𝐴𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑇𝑛 𝐵𝑛

6 http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640s/spanishd.htm#rop

CAPÍTULO II Programación Lineal


En donde:

𝐴𝑖𝑗= Coeficiente que acompaña a las variables en las restricciones.

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥𝑛= Variables de decisión del problema

𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇𝑛= Signo de restricción del problema (≥, ≤, =)

𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, 𝐵𝑛= Disponibilidad del problema

Para la asignación de los signos, con respecto a la disponibilidad, no pueden tener una

desigualdad estricta con los signos ≥ o ≤, deben ser con los signos ≥, ≤ o =. Con frecuencia las

restricciones suelen ir con signo ≤ cuando se trata de maximización y con el signo ≥ cuando se

trata de minimización; además no es una regla general, se pueden identificar los signos de las

restricciones mediante la terminología en los enunciados tales como:

Para ≥: “mayor igual a”, “al menos”, “por lo menos”, “como mínimo”, “un mínimo

de”, otros similares.

Para ≤: “menor igual a”, “a lo mucho”, “cuando mucho”, “como máximo”, “no más

de”, otros similares.

Para =: “igual a”, “únicamente”, “un total de”, otros similares.

Para el planteamiento de las restricciones se puede hacer uso de una tabla (opcional) facilitará

la identificación de los recursos, donde las variables de las restricciones deben estar siempre en

las mismas unidades; dicho de otra forma más simple, si un recurso está dado por horas, los

espacios correspondientes a las variables tendrán que estar en horas, y por ende la

disponibilidad también deberá estar en horas, caso contrario se tendrá que realizar la conversión

de unidades.

RECURSOS VARIABLES DISPONIBILIDAD

Mano de

obra (horas) 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛

Horas horas horas horas horas

4. Condiciones de no negatividad: Son restricciones adicionales que nos indican que las

soluciones obtenidas deben ser siempre positivas, es decir, mayores o igual a cero.

𝑥𝑛 ≥ 0

5. Condiciones de optimización: Es la utilización de algún método para la resolución del

problema, el mismo que nos ayudará a interpretar la solución, pueden ser:

Método gráfico.

Método simplex primal.

Método simplex dual.

Modelo de transporte.

Conocimientos previos



2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

(MAXIMIZACIÓN)

18. Una fábrica produce dos tipos de camisas A y B; las camisas de tipo A requieren 2.5

minutos para corte y 5 minutos para confección; las de tipo B, requieren 4 minutos para

corte y 4 minutos para confección. Se necesita 1 hora y 40 minutos para corte y 2 horas

para confección, siendo el beneficio de 2.5 dólares por cada camisa tipo A y 3 dólares

por camisa de tipo B. ¿Cuántas camisas de cada tipo debe producirse para obtener su

máximo beneficio?

1.- Definición de variables:

𝑥1 = Camisas tipo A

𝑥2 = Camisas tipo B

2.- Función objetiva: 𝑍(max ) = 2.5𝑥1 + 3𝑥2

3.-Restricciones:

1 ℎ𝑜𝑟𝑎 40 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 100 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 120 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

RECURSOS VARIABLES

DISPONIBILIDAD 𝑥1 𝑥2

Corte (min) 2.5 4 100

Confección (min) 5 4 120

{2.5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 100 (𝟏)

5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 120 (𝟐)

4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

19. Una fábrica produce dos tipos de productos A y B; el primero requiere la utilización de

7kg de materia prima, 2 horas/hombre de mano de obra, y 4,5 horas/máquina de

utilización de maquinaria. El segundo requiere 3kg de materia prima, 3 horas/hombre de

mano de obra y 4 horas máquina de utilización de maquinaria. La empresa cuenta para

la fabricación de productos con los siguientes recursos: 21kg de materia prima, 12

horas/hombre de mano de obra y 18 horas/máquina. ¿Cuál es la combinación óptima de

producción que maximice el beneficio, suponiendo que la fábrica estima ganar $15 por

cada unidad de producto A y $ 11 por cada unidad del producto B?


𝑥1 = Producto A

𝑥2 = Producto B

2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 15𝑥1 + 11𝑥2

3.-Restricciones:




RECURSOS VARIABLES


Materia prima 7 kg 3 kg 21 kg

Mano de obra 2h/H 3h/H 12 h/H

Utilización maquinaria 4,5 h/m 4h/m 18 h/m

Beneficio $15 $11

{

7𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 21 (𝟏)

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12 (𝟐)

4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18 (𝟑)


20. Para la fabricación de dos productos, se utilizan dos tipos de materiales M1 y M2 para

la fabricación de dichos productos, P1 y P2. La disponibilidad de los materiales M1 y

M2 es de 135 y 120 toneladas, en su orden. El producto P1 contiene el 30% de M1 y

40% de M2; mientras que el producto P2 contiene el 70% de M1 y 60% de M2. Las

utilidades unitarias de los productos P1 y P2 son $3 y $5, respectivamente. La demanda

del producto P1 está entre 25 y 130 unidades y la de P2 entre 35 y 150 unidades

¿Cuántos productos de cada uno se debe fabricar para maximizar sus utilidades?


𝑥1 = Productos P1

𝑥2 = Productos P2


3.-Restricciones:

RECURSOS VARIABLES


Material 1 (Tn) 0,30 0,70 135

Material 2 (Tn) 0,40 0,60 120

{

0,30𝑥1 + 0,70𝑥2 ≤ 135 (𝟏)

0,40𝑥1 + 0,60𝑥2 ≤ 120 (𝟐)

25𝑥1 ≤ 130 (𝟑)

35𝑥2 ≤ 150 (𝟒)





21. Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de

aluminio. Para fabricar 100 m de cable de tipo A, se necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de

titanio y 1 kg de aluminio, y se obtiene de él un beneficio de $ 1500. Para fabricar 100

m de cable de tipo B, se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio, y

se obtiene un beneficio de $ 1000. Calcular cuántos metros de cable hay que fabricar, de

cada tipo; para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es ese beneficio?


𝑥1 = Metros de cable tipo A

𝑥2 = Metros de cable tipo B


3.-Restricciones:

RECURSOS VARIABLES


Cobre (Kg) 10 15 195

Titanio (Kg) 2 1 20

Aluminio (Kg) 1 1 14

Beneficio ($) 1500 1000

{

10𝑥1 + 15𝑥2 ≤ 195 ÷ 52𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 14

= {

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 39 (𝟏)

2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 120 (𝟐)

𝑥1 + 𝑥2 ≤ 14 (𝟑)


22. Un fabricante de muebles produce dos tipos de mesas: clásicas y modernas. Cada mesa

del modelo clásico requiere 4 horas de lijado y 3 horas de barnizado, y deja un beneficio

de 200 dólares. No deben fabricarse más de 9 de estas mesas. Cada mesa moderna

necesita 3 horas de lijado y 4 horas de barnizado, y su beneficio es de 100 dólares. Se

dispone de 48 horas para lijado y de 60 horas para barnizado. ¿Cuántas mesas de cada

tipo se han de fabricar para que sus beneficios sean máximos?


𝑥1 = Número de mesas clásicas

𝑥2 = Número de mesas modernas


3.-Restricciones:




RECURSOS VARIABLES


Lijado 4 3 48

Barnizado 3 4 60

Beneficio ($) 200 100

{

𝑥1 ≤ 9 (𝟏)

4𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 48 (𝟐)

3𝑥1+4𝑥2 ≤ 60 (𝟑)


23. Un mayorista desea comprar dos tipos de televisores TV1 y TV2, los de tipo TV1

cuestan 300 dólares y los de tipo TV2 500 dólares la unidad. Dispone de 7000 dólares

para realizar las compras, y en su almacén, únicamente dispone de espacio para 20

televisores. En la venta de cada televisor gana el 30% del precio de la compra. ¿Cuántos

televisores de cada tipo han de comprar para maximizar su beneficio?


𝑥1 = TV1

𝑥2 = TV2

2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 300(30%)𝑥1 + 500(30%)𝑥2

𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 90𝑥1 + 150𝑥2

3.-Restricciones:

RECURSOS VARIABLES


Capital ($) 300 500 7000

Espacio 1 1 20

{300𝑥1 + 500𝑥2 ≤ 7000 ÷ 100 𝑥1 + 𝑥2 = 20

= {3𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 70 (𝟏)

𝑥1 + 𝑥2 = 20 (𝟐)


24. Los estudiantes en la universidad deben tomar por lo menos 3 cursos de humanidades y

2 de ciencias. El número máximo permitido de cursos de ciencias es de 5. El número

total de créditos en ciencias y humanidades no debe exceder de 80. Los puntos de

calidad para cada curso se asignan de la manera usual: el número de horas crédito por 4

para una calificación de A, por 3 para una calificación de B y por 2 para una

calificación de C. Cierto estudiante espera obtener B en todos sus cursos de ciencias.




Espera obtener C en la mitad de sus cursos de humanidades, B en la cuarta parte de

ellos y A en el resto. Bajo esas hipótesis, ¿Cuántos cursos de cada clase debe tomar para

obtener el máximo número posible de horas?


𝑥1 = Curso de ciencias

𝑥2 = Curso de Humanidades

2.- Función objetiva:

Calificación: A= 4

B= 3

C= 2

𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 3𝑥1 + (2

2+

3

4+

4

4)𝑥2

𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 3𝑥1 + 2,75𝑥2

3.-Restricciones:

RECURSOS VARIABLES


Créditos 5 4 80

{

𝑥2 ≥ 3 (𝟏)

𝑥2 ≤ 12 (𝟐)

𝑥1 ≥ 4 (𝟑)

5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 80 (𝟒)


25. La empresa lechera Milk, no puede recibir más de 100000 litros de leche al día, debido

a las limitaciones impuestas por el congestionamiento de recepción. Las políticas de la

administración requieren el uso de al menos 10000 litros de leche diarios para la

fabricación de queso, y el resto para ser empleado en manteca o leche embotellada,

según lo permita el equipo. El beneficio de un litro según como se emplee es como

sigue:

Manteca $ 0.02

Leche $ 0.10

Queso $ 0.30

El equipo para fabricar manteca puede procesar hasta 60000 litros de leche por día y el

de fabricar queso hasta 30000 litros de leche diarios. Plantear el problema.


𝑥1 = Litros de leche para manteca


CAPÍTULO II Programación Lineal Problemas de optimización


𝑥2 = Litros de leche para leche

𝑥3 = Litros de leche para queso

2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 0.02𝑥1 + 0.10𝑥2 + 0.03𝑥3

3.-Restricciones:

RECURSOS VARIABLES

DISPONIBILIDAD 𝑥1 𝑥1 𝑥3

Total 1 1 1 100000

Manteca 1 60000

Leche 1 10000

Queso 1 30000

{

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 100000 (𝟏)

𝑥1 ≤ 60000 (𝟐)

𝑥2 ≤ 10000 (𝟑)

𝑥3 ≤ 3000 (𝟒)

4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

26. Un agricultor posee un terreno de 100 hectáreas, ahí quiere producir papas y arveja, por

su experiencia él calcula que una hectárea puede producir 20 qq si solo siembra papas o

25 qq si solo se cultiva arveja. Los recursos con que cuenta, además del terreno, son

8000 unidades monetarias; la hectárea de papas requiere un capital de 1000 unidades

monetarias y la de arveja requiere 1200 unidades monetarias, las necesidades de agua de

riego son de 800 m3 y 700 m

3 por hectárea de papas y arveja. La disponibilidad de agua

en ese sector es de 5800 m3. Si los precios de venta son de 18 unidades monetarias por

qq de papas y 16 por qq de arveja. ¿Cuánto se debe producir de cada producto para

maximizar la ganancia?


𝑥1 = Quintales de papas

𝑥2 = Quintales de arveja


3.-Restricciones:

{

1

20𝑥1 +

1

25𝑥2 ≤ 100

1000

20𝑥1 +

1200

25𝑥2 ≤ 8000

800

20𝑥1 +

700

25𝑥2 ≥ 5800

= {

1

20𝑥1 +

1

25𝑥2 ≤ 100 (1)

25𝑥1 + 24𝑥2 ≤ 4000 (2)

10𝑥1 + 7𝑥2 ≥ 1450 (3)




2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MINIMIZACIÓN)

27. Una empresa fabricante de automóviles produce dos modelos, A y B. Tiene dos

factorías, F1 y F2. En F1 se producen diariamente 6 coches tipo A y 4 tipos B, con un

coste de $ 32 000 diarios. F1 no funciona más de 50 días. En F2 se producen 4 de A y 4

de B, con un coste de $ 24 000 diarios. Para abastecer el mercado, se han de poner a la

venta al menos 360 coches de tipo A y al menos 300 de tipo B. ¿Cuántos días debe

funcionar cada factoría para que el coste sea mínimo?, y ¿Cuál es ese costo?


𝑥1 = Número de días que debe funcionar F1.

𝑥2 = Número de días que debe funcionar F2.

2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 32000𝑥1 + 24000𝑥2

3.-Restricciones:

RECURSOS VARIABLES


Modelo A 6 4 360

Modelo B 4 4 300

Costo ($) 32000 24000

{0 ≤ 𝑥 ≤ 50

6𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 360 ÷ 24𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 300 ÷ 4

= {

0 ≤ 𝑥 ≤ 50 (𝟏)

3𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 180 (𝟐)

𝑥1 + 𝑥2 ≥ 75 (𝟑)


28. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con

una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res

contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra; la

carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60 centavos por libra.

¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón,

si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?


𝑥1 = Número de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de albondigón.

𝑥2 = Número de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de albondigón.

2.- Función objetivo: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 80𝑥1 + 60𝑥2

3.-Restricciones:

RECURSOS VARIABLES


Grasa (res, cerdo) 0.20 0.32 0.25

Carne (res, cerdo) 1 1 1

Costo ($) 80 60



{0.20𝑥1 + 0.32𝑥2 ≤ 0.25 ∗ 100 𝑥1 + 𝑥2 = 1

= {20𝑥1 + 32𝑥2 ≤ 25 (𝟏)

𝑥1 + 𝑥2 = 1 (𝟐)


29. Se desea realizar una mezcla con dos sustancias, A y B, que ha de contener como

mínimo 10 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias las venden dos proveedores

en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal, que los contenidos de B y de A

están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de A. El lote del segundo proveedor es tal

que los contenidos de A y de B están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de B. El

primer proveedor vende cada lote a $10 y el segundo al doble. Ambos proveedores nos

venden lotes enteros o fracciones de ellos. ¿Qué número de lotes hemos de comprar

para que el coste sea mínimo?


𝑥1 = Lotes del primer proveedor.

𝑥2 = Lotes del primer proveedor.

2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 10𝑥1 + 20𝑥2

3.-Restricciones:

RECURSOS VARIABLES


Sustancia A 1 4 10

Sustancia B 4 1 10

Costo ($) 10 20

{𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 10 (𝟏)

4𝑥1 + 𝑥2 ≥ 10 (𝟐)


30. Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y

novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 760 pesetas, y

el de cada novedad 370. Se desea un coste total que no supere las 94500 pesetas. Por

otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean, al menos, la mitad que las

novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100

unidades. Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo, ¿de cuántas unidades

de cada tipo ha de constar el pedido? ¿Cuál es entonces el coste del pedido?


𝑥1 = Número de películas de estreno.

𝑥2 = Número de películas de novedades.

2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 𝑥1 + 𝑥2

3.-Restricciones:



{

760𝑋1 + 370𝑋2 ≤ 94500 ÷ 10

𝑋1 ≥ 𝑋2

2

𝑋2 + 𝑋1

2≥ 100

= {

76𝑋1 + 37𝑋2 ≤ 9450 (𝟏)

2𝑋1 ≥ 𝑋2 (𝟐)

𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 200 (𝟑)


31. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidad de los distintos tipos

de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo

mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingredientes

nutritivos básicos, contenidos en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los

requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos.

Ingrediente

nutricional Kg de maíz

Kg de

grasa

Kg de

alfalfa

Mínimo

diario

Carbohidratos 90 20 40 200

Proteínas 30 80 60 180

Vitaminas 10 20 60 150

Costos($) 42 36 30


𝑥1 = Cantidad de kilogramos de maíz.

𝑥2 = Cantidad de kilogramos de grasas.

𝑥3 = Cantidad de kilogramos de alfalfa.

2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 42𝑥1 + 36𝑥2 + 30𝑥3

3.-Restricciones:

{

90𝑥1 + 20𝑥2 + 40𝑥3 ≥ 200 ÷ 10 30𝑥1 + 60𝑥2 + 80𝑥3 ≥ 180 ÷ 1010𝑥1 + 20𝑥2 + 60𝑥3 ≥ 150 ÷ 10

= {

9𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 ≥ 20 (𝟏)

3𝑥1 + 6𝑥2 + 8𝑥3 ≥ 18 (𝟐)

1𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 ≥ 15 (𝟑)


32. Una planta produce 3300000 barriles de cemento por año. Los hornos emiten 2 lb de

polvo por cada barril producido. La compañía cementera debe reducir sus emisiones a

no más de 1000000 lb anuales. Hay dos tipos de control disponibles, A y B. El A reduce

las emisiones a 1

2 lb por barril, y el costo es de $0,25 por barril de cemento producido.

En el caso del dispositivo B, la reducción es de 1

4 lb por barril y su costo de $0,40 por

barril de cemento producido. Determine el plan de acción más económico que la planta

debe tomar de modo que mantenga exactamente la misma producción anual.


𝑥1 = Número de barriles con el dispositivo A.

𝑥2 = Número de barriles con el dispositivo B.

𝑥3 = Número de barriles sin dispositivo.

CAPÍTULO II Programación Lineal Método gráfico


𝒙𝟏

𝒙𝟐

2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 0,25𝑥1 + 0.40𝑥2 + 0𝑥3

3.-Restricciones:

{

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3300000 (𝟏)1

2𝑥1 +

1

4𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 1000000 (𝟐)


2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO La resolución de problemas lineales mediante el método gráfico solamente se la realizara

cuando en la formulación existan dos variables, ya que este método utiliza el eje de coordenadas

del plano cartesiano, donde el eje de las abscisas representa a (𝒙𝟏) y el eje de las ordenadas representa a (𝒙𝟐) que son las variables de decisión del problema. (Cagigal , 1981, pág. 16)

Para resolver por el método gráfico, vamos a partir de los puntos estudiados anteriormente,

como son: definición de variables, función objetiva, restricciones, no negación, y también la

resolución gráfica de sistemas de inecuaciones, entonces se procede como se detalla a

continuación:

1. Región factible.- Es la intersección de todas las inecuaciones graficadas una por una,

los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto

convexo acotado (poligonal) o no acotado, llamado región factible del problema.

Se trata de buscar, entre todos esos puntos, aquel o aquellos que hagan el valor de la

función operativa máximo o mínimo, según sea el problema.

2. Hallar las coordenadas de los vértices de la región factible.- Se procede a señalar los

vértices con letras mayúsculas del abecedario, y se iguala las restricciones que cortan en

cada vértice para poder encontrar los puntos de intersección de las rectas. A dichos

puntos se denominan soluciones factibles, de todas esas soluciones factibles, aquellas

que hacen optima (máxima o mínima) la función objetiva se llaman soluciones óptimas.



3. Determinación gráfica del punto óptimo.- En este caso se representa el vector

director de la recta que viene dada por la ecuación de la función objetivo, 𝐹(𝑥1, 𝑥2) =

𝐴𝑥1 + 𝐵𝑥2, que hay que maximizar o minimizar. El vector director de la recta 𝐴𝑥1 +

𝐵𝑥2 viene dado por 𝒗(−𝑩,𝑨). Además, como lo único que nos importa es la dirección

del vector y no su módulo (longitud), podemos dividir a las coordenadas del vector si

los números son muy grandes, puesto que vectores con coordenadas proporcionales

tienen la misma dirección. Posteriormente, se trazan rectas paralelas a este vector que

pasen por los vértices de la región factible (si es acotada), o por todo el borde de la

región factible (cuándo no es acotada) y se observa en qué vértice la función F se hace

máxima (o mínima) sin más que tener en cuenta cuál de las rectas tiene mayor (o

menor) ordenada en el origen, es decir, qué recta corta en un punto mayor o menor al

eje y o 𝒙𝟐.

4. Determinación algebraica del punto óptimo.- Consiste simplemente, en sustituir

cada uno de los vértices de la región factible en la función objetivo. La solución óptima

vendrá dada por aquel que tome el mayor valor en el caso de maximización, o el menor

en el caso de minimización.

5. Interpretación de la solución lógica.- Consiste en hacer un informe de los resultados

encontrados para su respectiva implementación. 6. Comprobación.- La solución óptima debe satisfacer todo el sistema de inecuación con

la función objetivo.

2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO

En general, un problema de programación lineal puede tener una, infinitas o ninguna solución.

Lo que si se verifica es la siguiente propiedad:

Si hay una única solución óptima, esta se encuentra en un vértice de la región factible, y si hay

infinitas soluciones óptimas, se encontrarán en un lado de la región factible. Es posible que no

haya solución óptima, pues cuando el recinto es no acotado, la función objetivo puede crecer o

decrecer indefinidamente.

TIPOS DE SOLUCIÓN

Caso1:

Solución única,

acotada

Caso 2:

Solución múltiple, acotada

Caso 3:

Solución única y

múltiple, No acotada

Caso 4:

Ninguna solución



2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA

Este tipo de solución es la de mayor utilidad en problemas reales de programación

lineal, y la solución óptima única se encuentra en un vértice de la región factible.

Ejemplo.

33. Para la resolución de este ejemplo cogemos los datos del problema # 19, y resolvemos

por el método gráfico.

1.- Datos del problema:

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Producto A.

𝒙𝟐 = Producto B.

FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁 = 𝟏𝟓𝒙𝟏 + 𝟏𝟏𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

{

𝟕𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏 (𝟏)

𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐 (𝟐)

𝟒, 𝟓𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟖 (𝟑)

2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:


𝟕𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏

𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏 − 𝟕𝒙𝟏

𝒙𝟐 ≤𝟐𝟏 − 𝟕𝒙𝟏

𝟑

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12

3𝑥2 ≤ 12 − 2𝑥1

𝑥2 ≤12 − 2𝑥1

3

4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18

4𝑥2 ≤ 18 − 4,5𝑥1

𝑥2 ≤18 − 4,5𝑥1

4

Tabla de valores

𝒙𝟏 𝒙𝟐

0 7

3 0

Tabla de valores

𝒙𝟏 𝒙𝟐

0 4

6 0

Tabla de valores

𝒙𝟏 𝒙𝟐

0 4,5

4 0



3.- Gráfica de la región factible:

4.- Cálculo de los vértices:

Coordenada A Coordenada B Coordenada C

Se obtiene de la gráfica 𝑨 = (𝟎, 𝟒)

Recta 2 y 3 2𝑥1 + 3𝑥2 = 12 (−4)

4,5𝑥1 + 4𝑥2 = 18 (3)

−8𝑥1 − 12𝑥2 = −48

13,5𝑥1 + 12𝑥2 = 54

5,5𝑥1 = 6

𝑥1 =6

5,5

𝑥1 = 1,09

Reemplazamos en 2 2𝑥1 + 3𝑥2 = 12

2(1,09) + 3𝑥2 = 12

2,18 + 3𝑥2 = 12

𝑥2 =12 − 2,18

3

𝑥2 = 3,27

𝑩(𝟏, 𝟎𝟗; 𝟑, 𝟐𝟕)

Recta 1 y 3 7𝑥1 + 3𝑥2 = 21 (−4)

4,5𝑥1 + 4𝑥2 = 18 (3)

−28𝑥1 − 12𝑥2 = −84

13,5𝑥1 + 12𝑥2 = 54

−14,5𝑥1 = −30

𝑥1 =−30

−14,5

𝑥1 = 2,06

Reemplazamos en 1 7𝑥1 + 3𝑥2 = 21

7(2,06) + 3𝑥2 = 21

3𝑥2 =21 − 14,42

3

𝑥2 =6,58

3

𝑥2 = 2,19

𝑪(𝟐, 𝟎𝟔; 𝟐, 𝟏𝟗)

Coordenada D Coordenada E

Se obtiene de la gráfica 𝑨 = (𝟑, 𝟎)

Se obtiene de la gráfica 𝐴 = (0, 𝟎)

REGIÓN

FACTIBLE



5.- Determinación gráfica del punto óptimo: Se grafica el vector: 𝒗(−𝑩,𝑨), con los coeficientes de la función objetivo

𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 15𝑥1 + 11𝑥2

𝒗(−𝟏𝟏, 𝟏𝟓), por motivos de la escala dividimos al vector para cinco, entonces tenemos: 𝒗(−𝟐, 𝟐 ; 𝟑)

La Solución gráfica del punto óptimo es: 𝑪(𝟐, 𝟎𝟔; 𝟐, 𝟏𝟗).

6.- Determinación algebraica del punto óptimo: 𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟓𝒙𝟏 𝟏𝟏𝒙𝟐 𝒁

𝑨(𝟎, 𝟒) 15(0) 11(4) 44

𝑩(𝟏, 𝟎𝟗; 𝟑, 𝟐𝟕) 15(1,09) 11(3,27) 52,32

𝑪(𝟐, 𝟎𝟔; 𝟐, 𝟏𝟗) 15(2,06) 11(2,19) 54,99

𝑫(𝟑, 𝟎) 15(3) 11(0) 45

𝑬(𝟎, 𝟎) 15(0) 11(0) 0

Recuerda:

El vector trazamos desde el origen P(0;0); al

trazar rectas paralelas al vector desde cada

vértice, observamos que la recta paralela que

corta en el eje y con mayor valor se inicia desde

el punto C, como el ejercicio nos dice

maximizar nuestra respuesta es el punto C.

Si fuera minimización escogemos la recta

paralela con menor valor en el eje y.

ta: No te olvides que la inecuación inicial fue: ≤, y

al multiplicar por (-1), cambia el sentido de

desigualdad.

PUNTO MÁXIMO



7.- Interpretación:

La empresa debe fabricar 2,06 unidades del producto A y 2,19 unidades del producto B para

obtener un máximo beneficio de $54,99.

8.- Comprobación:


𝟕𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏

𝟕(𝟐) + 𝟑(𝟐) ≤ 𝟐𝟏

𝟏𝟒 + 𝟔 ≤ 𝟐𝟏

𝟐𝟎 ≤ 𝟐𝟏

Verdadero

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 1 2(2) + 3(2) ≤ 12

4 + 6 ≤ 12 10 ≤ 12

Verdadero

4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18

4,5(2) + 4(2) ≤ 18 9 + 8 ≤ 18 17 ≤ 18

Verdadero

34. La empresa TECNOLOGYRV fabricante de computadores produce dos modelos, A y

B. Para ello dispone de dos sucursales S1 y S2. En la S1 se producen diariamente 4

computadores tipo A y 7 computadores tipo B, con un coste de $ 12 diarios. En S2 se

producen 5 de A y 2 de B, con un coste de $ 8 diarios. Además, quiere que lo invertido

en la sucursal S1 sea, a lo mucho, igual a lo invertido en la sucursal S2. Para abastecer

el mercado, se han de poner a la venta máximo 20 computadores de tipo A y al menos

14 de tipo B. ¿Cuántos días debe funcionar cada sucursal para que el coste sea mínimo?

¿Cuál es ese costo?

1.- Datos del problema

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Número de días que debe funcionar S1.

𝒙𝟐 = Número de días que debe funcionar S2.

FUNCIÓN OBJETIVO: Minimizar: 𝒁 = 𝟏𝟐𝒙𝟏 + 𝟖𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

{

𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎 (𝟏)

𝟕𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟒 (𝟐)

𝒙𝟏 ≤ 𝒙𝟐 (𝟑)

No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎

2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación.


𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎

𝟓𝒙𝟐 ≤ −𝟒𝒙𝟏 + 𝟐𝟎

𝒙𝟐 ≤−𝟒𝒙𝟏 + 𝟐𝟎

𝟓

7𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 14

2𝑥2 ≥ −7𝑥1 + 14

𝑥2 ≥−7𝑥1 + 14

2

𝑥1 ≤ 𝑥2

𝑥2 ≥ 𝑥1

Recta que pasa por el origen



Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 4

5 0

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 7

2 0

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 0

2 2


4.- Cálculo de los vértices:

Coordenada A Coordenada B Coordenada C

Recta 1 y 2

𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 (𝟕)

𝟕𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟒 (−𝟒)

𝟐𝟖𝒙𝟏 + 𝟑𝟓𝒙𝟐 = 𝟏𝟒𝟎

−𝟐𝟖𝒙𝟏 − 𝟖𝒙𝟐 = −𝟓𝟔

𝟐𝟕𝒙𝟐 = 𝟖𝟒

𝒙𝟐 =𝟖𝟒

𝟐𝟕

𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟏

Recta 2 y 3

7𝑥1 + 2𝑥2 = 14

𝑥1 − 𝑥2 = 0 (−7)

7𝑥1 + 2𝑥2 = 14

−7𝑥1 + 7𝑥2 = 0

9𝑥2 = 14

𝑥2 =14

9

𝑥2 = 1.56

Recta 1 y 3

4𝑥1 + 5𝑥2 = 20

𝑥1 − 𝑥2 = 0 (−4)

4𝑥1 + 5𝑥2 = 20

−4𝑥1 + 4𝑥2 = 0

9𝑥2 = 20

𝑥2 =20

9

𝑥2 = 2.22

REGIÓN

FACTIBLE



Reemplazamos en 1

𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 = 𝟐𝟎

𝟒𝒙𝟏 + 𝟓(𝟑, 𝟏) = 𝟐𝟎

𝟒𝒙𝟏 = 𝟐𝟎 − 𝟏𝟓, 𝟓

𝒙𝟏 =𝟒, 𝟓

𝟒

𝒙𝟏 = 𝟏. 𝟏

𝑨 = (𝟏. 𝟏; 𝟑. 𝟏)

Reemplazamos en 2

7𝑥1 + 2𝑥2 = 14

7𝑥1 + 2(1,56) = 14

7𝑥1 = 14 − 3,12

𝑥1 =10,88

7

𝑥1 = 1.56

𝑩 = (𝟏. 𝟓𝟔; 𝟏. 𝟓𝟔)

Reemplazamos en 1

4𝑥1 + 5𝑥2 = 20

4𝑥1 + 5(2,22) = 20

4𝑥1 = 20 − 11,10

𝑥1 =8,9

4

𝑥1 = 2.22

𝑪 = (𝟐. 𝟐𝟐; 𝟐. 𝟐𝟐)

5.- Determinación gráfica del punto óptimo:

Se grafica el vector: 𝒗(−𝑩,𝑨), con los coeficientes de la función objetivo

𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟏𝟐𝒙𝟏 + 𝟖𝒙𝟐

𝒗(−𝟏𝟐, 𝟖), por motivos de la escala dividimos al vector para cuatro (4) entonces tenemos: 𝒗(−𝟑 ; 𝟐)

Recuerda:

El vector trazamos desde el

origen P(0;0); al trazar rectas

paralelas al vector desde cada

vértice, observamos que la recta

paralela que corta en el eje y con

menor valor se inicia desde el

punto B, como el ejercicio nos

dice minimizar nuestra respuesta

es el punto B.

Nota:

En problemas razonados de

minimización, la respuesta

es factible y de mayor

aplicación a la realidad de

las empresas, cuando los

vértices de las soluciones

factibles no cortan en los

ejes 𝑥1, 𝑥2, tal como se

realizó en este ejemplo.



La solución gráfica del punto óptimo es: 𝑩 = (𝟏. 𝟓𝟔; 𝟏. 𝟓𝟔).

6.- Determinación algebraica del punto óptimo:

𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟐𝒙𝟏 𝟖𝒙𝟐 𝒁

𝑨(𝟏. 𝟏; 𝟑. 𝟏) 12(1.1) 8(3.1) 38

𝑩(𝟏. 𝟓𝟔; 𝟏. 𝟓𝟔) 12(1.56) 8(1.56) 31,20

𝑪(𝟐. 𝟐𝟐; 𝟐. 𝟐𝟐) 12(2.22) 8(2.22) 44,40 7.- Interpretación:

La sucursal uno debe funcionar 1,56 días, y la sucursal dos también 1,56 días para obtener un

costo mínimo de $31,2.

8.- Comprobación:

Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎

𝟒(𝟏) + 𝟓(𝟏) ≤ 𝟐𝟎

𝟒 + 𝟓) ≤ 𝟐𝟎

𝟗 ≤ 𝟐𝟎

Verdadero

7𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 14 7(2) + 2(2) ≥ 14

14 + 4 ≥ 14 18 ≥ 14

Verdadero

𝑥1 ≤ 𝑥2

(1) ≤ (1) 1 ≤ 1

Verdadero

35. Una persona quiere invertir $100000 en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A

tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras,

pero producen solo el 7% nominal. Él decide invertir como máximo $60000 en la

compra de acciones A, y por lo menos, $20000 en la compra de acciones B. Además,

quiere que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe

invertir los $100000 para que el beneficio anual sea máximo?


Para mayor facilidad en el momento de graficar, a las disponibilidades de las restricciones

quitamos cuatro ceros, y al final para la respuesta aumentamos los cuatro ceros.

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Dinero invertido en acciones de tipo A. 𝒙𝟐 = Dinero invertido en acciones de tipo B.

FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟎, 𝟏𝑿𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕𝑿𝟐

RESTRICCIONES:

{

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 (𝟏)

𝒙𝟏 ≤ 𝟔 (𝟐)

𝒙𝟐 ≥ 𝟐 (𝟑)

𝒙𝟏 ≥ 𝒙𝟐 (𝟒)

PUNTO MÍNIMO





Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 Inecuación # 4

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎

𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 − 𝒙𝟏 𝑥1 ≤ 6 𝑥2 ≥ 2

𝑥1 ≥ 𝑥2 Recta que pasa

por el origen.

𝑥2 ≤ 𝑥1

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 10

10 0


La recta es

paralela al eje 𝑥2

𝒙𝟏 = 𝟔

Solución: 𝟎; 𝟔


La recta es paralela

al eje 𝑥1

𝒙2 = 𝟐

Solución: 𝟐;+∞)

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 0

2 2


REGIÓN

FACTIBLE




𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟎. 𝟏𝒙𝟏 𝟎. 𝟎𝟕𝒙𝟐 𝒁

𝑨(𝟐, 𝟐) 0.1(2) 0.07(2) 0,14

𝑩(𝟔; 𝟐) 0.1(6) 0.07(2) 0,74

𝑪(𝟔; 𝟒) 0.1(6) 0.07(4) 0.88

𝑫(𝟓, 𝟓) 0.1(5) 0.07(5) 0,85 4.- Interpretación:

Una persona deberá invertir$ 60000 del producto A y 40000 del producto B para obtener un

máximo beneficio de $8800.

36. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes, A, B y

C. Dispone de 150 kg de A, 90 kg de B y 150 kg de C. Para fabricar una tarta T1 debe

mezclar 1 kg de A, 1 kg de B y 2 kg de C, mientras que para hacer una tarta T2 necesita

5 kg de A, 2 kg de B y 1 kg de C. Si se venden las tartas T1 a $10, y las tartas T2 a $23.

¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?


VARIABLES:

𝒙𝟏 = Número de tartas de tipo T1.

𝒙𝟐 = Número de tartas de tipo T2.

FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟑𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

{

𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎 (𝟏)

𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟗𝟎 (𝟐)

𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎 (𝟑)



𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎

𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎 − 𝒙𝟏

𝒙𝟐 ≤𝟏𝟓𝟎 − 𝒙𝟏

𝟓

𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 90

2𝑥2 ≤ 90 − 𝑥1

𝑥2 ≤90 − 𝑥1

2

2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 150

𝑥2 ≤ 150 − 2𝑥1

Tabla de valores 𝑥1 𝑥2 0 30

150 0


90 0


75 0

PUNTO MÁXIMO






La empresa debe fabricar 50 tartas del tipo T1 y 20 tartas del tipo T2 para obtener un máximo

beneficio de $960.

37. Se va a organizar la planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas

y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número

de mecánicos y de electricistas y del número de mecánicos no supere al doble que el de

electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la

empresa por jornada es de 150 dólares por electricista y 120 dólares por mecánico.

¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio?


VARIABLES:

𝒙𝟏 = Número de electricistas.

𝒙𝟐 = Número de mecánicos.

FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

{

𝒙𝟏 ≤ 𝟑𝟎 (𝟏)

𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎 (𝟐)

𝒙𝟐 ≥ 𝒙𝟏 (𝟑)

𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝒙𝟏 (𝟒)


𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟎𝒙𝟏 𝟐𝟑𝒙𝟐 𝒁

𝑨(𝟎; 𝟑𝟎) 10(0) 23(30) 690

𝑩(𝟓𝟎; 𝟐𝟎) 10(50) 23(20) 960

𝑪(𝟕𝟎; 𝟏𝟎) 10(70) 23(10) 930

𝑫(𝟕𝟓; 𝟎) 10(75) 23(0) 750

PUNTO MÁXIMO

REGIÓN

FACTIBLE




Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación #3 Inecuación #4

𝒙𝟏 ≤ 𝟑𝟎 𝑥2 ≤ 20

𝑥2 ≥ 𝑥1 Recta que pasa por el

origen.

𝑥2 ≤ 2𝑥1 Recta que pasa por el

origen.

Interpretación de la recta La recta es paralela al

eje 𝒙𝟐

𝒙𝟏 = 𝟑𝟎 Solución: 𝟎; 𝟑𝟎

Interpretación de la recta La recta es paralela al

eje 𝑥1

𝒙2 = 𝟐𝟎 Solución: 𝟎; 𝟐𝟎

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 0

10 10

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 0

10 20



𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟏 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐 𝒁

𝑨(𝟏𝟎, 𝟐𝟎) 150(10) 120(20) 3900

𝑩(𝟐𝟎, 𝟐𝟎) 150(20) 120(20) 5400


Se debe elegir 20 electricistas y 20 mecánicos para tener un máximo beneficio de $5400.

REGIÓN

FACTIBLE

PUNTO MÁXIMO



2.6.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE ACOTADA

Cuando al mover el vector de la F.O su último contacto con la región de factibilidad no es un

punto, si no toda una línea, es decir uno de los lados del polígono; entonces todos los puntos

que están sobre la recta son soluciones óptimas del problema. Como una recta tiene un número

infinito de puntos, hemos encontrado un número infinito de soluciones óptimas equivalentes. La

solución óptima múltiple no es tan frecuente en la práctica como la solución óptima única, si

realmente encontramos este tipo de solución, tendríamos una gran flexibilidad para tomar la

decisión, puesto que con diferentes valores de las variables, podemos obtener el mismo valor de

la función objetivo, pudiendo de esta manea “escoger la solución” que más nos convenga.

38. Se quiere promocionar una marca desconocida, D, de aceites, utilizando una marca

conocida, C. Para ello, se hace la siguiente oferta: “Pague a solo $ 2,5 el litro de aceite

C y a $1,25 el litro de aceite D, siempre y cuando compre en total 6 litros o más y la

cantidad de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada

de aceite D”. Disponemos de un máximo de $21,25. ¿Cuál es el costo mínimo si se

proyecta gastar 6 dólares de C y D durante un día?


VARIABLES:

𝒙𝟏 = Número de litros de aceite D.

𝒙𝟐 = Número de litros de aceite C.

FUNCIÓN OBJETIVO: Minimizar: 𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟔𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

{

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟔 𝒙𝟏

𝟐≤ 𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝒙𝟏

𝟏. 𝟐𝟓𝒙𝟏 + 𝟐. 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏. 𝟐𝟓 {

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟔 (𝟏)

𝒙𝟐 ≥𝒙𝟏

𝟐 (𝟐)

𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝒙𝟏 (𝟑)

𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟕 (𝟒)




𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟔 𝒙𝟐 ≥ 𝟔 − 𝒙𝟏

𝑥2 ≥𝑥1

2 𝑥2 ≤ 2𝑥1 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 17

𝑥2 ≤17 − 𝑥1

2



Nota:

Para encontrar el punto

mínimo trazamos las rectas

paralelas al vector con

respecto a cada vértice,

observamos que el menor

valor en el eje y, es el

segmento CD, eso implica

que hay múltiples soluciones.

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 6

6 0

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 0

6 3

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 0

2 4

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 8,5

17 0



Se grafica el vector: 𝒗(−𝑩,𝑨), con los coeficientes de la función objetivo (𝒎𝒊𝒏) = 𝟔𝒙𝟏 +

𝟔𝒙𝟐. Entonces: 𝒗(−𝟔, 𝟔). Luego, se traza rectas paralelas al vector escogiendo el punto de

menor valor que corte en el eje de coordenadas (y).

REGIÓN

FACTIBLE



Recuerda: Cuando hay al menos dos

puntos con el mismo valor

de Z, entonces existen

soluciones óptimas múltiples


6.-Interpretación:

Cuando tenemos soluciones óptimas múltiples podemos escoger según más nos convenga,

cualquier punto que esté en el segmento de la recta. Para nuestro caso, preferimos producir 4

litros de aceite D y 2 litros de aceite C, para que el producto nuevo D salga a promocionarse

en el mercado, de esta manera obtenemos un costo mínimo de $32.

2.6.3. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA NO ACOTADA

Se presenta solución no acotada generalmente en los problemas de minimización, ya que las

inecuaciones son de sentido ≥, y la región factible se va al infinito positivo, como para la

solución óptima consiste en escoger el punto mínimo, la solución está al lado opuesto de la

región factible no acotada.

Para el caso de maximización las soluciones factibles no acotadas estarían yendo hacia el

infinito negativo, como para la solución óptima consiste en escoger el punto máximo, la

solución está al lado opuesto de la región factible no acotada.

39. Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg de

vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso P1

y P2, cuyos contenidos vitamínicos por kg son los que aparecen en la tabla:

A B

P1 2 6

P2 4 3

Si el kilogramo de pienso P1 vale $0,4 y el del P2 $0,6. ¿Cómo deben mezclarse los

piensos para suministrar las vitaminas requeridas con un coste mínimo?


VARIABLES:

𝒙𝟏 = kg de pienso P1.

𝒙𝟐 = kg de pienso P2. FUNCIÓN OBJETIVO: Minimizar: 𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟎, 𝟒𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟔𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟔𝒙𝟏 𝟔𝒙𝟐 𝒁

𝑨(𝟑, 𝟒; 𝟔, 𝟖) 6(3.4) 6(6.8) 61,2

𝑩(𝟖, 𝟓; 𝟒, 𝟐𝟓) 6(8.5) 6(4.25) 76,5

𝑪( 𝟒; 𝟐) 6(4) 6(2) 36

𝑫(𝟐, 𝟒) 6(2) 6(4) 36



{𝟐𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟒 𝟔𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≥ 𝟔

{𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟐 (𝟏)

𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟐 (𝟐)



Inecuación # 1 Inecuación # 2

𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟐

𝒙𝟐 ≥𝟐 − 𝒙𝟏

𝟐

2𝑥1 + 𝑥2 ≥ 2 𝑥2 ≥ 2 − 2𝑥1

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 1

2 0

Tabla de valores

𝑥1 𝑥2

0 2

1 0



𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟎, 𝟒𝒙𝟏 𝟎, 𝟔𝒙𝟐 𝒁

𝑨(𝟎, 𝟐) 0,4(0) 0,6(2) 1,2

𝑩(𝟎, 𝟔𝟕; 𝟎, 𝟔𝟕) 0,4(0,67) 0,6(0,67) 0,67

𝑪(𝟐; 𝟎) 0,4(2) 0,6(0) 0,8

REGIÓN

FACTIBLE NO

ACOTADO

PUNTO MÍNIMO




Por lo tanto se debe mezclar 0,67 kg de pienso P1 con 0,67 kg de pienso P2 para suministrar

las vitaminas requeridas y tener un coste mínimo de $0,67

40. Ejercicio didáctico cuando la gráfica es no acotada y crece al infinito negativo.


VARIABLES:


𝒙𝟐 = Producto B. FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟓𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

{𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐 (𝟏)

𝟐 ≤ 𝒙𝟏 ≤ 𝟒 (𝟐)

No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎 2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:


𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐

𝒙𝟐 ≤𝟏𝟐 − 𝟑𝒙𝟏

𝟐

2 ≤ 𝑥1 ≤ 4


4 0

Interpretación de la recta La recta es paralela al eje 𝑥2

𝒙1 = 𝟐 𝒙1 = 𝟒

Solución: 𝟐; 𝟒


REGIÓN

FACTIBLE

NO

ACOTADO




𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟓𝒙𝟏 𝟏𝟎𝒙𝟐 𝒁

𝑨(𝟒, 𝟎) 5(4) 10(0) 20

𝑩(𝟐, 𝟑) 5(2) 10(3) 40

𝑪(𝟐; 𝟎) 5(2) 10(0) 10


Se debe fabricar 2 unidades del producto A y 3 del producto B, para tener una utilidad máxima

de $40.

2.6.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE NO ACOTADA

La solución es toda una línea, es decir uno de los lados del polígono; entonces todos los puntos

que están sobre la recta son soluciones óptimas del problema. Pero la gráfica no es acotada, esto

puede ocurrir en problemas razonados por fallas en la formulación del problema, omisión de

una o más restricciones.

41. Ejercicio didáctico.


VARIABLES:


𝒙𝟐 = Producto B. FUNCIÓN OBJETIVO: Minimizar: 𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟏, 𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

{

𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟕 (𝟏)

𝟑𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟒 (𝟐) 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟓 (𝟑)



𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟕

𝟐𝒙𝟐 ≥ −𝒙𝟏 + 𝟕

𝒙𝟐 ≥−𝒙𝟏 + 𝟕

𝟐

3𝑥1 − 4𝑥2 ≤ 14

−4𝑥2 ≤ −3𝑥1 + 14(−1)

4𝑥2 ≥ 3𝑥1 − 14

𝑥2 ≥3𝑥1 − 14

4

𝑥1 + 𝑥2 ≥ 5

𝑥2 ≥ −𝑥 + 5

PUNTO MÁXIMO



Tabla de valores 𝑥1 𝑥2 0 3,5

7 0

Tabla de valores 𝑥1 𝑥2 0 -3,5

14/3 0


5 0



𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏, 𝟓𝒙𝟏 𝟑𝒙𝟐 𝒁

𝑨(𝟓. 𝟔; 𝟎. 𝟕) 1,5(5,6) 3(0,7) 10,5

𝑩(𝟑; 𝟐) 1,5(3) 3(2) 10,5

𝑪(𝟎; 𝟓) 1,5(0) 3(5) 15 5.- Interpretación:

Cuando tenemos soluciones óptimas múltiples podemos escoger según más nos convenga,

cualquier punto que esté en el segmento de la recta.

REGIÓN

FACTIBLE NO

ACOTADO

PUNTOS MÍNIMOS



2.6.5. NINGUNA SOLUCIÓN Se presenta este tipo de problemas cuando una o más de las restricciones no se puede encontrar

la región factible, es decir no se intersecan entre sí, otro caso es cuando la gráfica crece

indefinidamente al infinito positivo y se pide maximizar, de la misma forma puede ser cuando la

región factible decrece indefinidamente hacia el infinito negativo y se pide minimizar, en

problemas razonados de aplicación puede ser el caso por: fallas en la formulación del problema,

restricciones mal planteadas. (Muñoz, 2011).

42. Ejercicio didáctico:


VARIABLES:


𝒙𝟐 = Producto B. FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

{

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟒 (𝟏)𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≥ 𝟑𝟔 (𝟐)𝟒𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟔 (𝟑)𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟎 (𝟒)



𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟒 𝒙𝟐 ≥ −𝒙𝟏 + 𝟏𝟒

2𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 36

3𝑥2 ≥ −2𝑥1 + 36

𝑥2 ≥−2𝑥1 + 36

3

4𝑥1 + 𝑥2 ≥ 16 𝑥2 ≥ −4𝑥1 + 16

𝑥1 − 3𝑥2 ≤ 0

−3𝑥2 ≤ −𝑥1(−1)

3𝑥2 ≥ 𝑥1

𝑥2 ≥𝑥1

3


14 0


18 0


4 0


3 1





REGIÓN

FACTIBLE NO

ACOTADO

Nota:

Al trazar las rectas paralelas

al vector la región factible no

está acotada superiormente,

por lo que podemos seguir

trazando rectas paralelas

indefinidamente; en

consecuencia decimos que no

existe solución para

maximización.

REGIÓN FACTIBLE

NO ACOTADO





VARIABLES:


𝒙𝟐 = Producto B. FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟒𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

{𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟒 (𝟏)𝟐𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 ≤ 𝟐 (𝟐)




𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟒 −𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟒 − 𝒙𝟏 (−𝟏)

𝟒𝒙𝟐 ≥ −𝟒 + 𝒙𝟏

𝒙𝟐 ≤𝒙𝟏 − 𝟒

𝟒

2𝑥1 − 𝑥2 ≤ 2 −𝑥2 ≤ 2 − 2𝑥1 (−1) 𝑥2 ≥ 2𝑥1 − 2

Tabla de valores 𝑥1 𝑥2 0 -1

4 0

Tabla de valores 𝑥1 𝑥2 0 -2

1 0


SOLUCIÓN

VACÍA

La inecuación uno y dos se intersecan pero no con el primer cuadrante. Entonces se tiene una solución vacía ya que no hay la intersección de todo el sistema de inecuaciones.





VARIABLES:


𝒙𝟐 = Producto B. FUNCIÓN OBJETIVO: Minimizar: 𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐

RESTRICCIONES:

{−𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟐𝟏 (𝟏)𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟓 (𝟐)




−𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟐𝟏 𝟑𝒙𝟐 = 𝟐𝟏 + 𝒙𝟏

𝒙𝟐 =𝟐𝟏 + 𝒙𝟏

𝟑

𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5 𝑥2 ≤ 5 − 𝑥1


-21 0


5 0


SOLUCIÓN

VACÍA

La solución de la ecuación uno es

solo la recta. La intersección con

la inecuación dos es desde el

punto A hacia el infinito negativo,

seguido la recta uno. Pero no se

interseca con el primer

cuadrante. Entonces se tiene una

solución vacía.

CAPÍTULO II Programación Lineal Método Simplex


2.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función

objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho

valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el

caso, para el que se satisfacen todas las restricciones). Partiendo del valor de la función objetivo

en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor

anterior. Dichos puntos son los vértices del polígono (o poliedro, si el número de variables es

mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra

sujeto el problema (llamada región factible). (Kolman & Hill, 2006, pág. 584); La búsqueda se

realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno

adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista región factible, como

su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución. El método

Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en

el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la que el valor de Z

aumenta. Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con

restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus

coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las

restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En el

caso que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "="

(igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo

el más común el método de la M grande7.

Técnica M: Si todas las restricciones no son del tipo “≤”, es decir hay restricciones de “=” y

“≥”; entonces no es posible obtener una solución básica inicial con las variables de holgura, en

este caso se utilizan otras variables llamadas variables artificiales (ti) que se agregan a las

restricciones que son de tipo “≥” o “=” con coeficiente 1, en la función objetivo se penalizan

agregándolas con coeficiente muy alto si es minimización (+M) o muy bajo si es maximización

(–M). Las iteraciones se hacen igual que el simplex normal y las condiciones de optimización y

factibilidad son las mismas.

Pasos para la resolución de problemas por el método simplex

1. Se debe expresar las inecuaciones en forma de ecuaciones lineales con la utilización de

variables adicionales, tomando en cuenta el sentido de desigualdad en cada una de las

restricciones:

≤ sumamos una variable de holgura (+Si)

≥ restamos una variable de holgura y sumamos una variable artificial (-Si + Ti)

= sumamos una variable artificial (+Ti)

La función objetivo (Z) igualamos a cero, esto quiere decir que todas las variables

de decisión (Xi) y coeficientes M pasamos a la izquierda, así: −𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥𝑖 ±

𝑀 + 𝑍 = 0

2. Formamos una matriz denominada la matriz simplex, con todos los coeficientes de las

variables

7 Dantzig, G. Obtenido de http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm

http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm



Los encabezados de las columnas van en el orden visto en la tabla. Los encabezados de

las filas iniciamos con la función objetivo, y con respecto a las variables artificiales

tendremos coeficientes M ya sea positivos o negativos, depende de si estamos

maximizando o minimizando, los nombres de las otras filas se colocan en orden las

ecuaciones obtenidas en el paso 1. Dichos nombres son variables de holgura o

artificiales que sean positivos (Si ; Ti).En la columna de la solución van todos los

términos independientes, en donde estos variarán hasta llegar a la respuesta del

problema.

3. Columna Pívot.- Para los casos de maximización escogemos en la fila objetivo (z), el

coeficiente más negativo, esta variable será la que ingresa a la matriz simplex.

Para el caso de minimización se escoge el coeficiente más positivo.

4. Fila Pívot.- Para encontrar dicha fila o la variable que sale de la matriz, dividimos la

columna de la solución para la columna Pívot excepto el coeficiente de (Z) de la fila

objetivo, y seleccionamos el menor cociente, exceptuando los valores negativos y las

divisiones para cero.

5. Número Pívot.- la intersección de la fila pívot y columna pívot se denomina número

Pívot y aplicamos el teorema de “Gauss-Jordán” para resolver la matriz inicial simplex,

en donde el número Pívot debe iniciar en uno y por encima y debajo debe quedar cero,

aplicando operaciones básicas entre filas y columnas.

6. El problema habrá terminado cuando:

No existan más letras M en la fila objetivo (z).

Para el caso de la maximización todos los valores de la fila (Z) sean mayor o

igual a cero (positivos); y para el caso de la minimización cuando sean menor o

igual a cero (negativos); mientras tanto se procederá a realizar el número de

interacciones que sea necesario hasta llegar a la solución óptima.

Para la interpretación del resultado del problema, los valores de la solución se encuentran en la

última columna de la tabla final, donde se tomarán en cuenta las variables de decisión (X1, X2,

Xi) que son las que estábamos buscando en el problema, pero también las variables de holgura

(S1, S2, Si), y se interpreta como se detalla a continuación:

Si la restricción es “≤” existe un sobrante.

Si la restricción es “≥” existe un faltante.

Variables 𝑋1 𝑋2… 𝑆1 𝑆2… 𝑡1 𝑡2… 𝑡3 Solución

Z . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

3 ≤ 5

3 + 𝟐 = 5

3 + 𝑺𝟏 = 5

Se suma una variable

8 ≥ 6

8 − 𝟐 = 6

8 − 𝑺𝟏 = 5

Se resta una variable



2.7.1. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MENOR IGUAL: “≤ “)

Cuando aparecen inecuaciones con restricciones menores iguales solamente se suman variables

de holguras para que la inecuación quede expresada como ecuación, por lo que en este caso no

entran variables artificiales y por consecuencia los coeficientes M, se resuelven siguiendo los

pasos anteriores, hay que tener en cuenta que para ver la variable que ingresa se escoge el más

negativo, y se termina el proceso simplex cuando en la fila objetivo se tienen valores positivos o

ceros.

45. Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de

aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de

titanio y 1kg de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se

necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por

100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable de tipo B,

1000 euros. Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para

maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo.

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Cantidad de “rollos” A.

𝒙𝟐 = Cantidad de “rollos” B.

FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO: Maximizar:

𝒁 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐

−1500𝑥1 − 1000𝑥2 + 𝑍 = 0

RESTRICCIONES: IGUALDADES:

{

𝟏𝟎 𝒙𝟏 + 𝟏𝟓 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟗𝟓 (𝟏)𝟐 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎 (𝟐)𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟒 (𝟑)

{10 𝑥1 + 15 𝑥2 + 𝑆1 = 195

2 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆2 = 20𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆3 = 14

TABLA INICIAL SIMPLEX

Formamos la matriz con los coeficientes de la fila objetivo y las igualdades, en los encabezados

de las filas, debajo de (Z), colocamos S1 que hace referencia a la primera ecuación, S2, S3 , que

hacen referencia a las siguientes dos ecuaciones, la variable que ingresa es X1, ya que

seleccionamos el más negativo (-1500); la variable que sale es S2, ya que el menor cociente

entre la columna de la respuesta y la columna pívot es: (195

10,20

2,14

1) es (10)

𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 R

Z -1500 -1000 0 0 0 0

𝑆1 10 15 1 0 0 195

𝑆2 2 1 0 1 0 20 (÷2)

𝑆3 1 1 0 0 1 14



El número pívot es el (2), por tal razón se hace uno dividiendo a toda la fila para dos, y luego

por encima y por debajo del número pívot se hacen ceros con operaciones básicas entre filas.

𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 R

Z -1500 -1000 0 0 0 0

𝑆1 10 15 1 0 0 195

𝑆2 1 0,5 0 0,5 0 10 (-10)(1500)(-1)

𝑆3 1 1 0 0 1 14

Continuando con el proceso ahora la variable que ingresa es X2, porque el más negativo es (-

250); la variable que sale es S3, ya que el menor cociente entre la columna de la respuesta y la

columna pívot es: (95

10,10

0,5,

4

0,5) es (8), el número pívot es (0,5) por lo que a toda la fila

multiplicamos por dos, para que el número pívot se haga uno.

𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 R

Z 0 -250 0 750 0 15000

𝑆1 0 10 1 -5 0 95

𝑥1 1 0,5 0 0,5 0 10

𝑆3 0 0,5 0 -0,5 1 4 (*2)

Una vez que hemos hecho al número pívot uno, por encima de dicho número hacemos ceros con

operaciones básicas entre filas.

𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 R

Z 0 -250 0 750 0 15000

𝑆1 0 10 1 -5 0 95

𝑥1 1 0,5 0 0,5 0 10

𝑆3 0 1 0 -1 2 8 (-0,5)(-10)(250)

Continuando con el proceso simplex observamos que en la fila objetiva (Z) solamente tenemos

valores positivos y ceros, entonces esta es la condición para que se termine el proceso simplex

por tal razón hemos llegado al punto óptimo, y las respuestas se leen: los encabezados de las

filas que para este caso es: (Z, S1, X1, X2) con la columna de la solución o respuesta (R).



𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 R

Z 0 0 0 500 500 17000

𝑆1 0 0 1 5 -20 15

𝑥1 1 0 0 1 -1 6

𝑥2 0 1 0 -1 2 8

Solución:

Z 17000

𝒙𝟏 6

𝒙𝟐 8

Interpretación: El beneficio máximo asciende a 17000 euros y se obtiene fabricando 600

metros (6 rollos de 100 metros) de cable de tipo A y 800 metros (8 rollos de 100 metros) de tipo

B. Además se tiene un sobrante de 15 kg de cobre que nos representa la variable de holgura S1,

por lo que en el nuevo estudio de mercado se debería reformar para que no haya ningún tipo de

sobrante.

46. Un taller fabrica 2 clases de cinturones de piel. En cada cinturón A de alta calidad gana

40 centavos y en cada cinturón B de baja calidad gana 30 centavos. El taller puede

producir diariamente 500 cinturones de tipo B o 250 de tipo A. Solo se dispone de piel

para 400 cinturones diarios A y B combinados y de 200 hebillas elegantes para el

cinturón A y de 350 hebillas diarias para el cinturón B. ¿Qué producción maximizará la

ganancia?

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Cinturón A de alta calidad.

𝒙𝟐 = Cinturón B de baja calidad.

FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:

𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟒𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 −40𝑥1 − 30𝑥2 + 𝑍 = 0


{

𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟓𝟎𝟎 (𝟏)𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟒𝟎𝟎 (𝟐)𝒙𝟏 ≤ 𝟐𝟎𝟎 (𝟑)𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟓𝟎 (𝟒)

{

2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆1 = 500𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆2 = 400

𝑥1 + 𝑆3 = 200𝑥2 + 𝑆4 = 350

Recuerda:

Las variables que son los encabezados de las

columnas nunca cambian en el proceso simplex,

las que modifican son las variables que

encabezan las filas y al final estás llegan a ser

las soluciones del problema.




𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 COCIENTES

𝒁 −40 −30 0 0 0 0 0

𝑺𝟏 2 1 1 0 0 0 500 500 ÷ 2 = 250

𝑺𝟐 1 1 0 1 0 0 400 400 ÷ 1 = 400

𝑺𝟑 1 0 0 0 1 0 200 200 ÷ 1 = 200

𝑺𝟒 0 1 0 0 0 1 350 350 ÷ 0 = ∞

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 −40 −30 0 0 0 0 0

𝑺𝟏 2 1 1 0 0 0 500

𝑺𝟐 1 1 0 1 0 0 400

𝑺𝟑 1 0 0 0 1 0 200 (40)(-2)(-1)

𝑺𝟒 0 1 0 0 0 1 350

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 Cocientes

𝒁 0 −30 0 0 40 0 8000

𝑺𝟏 0 1 1 0 −2 0 100 100 ÷ 1 = 100

𝑺𝟐 0 1 0 1 −1 0 200 200 ÷ 1 = 200

𝒙𝟏 1 0 0 0 1 0 200 200 ÷ 0 = ∞

𝑺𝟒 0 1 0 0 0 1 350 350 ÷ 1 = 350

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 Cocientes

𝒁 0 0 30 0 −20 0 11000

𝒙𝟐 0 1 1 0 −2 0 100 100 ÷ −2 = −50

𝑺𝟐 0 0 −1 1 1 0 100 100 ÷ 1 = 100

𝒙𝟏 1 0 0 0 1 0 200 200 ÷ 1 = 200

𝑺𝟒 0 0 −1 0 2 1 250 250 ÷ 2 = 125

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹

𝒁 0 −30 0 0 40 0 8000

𝒙𝟐 0 1 1 0 −2 0 100 (30)(-1)(-1)

𝑺𝟐 0 1 0 1 −1 0 200

𝒙𝟏 1 0 0 0 1 0 200

𝑺𝟒 0 1 0 0 0 1 350

𝒙𝟏, ingresa; 𝑺𝟑, sale del

proceso simplex



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 0 0 30 0 −20 0 11000 𝒙𝟐 0 1 1 0 −2 0 100 𝑺𝟐 0 0 −1 1 1 0 100 (20)(2)(-1)(-2)

𝒙𝟏 1 0 0 0 1 0 200

𝑺𝟒 0 0 −1 0 2 1 250

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 0 0 10 20 0 0 13000

𝒙𝟐 0 1 1 2 0 0 300 𝑺𝟑 0 0 −1 1 1 0 100 𝒙𝟏 1 0 1 −1 0 0 100

𝑺𝟒 0 0 1 −2 0 1 50

Solución:

Z 13000

𝒙𝟏 100

𝒙𝟐 300

Interpretación: El beneficio máximo es de $13000 teniendo en cuenta que se debe fabricar 100

cinturones de alta calidad y 300 cinturones de baja calidad, además se analiza que se utilizó toda

la capacidad (S1); se utilizó toda la cantidad de piel adquirida (S2); hubo un sobrante de 100

hebillas elegantes (S3); y también un sobrante de 50 hebillas de menor calidad (S4), por lo que se

recomienda para la próxima fabricación comprar todo lo necesario para no tener sobrantes de

materia prima.

47. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más

de 8 hectáreas con olivos de tipo A, ni más de 10 hectáreas con olivos del tipo B. Cada

hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3de agua anual y cada una de tipo B, 3 m3. Se

dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión

de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha

inversión. Si cada hectárea de olivos de tipo A y B, son 500 y 300 litros anuales de

aceite. Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar

para maximizar la producción de aceite.

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Cantidad de hectáreas de olivo de tipo A.

𝒙𝟐 = Cantidad de hectáreas de olivo de tipo B.


𝒁 = 𝟓𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝟎𝒙𝟐

−500𝑥1 − 300𝑥2 + 𝑍 = 0

Cocientes no válidos para la variable que ingresa:

200 ÷ 0 = ∞; 100 ÷ −2 = −50

Cociente válido: 0 ÷ 10 = 0




{

𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝐱𝟐 ≤ 𝟒𝟒 (𝟏)𝟓𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟐𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟒𝟓𝟎𝟎 (𝟐)𝒙𝟏 ≤ 𝟖 (𝟑)𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 (𝟒)

{

4𝑥1 + 3x2 + S1 = 4420𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑆2 = 180 𝑥1 + 𝑆3 = 8

𝑥2 + 𝑆4 = 10


𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R

Z -5 -3 0 0 0 0 0

𝑆1 4 3 1 0 0 0 44

𝑆2 20 9 0 1 0 0 180

𝑆3 1 0 0 0 1 0 8 (-20)(-4)(5)

𝑆4 0 1 0 0 0 1 10

𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R

z 0 -3 0 0 5 0 40

𝑆1 0 3 1 0 -4 0 12

𝑆2 0 9 0 1 -20 0 20 (÷9)

𝑋1 1 0 0 0 1 0 8

𝑆4 0 1 0 0 0 1 10

𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R

z 0 -3 0 0 5 0 40

𝑆1 0 3 1 0 -4 0 12

𝑆2 0 1 0 1

9 −

20

9

0 20

9

(-3) (3) (-1)

𝑋1 1 0 0 0 1 0 8

𝑆4 0 1 0 0 0 1 10

Recuerda Para facilitar los cálculos a la función

objetivo (Z) dividimos para 100.



𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R

z 0 0 0 1

3 −

5

3 0

140

3

𝑆1 0 0 1 −1

3

8

3 0

16

3 (÷ 8/3)

𝑋2 0 1 0 1

9 -

20

9 0

20

9

𝑋1 1 0 0 0 1 0 8

𝑆4 0 0 0 −1

9

20

9 1

70

9

𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R

z 0 0 0 1

3 −

5

3 0

140

3

𝑆1 0 0 3

8 −

1

8 1 0 2

(5/3) (20/9) (-1) (-20/9)

𝑋2 0 1 0 1

9 −

20

9 0

20

9

𝑋1 1 0 0 0 1 0 8

𝑆4 0 0 0 −1

9

20

9 1

70

9

𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R

Z 0 0 5

8

1

8 0 0 50

𝑆3 0 0 3

8 −

1

8 1 0 2

𝑋2 0 1 5

6 −

1

6 0 0

20

3

𝑋1 1 0 −3

8

1

8 0 0 6

𝑆4 0 0 −5

6

1

6 0 1

10

3

Nota: El problema está resuelto cuando en la fila objetivo (Z) han

quedado valores mayores o iguales a cero.



Solución:

Interpretación: Se deben producir 6 hectáreas de olivo del tipo A y 7 hectáreas de olivo del

tipo B, para maximizar la utilidad a 5000. Observamos también que no se ha cubierto en su

totalidad el espacio del terreno que es 2 hectáreas para el olivo de tipo A, y también de 3

hectáreas para el olivo de tipo B, por lo cual se debería utilizar todo el terreno para aumentar la

utilidad actual.8

48. Una fábrica elabora tres tipos de tornillos grandes, medianos y pequeños de los cuales

se debe producir no más de 800.000 tornillos grandes y entre medianos y pequeños no

más de 100.000 para satisfacer las demandas de las siguientes 4 semanas. Estos tornillos

se pueden producir en una máquina que está disponible 80 horas a la semana. Los

requerimientos de costo y tiempo son:

Tornillos

Grandes

Tornillos

Medianos

Tornillos

Pequeños

Precio de venta

(precio libra) 32,50 27,50 20,50

Costo de máquina

(precio libra) 8,2 7,75 6,25

Tiempo de máquina 2 horas 1,5 horas 1,4 horas

Cada libra contiene 40 grandes, 50 medianos, y 60 pequeños. Los trabajadores laboran en dos

turnos y perciben sueldos que no afectan el precio del tornillo. Hallar la fórmula matemática y la

mejor mezcla para mejorar la utilidad.

Nota: Utilidad por libra = Precio de venta – Costo de máquina.

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Libras tornillos grandes.

𝒙𝟐 = Libras tornillos medianos. 𝒙𝟑 = Libras tornillos pequeños.


Maximizar: 𝒁 = 𝟐𝟒, 𝟑𝒙𝟏 + 𝟏𝟗, 𝟕𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟒, 𝟐𝟓𝒙𝟑

−24,3𝑥1 − 19,75𝑥2 − 14,25𝑥3 + 𝑍 = 0


{

𝟒𝟎𝒙𝟏 ≤ 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ÷ 𝟏𝟎𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ÷ 𝟏𝟎

𝟐𝒙𝟏 + 𝟏, 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏, 𝟒𝒙𝟑 ≤ 𝟑𝟐𝟎

{

4𝑥1 + 𝑆1 = 800005𝑥2 + 6𝑥3 + 𝑆2 = 100000

2𝑥1 + 1,5𝑥2 + 1,4𝑥3 + 𝑆3 = 320

8 http://www.economicas.unsa.edu.ar/mcneco/archivos/parciales/Parcial%202014_P1_B%20-%20Solucion.pdf

Z 5000

𝒙𝟏 6

𝒙𝟐 6,67

Recuerda La respuesta de (z) de la última tabla,

multiplicamos por 100, porque al inicio

dividimos para dicho valor.



{

𝟒𝒙𝟏 ≤ 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟏)𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟐) 𝟐𝒙𝟏 + 𝟏, 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏, 𝟒𝒙𝟑 ≤ 𝟑𝟐𝟎 (𝟑)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 -24,3 -19,75 -14,25 0 0 0 0

𝑺𝟏 4 0 0 1 0 0 80000

𝑺𝟐 0 5 6 0 1 0 100000

𝑺𝟑 2 1,5 1,4 0 0 1 320 ÷ 2

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 -24,3 -19,75 -14,25 0 0 0 0

𝑺𝟏 4 0 0 1 0 0 80000

𝑺𝟐 0 5 6 0 1 0 100000

𝑺𝟑 1 3

4

7

10

0 0 1

2

160 (-4) (24,3)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0

−61

40

69

25

0 0 243

20

3888

𝑺𝟏 0 -3 −

14

5

1 0 -2 79360

𝑺𝟐 0 5 6 0 1 0 100000

𝒙𝟏 1 3

4

7

10

0 0 1

2

160 ÷

3

4

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0

−61

40

69

35

0 0 243

20

3888

𝑺𝟏 0 -3 −

14

5

1 0 -2 79360

𝑺𝟐 0 5 6 0 1 0 100000

𝒙𝟏 4

3

1 14

15

0 0 2

3

640

3 (

61

40) (3)(−5)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹

𝒁 61

30 0

251

60 0 0

79

6 4213,33

𝑺𝟏 4 0 0 1 0 0 80000

𝑺𝟐 −20

30 0 −

14

3 0 1 −

10

3 98933,33

𝒙𝟐 4

3 1

14

15 0 0

2

3 213,33



Solución:

Z 4213,33 𝒙1 0

𝒙2 213,33 𝒙3 0

Interpretación: El beneficio máximo es de $4213,33 teniendo en cuenta que se debe fabricar

213 tornillos medianos, y que los otros tipos de tornillos como los grandes y pequeños no harían

falta fabricar para maximizar la ganancia, por lo que se recomienda realizar un nuevo estudio

para fabricar los tres tipos de tornillos y con ellos tener una máxima ganancia.

49. Problema didáctico, cuando se presenta las siguientes características:

Se debe cambiar el sentido de desigualdad

Se tiene el mismo cociente, para elegir la variable que sale

VARIABLES:


𝒙𝟐 = Producto B. 𝒙𝟑 = Producto C.


𝒁 = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 +𝟑

𝟐𝒙𝟑

−3𝑥1 − 4𝑥2 −3

2𝑥3 + 𝑍 = 0


{−𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 ≥ −𝟏𝟎 ∗ (−𝟏)

𝟐𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎

{𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 (𝟏)𝟐𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎 (𝟐)

{𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑆1 = 10 2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑆2 = 10

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 Cocientes

𝒁 -3 -4 −

3

2

0 0 0

𝑺𝟏 1 2 0 1 0 10 10 ÷ 2 = 5

𝑺𝟐 2 2 1 0 1 10 10 ÷ 2 = 5

Nota: Las variables de decisión

(𝒙1, 𝒙3) no aparecen en el

encabezado de las filas. Entonces

dichas variables toman el valor de

cero.

NOTA: Multiplicamos por (-1) para

cambiar el sentido de la desigualdad

y así obtener el signo .

NOTA: Tenemos

el mismo

cociente



Seleccionando la variable saliente 𝑺𝟏

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -3 -4

−3

2

0 0 0

𝑺𝟏 1 2 0 1 0 10 ÷ 2

𝑺𝟐 2 2 1 0 1 10

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -3 -4

−3

2

0 0 0

𝑺𝟏 1

2

1 0 1

2

0 5 (4)(-2)

𝑺𝟐 2 2 1 0 1 10

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -1 0

−3

2

2 0 20

𝒙𝟐 1

2

1 0 1

2

0 5 5 ÷ 0 = ∞

𝑺𝟐 1 0 1 -1 1 0 0 ÷ 1 = 0

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -1 0

−3

2

2 0 20

𝒙𝟐 1

2

1 0 1

2

0 5

𝑺𝟐 1 0 1 -1 1 0 (3

2)

𝒙𝟏

𝒙𝟐

𝒙𝟑

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝑹

𝒁 1

2

0 0 1

2

0 20

𝒙𝟐 1

2

1 0 1

2

0 5

𝒙𝟑 1 0 1 -1 1 0

Solución:

Z 20

𝒙2 5

𝒙3 0

𝒙1 0

Nota: Solución: Z=20; 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 5; 𝑥3 = 0

La respuesta de (Z) y las variables de

decisión es la misma por cualquiera de

los dos caminos.



Seleccionando la variable saliente 𝑺𝟐

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -3 -4

−3

2

0 0 0

𝑺𝟏 1 2 0 1 0 10

𝑺𝟐 2 2 1 0 1 10 ÷ 2

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -3 -4

−3

2

0 0 0

𝑺𝟏 1 2 0 1 0 10

𝑺𝟐 1 1 1

2

0 1

2

5 (-2)(4)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 1 0 1

2

0 2 20

𝑺𝟏 -1 0 -1 1 -1 0

𝒙𝟐 1 1 1

2

0 1

2

5

Solución:

Z 20

𝒙2 5

𝒙3 0

𝒙1 0

2.7.2. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MAYOR IGUAL: “≥ “)

Cuando aparecen inecuaciones con restricciones mayores iguales se restan variables de

holgura, y se suman variables artificiales, para que las inecuaciones queden expresadas como

igualdades, en este caso por cada variable artificial se resta un coeficiente M (en la función

objetivo). Se arma la matriz aumentada con todas las variables, y se proceda hacer cero al

coeficiente M de las variables artificiales en la fila objetivo. En la matriz simplex, por cada

variable artificial que sale, se puede eliminar la columna de dicha variable artificial para reducir

los cálculos de la matriz simplex, si las variables artificiales (Ti) no salen de la matriz simplex

entonces el problema está mal planteado o hay errores en la resolución de la matriz simplex. De

la misma manera se termina el proceso simplex cuando en la fila objetivo se tienen valores

positivos o ceros, y además los coeficientes M se han eliminado en el proceso de la resolución

de la matriz simplex.

𝑥1 = 0; 𝑥2 = 5; 𝑥3 = 0

Nota: Seleccionando las variables

salientes 𝑆1, 𝑆2: llegamos a la

misma solución de Z=20;



50. Una empresa monta dos tipos de pales. Los pales de tipo 1 contienen un producto P1 y

los pales de tipo 2 contienen, a su vez, dos productos P2. Con la venta de cada pale de

tipo 1, la empresa tiene un beneficio neto de 2 unidades monetarias (USD) Igualmente,

la empresa tiene un beneficio neto de 1 USD con cada pale de tipo 2. Los pales deben

ser preparados en dos talleres, T1 y T2, de los que se dispone Los talleres de un total de

30 y 16 horas semanales, respectivamente, para realizar las operaciones

correspondientes a cada uno de ellos. Cada pale 1 requiere 3 horas de preparación en

T1 y 4 horas de preparación en T2. Cada pale 2 requiere 1 hora de preparación en T1 y 3

horas de preparación en T2. Además, existe un compromiso comercial de entregar al

menos 4 productos semanales, donde estos cuatro productos pueden ser cualquier

combinación de productos P1 y P2. Por último, existe un colectivo respecto del cual la

empresa tiene un compromiso consistente en emplear un número mínimo de horas de

dicho colectivo. Con cada palé de tipo 1 se emplea una hora de este colectivo y con

cada pale 2 se ocupan 3 horas del mismo. La empresa debe ocupar al menos 5 horas de

mano de obra del colectivo citado.

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Número de unidades de pales de tipo 1.

𝒙𝟐 = Número de unidades de pales de tipo 2.


𝒛 = 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝑴𝒕𝟏 − 𝑴𝒕𝟐

−2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑀𝑡1 + 𝑀𝑡2 + 𝑧 = 0


{

𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟎 (𝟏)𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟔 (𝟐)𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟒 (𝟑)𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≥ 𝟓 (𝟒)

{

3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆1 = 304𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑆2 = 16𝑥1+2𝑥2 − 𝑆3 + 𝑡1 = 4𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑆4 + 𝑡2 = 5

MATRIZ AUMENTADA

Recuerda Por cada variable artificial, restamos un coeficiente M en la función objetivo.

Se tiene dos restricciones con ≥, por lo que se resta una variable de holgura y se

suma una variable artificial, para luego continuar con la matriz. aumentada.

Matriz aumentada

Para los encabezados de las filas, seleccionamos las

variables positivas, para el caso de las dos últimas

restricciones son las variables artificiales: t1, t2.

Hacemos cero todos los coeficientes M de las

variables artificiales, de la fila objetivo, con pívot en la

intersección de las variables artificiales.

Palé Es un armazón de

madera, plástico u otro

material empleado en el

movimiento de carga.



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹 𝒁 -2 -1 0 0 0 0 M M 0

𝑺𝟏 3 1 1 0 0 0 0 0 30

𝑺𝟐 4 3 0 1 0 0 0 0 16

𝒕𝟏 1 2 0 0 -1 0 1 0 4 (-M)

𝒕𝟐 1 3 0 0 0 -1 0 1 5

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹 𝒁 -2-M -1-2M 0 0 M 0 0 M -4M

𝑺𝟏 3 1 1 0 0 0 0 0 30

𝑺𝟐 4 3 0 1 0 0 0 0 16

𝒕𝟏 1 2 0 0 -1 0 1 0 4

𝒕𝟐 1 3 0 0 0 -1 0 1 5 (-M)


𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹 𝒁 -2-2M -1-5M 0 0 M M 0 0 -9M

𝑺𝟏 3 1 1 0 0 0 0 0 30

𝑺𝟐 4 3 0 1 0 0 0 0 16

𝒕𝟏 1 2 0 0 -1 0 1 0 4

𝒕𝟐 1 3 0 0 0 -1 0 1 5 ÷ 3

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹 𝒁 -2-2M -1-5M 0 0 M M 0 0 -9M

𝑺𝟏 3 1 1 0 0 0 0 0 30

𝑺𝟐 4 3 0 1 0 0 0 0 16

𝒕𝟏 1 2 0 0 -1 0 1 0 4

𝒕𝟐 1

3

1 0 0 0 −

1

3

0 1

3

5

3

(-2)(-3)(-1)(1+5M)

Tabla inicial simplex Una vez hecho ceros los coeficientes M de las variables

artificiales, se tiene una z inicial en función de M, en

este caso 𝒁 = −𝟗𝑴, por lo que se procede a resolver

por el método simplex anteriormente estudiado.

Cuando las variables artificiales salen del proceso

simplex se pueden eliminar las columnas de dichas

variables (tn).



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝑹 𝒁 −

5

3−

1

3𝑀 0 0 0 M

−1

3−

2

3𝑀 0 5

3−

2

3𝑀

𝑺𝟏 8

3

0 1 0 0 1

3

0 85

3

𝑺𝟐 3 0 0 1 0 1 0 11

𝒕𝟏 1

3

0 0 0 -1 2

3

1 2

3 ÷

2

3

𝒙𝟐 1

3

1 0 0 0 −

1

3

0 5

3

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝑹 𝒁 −

5

3−

1

3𝑀 0 0 0 M

−1

3−

2

3𝑀 0 5

3−

2

3𝑀

𝑺𝟏 8

3

0 1 0 0 1

3

0 85

3

𝑺𝟐 3 0 0 1 0 1 0 11

𝒕𝟏 1

2

0 0 0 −

3

2

1 3

2

1 (1

3) (−1) (−

1

3) (

1

3+

2

3𝑀)

𝒙𝟐 1

3

1 0 0 0 −

1

3

0 5

3

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 −

3

2

0 0 0 −

1

2

0 2

𝑺𝟏 5

2 0 1 0 1

2

0 28

𝑺𝟐 5

2 0 0 1 3

2

0 10

𝑺𝟒 1

2

0 0 0 −

3

2

1 1 ÷

1

2

𝒙𝟐 1

2

1 0 0 −

1

2

0 2

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 −

3

2

0 0 0 −

1

2

0 2

𝑺𝟏 5

2 0 1 0 1

2

0 28

𝑺𝟐 5

2 0 0 1 3

2

0 10

𝑺𝟒 1 0 0 0 -3 2 2 (−1

2) (−

5

2) (−

5

2) (

3

2)

𝒙𝟐 1

2

1 0 0 −

1

2

0 2

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 0 0 0 0 -5 3 5

𝑺𝟏 0 0 1 0 8 -5 23

𝑺𝟐 0 0 0 1 9 -5 5 ÷ 9

𝒙𝟏 1 0 0 0 -3 2 2

𝒙𝟐 0 1 0 0 1 -1 1



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 0 0 0 0 -5 3 5

𝑺𝟏 0 0 1 0 8 -5 23

𝑺𝟐 0 0 0 1

9

1 −

5

9

5

9

(-8)(5)(3)(-1)

𝒙𝟏 1 0 0 0 -3 2 2

𝒙𝟐 0 1 0 0 1 -1 1

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 0 0 0 5

9

0 2

9

70

9

𝑺𝟏 0 0 1 −

8

9

0 −

5

9

167

9

𝑺𝟑 0 0 0 1

9

1 −

5

9

5

9

𝒙𝟏 1 0 0 1

3

0 1

3

11

3

𝒙𝟐 0 1 0 −

1

9

0 −

4

9

4

9

Solución:

Z 7,78

𝒙1 11/3

𝒙2 4/9

Interpretación: Se montan, por término medio, 11 pales de tipo 1 cada tres semanas

(𝑥1 = 11/3) y se montan, por término medio 4 palés de tipo 2 cada nueve semanas

(𝑥2 = 4/9) con lo que se obtiene un beneficio semanal de 7.78 USD.

51. Una persona quiere invertir $ 100000 en dos tipos de acciones A y B. Las de tipo A


pero producen solo el 7% nominal. Decide invertir como máximo $ 60000 en la compra

de acciones A y, por lo menos, $ 20000 en la compra de acciones B. Además, quiere

que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir

los $ 100000 para que el beneficio anual sea máximo?

VARIABLES:

Para maximización el proceso simplex se

termina cuando en la fila objetivo queden

valores ≥ 0, y también hayan desaparecido

los coeficientes M y que todas las variables

artificiales hayan salido de la matriz simplex.

Para facilitar el cálculo se

dividió a todos los valores

para 10000.



𝒙𝟏 = Acciones tipo A. 𝒙𝟐 = Acciones tipo B.


Maximizar:

𝒁 = 𝟎, 𝟏𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕𝒙𝟐 − 𝑴𝒕𝟏 −0,1𝑥1 − 0,07𝑥2 + 𝑀𝑡1 + 𝑍 = 0

Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = −𝟐𝑴


{

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 (𝟏)𝒙𝟏 ≤ 𝟔 (𝟐)𝒙𝟐 ≥ 𝟐 (𝟑)𝒙𝟏 ≥ 𝒙𝟐 (𝟒)

{

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆1 = 10𝑥1 + 𝑆2 = 6

𝑥2 − 𝑆3 + 𝑡1 = 2−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆4 = 0

MATRIZ AUMENTADA

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝑹 𝒁 -0,1 -0,07 0 0 0 0 M 0

𝑺𝟏 1 1 1 0 0 0 0 10

𝑺𝟐 1 0 0 1 0 0 0 6

𝒕𝟏 0 1 0 0 -1 0 1 2 (-M)

𝑺𝟒 -1 1 0 0 0 1 0 0

MATRIZ INICIAL SIMPLEX

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 -0,1 -0,07-M 0 0 M 0 -2M

𝑺𝟏 1 1 1 0 0 0 10

𝑺𝟐 1 0 0 1 0 0 6

𝒕𝟏 0 1 0 0 -1 0 2 (-1)(0,07+M)

𝑺𝟒 -1 1 0 0 0 1 0

Importante: Por comprobación en los siguientes ejemplos que voy

a resolver por el método simplex, utilizando el método

de la M, a partir de la matriz simplex inicial se

eliminará la o las columnas de las variables artificiales.

Para facilitar los cálculos de la matriz.

Nota: A la cuarta inecuación multiplicamos

por (-1) para tener la restricción con el

sentido de desigualdad (≤).



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 -0,1 0 0 0 -0,07 0 0,14

𝑺𝟏 1 0 1 0 1 0 8

𝑺𝟐 1 0 0 1 0 0 6 (-1)(0,1)(1)

𝒙𝟐 0 1 0 0 -1 0 2

𝑺𝟒 -1 0 0 0 1 1 -2

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 0 0 0 0,1 -0,07 0 0,74

𝑺𝟏 0 0 1 -1 1 0 2 (0,07)(1)(-1)

𝒙𝟏 1 0 0 1 0 0 6

𝒙𝟐 0 1 0 0 -1 0 2

𝑺𝟒 0 0 0 1 1 1 4

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 0 0 0,07 0,03 0 0 0,88

𝑺𝟑 0 0 1 -1 1 0 2

𝒙𝟏 1 0 0 1 0 0 6

𝒙𝟐 0 1 1 -1 0 0 4

𝑺𝟒 0 0 -1 2 0 1 2

Solución:

Z 0,88*10000=8800

𝒙1 6*10000=60000

𝒙2 4*1000=40000

Interpretación: La persona debe invertir 60000 en acciones tipo A, que tienen más riesgos y

40000 en las acciones tipo B, que son más seguras para obtener un beneficio combinado

máximo de $ 8800.

2.7.3. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (IGUAL: “ = “)

Cuando aparecen inecuaciones con restricciones iguales solamente se suman variables

artificiales, para tener una ecuación apta para la resolución por el método simplex, en este caso

también por cada variable artificial se resta un coeficiente M (en la función objetivo). Se arma

la matriz aumentada con todas las variables, y se procede hacer cero al coeficiente M de las

variables artificiales en la fila objetivo. En la matriz simplex por cada variable artificial que sale

se puede eliminar la columna de dicha variable artificial para reducir los cálculos de la matriz

simplex, si las variables artificiales (Ti) no salen de la matriz simplex entonces el problema está

mal planteado o hay errores en la resolución de la matriz simplex. De la misma manera se

termina el proceso simplex cuando en la fila objetivo se tienen valores positivos o ceros, y

además los coeficientes M se han eliminado en el proceso de la resolución de la matriz simplex.

Para la solución interpretada,

tenemos que aumentar cuatro

ceros en (Z) y las variables de

decisión, porque recuerda

que al inicio dividimos para

10000.



52. El folleto informativo de un fondo de inversión establece que todo el dinero está

invertido en bonos que están considerados como “A”, “AA”, “AAA”; no más del 30%

de la inversión total se encuentra en bonos “A” y “AA” y al menos el 50% está en

bonos “AA” y “AAA” respectivamente, se obtiene 8%, 7%, y 6% anual. Determine los

porcentajes de la inversión total de modo de que el fondo maximice el rendimiento

anual. ¿Cuál es ese rendimiento?

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Inversión A.

𝒙𝟐 = Inversión AA.

𝒙𝟑 = Inversión AAA.


Maximizar:

𝒁 =𝟖

𝟏𝟎𝟎𝒙𝟏 +

𝟕

𝟏𝟎𝟎𝒙𝟐 +

𝟔

𝟏𝟎𝟎𝒙𝟑 − 𝑴𝒕𝟏 − 𝑴𝒕𝟐

−2

25𝑥1 −

7

100𝑥2 −

3

50𝑥3 + 𝑀𝑡1 + 𝑀𝑡2 = 0

Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = −𝟑

𝟐𝑴


{

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏 (𝟏)

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤𝟑

𝟏𝟎 (𝟐)

𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≥𝟏

𝟐 (𝟑)

{

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑡1 = 1

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆1 =3

10

𝑥2 + 𝑥3 − 𝑆2 + 𝑡2 =1

2

MATRIZ AUMENTADA

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹 𝒁 −

2

25 −

7

100 −

3

50 0 0 M M 0

𝒕𝟏 1 1 1 0 0 1 0 1 (-M)

𝑺𝟏 1 1 0 1 0 0 0 3

10

𝒕𝟐 0 1 1 0 -1 0 1 1

2

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹 𝒁 −

2

25− 𝑀 −

7

100− 𝑀 −

3

50− 𝑀 0 0 0 M -M

𝒕𝟏 1 1 1 0 0 1 0 1

𝑺𝟏 1 1 0 1 0 0 0 3

10

𝒕𝟐 0 1 1 0 -1 0 1 1

2

(-M)




𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁

−2

25− 𝑀 −

7

100− 2𝑀 −

3

50− 2𝑀 0 M −

3

2𝑀

𝒕𝟏 1 1 1 0 0 1

𝑺𝟏 1 1 0 1 0 3

10 (-1)(

7

100+ 2𝑀)

𝒕𝟐 0 1 1 0 -1 1

2

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 −

1

100+ 𝑀 0 −

3

50− 2𝑀

7

100+ 2𝑀 M

21

1000−

9

10𝑀

𝒕𝟏 0 0 1 -1 0 7

10

𝒙𝟐 1 1 0 1 0 3

10

𝒕𝟐 -1 0 1 -1 -1 1

5 (-1)(

3

50+ 2𝑀)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁

−7

100− 𝑀 0 0

1

100 −

3

50− 𝑀

33

1000−

1

2𝑀

𝒕𝟏 1 0 0 0 1 1

2

𝒙𝟐 1 1 0 1 0 3

10 (-1)(

7

100+ 𝑀)(1)

𝒙𝟑 -1 0 1 -1 -1 1

5

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 0

7

100+ 𝑀 0

2

25+ 𝑀 −

3

50− 𝑀

27

500−

1

5𝑀

𝒕𝟏 0 -1 0 -1 1 1

5 (

3

50+ 𝑀)(1)

𝒙𝟏 1 1 0 1 0 3

10

𝒙𝟑 0 1 1 0 -1 1

2

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 0

1

100 0

1

50 0

33

500

𝑺𝟐 0 -1 0 -1 1 1

5

𝒙𝟏 1 1 0 1 0 3

10

𝒙𝟑 0 0 1 -1 0 7

10



Solución:

Z 0,066

𝒙1 0,3

𝒙2 0

𝒙3 0,7

Interpretación: El fondo de inversiones debe invertir un 30% en inversión tipo A, 0% en

inversión tipo AA, y 70% en inversión tipo AAA, para tener un rendimiento máximo del 6,6%.

2.8. MINIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX

Para minimizar por el método simplex se siguen los mismos pasos que para maximización, pero

para minimizar hay que tener en cuenta los siguientes aspectos:

Por cada variable artificial se suma un coeficiente M (en la función objetivo).

Para ver la variable que ingresa se escoge el más positivo.

Se termina el proceso simplex cuando en la fila objetivo se tienen valores negativos o

ceros.

53. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta

calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2

toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas

de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad.

Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 dólares en cada mina ¿Cuántos

días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Mina A.

𝒙𝟐 = Mina B.

FUNCIÓN OBJETIVO:

Minimizar: 𝒁 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝑴𝒕𝟏 + 𝑴𝒕𝟐 + 𝑴𝒕𝟑

FILA OBJETIVO:−𝟐𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏 − 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 − 𝑴𝒕𝟏 − 𝑴𝒕𝟐 − 𝑴𝒕𝟑 + 𝒁 = 𝟎

Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = 𝟒𝟒𝟎𝑴


{

𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟖𝟎 (𝟏)𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟔𝟎 (𝟐)𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟐𝟎𝟎 (𝟑)

{

𝑥1 + 2𝑥2 − S1 + 𝑡1 = 803𝑥1 + 2𝑥2 − S2 + 𝑡2 = 1605𝑥1 + 2𝑥2 − S3 + 𝑡3 = 200

Nota: Las respuestas obtenidas en el

problema multiplicamos por

100 para dar en porcentaje.



MATRIZ AUMENTADA

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹 𝒁 -2 -2 0 0 0 -M -M -M 0

𝒕𝟏 1 2 -1 0 0 1 0 0 80 (M)

𝒕𝟐 3 2 0 -1 0 0 1 0 160

𝒕𝟑 5 2 0 0 -1 0 0 1 200

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹 𝒁 -2+M -2+2M -M 0 0 0 -M -M 80M

𝒕𝟏 1 2 -1 0 0 1 0 0 80

𝒕𝟐 3 2 0 -1 0 0 1 0 160 (M)

𝒕𝟑 5 2 0 0 -1 0 0 1 200

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹 𝒁 -2+4M -2+4M -M -M 0 0 0 -M 240M

𝒕𝟏 1 2 -1 0 0 1 0 0 80

𝒕𝟐 3 2 0 -1 0 0 1 0 160

𝒕𝟑 5 2 0 0 -1 0 0 1 200 (M)


𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 -2+9M -2+6M -M -M -M 440M

𝒕𝟏 1 2 -1 0 0 80

𝒕𝟐 3 2 0 -1 0 160

𝒕𝟑 5 2 0 0 -1 200 ÷ 5

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 -2+9M -2+6M -M -M -M 440M

𝒕𝟏 1 2 -1 0 0 80

𝒕𝟐 3 2 0 -1 0 160

𝒕𝟑 1 2

5

0 0 −

1

5

40 (-3)(-1)(2-9M)

Por experiencia en la resolución de estos

ejercicios eliminamos las columnas de

las variables artificiales (𝒕𝟏, 𝒕𝟐, 𝒕𝟑), en la tabla inicial simplex.

Para obtener la matriz inicial

simplex, lo podemos obtener

con un solo paso multiplicando

por (M) a cada fila de

(𝒕𝟏), y sumamos a la fila (Z).



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0

−6

5+

12

5𝑀

-M -M −

2

5+

4

5𝑀

80+80M

𝒕𝟏 0 8

5

-1 0 1

5

40 ÷

8

5

𝒕𝟐 0 4

5

0 -1 3

5

40

𝒙𝟏 1 2

5

0 0 −

1

5

40

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0

−6

5+

12

5𝑀

-M -M −

2

5+

4

5𝑀

80+80M

𝒕𝟏 0 1 −

5

8

0 1

8

25 (6

5−

12

5𝑀)(−

4

5) (−

2

5)

𝒕𝟐 0 4

5

0 -1 3

5

40

𝒙𝟏 1 2

5

0 0 −

1

5

40

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 0

−3

4

+1

2𝑀

-M −

1

4

+1

2𝑀

110+20M

𝒙𝟐 0 1 −

5

8

0 1

8

25

𝒕𝟐 0 0 1

2

-1 1

2

20 ÷

1

2

𝒙𝟏 1 0 1

4

0 −

1

4

30

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 0

−3

4+

1

2𝑀

-M −

1

4+

1

2𝑀

110+20M

𝒙𝟐 0 1 −

5

8

0 1

8

25

𝒕𝟐 0 0 1 -2 1 40 (−1

8) (

1

4−

1

2𝑀) (

1

4)

𝒙𝟏 1 0 1

4

0 −

1

4

30

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 0

−1

2 −

1

2

0 120

𝒙𝟐 0 1 −

3

4

1

4

0 20

𝑺𝟑 0 0 1 -2 1 40

𝒙𝟏 1 0 1

2 −

1

2

0 40



Solución: Z 120 *1000= 120000

𝒙1 40

𝒙2 20

Interpretación: La mina A debe trabajar 40 días y la mina B debe trabajar 20 días para que el

coste mínimo sea 120000 dólares.

54. En su consumo diario de alimento, un animal rapaz necesita por lo menos 12

unidades de alimento A, 12 unidades de alimento B y únicamente 12 unidades

de alimento C. estos requerimientos se satisfacen cazando dos tipos de especies.

Una presa de la especie 1 suministra 5, 2 y 1 unidades de los alimentos A, B y C

respectivamente; una presa de la especie 2 suministra 2, 2 y 4 unidades en la

orden de los alimentos A, B y C, capturar y digerir una presa de la especie 1

requiere 3 unidades de energía en promedio, mientras que el gasto de energía

correspondiente para la especie 2 es de 2 unidades. ¿Cuántas presas de cada

especie deberá capturar el depredador para satisfacer sus necesidades

alimentarias, haciendo un gasto mínimo de energía?

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Cantidad especie 1.

𝒙𝟐 = Cantidad especie 2.


Minimizar: 𝒛 = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝑴𝒕𝟏 + 𝑴𝒕𝟐 + 𝑴𝒕𝟑

−3𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑀𝑡1 − 𝑀𝑡2 − 𝑀𝑡3 + 𝑧 = 0

Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = 𝟏𝟐𝑴


{

𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟐 (𝟏)𝟐𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟐 (𝟐)𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟏𝟐 (𝟑)

{5𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑆1 + 𝑡1 = 122𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑆2 + 𝑡2 = 12𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑡3 = 12

MATRIZ AUMENTADA

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹 𝒁 -3 -2 0 0 -M -M -M 0

𝒕𝟏 5 2 -1 0 1 0 0 12 (M)

𝒕𝟐 2 2 0 -1 0 1 0 12

𝒕𝟑 1 4 0 0 0 0 1 12

Nota: El problema está resuelto cuando en

la fila objetivo (Z) han quedado

valores menores o iguales a cero.

Excepto el valor de la columna R.



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹 𝒁 -3+5M -2+2M -M 0 0 -M -M 12M

𝒕𝟏 5 2 -1 0 1 0 0 12

𝒕𝟐 2 2 0 -1 0 1 0 12 (M)

𝒕𝟑 1 4 0 0 0 0 1 12

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹 𝒁 -3+7M -2+4M -M -M 0 0 -M 24M

𝒕𝟏 5 2 -1 0 1 0 0 12

𝒕𝟐 2 2 0 -1 0 1 0 12

𝒕𝟑 1 4 0 0 0 0 1 12 (M)


𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -3+8M -2+8M -M -M 36M

𝒕𝟏 5 2 -1 0 12

𝒕𝟐 2 2 0 -1 12

𝒕𝟑 1 4 0 0 12 ÷ 4

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -3+8M -2+8M -M -M 36M

𝒕𝟏 5 2 -1 0 12

𝒕𝟐 2 2 0 -1 12

𝒕𝟑 1

4

1 0 0 3 (-2)(-2)(2-8M)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁

−5

2+ 6𝑀

0 -M -M 6+12M

𝒕𝟏 9

2

0 -1 0 6 ÷

9

2

𝒕𝟐 3

2

0 0 -1 6

𝒙𝟐 1

4

1 0 0 3

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁

−5

2+ 6𝑀

0 -M -M 6+12M

𝒕𝟏 1 0 −

2

9

0 4

3 (

5

2− 6𝑀) (−

3

2) (−

1

4)

𝒕𝟐 3

2

0 0 -1 6

𝒙𝟐 1

4

1 0 0 3



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 0 0

−5

9+

1

3𝑀

-M 28

3+ 4𝑀

𝒙𝟏 1 0 −

2

9

0 4

3

𝒕𝟐 0 0 1

3

-1 4 ÷

1

3

𝒙𝟐 0 1 1

18

0 8

3

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 0 0

−5

9+

1

3𝑀

-M 28

3+ 4𝑀

𝒙𝟏 1 0 −

2

9

0 4

3

𝒕𝟐 0 0 1 -3 12 (2

9) (

5

9−

1

3𝑀) (−

1

18)

𝒙𝟐 0 1 1

18

0 8

3

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 0 0 0

−5

3

16

𝒙𝟏 1 0 0 −

2

3

4

𝒕𝟐 0 0 1 -3 12

𝒙𝟐 0 1 0 1

6

2

Solución:

Z 16

𝒙1 4

𝒙2 2

Interpretación: El animal rapaz necesita 4 presas de la especie 1 y 2 presas de la especie 2

para consumir un mínimo de 16 unidades de energía promedio, consumiendo 12 unidades de

energía para la especie 1 y 4 unidades de energía para la especie 2. Suministrando así 22

unidades de alimento A, 12 unidades de alimento B y 12 unidades de alimento C.

55. 500 alumnos de un colegio van a ir de excursión. La empresa que realiza el viaje

dispone de 10 autobuses de 40 pasajeros y 8 de 30 pasajeros, pero solo de 15

conductores ese día. El alquiler de los autobuses pequeños es de $ 500000 y de los

buses grandes es de $ 600000. ¿Cuántos autobuses de cada uno le convendrá alquilar

para que el viaje resulte lo más económico posible?

Nota: El problema está resuelto cuando en la fila

objetivo (Z) han quedado valores menores o

iguales a cero. Excepto el valor de la

columna R.

Para facilitar los cálculos a la función

objetivo se divide para 100000.



VARIABLES:

𝒙𝟏 = Autobuses de 40 pasajeros.

𝒙𝟐 = Autobuses de 30 pasajeros.


Minimizar:

𝒛 = 𝟔𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝑴𝒕𝟏

−6𝑥1 − 5𝑥2 − 𝑀𝑡1 + 𝑍 = 0

Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = 𝟓𝟎𝟎𝑴


{

𝒙𝟏 ≤ 𝟏𝟎 (𝟏)𝒙𝟐 ≤ 𝟖 (𝟐) 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓 (𝟑) 𝟒𝟎 𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 ≥ 𝟓𝟎𝟎 (𝟒)

{

𝑥1 + 𝑆1 = 10 𝑥2 + 𝑆2 = 8

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆3 = 15 40 𝑥1 + 30𝑥2 − 𝑆4 + 𝑡1 = 500

MATRIZ AUMENTADA

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝑹 𝒁 -6 -5 0 0 0 0 -M 0

𝑺𝟏 1 0 1 0 0 0 0 10

𝑺𝟐 0 1 0 1 0 0 0 8

𝑺𝟑 1 1 0 0 1 0 0 15

𝒕𝟏 40 30 0 0 0 -1 1 500 (M)


𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 -6+40M -5+30M 0 0 0 -M 500M

𝑺𝟏 1 0 1 0 0 0 10 (6-40M)(-1)(-40)

𝑺𝟐 0 1 0 1 0 0 8

𝑺𝟑 1 1 0 0 1 0 15

𝒕𝟏 40 30 0 0 0 -1 500

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 0 -5+30M 6-40M 0 0 -M 60+100M

𝒙𝟏 1 0 1 0 0 0 10

𝑺𝟐 0 1 0 1 0 0 8

𝑺𝟑 0 1 -1 0 1 0 5

𝒕𝟏 0 30 -40 0 0 -1 100 ÷ 30



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 0 -5+30M 6-40M 0 0 -M 60+100M

𝒙𝟏 1 0 1 0 0 0 10

𝑺𝟐 0 1 0 1 0 0 8

𝑺𝟑 0 1 -1 0 1 0 5

𝒕𝟏 0 1 −

4

3

0 0 −

1

30

10

3

(-1)(-1)(5-30M)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 𝒁 0 0

−2

3

0 0 −

1

6

230

3

𝒙𝟏 1 0 1 0 0 0 10

𝑺𝟐 0 0 4

3

1 0 1

30

14

3

𝑺𝟑 0 0 1

3

0 1 1

30 5

3

𝒙𝟐 0 1 −

4

3

0 0 −

1

30

10

3

Solución:

Z 76,667∗ 100000 = 7´666666,667

𝒙1 10

𝒙2 3,33

Interpretación: Los alumnos que van de excursión deben elegir 10 autobuses grandes de 40

pasajeros y 3 autobuses pequeños de 30 pasajeros para que el viaje tenga un costo mínimo de

7666666,667 USD.

56. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos

tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir ciertos requisitos nutricionales a

un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada ingrediente nutritivo

básico contenido en un Kg. de cada tipo de alimento, junto con los requisitos

nutricionales diarios y coste de los alimentos:

Ingrediente

nutricional

Kg. De

maíz

Kg. De

grasas

Kg. De

alfalfa Requerimiento

mínimo diario




Costo 32 26 20

Para facilitar los cálculos del ejercicio se dividió todos los datos para 10.

Nota: A la respuesta de (Z)

multiplicamos por 100000, ya que

al inicio dividimos para dicho

valor para facilitar los cálculos.



VARIABLES:

𝒙𝟏 = Kg. de Maíz.

𝒙𝟐 = Kg. de Grasas.

𝒙𝟑 = Kg. de alfalfa.


Minimizar:

𝒁 =𝟏𝟔

𝟓𝒙𝟏 +

𝟏𝟑

𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝑴𝒕𝟏 + 𝑴𝒕𝟐 + 𝑴𝒕𝟑

−16

5𝑥1 −

13

5𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑀𝑡1 − 𝑀𝑡2 − 𝑀𝑡3 + 𝑍 = 0

Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = 𝟓𝟑𝑴


{

𝟗𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 ≥ 𝟐𝟎 (𝟏)

𝟑𝒙𝟏+ 𝟖𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 ≥ 𝟏𝟖 (𝟐)

𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 ≥ 𝟏𝟓 (𝟑)

{

9𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑆1 + 𝑡1 = 203𝑥1 + 8𝑥2 + 6𝑥3 − 𝑆2 + 𝑡2 = 18𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 − 𝑆3 + 𝑡3 = 15

MATRIZ AUMENTADA

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹 𝒁 −

16

5 −

13

5 -2 0 0 0 -M -M -M 0

𝒕𝟏 9 2 4 -1 0 0 1 0 0 20 (M)

𝒕𝟐 3 8 6 0 -1 0 0 1 0 18

𝒕𝟑 1 2 6 0 0 -1 0 0 1 15

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹 𝒁 −

16

5+ 9𝑀

−13

5+ 2𝑀

-2+4M -M 0 0 0 -M -M 20M

𝒕𝟏 9 2 4 -1 0 0 1 0 0 20

𝒕𝟐 3 8 6 0 -1 0 0 1 0 18 (M)

𝒕𝟑 1 2 6 0 0 -1 0 0 1 15

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹 𝒁 −

16

5+ 12𝑀 −

13

5+ 10𝑀

2+10M -M -M 0 0 0 -M 38M

𝒕𝟏 9 2 4 -1 0 0 1 0 0 20

𝒕𝟐 3 8 6 0 -1 0 0 1 0 18

𝒕𝟑 1 2 6 0 0 -1 0 0 1 15 (M)


𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 −

16

5+ 13𝑀 −

13

5+ 12𝑀

-2+16M -M -M -M 53M

𝒕𝟏 9 2 4 -1 0 0 20

𝒕𝟐 3 8 6 0 -1 0 18

𝒕𝟑 1 2 6 0 0 -1 15 ÷ 6



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 −

16

5+ 13𝑀 −

13

5+ 12𝑀

-2+16M -M -M -M 53M

𝒕𝟏 9 2 4 -1 0 0 20

𝒕𝟐 3 8 6 0 -1 0 18

𝒕𝟑 1

6

1

3

1 0 0 −

1

6

5

2

(-6)(-4)(2-16M)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 −

43

15+

31

3𝑀 −

29

15+

20

3𝑀

0 -M -M −1

3+

5

3𝑀 5+13M

𝒕𝟏 25

3

2

3

0 -1 0 2

3

10 ÷

25

3

𝒕𝟐 2 6 0 0 -1 1 3

𝒙𝟑 1

6

1

3

1 0 0 −

1

6

5

2

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 −

43

15+

31

3𝑀 −

29

15+

20

3𝑀 0 -M -M

−1

3+

5

3𝑀 5+13M

𝒕𝟏 1 2

25

0 −

3

25

0 2

25

6

5 (

43

15−

31

3𝑀)(−2) (−

1

6)

𝒕𝟐 2 6 0 0 -1 1 3

𝒙𝟑 1

6

1

3

1 0 0 −

1

6

5

2

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0

−213

125+

146

25𝑀 0

−43

125+

6

25𝑀

-M −13

125+

21

25𝑀

211

25+

3

5𝑀

𝒙𝟏 1 2

25

0 −

3

25

0 2

25

6

5

𝒕𝟐 0 146

25 0 6

25

-1 21

25

3

5 ÷

146

25

𝒙𝟑 0 8

25

1 1

50

0 −

9

50

23

10

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 −

213

125+

146

25𝑀

0 −

43

125+

6

25𝑀

-M −

13

125+

21

25𝑀

211

25+

3

5𝑀

𝒙𝟏 1 2

25

0 −

3

25

0 2

25

6

5

𝒕𝟐 0 1 0 3

73 −

25

146

21

146

15

146 (−

2

25) (

213

125−

146

25𝑀) (−

8

25)

𝒙𝟑 0 8

25

1 1

50

0 −

9

50

23

10

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 0 0

−20

73 −

213

730

103

730

6289

730

𝒙𝟏 1 0 0 −

9

73

1

73

5

73

87

73

𝒙𝟐 0 1 0 3

73 −

25

146

21

146

15

146 ÷

21

146

𝒙𝟑 0 0 1 1

146

4

73 −

33

146

331

146



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 0 0

−20

73 −

213

730

103

730

6289

730

𝒙𝟏 1 0 0 −

9

73

1

73

5

73

87

73

𝒙𝟐 0 146

21

0 2

7 −

25

21

1 5

7 (−

5

73) (−

103

730) (

33

146)

𝒙𝟑 0 0 1 1

146

4

73 −

33

146

331

146

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0

−103

105

0 −

11

35 −

13

105

0 289

35

𝒙𝟏 1 −

10

21

0 −

1

7

2

21

0 8

7

𝑺𝟑 0 146

21

0 2

7 −

25

21

1 5

7

𝒙𝟑 0 11

7

1 1

14 −

3

14

0 17

7

Solución:

Z 8,5143 ∗ 10 = 85,14

𝑥1 1,1429 ∗ 10 = 11,43

𝑥3 2,4286 ∗ 10 = 24,29

2.9. DEGENERACIÓN, SOLUCIONES NO ACOTADAS, SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLEX EN EL MÉTODO SIMPLEX.

En la resolución de problemas por el método gráfico, se estableció que una solución básica

factible, se denomina degenerada si además de las variables no básicas una de las variables

básicas es cero.

Para recordar las variables básicas y no básicas, vamos a ver un ejemplo con dos variables de

decisión ( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ) y cuatro restricciones, tal como se ve en la siguiente tabla:


{

𝒙𝟏 ≤ 𝟏𝟎 𝒙𝟐 ≤ 𝟖 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓 𝟒𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 ≥ 𝟓𝟎𝟎

{

𝑥1 + 𝑆1 = 10 𝑥2 + 𝑆2 = 8

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆3 = 15 40𝑥1 + 30𝑥2 − 𝑆4 + 𝑡1 = 500

VARIABLES NO BÁSICAS: VARIABLES BÁSICAS:

Interpretación: El granjero tiene que darle

11,43kg. de un maíz, 21,29kg. de Alfalfa, ningún

kg. de grasas para que su costo mínimo sea de

85,14 USD.



𝒙𝟏 = 𝟎

𝒙𝟐 = 𝟎

𝑺𝟒 = 𝟎

𝑆1 = 10

𝑆2 = 8

𝑆3 = 15

𝑡1 = 500

2.9.1. DEGENERACIÓN

Una solución básica factible (SBF) degenerada ocurrirá cuando los cocientes en la tabla

simplex empaten y son los cocientes más pequeños.

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝑹 cocientes 𝒁 0 0 𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝒙𝟏 1 0 𝑎13 𝑎14 0 0 ÷ 𝑎14 = 0

𝒙𝟐 0 1 𝑎23 𝑎24 0 0 ÷ 𝑎24 = 0

Recuerda:

Las variables no básicas siempre inician en cero, porque como ya

estudiamos en el método gráfico la región factible comienza a crecer

desde el punto de origen P(0,0) y son las variables de decisión ( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐,

𝒙𝒏 ), también son variables no básicas cuando tenemos variables de

holgura negativas. Una vez que tenemos las variables no básicas, se

reemplaza en el sistema de igualdades y se calcula las variables

básicas, que son los valores que inicia en la tabla simplex.

Casos extremos del método

simplex

Degeneración Soluciones no

acotadas Soluciones

óptimas múltiples

Variable entrante

Variable Saliente



Además podemos observar un caso particular que las variables básicas son ( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐), y se

produce un empate en los cocientes, por tal razón decimos que se produce una degeneración

dentro del simplex.

En este caso, no existe la seguridad de que el valor de la función objetivo mejorará, ya que la

nueva solución óptima puede permanecer degenerada, de ser así, es posible que las iteraciones

del simplex entren en un circuito que repetirá las mismas sucesiones de iteraciones, sin alcanzar

nunca la óptima. A esto se conoce como ciclo y afortunadamente raras veces se presenta en la

práctica. Para ilustrar lo estudiado vamos a ver un problema en donde los cocientes mínimos

empatan. Ejemplo:

57. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones.

Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio, como se indica en la tabla que sigue:

Madera Plástico Aluminio

Silla 1 unidad 1unidad 2unidades

Mecedora 1unidad 1unidad 3unidades

Sillón 1unidad 2unidades 5unidades

La compañía cuenta con 400 unidades disponibles de madera, 600 de plástico y 1500 de

aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se vende en $24, $32 y $48, respectivamente.

Suponga que todos los muebles pueden venderse, ¿Cuál es el ingreso máximo total que

puede obtenerse? Determine las posibles órdenes de producción que generará ese ingreso.

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Sillas.

𝒙𝟐 = Mecedoras.

𝒙𝟑 = Sillones.

FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁 = 𝟐𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝒙𝟑

FILA OBJETIVO: −𝟐𝟒𝒙𝟏 − 𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙𝟑 + 𝒁 = 𝟎


{

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟒𝟎𝟎 (𝟏)𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 ≤ 𝟔𝟎𝟎 (𝟐)𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟓𝟎𝟎 (𝟑)

{

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + S1 = 400 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + S2 = 600

2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + S3 = 1500

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 Cocientes 𝒁 −24 −32 −48 0 0 0 0

𝑺𝟏 1 1 1 1 0 0 400 400 ÷ 1 = 400

𝑺𝟐 1 1 2 0 1 0 600 600 ÷ 2 = 300

𝑺𝟑 2 3 5 0 0 1 1500 150 ÷ 5 = 300

Tenemos un empate de cocientes mínimos, y

este ejercicio es propio en donde se produce una

degeneración.



Escogiendo la variable saliente 𝑺𝟑 tenemos:

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 −24 −32 −48 0 0 0 0

𝑺𝟏 1 1 1 1 0 0 400

𝑺𝟐 1 1 2 0 1 0 600

𝑺𝟑 2

5

3

5

1 0 0 1

5

300 (-2)(-1)(48)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 Cocientes

𝒁 −

24

5 −

16

5 0 0 0

48

5 14400

𝑺𝟏 3

5

2

5

0 1 0 −

1

5

100 100 ÷ 2/5 = 250

𝑺𝟐 1

5 −

1

5

0 0 1 −

2

5

0 0 ÷ 1/5 = 0

𝒙𝟑 2

5

3

5

1 0 0 1

5

300 300 ÷ 2/5 = 750

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁

−24

5 −

16

5 0 0 0

48

5 14400

𝑺𝟏 3

5

2

5

0 1 0 −

1

5

100

𝑺𝟐 1 −1 0 0 5 −2 0 (−2

5) (−

3

5) (

24

5)

𝒙𝟑 2

5

3

5

1 0 0 1

5

300

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 −8 0 0 24 0 14400

𝑺𝟏 0 1 0 1 -3 1 100 (8) (1) (-1)

𝒙𝟏 1 −1 0 0 5 −2 0

𝒙𝟑 0 1 1 0 -2 1 300

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 0 0 8 0 8 15200

𝒙𝟐 0 1 0 1 -3 1 100

𝒙𝟏 1 0 0 1 2 −1 100

𝒙𝟑 0 0 1 -1 1 0 200

Solución: Z= 15200; 𝒙1 = 100; 𝒙2 = 100; 𝒙3 = 200

Escogiendo la variable saliente 𝑺𝟐 tenemos:

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 0 0 8 0 8 15200



𝒙𝟐 3

2

1 0 5

2

0 −

1

2

250

𝑺𝟐 1

2

0 0 1

2

1 −

1

2

50

𝒙𝟑 −

1

2

0 1 −

3

2

0 1

2

150

Solución: Z= 15200; 𝒙1 = 0; 𝒙2 = 250; 𝒙3 = 150

Conclusión: Se tienen soluciones óptimas múltiples en donde las variables de decisión pueden

ir cambiando, pero el valor de Z no cambia, además esto es un ejemplo claro de la degeneración

del método simplex, el dueño de la empresa entonces, debe escoger la mejor selección de las

dos opciones para lo cual sería fabricar 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sillones para obtener un

beneficio máximo de $ 15200.

2.9.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS

En el método gráfico estudiamos problemas que no pueden tener un valor máximo porque su

región factible es tal que la función objetivo puede ser arbitrariamente grande. En este caso se

dice que el problema tiene una solución no acotada. Esta es una forma de especificar que no

existe solución óptima. Esta situación ocurre cuando no existen cocientes posibles en una taba

simplex para una variable que ingresa. Ejemplo:

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝑹 Cocientes 𝒁 0 3 −4 1 20 𝒙𝟏 1 −2 6 9 7 7 ÷ −2 (no hay cociente)

𝒙𝟐 0 0 8 3 9 9 ÷ 0 (no hay cociente)

58. Ejercicio didáctico

VARIABLES:



𝒙𝟑 = Producto C.

FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁 = 𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟑

FILA OBJETIVO: −𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒁 = 𝟎


{−𝟓𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 ≤ 𝟑𝟎 (𝟏)−𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟐 (𝟐)

No negatividad: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑 ≥ 𝟎

{−5𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + S1 = 30

−𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 + S2 = 12

Variable entrante




𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 −1 −4 1 0 0 0

𝑺𝟏 −5 6 −2 1 0 30 30 ÷ 6 = 5

𝑺𝟐 −1 3 6 0 1 12 12 ÷ 3 = 4

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 −1 −4 1 0 0 0

𝑺𝟏 −5 6 −2 1 0 30

𝑺𝟐 -1/3 1 2 0 1/3 12 (-6) (4)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 Cocientes

𝒁 −

7

3 0 9 0

4

3 16

𝑺𝟏 −3 0 −14 1 −2 6 6 ÷ −3 → No hay Cociente (Negativo)

𝑺𝟐 −1

3 1 2 0 1

3 4 4 ÷ −1/3 → No hay Cociente (Negativo)

Interpretación: No se puede determinar la utilidad máxima, porque no existen cocientes para la

elaboración y determinación de la matriz.

2.9.3. SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES

En el método gráfico se dice que se tienen soluciones óptimas múltiples, debido a que la

solución óptima se encuentra en un segmento de recta que es acotado por una de las

restricciones.

En el método simplex, sea cualquiera la variable de decisión ( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) que ingrese, tenemos el

mismo valor de la función objetivo (Z). Ejemplo:

59. Ejercicio didáctico

VARIABLES:



𝒙𝟑 = Producto C.

FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁 = −𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑

La variable que ingresa es: 𝒙𝟏, y para la variable

saliente no existe cociente, entonces se habla de un

problema no acotado.



FILA OBJETIVO: 𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟔𝒙𝟑 + 𝒁 = 𝟎


{𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 ≤ 𝟔 (𝟏)−𝟐𝒙𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎 (𝟐)

{𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + S1 = 6

−2𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑥3 + S2 = 10


Ingresa la Variable 𝒙𝟑

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 1 -4 -6 0 0 0

𝑺𝟏 1 2 3 1 0 6 ÷ 3

𝑺𝟐 -2 -5 1 0 1 10

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 1 -4 -6 0 0 0

𝑺𝟏 1

3

2

3

1 1

3

0 2 (6)(-1)

𝑺𝟐 -2 -5 1 0 1 10

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 3 0 0 2 0 12

𝒙𝟑 1

3

2

3

1 1

3

0 2

𝑺𝟐 −

7

3 −

17

3

1 0 1 8

Solución:

Z 12

𝒙3 2

Ingresa la Variable 𝒙𝟐

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 1 -4 -6 0 0 0

𝑺𝟏 1 2 3 1 0 6 ÷ 2

𝑺𝟐 -2 -5 1 0 1 10

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 1 -4 -6 0 0 0

𝑺𝟏 1

2

1 3

2

1

2

0 3 (4)(5)

𝑺𝟐 -2 -5 1 0 1 10

Soluciones múltiples Al seleccionar la variable 𝒙3 que

ingresa se tiene: 𝒙𝟏 = 𝟎, 𝒙𝟐 = 𝟎, 𝒙𝟑 = 𝟐, con un valor máximo de: Z=12



𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 3 0 0 2 0 12

𝒙𝟐 1

2

1 3

2

1

2

0 3

𝑺𝟐 1

2

0 17

2

5

2

1 25

Solución:

Z 12

𝒙2 3

Conclusión: Se tienen soluciones óptimas múltiples en donde los variables de decisión pueden

ir cambiando, pero el valor de Z no cambia.

60. Una compañía produce tres clases de dispositivos que requieren de tres diferentes

procesos de producción. La empresa ha asignado un total de 190 horas para el proceso

uno, 180 para el 2 y 165 horas para el 3. La tabla siguiente proporciona el número de

horas por dispositivo para cada procedimiento.

Dispositivo 1 Dispositivo 2 Dispositivo 3

Proceso 5,5 5,5 6,5

Proceso 3,5 6,5 7,5

Proceso 4,5 6,0 6,6

Si la utilidad es de $50 por el dispositivo 1, de $50 por el 2 y de $50 por el 3, encuentre

el número de dispositivos de cada clase que la compañía debe producir para maximizar

la utilidad.

VARIABLES:

𝒙𝟏 = Dispositivo 1. 𝒙𝟐 = Dispositivo 2.

𝒙𝟑 = Dispositivo 3.

FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁 = 𝟓𝟎𝒙𝟏 + 𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝟎𝒙𝟑

FILA OBJETIVO: −𝟓𝟎𝒙𝟏 − 𝟓𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝟎𝒙𝟑 + 𝒁 = 𝟎


{

𝟓,𝟓𝒙𝟏 + 𝟓,𝟓𝒙𝟐 + 𝟔,𝟓 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟗𝟎 𝟑, 𝟓𝒙𝟏 + 𝟔,𝟓𝒙𝟐 + 𝟕,𝟓 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟖𝟎 𝟒, 𝟓𝒙𝟏 + 𝟔,𝟎𝒙𝟐 + 𝟔,𝟓 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟔𝟓

{

5,5𝑥1 + 5,5𝑥2 + 6,5 𝑥3 + 𝑠1 = 190 3,5𝑥1 + 6,5𝑥2 + 7,5 𝑥3 + 𝑠2 = 180 4,5𝑥1 + 6,0𝑥2 + 6,5 𝑥3+𝑠2 = 165

Soluciones múltiples Al seleccionar la variable

𝒙2 que ingresa se tiene:

𝒙1 = 0, 𝒙3 = 0, 𝒙2 = 3, con un

valor máximo de: Z=12




𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 −50 −50 −50 0 0 0 0

𝑺𝟏 5.5 5.5 6.5 1 0 0 190

𝑺𝟐 3.5 6.5 7.5 0 1 0 180

𝑺𝟑 4.5 6 6.5 0 0 1 165

Se puede escoger la variable entrante cualquiera de las tres:

Cuando ingresa la Variable 𝒙𝟏, se obtiene la siguiente solución:

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 0 9,09 9,09 0 0 1727,27 𝑿𝟏 1 1 1,18 0,18 0 0 34,55 𝑺𝟐 0 3 3,36 -0,64 1 0 59,09 𝑺𝟑 0 1,5 1,18 -0,82 0 1 9,55

Solución: Z= 1727,27; 𝒙1 = 34,55; 𝒙2 = 0; 𝒙3 = 0

Cuando ingresa la Variable 𝒙𝟐, se obtiene la siguiente solución:

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 0 9,09 9,09 0 0 1727,27 𝑿𝟏 1 0 0,39 0,73 0 -0,67 28,18 𝑺𝟐 0 0 1 1 1 -2 40 𝑿𝟐 0 1 0,79 -0,55 0 0,67 6,36

Solución: Z= 1727,27; 𝒙1 = 28,18; 𝒙2 = 6,36; 𝒙3 = 0

Conclusión: Se tienen soluciones óptimas múltiples en donde las variables de decisión pueden

ir cambiando, pero el valor de Z no cambia.

CAPÍTULO II Programación Lineal Dualidad


Maximizar: 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛

Minimizar: 𝑊 = 𝑏1𝑦1 + 𝑏2𝑦2 + ⋯+ 𝑏𝑛𝑦𝑛

2.10. DUALIDAD

Asociado a cualquier Programa o Problema Lineal, Problema principal o primal (P.P), existe

un problema que se encuentra estrechamente relacionado llamado PROGRAMA o

PROBLEMA DUAL (P.D). La relación entre el problema principal y el problema dual es de tal

grado que la solución óptima simplex, de cualquiera de los problemas; conduce inmediatamente

a la solución óptima del otro. Cada problema principal (P.P) de programación lineal tiene su

correspondiente problema dual con las siguientes características muy interesantes:

En problemas de un gran número de restricciones, resolver el problema dual es más

eficiente que resolver el problema principal.

En algunas ocasiones resulta más sencilla la resolución del problema dual que la del

problema principal, en términos de menor número de iteraciones.

Los valores óptimos de las variables del dual, proporcionan una interpretación

económica interesante del problema principal.

Algunas veces se puede evitar el uso de las variables artificiales, mediante la aplicación

del método de solución Dual – Simplex, sobre el problema dual.

Facilita el estudio del impacto sobre la optimalidad por cambios en el problema

original.

Dentro de la programación lineal se pueden resolver ejercicios tanto de minimización y

maximización, llegando a tener la misma respuesta, esto se logra mediante la dualidad.

Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo en cálculos en ciertos

problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima

debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce

como análisis de dualidad o sensibilidad. (Kolman & Hill, 2006, pág. 591)

Si en el primal la función objetivo se maximiza B, todos sus límites deben ser máximos,

en el Dual se minimizará 𝐵∗.

Si en el primal la función objetivo se minimiza C, todos sus límites deben ser mínimos,

en el Dual se Maximizará 𝐶∗

Nomenclatura de la dualidad:

PRIMAL

{

𝑎11𝑥1 + 𝑎21𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥1 ≤ 𝑏1

𝑎21𝑥2 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥1 ≤ 𝑏2

: ∶ : ∶

𝑎𝑚1𝑥2 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0

DUAL



{

𝑎11𝑦1 + 𝑎21𝑦2 + ⋯+ 𝑎11𝑥1 ≥ 𝑐1

𝑎21𝑦2 + 𝑎22𝑦2 + ⋯+ 𝑎21𝑦1 ≥ 𝑐2

: ∶ : ∶

𝑎𝑚1𝑦2 + 𝑎𝑚2𝑦2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑦𝑚 ≥ 𝑐𝑛

𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 ≥ 0

En resumen se tiene:

PRIMAL DUAL

Maximizar Minimizar

Coeficientes de la función

objetivo (𝑐𝑛) Recursos

Recursos(𝑏𝑚) Coeficientes

Filas (𝑎𝑚1) Columnas

Columnas (𝑎𝑚𝑛) Filas

≤ ≥

= ≥ ≤

61. Una compañía fabrica 2 tipos de podadoras manuales y eléctricas y cada una requiere

del uso de las máquinas A y B para su producción tal como se muestra en la tabla:

Máquina A Máquina B Utilidad

Manual 1 h 1 h $10.00

Eléctrico 2 h 2 h $24.00

Horas disponibles 120 180

Se indica que una podadora manual requiere del uso de A durante 1 hora y de B durante

otra hora. Las eléctricas requieren de A durante 2 horas y de B durante 4 horas. Los

números máximos de horas disponibles por mes para las máquinas A y B son de 120 y

180 respectivamente. La utilidad por una podadora manual es de $10 y por una eléctrica

es de $24. Suponga que la compañía puede vender todos los artículos que produce,

determine la utilidad mensual máxima.

PRIMAL: DUAL:

𝒙𝟏 = # de podadoras manuales.

𝒙𝟐 = # de podadoras eléctricas.

Maximizar: 𝒁 = 𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟒𝒙𝟐

Restricciones:

{ 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐𝟎 (𝟏)

𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟖𝟎 (𝟐)

Minimizar: 𝑍 = 120𝑦1 + 180𝑦2

Restricciones:

{ 𝑦1 + 𝑦2 ≥ 10 (1)

2𝑦1 + 4𝑦2 ≥ 24 (2)

Recuerda:

El ejercicio original que se obtiene de un ejercicio

razonado es primal.

Nota: 𝐛𝐦.- Puede ser positivo o negativo no altera en la

resolución del problema.



Igualdades:

{ 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝑺𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝑺𝟐 = 𝟏𝟖𝟎

Igualdades:

{ 𝑦1 + 𝑦2 − 𝑆1 + 𝑡1 = 10 2𝑦1 + 4𝑦2 − 𝑆2 + 𝑡2 = 24

TABLA INICIAL SIMPLEX PRIMAL 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -10 -24 0 0 0

𝑺𝟏 1 2 1 0 120

𝑺𝟐 1 4 0 1 180 ÷ 4

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -10 -24 0 0 0

𝑺𝟏 1 2 1 0 120

𝑺𝟐 1

4

1 0 1

4

45 (-2)(24)

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -4 0 0 6 1080

𝑺𝟏 1

2

0 1 −

1

2

30 ÷

1

2

𝒙𝟐 1

4

1 0 1

4

45

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -4 0 0 6 1080

𝑺𝟏 1 0 2 -1 60 (4) (−

1

4)

𝒙𝟐 1

4

1 0 1

4

45

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 0 0 8 2 1320

𝒙𝟏 1 0 2 -1 60

𝒙𝟐 0 1 −

1

2

1

2

30

Demostración de la dualidad: Para demostrar de manera práctica la

resolución del dual voy a resolver

inicialmente el primal y luego su respectivo

dual para la comprobación e interpretación.



Solución:

Z 1320

𝒙1 60

𝒙2 30

Interpretación: La compañía debe fabricar 60 podadoras manuales y 30 podadoras eléctricas

para obtener una utilidad máxima de 1320 dólares.

DUALIDAD


Minimizar: 𝒁 = 𝟏𝟐𝟎𝒚𝟏 + 𝟏𝟖𝟎𝒚𝟐 −120𝑦1 − 180𝑦2 − 𝑀𝑡1 − 𝑀𝑡2 + 𝑍 = 0


{ 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟏𝟎 (𝟏)

𝟐𝒚𝟏 + 𝟒𝒚𝟐 ≥ 𝟐𝟒 (𝟐)

{ 𝑦1 + 𝑦2 − 𝑆1 + 𝑡1 = 10 2𝑦1 + 4𝑦2 − 𝑆2 + 𝑡2 = 24

MATRIZ AUMENTADA

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹 𝒁 -120 -180 0 0 -M -M 0

𝒕𝟏 1 1 -1 0 1 0 10 (M)

𝒕𝟐 2 4 0 -1 0 1 24

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹 𝒁 -120+M -180+M -M 0 0 -M 10M

𝒕𝟏 1 1 -1 0 1 0 10

𝒕𝟐 2 4 0 -1 0 1 24 (M)


𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -120+3M -180+5M -M -M 34M

𝒕𝟏 1 1 -1 0 10

𝒕𝟐 2 4 0 -1 24 ÷ 4

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -120+3M -180+5M -M -M 34M

𝒕𝟏 1 1 -1 0 10

𝒕𝟐 1

2

1 0 −

1

4

6 (-1)(180-5M)



𝒙𝟏 𝒙𝟐

𝒚𝟏 𝒚𝟐

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁

−30 +1

2𝑀 0 -M −45 +

1

4𝑀 1080+4M

𝒕𝟏 1

2

0 -1 1

4

4 ÷

1

2

𝒚𝟐 1

2

1 0 −

1

4

6

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁

−30 +1

2𝑀 0 -M −45 +

1

4𝑀 1080+4M

𝒕𝟏 1 0 -2 1

2

8 (30 −

1

2𝑀) (−

1

2)

𝒚𝟐 1

2

1 0 −

1

4

6

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 0 0 -60 -30 1320

𝒚𝟏 1 0 -2 1

2

8

𝒚𝟐 0 1 1 −

1

2

2

Comparación de las tablas finales del método simplex del primal y dual:

PRIMAL

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 0 0 8 2 1320

𝒙𝟏 1 0 2 -1 60

𝒙𝟐 0 1 −1

2

1

2 30

Interpretación del dual: El valor óptimo de un problema de programación lineal es la

máxima utilidad: Z=1320; 𝒙1 = 60; 𝒙2 = 30; estos valores se

sacan de la tabla final del dual, se lee en la columna de

𝒔𝟏 𝒚 𝒔𝟐; respectivamente de la fila Z; y el valor óptimo del

valor mínimo del costo de renta de las máquinas A y B es:

Z=1320. 𝒚1 = 8; 𝒚2 = 2

El valor de Z

es el mismo

tanto para

primal como

para el dual.



DUAL

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 0 0 -60 -30 1320

𝒚𝟏 1 0 -2 1

2

8

𝒚𝟐 0 1 1 −

1

2

2

62. Encuentre el dual del siguiente problema: Una persona decide tomar dos diferentes

suplementos dietéticos. Cada suplemento contiene dos ingredientes esenciales, A y B,

para los cuales existen requerimientos mínimos diarios, y cada uno contiene un tercer

ingrediente, C, que debe minimizarse.

Suplemento 1 Suplemento 2 Requerimiento diario

A 20 mg/oz 6 mg/oz 98 mg

B 8 mg/oz 16 mg/oz 80 mg

C 6mg/oz 2 mg/oz

PRIMAL: DUAL:

𝒙𝟏 = Suplemento 1.

𝒙𝟐 = Suplemento 2.

Minimizar: 𝒁 = 𝟔𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐

Restricciones:

{𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 ≥ 𝟗𝟖 (𝟏)

𝟖𝒙𝟏 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 ≥ 𝟖𝟎 (𝟐)

Igualdades:

{𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝑺𝟏 + 𝒕𝟏 = 𝟗𝟖𝟖 𝒙𝟏 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝑺𝟐 + 𝒕𝟐 = 𝟖𝟎

Maximizar: 𝑍 = 98𝑦1 + 80𝑦2

Restricciones:

{20 𝑦1 + 8𝑦2 ≤ 6 (1)

6𝑦1 + 16𝑦2 ≤ 2 (2)

Igualdades:

{ 20𝑦1 + 8𝑦2 + 𝑆1 = 6 6𝑦1 + 16𝑦2 + 𝑆2 = 2

DUALIDAD (MAXIMIZACIÓN)

MATRIZ SIMPLEX

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹

𝒁 −98 −80 0 0 0

𝑺𝟏 20 8 1 0 6 ÷ 20

𝑺𝟐 6 16 0 1 2

𝑿𝟏 𝑿𝟐



𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹

𝒁 −98 −80 0 0 0

𝒚𝟏 1 2

5

1

20

0 3

10

(98) (−6)

𝑺𝟐 6 16 0 1 2

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹

𝒁 0 −

204

5

49

10 0

147

5

𝒚𝟏 1 2

5

1

20

0 3

10

𝑺𝟐 0 68

5 −

3

10

1 1

5 ÷

68

5

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹

𝒁 0 −

204

5

49

10 0

147

5

𝒚𝟏 1 2

5

1

20

0 3

10

𝒚𝟐 0 1 −

3

136

5

68

1

68 (−

2

5) (

204

5)

𝒚 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹

𝒁 0 0 4 3 30

𝒚𝟏 1 0 1

17 −

1

34

5

17

𝒚𝟐 0 1 −

3

136

5

68

1

68

Interpretación: La persona debe tomar 4 unidades de suplemento 1, (𝑥1 = 4 ) y 3unidades de

suplemento 2, (𝑥2 = 3) para tener un tercer ingrediente C, con un requerimiento mínimo de 30

mg.

63. Una compañía produce tres clases de dispositivos que requieren tres diferentes procesos

de producción. La empresa ha destinado un total de 300 horas para el proceso 1, 400

horas para el 2 y 600 horas para el 3. La tabla siguiente da el número de horas por

dispositivo para cada proceso:

Dispositivo 1 Dispositivo 2 Dispositivo 3

Proceso 1 30 15 10

Proceso 2 20 30 20

Proceso 3 40 30 25

Nota:

La resolución de este problema

resulta más fácil realizarla por el

dual, ya que en maximización no

tenemos variables artificiales.



Si la utilidad es de $30 por dispositivo 1, de $20 por dispositivo 2 y de $20 por el 3,

entonces, mediante el uso del dual y del método simplex, determine el número de

dispositivos de cada clase que la compañía debe producir para maximizar la utilidad.

PRIMAL: DUAL:

Maximizar: 𝒁 = 𝟑𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙𝟑

𝒙𝟏 = Dispositivo 1.

𝒙𝟐 = Dispositivo 2.

𝒙𝟑 = Dispositivo 3.

Restricciones:

{

𝟑𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟑𝟎𝟎𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟒𝟎𝟎𝟒𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝟑 ≤ 𝟔𝟎𝟎

Igualdades:

{

𝟑𝟎 𝒙𝟏 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝑺𝟏 = 𝟑𝟎𝟎𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙𝟑 + 𝑺𝟐 = 𝟒𝟎𝟎𝟒𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝟑 + 𝒔𝟑 = 𝟔𝟎𝟎

Minimizar: 𝑍 = 300𝑦1 + 400𝑦2 +600𝑦3

Restricciones:

{

30 𝑦1 + 20𝑦2 + 40𝑦3 ≥ 30 15𝑦1 + 30𝑦2 + 30𝑦3 ≥ 2010𝑦1 + 20𝑦2 + 25𝑦3 ≥ 20

Igualdades:

{

30𝑦1 + 20𝑦2 + 40𝑦3 − 𝑆1 + 𝑡1 = 3015𝑦1 + 30𝑦2 + 30𝑦3 − 𝑆2 + 𝑡2 = 2010𝑦1 + 20𝑦2 + 25𝑦3 − 𝑆3 + 𝑡3 = 20

MATRIZ AUMENTADA

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹 𝒁 -300 -400 -600 0 0 0 -M -M -M 0

𝒕𝟏 30 20 40 -1 0 0 1 0 0 30 (M)

𝒕𝟐 15 30 30 0 -1 0 0 1 0 20 (M)

𝒕𝟑 10 20 25 0 0 -1 0 0 1 20 (M)

TABLA INICIAL SIMPLEX 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 -300+55M -400+70M -600+95M -M -M

-M

70M

𝒕𝟏 30 20 40 -1 0 0 30

𝒕𝟐 15 30 30 0 -1 0 20 ÷ 30

𝒕𝟑 10 20 25 0 0 -1 20

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 -300+55M -400+70M -600+95M -M -M -M 70M

𝒕𝟏 30 20 40 -1 0 0 30

𝒕𝟐 1

2

1 1 0 −

1

30

0 2

3

(-40)(600-95M)(-25)

𝒕𝟑 10 20 25 0 0 -1 20



𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 15

2𝑀 200-25M 0 -M −20 +

13

6𝑀 -M 400 +

20

3𝑀

𝒕𝟏 10 -20 0 -1 4

3

0 10

3

÷ 10

𝒚𝟑 1

2

1 1 0 −

1

30

0 2

3

𝒕𝟑 −5

2

-5 0 0 5

6

-1 10

3

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 15

2𝑀 200-25M 0 -M −20 +

13

6𝑀 -M 400 +

20

3𝑀

𝒕𝟏 1 -2 0 −

1

10

2

15

0 1

3 (−

15

2𝑀)(−

1

2) (

5

2)

𝒚𝟑 1

2

1 1 0 −

1

30

0 2

3

𝒕𝟑 −5

2

-5 0 0 5

6

-1 10

3

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 200-10M 0 −

1

4𝑀 −20 +

7

6𝑀 -M 400 +

25

6𝑀

𝒚𝟏 1 -2 0 −

1

10

2

15

0 1

3 ÷

2

15

𝒚𝟑 0 2 1 1

20 −

1

10

0 1

2

𝒕𝟑 0 -10 0 −

1

4

7

6

-1 25

6

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 200-10M 0 −

1

4𝑀 −20 +

7

6𝑀 -M 400 +

25

6𝑀

𝒚𝟏 15

2

-15 0 −

3

4

1 0 5

2 (20 −

7

6𝑀) (

1

10) (−

7

6)

𝒚𝟑 0 2 1 1

20 −

1

10

0 1

2

𝒕𝟑 0 -10 0 −

1

4

7

6

-1 25

6

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 150 −

35

4𝑀 −100 +

15

2𝑀 0 −15 +

5

8𝑀 0 -M 450 +

5

4𝑀

𝑺𝟐 15

2

-15 0 −

3

4

1 0 5

2

𝒚𝟑 3

4

1

2

1 −

1

40

0 0 3

4

𝒕𝟑 −35

4

15

2

0 5

8

0 -1 5

4 ÷

15

2



𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 150 −

35

4𝑀 −100 +

15

2𝑀 0 −15 +

5

8𝑀 0 -M 450 +

5

4𝑀

𝑺𝟐 15

2

-15 0 −

3

4

1 0 5

2

𝒚𝟑 3

4

1

2

1 −

1

40

0 0 3

4

𝒕𝟑 −7

6

1 0 1

12

0 −

2

15

1

6 (−

1

2) (15) (100 −

15

2𝑀)

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 100

3 0 0 −

20

3 0 −

40

3

1400

3

𝑺𝟐 -10 0 0 1

2

1 -2 5

𝒚𝟑 4

3

0 1 −

1

15

0 1

15

2

3 ÷

4

3

𝒚𝟐 −7

6

1 0 1

12

0 −

2

15

1

6

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 100

3 0 0 −

20

3 0 −

40

3

1400

3

𝑺𝟐 -10 0 0 1

2

1 -2 5

𝒚𝟑 1 0 3

4 −

1

20

0 1

20

1

2 (10) (−

100

3) (

7

6)

𝒚𝟐 −7

6

1 0 1

12

0 −

2

15

1

6

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 𝒁 0 0 -25 −5 0 -15 450

𝑺𝟐 0 0 15

2

0 1 −

3

2

10

𝒚𝟏 1 0 3

4 −

1

20

0 1

20

1

2

𝒚𝟐 0 1 7

8

1

40

0 −

3

40

3

4

Solución:

Z 450

𝒙1 5

𝒙2 0

𝒙3 15

Interpretación: La compañía debe producir 5 dispositivos de tipo 1 y 15 dispositivos de tipo 3

para obtener un máximo beneficio de 450 dólares.

64. Encuentre el dual del problema siguiente: suponga que una compañía tiene $ 60000

para la compra de materiales para fabricar tres tipos de dispositivos. La empresa ha

asignado un total de 2000 horas para el ensamblado y 120 horas para el empacado de

Recuerda:

Las variables 𝒙1, 𝒙2, 𝒙3; se selecciona de

las columnas: 𝒔1, 𝒔2, 𝒔3 respectivamente

sin importar el signo negativo.



los dispositivos. La tabla siguiente proporciona los costos, el número de horas y la

utilidad por dispositivo de cada tipo:

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Costo/ dispositivo $300 $220 $180

Hora de ensamblado/ dispositivo 20 40 20

Horas de empacado/ dispositivo 3 2 1

Utilidad $300 $200 $200

PRIMAL: DUAL:

𝒙𝟏 = Tipo 1.

𝒙𝟐 = Tipo 2.

𝒙𝟑 = Tipo 3.

Maximizar: 𝒁 = 𝟑𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟑

Restricciones:

{

𝟑𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟑 ≤ 𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟐𝟎

Igualdades:

{

𝟑𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝟎𝒙𝟑 + 𝑺𝟏 = 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟑 + 𝑺𝟐 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝑺𝟑 = 𝟏𝟐𝟎

Minimizar: 𝑍 = 60000𝑦1 + 2000𝑦2 + 120𝑦3

Restricciones:

{

300𝑦1 + 20𝑦2 + 3𝑦3 ≥ 300 220𝑦1 + 40𝑦2 + 𝑦3 ≥ 200 180𝑦1 + 20𝑦2 + 2𝑦3 ≥ 200

Igualdades:

{

300𝑦1 + 20𝑦2 + 3𝑦3 − 𝑆1 + 𝑡1 = 300 220𝑦1 + 40𝑦2 + 𝑦3 − 𝑆2 + 𝑡2 = 200

180𝑦1 + 20𝑦2 + 2𝑦3 − 𝑆3 + 𝑡3 = 200

65. Encuentre el dual del problema siguiente: Una compañía produce dos tipos de

pantalones A y B cada pantalón tipo A requiere del doble de mano de obra que la del

tipo B para producir por lo menos 2500 pantalones. El mercado limita la venta diaria a

un máximo de 1250 pantalones tipo A, y los de tipo B a un total de 1500 pantalones.

Los costos de operación son de $6 para el pantalón tipo A y de $4 para el tipo B.

Determinar el número de pantalones de cada tipo que minimice los costos.

PRIMAL: DUAL:

𝒙𝟏 = Pantalón Tipo A.

𝒙𝟐 = Pantalón Tipo B.

Minimizar: 𝒁 = 𝟔𝐱𝟏 + 𝟒𝐱𝟐

Restricciones:

{

𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟐𝟓𝟎𝟎𝒙𝟏 ≤ 𝟏𝟐𝟓𝟎𝒙𝟐 = 𝟏𝟓𝟎𝟎

Adecuando las restricciones

para el dual:

Maximizar: 𝑍 = 2500𝑦1 − 1250𝑦2 + 1500𝑦3 − 1500𝑦4

Restricciones:

{2𝑦1 − 𝑦2 ≤ 6 𝑦1 + 𝑦3 − 𝑦4 ≤ 4

Igualdades:

{2𝑦1 − 𝑦2 + 𝑠1 = 6 𝑦1 + 𝑦3 − 𝑦4 + 𝑠2 = 4



{

𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟐𝟓𝟎𝟎−𝒙𝟏 ≥ −𝟏𝟐𝟓𝟎

𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟓𝟎𝟎 −𝒙𝟐 ≥ −𝟏𝟓𝟎𝟎

𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎𝟎 → −𝑥2 ≥ −1500

Nota: Cuando exista una restricción con signo igual, para

transformar del primal al Dual, se debe crear dos

restricciones: una con signo mayor igual y otra con signo

menor igual. Ejemplo:

𝒙𝟐 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 → 𝑥2 ≥ 1500; 𝑥2 ≤ 1500 , y para cambiar el

sentido del signo, simplemente se multiplica por (-1) toda la

restricción. Ejemplo:



2.11. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Básicamente el análisis de sensibilidad se encarga de estudiar cómo afectaría a la solución

óptima y a la función objetivo el cambio de algunas de sus variables, ya sea que una depende de

las otras.

Según (Peñafiel, 1976) utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas diferenciadas

del problema:

1. Los coeficientes de la función objetivo (coeficiente objetivo). Los cambios en los que

los coeficientes objetivos NO afectan la forma de la región factible, por lo que no

afectarán a la solución óptima (aunque sí al valor de la función objetivo).

2. Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las

restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad). Los cambios en estos

coeficientes provocarán cambios sustanciales en la forma de la región factible.

Gráficamente (en el caso de 2 variables) lo que varía es la pendiente de las rectas que

representan las restricciones.

3. Los recursos disponibles (los términos independientes de cada restricción, situados a la

derecha de la desigualdad). Intuitivamente (para dos variables), los cambios en el RHS

suponen desplazamientos paralelos de las rectas asociadas a las restricciones, lo cual

hará variar la forma de la región factible y, con ello, a la solución óptima.

9A continuación podremos ver la función objetivo y sus recursos:

Coeficiente Objetivo

MAX 10X + 20Y

ST

Coeficiente 3X + Y ≥ 9 Recursos Tecnológico X – 3Y ≥ 5 (RHS)

Coeficiente Tecnológico

Y realizaremos el análisis de sensibilidad en la función objetivo la misma que cambiará el

parámetro o el multiplicador de la primera variable 𝑋1 de 40 a 60 y el multiplicador de la

segunda variable 𝑋2 de 50 a 35 los mismos que se realizan para ver cual será el cambio que

tendrá dentro de la solución óptima y de la función objetivo:

𝒁𝟎 = 40𝑋1 + 50𝑋2

60𝑋1 + 35𝑋1

9 https://www.youtube.com/watch?v=u7RYmF27fDA



Tomando en cuenta que dichos cambios se deberán regir por la regla del 100%

60−40

40 = 0.5

0.50 + 0.30 = 0.80

35−50

50 = -0.30 = | -0.30 | = 0.30

Si el resultado es menor que el 100% como en éste caso, el cambio de los dos coeficientes

simultáneos no afectarán a la solución óptima y dentro de la gráfica o zona óptima de este

ejercicio no habrá ningún problema que se realicen dichos cambios.

RESTRICCIONES

Existen tres diferentes tipos de restricciones. Restricción de oro, Restricción de Plata y

Restricción de No negatividad.

Paara Munier (2000), la restricción de la No negatividad nos indica que la respuesta tiene que

ser positiva, ubicada en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Por otra parte, cada restricción al igual que la función objetivo deberá cambiar los valores de sus

coeficientes:

Restricción de Oro Restricción de Plata

𝑿𝟏 + 𝟑

𝟐𝑿𝟐 = 𝟕𝟓𝟎 𝑋1 +

3

2𝑋2 = 750

𝑿𝟏 +𝟑

𝟐𝑿𝟐 = 𝟗𝟓𝟎

3

2𝑋1 + 𝑋2 = 1000

𝑽𝑨𝑳𝑶𝑹 𝑵𝑼𝑬𝑽𝑶− 𝑽𝑨𝑳𝑶𝑹 𝑨𝑪𝑻𝑼𝑨𝑳

𝑽𝑨𝑳𝑶𝑹 𝑨𝑪𝑻𝑼𝑨𝑳

Regla del 100%

Nota:

Cuando se obtienen

términos negativos

se deberá aplicar

valor absoluto para

obtener el valor

positivo.



Y nuevamente aplicamos la

regla del 100%:

Y finalmente sumamos:

0.26 + 0.33 = 0.59

Ahora, como podemos ver la respuesta (0.59) es menor que cien, esto nos quiere decir que el

cambio en el lado derecho de las ecuaciones no alterarán la región factible.

PRECIOS SOMBRA

10El precio sombra es el cambio marginal que se realiza en la función objetivo producto de un

cambio en las restricciones. Representa el costo oportunidad de producir o consumir un bien o

servicio. Un bien o servicio puede no tener un precio de mercado; sin embargo, siempre es

posible asignarle un precio sombra, que permite hacer un análisis de costo-beneficio y cálculos

de programación lineal.

10 https://www.youtube.com/watch?v=FnLhNogsi_I

PRECIO SOMBRA

RECURSOS CON

HOLGURA

P.S. = 0

Aumentarlos no genera

cambio alguno.

RECURSOS SIN

HOLGURA

P.S. ≠ 0

Aumentarlos genera

cambio en la F. Objetivo

950 − 750

750= 0.26

1000 − 750

750= 0.33

Recuerda:

Un coeficiente puede variar, sin

alterar el punto óptimo hasta que

la pendiente sea igual a la de la

recta que une los puntos.

Se pueden

disminuir

hasta llegar a

Holgura cero

Si se

disminuyen se

recurre a una

disminución en

la F. Objetivo



11EJEMPLO DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Materia

Prima

Cantidad requerida

Para cada producto

Modelo Matemático

𝑚𝑎𝑥𝑧 = 600𝑥1 + 400𝑥2

s.c.

4𝑥1 + 𝑥2 ≤ 2000

2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1200

𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 2100

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Para la resolución se utilizará el método simplex en forma tabular

Variables de Holgura

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒉𝟏 𝒉𝟐 𝒉𝟑

𝒉𝟏 4 1 1 0 0 2000

𝒉𝟐 2 1 0 1 0 1200

𝒉𝟑 1 4 0 0 1 2100

-z 600 400 0 0 0 0

11 https://www.youtube.com/watch?v=ksEfWpKeFl4

A1 A2 Disponibilidad M1 4 1 2000

M2 2 1 1200

M3 1 3 2100

Utilidad 600 400

Nota: Se observa que tenemos tres restricciones, una para cada una

de las materias primas y las dos variables 𝑥1, que

corresponden a la cantidad de productos A1 que se deben

fabricar y, 𝑥2 a la cantidad de productos A2 que se deben

elaborar.



Después de tener la tabla original, se hacen las interacciones correspondientes hasta llegar a la tabla

óptima que se presenta a continuación

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒉𝟏 𝒉𝟐 𝒉𝟑 𝒙𝟏 1 0 0 3

5⁄ −15⁄ 300

𝒙𝟐 0 1 0 −15⁄ 2

5⁄ 600

𝒉𝟏 0 0 1 −115⁄ 2

5⁄ 200

-z 0 0 0 -280 -40 -420000

INTERPRETACIÓN

La solución óptima corresponde a:

𝒙𝟏 = 300

𝒙𝟐 = 600

𝐡𝟏 = 200

Con un valor máximo de z de 420000, cabe notar que 𝐡𝟐 y 𝐡𝟑 valen 0, esto significa que la solución

óptima consume el total de recursos disponibles de la materia prima 2 y de la materia prima 3.

CAPÍTULO II Programación Lineal Problemas propuestos


2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS

2.12.1. RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO 66. Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa A le paga

$ 0,05 por impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga $ 0,07

por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de tipo A, en la que le

caben 120, y otra para los de tipo B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día

puede repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos habrán de repartir de

cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

67. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es

siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Además, el

triple de la producción de vinagre más cuatro veces la producción de vino es siempre

menor o igual que 18 unidades. Hallar el número de unidades de cada producto que se

deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino

deja un beneficio de $ 8 y cada unidad de vinagre $ 2.

68. Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de $ 100 y a no

fumadores al precio de $ 60. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador

20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg. ¿Cuál

debería ser la oferta de la compañía si se quiere obtener el máximo beneficio?

69. Una persona quiere invertir $ 100000 en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A


pero producen solo el 7% nominal. Decide invertir como máximo $ 60000 en la compra

de acciones A y, por lo menos, $ 20000 en la compra de acciones B. Además, quiere

que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir

los $ 100000 para que el beneficio anual sea máximo?

70. Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con $ 500. Le ofrecen dos

tipos de naranjas: las de tipo A, a $ 0,5 el kg y las de tipo B, a $ 0,8 el kg. Sabemos que

solo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg de naranjas como

máximo, y que piensa vender el kilo de naranjas de tipo A, a $ 0,58 y el de tipo B, a $

0,9. ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener

beneficio máximo?

71. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m

2 de tela de lana. Un traje de caballero

requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana y un vestido de señora necesita 2 m2 de cada

una de las telas. Calcula el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre

para maximizar los beneficios, si un traje y un vestido se venden por el mismo precio.

72. Se quiere elaborar una dieta para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de

contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 mg de la C

y 2 mg de la D. Para ello, se van a mezclar alimentos de dos tipos, P y Q, cuyo precio

por kilo es, para ambos, de $ 0,3 y cuyo contenido vitamínico, en miligramos, por kilo

es el siguiente:



¿Cómo deben mezclarse los alimentos para que el gasto sea mínimo?

73. Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas de cortar, coser y teñir se

emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa usar la máquina de cortar

una hora; la de coser, tres horas y la de teñir, una hora. Fabricar unos pantalones

representa usar la máquina de cortar una hora; la de coser, una hora y la de teñir,

ninguna hora. La máquina de teñir se puede usar durante tres horas; la de coser, doce y

la de cortar, siete. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho

euros por cada chaqueta y cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearemos las máquinas

para conseguir el beneficio máximo?

74. Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg de

vitamina B en el alimento que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de

alimentos P1 y P2, cuyos contenidos vitamínicos por kg son los que aparecen en la

tabla:

A B 𝑷𝟏 2 6

𝑷𝟐 4 3

Si el kilogramo de alimento P1 vale $ 0,4 y el del P2 $ 0,6. ¿Cómo deben mezclarse

los alimentos para suministrar las vitaminas requeridas con un coste mínimo?

75. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar

electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o

igual número de mecánicos que de electricistas y del número de mecánicos no supere al

doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El

beneficio de la empresa por jornada es de $ 150 por electricista y $ 120 por mecánico.

¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio?

76. Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial y la tarta

de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8

huevos, y tiene un precio de venta de $ 8. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8

huevos, y tiene un precio de venta de $ 10. En el almacén les quedan 10 kilos de azúcar

y 120 huevos. a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer? Plantea el

problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas unidades de

cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas?

77. Una joyería fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 gr de oro y 1,5

gr de plata y se vende a $ 25. La de tipo B se vende a $ 30 y lleva 1,5 gr de oro y 1 gr de

plata. Si solo se dispone de 750 gr de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada

tipo para obtener el máximo beneficio?

A B C D P 1 1 20 2

Q 1 3 7.5 0



78. Se desea realizar una mezcla con dos sustancias, A y B, que ha de contener como

mínimo 10 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias, nos las venden dos

proveedores en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de

B y de A están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de A. El lote del segundo

proveedor es tal que los contenidos de A y de B están en relación de 4 a 1 y hay una

unidad de B. El primer proveedor vende cada lote a $ 10 y el segundo al doble. Ambos

proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos. ¿Qué número de lotes

hemos de comprar para que el coste sea mínimo?

79. Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta mínima que

consiste en: 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitaminas diarias. El granjero sabe que

cada kilo de maíz proporciona 2,5 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que cada kilo

de pienso compuesto proporciona 1 de hierro y 2 de vitaminas. Sabiendo que el kilo de

maíz vale $ 0,3 y el de pienso compuesto $ 0,52, se pide: a) ¿Cuál es la composición de

la dieta diaria que minimiza los costes del granjero? Explica los pasos seguidos para

obtener la respuesta. b) ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el

mercado el granjero no pudiera disponer de más de 1 kilo diario de pienso compuesto?

80. Una empresa compra 26 locomotoras a tres fábricas: 9 a A, 10 a B y 7 a C. Las

locomotoras deben prestar servicio en dos estaciones distintas: 11 de ellas en la estación

N y 15 en la S. Los costes de traslado son, por cada una, los que se indican en la tabla

(en miles de euros):

Averigua cómo conviene hacer el reparto para que el coste sea mínimo.

81. Un productor tabaquero posee 85 hectáreas de terreno para plantar dos variedades de

tabacos VIRGINIA y PROCESADO. La variedad VIRGINIA tiene un rendimiento de

9600 $/ha, pero necesita 3 h/ha de uso de maquinaria y 80 h/ha de mano de obra.

Además, el Estado limita su explotación a 30 ha por plantación. La variedad

PROCESADO produce un rendimiento de 7500 $/ha y utiliza 2 h/ha de uso de

maquinaria y 60 h/ha de mano de obra. La cooperativa local le ha asignado 190 h de uso

de maquinaria, pero solo se dispone de 5420 horas de mano de obra a 12 $/h. ¿Cuántas

hectáreas debe dedicar a cada variedad de tabaco?

82. Don Elpidio decide emplear hasta $ 30000 de su patrimonio en la adquisición de

acciones de dos sociedades de inversión: BLL e ISSA. El precio de cada acción es de $

10 cada una, y en ambos casos. BLL dedica el 35% de su actividad al sector seguro, el

45% al sector inmobiliario y el 20% al industrial. ISSA dedica el 30% de sus recursos al

sector seguros, el 25% al inmobiliario y el 45% al industrial. Don Elpidio no quiere

invertir más del 40% de su capital en el sector industrial ni más del 35% en el

inmobiliario. ¿Cuántas acciones debe adquirir de cada sociedad si BLL prevé entregar

un dividendo de 1,2 $/acción e ISSA de 1 $/acción?

A B C N 6 15 3

S 4 20 5



83. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el

modelo A, a un precio de 1,5 millones de dólares. y el modelo B, a 2 millones de

dólares. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10

coches del modelo B, queriendo vender al menos tantas unidades del modelo A como

del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos

obtenidos con ella deben ser, al menos, de 6 millones. a) ¿Cuántas unidades de cada

modelo se podrán vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto

de soluciones. b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus

ingresos? ¿Cuál es su importe?

84. Una fábrica de coches va a lanzar al mercado dos nuevos modelos, (uno básico y otro de

lujo). El coste de fabricación del modelo básico es de 1 millón de dólares, y el del

modelo de lujo 1,5 millones de dólares, disponiendo para esta operación de lanzamiento

de 60 millones de dólares. Para evitar riesgos, de momento se cree conveniente lanzar al

menos tantos coches del modelo básico como del modelo de lujo y, en todo caso, no

fabricar más de 45 coches del básico. a) ¿Cuántos coches puede fabricar de cada

modelo? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

85. Un agricultor estima que el cuidado de cada m2

cultivo de lechugas requiere

semanalmente 45 minutos, mientras que el de repollo exige 50. Dispone de una tierra de

40 m2 de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cuidado de ambas

verduras, queriendo plantar al menos 3 m2 más de repollo que de lechuga. El m

2 de

lechuga le reporta un beneficio de 500 dólares, mientras que el de repollo 650 dólares,

se planifica obtener en conjunto al menos 10000 dólares de beneficio. a) ¿Qué extensión

de terreno puede plantar con cada verdura? Plantear el problema y representar

gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuánto le interesa plantar de cada una si su

objetivo es que el tiempo semanal dedicado a su cultivo sea mínimo?

86. Cierta persona dispone de 10 millones de dólares como máximo para repartir entre dos

tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones de dólares.

Además, quiere destinar a esa opción tanta cantidad de dinero como a la B. a) ¿Qué

cantidades puede invertir en cada una de las opciones? Plantear el problema y

representar gráficamente sus soluciones. b) Sabiendo que el rendimiento de la inversión

será del 9% en la opción A y del 12% en la B. ¿Qué cantidad debe invertir en cada una

para optimizar el rendimiento global? ¿A cuánto ascenderá?

87. Una agencia de viajes realiza las siguientes ofertas a 20 clientes: un viaje a la ciudad A

por 50000 dólares u otro a la ciudad B por 75000 dólares (cada cliente podrá elegir, si le

interesa, sólo una de las dos ofertas). Por razones de programación, la agencia necesita

reunir al menos 8 y no más de 12 clientes interesados en el viaje a la ciudad B. a)

¿Cuántos viajes podrá programar la agencia a cada ciudad? Plantear el problema y

representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos clientes deberán estar

interesados en ir a cada sitio para que la agencia maximice sus ingresos? ¿A cuánto

ascenderán éstos?



88. Una casa discográfica va a promocionar durante el próximo mes el último disco

grabado por dos de los grupos más afamados bajo su sello. El precio de lanzamiento es

de 1750 y 1800 dólares, respectivamente, siendo editadas 1500 copias del disco más

caro. Para cubrir los gastos de la campaña debe vender en total 500 discos o más y, por

razones de imagen, le conviene vender al menos tantas copias del disco más caro como

del más barato. a) ¿Cuántas copias de cada disco puede vender? Plantear el problema y

representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas copias deberá vender

de cada uno para maximizar sus ingresos? ¿Cuál será su importe?

89. En una granja dedicada a la cría de cerdos, la dieta alimenticia de los animales consiste

en dos tipos de alimento, cuyo precio (dólares/kg.) es de 100 para el alimento A y de

150 para el alimento B. Un animal debe consumir diariamente al menos 2 kg. de

alimento. Además, el coste de la dieta no puede superar las 300 ptas. por día. a) ¿Qué

cantidades de cada tipo pueden ser utilizadas para componer la dieta? Plantear el

problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si se desea que la

dieta resulte lo más barata posible, ¿cuáles serán las cantidades adecuadas? ¿Qué coste

tiene esa dieta?

90. Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y

novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 760 dólares, y

el de cada novedad 370. Se desea un coste total que no supere los 94500 dólares. Por

otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean, al menos, la mitad que las

novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100

unidades. a) ¿De cuántas unidades de cada tipo puede consistir el pedido? Plantear el

problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si se desea que el

total de unidades pedidas sea mínimo. ¿De cuántas unidades de cada tipo ha de constar

el pedido? ¿Cuál es entonces el coste del pedido?

91. Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica

considera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando dos

posibilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado de $ 1000000 por anuncio,

y cuñas radiofónicas, con un coste estimado de $ 100000 por cuña. No obstante, no

pueden gastar más de $ 100000000. para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen

que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado cifra en 10.000

el número de copias que se venderán por anuncio de televisión emitido, y en 2000

copias por cuña radiofónica emitida. a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas

podrá constar esta campaña? Plantear el problema y representar gráficamente el

conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizar para vender

el mayor número de copias posible? ¿Se llegarán a gastar los 100 millones de dólares?

92. Por motivos de ampliación de plantilla, una empresa de servicios de traducción quiere

contratar, a lo sumo, 50 nuevos traductores. El salario que ha de pagar a cada traductor

de una lengua es de 200000 dólares, y de 300000 a los que son de más de una lengua.

Como poco, y por motivos de demanda, dicha empresa tiene que contratar a la fuerza a

un traductor de más de una lengua. La política de selección de personal de la compañía

obliga también a contratar tantos traductores de una lengua como de más de una.

Sabiendo que el objetivo fijado de beneficios totales es, como mínimo, de 12 millones



de dólares, y que los beneficios que aportan los traductores de una lengua son de

400000 dólares/traductor, y de 800000 dólares/traductor los de más de una lengua: a)

¿Cuántos traductores de cada tipo se pueden contratar? Plantear el problema y

representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos traductores de cada tipo

contratará para minimizar el gasto en salarios? ¿Qué beneficios totales tendrá la

empresa en este caso?

93. Una fábrica de confección de ropa especializada en faldas y pantalones recibe una

partida de tela de 5000 metros. Para la confección de los pantalones, se precisan dos

metros de tela y uno, para las faldas. Por razones productivas, la fábrica ha de

confeccionar al menos el doble de pantalones que de faldas. a) Plantear el problema y

representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas faldas y pantalones

puede ofertar? c) Si la fábrica vende cada pantalón a un precio de 5000 dólares y cada

falda a 3000 dólares, ¿cuántas faldas y pantalones deberá vender para maximizar sus

ingresos? ¿Cuál será el ingreso máximo que puede obtener?

94. La encargada de una floristería ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior y de

exterior. El precio que ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de 100

dólares. y de 200 por cada una de exterior. A la fecha, sabe que por lo menos ha de

poder atender la demanda que un cliente ya le ha hecho, de 20 unidades de interior y de

30 de exterior. Además, el transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza

una empresa especializada y le supone unos costes, que son de 60 dólares. por cada

planta de interior y de 80 dólares. por cada planta de exterior, y la floristería tiene por

norma que estos costes de transporte no sobrepasen los 4800 dólares, por pedido

semanal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de 60 dólares. por cada planta de

interior que venda y 50 por cada una de exterior, y quiere que las primas que se puedan

alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos 3000 dólares. a) ¿Cuántas unidades

de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los requerimientos anteriores?

Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si la

floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el

pedido. ¿Cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir? ¿Cuánto deberá pagar al

proveedor? ¿Cuáles serán los costes de transporte?

95. Una gestoría financiera que ofrecía hasta ahora tan sólo préstamos personales pretende

añadir a su cartera de productos los préstamos hipotecarios y se ve en la necesidad de

rediseñar su política de firmas mensuales en base a los siguientes requerimientos: Debe

firmar mensualmente al menos dos préstamos hipotecarios, pero por las dificultades que

genera la introducción de ese producto no puede superar las 8 formas mensuales de

dichos préstamos. Por la misma razón, el número de firmas mensuales de préstamos

hipotecarios ha de ser como máximo la mitad de las firmas mensuales de préstamos

personales. Por otro lado, los costes de gestión son de 15000 dólares para cada firma de

préstamo personal y de 30000 dólares. para cada una de hipotecarios, no pudiéndose

superar los 600000 dólares, de gastos mensuales totales de gestión. Si la comisión a

percibir por la firma de cada préstamo personal es de 40000 dólares y de 100000

dólares, para cada hipotecario. a) Se pretende calcular las unidades de cada producto,

que puede firmar mensualmente cumpliendo los requerimientos de su nueva política de

firmas. Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. Si un



mes firma 10 personales y 8 hipotecarios. ¿Cumple esos requerimientos? b) Calcula las

unidades de cada producto que ha de firmar un mes para maximizar la comisión total y

cumplir todos los requerimientos de su política. ¿A cuánto asciende dicha comisión?

96. Un distribuidor de software informático, que realiza también funciones de servicio

técnico, tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. En base a

los objetivos marcados por el fabricante, al finalizar este año ha de conseguir al menos

20 empresas como clientes en su cartera, y el número de clientes particulares que

consiga deberá ser como mínimo el doble que de empresas. Además, por razones de

eficiencia del servicio postventa, tiene estipulado un límite global de 90 clientes

anuales. Finalmente, cada empresa le produce $ 286 de ingresos anuales, mientras que

cada particular $ 179. a) ¿Cuáles pueden ser las distintas opciones de composición de su

cartera? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b)

¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año?

¿A cuánto ascenderían dichos ingresos?

97. Un representante comercial del sector de las comunicaciones se plantea maximizar la

comisión total que obtenga este mes por la venta de dos productos: teléfono móvil con

contrato de alta y teléfono móvil con tarjeta. La comisión es de $ 15 por cada móvil con

alta y $ 10 por cada uno con tarjeta. La política comercial de la empresa exige que el

número de teléfonos vendidos con alta cada mes no puede ser superior al número de

teléfonos vendidos con tarjeta. Así mismo, la venta de cada teléfono lleva asociados

unos costes administrativos de $ 1, y la empresa también obliga a cada representante a

que el coste total por ventas no supere los $ 100 al mes. Finalmente, la empresa obtiene

unos beneficios de $ 6 por cada venta de teléfono con alta y de $ 2 por cada venta de

teléfono con tarjeta, y pide a cada representante que los beneficios totales obtenidos por

la venta de teléfonos con alta cada mes supere en al menos $ 120 a los beneficios totales

obtenidos por la venta de teléfonos con tarjeta. a) Se pretende calcular las unidades de

cada producto que puede vender este mes aunque no maximice la comisión total.

Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría

vender 60 unidades de cada producto? b) Calcular las unidades de cada producto que ha

de vender para maximizar la comisión. ¿A cuánto asciende dicha comisión?

98. Una tienda de moda está preparando su pedido de trajes para la próxima temporada.

Para que cierto proveedor le haga unos precios especiales, el pedido debe incluir, al

menos 10 trajes de fabricación nacional y no sobrepasar los 20 trajes de ese tipo.

Además, el número de trajes de fabricación nacional debería ser, al menos una tercera

parte del número de trajes de importación. Por otro lado, el beneficio que la tienda

obtendría por la venta de cada traje de fabricación nacional sería de 120 dólares y de

200 dólares por la venta de cada uno de importación, y la tienda quiere que el beneficio

total que se pueda alcanzar vendiendo todo el pedido sea como mínimo de 3600 dólares.

a) Se pretende calcular las unidades de cada producto que se pueden pedir al proveedor

cumpliendo todos los requerimientos anteriores. Plantear el problema y representar

gráficamente el conjunto de soluciones posibles. ¿Podría pedir 12 trajes de fabricación

nacional y 45 de importación? b) Calcular las unidades de cada producto que se han de

pedir para minimizar, además el número total de trajes solicitados. Con ese pedido.

¿Qué beneficio obtendrá si se venden todas las unidades?



99. Un equipo de fútbol quiere poner a disposición de sus socios al menos 450 plazas entre

autobuses y microbuses, con el fin de facilitar los desplazamientos para el próximo

encuentro. El equipo contratará los vehículos a una empresa que le ofrece un máximo

de 16 autobuses y de 10 microbuses, y que le exige que el número de microbuses que

pueda contratar sea al menos un 20% del total de vehículos que contrate. Cada autobús

tiene una capacidad de 50 plazas y cada microbús de 25. a) ¿Qué combinaciones de

vehículos de cada tipo se pueden contratar cumpliendo los requerimientos anteriores?

Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si se

quiere contratar el menor número posible de vehículos en total. ¿Cuántos de cada tipo

ha de contratar? ¿Cuál será el número máximo de socios que se podrán desplazar en ese

caso?

100. El jefe de seguridad de un museo estudia combinar 2 nuevos sistemas antirrobo:

cámaras de vigilancia en las salas, y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se

quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes, y

un máximo de 15 cámaras, con las que quedarían todas las salas cubiertas. Igualmente,

se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las más importantes entradas y salidas del

edificio. Finalmente, se tiene un presupuesto máximo de 36000 dólares, y cada cámara

cuesta 1000 dólares mientras que cada alarma cuesta 500 dólares. a) ¿Qué

combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los

requerimientos anteriores? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto

de soluciones. ¿Podría instalar 7 cámaras y 59 alarmas? b) Si el objetivo es colocar el

mayor número de dispositivos entre cámaras y alarmas. ¿Cuántos ha de colocar de cada

modalidad? En ese caso. ¿Cuál será el coste total?

101. Una empresa quiere decidir cuántos ordenadores portátiles y cuántos de sobremesa

comprará. Dispone de hasta 88000 dólares y ha aceptado la oferta de un proveedor que le

exige comprar por lo menos 30 ordenadores y que al menos un 10% de los que compre

sean portátiles. Cada ordenador portátil le sale por 2000 dólares y cada uno de

sobremesa por 1000 a) ¿Qué combinaciones de ordenadores de cada tipo puede

comprar? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b)

Si se quiere comprar el mayor número posible de ordenadores. ¿Cuántos de cada tipo ha

de comprar? Y si lo que quiere es comprar el menor número posible de portátiles.

¿Cuántos de cada tipo tendría que comprar?



2.12.2. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MAXIMIZACIÓN)

102. Un camión de transporte tiene la capacidad de llevar como máximo 9 toneladas y 30𝑚3

por viaje. En un viaje desea transportar al menos 4 toneladas de la mercancía A y un

peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta A.

Sabiendo que cobra $ 800000 por tonelada transportada de mercancía A ya que ocupa un

volumen 2𝑚3 por tonelada y $ 600000 por tonelada transportada de mercancía B ya que

ocupa un volumen 1,5𝑚3 por tonelada. ¿Cómo se debe cargar el camión para obtener la

ganancia máxima, si para cada tonelada cargada gasta en promedio $ 200000 de

gasolina?

103. Una fábrica produce dos modelos A y B de un producto. El beneficio que arroja el

modelo A es de $ 40000/unidad y el de B $ 60000/unidad. La producción diaria no

puede superar 4000 unidades del modelo A ni 3000 del B, debido a las condiciones de

producción de la planta. El departamento de mercadeo informa que la demanda de

acuerdo a los pedidos recibidos es de 600 unidades ¿Cuántas unidades de cada modelo

debe producir la fábrica para obtener el máximo beneficio?

104. En una economía lineal para producir 3 unidades de trigo se requieren: 6 unidades de

tierra, $ 8 en semilla y 3 trabajadores. Para producir 4 unidades de centeno se requieren 5

unidades de tierra, $ 10 de semillas y 6 trabajadores. El precio por unidad de trigo y

centeno es $ 15 y $ 20,5 respectivamente, siendo las cantidades disponibles de tierra y de

trabajo de 100 y 130 unidades. Si el empresario desea optimizar el resultado de su

explotación, formule un modelo de programación lineal. Como nos dan el precio del

trigo y centeno por unidad y las necesidades de producción que son por cada 3 unidades

entonces el valor del precio del trigo y centeno lo multiplicamos por 3 y le restamos el

valor de cada semilla.

105. Usted como vendedor de FERRETERÍA S.A tiene que decir como asignar sus esfuerzos

entre los diferentes tipos de clientes de su territorio. Ud. debe visitar comerciantes

mayoristas y clientes que compran al detal. Una visita a un comerciante mayorista

usualmente le produce $ 20 en ventas, pero la visita en promedio dura 2 horas, debe

manejar también en promedio 10 km. En una visita a un comprador al detal, le vende $

50 requiere de unas 3 horas y 20 km manejando su carro, aproximadamente. Usted

planifica viajar como máximo 600 km por semana en su carro y prefiere trabajar no más

de 36 horas a la semana. Encuentre la combinación óptima de visitas a comerciantes y

clientes al menudeo que le permitan maximizar sus ganancias.

106. Una persona acaba de heredar $ 6000 y desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos

distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno

planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de

tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al

convertirse en socio completo tendría que invertir $ 5000 y 400 horas, y las ganancia

estimada (ignorado el valor del tiempo) seria $ 4500. Las cifras correspondientes a la

propuesta del segundo amigo son $ 4000 y 500 horas con una ganancia estimada de $



4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio en

cualquier proporción de la sociedad; la participación en las utilidades será proporcional a

esa fracción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante

para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas

con la combinación que maximice la ganancia total estimada.

107. Un herrero con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y

de montaña que aspire vender respectivamente a $ 20000 y $ 15000 cada una para sacar

el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para

la de montaña 2 kg de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña

venderá?

Acero Aluminio

Paseo 1 3

Montaña 2 2

108. A una persona le tocan 10 millones de dólares en una lotería y le aconsejan que las

invierta en dos tipos de acciones: A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen

un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen solo el 7% anual.

Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra

de acciones A y por lo menos 2 millones en la compra de acciones B, además decide que

lo invertido en A sea por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10

millones para que le beneficio anual sea máximo?

109. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La

empresa A le paga 5 dólares por cada impreso repartido y la empresa B con folletos más

grandes, le paga 7 dólares por impreso. El estudiante lleva dos bolsas, una para los

impresos A, en la que caben 120 y en otra los impresos B, en la que caben 100; ha

calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo, lo que se

pregunta el estudiante es ¿Cuántos impresos habrán que repartir de cada clase para que

su beneficio diario sea máximo?

110. Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con $ 500000, le ofrecen

dos tipos de naranjas: las de tipo A, a $ 500 el kg, y las de tipo B a $ 800 el kg sabiendo

que solo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg de naranjas como

máximo y piensa vender el kg de naranjas tipo A, a $ 580 y el kg de tipo B a $ 900. a)

¿Cuántos kg de naranja de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?. b)

¿Cuál será ese beneficio máximo?

111. Un sastre tiene 80𝑚2 de tela de algodón y 120𝑚2 de tela de lana. Un traje

requiere 1𝑚2 de algodón y 3𝑚2de lana, y un vestido de mujer requiere 2𝑚2 de cada una

de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre

para maximizar los beneficios; sin un traje y un vestido se venden al mismo precio.



112. Un constructor va a edificar dos tipos de vivienda A y B, dispone de $ 600 millones y el

coste de una casa de tipo A es de $13 millones y $ 8 millones una tipo B. El número de

casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40% del total y el de tipo B, el 20% por lo

menos. Si cada casa de tipo A se vende a $ 16 millones y cada una de tipo B en $ 9

millones. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

113. La fábrica LA MUNDIAL S.A, construye mesas y sillas de madera, el precio de venta

al público de una mesa es de $ 2700 pesos y el de una silla $ 2100. LA MUNDIAL S.A.

estima que fabricar una mesa supone un gasto de $ 1000 de materias primas y de $ 1.400

de costos laborales. Fabricar una silla exige $ 900 de materias primas y $ 1.000 de costos

laborales. La construcción de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de

carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas,

empaquetado etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de

proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el

proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. No tiene problemas de abastecimiento de

materias primas, pero solo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de

carpintería y un máximo de 100 horas por los trabajos de acabado. Por exigencias del

mercado, LA MUNDIAL S.A. fabrica como máximo 40 mesas a la semana. No ocurre

así con las sillas, para las que no tienen ningún tipo de restricción, en cuanto al número

de unidades fabricadas. Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente

deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

114. La Ápex Televisión debe decir el número de televisores de 27” y 20’’ producidos en

una de sus fábricas, la investigación de mercado indica ventas a lo más 40 televisores de

27” y 10 de 20” cada mes. El número máximo de horas-hombre disponible es de 500 por

mes, un televisor de 27” requiere 20 horas-hombres y uno de 20” requiere 10 horas-

hombre, cada televisor de 27” produce una ganancia de $ 120 y cada uno de 20” da una

ganancia de $ 80. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores

producidos, siempre y cuando no exceda el máximo indicado por el estudio de mercado.

115. Una empresa automotriz está equipada para producir automóviles y camiones. Su planta

fabril está organizada en cuatro departamentos: estampado, montaje de motores, línea de

montaje de automóviles y línea de montaje de camiones. La capacidad de producción de

cada departamento está limitada de la siguiente manera:

Estampado: puede producir 25000 autos o 35000 camiones por año.

Montaje de motores: 33333 autos o 16667 camiones por año.

Línea de montaje de automóviles: 22500 autos/año.

Línea de montaje de camiones: 15000 camiones/año.

Por otra parte, se desea producir como mínimo 12000 autos y 8000 camiones por año,

estimándose, asimismo, en 18000 unidades la demanda anual de automóviles. El

margen de beneficio es 150000 $/auto y 125000 $/camión. Se desea conocer el plan de

producción que maximice el beneficio.



Estampado Montaje

motores

Línea montaje

auto/camiones

Unidades

CAMIONES 35000 16667 15000 8000

AUTOS 25000 33333 22500 18000

60000 50000 37500

116. Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de $ 10000 y a

no fumadores al precio de $ 6000. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al

fumador 20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg.

¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la

finalidad de optimizar el beneficio?

117. Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de

inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere

destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B, sabiendo que

el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B. ¿Qué

cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?

118. En una fábrica se construyen aparatos A y B, que necesitan pasar por los talleres X e Y.

Estos trabajan 100 horas cada semana. Cada aparato A lleva 3 horas del taller X y 1 del

Y, y cada aparato de B, 1 y 2 respectivamente. Cada A se vende a $ 100 y cada B a $

150. Determinar cuántos de cada uno se producirán para que el ingreso por ventas sea

máximo.

119. La empresa lechera Milk no puede recibir más de 100000 litros de leche al día debido a

las limitaciones impuestas por el congestionamiento de recepción. Las políticas de la

administración requieren el uso de cuando menos 10000 litros de leche diarios para la

fabricación de queso, y el resto para ser empleado en manteca o leche embotellada según

lo permita el equipo. El beneficio de un litro de l según como se emplee es como sigue:

El equipo para fabricar manteca puede procesar hasta 600000 litros de leche por día y el

de fabricar queso hasta 30000 litros de leche diarios. Plantear el problema.

120. En un taller se fabrican 3 tipos de mesa: A, B, y C. Cada mesa requiere determinado

tiempo para cortar las partes que la constituyen, en ensamblar y pintar la pieza

terminada. La producción total de mesas está vendida. Además, el modelo C puede

venderse sin pintar, para el desarrollo del trabajo se emplean varias personas las que

trabajan en turnos parciales porque el tiempo disponible para realizar cada una de estas

actividades es variable. A partir de los datos siguientes, formule un modelo de

programación lineal que le permita maximizar las ganancias, si el departamento de corte

presenta una capacidad de 150 horas, el de montaje 200 horas y el departamento de

MANTECA 0,02 $

LECHE 0,10$

QUESO 0,30$



pintura de 300 horas, si la ganancia por la mesa A es de 1500 por la mesa B 20000 y por

la mesa C 35000 y por la C sin pintar 30000.

Modelo Corte Montaje Pintura

A 3 4 5

B 1 2 5

C 4 5 4

C sin pintar 4 5 0

121. Una industria productora de muebles fabrica mesas, sillas, escritorios y libreros, usando

dos tipos diferentes de madera A y B de las cuales dispone de 3600 y 2000 pies2

respectivamente. Cada mesa, silla, escritorio y librero requieren 5,1,9,12 pies2

respectivamente, de madera tipo A y 2, 3, 4, 3 pies2 madera tipo B. Se cuenta con 1200

horas hombre para este trabajo, para la fabricación de una mesa requiere 3 horas/hombre,

de una silla requiere 2 horas, para un escritorio 5 horas, para un librero 10 horas. Los

pedidos exigen una producción mínima de 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y no más

de 10 libreros. Las utilidades son 18000 mesas, 7500 sillas, 22500 escritorios y 27000

libreros ¿cuántos muebles de cada tipo debe producirse para obtener máxima utilidad?

2.12.3. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MINIMIZACIÓN)

122. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8

buses con capacidad de 40 personas y 10 buses con capacidad de 30 personas, pero solo

dispone de 12 conductores. El alquiler de un bus grande cuesta $ 80000 y el de uno

pequeño $ 600000. Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión

resulte lo más económica posible para la escuela.

123. En unos grandes almacenes necesitan entre 6 y 15 vigilantes cuando están abiertos al

público, y entre 4 y 7 vigilantes nocturnos. Por razones de seguridad, debe haber al

menos el doble de vigilantes diurnos que nocturnos, pero los vigilantes diurnos cobran $

60 por día y los nocturnos $ 96 ¿Cómo debe organizarse el servicio para que resulte lo

más económico posible?

124. La compañía Hierro del Norte debe decidir cuántas toneladas de acero puro (x) y

cuántas de chatarra (y) se deben utilizar en la preparación de una aleación para un cliente.

El costo por tonelada de acero puro es de 3 y el de chatarra 6 (por las impurezas); la

demanda del cliente es de por lo menos 5, y el aceptaría más si así se requiere. La

disponibilidad de x es 4 toneladas y 7 la de (y). La relación entre chatarra y acero puro

no puede exceder 7/8. La fábrica tiene 18 horas disponibles para derretir y fundir; una

tonelada de acero puro requiere 3 horas, mientras que la chatarra solo 2 horas.

125. Una imprenta dispone de 1800 pilas de cartulina de 13 pulgadas de largo, debe atender

un pedido que le exige cortes, de tal manera que disponga al menos de 1000 tiras de 7

pulgadas y 2000 tiras de 5 pulgadas, cada tira se puede cortar de 2 formas.



a. Se cortan dos tramos de 5 pulgadas y un desperdicio de 3 pulgadas

b. Hace un corte de un tramo de 7 pulgadas y un desperdicio de 1 pulgada. ¿Cuántas tiras

de 13 pulgadas se deben cortar en la forma a y b de tal manera que se minimice el

desperdicio?

126. Una compañía de alquiler de camiones dispone de dos tipos de vehículos: el camión A

tiene 2𝑚3 de espacio refrigerado y 4𝑚3 de espacio no refrigerado, el camión B tiene y

3𝑚3 de cada tipo de espacio, una transportadora de alimentos debe transportar 180𝑚3

de producto refrigerado y 240𝑚3de productos no refrigerados. El camión A lo alquilan a

$ 30000 el km, el camión B lo alquilan a $ 35000 el km, si recorrieron 40 km. ¿Cuántos

camiones de cada tipo deben tomarse en alquiler para minimizar el tipo de transporte?

127. Una compañía productora de fertilizantes es propietaria de 2 minas que le genera la

materia prima básica para sus productos. La mina 1 produce semanalmente 10 toneladas

de materia prima grado A; 30 toneladas de materia prima grado B; y 50 toneladas de

grado C. La mina 2 produce 30 toneladas de cada grado semanalmente, la compañía para

la producción anual de fertilizantes requiere al menos de 160 son de grado A y 303

toneladas grado B pero no más de 800 toneladas de grado C. Los costos de explotación

semanal de la mina A son de $ 800000 y de la mina B $ 700000. ¿Cuántas semanas al

año se debe explotar cada mina para cumplir los planes de producción minimizando

costos?

Materia prima

G° A

Materia prima

G° B

Materia prima

G° C

Mina 1 10 30 50

Mina 2 30 30 30

128. Una empresa proveedora de alimentos desea fabricar comida balanceada para perros, de

acuerdo a las especificaciones dadas por el veterinario se debe producir un compuesto

que contenga por lo menos, 100 gramos de fibra, 300 gramos de proteínas y 70 gramos

de minerales por animal. Si se desea alimentar 100 perros con los siguientes productos

que se encuentran en el mercado y presentan la siguiente composición. ¿Cuántos kilos de

cada producto se deben comprar si se desea cumplir con la cuota nutricional al menor

costo posible?

Contenido Productos

1 2 3

Fibra 20% 30% 5%

Proteína 60% 50% 38%

Minerales 9% 8% 8%

Precio por kg $ 10000 $ 11000 $ 9500



129. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidad de los distintos tipos

de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo

mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingredientes nutritivos

básicos contenidos en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos

nutricionales diarios y los costos de los alimentos.

Información

Nutricional

Kg de

maíz

Kg de

grasa

Kg de

alfalfa

Mínimo

diario




Costos 42 36 30 140

Formule y resuelva el modelo de programación lineal.

130. La comida para perros alojados en una perrera se prepara mezclando 3 productos con

los que se obtiene una dieta balanceada para los canes; la información sobre los 3

productos, se muestra en la siguiente tabla.

Producto Costo por libra Proteína (%) Carbohidratos Grasas

A 0.45 62 5 3

B 0.38 55 10 2

C 0.27 36 20 1

Si se desea alimentar 200 perros asegurándose que cada uno ingiera diariamente cuando

menos 8 onzas de proteínas; una onza de carbohidratos y no más de ½ onza de grasas.

¿Qué cantidad de cada producto debe comprarse con el fin de minimizar los costos y

entregar la dieta a los canes?

131. Los hospitales enfrentan constantemente problemas con el horario de trabajo de sus

enfermeras. Un modelo de planificación de horarios en un problema de programación de

enteros para minimizar el número total de trabajadores sujetos a un número específico de

enfermeras durante cada periodo del día.

Periodo Turno del día Nª requerido de enfermeras

1 8:00 – 10:00 10

2 10:00- 12:00 8

3 12:00 – 02:00 9

4 02:00 – 04:00 11

5 04:00 – 06:00 13

6 06:00 – 08:00 8

7 08:00 – 10:00 5

8 10:00 – 12:00 3



Dado que cada enfermera trabaja jornadas de 8 horas diarias, el/ellas puede comenzar a

trabajar al inicio de cualquiera de los primeros cinco periodos: 8:00, 10:00, 12:00, 2:00

o 4:00. Adicionalmente, no se necesita ninguna enfermera que comience a trabajar

después de las 4:00, dado que su horario se extendería hasta después de la media noche

cuando no son necesarias. ¿Cuántas enfermeras se deben reportar de tal forma que

cumpla los requerimientos en la tabla anterior?

132. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta de tres mercados de la ciudad.

El almacén A, dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se

reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan diariamente 8 toneladas

de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El costo del transporte

desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro:

Almacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

A 10 15 20

B 15 10 10

Planificar el transporte para que el coste sea mínimo.

2.12.4. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX DEGENERACIÓN

En los problemas 134 y 135. El problema de programación lineal asociado con la tabla dada.

¿Tiene degeneración? Si es así, ¿Por qué?

133.

134.

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 -5 0 1 0 -3 4

𝒔𝟏 2 0 2 1 1 4

𝒙𝟐 3 1 1 0 1 0

Resolver por el método simplex los problemas del 136 al 143

135.

Maximizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 7𝑥2

Sujeta a:

{

4𝑥1 − 3𝑥2 ≤ 43𝑥1 − 𝑥2 ≤ 6

5𝑥1 ≤ 8𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 𝒁 0 -3 -2 0 10

𝒙𝟏 1 2 4 0 6

𝒔𝟐 0 1 1 1 3



136.

Maximizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 𝑥2

Sujeta a:

{

4𝑥1 − 𝑥2 ≤ 7−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5

8𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 402𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

137.

Maximizar: 𝑍 = −4𝑥1 + 8𝑥2

Sujeta a:

{

2𝑥1 − 2𝑥2 ≤ 4−𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 43𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

138.

Maximizar: 𝑧 = 8𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3

Sujeta a:

{

𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 ≤ 6𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 ≥ −4𝑥1 − 6𝑥2 + 𝑥3 ≤ 8

𝑥1, 𝑥2,𝑥3 ≥ 0

139.

Maximizar: 𝑧 = 5𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3

Sujeta a:

{

9𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 ≤ 54𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 ≤ 2𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 ≤ 3

𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0

140.

Maximizar: 𝑧 = 2𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3

Sujeta a:

{

6𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥3 ≤ 10𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 1

2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 12𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0



141.

Maximizar: 𝑧 = 6𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3

Sujeta a:

{

2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 7−4𝑥1 − 𝑥2 ≥ −6

𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0

142.

Maximizar: 𝑝 = 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4

Sujeta a:

{

𝑥1 − 𝑥2 ≤ 2𝑥2 − 𝑥3 ≤ 3

𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4 ≥ 0

2.12.5. PROBLEMAS DE DUALIDAD

Encuentre los duales de los problemas del 144 al 151

143.

Maximizar: 𝑍 = 𝑥1 + 2𝑥2

Sujeta a:

{

𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5 −𝑥1 + 𝑥2 ≤ 3𝑥1,𝑥2 ≥ 0

144.

Maximizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3

Sujeta a:

{

2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 3 −𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 5

𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0

145. Minimizar: 𝑍 = −𝑥1 + 8𝑥2 + 5𝑥3

Sujeta a:

{

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≥ 8 −𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≥ 2

𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0



146.

Minimizar: 𝑍 = 8𝑥1 + 12𝑥2

Sujeta a:

{

2𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 1 𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 2 𝑥1,𝑥2 ≥ 0

147.

Maximizar: 𝑍 = 𝑥1 − 𝑥2

Sujeta a:

{

−𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 13 −𝑥1 + 𝑥2 ≥ 3 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 11 𝑥1,𝑥2 ≥ 0

148.

Maximizar: 𝑍 = 𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3

Sujeta a:

{

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 9 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 ≥ 6

𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0

149.

Minimizar: 𝑍 = 4𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3

Sujeta a:

{

𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 ≤ 3 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 ≥ 3

𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0

150.

Minimizar: 𝑍 = 5𝑥1 + 4𝑥2

Sujeta a:

{

−4𝑥1 + 3𝑥2 ≥ − 10 8𝑥1 − 10𝑥2 ≤ 80

𝑥1,𝑥2 ≥ 0

Resuelva los duales y por el método simplex los problemas propuestos por los autores

Gould, Eppen, & Schmidt (1992)

152 al 160

151. Minimizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3

Sujeta a:



{

𝑥1 − 𝑥2+2𝑥3 ≥ 2 −𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≥ 3

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

152. Minimizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 2𝑥2

Sujeta a:

{

𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 28 2𝑥1 − 𝑥2 ≥ 2

−3𝑥1 + 8𝑥2 ≥ 16 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

153. Maximizar: 𝑍 = 3𝑥1 + 8𝑥2

Sujeta a:

{

𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 8 𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 12 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

154. Maximizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 6𝑥2

Sujeta a:

{

3𝑥1 + 𝑥2 ≤ 12 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 8 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

155. Minimizar: 𝑍 = 6𝑥1 + 4𝑥2

Sujeta a:

{

−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 3 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

156. Minimizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

Sujeta a:

{

2𝑥1 − 𝑥2−𝑥3 ≤ 2 −𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 4

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

157. Anuncios. Una compañía compara los costos de publicidad en dos medios, periódico y

radio. La tabla siguiente muestra el número de personas, por grupo de ingresos, que alcanza

cada uno de estos medios por cada dólar de publicidad.



La empresa quiere captar al menos 80000 individuos con ingresos menores de $ 40000, y al

menos 60000 con ingresos de $ 400000 o más. Utilice el dual y el método simplex para

determinar las cantidades que la compañía debe gastar en publicidad en periódico y en

radio, de modo que alcance a este número de personas con un costo mínimo. ¿Cuál es el

costo mínimo de la publicidad?

158. Programación de envíos por camión: A causa de un incremento en los negocios, una

compañía de banquetes a domicilio encuentra que debe rentar camiones de entrega

adicionales. Las necesidades mínimas son de: 12 unidades de espacio con refrigeración y

12 unidades de espacio sin refrigeración. El mercado de renta ofrece dos tipos de

camiones. El A tiene 2 unidades de espacio con refrigeración y 1 unidad de espacio sin

refrigeración. El tipo B tiene 2 unidades de espacio con refrigeración y 3 unidades sin

refrigeración. El costo por milla es de $ 0.40 para A y de $ 0.60 para B. ¿Cuántos

camiones de cada tipo deben rentarse de modo que se minimice el costo total por milla?

¿Cuál es el costo total por milla?

159. Costo de mano de obra: Una compañía paga a sus trabajadores calificados y

semicalificados de su departamento de ensamblado $ 14 y $ 8 por hora, respectivamente.

En el departamento de embarques, los empleados reciben $ 9 por hora y los aprendices $

6 por hora. La empresa requiere al menos de 90 trabajadores en el departamento de

ensamblado y 60 empleados en el departamento de embarques. Debido a acuerdos

sindicales deben emplearse, al menos el doble de trabajadores semicalificados que de

calificados. También, deben contratarse al menos el doble de los empleados de

embarques que de aprendices. Utilice el dual y el método simplex para determinar el

número de trabajadores de cada tipo que la compañía debe emplear, de modo que el total

de salarios por horas sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo en salario por hora?

Menos de $ 40000 Mas de $ 40000

PERIÓDICO 40 100

RADIO 50 25


CAPÍTULO III

CAPÍTULO III……..…… ................................................................................................................................. 1ро

3. MODELOS DE TRANSPORTE ............................................................................................................................................... 1рп

3.1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................................................... 1рп

3.2. CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE TRANSPORTE ........................................................................................ 1рр

3.3. MÉTODOS PARA CALCULAR EL COSTO INICIAL ....................................................................................................... 15т

3.3.1. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE ................................................................................................................. 15т

3.3.2. MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO ........................................................................................................................... 1см

3.3.3. MÉTODO DE VOGEL ............................................................................................................................................ 1со

3.4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE DESBALANCEADO ................................................................................................. 16т

3.4.1. LA DEMANDA MAYOR QUE LA OFERTA .............................................................................................................. 16т

3.4.2. LA OFERTA MAYOR QUE LA DEMANADA ............................................................................................................ 1тл

3.5. COSTO ÓPTIMO ......................................................................................................................................................................... 1тн

3.5.1. MÉTODO DEL BANQUILLO .................................................................................................................................. 1тн

3.5.2. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES ................................................................................................................. 1то

3.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EQUILIBRADOS PARA CALCULAR EL COSTO ÓPTIMO ...................... 1тп

3.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESBALANCEADOS ............................................................................................... 1фн

3.8. MODELOS DE ASIGNACIÓN ................................................................................................................................................ 20ф

3.8.1. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN, MINIMIZACIÓN .................................................................................................. 2мл

3.8.2. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN MAXIMIZACIÓN .................................................................................................. 21т

3.9. PROBLEMAS PROPUESTOS DE TRANSPORTE ........................................................................................................... 2но

3.9.1. PROBLEMAS BALANCEADOS ............................................................................................................................... 2но

3.9.2. PROBLEMAS DESBALANCEADOS ......................................................................................................................... 2ом

3.9.3. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN ............................................................................................................................ 23с

CAPÍTULO III Modelos de Transporte Introducción


CAPÍTULO III

3. MODELOS DE TRANSPORTE

3.1. INTRODUCCIÓN El modelo de transporte se puede describir en términos generales, como aquel que se ocupa de

asignar y encontrar la ruta para las unidades desde los centros de suministros hacia los centros

de recepción, pasando por los puntos de transbordo.

Uno de los requisitos del problema de transporte, es el que se conozca de antemano la forma en

que se van a distribuir las unidades de cada origen a cada destino, para poder determinar cuál es

el coste por unidad. En ocasiones, no resulta evidente cuál es el mejor medio de distribución,

pues existe la posibilidad de transbordos en los que los empaques pasarían por puntos de

transferencias intermedios.

El modelo de transporte consiste en buscar con procesos matemáticos la ruta más económica del

origen a cada destino, sin embargo, si existen muchos puntos de transferencia intermedia, esta

tarea puede ser complicada y laboriosa.

La idea básica consiste en interpretar los viajes individuales como si se tratara de un transporte

de un origen a un destino, y así pensar que todos los puntos intermedios son tanto orígenes

como destinos potenciales.

PROPÓSITO

Los modelos permiten representar procesos o fenómenos complejos de una forma simple. Los

modelos simplifican la realidad. La modelación de la demanda de transporte busca poder

pronosticar para situaciones futuras:

La cantidad de viajes que se atraen o se producen en una zona.

Cómo se distribuyen los viajes producidos en todas las zonas que atraen.

En qué modos de transporte viajan.

Los volúmenes de pasajeros en las líneas de transporte público.

Los flujos vehiculares en las vías.

Para llevar a cabo estos pronósticos, se requiere la aplicación de una sucesión de algoritmos

matemáticos. Las expresiones matemáticas se determinan a partir de modelos que correlacionan

variables o modelos probabilísticos. Estos últimos se aplican a razón de que es muy complejo

tratar de encontrar relaciones definidas y fijas para representar situaciones en las que las

decisiones de personas entran en juego. Los modelos de transporte, además pueden ser

utilizados en la evaluación de situaciones hipotéticas futuras, bajo ciertas circunstancias

controladas (escenarios).

Los modelos de transporte son usados en definición de políticas de transporte, y para su

planificación, e ingeniería: calcular la capacidad de una infraestructura, por ejemplo, ¿cuántos

carriles debería tener un puente?; estimar la viabilidad financiera y social de un proyecto, por



ejemplo, utilización de análisis costo-beneficio y análisis de impacto social; y calcular

impactos ambientales, por ejemplo, contaminación atmosférica y acústica.

3.2. CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE TRANSPORTE

Un modelo de transporte, debe cumplir ciertas condiciones básicas; el modelo de transporte es

un caso especial de programación lineal que tiene que ver con transportar un vehículo desde sus

fuentes (fábricas) hasta sus destinos (bodegas). El objetivo es determinar el programa de

transporte que minimice el costo total y que al mismo tiempo satisfaga los límites de oferta y

demanda.

12El modelo de Transporte es una técnica cuantitativa creada para minimizar los costos

asociados a la distribución de un bien o servicio desde diferentes orígenes hasta diferentes

destinos. Las condiciones de linealidad están presentes, como en cualquier técnica de

programación lineal. Esta técnica se utilizó posteriormente en otros sistemas. En ellos, el

problema no implica transporte físico de bienes pero existen relaciones lineales, y el modelo

formulado tiene las características de un Modelo de Transporte.

Las características que hacen del Modelo Lineal de Transporte un modelo de programación

lineal especial son:

Los coeficientes de las variables, en las restricciones, son uno o cero.

Las cantidades demandadas deben ser iguales a las cantidades ofrecidas para solucionar

el modelo.

Por otro lado, el producto a transportar debe ser único y homogéneo. Si se ofrece cemento, por

ejemplo, la demanda debe ser de cemento, es decir, un producto único. Si se ofrecen sacos de

cemento la demanda debe ser de sacos de cemento y no a granel, es decir, es homogéneo. En

caso de multiproductos, se puede hacer una multi-formulación.

En el siguiente cuadro se resume la oferta y demanda:

FUENTES DESTINOS

Q

12 http://es.scribd.com/doc/56430288/El-Modelo-Del-Transporte

OF

ER

TA

1

DE

MA

ND

A

𝑪𝟏𝟏: 𝑿𝟏𝟏

𝑪𝒎𝒏: 𝑿𝒎𝒏

2

m

1

2

n



Las fuentes o los destinos están dados por el número de nodos, en donde m (número de fuentes)

y n (número de destinos), las fuentes o fábricas genera: una oferta, y los destinos o clientes

generan una demanda, los arcos o flechas son los que unen las fuentes con los destinos, en

donde el (𝑪𝟏𝟏; 𝑪𝒎𝒏) es el costo del transporte por unidad y (𝑿𝟏𝟏;𝑿𝒎𝒏) es la cantidad a

transportar. El modelo de transporte consiste en transportar toda la cantidad ofertada a sus

demandantes (clientes) al menor costo.

Para facilitar los cálculos se trabajará con la tabla de transporte:

DESTINOS (Clientes)

OFERTA

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

Fábrica 1

𝑋11 𝐶11 𝑋12 𝐶12 𝑋13 𝐶13 𝑋14 𝐶14 𝑆1

Fábrica 2

𝑋21 𝐶21 𝑋22 𝐶22 𝑋23 𝐶23 𝑋24 𝐶24 𝑆2

Fábrica 3

𝑋31 𝐶31 𝑋32 𝐶32 𝑋33 𝐶33 𝑋34 𝐶34 𝑆3

DEMANDA 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4

REFERENCIA

(𝐶11; 𝐶𝑚𝑛) Costo de transporte

(𝑋11;𝑋𝑚𝑛) Cantidad a transportar

¿Qué significa 𝑪𝟐𝟑 ?: Es el costo de transporte de la fuente 2 al destino 3.

Si queremos resolver mediante el método simplex, la función objetivo y las restricciones

tendrían que ser planteadas de la siguiente forma:

Por el Método Simplex

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝐶11𝑋11 + 𝐶12𝑋12 + 𝐶13𝑋13 ……… .+𝐶34𝑋34

RESTRICCIONES

{

𝑭𝑼𝑬𝑵𝑻𝑬𝑺𝑋11 + 𝑋12 + 𝑋13 + 𝑋14 = 𝑺𝟏

𝑋21 + 𝑋22 + 𝑋23 + 𝑋24 = 𝑺𝟐

𝑋31 + 𝑋32 + 𝑋33 + 𝑋34 = 𝑺𝟑

𝑫𝑬𝑺𝑻𝑰𝑵𝑶𝑺𝑋11 + 𝑋21 + 𝑋31 = 𝑫𝟏

𝑋12 + 𝑋22 + 𝑋32 = 𝑫𝟐

𝑋13 + 𝑋23 + 𝑋33 = 𝑫𝟑

𝑋14 + 𝑋24 + 𝑋34 = 𝑫𝟒

CAPÍTULO III Modelos de Transporte Problemas balanceados, costo Inicial


3.3. MÉTODOS PARA CALCULAR EL COSTO INICIAL

3.3.1. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE Esta regla nos permite encontrar una solución factible básica inicial (SFBI), una vez que

tengamos el problema de transporte “Balanceado” o equilibrado, es decir que la sumatoria

de ofertas deben ser iguales a la sumatoria de demandas.

El método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de

transporte o distribución mediante la consecución de una solución básica inicial que satisfaga

todas las restricciones existentes sin que esto implique que se alcance el costo óptimo total. Este

método tiene como ventaja, frente a sus similares, la rapidez de su ejecución, y es utilizado con

mayor frecuencia en ejercicios donde el número de fuentes y destinos sea muy elevado. Su

nombre se debe al génesis del algoritmo, el cual inicia en la ruta, celda o esquina Noroeste.

(Gallagher & Watson, 2002).

ALGORITMO:

1. Construya una tabla de ofertas (disponibles) y demandas (requerimientos).

2. Iniciar la asignación en la fila uno y columna uno (esquina noroeste, 𝑿𝟏𝟏). Y si la

fábrica uno no agotó su oferta continuará en la casilla 𝑋12 y así sucesivamente. En el

caso de que el total de la oferta de la fábrica uno no haya sido suficiente para cubrir la

demanda del mercado uno, completar con la oferta de la fábrica dos, que es la casilla

𝑋21 y si no se agotó la oferta pasar a la casilla 𝑋22 y así continuar hasta concluir el

proceso de asignación.

3. Asigne lo máximo posible (Lo menor entre la oferta y la demanda, respectivamente).

4. Actualice la oferta y la demanda y rellene con ceros o (x) el resto de casillas (Filas o

columnas) en donde la oferta y la demanda haya quedado satisfecha.

5. Muévase a la derecha o hacia abajo, según haya quedado disponible para asignar.

6. Repita los pasos del 3 al 5 sucesivamente hasta llegar a la esquina inferior derecha, en la

que se elimina fila y columna al mismo tiempo.

COSTO INICIAL

Caso1:

Esquina Noroeste

Caso 2:

Costo mínimo

Caso 3:

Aproximación de Vogel

http://ingenierosindustriales.jimdo.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/problema-del-transporte-o-distribuci%C3%B3n/




CARACTERÍSTICAS:

Sencillo y fácil de hacer.

No tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones.

Generalmente nos deja lejos del óptimo.

160. La compañía Tecnologyrv tiene tres fábricas (F1, F2, F3) para ensamblar

computadoras, y dispone de cuatro destinos habilitados para la venta (C1, C2, C3, C4).

Las cantidades producidas por las fábricas son: 15, 25 y 5 unidades por día

respectivamente. Las demandas máximas son: 5, 15, 15, y 10 unidades por cada día.

Los costos en (dólares) de transporte de cada fábrica a cada almacén están dados en la

siguiente tabla:

DESTINOS (Clientes) OFERTA

C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 10 0 20 11

15

F 2 12 7 9 20 25

F3 0 14 16 18 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

45

Nota: No elimines fila y columna al mismo tiempo, a no ser que

sea la última casilla. El romper esta regla ocasionará una

solución en donde el número de variables básicas es menor

a m+n-1,(esto se verá en el método de los multiplicadores)

produciendo una solución básica factible degenerada.

Las celdas con cero (0) o con una (x) son variables no

básicas. Y las celdas asignadas son variables básicas.

Recuerda:

Para iniciar con el método de la esquina

noroeste la oferta debe ser igual a la

demanda y comenzamos asignar

siguiendo los pasos estudiados

anteriormente.



MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE


C 1 C 2 C 3 C 4 FU

EN

TE

S (F

ábri

cas)

F 1 5 10 10 0 0 20 0 11 15

10

F 2 0 12 5 7 15 9 5 20 25

20 5

F3 0 0 0 14 0 16 5 18 5

DEMANDA 5 15

5 15

10

5

45

45

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(10) + 10(0) + 5(7) + 15(9) + 5(20) + 5(18) = 410 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

161. Una compañía tiene un programa de embarque. La empresa tiene tres fábricas y

cuatro bodegas. A continuación se dan los datos necesarios en términos de costos del

transporte, capacidad de cada fábrica y los requerimientos de cada bodega. Busque un

programa óptimo de embarque de tal manera que los costos sean mínimos.


C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 10 16 14 12

1600

F 2 8 14 16 14 1200

F3 16 8 12 12 600

DEMANDA 1600 400 400 1000 3400

3400

Para comprobar que las asignaciones estén

correctas, sumamos filas y columnas

independientemente y nos debe dar la oferta o

demanda correspondiente a dicha fila o columna.

Costo inicial.- para calcular dicho costo es igual a

la sumatoria de la cantidad asignada por el costo

unitario de dicha celda.



MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE


C 1 C 2 C 3 C 4 FU

EN

TE

S (F

ábri

cas)

F 1 1600 10 0 16 0 14 0 12 1600

F 2 𝜖 8 400 14 400 16 400 14 1200

800 400

F3 0 16 0 8 0 12 600 12 600

DEMANDA 1600 400

400

1000

600

3400

3400

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 1600(10) + 400(14) + 400(16) + 400(14) + 600(12) = 40800 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

162. Una empresa energética ecuatoriana dispone de cuatro plantas de generación

para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Guayaquil, Quito, Cuenca

y Ambato. Las plantas 1, 2, 3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al

día respectivamente. Las necesidades de las ciudades son de 70, 40, 70 y 35 millones de

KW al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministros energéticos

por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la

siguiente tabla:

DESTINOS (Ciudades) OFERTA

C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Pla

ntas

)

F 1 70 5 10 2 0 7 0 3 80

10

F 2 0 3 30 6 0 6 0 1

30

F 3 0 6 𝜖 1 60 2 0 4

60

F 4 0 4 0 3 10 6 35 6 45

35

DEMANDA 70 40

30

70

10 35

215

215

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 70(5) + 10(2) + 30(6) + 60(2) + 10(6) + 35(6) = 940 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

Cuando se elimine la fila y columna al mismo

tiempo obligatoriamente, aumentar un épsilon,

para cumplir con la condición de que:

m + n - 1= # celdas llenas en este ejemplo: 6=6

m= número de filas

n= número de columnas

# Celdas llenas= variables básicas

Épsilon toma el valor de cero pero se lo hace pasar

como una variable básica, para cumplir con la

condición mencionada.



3.3.2. MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO

Es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o

distribución, arrojando mejores resultados que métodos como el de la esquina noroeste,

dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. El diagrama de flujo de

este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores dado que se trata simplemente

de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de

oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el

método.

Esta regla se realiza, una vez que tengamos el problema de trasporte “Balanceado” o

equilibrado.

ALGORITMO:

1. Construya una tabla de disponibilidades, requerimientos y costos.

2. Empiece en la casilla que tenga el menor costo de toda la tabla, si hay empate, se escoge

(Cualquiera de los dos costos, en orden primero fila luego columna. Hay que tener en

cuenta que la casilla que se escoja no se elimine fila y columna al mismo tiempo).

3. Asigne lo máximo posible entre la disponibilidad y el requerimiento (El menor de los

dos).

4. Rellene con ceros la fila o columna satisfecha y actualice la disponibilidad y el

requerimiento, restándole lo asignado.

5. Muévase a la casilla con el costo mínimo de la tabla resultante (Sin tener en cuenta la

fila o columna satisfecha).

6. Regrese a los puntos 3, 4, 5 sucesivamente, hasta que todas las casillas queden

asignadas.

CARACTERÍSTICAS:

Es más elaborado que el método de la esquina noroeste.

Tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones.

Generalmente nos deja alejados del óptimo.

Recuerda:

Aumentar un épsilon, para cumplir con

la condición de que:

m + n - 1= # celdas llenas En este ejemplo: 7=7

Más adelante tenemos que fijarnos

mucho en esta igualdad y el uso del

épsilon para llegar al costo óptimo.

Nota: Recuerde que no debe eliminar o satisfacer fila y columna al mismo

tiempo, si la oferta es igual a la demanda, en tal caso recuerde usar la

E (Épsilon). Que representa una casilla llena o asignada, 𝐸 ≅ 0





163. Resolver el problema 161 por el método del costo mínimo:


C 1 C 2 C 3 C 4 FU

EN

TE

S (F

ábri

cas)

F 1 0 10 15 0 0 20 0 11 15

F 2 0 12 𝜖 7 15 9 10 20 25

10

F3 5 0 𝜖 14 0 16 0 18 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

45

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(0) + 15(0) + 15(9) + 10(20) = 335 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

164. La empresa SUPAN elabora un tipo de pan en dos sus plantas para ser

distribuidas a tres tiendas, los costos, ofertas y demandas se detallan en la siguiente

tabla, calcular el costo inicial.


C 1 C 2 C 3

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

F 1 0 8 10 4 30 3

40

F 2 20 2 30 6 0 8

50

DEMANDA 20 40 30 90

90

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 20(2) + 10(4) + 30(6) + 30(3) = 350

165. Una compañía envía camiones cargados de grano desde tres silos a cuatro

molinos. La oferta y la demanda, junto con los costes de transporte por carga de camión

en las diferentes rutas, se resumen en la siguiente tabla, en donde la oferta y la demanda

viene dada en términos de camiones cargados y los costes en dólares. Para calcular el

costo del silo 3 a todos los molinos se hace un incremento del 50% para no sufrir

pérdidas.

Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta Silo 1 10 2 20 11 15

Silo 2 12 7 9 20 25

Silo 3 2 7 8 9 10

Demanda 5 15 15 15




M1 M 2 M 3 M 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

S 1 0 10 15 2 0 20 0 11 15

S 2 0 12 𝜖 7 15 9 10 20 25

S3 5 4 0 14 0 16 5 18 10

DEMANDA 5 15 15 15 50

50

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 15(2) + 15(9) + 10(20) + 5(4) + 5(18) = 475

3.3.3. MÉTODO DE VOGEL El método de aproximación de Vogel es un método heurístico (se basa en hallar una

solución de calidad aceptable mediante la exploración de una parte del universo de

todas soluciones posibles) de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar

una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un

número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos

existentes con este fin, sin embargo, produce mejores resultados iniciales que los

mismos.

Esta regla se realiza, una vez que tengamos el problema de trasporte “Balanceado” o

equilibrado.

ALGORITMO:

1. Construir una tabla de disponibilidades y requerimientos con sus respectivos costos

2. Calcular la diferencia entre el costo más pequeño y el segundo costo más pequeño, para

cada fila y cada columna. A este resultado se lo llama penalización

3. Escoger entre las filas y columnas las que tengan mayor penalización, en caso de

empate se escoge arbitrariamente

4. Asigne lo máximo posible en la casilla con menor costo en la fila o columna,

escogiendo el punto 3

5. Asignar cero en las otras casillas de las filas o columnas donde la disponibilidad o

requerimiento queda satisfecho

6. Repetir los pasos del 2 al 5 sin tener en cuenta las filas o columnas satisfechas hasta que

todas las casillas queden asignadas.

Nota: Para colocar la épsilon se tiene dos criterios:

1. Se elimina la fila o columna que presente

los mayores costos, es decir si se elimina la

fila entonces la épsilon va en la columna.

2. Se elimina la fila primero y la épsilon va a ir

siempre en la columna.




CARACTERÍSTICAS:

Es más elaborado que los anteriores, más técnico y dispendioso.

Tiene en cuenta los costos, las ofertas y las demandas para hacer las asignaciones.

Generalmente nos deja cerca al óptimo.

166. Resolver el problema 161 por el método de Vogel:


C 1 C 2 C 3 C 4 P.1 P.2

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1

0 10 0

20

11

15 10 11

F 2 0

12

7

9

20 25

2 2

F 3 5 0

0 14

0 16

0 18

5 14 -

DEMANDA 5 15 15 10 45

45

P. 1 10 7 7 7

P. 2 - 7 11 9

Recuerda: El procedimiento para la asignación es: se calcula la penalización 1 de

fila y columna y se asigna, luego la penalización 2 y se asigna, así

hasta asignar todo. El cálculo de los valores de la penalización 1, son:

P1 columnas 10 – 0 = 10

7 – 0 = 7

16 – 9 = 7

18 – 11 = 7

P1 filas 10 – 0 = 10

9 – 7 = 2

14 – 0 = 14

Al calcular la penalización 2 tenemos un empate por lo que

resolvemos el ejercicio por los dos casos escogiendo la fila y luego la

columna, para seleccionar el menor valor.

P2 columnas -----

7 – 0 = 7

20 – 9 = 11

20 – 11 = 9

P2 filas 11 – 0 = 11

9 – 2 = 7

-----



CASO 1: SELECCIONANDO LA FILA

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(0) + 15(0) + 15(9) + 10(20) = 335 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 CASO 2: SELECCIONANDO LA COLUMNA

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(0) + 5(0) + 10(7) + 15(9) + 10(11) = 315 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

167. Una cadena de cinco (5) almacenes, ubicados en diferentes partes del país,

requiere cierta mercancía para cada uno de sus almacenes. Las empresas abastecedoras

han informado que disponen de la mercancía solicitada, pero en tres (3) diferentes

fábricas. La escasez del producto hace que la cadena de almacenes deba transportar la

mercancía. En base a los costos del transporte por unidad, a los requerimientos de los


C 1 C 2 C 3 C 4 P.1 P.2

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1

0 10 15 0

0 20

0 11

15 10 11

F 2 0

12 0

7 15

9 10

20 25

15 2 2

F 3 5 0

0 14

0 16

0 18

5 14 -

DEMANDA 5 15 15 10 45

45

P. 1 10 7 7 7

P. 2 - 7 11 9


C 1 C 2 C 3 C 4 P.1 P.2 P.3

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1

0 10 5 0

0 20 10 11

15 10 11 11

F 2 0

12 10

7 15

9 0

20 25

15 2 2 13

F 3 5 0

0 14

0 16

0 18

5 14 - -

DEMANDA 5 15 15 10 45

45

P. 1 10 7 7 7

P. 2 - 7 11 9

P. 3 - 7 - 9

Luego de resolver por los dos casos posibles escogemos

el caso dos, el de la columna ya que se obtiene el menor

costo inicial.

No hace falta calcular la siguiente penalización, porque ya no

tenemos dos celdas para restar. Por tal razón simplemente

asignamos a la celda de menor costo. Y finalizamos con el proceso.



almacenes y a la disponibilidad de las fábricas, que se muestra en el siguiente tabla de

transporte. Calcular el costo inicial.

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 300(10) + 700(20) + 700(20) + 300(10) + 100(40) + 600(10)

+ 800(50) = 𝟖𝟒𝟎𝟎𝟎

168. Una compañía envía camiones cargados de grano desde tres silos a cuatro

molinos. La oferta y la demanda, junto con los costes de transporte por carga de camión

en las diferentes rutas, se resumen en la siguiente tabla, en donde la oferta y la demanda

viene dada en términos de camiones cargados y los costes en dólares.

Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta Silo 1 10 2 20 11 15

Silo 2 12 7 9 20 25

Silo 3 4 14 16 18 10

Demanda 5 15 15 15

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 15(2) + 15(9) + 10(20) + 5(4) + 5(18) = 𝟒𝟕𝟓


P.1

C 1 C 2 C 3 C 4 C5 P.2 P.3 P.4 P.5

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 300

10

700 20

0

40

0

30 50 1000 10 10 10 10 10

0

F 2 700 20

30

0

50

0

40 10 700

1000 10 10 10 - - 300

F 3 0

30

100

40

600

10

800

50 20 800

900

1500 10 10 10 10 10

0

DEMANDA 1000 300

800 100

600 800 300 45

45

P. 1 10 10 30 10 10

P. 2 10 10 - 10 10

P. 3 10 10 - 10 -

P. 4 20 20 - 20 -

P. 5 - 20 - 20 -


M1 M 2 M 3 M 4 P.1 P.2 P.3

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) S 1

0 10 15 2

0 20

0 11 15 8 9 -

S 2 0

12 𝜖

7 15

9 10

20 25

2 2 11

S 3 5 4

0 14

0 16

5 18 10

5 10 2 2

DEMANDA 5 15 15 15 45

45

P. 1 6 5 7 7

P. 2 - 5 7 7

P. 3 - - 7 2

CAPÍTULO III Modelos de Transporte Costo óptimo multiplicadores


3.4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE DESBALANCEADO

3.4.1. LA DEMANDA MAYOR QUE LA OFERTA

Al sumar la oferta y la demanda, nos encontramos con el caso de que la demanda es mayor que

la oferta, tenemos un problema de transporte desbalanceado o no equilibrado, por lo que

tenemos que aumentar una fila ficticia, con un valor de oferta, sacada del total de la demanda

menos la oferta. Una vez que tenemos la tabla de transporte balanceado o equilibrada podemos

calcular el costo inicial aplicando cualquiera de los tres métodos anteriormente estudiados,

como son el método de la esquina noroeste, costo mínimo y vogel. (Wisnton, 2005). Ejemplo:

169. MG Auto tienen 3 plantas: en los Ángeles Detroit y New Orleans; y 2 centros

principales de distribución en Denver y en Miami. Las capacidades de las 3 plantas

durante el próximo trimestre serán 1000, 1300 y 1200 autos. Las demandas trimestrales

en los 2 centros de distribución son 2300 y 1400 autos. El kilometraje entre las fábricas

y los centros de distribución se da en la siguiente tabla.

Denver Miami Los Ángeles 1000 2690

Detroit 1250 1350

New Orleans 1275 850

La empresa transportista cobra 8 centavos por milla y por auto. El costo de transporte por auto,

en las distintas rutas y redondeando, se calcula como se ve en la tabla.

Denver Miami Los Ángeles 80 215

Detroit 100 108

New Orleans 102 68

PROBLEMAS DESBALANCEADOS

Caso1:

Demanda > Oferta

Caso 2:

Oferta > Demanda



TABLA INICIAL DE TRANSPORTE


C 1 C 2

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 80 215

1000

F 2 100 108 1300

F3 102 68 1200

DEMANDA 2300 1400 3500

3700

DEMANDA = 3700 OFERTA = 3500

Como la demanda es mayor que la oferta, Brighman y Pappas (1978) explican que “tenemos

un sistema desbalanceado o imperfecto para lo cual aumentamos una fuente ficticia, con un

valor de la diferencia de la demanda con respecto a la oferta”.

En este caso es de 200, y procedemos a calcular el costo inicial por cualquiera de los tres

métodos antes estudiados.

TABLA DE TRANSPORTE CON LA FUENTE FICTICIA Método de la esquina noroeste


C 1 C 2

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

F 1 1000 80 0 215 1000

F 2 1300 100 0 108 1300

F3 𝜖 102 1200 68

1200

FF 0 0 200 0 200

DEMANDA 2300

1300

1400

200

3700

3700

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 1000(80) + 1300(100) + 1200(68) + 200(0) = 𝟐𝟗𝟏𝟔𝟎𝟎

Cuando el valor de la demanda es mayor que el

de la oferta aumentamos una fila ficticia (F.F.) el

valor de la oferta para dicha fila es igual a la

demanda total menos la oferta total. Y los costos

unitarios tienen un valor de cero. Dicho valor no

existe en la práctica, entonces para la

interpretación no se tomará en cuenta.

Recuerda:

Para el cálculo del costo inicial,

por cualquiera de los tres métodos.

Resolvemos idéntico como

problemas balanceados, las fuentes

y destinos ficticios no influyen en

nada, para el proceso matemático.



Método del costo mínimo


C 1 C 2 FU

EN

TE

S (F

ábri

cas)

F 1 1000 80 0 215

1000

F 2 1100 100 200 108 1300

200

F3 0 102 1200 68 1200

FF 200 0 0 0 200

DEMANDA 2300

2100

1100

1400

200

3700

3700

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 1000(80) + 1100(100) + 200(108) + 1200(68) = 293200

170. Una compañía de renta de autos tienen problemas de distribución, debido a que

los acuerdos se dieron en lugares diferentes a aquellos en que originalmente fueron

rentados. Por el momento hay dos lugares (fuentes) con 15 y 13 autos en exceso, en

su orden, y cuatro lugares (destinos) en los que se requieren 9,6,7,9 autos,

respectivamente. Los costes unitarios de transporte (en dólares) entre los lugares se

presentan en la siguiente tabla.

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Oferta Fuente1 45 17 21 30 15

Fuente 2 14 18 19 31 13

Demanda 9 6 7 9

Método de la esquina noroeste (fuente ficticia):


D1 D2 D3 D4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 9 45 6 17 0 21 0 30 15

6

F 2 0 14 𝜖 18 7 19 6 31 13

6

F.F. 0 0 0 0 0 0 3 0 3

DEMANDA 9 6 7 9

3

31

31

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 9(45) + 6(17) + 7(19) + 6(31) = 826



Método de Vogel (fuente ficticia): DESTINOS

(Clientes) OFERTA P1 P2 P3 P4

D1 D2 D3 D4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1

0 45 6 17 3 21 6 30 15

9 6 4 4 4 9

F 2 9 14 0 18 4 19 0 31 13

4 4 4 1 12

F.F. 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 - - -

DEMANDA 9 6 7

3

9

6

31

31

P 1 14 17 19 30

P 2 31 1 2 1

P 3 - 1 2 1

P 4 - - 2 1

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 6(17) + 3(21) + 6(30) + 9(14) + 4(19) = 547

3.4.2. LA OFERTA MAYOR QUE LA DEMANADA

Al sumar la oferta y la demanda, nos encontramos con el caso de que la oferta es mayor que la

demanda, entonces tenemos un problema de transporte desbalanceado o no equilibrado, por lo

que tenemos que aumentar una columna ficticia (C.F.), con un valor de demanda, sacada del

total de la oferta menos el total de la demanda. Una vez que tenemos la tabla de transporte

balanceado o equilibrada podemos calcular el costo inicial aplicando cualquiera de los tres

métodos anteriormente estudiados, como son el método de la esquina noroeste, costo mínimo y

vogel. Ejemplo:

171. MG Auto tienen 3 plantas: en los Ángeles Detroit y New Orleans; y 2 centros

principales de distribución en Denver y en Miami. Las capacidades de las 3 plantas

durante el próximo trimestre serán 1000, 1500 y 1200 autos. Las demandas trimestrales

en los 2 centros de distribución son 1900 y 1400 autos. El kilometraje entre las fábricas

y los centros de distribución se da en la siguiente tabla.

TABLA INICIAL DE TRANSPORTE DESTINOS

(Clientes) OFERTA

C 1 C 2

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 80 215

1000

F 2 100 108 1500

F3 102 68 1200

DEMANDA 1900 1400 3700

3300

OFERTA = 3700

Nota:

Para calcular las

penalizaciones.

Si se toma en

cuenta los

costos de cero.



DEMANDA = 3300 Como la oferta es mayor que la demanda, tenemos que aumentar un cliente ficticio y los

costos unitarios van a ser de 0. La demanda de dicho cliente ficticio es igual a la diferencia de

la oferta con respecto de la demanda. En este caso es de 400, y procedemos a calcular el costo

inicial por el método de la esquina noroeste.

TABLA DE TRANSPORTE CON EL DESTINO FICTICIO


C 1 C 2 C.F.

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 1000 80 0 215 0 0

1000

F 2 900 100 600 108 0 0 1500

600

F 3 0 102 800 68 400 0 1200

400

DEMANDA 1900

900

1400

800 400

3700

3700

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 1000(80) + 900(100) + 600(108) + 800(68) = 289200

172. Una compañía tiene tres fábricas, la fábrica 1 tiene una capacidad de 50

toneladas, la fábrica 2 de 75 toneladas y la fábrica 3 de 92 toneladas. Además cuenta

con 2 centros de distribución el A tiene una capacidad de almacenaje de 110

toneladas y el centro de distribución B de 80 toneladas . Los costes unitarios de

transporte (en miles de dólares) entre los lugares, se presentan en la siguiente tabla:

TABLA DE TRANSPORTE CON EL DESTINO FICTICIO Método del costo mínimo (destino ficticio):


C 1 C 2 C.F.

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 0 9 23 5 27 0 50

23

F 2 75 4 0 6 0 0 75

F 3 35 7 57 8 0 0 92 57

DEMANDA 110 35

80 57

27 217

217

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 23(5) + 75(4) + 35(7) + 57(8) = 1116

Cuando el valor de la oferta es mayor que el de la demanda aumentamos una columna

ficticia (C.F.) el valor de la demanda para dicha columna es igual a la oferta total menos la

demanda total. Y los costos unitarios tienen un valor de cero. Dicho valor no existe en la

práctica, entonces para la interpretación no se tomará en cuenta.



173. Tres centrales (I, II, III) de distribución tienen que darle electricidad a tres

ciudades (A,B,C) 35, 50 y 40 de Kwh (kilowatt-hora) y cuyas demandas máximas

son: 45, 20 y 30. Los costos unitarios se describen en la siguiente tabla:

Método de Vogel (destino ficticio):


P1 P2 P3

D1 D2 D3 D.F.

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1

5 8 0 15 30 10 0 0 35 5

8 2 2

F 2 20 10 0 12 0 14 30 0 50 20

10 2 4

F 3 20 14 20 9 0 16 0 0 40 20

9 5 2

DEMANDA 45 40 20

20 30 30 125

125

P 1 2 3 4 0

P 2 2 3 4 -

P 3 2 - 4 -

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(8) + 30(10) + 20(10) + 20(14) + 20(9) = 1000

3.5. COSTO ÓPTIMO Una vez realizada la distribución de unidades desde sus orígenes hacia sus destinos, este modelo

de transporte exige que su resultado sea comprobado hasta reducir su costo al mínimo. Donde

existen dos métodos diferentes de comprobación:

Banquillo

Multiplicadores

3.5.1. MÉTODO DEL BANQUILLO

13La forma de verificar si la solución actual puede mejorarse es examinar las variables no

básicas actuales (casilleros vacíos) en busca de mejoras potenciales en el valor de la función

objetivo. Si existe una de tales variables, será la variable que entra, en cuyo caso una de las

variables básicas actuales debe dejar la solución (como en el método simplex).

A fin de determinar la variable que entra y la que sale, se identifica un circuito cerrado para

cada variable no básica. Espinoza (1975) explica que, El circuito comienza y termina con la

variable no básica designada. Un circuito consiste en segmentos horizontales y verticales

sucesivos (conectados) cuyos puntos extremos deben ser variables básicas (casilleros llenos),

excepto para los 2 segmentos de inicio y terminación en la variable no básica.

El circuito se utiliza para comprobar si el valor de la función objetivo puede mejorarse cuando

la variable no básica se aumenta sobre su valor actual de cero. El procedimiento consiste en

13

http://www.itlalaguna.edu.mx/Academico/Carreras/industrial/invoperaciones1/U5E.HTML



encontrar el aumento o disminución en el costo de transporte como resultado de aumentar

unidades en la variable no básica investigada.

Este valor se encuentra asignando signos positivos y negativos alternos en los costos asociados

a las variables que forman el circuito, empezando con el costo de la variable no básica. La suma

de los costos del circuito puede hacerse en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido

contrario.

El resultado obtenido en la suma de los costos del circuito puede ser positivo o negativo. Si es

positivo indica que el asignar unidades a la variable que se está considerando aumenta el costo

total de transporte. Pero si este valor es negativo, la solución puede mejorarse asignado a la

variable no básica el valor más pequeño de las variables que deben reducir su valor en el

circuito que se está considerando.

El procedimiento termina hasta que todas las variables no básicas tienen valor positivo en la

suma de los costos del circuito.

3.5.2. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES

Este método reproduce interacciones parecidas al método del banquillo. La principal diferencia

ocurre en la forma en que las variables no básicas se evalúan en cada iteración. Para cada fila i

existen multiplicadores con la variable 𝑢𝑖; similarmente para cada columna j existen

multiplicadores con la variable 𝑣𝑗. En donde, para cada variable 𝑥𝑖𝑗 de la solución actual se

aplica la ecuación 1 y de la misma manera para cada variable no básica se aplica la ecuación 2.

Ecuación 1 Ecuación 2 Casilleros llenos 𝑪𝒊𝒋 = 𝒖𝒊 + 𝒗𝒋

Casilleros vacíos 𝐴𝐹𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗 − 𝑢𝑖 − 𝑣𝑗

Dónde:

𝑢𝑖 = Variable multiplicadora de la fila

𝑣𝑗 = Variable multiplicadora de la columna

𝐴𝐹𝑖𝑗 = Criterio de factibilidad

Los valores de los multiplicadores pueden ser determinados a partir de las ecuaciones

suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores (usualmente se establece

𝑢1 = 0 ; 𝑢1 = 10 ) cualquiera de los dos valores, y resolviendo el sistema de ecuaciones para

encontrar los multiplicadores desconocidos. El circuito comienza en la variable no básica con

signo positivo y termina con la misma variable no básica designada. Un circuito consiste en

segmentos con signos alternados (conectados) solo con las variables básicas.

RUTAS REALIZADAS CORRECTAMENTE:

Caso 1: Ruta en forma de un rectángulo o cuadrado.



5 10 10 0 2 20 13 11

17 12 5 7 15 9 5 20

15 0 5 14 7 16 5 18

Caso 2: Ruta en forma de ocho

15 8 20 6 12 10 1 9

30 9 7 12 20 13 2 7

12 14 10 9 10 16 30 5

RUTAS QUE ESTÁN INCORRECTAS:

3.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EQUILIBRADOS PARA CALCULAR EL COSTO ÓPTIMO

174. Resolver el problema 161, determinar la solución óptima en donde se requiere

determinar cuántos artículos se van a enviar de cada fuente a cada destino con el

mínimo costo.



C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 10 0 20 11

15

F 2 12 7 9 20 25

F3 0 14 16 18 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

45

El punto sombreado (rojo) es donde se inicia la ruta, se

llama variable no básica y comienza con signo positivo.



La oferta y la demanda deben estar equilibradas

Si es verdadero continuamos.

Si es falso hay que igualar la oferta con respecto de la demanda o viceversa, aumentando

fuentes ficticias (filas) o destinos ficticios (columnas) para equilibrar la oferta a la demanda, según lo estudiado en el problema desbalanceado.

Encontramos una solución básica factible inicial por cualquiera de los tres métodos anteriormente estudiados.

a) Método de la esquina Noroeste (esquina superior izquierdo).

b) Método del Costo Mínimo.

c) Método Aproximación Vogel.

Calculando el costo inicial por el método de la esquina noroeste tenemos:


C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 5 10 10 0 0 20 0 11 15

10

F 2 0 12 5 7 15 9 5 20 25

20 5

F3 0 0 0 14 0 16 5 18 5

DEMANDA 5 15

5 15 10

45

45

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(10) + 10(0) + 5(7) + 15(9) + 5(20) + 5(18) = 410

Verificar si la solución inicial obtenida es degenerado o no con la siguiente desigualdad.

#𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔 + #𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔 − 𝟏 ≤ # Celdas llenas Constante Variable

Si es verdadero, la solución no es degenerada y podemos continuar con en el proceso:

3 + 4 – 1 ≤ 6 6 ≤ 6 (VERDADERO)

Si es falso, tenemos que completar el número de celdas faltantes con una cantidad muy pequeña

que se llama Épsilon (€ ≅ 0) y luego continuamos buscando la solución óptima.

Cálculo de la solución óptima aplicando cualquiera de los dos métodos anteriores (banquillo o multiplicadores).

Calculamos la solución óptima aplicando el método de los multiplicadores para lo cual partimos

de la solución inicial en este caso (esquina noroeste).

Que consiste en fijar un número en la celda inicial (𝑢1 = 0 ; 𝑢1 = 10) dicho puede ser el cero

o el diez.



Calculamos los valores de las columnas y de las filas con dicho número (10) solamente con las

casillas llenas. Para lo cual restamos el costo unitario de envío con respecto del número 10.

MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES

0 -10 -8 3 10 5 10 10 0 20 11

17 12 5 7 15 9 5 20

15 0 14 16 5 18

RESOLUCIÓN 10 – 10 = 0 0 – 10 = - 10 7 – (– 10) = 17

9 – 17 = - 8 20 – 17 = 3 18 – 3 = 15

Una vez que hemos calculado las cabeceras de las columnas y de las filas realizamos la suma

entre la intersección de la fila y la columna solamente de las celdas vacías.

0 -10 -8 3

10 5 10 10 0 2 20 13 11

17 17 12 5 7 15 9 5 20

15 15 0 5 14 7 16 5 18

RESOLUCIÓN 10 – 8 = 2 17 + 0 = 17 15 – 10 = 5

10 + 3 = 13 15 + 0 = 15 15 – 8 = 7

Los valores calculados en las celdas vacías marcamos con un punto en donde el valor es

mayor que el costo unitario de envío.

0 -10 -8 3

10 5 10 10 0 2 20 13 11

17 17 12 5 7 15 9 5 20

15 15 0 5 14 7 16 5 18

De los puntos marcados seleccionamos la celda en donde el costo unitario sea el más

económico, y en dicha celda asignamos producción.



Se inicia a formar un camino cerrado o circuito cerrado partiendo de la celda seleccionada

anteriormente, y yendo en forma horizontal y vertical solamente con las celas llenas, el circuito

cerrado debe quedar con signos alternados.

0 -10 -8 3

10 5 10 10 0 2 20 13 11

17 17 12 5 7 15 9 5 20

15 15 0 5 14 7 16 5 18

Asignar producción

Para saber qué cantidad vamos a asignar nos fijamos en el circuito cerrado, especialmente en las

celdas donde está el signo menos y escogemos la menor cantidad entre ellos, en este caso el (5).

Dicha cantidad vamos sumando o restando en toda la ruta según sus signos, los que se hacen

cero es una celda vacía.

Verificar que las nuevas asignaciones cumplan con la cantidad de la oferta y la demanda dada

en el ejercicio original.

Calcular el siguiente costo con las nuevas asignaciones

10 15 0 20 11

12 7 15 9 10 20

5 0 14 16 18

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 2 = 5(0) + 15(0) + 15(9) + 10(20) = 335

Continuamos con el proceso iterativo

Repetimos los pasos 3, 4, 5, hasta que el ejercicio se termina cuando se tenga las dos opciones:

a) El costo de envío deja de disminuir.

b) En las celdas vacías, no hay casillas marcadas

Entonces regresamos al paso 3:

#𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔 + #𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔 − 𝟏 ≤ # Celdas llenas Constante Variable

3 + 4 – 1 ≤ 4 6 ≤ 4 (FALSO)

Para igualar tendremos que aumentar dos Épsilon, estos pueden ir en cualquier celda vacía, de

preferencia se completa filas luego columnas.



10 15 0 20 11

𝝐 12 𝝐 7 15 9 10 20

5 0 14 16 18

-5 -10 -8 3

10 5 10 15 0 2 20 13 11

17 𝜖 12 𝜖

7 15 9 10 20

5 5 0 -5 14 -3 16 8 18

-5 -10 -8 1

10 5 10 5 0 2 20 10 11

17 𝜖 12 10 7 15 9 18 20

5 5 0 -5 14 -3 16 6 18

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 3 = 5(0) + 5(0) + 10(7) + 15(9) + 10(11) = 315

El proceso se ha terminado porque no hay ninguna celda marcada, y el costo se ha ido

disminuyendo consecutivamente.

TABLA FINAL DE TRANSPORTE


C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 10 5 0 20 10 11

15

F 2 12 10 7 15 9 20 25

F3 5 0 14 16 18 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

45

Interpretación:

El costo óptimo es de 315 dólares, con las siguientes asignaciones:

La fábrica 1 debe transportar 5 artículos al cliente 2 con un costo unitario de 0.







175. Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la

demanda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40

millones de kilovatios/hora respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las

2 PM y es de 45, 20, 30 y 30 millones de kilovatios/hora en las ciudades 1, 2, 3 y 4

respectivamente. El costo de enviar 1 kilovatio/hora depende de la distancia que deba

recorrer la energía. La siguiente tabla muestra los costos de envío unitario desde cada

planta a cada ciudad. Formule un modelo de programación lineal que permita minimizar

los costos de satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades.



C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 8 6 10 9

35

F 2 9 12 13 7 50

F3 14 9 16 5 40

DEMANDA 45 20 30 30 125

125

NOTA

Cuando se presente un problema en el que no exista costo de

envío en uno de los casilleros, este será llenado con el costo

más alto de la matriz aproximando su valor, ya sea

terminado en cero o cinco; si por casualidad el costo más

alto termina en uno de estos dos dígitos, es aconsejable

sumarle cinco, de esta forma resolveremos los ejercicios, y al

mismo tiempo nos ayuda en la comprobación.



MÉTODO ESQUINA NOROESTE


C 1 C 2 C 3 C 4 FU

EN

TE

S (F

ábri

cas)

F 1 35 8 0 6 0 10 0 9 35

F 2 10 9 20 12 20 13 0 7 50

40 20

F3 0 14 0 9 10 16 30 5 40

30

DEMANDA 45

10 20

30

10 30

125

125

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 35(8) + 10(9) + 20(12) + 20(13) + 10(16) + 30(5) = 1180


-2 1 2 -9

10 35 8 11 6 12 10 1 9

11 10 9 20 12 20 13 2 7

14 12 14 15 9 10 16 30 5

-2 -4 2 -9

10 15 8 20 6 12 10 1 9

11 30 9 7 12 20 13 2 7

14 12 14 10 9 10 16 30 5

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 2 = 15(8) + 20(6) + 30(9) + 20(13) + 10(16) + 30(5) = 1080

-2 -4 2 -8

10 25 8 10 6 12 10 2 9

11 20 9 7 12 30 13 3 7

13 11 14 10 9 11 16 30 5

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 3 = 25(8) + 10(6) + 20(9) + 10(9) + 30(13) + 30(5) = 1070



-4 -4 0 -8

10 6 8 10 6 25 10 2 9

13 45 9 9 12 5 13 5 7

13 9 14 10 9 13 16 30 5

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 ó𝒑𝒕𝒊𝒎𝒐 = 45(9) + 10(6) + 10(9) + 25(10) + 5(13) + 30(5) = 1020



C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 6 8 10 6 25 10 2 9

35

F 2 45 9 9 12 5 13 5 7 50

F3 9 14 10 9 13 16 30 5 40

DEMANDA 45 20 30 30 125

125

Interpretación:

El costo óptimo es de $1020 , con las siguientes asignaciones:

La Planta 2 debe satisfacer con 45 millones KWh a la ciudad 1 con un costo unitario de

9.


6.


9.


10.


13.


5.

176. Se envían automóviles en camión, de tres centros de distribución a cinco

distribuidores. El costo de envío está basado en la distancia recorrida entre las fuentes y

destinos. El costo es independiente de si el camión hace el recorrido con una carga

parcial o completa. La tabla que sigue hace un resumen de las distancias de recorrido

entre los centros de distribución y los distribuidores (millas) y también las cifras

mensuales de oferta y demanda calculadas en números de automóviles. El costo de

transporte por milla recorrida por el camión es de $10, formule el problema como un

modelo de transporte. Calcular el costo mínimo óptimo.



Dist.1 Dist.2 Dist.3 Dist.4 Dist.5 Oferta

Centro de Distribución 1 10 15 20 14 3,5 40

Centro de Distribución 2 5 7 6 6,5 8 20

Centro de Distribución 3 4 9 10 15 13 15

Demanda 10 20 15 16 14


DESTINOS (Clientes)

OFERTA

C 1 C 2 C 3 C 4 C 5

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 100 150 200 140 35

400

F 2 50 70 60 65 80 200

F 3 40 90 100 150 130 150

DEMANDA 100 200 150 160 140 750

750

COSTO INICIAL POR EL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE

DESTINOS (Clientes)

OFERTA

C 1 C 2 C 3 C 4 C 5

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1

100 100 200 150 100 200 0 140 0 35 400

F 2 0 50 0 70 50 60 150 65 0 80

200

F 3 0 40 0 90 0 100 10 150 140 130

150

DEMANDA 100 200 150 160 140 750

750

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100(100) + 200(150) + 100(200) + 50(60) + 150(65) + 10(150)

+ 140(130) = 𝟗𝟐𝟒𝟓𝟎


100 150 200 205 185

0 100 100 200 150 100 200 205 140 185 35

-140 -40 50 10 70 50 60 150 65 45 80

-55 45 40 95 90 145 100 10 150 140 130



35

35

100 150 50 55 35

0 100 100 200 150 50 200 55 140 100 35

10 110 50 160 70 150 60 50 65 45 80

95 95 40 245 90 145 100 110 150 140 130

Costo factible # 2= 77450

100 150 205 210 35

0 60 100 200 150 205 200 210 140 140 35

-145 -45 50 5 70 150 60 50 65 -1 80

-60 40 40 90 90 145 100 110 150 -25 130



75 150 135 140

0 75 100 200 150 135 200 60 140 140 35

-75 0 50 75 70 100 60 100 65 -40 80

-35 100 40 115 90 50 100 105 150 0 130


80 150 140 140 35

0 80 100 100 150 140 200 160 140 140 35

-80 0 50 100 70 100 60 60 65 -60 80

-40 100 40 110 90 50 100 105 150 -5 130


100 150 160 165 35

0 60 100 200 150 160 200 165 140 140 35

-100 0 50 50 70 40 60 160 65 -65 80

-60 40 40 90 90 110 100 105 150 -25 130



100 150 140 140 35

0 100 100 100 150 140 200 160 140 140 35

-80 20 50 50 70 150 60 60 65 -40 80

-60 100 40 50 90 80 100 80 150 -25 130

Costo mínimo óptimo = 63300


DESTINOS (Clientes)

OFERTA

C 1 C 2 C 3 C 4 C 5

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1

100 100 150 200 160 140 140 35 400

F 2 50 50 70 150 60 65 80

200

F 3 100 40 50 90 100 150 130

150

DEMANDA 100 200 150 160 140 750

750

Interpretación:

El costo óptimo es de $ 63300, con las siguientes asignaciones:

El centro de distribución uno, al distribuidor uno, 100 autos a un costo de 150. Al

cuatro se tiene que enviar 160 autos sujetos a un valor de envío de 140 y al quinto 140,

a un costo de 35.

Desde el centro de distribución dos se deben enviar 50 al dos a un costo de 70; al tres

150 a un costo de 60.

Desde el centro de distribución tres se tiene que enviar al uno 100 a un costo de 40; al

dos 50 a un costo de 90, para obtener un costo mínimo óptimo de $63300.

177. Una fábrica dispone de tres centros de distribución A, B y C cuyas

disponibilidades de materia prima son 100, 120 tm respectivamente. Dicha materia

prima debe ser entregada a cinco almacenes I, II, III, IV y V, los cuales deben de recibir

en su orden 40, 50, 70, 90 y 90 tm. Determinar una solución que optimice el costo de

envío.

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Destino 5

Orígenes A 10 20 5 9 10

Orígenes B 2 10 8 30 5

Orígenes C 1 20 7 10 4




DESTINOS (Centros de distribución) OFERTA

D 1 D 2 D 3 D 4 D 5

OR

ÍGE

NE

S (F

ábri

cas)

F 1 10 20 5 9 10 100

F 2 2 10 8 30 5 120

F 3 1 20 7 10 4 120

DEMANDA 40 50 70 90 90 340

340

Problema balanceado, por tal razón se procede a calcular el costo inicial.



D 1 D 2 D 3 D 4 D 5

OR

IGE

NE

S (F

ábri

cas)

F 1 40 10 50 20 10 5 0 9 0 10

100

F 2 0 2 0 10 60 8 60 30 0 5

120

F 3 0 1 0 20 0 7 30 10 90 4 120

DEMANDA 40 50 70 90 90 340

340

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 40(10) + 50(20) + 10(5) + 60(8) + 60(30) + 30(10) + 90(4) = 𝟒𝟑𝟗𝟎


0 10 -5 17 11 10 40 10 50 20 10 5 27 9 21 10

13 13 2 23 10 60 8 60 30 24 5

-7 -7 1 3 20 -12 7 30 10 90 4

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #2 = 40(10) + 50(20) + 10(5) + 60(8) + 60(30) + 30(10) + 90(4) = 3790

-11 10 -5 -2 -8 10 -1 10 50 20 50 5 8 9 2 10

13 40 2 23 10 20 8 11 30 60 5

12 1 1 22 20 7 7 90 10 30 4

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #3 = 50(20) + 40(2) + 50(5) + 20(8) + 90(10) + 60(5) + 30(4) = 2810



2 10 -5 11 5 10 12 10 30 20 70 5 21 9 15 10

0 40 2 20 10 -5 8 11 30 60 5

-1 1 1 9 20 -6 7 90 10 30 4

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #4 = 40(2) + 30(20) + 20(10) + 70(5) + 90(10) + 60(5) + 30(4) = 2550

-10 -2 -5 -1 -7 10 0 10 8 20 70 5 30 9 3 10

12 40 2 50 10 7 8 11 30 30 5

11 1 1 9 20 6 7 60 10 60 4

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 2190



D 1 D 2 D 3 D 4 D 5

OR

IGE

NE

S (F

ábri

cas)

F 1 10 20 70 5 30 9 10

100

F 2 40 2 50 10 8 30 30 5

120

F 3 1 20 7 60 10 60 4 120

DEMANDA 40 50 70 90 90 340

340

Interpretación:


La fábrica 1 debe entregar al cliente 3, 70 de materia prima (tm) a un precio de 5

dólares y al cliente 4 entrega 30 tm a un precio de 9 dólares.

De la fábrica 2 al cliente 1, 40 tm a un precio de 2 dólares, al cliente 2 entrega 50 tm a

un precio de 10 dólares y al cliente 5 entrega 30 tm a un precio de 5 dólares.

De la fábrica 3 al cliente 4 entrega 60 tm a un precio de 10 dólares y al cliente 5

entrega 60 tm a un precio de 4 dólares; para obtener un costo mínimo óptimo de 2190.



178. Resolver el problema anterior iniciando por el método de Vogel.


P 1

P 2

P 3

P 4

P5

P 6

D 1 D 2 D 3 D 4 D 5

OR

IGE

NE

S (F

ábri

cas)

F 1 0 10 0 20 70 5 30 9 0 10 100

30

4 4 1 1 1 9

F 2 40 2 50 10 0 8 0 30 30 5 120

70 30

3 3 3 25 - -

F 3 0 1 0 20 0 7 60 10 60 4 120

60

3 3 3 6 6 10

DEMANDA 40 50 70 90

30

90

60

340

340

P 1 1 10 2 1 1

P 2 1 - 2 1 1

P 3 1 - - 1 1

P 4 - - - 1 1

P 5 - - - 1 6

P 6 - - - 1 -

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 40(2) + 50(10) + 70(5) + 30(9) + 60(10) + 30(5) + 60(4) = 𝟐𝟏𝟗𝟎

-10 -2 -5 -1 -7 10 0 10 8 20 70 5 30 9 3 10

12 40 2 50 10 7 8 11 30 30 5

11 1 1 9 20 6 7 60 10 60 4

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 40(2) + 50(10) + 70(5) + 30(9) + 60(10) + 30(5) + 60(4) = 𝟐𝟏𝟗𝟎

Al resolver

Sadsadsad



D 1 D 2 D 3 D 4 D 5

OR

ÍGE

NE

S (F

ábri

cas)

F 1 10 20 70 5 30 9 10

100

F 2 40 2 50 10 8 30 30 5

120

F 3 1 20 7 60 10 60 4 120

DEMANDA 40 50 70 90 90 340

340

Calculando el costo inicial por el método de Vogel, se llega

directamente al costo óptimo. Por tal razón se concluye que, este

método de Vogel nos deja en el óptimo o cercano al costo

mínimo óptimo.



Interpretación:


La fábrica 1 debe entregar al cliente 3, 70 de materia prima (tm) a un precio de 5

dólares y al cliente 4 entrega 30 tm a un precio de 9 dólares.

De la fábrica 2 al cliente 1, 40 tm a un precio de 2 dólares, al cliente 2 entrega 50 tm a

un precio de 10 dólares, al cliente 5 entrega 30 tm a un precio de 5 dólares.

De la fábrica 3 al cliente 4 entrega 60 tm a un precio de 10 dólares y al cliente 5

entrega 60 tm a un precio de 4 dólares; para obtener un costo mínimo óptimo de 2190.

179. Una empresa energética dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer

la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Junín, Salto, Vedia y Lincoln. Las

plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día en su orden.

Las necesidades de las ciudades de Junín, Salto, Vedia y Lincoln son de 70, 40, 70 y 35

millones de Kw al día respectivamente.

Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta

y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Junín Salto Vedia Lincoln Planta 1 5 2 7 3

Planta 2 3 6 6 1

Planta 3 6 1 2 4

Planta 4 4 3 6 6




C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Pla

ntas

)

F 1 70 5 0 2 0 7 0 3 70

F 2 10 3 30 6 0 6 0 1 40

F 3 0 6 0 1 60 2 10 4 70

F 4 0 4 0 3 0 6 35 6 35

DEMANDA 80 30 60 45 215

215

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 70(5) + 10(3) + 30(6) + 60 (2) + 10(4) + 35(6) = 𝟗𝟑𝟎

-5 -2 -5 -3

10 70 5 8 2 5 7 7 3

8 10 3 30 6 3 6 5 1

7 2 6 5 1 60 2 10 4

9 E 4 7 3 4 6 35 6

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #2 = 70(5) + 30(6) + 10(1) + 60 (2) + 10(4) + 10(4) + 25(6) = 𝟖𝟗𝟎



-5 2 -5 -3

10 70 5 12 2 5 7 7 3

4 -1 3 30 6 -1 6 10 1

7 2 6 9 1 60 2 10 4

9 10 4 11 3 4 6 25 6

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #3 = 70(5) + 20(6) + 20(1) + 10 (1) + 60(2) + 10(4) + 25(6) = 𝟖𝟏𝟎

-5 2 3 -3

10 70 5 12 2 13 7 7 3

4 -1 3 20 6 7 6 20 1

-1 -6 6 10 1 60 2 -4 4

9 10 4 11 3 12 6 25 6

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #4 = 50(5) + 20(2) + 40(1) + 10 (1) + 60(2) + 30(4) + 5(6) = 𝟔𝟏𝟎

-5 -8 -7 -3

10 50 5 20 2 3 7 7 3

4 -1 3 -4 6 -3 6 40 1

9 4 6 10 1 60 2 6 4

9 30 4 1 3 2 6 5 6

-5 -8 -7 -7

10 45 5 20 2 3 7 5 3

8 3 3 0 6 1 6 40 1

9 4 6 10 1 60 2 2 4

9 35 4 1 3 2 6 2 6

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 45(5) + 35(4) + 20(2) + 10 (1) + 60(2) + 5(3) + 40(1) = 𝟓𝟗𝟎



TABLA FINAL TRANSPORTE


C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Pla

ntas

) F 1

45 5 20 2 7 5 3

70

F 2 3 6 6 40 1

40

F 3 6 10 1 60 2 4 70

F 4 35 4 3 6 6

35

DEMANDA 80 30 60 45 215

215

Interpretación:


La empresa energética deberá enviar de la planta 1 a la cuidad de Junín 45 millones

de kw a un costo de 5 dólares; de la misma planta, se deberá enviar a la ciudad del

Salto 20 millones kw a un costo de 2 dólares y 5 millones de kw a un costo de 3 dólares

a la ciudad Lincoln.

La empresa energética deberá enviar de la planta 2 a la cuidad de Lincoln 40 millones

de kw a un costo de 1 dólar.

La empresa energética deberá enviar de la planta 3 a la ciudad de Salto 10 millones

de kw a un costo de 1 dólar y 60 millones de kw a un costo de 2 dólares a la ciudad

Vedia.


de kw.

180. Resolver el problema anterior iniciando por el método del costo mínimo.

TABLA POR EL COSTO MÍNIMO


C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Pla

ntas

)

F 1 45 5 0 2 20 7 5 3 70

25 5

F 2 0 3 0 6 0 6 40 1

40

F 3 0 6 30 1 40 2 0 4 70

40

F 4 35 4 0 3 0 6 0 6

35

DEMANDA 80

45 30

60

20

45

5

215

215

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 45(5) + 20(7) + 5(3) + 40 (1) + 30(1) + 40(2) + 35(4) = 𝟔𝟕𝟎



-5 -4 -3 -7

10 45 5 6 2 20 7 5 3

8 3 3 4 6 5 6 40 1

5 0 6 30 1 40 2 -2 4

9 35 4 5 3 6 6 2 6

-5 -8 -7 -7

10 45 5 20 2 3 7 5 3

8 3 3 0 6 1 6 40 1

9 4 6 10 1 60 2 2 4

9 35 4 1 3 2 6 2 6

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 45(5) + 35(4) + 20(2) + 10(1) + 60(2) + 5(3) + 40(1) = 𝟓𝟗𝟎

TABLA FINAL TRANSPORTE


C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Pla

ntas

)

F 1 45 5 20 2 7 5 3

70

F 2 3 6 6 40 1 40

F 3 6 10 1 60 2 4 70

F 4 35 4 3 6 6 35

DEMANDA 80 30 60 45 215

215

Interpretación:



de kw a un costo de 5 dólares; de la misma planta, se deberá enviar a la ciudad del

Salto 20 millones kw a un costo de 2 dólares y 5 millones de kw a un costo de 3 dólares

a la ciudad Lincoln.

La empresa energética deberá enviar de la planta 2 a la cuidad de Lincoln 40 millones

kw a un costo de 1 dólar.

La empresa energética deberá enviar de la planta 3 a la ciudad de Salto 10 millones

de kw a un costo de 1 dólar y 60 millones de kw a un costo de 2 dólares a la ciudad

Vedia.


de kw.



181. Una compañía desea saber, que política de distribución minimizará sus costos

totales. Para lo cual en la siguiente tabla se muestra los costos unitarios, la oferta y

demanda:

CLIENTES OFERTA 1 2 3 4 5

FÁBRICAS

A 10 2 3 15 9 25 B 5 10 15 2 4 30 C 15 5 14 7 15 20 D 20 15 13 - 8 30

DEMANDA 20 20 30 10 25

La tabla de costos, demandas y ofertas queda de la siguiente manera:


FÁBRICAS A 10 2 3 15 9 25 B 5 10 15 2 4 30 C 15 5 14 7 15 20 D 20 15 13 25 8 30

DEMANDA 20 20 30 10 25

El problema se resuelve sin ninguna dificultad como los ejercicios anteriores.

3.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESBALANCEADOS

182. Una compañía tiene en Distrito Federal y Monterrey sus centros de distribución;

están ubicados en Puebla, ciudad de México y Zacatecas, sus capacidades en las plantas

durante el semestre próximo son: 2000 y 1400 motocicletas, las demandas de

Recuerda:

No existe costo de envío en un casillero, este

será llenado con el costo más alto de la matriz

aproximando su valor ya sea terminado en cero

o cinco; si por casualidad el costo más alto

termina en uno de estos dos dígitos, es

aconsejable sumarle cinco. En este caso el costo

unitario más alto es (20), coincide con lo

anteriormente estudiado, entonces sumamos (5),

quedando el costo de (25).



distribución son: 1000, 1500 y 1200 motocicletas. El costo de transporte de una

motocicleta por traer es de 0,08 centavos por milla; la siguiente tabla muestra la

distancia recorrida entre las plantas y los centros de distribución.

Distrito Federal Distrito Monterrey Puebla 850 millas 1350 millas

México 2688 millas 1000 millas

Zacatecas 1250 millas 1275 millas

Distrito Federal Distrito Monterrey

Puebla $ 68 $ 108

México $ 215 $ 80

Zacatecas $100 $ 102



C 1 C 2 C 3

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

F 1 68 215 100

2000

F 2 108 80 102

1400

DEMANDA 1000 1500 1200

3400

3700

Problema desbalanceado, por tal razón se procede aumentar una fábrica ficticia, para calcular

el costo inicial.

MÉTODO ESQUINA NOROESTE DESTINOS

(Clientes) OFERTA C 1 C 2 C 3

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 1000 68 1000 215 0 100 2000

1000

F 2 0 108 500 80 900 102 1400

900

F F 0 0 0 0 300 0 300

DEMANDA 1000 1500

500

1200

900 300

3700

3700

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 1000(68) + 1000(215) + 500(80) + 900(102) + 300(0) = 414800




68 215 237

0 1000 68 1000 215 237 100

-135 -67 108 500 80 900 102

-237 -169 0 -22 0 300 0

68 215 100

0 1000 68 100 215 900 100

-135 -67 108 1400 80 -35 102

-100 -32 0 115 0 300 0

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 2 = 1000(68) + 100(215) + 900(100) + 1400(80) + 300(0) = 291500

68 100 100

0 1000 68 100 215 1000 100

-20 48 108 1400 80 80 102

-100 -32 0 100 0 200 0

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 1000(68) + 1400(80) + 1000(100) + 100(0) + 200(0) = 280000



C 1 C 2 C 3

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 1000 68 215 1000 100

2000

F 2 108 1400 80 102 1400

F F 0 100 0 200 0 300

DEMANDA 1000 1500 1200 3700

3700



Interpretación:


El D. Federal debe transportar 1000 motocicletas a Puebla con un costo unitario de $

68.

El D. Federal debe transportar 1000 motocicletas a Zacatecas con un costo unitario de

$ 100.

El D. de Monterrey debe transportar 1400 motocicletas a México con un costo unitario

de $ 80.

183. Una tienda de cosméticos tiene dos plantas una en Panamá y otra en los Estados

Unidos. Los productos se deben comercializar a través de unas tiendas que se

encuentran en España, México y Brasil. La oferta de cada planta es de 4000 y 5000

artículos mientras que las demandas de estos es de 4000, 2800 y 2000. Los costos

unitarios de transporte son:

España México Brasil Panamá $ 200 $ 150 $ 190

Estados Unidos $ 180 $ 100 $ 240



C 1 C 2 C 3

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

F 1 200 150 190

4000

F 2 180 100 240

5000

DEMANDA 4000 2800 2000 9000

8800

MÉTODO ESQUINA NOROESTE


C 1 C 2 C 3 C F

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

F 1 4000 200 0 150 0 190 0 0

4000

F 2 𝜖

180 2800 100 2000 240 200 0 5000

2200 200

DEMANDA 4000 2800 2000 200 9000

9000

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 4000(200) + 2800(100) + 2000(240) + 200(0) = 1560000




190 110 250 10

10 4000 200 120 150 260 190 20 0

-10 𝜖 180 2800 100 2000 240 200 0

190 110 250 -10

10 3800 200 120 150 260 190 200 0

-10 200 180 2800 100 2000 240 -20 0

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 2 = 3800(200) + 200(0) + 200(180) + 2800(100) + 2000(240) = 1556000

190 110 180 -10

10 1800 200 120 150 2000 190 200 0

-10 2200 180 2800 100 170 240 -20 0

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 1800(200) + 2000(190) + 200(0) + 2200(180) + 2800(100) = 1416000



C 1 C 2 C 3 C F

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

F 1 1800 200 150 2000 190 200 0

4000

F 2 2200 180 2800 100 240 0

5000

DEMANDA 4000 2800 2000 200 9000

9000

Interpretación:


La Planta de Panamá debe transportar 1800 cosméticos a España con un costo

unitario de $ 200.

La Planta de Estados Unidos debe transportar 2200 cosméticos a España con un costo

unitario de $ 180.

La Planta de Estados Unidos debe transportar 2800 cosméticos a México con un costo

unitario de $ 100.

La Planta de Panamá debe transportar 2000 cosméticos a Brasil con un costo unitario

de $ 190.



184. Una aerolínea regional puede comprar su combustible para jet a cualquiera de

tres proveedores. Las necesidades de la aerolínea para el próximo mes, en cada uno de

los tres aeropuertos a los que da servicio, son 100000 galones en el aeropuerto 1,

180000 galones en el aeropuerto 2 y 350000 galones en el aeropuerto 3. Cada proveedor

puede suministrar combustible a cada aeropuerto a los precios (en centavo por galones)

que se dan en el siguiente cuadro:

Aeropuerto 1 Aeropuerto 2 Aeropuerto 3

Proveedor 1 92 89 90



Cada proveedor, sin embargo, tiene limitaciones en cuanto al número total de galones que puede

proporcionar durante un mes dado. Estas capacidades son 320000 galones para el proveedor 1,

270000 galones para el proveedor 2 y 190000 galones para el proveedor 3. Determínese una

política de compra que cubra los requerimientos de la aerolínea en cada aeropuerto, a un costo

total mínimo.



C 1 C 2 C 3

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 92 89 90

320

F 2 91 91 95 270

F 3 87 90 92 190

DEMANDA 100 180 350 780

630

Problema desbalanceado, por tal razón se procede aumentar un cliente ficticio, para calcular el

costo inicial.



C 1 C 2 C 3 C F

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 100 92 180 89 40 90 0 0 320

220 40

F 2 0 91 0 91 270 95 0 0 270

F3 0 87 0 90 40 92 150 0 190

150

DEMANDA 100 180 350

310 40 150

780

780

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100(92) + 180(89) + 40(90) + 270(95) + 40(92) + 150(0) = 𝟓𝟖𝟏𝟓𝟎



MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES.

82 79 80 -12

10 100 92 180 89 40 90 -2 0

15 97 91 94 91 270 95 3 0

12 94 87 91 90 40 92 150 0

82 79 80 -15

10 100 92 180 89 40 90 -5 0

15 97 91 94 91 120 95 150 0

12 94 87 91 90 190 92 -3 0


75 79 80 -15

10 82 92 180 89 140 90 -5 0

15 90 91 94 91 120 95 150 0

12 100 87 91 90 90 92 -3 0


76 79 80 -15

10 86 92 90 89 230 90 -5 0

15 91 91 94 91 120 95 150 0

11 100 87 90 90 91 92 -4 0


73 76 80 -15

10 83 92 86 89 320 90 -5 0

15 88 91 90 91 30 95 150 0

14 100 87 90 90 94 92 -1 0




75 78 80 -13

10 85 92 88 89 320 90 -3 0

13 88 91 120 91 93 95 150 0

12 100 87 60 90 30 92 -1 0




C 1 C 2 C 3 C F

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 92 89 320 90 0

320

F 2 91 120 91 95 150 0 270

F3 100 87 60 90 30 92 0 190

DEMANDA 100 180 350 150 780

780

Interpretación:


Del proveedor 1 al aeropuerto 3, 320000 galones a un precio de 90 centavos.


Del proveedor 3 al aeropuerto 1, 100000 galones a un precio de 87 centavos; del

mismo proveedor al aeropuerto 2, 60000 galones a un precio de 90 centavos; del

mismo proveedor al aeropuerto 3, 30000 galones a un precio de 92 centavos, para

obtener un costo mínimo óptimo de $56580000.

Nota: A este costo le añadimos tres ceros

para facilitar los cálculos,

trabajamos sin tres ceros.



185. Resolver el problema anterior iniciando por el método de Vogel.

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100(91) + 20(91) + 160(90) + 320(90) + 30(92) + 150(0) = 𝟓𝟔𝟖𝟖𝟎


78 78 80 -13

10 88 92 88 89 320 90 -3 0

13 100 91 20 91 93 95 150 0

12 90 87 160 90 30 92 -1 0


75 78 80 -13

10 85 92 88 89 320 90 -3 0

13 83 91 120 91 93 95 150 0

12 100 87 60 90 30 92 -1 0




C 1 C 2 C 3 C F

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 92 89 320 90 0

320

F 2 91 120 91 95 150 0 270

F3 100 87 60 90 30 92 0 190

DEMANDA 100 180 350 150 780

780


C 1 C 2 C 3 C F P.1 P.2 P.3 P.4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1

0 92

0 89

320 90

0 0

320 89 1 1 1

F 2 100

91 20

91 0

95 150

0 270 91 4 4 -

F 3 0

87 160

90 30

92 0

0 190 87 3 2 2

DEMANDA 100 180 350 150

780

P. 1 4 1 2 -

P. 2 2 1 2 -

P. 3 - 1 2 -

P.4 - 1 2 -

780



Interpretación:




Del proveedor 3 al aeropuerto 1, 100000 galones a un precio de 87 centavos; del

mismo proveedor al aeropuerto 2, 60000 galones a un precio de 90 centavos; del

mismo proveedor al aeropuerto 3, 30000 galones a un precio de 92 centavos, para

obtener un costo mínimo óptimo de $56580000.

186. Tres fábricas envían su producto a cinco distribuidores. Las disponibilidades,

los requerimientos y costos unitarios de transporte, se dan en la siguiente tabla.

Distrib. 1 Distrib. 2 Distrib. 3 Distrib. 4 Distrib.5

Fábrica 1 20 19 14 21 16

Fábrica 2 15 20 13 19 16

Fábrica 3 18 15 18 20 X

¿Qué cantidad del producto se debe enviar desde cada fábrica a cada distribuidor para minimizar

los costos del transporte?

NOTA: La “X” significa que desde la fábrica 3 es imposible enviar unidades al distribuidor 5.



C 1 C 2 C 3 C4 C5

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 20 19 14 21 16

40

F 2 15 20 13 19 16 60

F 3 18 15 18 20 0 70

DEMANDA 30 40 50 40 60 170 220

Problema desbalanceado, por tal razón se procede aumentar una fábrica ficticia, para calcular

el costo inicial.

Costo inicial por el método de la esquina noroeste.


C 1 C 2 C 3 C4 C5

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

F 1 30 20 10 19 0 14 0 21 0 16 40

10

F 2 0 15 30 20 30 13 0 19 0 16 60

30

F 3 0 18 0 15 20 18 40 20 10 0 70

30 10

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 50 0

50

DEMANDA 30 40

30

50

20 40

60

50

220

220



𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 30(20) + 10(19) + 30(20) + 30(13) + 20(18) + 40(20) + 10(0) + 50(0) = 𝟐𝟗𝟒𝟎


20 19 12 14 -6

0 30 20 10 19 12 14 14 21 -6 16

1 21 15 30 20 30 13 15 19 -5 16

6 26 18 25 15 20 18 40 20 10 0

6 26 0 25 0 18 0 20 0 50 0

20 19 12 40 20

0 10 20 30 19 12 14 40 21 20 16

1 21 15 10 20 50 13 41 19 21 16

-20 0 18 -1 15 -8 18 40 20 30 0

-20 20 0 -1 0 -8 0 20 0 30 0

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #2 = 10(20) + 30(19) + 10(20) + 50(13) + 40(20) + 30(0) + 20(0) + 30(0) = 𝟐𝟒𝟐𝟎

20 19 12 20 0

0 10 20 30 19 12 14 20 21 0 16

1 21 15 10 20 50 13 21 19 1 16

0 20 18 19 15 12 18 10 20 60 0

-20 20 0 -1 0 -8 0 30 0 -20 0

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #3 = 10(20) + 30(19) + 10(20) + 50(13) + 20(10) + 60(0) + 20(0) + 30(0) = 𝟏𝟖𝟐𝟎

20 19 12 20 4

0 20 20 20 19 12 14 20 21 4 16

1 21 15 10 20 50 13 21 19 5 16

-4 16 18 10 15 8 18 16 20 60 0

-20 10 0 -1 0 -8 0 40 0 -16 0

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #4 = 20(20) + 20(19) + 10(20) + 10(15) + 50(13) + 60(0) + 10(0) + 40(0) = 𝟏𝟕𝟖𝟎

Nota: seleccionamos la casilla de menor valor (19)



20 19 18 20 4

0 10 20 30 19 18 14 20 21 4 16

-5 10 15 14 20 50 13 15 19 -1 16

-4 16 18 10 15 14 18 16 20 60 0

-20 10 0 -1 0 -2 0 40 0 -16 0

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #5 = 10(20) + 30(19) + 10(15) + 10(15) + 50(13) + 60(0) + 10(0) + 40(0) = 𝟏𝟕𝟐𝟎

16 19 14 16 4

0 16 20 30 19 10 14 16 21 4 16

-1 20 15 18 20 40 13 15 19 3 16

-4 12 18 10 15 10 18 12 20 60 0

-16 10 0 3 0 -2 0 40 0 -12 0

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #6 = 15(20) + 30(19) + 10(15) + 10(14) + 40(13) + 60(0) + 10(0) + 40(0) = 𝟏𝟔𝟖𝟎

16 19 14 19 4

0 16 20 20 19 20 14 19 21 4 16

-1 30 15 18 20 30 13 18 19 3 16

-4 12 18 10 15 10 18 15 20 60 0

-19 -3 0 10 0 -5 0 40 0 -15 0

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 20(19) + 20(14) + 10(15) + 30(13) + 20(14) + 40(0) + 10(0) + 60(0) = 𝟏𝟔𝟓𝟎



C 1 C 2 C 3 C4 C5

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

F 1 20 20 19 20 14 21 16

40

F 2 30 15 20 30 13 19 16

60

F 3 18 10 15 18 20 60 0

70

FF 0 10 0 0 40 0 0

50

DEMANDA 30 40 50 40 60 220

220



Interpretación:


Las fábrica 1 debe enviar al proveedor 2, 20 a un precio de 19 centavos y al proveedor

3, 20 a un precio de 14 centavos.

De la fábrica 2 debe enviar al proveedor 1, 30 a un precio de 15 centavos y al

proveedor 3, 30 a un precio de 13 centavos.

La fábrica 3 debe enviar al proveedor 2, 10 a un precio de 15 centavos y al proveedor

5, no se puede enviar nada, ya que esto es imposible, para obtener un costo mínimo

óptimo de 1650.


totales, se cuenta con tres (3) fábricas y cuatro (4) clientes, la producción de las fábricas

es de: 550, 300 y 260 unidades respectivamente, y las necesidades de los cuatro (4)

clientes son: 250, 300, 200, 160 unidades respectivamente. Los costos de enviar una (1)

unidad entre cada fábrica y los clientes se da a continuación:

CLIENTES OFERTA 1 2 3 4

FÁBRICAS A 8 3 4 5 550 B 7 6 5 2 300 C 2 4 3 3 260

DEMANDA 250 300 200 160


DESTINOS (Clientes)

OFERTA

C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 8 3 4 5 550

F 2 7 6 5 2 300

F 3 2 4 3 3 260

DEMANDA 250 300 200 160

910

1110

Problema desbalanceado, por tal razón se procede a aumentar un cliente ficticio, para

calcular el costo inicial.

Costo inicial por el método de la esquina noroeste.




C 1 C 2 C 3 C 4 C F

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 250 8 300 3 0 4 0 5 0 0 550

300

F 2 0 7 0 6 200 5 100 2 0 0 300

100

F 3 0 2 0 4 0 3 60 3 200 0 260

200

DEMANDA 250 300 200 160

60

200

1110

1110

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 250(8) + 300(3) + 200(5) + 100(2) + 60(3) + 200(0) = 𝟒𝟐𝟖𝟎

MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES.

-2 -7 -6 -9 -12

10 250 8 300 3 E 4 1 5 -2 0

11 9 7 4 6 200 5 100 2 -1 0

12 10 2 5 4 6 3 60 3 200 0

-2 -7 -6 -9 0

10 190 8 300 3 60 4 1 5 10 0

11 9 7 4 6 140 5 160 2 11 0

0 60 2 -7 4 -6 3 -9 3 200 0


-8 -7 -6 -9 -10

10 2 8 300 3 60 4 1 5 190 0

11 3 7 4 6 140 5 160 2 1 0

10 250 2 3 4 4 3 1 3 10 0


-8 -7 -6 -8 -10

10 2 8 300 3 200 4 2 5 50 0

10 2 7 3 6 4 5 160 2 140 0

10 250 2 3 4 4 3 2 3 10 0




-7 -7 -6 -8 -10

10 1 8 300 3 190 4 2 5 60 0

10 3 7 3 6 4 5 160 2 140 0

9 250 2 2 4 10 3 1 3 -1 0




C 1 C 2 C 3 C 4 C F

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1

8 300 3 190 4 5 60 0 550

F 2 7 6 5 160 2 140 0

300

F 3 250 2 4 10 3 3 0 260

DEMANDA 550 300 200 160 200 1110

1110

Interpretación:


De la fábrica 1 al cliente 2, 300 unidades a un precio de 3 dólares; de la misma fábrica

se debe enviar al cliente 3, 190 unidades a un precio de 4 dólares.

De la fábrica 2 debe enviarse 160 unidades a un precio de 2 dólares para el cliente 2.

Para el cliente 1 se debe enviar de la fábrica 3, 250 unidades a un precio de 2 dólares y

para el cliente 3 se deberá enviar 10 unidades a un precio de 3 dólares desde la misma

fábrica, para obtener un costo mínimo óptimo de $2510.

188. Resolver el problema anterior iniciando por el método del costo mínimo


C 1 C 2 C 3 C 4 C F

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1

50 8 300 3 200 4 0 5 0 0 550

250 50

F 2 140 7 0 6 0 5 160 2 0 0 300

140

F 3 60 2 0 4 0 3 0 3 200 0 260

60

DEMANDA 250

190 50 300 200 160 200

1110

1110

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 50(8) + 300(3) + 200(4) + 140(7) + 160(2) + 60(2) + 200(0) = 𝟑𝟓𝟐𝟎

El costo inicial iniciando por la celda X14 es 2650, y tendríamos solamente una ruta

para llegar al costo óptimo.



Método de los multiplicadores para llegar al mínimo costo.

-2 -7 -6 -7 -4

10 50 8 300 3 200 4 3 5 6 0

9 140 7 2 6 3 5 160 2 5 0

4 60 2 -3 4 -2 3 -3 3 200 0


-2 -7 -6 -2 -4

10 50 8 300 3 200 4 8 5 6 0

4 2 7 -3 6 -2 5 160 2 140 0

4 200 2 -3 4 -2 3 2 3 60 0


-8 -7 -6 -8 -10

10 2 8 300 3 200 4 2 5 50 0

10 2 7 3 6 4 5 160 2 140 0

10 250 2 3 4 4 3 2 3 10 0


-7 -7 -6 -8 -10

10 3 8 300 3 190 4 2 5 60 0

10 3 7 3 6 4 5 160 2 140 0

9 250 2 2 4 10 3 1 3 -1 0

Costo mínimo óptimo = 2510 TABLA FINAL DE TRANSPORTE


C 1 C 2 C 3 C 4 C F

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

F 1 8 300 3 190 4 5 60 0

550

F 2 7 6 5 160 2 140 0

300

F 3 250 2 4 10 3 3 0

260

DEMANDA 550 300 200 160 200

1110

1110



Interpretación:


De la fábrica 1 al cliente 2, 300 unidades a un precio de 3 dólares; de la misma fábrica

se debe enviar al cliente 3,190 unidades a un precio de 4 dólares.

De la fábrica 2 debe enviarse 160 unidades a un precio de 2 dólares para el cliente 2.

Para el cliente 1 se debe enviar de la fábrica 3, 250 unidades a un precio de 2 dólares y

para el cliente 3 se deberá enviar 10 unidades a un precio de 3 dólares desde la misma

fábrica, para obtener un costo mínimo óptimo de $2510.


totales. Para lo cual en la siguiente tabla se muestran los costos unitarios, la oferta y

demanda:

CLIENTES OFERTA

1 2 3 4 5

FÁBRICAS

A 21 12 28 17 9 50 B 15 13 20 - 12 60 C 18 17 22 10 8 40 D - 2 10 5 - 70 F 33 29 35 27 23 30

DEMANDA 40 30 50 60 50

La tabla de costos, demandas y ofertas queda de la siguiente manera:


FÁBRICAS A 21 12 28 17 9 50 B 15 13 20 40 12 60 C 18 17 22 10 8 40 D 40 2 10 5 40 70 F 33 29 35 27 23 30

DEMANDA 40 30 50 60 50

El problema se resuelve sin ninguna dificultad como los ejercicios anteriores.

Recuerda:

No existen costos de envío en tres casilleros, este será llenado con el

costo más alto de la matriz aproximando su valor, ya sea terminado en

cero o cinco; si por casualidad el costo más alto termina en uno de estos

dos dígitos, es aconsejable sumarle cinco. En este caso el costo unitario

más alto es (35), coincide con lo anteriormente estudiado, entonces

sumamos (5), quedando el costo de (40).

CAPÍTULO III Modelos de Transporte Modelos de Asignación


3.8. MODELOS DE ASIGNACIÓN

Definición:

Hadley, (1963) nos explica que un modelo de asignación es un método que se deriva del modelo

de transporte y sirve para calcular los tiempos que se demora una persona en realizar cualquier

trabajo, para su asignación y resolución se utiliza el método HÚNGARO, en cualquier giro de

negocio será necesario repartir tareas, que para ello se debe contar con un procedimiento que

permita realizar de manera adecuada en donde se debe minimizar costos o tiempos y maximizar

ganancias.

Siguiendo el mismo orden de pensamiento Thierauf & Grosse (1977) enfatizan que, para que

este procedimiento funcione debe haber igual número de tareas que de elementos a quienes

realizar la asignación, así como contar con el costo o tiempo que tomará en la relación existente.

Características:

El problema de asignación presenta las siguientes características:

Un elemento importante para el problema de asignación es la matriz de costos, si el

número de renglones o columnas no son iguales el problema está desbalanceado y se

puede obtener una solución incorrecta, para obtener una solución correcta la matriz

debe ser cuadrada.

Si el número de agentes y tareas son iguales y el coste total de la asignación para todas

las tareas es igual a la suma de los costes de cada agente (o la suma de los costes de

cada tarea, que es lo mismo en este caso), entonces el problema es llamado problema de

asignación lineal. Normalmente, cuando hablamos de problema de asignación sin

ninguna matización adicional, nos referimos al problema de asignación lineal.

MÉTODO HÚNGARO

Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más eficaz que el

empleado para resolver el problema de transporte por el alto grado de degeneración que pueden

presentar los problemas de asignación. A continuación los pasos a seguir:

1. Se debe construir una matriz en donde las tareas estén al inicio de las filas (renglones),

y a quienes se le va asignar al inicio de las columnas. El número de filas tiene que ser

igual al número de columnas; caso contrario se procede a aumentar una fila ficticia o

columna ficticia con un valor de cero (0).

2. Para la matriz del costo original, identificar el mínimo de cada fila y restarlo de todos

los elementos de dicha fila.

3. Usando el resultado del paso anterior identificar el mínimo de cada columna y restar a

todos los elementos de la misma.

4. La asignación óptima serán aquellos ceros de la matriz resultante.

Si no es posible obtener una asignación factible se debe hacer lo siguiente:

CAPÍTULO III Modelos de Transporte


a) Cubrir todos los ceros (0) en la matriz revisada de costos con el menor número

de líneas horizontales y verticales que sea posible. Cada línea horizontal debe

pasar por toda la fila y cada línea vertical debe pasar por toda la columna.

b) Localice el número menor que no esté cubierto con una línea en la matriz de

costos. Reste el valor de este número a cada elemento no cubierto con una línea,

los valores cubiertos por la las líneas quedan idénticos tal como están, excepto

las intersecciones de las dos líneas que hay que sumar dicho número.

c) Si no es posible encontrar una asignación factible regresar al paso número 2.

Hasta cuando se cumpla la siguiente igualdad:

3.8.1. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN, MINIMIZACIÓN

190. Se desea asignar depósitos para abastecer cada una de las localidades, para ello

se dispone la siguiente tabla de distancias (km), encontrar la asignación de cada

depósito a cada localidad, utilizando el Método Húngaro (con la menor distancia

posible).

LOCALIDADES

𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑳𝟑 𝑳𝟒

DE

PÓ

SIT

OS

𝑫𝟏 230 200 210 240

𝑫𝟐 190 210 200 200

𝑫𝟑 200 180 240 220

𝑫𝟒 220 180 210 230

Se identifica el valor mínimo de cada fila:

LOCALIDADES 𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑳𝟑 𝑳𝟒

DE

PÓSI

TO

S

𝑫𝟏 230 200 210 240 200 𝑫𝟐 190 210 200 200 190 𝑫𝟑 200 180 240 220 180 𝑫𝟒 220 180 210 230 180

Se resta dicho valor para cada fila y luego se identifica el valor mínimo de cada columna:

30 0 10 40

0 20 10 10

20 0 60 40

40 0 30 50

0

0

10

10

(Número de líneas horizontales + Número de líneas verticales) = Número de filas.

Se selecciona el valor

mínimo de cada fila

Se selecciona el valor

mínimo de cada

columna.

Modelos de Asignación



Opción 1

Opción 2

Se trazan líneas horizontales y verticales cubriendo el mayor número de ceros con el menor

número de líneas horizontales y verticales. En donde se tiene dos opciones de trazar las líneas

por cualquiera de los dos caminos llegamos a la misma respuesta.

30 0 0 30

0 20 0 0 20 0 50 30

40 0 20 40

𝟑 𝒍í𝒏𝒆𝒂𝒔 < 𝟒 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔, como no se cumple la igualdad buscamos el menor valor que no estén en

las líneas (20), sumamos en las intersecciones, restamos al resto excepto a los valores que están

cubiertas por las líneas.

30 20 0 30

0 40 0 0 0 0 30 10

20 0 0 20

𝟒 = 𝟒, se cumple la igualdad por lo tanto el proceso se ha terminado y podemos hacer la

asignación. Se inicia la asignación por la fila que solo tenga un cero, en este caso (fila 1), luego

tendría que irme a la fila 4, ya que la columna 3 ya está asignada, quedando la columna 2 para

asignar, luego asignamos a la fila 3, obligatoriamente la columna 1 porque la columna 2 ya está

asignada y por último la fila 2.

TABLA FINAL DE ASIGNACIÓN

LOCALIZACIONES

𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑳𝟑 𝑳𝟒

DE

PÓSI

TO

S

𝑫𝟏 210

𝑫𝟐 200

𝑫𝟑 200

𝑫𝟒 180

30 0 0 30

0 20 0 0 20 0 50 30

40 0 20 40

20




Solución:

DEPÓSITOS LOCALIDADES

𝑫𝟏

→

𝐿3 (210)

𝑫𝟐

→

𝐿2 (200)

𝑫𝟑

→

𝐿1 (200)

𝑫𝟒

→

𝐿4 (180)

𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟕𝟗𝟎

30 0 0 30

0 20 0 0 20 0 50 30

40 0 20 40

3 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 < 4 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠

10 0 0 10

0 40 20 0 0 0 50 10

20 0 20 20

4 = 4


LOCALIZACIONES 𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑳𝟑 𝑳𝟒

DE

PÓSI

TO

S

𝑫𝟏 210

𝑫𝟐 200

𝑫𝟑 200

𝑫𝟒 180

Cálculo de la asignación mínima Interpretación:

El Depósito 1 debe asignar a la localidad 3

= 210 Km.


= 200 Km.


= 200 Km.


= 180 Km

La menor distancia de todas las asignaciones es: 210+200+200+180 =

790Km

20




Solución:

191. Se desea asignar una de las cinco tareas a cada uno de los cinco empleados

utilizando el menor tiempo posible para finalizarlas, recordamos que el tiempo de

trabajo se traduce en dinero, pero cada uno utiliza diferentes tiempos para resolverlo,

estos tiempos se representan en la siguiente tabla, tiempo en horas.

TAREAS 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 E

EM

PLE

AD

OS

𝟏 3 8 2 10 3

𝟐 8 7 2 9 7

𝟑 6 4 2 7 5

𝟒 8 4 2 3 5

5 9 10 6 9 10

TABLA INICIAL


EM

PLE

AD

OS

𝟏 3 8 2 10 3 2 𝟐 8 7 2 9 7 2 𝟑 6 4 2 7 5 2 𝟒 8 4 2 3 5 2 5 9 10 6 9 10 6

1 6 0 8 1

6 5 0 7 5

4 2 0 5 3

6 2 0 1 3

3 4 0 3 4

1

2

0

1

1

DEPÓSITOS LOCALIDADES

𝑫𝟏

→

𝐿3 (210)

𝑫𝟐

→

𝐿2 (200)

𝑫𝟑

→

𝐿1 (200)

𝑫𝟒

→

𝐿4 (180)

𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟕𝟗𝟎




0 4 0 7 0 5 3 0 6 4

3 0 0 4 2

5 0 0 0 2

2 2 0 2 3

4 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑠 < 5

0 4 2 7 0 3 1 0 4 2

3 0 2 4 2

5 0 2 0 2

0 0 0 0 1

5 = 5



EM

PLE

AD

OS

𝟏 3

𝟐 2

𝟑 4

𝟒 3

5 9

Solución:

EMPLEADOS TAREAS

𝑬𝟏

→

𝐸 (3)

𝑬𝟐

→

𝐶 (2)

𝑬𝟑

→

𝐵 (4)

𝑬𝟒

→

𝐷 (3)

𝑬𝟓

→

𝐴 (9)

𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟐𝟏

2

Cálculo de la asignación mínima

El empleado 1, debe realizar la tarea E

= 3 horas.

El empleado 2, debe realizar la tarea C

= 2 horas.

El empleado 3, debe realizar la tarea B

= 4 horas.

El empleado 4, debe realizar la tarea

D = 3 horas.

El empleado 5, debe realizar la tarea E

= 9 horas.

La menor tiempo de todas las asignaciones es: 3+2+4+3+9=

21horas




192. Resolver el problema de asignación de la empresa Parmalat en donde se tiene 4

jefes de proyecto disponibles asignarlos a tres clientes. Lo tiempos son estimados de la

terminación de los proyectos, están dados en días y son los siguientes.

CLIENTES

1 2 3

JEFE

S

A 10 15 19

B 9 18 5

C 6 14 3

D 8 16 6

TABLA INICIAL

CLIENTES

1 2 3 4

JEFE

S

A 10 15 19 0

B 9 18 5 0

C 6 14 3 0

D 8 16 6 0

6

14

3

0

4 1 16 0 3 4 2 0 0 0 0 0 2 2 3 0

2 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 < 4

3 0 15 0 2 3 1 0 0 0 0 1

1 1 2 0


3 0 15 1

1 2 0 0 0 0 0 2

0 0 1 0

4 = 4

Se aumenta una columna

ficticia, para igualar a las

filas y proceder a resolver.

1

1





CLIENTES

1 2 3 4

JEFE

S

A 15

B 0

C 3

D 8

Solución:

JEFES CLIENTES

A

→

𝐶2 (15)

B

→

𝐶3 (3)

C

→

𝐶𝑓 (0)

D

→

𝐶1 (8)

𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 26

193. Una empresa de transportes tiene cuatro diferentes modelos de camiones.

Dependiendo de la pericia del conductor para manejar los cambios de la caja de

velocidades, el camión consume más o menos combustible. En la actualidad, la planta

cuenta con tres conductores. Los costos por uso adicional de combustible se muestran

en la siguiente tabla:

Hallar la asignación que minimiza los costos de combustible adicional.

TABLA INICIAL

CAMIONES 1 2 3 4

CO

ND

UC

TO

R

A 180 150 200 200 𝟏𝟓𝟎 B 250 305 450 500 𝟐𝟓𝟎 C 200 208 320 100 𝟏𝟎𝟎

D

0

0

0

0

𝟎

Camión 1 Camión 2 Camión 3 Camión 4 Conductor 1 $ 180 $ 150 $ 200 $ 200

Conductor 2 $ 250 $ 305 $ 450 $ 500

Conductor 3 $ 200 $ 208 $ 320 $ 100

MUCHO OJO Cálculo de la asignación

minimización Para la interpretación de este

problema no tomamos en cuenta el

cliente ficticio (4) que se aumentó.

El tiempo mínimo del proyecto es: 15+3+8= 26 días

Se aumenta una fila

ficticia, para igualar a

las filas y proceder a

resolver.




30 0 50 50

0 55 200 250

100 108 220 0 0 0 0 0

4 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 = 4


CAMIONES 1 2 3 4

CO

ND

UC

TO

R

A 150

B 250

C 100

D 0

Solución:

CONDUCTOR CAMIONES

A

→

𝐶2 (150)

B

→

𝐶1 (250)

C

→

𝐶4 (100)

D

→

𝐶𝑓 (0)

𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 500

3.8.2. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN MAXIMIZACIÓN

Para resolver los problemas de asignación mediante maximización, se escoge el valor “mayor” de toda la tabla. Dicho valor se resta con respecto de todos los valores, una vez obtenido los

nuevos valores de la tabla se procede a resolver con los pasos anteriormente ya estudiados.

194. La empresa Coca-Cola S.A. tiene 4 territorios de ventas, y se debe asignar un

representante de ventas a cada uno de ellos. De acuerdo a su experiencia, el gerente de

ventas de la empresa ha estimado el volumen de ventas para cada representante en cada

territorio. Encontrar las asignaciones del representante de ventas y territorios que

maximicen las ventas (los datos dados son en dólares).

Mucho Ojo

Para la interpretación de

este problema no

tomamos en cuenta el

conductor ficticio (D) que

se aumentó.

Por tal razón el costo

mínimo de trasporte es:

150+250+100 = $ 500




REPRESENTANTE DE VENTAS

𝑨 𝑩 𝑪 𝑫

TE

RR

ITO

RIO

D

E V

EN

TA

S

QUITO 44 80 52 60

GUAYAQUIL 60 56 40 72

CUENCA 36 60 48 48

AMBATO 52 76 56 40

TABLA INICIAL

REPRESENTANTE DE VENTAS 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫

Ter

rito

rio

QUITO 36 0 28 20 0 GUAYAQUIL 20 24 40 8 8

CUENCA 44 20 32 32 20 AMBATO 28 4 24 40 4

36 0 28 20

12 16 32 0

24 0 12 12

24 0 20 36

12

0

12

0

24 0 16 20

0 16 20 0

12 0 0 12

12 0 8 36


16 0 8 12

0 24 20 0

12 8 0 12

0 0 8 28

4 = 4

TERRITORIO DE VENTAS

REPRESENTANTE DE VENTAS

Quito

→

𝐵 (80)

Guayaquil

→

𝐶 (48)

Cuenca

→

𝐷 (72)

Ambato

→

𝐴 (52)

𝑍(𝑚𝑎𝑥) = $ 252

El valor mayor de la tabla es

80, dicho dato restamos a

toda la tabla. Con la nueva

tabla continuamos con los

pasos anteriormente

mencionados, como el caso

de asignación minimización.

8

Maximización Las asignaciones para que

se maximice las

ganancias son:

80+48+72+52= $252




195. Una organización de recolección de café cuenta con tres equipos de siembra y

cosecha del mismo (equipo 1, 2, 3). Estos equipos de trabajo se encuentran entrenados

para laborar en condiciones particulares del proceso, condiciones como lo son el tipo de

suelo, las condiciones de clima y el tipo de grano. La organización cuenta con cuatro

terrenos disponibles para efectuar el proceso de siembra y cosecha (terrenos A, B, C,

D), estos terrenos tienen condiciones particulares de suelo, clima y tipo de grano. Cada

equipo cuenta con la capacidad de efectuar el proceso en solo uno de los terrenos

disponibles, salvo el equipo 2, que cuenta con una serie de herramientas tecnológicas

que le permiten realizar la siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos

disponibles. Realizar las asignaciones precisas que maximicen la cantidad de sacos de

café cosechados en total. El siguiente tabulado muestra la capacidad (en cientos de

sacos) de cosecha de café de cada uno de los equipos dependiendo de cada uno de los

terrenos.

TERRENOS

A B C D

EQ

UIP

OS

1 13 7 12 12

2 10 13 15 7

3 13 10 8 7

TABLA INICIAL

TERRENOS

A B C D

EQ

UIP

OS

1 13 7 12 12

2a 10 13 15 7

2b 10 13 15 7

3 13 10 8 7

𝟐 𝟖 𝟑 𝟑 2 𝟓 2 0 8 0 𝟓 2 0 8 0 𝟐 5 7 8 2

PROBLEMA NO BALANCEADO:

El problema indica que uno de los equipos se encuentra en la

capacidad de que se le asigne 2 terrenos, en este caso creamos un

equipo 2 alterno (equipo 2b) el cual nos balanceará la tabla,

además la fila creada (2b) tendrá los mismos valores de la (2a)

Valor mayor

15

El valor 15 se resta a toda la tabla, luego se procede a

resolver como los problemas de asignación minimización.




0 4 1 0 5 0 0 7

5 0 0 7

2 3 7 7


0 4 1 0 5 0 0 7

5 0 0 7

0 1 5 5

4 = 4


TERRENOS

A B C D

EQ

UIP

OS

1 12

2a 13

2b 15

3 13

Solución:

EQUIPOS TERRENOS

1

→

𝐶𝐷 (12)

2ª

→

𝐶𝐵 (13)

2b

→

𝐶𝐶 (15)

3

→

𝐶𝐴 (13)

𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟓𝟑

196. Un corredor de bienes raíces, planea la venta de 5 lotes de terreno y ha recibido

ofertas individuales de cuatro clientes. Debido a la cantidad de capital que se requiere,

estas ofertas se han hecho en el entendimiento de que ninguno de los cuatro clientes

comprará más de un lote. El corredor de bienes raíces quiere maximizar su ingreso total

𝟎 𝟔 𝟏 𝟏

𝟓 2 𝟎 8

𝟓 2 𝟎 8

𝟐 5 7 8

0

2

0

1

2

Cálculo de la asignación maximización

Las asignaciones precisas que

maximicen la cantidad de sacos

de café cosechados en total, y

considerando que el equipo 2

trabaja el doble tenemos: 12+13+15+13= 53 cientos de sacos




a partir de esas ofertas. Resuelva este problema mediante el método Húngaro. Las

ofertas se muestran en la siguiente tabla:

Nota: dichas ofertas en la tabla fueron restadas de un valor de oferta máximo.

LOTES 1 2 3 4 5

CO

MPR

AD

OR

ES

A 16 15 25 19 20

B 19 17 24 15 25

C 15 15 18 0 16

D 19 0 15 17 18

TABLA INICIAL

LOTES 1 2 3 4 5

CO

MPR

AD

OR

ES

A 16 15 25 19 20 15 B 19 17 24 15 25 15 C 15 15 18 0 16 0 D 19 0 15 17 18 0 FF 0 0 0 0 0 0

1 0 10 4 5

4 2 9 0 10

15 15 18 0 16

19 0 15 17 18

0 0 0 0 0


0 0 9 4 4

3 2 8 0 9

14 15 17 0 15

18 0 14 17 17

0 1 0 1 0

PROBLEMA NO BALANCEADO:

Aumentamos una fila ficticia, para igualar con

las columnas y resolver el problema.

1

3





0 3 9 7 4

0 2 5 0 6

11 15 14 0 12

15 0 11 17 14

0 4 0 4 0


0 3 5 7 0

0 2 1 0 2

11 15 10 0 8

15 0 7 17 10

4 8 0 8 0

5 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 = 5


LOTES

1 2 3 4 5

CO

MPR

AD

OR

ES

A 20

B 19

C 0

D 0

FF 0

Solución:

COMPRADORES LOTES

A

→

5 (20)

B

→

1 (19)

C

→

4 (0)

D

→

2 (0)

FF

→

3 (0)

𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 39

4

Se creó un comprador ficticio por lo

que no se toma en cuenta para el

análisis.

El corredor de bienes raíces para

maximizar su ingreso total a partir de

esas ofertas es:

20+19 = 39 unidades monetarias

Cálculo de la asignación maximización


CAPÍTULO III Modelos de Transporte Problemas propuestos


3.9. PROBLEMAS PROPUESTOS DE TRANSPORTE

3.9.1. PROBLEMAS BALANCEADOS

197. Tres refinerías con capacidades diarias máximas de 6, 5 y 8 millones de galones

de gasolina reparten a tres áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7

millones de galones del combustible. La gasolina se transporta a las tres áreas de

distribución a través de una red de tubería. El costo de transporte se calcula con base a

la longitud de la tubería aproximadamente a 1 centavo por 100 galones por milla

recorrida. La tabla de distancia que aquí se resume muestra que la refinería 1 no está

conectada al área de distribución 3. Calcular el costo mínimo de envío.

Área Dist. 1 Área Dist. 2 Área Dist.3

Refinería 1 120 180 -

Refinería 2 300 100 80

Refinería 3 200 250 120

198. Una compañía tiene tres plantas que fabrican carriolas de bebé que deben

mandarse a cuatro centros de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11

cargas mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 10

cargas al mes. La distancia desde cada planta a los respectivos centros de distribución es

la siguiente. Calcular el costo mínimo de envío.


Proveedor 1 800 1300 400 700

Proveedor 2 1100 1400 600 1000

Proveedor 3 600 1200 800 900

199. Suponga que Inglaterra, Francia y España producen todo el trigo, cebada y

avena en el mundo. La demanda mundial de trigo requiere que se dediquen 125

millones de acres a la producción de este cereal. De igual manera, se necesitan 60

millones de acres para cebada y 75 millones de acres para avena. La cantidad total de

tierra disponible en Inglaterra, Francia y España es 70, 110 y 80 millones de acres. El

número de horas de mano de obra necesarias para producir un acre de trigo, en los

respectivos países, es 18, 13 y 16 horas. La producción de un acre de cebada requiere

15, 12 y 12 horas de mano de obra y la producción de un acre de avena requiere 12, 10

y 16 horas de mano de obra en Inglaterra, Francia y España. El costo de mano de obra

por hora en cada país es: $ 9.00, $ 7.20 y $ 9.90 para la producción de trigo, $ 8.10, $

9.00 y $ 8.40 para la de cebada y $ 6.90, $ 7.50 y $ 6.30 para la de avena. El problema

es asignar la tierra en cada país de manera que se cumpla con los requerimientos de

alimentación en el mundo y se minimice el costo total de mano de obra.



Cebada Trigo Avena

Inglaterra 15x8.10 18x9.00 12x6.90

Francia 12x9.00 13x7.20 10x7.50

España 12x8.40 16x9.90 16x6.30

200. Una empresa que fabrica un solo producto tiene tres plantas y cuatro clientes.

Las plantas respectivas podrán producir 60, 80 y 40 unidades, durante el siguiente

período. La empresa se ha comprometido a vender 40 unidades al cliente 1, 60 unidades

al cliente 2 y por lo menos 20 unidades al cliente 3. Tanto el cliente 3 como el 4 desean

comprar tantas unidades como sea posible de las restantes. La utilidad neta asociada con

el envío de una utilidad de la planta i al cliente j está dada en la tabla:


Planta 1 $800 $700 $500 $200

Planta 2 $500 $200 $100 $300

Planta 3 $600 $400 $300 $500

El gerente desea saber cuántas unidades debe vender a los clientes 3 y 4, y cuantas

unidades conviene mandar de cada planta a cada cliente, para minimizar los costos.

201. Los Cost-Less Corp. surte sus cuatro tiendas desde sus cuatro plantas. El

costo de envío de cada planta a cada tienda se da en la siguiente tabla:

Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4

Planta 1 $500 $600 $400 $200

Planta 2 $200 $900 $100 $300

Planta 3 $300 $400 $200 $100

Planta 4 $200 $100 $300 $200

Las plantas respectivas 1, 2, 3 y 4 realizan 10, 20, 20 y 10 envíos al mes. Las tiendas 1,

2, 3 y 4 deben recibir 20, 10 10 y 20 envíos por mes. El gerente de distribución, desea

determinar el mejor plan de cuántos envíos mandar de cada planta a cada tienda cada

mes. El objetivo del gerente es minimizar el costo total de envío. Utilizar el método de

esquina noroeste.

202. Uno de los productos más importantes de la PT Company son los frijoles

enlatados. Los frijoles se preparan en tres enlatadoras y después se mandan por camión

a cuatro almacenes de distribución en el Oeste de USA. Debido a que los costos de

embarque constituyen un gasto importante, la gerencia ha iniciado un estudio para

reducirlos lo más que se pueda. Se ha hecho una estimación de la producción de cada

enlatadora para la próxima temporada y se ha asignado a cada almacén una cierta

cantidad de la producción total de frijoles. En la tabla que se muestra a continuación se

observa esta información (en unidades de carga camión), junto con el costo de

transporte por camión cargado para cada combinación de enlatadora-almacén. Como se

ve, hay un total de 300 cargas de camión que se deben transportar. El problema es



determinar el plan de asignación de estos embarques a las distintas combinaciones de

enlatadora-almacén. Minimice el costo total de transporte.

Almacén Producción

1 2 3 4

Enlatadora 1 464 513 654 867 75

2 352 416 690 791 125

3 995 682 388 685 100

Asignación 80 65 70 85


requiere cierta mercancía para cada uno de sus almacenes. Las Empresas abastecedoras



mercancía: En base a los costos del transporte por unidad, a los requerimientos de los

almacenes y a la disponibilidad de las fábricas, que se muestra en el siguiente cuadro;

formule el problema de programación lineal que minimice los costos totales del

transporte y resuélvalo.

Almacén Disponibilidad

1 2 3 4 5

Fábricas 1 10 20 40 30 50 1000

2 20 30 50 40 10 1000

3 30 40 10 50 20 1500

Requerimientos 1000 800 600 800 300

204. Una compañía tiene un programa de embarque. La empresa tiene 3 fábricas y 4

bodegas. A continuación se dan los datos necesarios en términos de costo del transporte,

capacidad de cada fábrica y los requerimientos de cada bodega. Busque un programa

óptimo de embarque de tal manera que los costos sean mínimos.

Bodegas Disponibilidad

1 2 3 4

Fábricas A 10 16 14 12 1600

B 8 14 16 14 1200

C 16 8 12 12 600

Requerimientos 1600 400 400 1000

205. Se tiene que distribuir un producto desde tres fábricas (A, B, C) hasta cinco

almacenes (D, E, F, G, H); la siguiente tabla muestra: costos, demandas y ofertas.



Almacén Oferta

D E F G H

Fábricas A 42 42 44 40 44 19

B 34 42 40 46 48 28

C 46 44 42 48 46 25

Demanda 11 13 7 17 24

¿Qué cantidad de producto se debe enviar de cada fábrica a cada almacén, si se quiere

minimizar los costos?

206. Se envían automóviles en camión desde 3 centros de distribución a 5

distribuidores. El costo de envío está basado en la distancia recorrida entre las fuentes y

destinos. El costo es independiente de si el camión hace el recorrido con una carga

parcial o completa. La tabla que sigue, hace un resumen de las distancias a recorrer

entre los centros de distribución y los distribuidores y también las cifras mensuales de

oferta y demanda calculadas en número de automóviles. Cada camión puede transportar

un máximo de 18 vehículos. Dado que el costo de transporte por kilómetro recorrido es

de $10. Formule el problema como un modelo de transporte, resuélvalo e interprete la

solución.

DISTRIBUIDORES OFERTA

1 2 3 4 5 CENTROS

DE

DISTRIBUCIÓN

1 100 150 200 140 35 400

2 50 70 60 65 80 200

3 40 90 100 150 130 150

DEMANDA 100 200 150 160 140

207. MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus

centros de distribución principales son: Denver y Miami. Las capacidades de las plantas

durante el trimestre próximo son: 1000, 1500, y 1200 automóviles. Las demandas

trimestrales en los dos centros de distribución son de 2300 y 1400 vehículos. El costo

del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las

distancias recorridas entre las plantas y los centros de distribución son:

Denver Miami

Los Ángeles 1000 2690

Detroit 1250 1350

Nueva Orleans 1275 850

Esto produce un costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce

los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a 𝐶𝑖𝑗 del modelo original.

Denver Miami

Los Ángeles 80 215

Detroit 100 108

Nueva Orleans 102 68



Calcular el costo que minimice el transporte de los vehículos de las plantas a los centros

de distribución.


requiere cierta mercancía para cada uno de sus almacenes. Las empresas abastecedoras



mercancía. En base a los costos del transporte por unidad, a los requerimientos de los

almacenes y a la disponibilidad de las fábricas, que se muestra en el siguiente cuadro.

Formule el problema de programación lineal que minimice los costos totales del

transporte y resuélvalo.

ALMACENES

Disponibilidad FÁBRICAS 1 2 3 4 5

1 10 20 40 30 50 1000

2 20 30 50 40 10 1000

3 30 40 10 50 20 1500

Requerimientos 1.000 800 600 800 300 3500

209. Tres tortillerías abren a las 7:00 AM y transcurrido un tiempo a las 8:00 AM ya

tienen disponibles para suministrar 50 Kg de tortillas, distribuido de la siguiente

manera: “Alexo 1” tiene 20 Kg, “Alexo 2” tiene 15 Kg y la “Alex” tiene 15. Si el dueño

de las tortillerías recibe 4 propuestas de restaurantes que quieren las tortillas a más

tardar a las 8:20, por lo cual los pedidos se ven forzados a surtir con los primeros kilos

que salen a las 8:00. Los costos de transporte y los kilos que requiere cada restaurante,

están en las siguientes tablas. Calcular el costo mínimo.

Kilos requeridos por los restaurantes

Fonda Lucia 15 Kg

Restaurante el Kiosko 20 Kg

Pozoleria Alma 20 Kg

Mariscos Murria 15 Kg

Costos de transporte en pesos

Lucia El Kiosko Alma Murria

Alexo 1 2 4 7 8

Alexo 2 6 3 2 5

Alex 2 3 1 2

210. La compañía Bimbo elabora un tipo de pan especial en dos de sus plantas en

Acapulco, debido a las diferencias de maquinaria y equipo en cada planta existe un

costo distinto de producción. La siguiente tabla muestra las plantas y sus tasas de

producción:



Planta Producción

en Cajas Costo de Producción/Caja

Planta Sabana 40 20

Planta Pie de la Cuesta 50 91

Tres Hoteles están interesados en el pan, y sus respectivos precios que desean pagar son

las siguientes:

Hotel Demanda Precios a pagar/Caja

Parador del Sol 20 30

Hotel calidad 40 25

Fiesta Americana 30 35

El costo (en pesos) de enviar una caja de pan de la planta a los diferentes hoteles es el

siguiente:

Parador del

Sol

Hotel calidad Fiesta Americana

Planta Sabana 8 4 3

Planta Pie de la Cuesta 2 6 8

Determine un programa de entregas para Bimbo, de tal manera que minimice el costo

total en este pan.

211. Una empresa de camiones envía camiones cargados de grano desde tres silos a

cuatro molinos. La oferta (en camiones cargados) y la demanda (también en camiones

cargados), junto con los costes de transporte por carga de camión en las diferentes rutas

se resumen en el modelo de transporte siguiente. Los costos de transporte por unidad,

cij, son en cientos de dólares. Encontrar su costo.

MOLINOS

(Clientes) OFERTA C 1 C 2 C 3 C4

FUE

NT

ES

(SIL

OS)

F 1 10 2 20 11 15

F 2 12 7 9 20 25

F3 4 14 16 18 10

DEMANDA 5 15 15 15

212. Tres centros de distribución envían automóviles a cinco distribuidores. El costo

del envío se basa en el millaje entre los puntos de origen y los puntos de destino y es

independiente si el camión hace el viaje con cargas parciales o totales. La tabla 5

resume el millaje entre los centros de distribución y los distribuidores, junto con las

cifras mensuales de oferta y demanda dadas por el número de automóviles. El costo del

transporte por milla de camión es de 25 dólares. Formule el problema de trasporte

asociado.



Distribuidor

Centro

1 2 3 4 5 Oferta 1 100 150 200 140 35 400

2 50 70 60 65 80 200

3 40 90 100 150 130 150

Demanda 100 200 150 160 140

213. Tres empresas suministran ordenadores a cuatro detallistas. La cantidad de

demanda semanal de los cuatro detallistas es de 150, 150, 400 y 100 ordenadores,

respectivamente. La oferta de las tres empresas está dictada por la mano de obra regular

disponible y se calcula en 250, 300 y 250 unidades a la semana. El costo en dólares del

transporte por unidad viene detallado en la siguiente tabla. Determinar el costo mínimo

de envío.

Detallistas

Proveedores

1 2 3 4 1 10 20 30 20

2 20 40 10 20

3 10 30 50 30

214. Un fabricante de chips tiene que planificar la producción para los próximos tres

meses de tres diferentes chips (A, B, C). Los costes de producción por chip son de A, 6

céntimos en los primeros meses y de 9 céntimos en el tercero; de B, 8 los dos primeros

y 11 el último mes; y de C, 6 céntimos los dos primeros meses y 8 el ultimo. El

departamento de marketing ha llevado a cabo un estudio estimado que la demanda en

los tres meses será de 300, 400 y 500 unidades, respectivamente. La fábrica puede

producir 400 unidades de cada tipo de chip. ¿Cómo se puede optimizar la distribución

de la fabricación de los chips en estos tres meses?

215. Un fabricante de automóviles puede comprar neumáticos a tres proveedores y

su objetivo es minimizar el coste total de la compra. Los proveedores disponen, en

miles de unidades, de: 6, 2 y 2 respectivamente. El fabricante necesita neumáticos en

tres plantas de producción que requieren en miles de unidades de: 5, 3 y 2

respectivamente. El precio en cientos de euros por cada unidad entregada en cada planta

es como sigue. Encuentre la solución óptima.

LOCALIDAD

PROVEEDOR

1 2 3

1 1 8 9

2 4 2 5

3 2 3 1

216. Una empresa de componentes informáticos puede comprar discos duros a tres

proveedores y su objetivo es minimizar el coste total de la compra. Los proveedores

disponen de 1000, 3000 y 1000 discos respectivamente. La empresa necesita los discos

en tres cadenas de montaje situadas en tres localidades distintas. Dichas cadenas



requieren 1500, 1000 y 2500 discos respectivamente. Los precios, en cientos de dólares,

por cada disco entregado a cada cadena son como siguen. Calcular la solución óptima.

Cadena 1 Cadena 2 Cadena 3

Proveedor 1 4 7 2

Proveedor 2 3 5 2

Proveedor 3 9 11 10

217. Una compañía fabrica estufas y hornos. La compañía tiene tres almacenes y dos

tiendas de venta al detalle. En los tres almacenes se dispone, respectivamente, de: 60, 80

y 50 estufas, y de 80, 50 y 50 hornos. En las tiendas de detalle se requieren,

respectivamente, 100 y 90 estufas, y 60 y 120 hornos. En la siguiente tabla se dan los

costos de envío por unidad, de los almacenes a las tiendas de detalle, los cuales se

aplican tanto a estufas como a hornos.

Cadena 1 Cadena 2

Almacén 1 3 5

Almacén 2 2 3

Almacén 3 6 3

Encontrar las soluciones factibles óptimas para estos problemas de transporte.

218. Tres refinerías, con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones,

respectivamente, abastecen a tres áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7

millones de galones, en su orden. La gasolina se transporta a las tres áreas de

distribución a través de una red de ductos. El costo del transporte es de 10 centavos de

dólar por cada 1000 galones por milla de ducto. La tabla 3 proporciona el millaje entre

las tres refinerías y las áreas de distribución. La refinería 1 no está conectada al área de

distribución 3. Calcular el mínimo costo.

Licitador

Áreas de distribución

1 2 3

1 120 180 --

2 300 100 80

3 200 250 120



3.9.2. PROBLEMAS DESBALANCEADOS

219. Tres plantas generadoras de energía eléctrica, con capacidad de 25, 40 y 30

millones de kilowatts-hora (kw/h), suministran electricidad a tres ciudades cuyas

demandas máximas son de 30, 35 y 25 millones de kw/h. El costo en unidades

monetarias ($) de la venta de corriente eléctrica a las diferentes ciudades, por millón de

kw/h, es como sigue:

Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3

Planta 1 10 15 20

Planta 2 5 7 6

Planta 3 4 9 10

Durante el mes de agosto se incrementa un 20% la demanda en cada una de las tres ciudades.

Calcular el costo mínimo.

220. Tres huertas abastecen a cuatro detallistas con cajas de naranjas. La demanda

diaria de los cuatro es de 150, 150, 400 y 100 cajas, respectivamente. La oferta de las

tres huertas está determinada por la mano de obra regular disponible, que se estima en

150, 200 y 250 caja diarias. Sin embargo, las huertas 1 y 2 han indicado que pueden

abastecer más cajas, si es necesario, recurriendo a tiempo extra de la mano de obra. La

huerta 3 no ofrece esta opción. Los costos de transporte por caja, desde las huertas hasta

los detallistas, se ven en la tabla. Calcule el costo óptimo.

Detallista 1 Detallista 2 Detallista 3 Detallista 4

Huerta 1 1 3 3 2

Huerta 2 2 4 1 2

Huerta 3 1 3 5 3

221. La compañía Move-It tiene dos plantas que producen montacargas que se

mandan a tres centros de distribución. Los costos de producción unitarios son los

mismos para las dos plantas y los costos de transporte (en cientos de dólares) por unidad

para todas las combinaciones de planta y centro de distribución son los siguientes:

Centro de

distribución 1

Centro de

distribución 2

Centro de

distribución 3

Planta A $800 $700 $400

Planta B $600 $800 $500

Se debe producir y mandar un total de 60 unidades por semana. Cada planta puede

producir y mandar cualquier cantidad hasta un máximo de 50 unidades a la semana, de

manera que hay una gran flexibilidad para dividir la producción total entre las dos

plantas y reducir los costos de transporte. El objetivo de la gerencia es determinar

cuántos se debe producir en cada planta y después, cuál debe ser el patrón de embarque,

de manera que se minimice el costo total de transporte.



222. Una contratista tiene que acarrear grava a tres construcciones. Puede comprar

hasta 18 toneladas en un foso de grava al norte de la ciudad y 14 toneladas en las

construcciones 1, 2 y 3. Necesita 10, 5 y 10 toneladas en los respectivos sitios de

construcción 1, 2 y 3. El precio de compra por tonelada en cada foso y los costos de

acarreo son los siguientes:

La contratista desea determinar cuánto acarrear de cada foso a cada construcción, de

manera que se minimice el costo total de compra y acarreo de la grava.


totales; se cuenta con tres (3) fábricas y cuatro (4) clientes, la producción de las fábricas

es de 550, 300 y 260 unidades respectivamente; y las necesidades de los cuatro (4)

clientes son: 250, 300, 200 y 160 unidades en su orden .Los costos de enviar una (1)

unidad entre cada fabricante y los clientes se da a continuación. Calcular el costo

óptimo.


Fábrica A 8 3 4 5

Fábrica B 7 6 5 2

Fábrica C 2 4 3 3

224. Tres plantas generadoras de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 30

millones de kilowatts-hora (Kwh), suministran electricidad a 3 ciudades cuyas

demandas máximas son: 30, 35 y 25 millones de Kwh. El costo en unidades monetarias

(u.m.) de la venta de corriente eléctrica a las diferentes ciudades, por millón de KWH

es:

Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3

Planta 1 60 70 40

Planta 2 32 30 35

Planta 3 50 48 45

Durante el siguiente mes, se incrementa un 20% en la demanda en cada una de las tres

ciudades, para satisfacer el exceso de demanda, la compañía eléctrica debe comprar

electricidad adicional de otra red a 100 unidades monetarias por millón de KWH.

Calcular el costo óptimo.

225. Una compañía produce motores eléctricos pequeños en cada una de sus tres plantas,

para 4 fabricantes de instrumentos. Los costos de producción por unidad varían según las

ubicaciones, debido a diferencias en el equipo de producción en el rendimiento de los

Costo por tonelada acarreada

Precio por toneladas

Foso 1 2 3

Norte $30 $60 $50 $100

Sur $60 $30 $40 $120



trabajadores. Los costos de producción por unidad y la capacidad mensual (oferta) se

presentan en la siguiente tabla.

PLANTA Costo de producción

Por unidad

Costo de producción

mensual

A 17 800

B 20 600

C 24 700

Tabla de costos por unidad transportada.

DESDE 1 2 3 4

A 3 2 5 7

B 6 4 8 3

C 9 1 5 4

Los pedidos de los clientes que deben producirse el siguiente mes, se muestran en la tabla:

CLIENTE DEMANDA

1 300

2 500

3 400

4 600

La empresa debe decidir cuántas se producirán en cada planta y qué porción de la demanda de

cada cliente se surtirá desde cada una de ellas. Se desea minimizar la producción total y los

costos de transporte. Formule al problema como uno de transporte y resuélvalo, indicando

claramente ¿cuántas se deben enviar y producir desde cada planta a cada cliente? y ¿cuál es el

costo mínimo?

226. Una empresa tiene 3 centros de distribución: Bogotá, Barranquilla y Medellín,

con una capacidad de despacho de 9000, 11000 y 5000 unidades por semana. Los

clientes están clasificados por zonas: Occidente, Costa, Oriente y Viejo Caldas: cuyas

demandas por semana son: 6000, 5000, 8500 y 4500 unidades respectivamente. En la

siguiente tabla se muestran los costos de despachar 100 unidades desde cualquier centro

de distribución a cualquier zona:

Occidente Costa Oriente Viejo Caldas

Bogotá 420 395 400 435

Barranquilla 460 305 380 345

Medellín 300 375 455 405

¿Cuántas unidades hay que despachar desde cada centro de distribución a cada cliente,

con el fin de que los costos totales del transporte sean mínimos, y todos los clientes

queden satisfechos?



227. Tres plantas de energía eléctrica con capacidades de 25, 40 y 50 millones de

kilovatios/hora, ubicadas en Lima (Provincia Bs As), Costanera Sur, y Arroyo Seco

(Provincia de Santa Fe) deben suministrar electricidad a Junín (Provincia. Bs As),

Buenos Aires y Rosario. La demanda máxima prevista en cada ciudad; es de 30, 35 y 25

millones de kilovatios/hora, respectivamente. El costo de transporte UM (unidades

monetarias) por millón de kilovatio/hora está dado en la siguiente tabla. Minimice los

costos.

Junín Buenos Aires Rosario

Lima 600 700 700

Costanera Sur 320 300 300

Arroyo Seco 500 480 450

228. Se está presentando una crisis de salud nacional en México, una pandemia de

influenza que es un tipo de gripa está asolando al país. Dos compañías farmacéuticas

tienen inventarios de dosis de 1.1 y 0.9 millones de la vacunas contra la influenza y se

considera inminente la muerte de personas en tres ciudades, si no se envían ya las

vacunas. Debido a la gripe es más fatal para niños y adultos, serán ellos los primeros en

ser vacunados; a los demás se les vacunará, según se presenten los casos mientras duren

los suministros de la vacuna. Las cantidades de vacuna (en millones de dosis) que cada

cuidad estima poder administrar son las siguientes:

D.F Monterrey Acapulco

Ancianos y Niños 0.325 0.260 0.195

Otras Personas 0.750 0.800 0.650

Los costos de embarque (en centavos por dosis) entre las compañías farmacéuticas y las

ciudades son los siguientes:

D.F Monterrey Acapulco

Compañía 1 3 3 6

Compañía 2 1 4 7

Determine un programa de embarque de costo mínimo que provea a cada ciudad de

vacuna suficiente para atender al menos a los ancianos y niños.

229. Tres plantas de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 50 millones de

kilovatios/hora proporcionan electricidad a tres ciudades. La demanda máxima en las

tres ciudades se calcula en 30, 35 y 35 millones de kilovatios/hora. En la tabla se

proporciona el precio por millón de kilovatio/hora en las tres ciudades. Además se

conoce que hay una pérdida del 10% en la transmisión de la energía a todo lo largo de la

red. La compañía de servicios públicos quiere determinar el plan más económico para la

distribución y la compra de la energía eléctrica adicional.



Planta

Ciudad

1 2 3

1 $600 $700 $400

2 $320 $300 $350

3 $500 $480 $450

230. La demanda de un pequeño motor especial a lo largo de los siguientes cinco

trimestres es de: 200, 150, 300, 250 y 400 unidades. El fabricante que suministra el

motor tiene diferentes capacidades de producción, calculadas en 180, 230, 430, 300 y

300 para los mismos cinco periodos. Los pedidos pendientes no están permitidos, pero

el fabricante puede utilizar horas extra de producción para satisfacer la demanda, si es

necesario. La capacidad de horas extras para cada período es igual a la mitad de la

capacidad de la producción regular. Los costos de producción por unidad para los cinco

períodos son de 100, 96, 116, 102 y 106 dólares, respectivamente. El costo de las horas

extra de producción por motor es el 50% más alto que el costo de la producción regular.

Si un motor se fabrica ahora para utilizarlo en períodos posteriores, se incurre en un

costo adicional de almacenamiento de 4 dólares por motor, por período. Formule el

problema como un modelo de transporte. Utilice un software para determinar el número

óptimo de motores que deben fabricarse durante las horas regulares y las horas extras de

cada período.

231. Una empresa dedicada a la distribución de aceite de oliva debe enviar 30

toneladas a Madrid, 40 a Barcelona, 20 a Valencia y 10 a Bilbao. Esta empresa

suministra en Badajoz, Cáceres y Jaén, cuyas disponibilidades son de 35, 25 y 20

toneladas, respectivamente. Los costes en euros de envío, de una tonelada de los lugares

de promoción a los destinos son:

Madrid Barcelona Valencia Bilbao

Badajoz 10 15 20 9

Cáceres 6 7 10 15

Jaén 15 20 25 30

Por cada tonelada no recibida en los puntos de destino, la empresa tiene unas pérdidas

de 5, 8, 6 y 4 dólares, respectivamente. La empresa desea minimizar el coste total de la

distribución de la mercancía. ¿Cómo podría hacerse la distribución óptima?

232. Cinco fábricas de vidrio cuentan con cinco destinos, se desea encontrar el costo

mínimo óptimo, para ello se cuenta con los costos unitarios, oferta y demanda tal como

se muestra en la tabla:



Destinos

Fuente

1 2 3 4 5 Oferta 1 21 12 28 17 9 50

2 15 13 20 -- 12 60

3 18 17 22 10 8 40

4 -- 2 10 5 -- 70

5 33 29 35 27 23 30

Demanda 40 30 50 60 50

233. El servicio de Parques Nacionales está recibiendo cuatro licitaciones para talar

tres bosques de pinos en Arkansas. Las tres ubicaciones incluyen 10000, 20000 y 30000

acres. Un solo licitador puede licitar, cuando mucho por 50% del total de acres

disponible. En la tabla 2 se proporcionan las licitaciones por acre en las tres

ubicaciones. Calcular el costo mínimo.

Licitador

Ubicación

1 2 3

1 $520 $210 $570

2 -- $510 $495

3 $650 -- $240

4 $180 $430 $710

3.9.3. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN

234. Una empresa dedicada a la compra y venta de equipo de cómputo adquirió seis

máquinas para ser vendidas, sin embargo, el cliente pide una prórroga de un mes para

que le entreguen las máquinas. La empresa tiene que almacenar las seis máquinas

durante este tiempo, se cotizan los precios de seis bodegas que pueden almacenar las

máquinas, los costos se muestran en la siguiente tabla. Calcular la asignación para que

los costos sean mínimos.

Bodega 1 Bodega 2 Bodega 3 Bodega 4 Bodega 5 Bodega 6

Máquina 1 $ 5 $ 3 $ 6 $ 10 $ 20 $ 10

Máquina 2 $ 2 $ 4 $ 3 $ 12 $ 17 $ 8

Máquina 3 $ 7 $ 12 $ 15 $ 20 $ 8 $ 20

Máquina 4 $ 4 $ 13 $ 12 $ 17 $ 25 $ 15

Máquina 5 $ 10 $ 15 $ 13 $ 25 $ 17 $ 7

Máquina 6 $ 12 $ 10 $ 7 $ 6 $ 25 $ 15

235. Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción que

necesitan ser inspeccionadas. El tiempo para realizar una buena inspección de un área

depende de la línea de producción y del área de inspección. La gerencia desea asignar

diferentes áreas de inspección a inspectores de productos, de tal manera que el tiempo

total utilizado sea mínimo.



ÁREA DE INSPECCIÓN

A B C D E

LÍN

EA

EN

SAM

BL

E

1

10

4

6

10

12

2

11

7

7

9

14

3

13

8

12

14

15

4

14

16

13

17

17

5

19

17

11

20

19

236. En la Universidad Andina, cuatro contratistas diferentes, proponen construir

cuatro edificios.

Cada contratista ha remitido propuestas para la construcción de los cuatro edificios.

El problema consiste en determinar qué edificio debe adjudicarse a cada contratista para

lograr el mínimo costo de la construcción de los cuatro edificios.

En la tabla siguiente se muestran los costos de cada propuesta en millones de dólares.

CONTRATISTAS

1 2 3 4

ED

IFIC

IO

A

48

48

50

44

B

56

60

60

68

C

96

94

90

85

D

42

44

54

46

237. Una compañía tiene cuatro ambulancias en diferentes lugares de la ciudad.

Existen cuatro pacientes que requieren servicio, también en lugares dispersos. Se

conoce el tiempo de traslado para cada ambulancia. La compañía quiere asignar las

ambulancias de manera que se minimice el tiempo total de traslado.

PACIENTES

1 2 3 4

AM

BU

LA

NC

IAS

A

7

9

8

13

B

16

16

15

11

C

16

19

10

15

D

16

17

14

16



238. El jefe de un departamento, tiene 5 obreros y 5 trabajos para hacer, los obreros

difieren en su eficiencia y los trabajos difieren en su dificultad intrínseca. El estimado

de los tiempos que cada hombre tomará para hacer cada trabajo, está dado en la

siguiente tabla. ¿Cómo deberán asignarse los trabajos, uno a cada obrero, para

minimizar el total de horas hombre?

Cada trabajo debe ser ejecutado por uno y solo un obrero y a cada obrero solo le debe

ser asignado uno y solo un trabajo.

OBREROS

A B C D E T

RA

BA

JOS

1 11 17 8 16 20

2 9 7 12 6 15

3 13 16 15 12 16

4 21 24 7 28 26

5 14 10 12 11 15

239. Una empresa de logística cuenta con 4 máquinas para realizar 3 tareas, cada

máquina realiza la tarea según el tiempo en que esta pueda ejecutarla. En la siguiente

tabla se muestran los tiempos en horas para dichas tareas.

Máquina/tarea 1 2 3

1 6 7 11

2 7 7 5

3 12 8 2

4 4 11 6

Formule un modelo de asignación que permita minimizar las horas de trabajo de la

empresa en todas las máquinas, de acuerdo a la tarea que ésta realiza.

240. El entrenador de un equipo de natación debe asignar a competidores para la

prueba de cuatro por cien metros. Como muchos de sus mejores nadadores son rápidos

en más de un estilo, no le es fácil decidir a qué estilo asignar a cada uno. Los cinco

mejores nadadores y sus mejores tiempos son:

Competencia A B C D E

Nat

ació

n

Libre

70

65

80

80

75

Espalda

80

90

95

85

100

Braza

90

100

85

110

85

Mariposa

100

95

105

100

90

¿Cuál es el mejor equipo que puede formarse para un tiempo mínimo?



241. Una compañía transportadora dispone de 5 camiones situados en las ciudades A,

B, C, D y E. Se requiere un camión en las ciudades 1, 2, 3, 4, 5 y 6. En la siguiente tabla

se muestra el km entre las ciudades. El problema consiste en determinar la asignación

de camiones que minimice el km recorrido por todos los camiones.

Hasta las ciudades

1 2 3 4 5 6

Des

de la

s ciu

dade

s

A

20

15

26

40

32

12

B

15

32

46

26

28

20

C

18

15

2

12

6

14

D

8

24

12

22

22

20

E

12

20

18

10

22

15

MAXIMIZACIÓN

242. La Mayfax Distributors Inc. Tiene cuatro locales, y se debe asignar un

representante de ventas a cada uno de ellos. De acuerdo a su experiencia, el gerente de

de la empresa ha estimado el volumen de ventas para cada representante de ventas y

territorios. Encontrar las asignaciones de representantes que maximicen las ventas. Los

costos se encuentran en la siguiente tabla.

CLIENTES

1 2 3 4

TE

RR

ITO

RIO

S

A

44

80

52

60

B

60

56

40

72

C

36

60

48

48

D

52

76

36

40

243. Se necesita asignar un científico a cada uno de los cinco proyectos de manera

que maximicen las preferencias de los científicos, ¿Cuál es la asignación?



Proyecto

arriba

Proyecto

estable

Proyecto

opción

Proyecto

esperanza

Proyecto

liberación

Dr. Samuel 100 400 200 200 100

Dr. Zunnez 0 200 800 0 0

Dr. Mickey 100 100 100 100 600

Dr. Rolley 267 153 99 451 30

Dr. Terrry 100 33 33 34 800

244. Un corredor de bienes raíces, planea la venta de 5 lotes de terreno y ha recibido

ofertas individuales de cuatro clientes. Debido a la cantidad de capital que se requiere,

estas ofertas se han hecho en el entendimiento de que ninguno de los cuatro clientes

comprará más de un lote. El corredor de bienes raíces quiere maximizar su ingreso total

a partir de esas ofertas. Resuelva éste problema mediante el método Húngaro. Las

ofertas se muestran en la siguiente tabla:

LOTES 1 2 3 4 5

CO

MPR

AD

OR

ES

A 16 15 25 19 20

B 19 17 24 15 25

C 15 15 18 0 16

D 19 0 15 17 18

245. Un administrador enfrenta el problema de asignar cuatro nuevos métodos a tres

medios de producción. La asignación de nuevos métodos aumenta las utilidades, según

las cantidades mostradas en la siguiente tabla. Determinar la asignación óptima si solo

puede asignarse un método a un medio de producción. (Maximización).

TAREAS

1 2 3

MÉ

TO

DO

DE

PR

OD

UC

CIÓ

N

A

12

9

13.5

B

10

11

12.5

C

11.5

10

10

D

13

12

10.5

CAPÍTULO IV Modelos de Redes Introducción


CAPÍTULO IV .............................................................................................................................235

4. MODELOS DE REDES ................................................................................................. 236

4.1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 236

4.2. TERMINOLOGÍA DE REDES ........................................................................................ 237

4.3. REDES PERT ((PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE - TÉCNICA DE EVALUACIÓN Y REVISIÓN DE PROGRAMAS) ............................................................. 239

4.3.1. REGLAS PARA CONSTRUIR UN DIAGRAMA PERT .............................................. 239

4.3.2. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT ......................................................... 242

4.4. REDES PERT - CÁLCULO DE TIEMPOS ........................................................................ 246

4.5. MÉTODO CPM (CRITICAL PATH METHOD O MÉTODO DE LA RUTA CRÍTICA) ............ 248

4.6. DIFERENCIAS ENTRE LOS MÉTODOS PERT Y CPM ..................................................... 250

4.7. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT-CPM ......................................................... 251

4.8. PERT – COSTOS ......................................................................................................... 262

4.9. PROBLEMAS PROPUESTOS PERT-CPM ...................................................................... 265



CAPÍTULO IV

4. MODELOS DE REDES

4.1. INTRODUCCIÓN

Las redes son rutas invisibles sobre las cuales se van a mover los “Recursos” o las “Entidades”.

Para que una red cumpla con su función, debe estar unida a las "Locaciones" por medio de

“Interfaces”.

Una red puede estar conformada por muchos tramos, los cuales están separados por “Nodos”, y

cada “Nodo” debe tener su respectiva “Interfaz”.

Cuando la red cambia de dirección en un punto que no esté conectado a una “Locación”, se

habla de “Puntos de Quiebre”.

Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de

puntos. Los puntos se llaman nodos (o vértices) las líneas se llaman arco (o ligaduras, aristas o

ramas). (Hillier Frederick, 1992).

El nodo es un círculo en un diagrama de redes, que representa un aspecto importante de un

problema.

El nodo representa el origen y destino de bienes, de un plan a realizar.

El arco es una línea que conecta dos nodos en un diagrama esquemático que representa una

relación entre estos dos nodos.

El arco es una curva que enlaza dos nodos, estableciendo así una conexión en cuanto a la

representación gráfica en un sistema.

14Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones. Las redes de transporte,

eléctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. La representación de redes se

utiliza ampliamente en áreas tan diversas como producción, distribución, planeación de

proyectos, localización de instalaciones, administración de recursos y planeación financiera,

para nombrar sólo unos ejemplos. De hecho, una representación de redes proporciona un

panorama general tan poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre los

componentes del sistema, que se usa casi en todas las áreas científicas, sociales y económicas.

14 http://es.slideshare.net/herovalrey/optimizacion-de-redes



Uno de los mayores desarrollos recientes en investigación de operaciones (IO) ha sido el rápido

avance tanto en la metodología como en la aplicación de los modelos de optimización de redes.

La aparición de algunos algoritmos ha tenido un impacto importante, al igual que las ideas de

ciencias de la computación acerca de estructuras de datos y la manipulación eficiente de los

mismos. En consecuencia, ahora se dispone de algoritmos y paquetes de computadora y se usan

en forma rutinaria para resolver problemas muy grandes que no se habrían podido manejar hace

dos o tres décadas.

Entre las redes más sobresalientes hay cinco tipos importantes de problemas de redes y algunas

ideas básicas sobre cómo resolverlos (sin profundizar en los aspectos de estructuras de bases de

datos, tan vitales para la aplicación exitosa en los problemas de gran escala). Los tres primeros

tipos de problemas son: (1) el problema de la ruta más corta, (2) el problema del árbol de

mínima expansión y (3) el problema del flujo máximo, tienen una estructura específica que

surge con frecuencia en la práctica.

El cuarto tipo: el problema del flujo de costo mínimo - proporciona un enfoque unificador de

muchas otras aplicaciones por su estructura mucho más general. Y por último (5) el método del

CPM.

4.2. TERMINOLOGÍA DE REDES

Red: conjunto de puntos y líneas que unen ciertos pares de puntos.

Nodos: Puntos (o vértices).

Arcos: Líneas, ligaduras, aristas o ramas. Se etiquetan para dar nombre a los nodos en

sus puntos terminales.

Arco dirigido: Si el flujo a través de un arco se permite sólo en una dirección, la

dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el

arco.

Arco no dirigido: Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones.

Red dirigida: Red que tiene sólo arcos dirigidos.

Red no dirigida: Todos sus arcos son no dirigidos.

Trayectoria: Sucesión de arcos distintos que conectan nodos.

Ciclo: Trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.

Red conexa: Red en la que cada par de nodos está conectado.

Árbol: Red conexa (para algún subconjunto de n nodos) que no contiene ciclos no

dirigidos.

Árbol de expansión: Red conexa para los n nodos que contiene ciclos no dirigidos.

Capacidad del arco: Cantidad máxima de flujo (quizá infinito), que puede circular en

un arco dirigido.

Nodo fuente: Nodo origen, tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo excede

el flujo que entra a él.

Nodo de demanda: Nodo de destino, donde el flujo que llega excede al que sale de él.

Nodo de trasbordo: Intermedio, satisface la conservación del flujo, es decir, el flujo que

entra es igual al que sale.



COMPONENTES DE REDES REPRESENTATIVAS

NODOS ARCOS FLUJO Cruceros Caminos Vehículos

Aeropuertos Líneas aéreas Aviones

Puntos de conmutación Cables, canales Mensajes

Estaciones de bombeo Tuberías Fluidos

Centros de trabajo Rutas de manejo de materiales Trabajos

CAPÍTULO IV Modelos de Redes Redes pert


4.3. REDES PERT ((PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE - TÉCNICA DE EVALUACIÓN Y REVISIÓN DE PROGRAMAS)

PERT es un sistema probabilístico. (Program Evaluation and Review Technique - Técnica de

Evaluación y Revisión de Programas).

Es un instrumento diseñado especialmente para planificar, programar y controlar los recursos

que se dispone. Es una herramienta que se utiliza en escenarios de gestión de proyectos. Los

diagramas PERT son útiles para seguir el tiempo y los recursos necesarios para completar un

objetivo, así como para mantener en perspectiva la secuencia correcta de todas las tareas.

Aunque es menos común que el diagrama de Gantt, que se encuentra en la mayoría de software

de gestión de proyectos, los diagramas PERT son más eficaces en la contabilidad de la

incertidumbre en un proyecto, específicamente la incertidumbre de los tiempos. Con todo, el

conocimiento de la estructura básica de los diagramas PERT es una necesidad para cualquier

persona en la gestión de proyectos.

El diagrama de red PERT de flechas representa las interdependencias y relaciones de

precedencia entre las actividades del proyecto. Cada actividad se representa mediante una flecha

llamada arco o rama, y la punta indica el sentido de avance del proyecto. La relación de

precedencia entre las actividades se especifica utilizando eventos. Un evento representa un

punto en el tiempo y significa la terminación de algunas actividades y comienzo de nuevas. Los

puntos iniciales y finales de una actividad, por consiguiente, están descritos por dos eventos

generalmente conocidos como evento de inicio y evento terminal. Las actividades que originan

un cierto evento no pueden comenzar hasta que las actividades que concluyen en el mismo

evento hayan terminado. En la terminología de la teoría de redes cada actividad está

representada por un arco (flecha) dirigido y cada evento está simbolizado por un nodo. La

longitud del arco no requiere de ser proporcional a la duración de la actividad ni tiene que

dibujarse como una línea recta.15

4.3.1. REGLAS PARA CONSTRUIR UN DIAGRAMA PERT

Para construir un diagrama de red pert se aconseja seguir los pasos que se detallan a

continuación:

1. Identificar a los nodos o eventos con números enteros positivos empezando desde el

uno, mientras que las tareas o actividades se las identificará con una letra del

abecedario desde la A - Z o una combinación (AA, AB,….AZ), de ser necesario.

15 http://uva.anahuac.mx/content/catalogo/diplanes/modulos/mod2/l1t3m2.htm

1

n

Nodo inicial

Nodo final

Actividad (A)

Z

B

http://uva.anahuac.mx/content/catalogo/diplanes/modulos/mod2/l1t3m2.htm



2. Las flechas que representan a las actividades no tienen magnitud, ni sentido vectorial; es

decir que una de las actividades de poca duración puede ser representada por una flecha

más larga que una actividad de mayor duración que la anterior o viceversa.

3. Toda actividad del proyecto deberá iniciar y finalizar en dos eventos distintos, un

evento puede indicar el inicio de una o varias actividades, así como también puede

indicar la finalización de una o varias actividades.

4. Los nodos, en lo posible, se enumeran de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.

5. Ningún evento posterior puede regresar a un evento anterior.

1

2 3

A= 9 días

B= 4 días

1

A

B

C

1 2 A

8

P

Q

R

Nodo Inicial Nodo Final

2

1 3

C

B A

1

3

4

A

B

C

D

2



6. En algunos casos es necesario la utilización de actividades ficticias, las mismas que son

utilizadas cuando dos o más actividades inician y terminan en el mismo nodo inicial y

final.

a)

b)

1 A

B 2

3

2

1

A’ A

B 3

2

1

B’ B

A

1

A 2

3

4

5

B

C

C

1

A 2

3

4

5

B

C

C’



7. Todo requiere de un tiempo de preparación que se utiliza en la obtención de

documentos, conversaciones, preliminares, recopilación de antecedentes antes de iniciar

el proyecto. Antes de empezar a diseñar la red PERT es necesario realizar una tabla que

contenga las actividades del proyecto, descripción, precedente y tiempo de duración.

Actividad Descripción Precedente Tiempo

4.3.2. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT En los siguientes ejercicios se construye la red Pert siguiendo los pasos

anteriormente estudiados:

246. Resolver la red Pert:

Actividad Predecesor A -

B -

C -

D C

E A

F B

247. Resolver:

Actividades Precedente A -

B -

C -

D A

E A

F B, D

G B, D

H C, G

2

1 3

4

5

A

B

C D

E

F

2

1 3

4

5

A

B

C H

F

D E

G

Las actividades que inician la red

Pert, son aquellas que están con un

guión en la columna de predecesor,

en este caso inicia (A,B,C); las

actividades que llegan al nodo final,

son aquellas que no aparecen en la

columna predecesor, en este caso

finaliza (D,E,F).

Para que inicie la actividad D, debe

haber finalizado C. De A sale E y de

B sale F.



248. Resolver:


B -

C A

D B,C

249. Resolver:


B -

C A

D B

E B

F C,D

250. Resolver:


B -

C A,B

D A,B

E D

F C,E

251. Resolver:


B -

C -

D A

E A

F B,D

G B

H C,G

A

B

C

D 1

2

3 4

1

2

3

4

5

A

B

C

D

E

F

1

2

3

4

5

6 A

B C

D

E

F

A’

1

2

4

5 6 3

A

B

C

D E

F B’

G H

Se forma una actividad ficticia

porque no pueden ir dos

actividades del mismo nodo

inicial al final.



252. Resolver:

Actividad Precedente A -

B -

C A

D B

E A

F B

G C, F

H C, F

I D, G

J C, E

K H

253. Resolver:

Actividad Precedente A -

B -

C A

D C

E D

F B,E

G E, F

254. Resolver:


B -

C A

D A

E A

F C

G D, C

H B, E

I H

J F, G, I

1

2

3

4

5

6

7

8 9 H

A

B

C

D

E

F G I

J

K C’’

C’

C

1 3

5

6

7

8

2

4

9

A

B

D

I

J

K

E’ E

F G

H

C’

Otra Solución

1 2 3 4

5

6 7 A

B

C D

E F

G E’

1

3

5

6

7 8

2

4 C’

A

B

D

I

J E

F

G

H

C

’



255. Resolver:


B -

C B

D A,C

E D

F C

G F

H F

I B

J H,E,G

256. Resolver:


B -

C -

D A,B

E B

F B

G C

H D

I D,E

J E,F,G

K E,F,G

L D

M D

N H,I,J,K,L

257. Resolver:


B A

C B

D A

E A

F C,D

G F

H F

I F

J E,H

K G,I,H,E

L J,K

9 1

4

5

6

7

8

2

3

C’

’

A

B

D

I

J

E

F G

H

C

’

G’

11 1

4

5

6

8

9

2

3

7 10

B’

’

A

B

D

I

J

E

F

G

H

C

’

K’

K

L’ M

N

L

D’

E’

J

A B D I

E

F G

H

C

’

G’

K

L

E’H’

8 1

4

5 7 6 2

3

10 9



-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-25

-20

-15

-10

-5

x

y

4.4. REDES PERT - CÁLCULO DE TIEMPOS

16Es el tiempo que se tarda en desarrollar una actividad. El método PERT considera tres

estimaciones de tiempos distintos.

Estimación Optimista (a): Es el tiempo en el que se desarrolla una actividad en las mejores

condiciones posibles, es decir, es el tiempo mínimo de ejecución de una actividad, si no

surgiera ningún contratiempo.

Estimación Media (m): Es el tiempo que toma desarrollar una actividad en condiciones

normales, es decir cuando el tiempo de ejecución no sufre ni circunstancias positivas ni

negativas.

Estimación Pesimista (b): Es el tiempo en que se desarrolla una actividad en condiciones

adversas, es decir, el tiempo máximo en que podría ejecutarse la actividad si las circunstancias

son desfavorables.

Tiempo Esperado Para Una Actividad (Te): Es el tiempo calculado, usando el promedio

ponderado o la media aritmética.

Desviación Estándar: la desviación estándar representa la probabilidad de retraso o adelanto

en promedio, viene dado por la siguiente fórmula:

En donde:

(b) tiempo pesimista, (a) tiempo optimista y (𝜎) desviación estándar.

16 http://ocw.upm.es/proyectos-de-ingenieria/proyectos-de-desarrollo-rural-i/Materiales-de-cada-tema/Planificacion-

de-proyectos.-Metodo-PERT.pdf

a m Te b

𝑇𝑒 =𝑎 + 4𝑚 + 𝑏

6

𝜎 =𝑏 − 𝑎

6



Varianza: la varianza (es el cuadrado de la desviación estándar) se define como la media de

las diferencias con la media, elevadas al cuadrado.

Probabilidad: la probabilidad de concluir un proyecto viene dado por la siguiente fórmula:

En donde:

Z= variable z normalizada de la distribución normal, con media y varianza (0, 1).

X= duración solicitada para terminar el proyecto.

U= duración estimada y calculada del proyecto por el método Pert-Cpm.

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝜎2 = (𝑏 − 𝑎

6)2

𝑍 =𝑥 − 𝑢

𝜎


4.5. MÉTODO CPM (CRITICAL PATH METHOD O MÉTODO DE LA RUTA CRÍTICA)

17El método CPM es Determinístico (equivalente a la sigla en inglés Critical Path Method o

Método de la Ruta Crítica), es frecuentemente utilizado en el desarrollo y control de proyectos.

El objetivo principal es determinar la duración de un proyecto, entendiendo éste como una

secuencia de actividades relacionadas entre sí, donde cada una de las actividades tiene una

duración estimada.

En este sentido el principal supuesto de CPM, es que las actividades y sus tiempos de duración

son conocidos, es decir, no existe incertidumbre. Este supuesto simplificador hace que esta

metodología sea fácil de utilizar y en la medida que se quiera ver el impacto de la incertidumbre

en la duración de un proyecto, se puede utilizar un método complementario como lo es PERT.

Una ruta es una trayectoria desde el inicio hasta el final de un proyecto. En este sentido, la

longitud de la ruta crítica es igual a la trayectoria más grande del proyecto. Cabe destacar que la

duración de un proyecto es igual a la ruta crítica.

Etapas:

Para utilizar el método CPM o de Ruta Crítica se necesita considerar los siguientes pasos:

1. Definir el proyecto con todas sus actividades o partes principales.

2. Establecer relaciones entre las actividades. Decidir cuál debe comenzar antes y cuál

debe seguir después.

3. Dibujar un diagrama conectando las diferentes actividades en base a sus relaciones de

precedencia.

4. Definir costos y tiempo estimado para cada actividad.

5. Identificar la trayectoria más larga del proyecto, siendo ésta la que determinará la

duración del proyecto (Ruta Crítica).

6. Utilizar el diagrama como ayuda para planear, supervisar y controlar el proyecto.

Por simplicidad y para facilitar la representación de cada actividad, frecuentemente se utiliza la

siguiente notación:

En donde:

Nodo= Se numeran los nodos o eventos de manera secuencial.

T.C= Tiempo más cercano.

T.L= Tiempo más lejano.

Te= Tiempo esperado.

17 http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/pertcpm.htm

# Nodo

T.C T.L A= (Te) T.L

# Nodo

T.C


http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/pertcpm.htm


Tiempo más cercano de la actividad (T.C) : Representa el tiempo mínimo para que comience

un acontecimiento o el más pronto en el que pueda suceder un hecho, el tiempo más pronto del

nodo inicial es cero mientras que para el resto de los nodos se calcula siguiendo estos pasos :

Se deben seleccionar todas las actividades que llegan al nodo final.

Para cada actividad que entra (nodo final) se suma la duración de la actividad y el T.C

de su nodo inicial.

Se debe seleccionar el T.C de mayor duración que haya obtenido

𝑡𝑖(max) = 𝑡𝑖−1 + 𝑡𝑒

Tiempo más lejano de la actividad (T.L): Representa el tiempo más tarde en el que pueda

darse el acontecimiento, sin afectar la planificación del proyecto, el nodo final del proyecto

tiene el mismo tiempo: T.C=T.L, para el resto de nodos se aplica los siguientes pasos:

Se deben considerar todas las actividades que salen del mismo nodo

Se debe restar al T.L del nodo final la duración de cada actividad.

Se debe seleccionar el T.L de menor duración que se haya obtenido

𝑡𝑗(𝑚𝑖𝑛) = 𝑡𝑗+1 − 𝑡𝑒

Holguras: Es el tiempo máximo que puede retrasar el comienzo de una actividad, sin que esto

retrase la finalización del proyecto.

Holgura de evento: Es la diferencia entre el tiempo más lejano menos el tiempo más cercano

de un evento:

𝐻 = 𝑡𝑗 − 𝑡𝑖

3

9

2

4

1

2

A=7

Para calcular el tiempo más cercano

de varias actividades que ingresen a

un nodo, se suman y seleccionamos

el mayor:

4+2=6

2+7= 9

Para calcular el tiempo más lejano

de varias actividades que salgan de

un nodo, se resta y seleccionamos el

menor:

10-7=3

12-1= 11

14-4=10

12

4

3

2

10

3

B=1

14

5



Holgura de actividades: Se define como la flexibilidad de realización de cierta actividad,

cuando una actividad puede iniciar lo más pronto posible o concluir la más tarde posible.

𝐻𝑖𝑗 = 𝑡𝑗 − 𝑡𝑖 − 𝑡𝑒

Ruta crítica: Es el camino o ruta compuesta por las actividades críticas del proyecto. Un

camino crítico es una serie de actividades sucesivas conectadas que conduce del principio del

proyecto al final del mismo. En toda red PERT habrá por lo menos una ruta crítica.

El CPM supone que la duración de una actividad es determinístico, asumiendo que la varianza

del tiempo de duración de las actividades es cero.

PERT asume que la duración de las actividades es probabilística, se considera que la varianza

del tiempo de duración de las actividades es distinta de cero.

4.6. DIFERENCIAS ENTRE LOS MÉTODOS PERT Y CPM

La principal diferencia entre los métodos es la manera en que se realizan los estimativos de

tiempo.

PERT Probabilístico.

Considera que la variable de tiempo es una variable desconocida de la cual solo se

tienen datos estimativos.

El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los tiempos

esperados de las actividades sobre la ruta crítica.

Suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes,

(una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las

varianzas de las actividades en la ruta crítica.

Considera tres estimativos de tiempos: el más probable, tiempo optimista, tiempo

pesimista.

CPM Determinístico. Ya que considera que los tiempos de las actividades se conocen y se

pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.

A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y

monitorear el progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por

lograr que el proyecto quede de nuevo en el programa cambiando la asignación de

recursos.

Considerar que las actividades son continuas e interdependientes, siguen un orden

cronológico y ofrecen parámetros del momento oportuno del inicio de la actividad.

Considera tiempos normales y acelerados de una determinada actividad, según la

cantidad de recursos aplicados en la misma.

USOS. El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y

adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores

resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características:



Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad.

Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de él, en un tiempo mínimo, sin

variaciones, es decir, en tiempo crítico.

Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible.

4.7. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT-CPM

258. 18Problema pedagógico: Se desea construir una casa para ello se desarrollarán

las siguientes actividades, en donde se pide calcular lo siguiente:

a) Duración de cada actividad (Te).

b) Desviación típica de cada actividad (𝜎).

c) Red de proyecto (PERT)

d) Tiempo más cercano y tiempo más lejano

e) Holguras de las actividades

f) Ruta Critica (CPM)

g) Tiempo de terminación del proyecto

h) Probabilidad de que el proyecto se termine en 20 días

a. Duración de cada Actividad (te)

b. Desviación típica de cada actividad (𝜎).

Actividades 𝒕𝒆 =

𝒂 + 𝟒𝒎 + 𝒃

𝟔 𝝈 =

𝒃 − 𝒂

𝟔 𝒗𝒂𝒓 =

(𝒃 − 𝒂)𝟐

𝟑𝟔

A 4.67 0.67 0.44

B 5.5 0.83 0.69

C 2.17 0.50 0.25

D 5.17 0.50 0.25

E 2 0 0

F 1 0 0

Total 2.5 1.63

18 https://www.youtube.com/watch?v=xJrbWbndkVQ

Actividades Descripción Predecesoras a m b

A Cimientos y paredes - 2 5 6

B Plomería A 2 6 7

C Electricidad y techos A 1 2 4

D Pintura exterior B,C 4 5 7

E Pintura Interior D 2 2 2

F Acabados E 1 1 1



c. Red del proyecto (PERT)

d. Tiempo más cercano y tiempo más lejano

TIEMPO MÁS CERCANO

Nodo Nodo

Inmediato anterior

Tiempo más cercano + Tiempo de la actividad

Tiempo más

Cercano 1 – – –

2 1 0 + 4.67 4.67

3 2 4.67 + 2.17 6.84

4 2 4.67 + 5.5 10.17

3 6.84 + 0 6.84

5 4 10.17 + 5.17 15.34

6 5 15.34 + 2 17.34

7 6 17.34 + 1 18.34

TIEMPO MÁS LEJANO

Nodo

Nodo Inmediato anterior

Tiempo más lejano + Tiempo de la actividad

Tiempo más

Lejano 7 – – 18.34

6 7 18.34 – 1 17.34

5 6 17.34 – 2 15.34

4 5 15.34 – 5.17 10.17

3 4 10.17 – 0 10.17

2

4 10.17 – 2.17 8

3 10.17 – 5.5 4.67

1 2 4.67 – 4.67 0

1 2 4 5 6 7

3

A B

C

D E F

C’



e. Holguras de las actividades

Actividad (𝒊 , 𝒋)

𝑳𝒊 − 𝑬𝒊 + 𝒕𝒊𝒋 = 𝑯𝒊𝒋

A (1,2) 4.67 – (0 + 4.67) = 0

B (2,4) 10.17 – (4.67+ 5.5) = 0

C (2,3) 10.17 – (4.67 + 2.17) = 3.33

D (4,5) 15.34 – (10.17 + 5.17) = 0

E (5,6) 17.34 – (15.34 + 2) = 0

F (6,7) 18.17 – ( 17.34 + 1) = 0

C’ (3,4) 10.17 – (6.84 + 0) = 3.33

𝐿𝑖 = Tiempo lejano

𝐸𝑖 = Tiempo cercano

𝑡𝑖𝑗 = Tiempo de la actividad

𝐻𝑖 = Holguras

f. Ruta Critica (CPM)

Ruta Crítica: A-B-D-E-F

0

1

0 17,34

6

17,34 15,34

5

15,34 4,67

2

4,67 18,34

7

18,34 10,17

4

10,17

10,17

3

6,84

A=4,67 B=5,5 F=1 D=5,17 E=2

C=2,17

C’=0

Recuerda:

Para seleccionar las actividades

que conforman la ruta crítica nos

fijamos en los nodos en donde la

holgura sea igual a cero. Es decir

el tiempo más cercano es igual al

tiempo más lejano.

En algunas redes puede haber más

de una ruta crítica.

La ruta crítica en la práctica no se

toma en cuenta las actividades

ficticias.



VALOR DE LA PROBABILIDAD: Para calcular el valor de la probabilidad,

utilizamos la función de Excel que es:

=DISTR.NORM.ESTAND(celda)

Dónde: celda es el valor de (Z) calculado.

g. Tiempo de terminación del proyecto

18.34 días h. Probabilidad de que el proyecto se termine en 20 días

𝒁 = 𝒙 − 𝝁

𝝈

Desviación típica (A-B-D-E-F): 0.67+0.83+0.50+0+0 = 2

𝑍 = 20 − 18.34

2= 0.83

Con dicho valor calculado nos vamos a la tabla de la distribución normal, observamos: Z=0.83 y

nos da un valor de la probabilidad de: P=0.7967.

Entonces la probabilidad de que se termine el proyecto en 20 días es de un 79,67% de

posibilidades.

259. La Universidad desea incoporar 50 aulas para la oferta de maestrias y

doctorados, la tabla siguiente contiene una lista de actividades y requisitos necesarios

para su elaboración. Determinar la red Pert-Cpm, Varianza, y la Probabilidad que

termine en 25 días.

Act. Descripción Predecesora a m b A Preparar planos arquitectónicos - 4 5 8

B Identificar maestrías y doctorados - 5 6 10

C Elaborar junta informativa con Posgrado A 3 4 7

D Seleccionar contratista A 2 3 5

E Prepara permisos de construcción A 1 2 6

F Obtener aprobación E 2 4 5

G Realizar la construcción D,F 12 14 18

H Finalizar clases en salones antiguos B,C 10 12 15

I Mudanza de maestrías y doctorados G,H 1 2 4

Actividad Predecesora Te= 𝒂+𝟒𝒎+𝒃

𝟔 Varianza= (

𝒃−𝒂

𝟔)𝟐

A - 5.33 0.44

B - 6.5 0.69

C A 4.33 0.44

D A 3.17 0.25

E A 2.5 0.69

F E 3.83 0.25

G D,F 14.33 1

H B,C 12.17 0.69

I G, H 2.17 0.25

La desviación típica se

recomienda calcular con la

varianza, y luego sacar la

raíz para la desviación

típica.



Ruta Crítica: A-E-F-G-I

Varianza: (A-E-F-G-I)= 2,63

Desviación típica= √2,63 = 1,62

𝑍 = 25 − 28,16

1,62= −1,95

Probabilidad (< 25 días): 0,025

Un 3% de posibilidades

260. El banco BISA debe reubicar sus oficinas hacia nuevas instalaciones en la zona

norte, con el objetivo de brindar una atención especializada a sus clientes, el director

debe preparar un informe detallado de las labores y el tiempo de cada uno para el

traslado, incluyendo rutas críticas y estimaciones de tiempos. El director ha desarrollado

el proyecto con las actividades que se presentan en la siguiente tabla. Calcular la red

Pert-Cpm, la probabilidad de terminar en 18 días o la probabilidad de terminar en 25

días, cuál será la duración del proyecto para una probabilidad de finalización del 95%.

Act. Descripción Predecesora a m b A Seleccionar tipo de oficinas - 1 3 5

B Crear plan organizacional - 3 4,5 9

C Determinar personal B 2 3 4

D Diseñar las instalaciones A,C 2 4 6

E Construir los interiores D 4 7 16

F Seleccionar personal C 1 1,5 5

G Contratar nuevos empleados F 2,5 3,5 7,5

H Traslado de archivos y material F 1 2 3

I Hacer arreglos financieros B 4 5 6

J Capacitar nuevo personal H,E,G 1,5 3 4,5

11,66

4

11,66

0

1

0

5,33

2

5,33

13,82

5

9,66

7,83

3

7,83

25,99

6

25,99 28,16

7

28,16 B=6,5

D=3,17

H=12,17 I=2,17

F=3,83

Para Trazar la ruta crítica

tenemos que pasar por

todos los nodos en donde

la holgura es cero.

CÁLCULO DE TIEMPOS MÉTODO SIMPLIFICADO:

Para calcular el tiempo de ida: Comenzamos desde el nodo

inicial hacia adelante, y nos fijamos en las flechas que ingresan

al nodo, si hubiera más de un nodo seleccionamos el que nos dé

mayor suma.

Para calcular el tiempo de regreso: Comenzamos desde el nodo

final hacia atrás, y nos fijamos en las flechas que salen del nodo,

si hubiera más de un nodo seleccionamos el que nos dé menor

resta.




𝟔 Varianza= (

𝒃−𝒂

𝟔)𝟐

A - 3 0,444

B - 5 1

C B 3 0,111

D A,C 4 0,444

E D 8 4

F C 2 0,444

G F 4 0,694

H F 2 0,111

I B 5 0,111

J H,E,G 3 0,25

Ruta Crítica: B-C-C’-D-E-J

Varianza: (B-C-D-E-J)= 5,805


𝑍 = 18 − 23

2,41= −2,07

Probabilidad (< 18 días): 0,0192 un 1,92% de posibilidades

𝑍 = 25 − 23

2,41= 0,83


¿Cuál será la duración del proyecto para una probabilidad de finalización del 95%? Para que la probabilidad del proyecto sea del 95% podemos usar z aproximado de 1,65; para

este punto en la curva le corresponde un (x= duración solicitada para terminar el proyecto)

asociado de manera que:

𝑍 = 𝑋− 𝜇

𝜎; Despejando 𝑋 tenemos:

𝑋 = (1,65)(2,41) + 23

𝑋 = 26.97 𝑑í𝑎𝑠

20

7

12

16

6

10

12

5

12

5

4

5

8

2

8

8

3

8 0

1

0 23

9

23 20

8

20

D=4

H=2

C=3

G=4 F=2

I=5

J=3

C’=0

H’=0

𝑿 = 𝒁𝝈 + 𝒖

La ruta crítica en la práctica queda sin

actividades ficticias: B-C-D-E-J



261. La tabla siguiente contiene una lista de las actividades y los requisitos de

secuencia, necesarias para la elaboración de una tesis. Determinar: La red Pert-Cpm,

duración del proyecto, y cuál es la probabilidad de que el proyecto concluya en 28

semanas.

Act. Descripción Predecesora a m b

A Investigación literaria - 1 2 3

B Formulación de temas A 8 3 4

C Selección de comité A 1 3 5

D Propuesta formal B 1 2 3

E Selección de la compañía y contacto B, C 10 5 6

F Informe de avances B, C 0 1 2

G Investigación formal D 5 4 3

H Recopilación de datos E, D 7 2 3

I Análisis de datos D, E, F 1 2 3

J Conclusiones G, H 5 6 7

K Borrador (sin conclusiones) G, H, I 0.5 1 1.5

L Versión final J, K 1 2 3

Actividad Predecesora Te Varianza

A - 2 0.111

B A 4 0.444

C A 3 0.444

D B 2 0.111

E B, C 6 0.444

F B, C 1 0.111

G D 4 0.111

H E, D 3 0.444

I D, E, F 2 0.111

J G, H 6 0.111

K G, H, I 1 0.028

L J, K 2 0.111

15

8

15

18

7

12

12

6

12

11

5

8

6

4

6

6

3

6

2

2

2 0

1

0 23

11

23 21

10

21

20

9

15

A=2

D=2 G=4

F=1 I=2

L=2 B’=0

D’=0

D’E’=0

G’H’=0



La Duración del Proyecto para que termine la tesis es de 23 semanas

Ruta Crítica: A-B-B’-E-H-J-L

Varianza (A-B-E-H-J-L): 0,111+0,444+0,444+0,444+0,111+0,111= 1,667


La probabilidad de que el proyecto concluya en menos de 28 semanas es:

𝑍 = 28 − 23

1,290994= 3,87

Con dicho valor calculado nos vamos a la tabla de la distribución normal observamos: Z=3,87 y

nos da un valor de la probabilidad de: P=0,99995.

Entonces la probabilidad de que se termine el proyecto en menos de 28 semanas es de un 100%

de posibilidades.

262. La empresa CONSTRUCTORA S.A. programó las siguientes actividades para

la construcción de una calle en concreto asfáltico (proyecto resumido – tiempo dado en

días). Calcular la red Pert-Cpm, y la probabilidad de terminar en 32 días.

Act. Descripción Predecesora a m b A Excavación - 5 7 15

B Sub-base - 2 5 20

C Compactación A 4 8 18

D Base A 1 2 3

E Compactación B 2 3 10

F Canaletes B 4 6 8

G Pegante C 3 6 15

H Capa asfalto C 2 4 12

I Compactación D,E 5 9 25

J Pruebas base F 2 3 4

K Pruebas asfalto. G 1 3 5

L Fiscalización H,I,J 3 7 23

Actividad Predecesora Te= 𝑎+4𝑚+𝑏

6 Varianza= (𝑏−𝑎

6)2

A - 8 2,78

B - 7 9

C A 9 5,44

D A 2 0,11

E B 4 1,78

F B 6 0,44

G C 7 4

H C 5 2,78

La ruta crítica en la práctica queda sin

actividades ficticias: A-B-E-H-J-L



Cuando hay más de una

ruta crítica, para calcular

(z) se escoge la mayor

desviación típica

I D,E 11 11,11

J F 3 0,11

K G 3 0,44

L H,I,J 9 11,11

La Duración del Proyecto: es de 58 días

Varianza 1: (A-C-H-L)= 22,111

Desviación típica 1= √22,11 = 4,7

Varianza 2: (A-C-H-L)= 33

Desviación típica 2= √33 = 5,74

𝑍 = 32 − 31

5,74= 0,17


263. Una compañía que monta espectáculos musicales acaba de firmar un contrato

para un nuevo show. El productor ha identificado las siguientes tareas y tiempos (en

días) que necesitan hacerse antes de presentar el espectáculo. Calcular la red Pert-Cpm,

y la probabilidad de terminar en 25 días.

Act. Descripción Predecesora a m b A Organizar los instrumentos musicales ---- 1 1 1

B Transporte de los instrumentos ---- 4 4 4

C Armado del escenario A,B 2 2 2

D Conexiones eléctricas C 5 5 5

22

6

22 0

1

0 11

4

11

7

3

7

8

2

8 17

5

17

19

7

13

31

9

31

28

8

24

A=8

B=7

C=9

D=2

E=4

F=6

G=7

H=5

I=11

J=3

K=3

L=9

Ruta Crítica:

Ruta Crítica 1: A-C-H-L

Ruta Crítica 2: B-E-I-L



E Instalaciones de audio y video D 6 6 6

F Pruebas de audio D 3 7 11

G Instalaciones de juego de luces D 3 4 5

H Protección para los equipos E,F,G 2 3 4

I Instalación de reguladores de voltaje E 2 2 2

J Comprobación de la amplificación G 1 1 1

K Pruebas de amplificación A 5 15 25

L Pruebas de video K 2 3 4

M Pruebas varias de todos los equipos H,I,J,L 2 2 2

N Informe final H,I,J,L 1 1 1

O Utilización H,I,J,L 2 2 2


𝟔 Varianza= (

𝒃−𝒂

𝟔)𝟐

A ---- 1 0

B ---- 4 0

C A,B 2 0

D C 5 0

E D 6 0

F D 7 1,778

G D 4 0,111

H E,F,G 3 0,111

I E 2 0

J G 1 0

K A 15 11,111

L K 3 0,111

M H,I,J,L 2 0

N H,I,J,L 1 0

O H,I,J,L 2 0

18

7

18 0

1

0 6

4

6 4

3

4

18

6

17

18

8

15

21

10

21 11

5

11

23

12

23

23

11

23

23

13

23

18

9

16 3

2

1

A=1

B=4 C=2 D=5

E=6

F=7

G=4

H=3

I=2

J=1

K=15

L=3

M=2

N=1

O=2

A’=0

E’=0

G’=0

M’=0

O’=0



La Duración del Proyecto: es de 23 días

Varianza 1: (B-C-D-F-H-O)= 1,889


Varianza 2: (B-C-D-F-H-O)= 1,889


𝑍 = 25 − 23

1,374= 1,4556


Ruta Crítica: Ruta Crítica 1: B-C-D-F-H-O

Ruta Crítica 2: B-C-D-F-H-M



4.8. PERT – COSTOS

El Pert-costo estudia cómo varían los costos versus el plazo de ejecución de la obra.

Los costos de una obra son de cuatro tipos:

a) Costo de materiales.

b) Costo de mano de obra.

c) Costo de uso de equipos

d) Gastos generales

Directos de la obra

Indirectos o GG de la empresa.

Existe un límite mínimo sobre el tiempo total que se requiere para terminar un proyecto; más

allá de este punto, el costo se encuentra sin una reducción adecuada en el tiempo de terminación

del proyecto. Pienso en aumentar equipos o personal hasta que lleguen a una situación, sin

lograr mayor rendimiento y aumentando los costos.

Para determinar en qué actividades deben reducir sus plazos de ejecución debe conocerse:

a) Ruta crítica

b) Costo esperado asociado con cada tiempo esperado en la actividad.

El procedimiento que se utiliza consiste en examinar las actividades de la ruta crítica y elegir

disminuir tiempo en ellas decidiendo las que signifiquen menos incremento de costo.

Si aparecen rutas críticas paralelas, se debe reducir todas ellas en forma simultánea; continuando

con el procedimiento se llega a un momento en que todas las actividades son críticas.

El programador debe decidir después de haber calculado una serie de programas con cual

quedarse, con criterios de realismo y de beneficio tanto para la empresa como para el personal.

Los costos para cada plazo se calculan en un tiempo normal y con costo normal y un programa

al límite inferior de plazo con su costo asociado, de ahí se pasa a determinar los aumentos de

costos por reducción de tiempo, eligiéndose las actividades que presenten menor coeficiente de

incremento de costo.

Relación entre costo de actividades: Costo

Costo al límite (cl) actividad al límite de tiempo

Costo normal (cn) actividad normal

Tiempo

Tiempo al límite tl tn tiempo normal

Costo de reducción por unidad de tiempo:

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 − 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑎𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒=

𝑐𝑙 − 𝑐𝑛

𝑡𝑛 − 𝑡𝑙



264. Resolver la red Pert-costo y calcular el costo marginal.

Act Actividad Antecedente

T. normal (semanas)

T. límite (semanas)

Costo Directo Normal

Costo al

límite

Costo Semanal

= cm A - 1 1 5.000 5.000 ------

B A 3 2 5.000 12.000 7.000

C A 7 4 11.000 17.000 2.000

D B 5 3 10.000 12.000 1.000

E B 8 6 8.500 12.500 2.000

F C,D 4 2 8.500 16.500 4.000

G E,F 1 1 5.000 5.000 ------

53.000 80.000

Programa Normal

Ruta Crítica

A,B,D,F,G

Costo Normal

53.000 con un plazo normal de 14 semanas.

Programa al Límite

Ruta Crítica

A,B,E,G

Costo Límite

80.000 con un plazo al límite de 10 semanas.

0

1

0 1

2

1

4

3

4

9

4

9

13

5

13 14

6

14

A=1

G=1 E=8

C=7

0

1

0 1

2

1

3

3

3

7

4

6

9

5

9 10

6

10

A=1

G=1 E=6

C=4



CÁLCULO DEL COSTO MARGINAL

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 − 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑎𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒

𝑐𝑚 = 𝑐𝑙 − 𝑐𝑛

𝑡𝑛 − 𝑡𝑙

𝑐𝑚 = 80.000 − 53000

14 − 10

𝑐𝑚 = 6750



4.9. PROBLEMAS PROPUESTOS PERT-CPM

265. CNT, está a punto de aumentar sus ofertas de televisión por cable en el cantón

Cevallos añadiendo MTV y otras estaciones que atraen público. Hay que terminar la red

del proyecto y la ruta crítica (en días).

Actividad Detalle Predecesor Te

A Escoger estaciones --- 2

B Hacer que el concejo municipal apruebe

la expansión. A 4

C Encargar convertidores necesarios para

ampliar el servicio. B 3

D Instalar nuevas antenas parabólicas para

recibir las nuevas estaciones. B 2

E Instalar los convertidores C, D 10

F Cambiar el sistema de facturación B 4

266. Cuando una empresa de auditoría verifica la contabilidad de una corporación, la

primera fase de la auditoría es la obtención del “conocimiento del negocio”. Esta fase

de la auditoría requiere las siguientes actividades. Determinar la red del proyecto y la

ruta crítica en días.

267. Considere las actividades de la tabla siguiente en la construcción de una casa.

Dibuje la red de proyecto y determine la ruta crítica.


A Construir los cimientos - 5

B Construir los muros y

los techos

A 8

C Construir el tejado B 10

D Colocar los cables

eléctricos

B 5

E Colocar las ventanas B 4

F Colocar revestimiento E 6

G Pintar la casa C, F 3

Actividad Descripción Predecesor Duración

A Determinar los términos del contrato --- 3

B Estimación del riesgo de la revisión de

cuentas o importancia

A 6

C Identificación del tipo de transacciones y errores

posibles

A 14

D Descripción de sistemas C 8

E Verificación de la descripción de

sistemas

D 4

F Evaluación de controles internos B-E 8

G Diseño del enfoque de la revisión de

cuentas

F 9

CAPÍTULO IV Modelos de Redes Problemas Propuestos



secuencia, necesarias para una fiesta de grado.


A Preparar cada parte - 5.16

B Instrumentar la música - 3.16

C Contratar artistas B 3.83

D Diseñar la coreografía A,C 3.33

E Ensayo de danza D 4.33

F Preparar del escenario C 6

G Preparar el vestuario F 5

H Ensayo de vestuario F 6.16

I Ensayo general B 4.5

J Ensayo final H,E,G 2.5

a) Identifique las relaciones de precedencia de cada tarea.

b) Trace la red de proyecto.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto esté listo en medio año?

d) ¿Cuánto tiene que durar el proyecto para tener un 97% probabilidad de que el mismo

esté terminado?

269. El promotor de un concierto de rock en Indianápolis debe realizar las tareas que

se muestran en la tabla, antes de realizar el concierto. Dibuje la red de proyecto y

determine la ruta crítica en meses.

Actividad Detalle Predecesor a m b

A Encontrar un lugar - 2 3 4

B Encontrar ingenieros A 1 2 3

C Contratar el acto inicial A 2 6 10

D Anuncios en radio o TV C 1 2 3

E Instalar vendedores de

billetes

A 1 3 5

F Instalaciones eléctricas B 2 3 4

G Imprimir publicidad C 3 5 7

H Arreglar el transporte C 0,5 1 1,5

I Ensayos F, H 1 1,5 2

J Detalles de último

momento

I 1 2 3


secuencia, necesarias para un proyecto. Dibuje la red de proyecto y determine la ruta

crítica en meses.


A Elegir local de oficina --- 2 3 4

B Crear el plan financiero y de organización --- 4 4.5 8

C Determinar requerimientos de personal B 1 3 5

D Diseñar local A,C 3 4 5

E Construir el interior D 6 7 14



F Elegir personal a mudar C 2 2 2

G Contratar nuevos empleados F 2 4 6

H Mudar registros, personal clave F 1 2 3

I Hacer arreglos financieros con las instituciones B 4 5 6

J Entrenar personal nuevo H,E,G 3 3 3

271. Una planta desea producir un nuevo fertilizante, para ello debe realizar

previamente ciertas actividades. Los dueños de la planta solamente cuentan con tiempos

estimados en semanas para realizar cada una de las actividades y necesitan determinar

cuánto tiempo deberán disponer antes de comenzar con los ensayos de producción de

fertilizante.

a) Dibuje la red de proyecto, y determine la ruta crítica en meses

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los ensayos puedan comenzar 2 semanas antes del

tiempo medio calculado?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que los ensayos puedan comenzar 3 semanas después?

d) ¿De cuánto tiempo deberá disponer para que haya un 0,998 de probabilidad de

comenzar los ensayos en una fecha determinada?

272. Una empresa construye una planta para producir un nuevo alimento

congelado. Se han identificado las actividades y los tiempos estimados, en meses, en

la tabla de abajo y se han establecido las relaciones de precedencia. ¿Cuánto durará

el proyecto? ¿Qué actividades no deben retrasarse? ¿Qué holgura poseen las

actividades D, H y N? ¿Qué significa?


A Diseño de ingeniería del edificio --- 1

B Diseño de la línea productiva --- 1

C Diseño del horno B 2

D Diseño del congelador B 1


A --- 1 2 3

B --- 1 2 4

C B 1 3 4

D B 1 2 3

E B 2 4 6

F C,D,E 3 5 8

G C 2 4 6

H E 2 3 5

I F,H 1 2 3

J I,G 5 8 10

K J 1 2 4

L J 1 2 5

M K,L 2 3 4

N L 4 5 8

O M,N 1 2 4



E Diseño del equipo de empaquetado B 1

F Pedido y manufactura del horno C 9

G Pedido y manufactura del congelador D 8

H Pedido y manufactura del equipo de empaquetado E 3

I Envío y aceptación de propuestas para la construcción del

edificio

A 2

J Construcción del edificio ( 1era Fase) I 9

K Construcción del edificio ( 2da Fase) J 5

L Instalación del horno F, J 2

M Instalación del congelador J, L 0

N Instalación del equipo de empaquetado H, J 0

O Pruebas de horneado K, L 1

P Pruebas de congelación M,O 0

Q Pruebas al sistema total N,P 0

R Inspección gubernamental N,P 0

273. Se desea lanzar un nuevo proyecto al mercado para ello se cuenta con las

siguientes actividades. Determinar la Red Pert - Cpm

Actividad Descripción Predeceso

r

a m b

A Cuero - 3 4 5

B Clavos - 1 3 5

C Pega - 4 2 6

D Coser A,B 6 3 6

E Hormas B 4 5 6

F Plantillas B 4 2 6

G Plantas C 2 2 8

H Pasadores D 3 4 5

I Cartones D,E 3 1 5

J Fundas D,F,G 3 4 5

K Modelos D,F,G 2 4 6

L Estado financiero D 4 2 6

M Clientes D 1 5 3

N Local de ventas L,H,I,J,K 4 2 6

274. Se desea lanzar una nueva mermelada al mercado para ello hay que determinar

la red del proyecto y la ruta crítica, además la probabilidad de que el proyecto se

termine en 345 días.

Actividad Descripción Precedente Posterior Te

A Descargas de naranjas -- D 30

B Descarga de maracuyá -- E 30

C Descarga de naranjilla -- E 30

D Lavado de naranja A H 20

E Cepillado y lavado de maracuyá y la naranjilla B,C F 20

F Purificación de maracuyá y la naranjilla E G 30

G Control de calidad e en los laboratorios de maracuyá

y la naranja

F I,J 20



H Control de calidad de la naranja a través de bandas

de transporte

D K 15

I Clasificación de maracuyá G K 10

J Clasificación de la naranjilla G N 10

K Corte de la naranja maracuyá H,I L,M 20

L Transportación de maracuyá por la banda K N 5

M Transportación de la naranja por la banda K O 5

N Envío de maracuyá y naranjilla al pulper de

extracción y refinación

J,L R 60

O Envío de la naranja al extractor eléctrico M P,Q 20

P Envío de la naranja al mini concentrador O -- 30

Q Envío de la naranja a la marmita O R 60

R Envío de la fruta al termobreak (naranja, maracuyá y

naranjilla)

N,Q S 30

S Envío de la mezcla a la pasteurizadora R T 20

T Envase y codificación S U 30

U Cámara de enfriamiento T V 20

V Distribución U -- 30

275. Cosmetics incorporated, ha decidido producir un nuevo producto revolucionario

para el mercado de consumidores. Los problemas de planeación y control de las

diversas fases del programa promoción de ventas, adiestramiento de vendedores,

fijación de premios, envase, publicidad y manufactura son evidentes para la

administración de la empresa, requiere que el lector la guíe en esa difícil situación,

empleado Pert Tiempo. Determinando el tiempo del proyecto, CPM.

Actividad Descripción Secuencia T.E A Estudio de requerimiento de equipo B 0.5

B Escoger el proveedor de equipo C,D,E,F,G 0.5

C Determinar los procedimientos de manufactura H 2

D Determinar los procedimientos óptimos de compras e inventarios I 2

E Fijación de precios del producto K 1

F Determinación del costo del nuevo producto O 1

G Equipo recibido e instalado en la nueva fábrica P 7

H Determinar los procesos de control de calidad Q 2

I Hacer el pedido de materia prima J 1

J Manufacturar el recibo de las materias primas para prueba y recorridos de

producción Q 3

K Bosquejar y finalizar el trabajo artístico L 3

L Enviar material de prueba y envío a los proveedores M 0.5

M Tiempo para la producción. De material de prueba N 4

N Recibo de envases y suministros de empaque Q 0.5

O Financiamiento de inventario para el nuevo producto Q 2

P Personal disponible para la primera corrida de producción Q 0

Q Elaboración de la corrida de prueba R,S 2

R Conferencia de ventas T 0.5

S Primera corrida de producción - 6



T Adiestramiento de ventas - 1

276. La Universidad Técnica de Ambato, realiza una planificación para cursos de

cuarto nivel, las actividades se indican en la tabla inferior, así como sus precedentes y la

duración expresada en semanas (optimista, pesimista y más probable):

Se pide: Duración del proyecto, Ruta Crítica, Probabilidad de que el proyecto termine

en 25 días.

277. Cierta empresa ha decidido añadir un nuevo producto, comprar el producto a

una firma fabricante, lo envasará y lo venderá a distribuidores seleccionados por zona

geográfica .Las actividades se desarrollan en las siguientes actividades: Determinar la

Red Pert – CPM.

Actividad Descripción Precedente a m b A Organizar la oficina de ventas - 1 3 5

B Contratar vendedores A 2 3 4

C Instruir vendedores A 1 2 3

D Seleccionar agencia de publicidad B,C 2 4 6

E Planear campaña de publicidad B 3 7 11

F Dirigir campaña de publicidad C 1 2 3

G Diseñar envase E 1 1 1

H Seleccionar distribuidores G,D,F 5 5 5

I Vender a los distribuidores F 1 5 8

J Pedir stocks a distribuidores I 2 3 4

K Expender stocks a distribuidores H 3 6 9

278. En un colegio los estudiantes de un paralelo x deciden organizar un viaje de

fin de año escolar y tienen las siguientes actividades a realizarse. Calcular tiempo

Actividad Descripción Precedente a m b A Preparar planos --- 1 2 3

B Identificar Maestrías A 2 4 6

C Identificar Doctorados B,H 1 1 1

D Elaborar junta informativa -- 3 6 9

E Seleccionar contratista G 2 3 4

F Preparar permisos E 3 5 7

G Obtener permisos D 1 2 3

H Realizar construcción G 1 2 3

I Asistir a clases D 1 3 5

J Finalizar clases I 3 4 5

K Mudanzas de maestrías D 2 3 4

L Mudanzas de doctorados J,K 3 5 7

M Terminar con los proyectos C,L 1 2 3



esperado en días, duración de proyección, ruta crítica, varianza, cuál es la probabilidad

de que el proyecto termine en menos de 38 días.

279. La empresa CONSTRUCTORA S.A. programó las siguientes actividades para

la construcción de una calle en concreto asfáltico (proyecto resumido – tiempo dado en

días):

Actividad Descripción Precedente a m b A Excavación - 10 15 17

B Sub-Base A 6 7 8

C Compactación B 2 2 3

D Base C 2 4 5

E Compactación D 1 1 2

F Canaletes C 3 6 7

G Pegante E,J 1 1 2

H Capa asfalto F,G 2 3 4

I Compactación H 1 1 2

J Pruebas Base E 1 2 3

K Pruebas Asf. I 1 2 3

280. El Banco Mercantil desea mudar su centro de operación de la vicepresidencia de

tarjetas de crédito desde su actual oficina en el edificio principal de las oficinas del

banco, a una nueva sede ubicada en el este de la ciudad donde dispondrá de mayor

Actividad Descripción Precedente a m b A Contactar con otros compañeros que podrían estar

interesados en participar el viaje y formar un comité

organizador.

-- 1 2 3

B Elaborar una lista potencial de agencias de viaje. A 3 4 8

C Recabar información acerca de diferentes destinos

turísticos, con presupuestos orientativos.

A 1 3 5

D Estudiar posibles fechas para el viaje. B 1 2 3

E Preparar una reunión informativa para ver la

disponibilidad de los compañeros de clase y discutir

destinos y fechas.

B,C 5 6 10

F Sabiendo el número aproximado de personas

interesadas y las fechas aproximadas, negociar con

diferentes agencias.

B,C 1 1 2

G Organizar reunión para decidir la opción final.

D 3 4 5

H Recaudar reservas de plaza.

E,D 3 2 7

I Organizar el pago completo y recogida de billetes.

D,E,F 1 2 3

J Preparar folleto informativo para los participantes. G,H 5 6 7

K Hacer lista de lugares a visitar. G,H,I 0,5 1 1,5

L Hacer presupuesto de cuanto gastar en comida, hotel,

etc.

J,K 1 2 3



espacio para atender a los clientes. En la siguiente tabla observamos las actividades a

realizar para la mudanza la cual se espera realizar en 35 días.

Act. Descripción Pred. a m b A Visitar oficinas - 2 3 4

B Seleccionar oficina - 3 4 5

C Crear plan organizacional y financiero - 2 4 5

D Determinar requerimientos de personal A 3 5 6

E Diseñar la instalación C 5 7 8

F Adquirir equipos de oficina A 1 3 6

G Comprar materiales para la remodelación de la oficina C 3 4 6

H Remodelar y equipar la oficina B,D,E 2 4 5

I Seleccionar el personal a transferir A 2 3 4

J Contratar nuevos empleados C 4 5 6

K Efectuar la mudanza física, muebles, personal clave, etc. F,G,H 5 8 10

L Hacer arreglos financieros con departamento de finanzas F,G,H 5 7 9

M Preparar capacitaciones F,G,H 1 3 5

N Capacitar nuevo personal I,K 2 3 4

O Realizar actividades en equipo N,L 2 4 5

P Dar a conocer las funciones de cada uno I,K 3 5 6

Q Realizar una reunión de todo el personal de la oficina para tratar

asuntos importantes

J,M,O

3 4 6

R Iniciar las actividades en el campo laboral N,L 4 5 7

281. La siguiente tabla muestra el conjunto de actividades de un proyecto, sus

relaciones de precedencia y los tiempos: optimista, probable y pesimista de duración de

cada actividad. Determine la probabilidad de que dicho proyecto culmine en un periodo

de 60 días.

Actividad Precedente Duración (DÍAS) OPT. (a) PROB. (m) PESIM. (b)

A - 2 5 14

B - 2 9 10

C - 3 5 7

D A 1 3 2

E C 1 4 7

F A 2 3 4

G C 1 2 4

H F 1 3 5

I D-B-E 10 11 12

J D-B-E 2 3 10

K G-J 5 6 13

L H-I 5 8 17

M L-K 4 7 16

N M 6 8 16

O M 1 2 5

P N 1 3 5

Q O 4 7 10

R P-Q 1 3 7



282. La empresa Coca-Cola ha decidido crear un producto revolucionario para el

mercado de consumidores. Los problemas de planeación y control de las divisas faces

del programa promoción de ventas, adiestramiento de vendedores, fijación de precios

envase, publicidad y manufactura son evidentes para la administración de la empresa y

quiere que el lector le guíe en esa difícil situación. Determine el tiempo del proyecto y

las rutas críticas.

Act. Descripción Predecesora Te A Estudio del requerimiento B 0.5

B Escoger al proveedor C,D,E,F,G 0.5

C Procedimientos óptimos H 2

D Procedimiento de la manufactura I 2

E Fijación de precios K 1

F Costo del nuevo producto O 1

G Equipo recibido en la fábrica P 7

H Control de la calidad Q 2

I Pedido materias primas J 1

J Manufactura recibo de las materias primas Q 3

K Finalizar el trabajo o artístico L 3

L Enviar material de publicidad M 0.5

M Tiempo para la producción N 4

N Recibo de envases Q 0.5

O Financiamiento de inventarios Q 2

P Personal disponible Q 0

Q Elaboración de corrida de prueba R,S 2

R Conferencia de ventas T 0.5

S Primera corrida de producción NINGUNA 6

T Canales de distribución -

U Adiestramiento de ventas NINGUNA 1

283. La tabla muestra un conjunto de actividades de un estudio de transporte. Se

indica la pre relación entre actividades y una lista de los tiempos (optimista, más

probable y pesimista) de duración de cada actividad. Usando estos datos, calcule:

a. Lista de actividades críticas

b. Tiempo esperado de duración del estudio y su varianza

c. Probabilidad de acortar la duración del proyecto por debajo de dos años (duración

programada inicialmente).

TIEMPOS (SEMANA)

Act. Descripción Predecesora a m b

A Diseño inicial del estudio - 8 12 16

B Encuesta de hogares A 22 25 40

C Inventarios de usos del suelo A 14 20 26

D Inventarios de empleos A 6 8 10

E Encuestas en la vía A 10 12 14

F Inventario de estacionamientos A 3 4 5

G Inventarios viales A 8 10 18

H Encuesta de carga y taxis A 4 5 6

I Otras encuestas complementarias A 3 7 11

J Diseño modelo crecimiento regional A 10 12 14



K Diseño modelo uso del suelo A 10 15 20

L Diseño modelo de transporte A 8 10 12

M Calibración modelo crecimiento regional B, D, J 1 3 5

N Calibración modelo uso del suelo B, C, D, G, I, K 1 4 7

O Calibración modelo de transporte B, C, D, E, G, H, I,

L 4 5 6

P Pronósticos de crecimiento regional M 1 2 3

Q Pronósticos de uso del suelo F, N, P 1 2 3

R Pronósticos de transporte O, P, Q 2 3 4

S Evaluación pronósticos de uso del suelo R 1 2 3

T Evaluación pronósticos de transporte R 1 1 1

U Plan de desarrollo urbano S, T 3 7 11

V Plan de transporte S, T 4 5 6

W Estudio financiero U, V 1 2 3

X Informe Final X 2 4 12

284. El siguiente cuadro contiene todas las actividades referentes al proceso de

lanzamiento de un nuevo producto de las Industrias Fabril S.A. El control de este

proceso es sumamente importante para la empresa, debido al cumplimiento de

compromisos de ventas contraídos con una cadena de supermercados. Las actividades

de dicho proceso han sido codificadas con letras y sus tiempos de realización han sido

establecidos en días. El director ha desarrollado el proyecto con las actividades que se

presentan en la siguiente tabla. Calcular la red Pert-Cpm, la probabilidad de terminar en

el menor tiempo posible, ¿cuál será la duración del proyecto?

Act. Descripción Predecesora Tiempo (días) A Finalizar los contratos del sitio - 7

B Seleccionar al promotor local A 3

C Contratar al gerente de producción A 3

D Diseñar el sitio Web de promoción B 5

E Establecer el acuerdo con la TV D 6

F Contratar al Director E 4

G Plan para la colocación de cámara TV F 2

H Identificar a los anfitriones principales B 4

I Identificar a los anfitriones de apoyo H 4

J Reservaciones de los asistentes I 10

K Establecer la capacidad local C 2

L Contrato de camarógrafos D,K 3

M Elaboración de invitaciones L 8

N Sonido y foro C 6

O Pases y gafetes para foro G,R 7

P Reservaciones para personal B 20

Q Coordinación de patrocinadores B 4

R Suministros y equipos Q 4

S Patrocinadores R,X 3

T Operaciones A 4

U Trámites correspondientes T 6

V Personal de seguridad T 7

W Asistente bomberos y policías V 4

X Instalación eléctrica U 8

Y Mercancías B 6

Z Realización de contrato Y 6



285. Una empresa multinacional decide construir un complejo hotelero en la ciudad

de Ambato con vistas a una promoción turística. Como no conoce con exactitud el

tiempo que le demandará la ejecución de las actividades del proyecto, ha realizado tres

estimaciones de tiempos, en días, para cada una. A continuación se detallan las tareas

involucradas en el proyecto, sus predecesoras inmediatas.

1. Con esta información construya la red de programación, defina la ruta crítica y

establezca tanto la duración esperada del proyecto como la varianza y desviación

estándar para este proyecto.

2. Cuál es la probabilidad de terminar para la siguiente cantidad de días:

a. 80 días

b. 100 días

Act. Descripción Predecesora a m b A Preparar planos arquitectónicos - 2 4 6

B Identificar posibles clientes - 5 8 11

C Estudio de mercado - 4 9 11

D Seleccionar contratista A 8 10 12

E Preparar permisos de construcción A,B 7 11 15

F Obtener aprobación B 6 12 18

G Realizar la construcción A, B, C 12 15 18

H Informe sobre la construcción B, C 15 15 15

I Evaluación de riesgos C 14 20 26

J Trámites municipales D 8 9 10

K Planificación de investigación de mercado E 9 18 27

L Diseño de logotipo de la empresa hotelera F 3 6 9

M Realizar una investigación de mercado G 4 5 6

N Estimaciones de costos H 1 1 1

O Diseñar la publicidad I 5 10 15

P Efectuar pruebas preliminares I 4 8 12

Q Preparar informes de control J, K, L 7 14 21

R Elaboración de flujogramas de procesos J, K, L 9 11 13

S Compra de equipos J, K, L 8 8 8

T Contratación de operarios para la construcción J, K, L, M 8 16 24

U Construcción N, O 6 10 14

V Montaje P 2 8 14

W Reporte de gastos V 11 13 15

X Reporte final Q J, K, L 10 16 22

Y Instalación de equipos Q, R, S 14 14 14

Z Verificación T 13 19 25

AA Publicidad T, U, W 2 4 6

AB Inauguración AA 5 7 9

AC Invitación de autoridades Y, Z 22 22 22

AD Puesta en marcha X 1 7 13



APÉNDICE…………………… ........................................................................................................... 2ун

5. APÉNDICE A .............................................................................................................. 2уо

5.1. PROGRAMA QM FOR WINDOWS ..................................................................... 2уо

5.2. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ............................... 28у

5.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE ............................................... 2фн

5.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REDES PERT-CPM ......................................... 2фр

6. APÉNDICE B .............................................................................................................. олл

6.1. PROGRAMA PHPSIMPLEX EN LA WEB .............................................................. олл

7. APÉNDICE C............................................................................................................... олр

7.1. PROGRAMA GEOGEBRA ................................................................................... олр

Φ BIBLIOGRAFÍA.........................................................................................................................315

APÉNDICE A Software QM for windows Uso y utilización


APÉNDICE

5. APÉNDICE A

5.1. PROGRAMA QM FOR WINDOWS

19El Software “QMfor Windows” fue desarrollado por el profesor Woward Weiss, ha sido por

mucho tiempo el software de elección para los métodos cuantitativos. Funciona de acuerdo a un

menú y es muy fácil de utilizar, de modo que la persona que lo realiza no encontrará ninguna

complicación.

¿Para qué sirve?:

Para resolver problemas o para comprobar las respuestas que se han obtenido a mano.

La planificación de las operaciones, entre otras cosas contiene: resolver problemas de

transporte, pronósticos, manejo de inventario, balances de línea, líneas de espera,

programación lineal, localización, modelos de redes, etc.

El link de descarga del programa es:

http://qm-for-windows.software.informer.com/download/

http://wps.prenhall.com/bp_weiss_software_1/1/358/91664.cw/

INSTALACIÓN DEL PROGRAMA

1. Damos doble clic en el ícono setup.exe.

2. Si sale ventanas de cambio en el sistema, seleccionamos sí.

3. A continuación aparecerá una ventana de instalación que por defecto tendrá señalada la

opción individual. Únicamente seleccionamos Next.

19 https://es.scribd.com/doc/165791975/POM-Manual-en-Castellano-Vrs6

http://qm-for-windows.software.informer.com/download/

http://wps.prenhall.com/bp_weiss_software_1/1/358/91664.cw/



4. Aparecerá un cuadro con el destino de la carpeta, por defecto está estará en el disco

local C, damos clic en Next.

5. El siguiente cuadro que aparece pedirá su información personal, lo llenamos y damos

clic en Next.



6. En el cuadro a continuación seleccionamos Next.

7. Seleccionamos Next para la instalación del manual.

8. Luego seleccionamos Next.



9. En el siguiente cuadro seleccionamos Next.

10. Aparecerá un cuadro donde se verá que la instalación está procesando.

11. El siguiente cuadro informará que la instalación ha finaizado con éxito, seleccionamos

finish.

12. Automáticamente el ícono del programa aparecerá en el escritorio de su computador.



13. Damos doble clic en el ícono para ingresar al programa.

Nos aparece de entrada la pantalla que vemos a continuación, en donde podemos seleccionar

cualquiera de dichos módulos para la resolución de problemas.

ÍCONOS DEL PROGRAMA QM FOR WINDOWS

Barra de menú Al inicio del programa la opción editar no está habilita ya que no hay archivos guardados.

Barra estándar La barra estándar o de cinta está bajo la barra de menú, la cual contiene opción de impresión y

otras como se muestran a continuación:

Como en otros programas, esta barra se puede ocultar para tener más espacio en la resolución

del problema.

En el módulo de programación lineal y transporte, una herramienta importante es el icono

El que presionamos luego de introducir las restricciones para obtener la

respuesta o también podemos presionar la tecla rápida F9, hay que tener en cuenta que luego de

presionar en el icono solve esta herramienta se cambia a modo de edición en donde nos permite

navegar por todas las partes del problema desde la introducción de datos hasta la solución.

Si damos clic en el icono

Nos permite editar el problema, y corregir datos que tal vez tipiamos mal.

El ícono:

Nos permite ir adelante o atrás, entre la introducción de datos y al solución.

Barra de formato Similar a la de Word o Excel para cambiar la letra, numero, etc.



5.2. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Para resolver problemas de maximización o minimización, con cualquier número de variables y

restricciones vamos a explicar con un ejemplo el uso del programa aplicando los siguientes

pasos:

Ejemplo: Un agricultor posee un terreno de 100 hectáreas en la que desea producir papas y arveja; por su

experiencia el calcula que una hectárea puede producir 20 qq si solo siembra papas o 25 qq si

solo se siembra arveja. Los recursos con que cuenta, además del terreno, son 8000 unidades

monetarias, la hectárea de papas requiere un capital de 1000 unidades monetarias y la de arveja

requiere 1200 unidades monetarias, las necesidades de agua de riego es de 800 m3 y 700 m

3 por

hectárea de papas y arveja. La disponibilidad de agua en ese sector es de 5800 m3 si los precios

de venta son de 18 unidades monetarias por qq de papas y 16 por qq de arveja. ¿Cuánto se debe

producir de cada producto para maximizar la ganancia?


𝑥1 = Quintales de papas

𝑥2 = Quintales de arveja


3.-Restricciones:

{

1

20𝑥1 +

1

25𝑥2 ≤ 100

1000

20𝑥1 +

1200

25𝑥2 ≤ 8000

800

20𝑥1 +

700

25𝑥2 ≥ 5800

= {

0.05𝑥1 + 0.04𝑥2 ≤ 100 (1)

50𝑥1 + 48𝑥2 ≤ 8000 (2)

40𝑥1 + 28𝑥2 ≥ 5800 (3)


1. En la parte superior de la pantalla se encuentra la barra de tareas del programa, nos

ubicamos en la pestaña Module y seleccionamos Linear Programming.



2. Nos dirigimos a la pestaña File y seleccionamos New

3. A continuación aparecerá un cuadro en donde si deseamos ponemos el título del

problema, seleccionamos el número de restricciones con la barra de desplazamiento

dando un clic, luego seleccionamos el número de variables, después seleccionamos

maximizar o minimizar dependiendo del problema, los nombres de las filas (row

names) y nombres de columnas (column names) dejamos tal como está. Y luego damos

clic en OK.

4. Aparecerá una ventana con campos vacíos en donde se colocaran los coeficientes de la

función objetivo y restricciones.

5. Una vez ingresados los datos, damos clic en solve.

Los sentidos de desigualdad (>, <, =)

podemos cambiar dando clic en la

flecha de desplazamiento y

seleccionamos cualquiera de los tres.



Automáticamente se desplegará una pantalla con los resultados, en donde el programa nos

presenta 5 maneras de ver la solución:

1) Resultados de la programación lineal.- en donde la parte inferior de la tabla se

encontrarán los resultados resueltos por el método simplex y en la parte derecha los

resultados obtenidos por el método dual. Resumen: 𝑿𝟏 = 𝟏𝟎𝟒, 𝟔𝟏𝟓𝟒; 𝑿𝟐 = 𝟓𝟕, 𝟔𝟗𝟐𝟑;𝒁 =

𝟐𝟖𝟎𝟔, 𝟏𝟓

2) Programa Corrido

3) Lista de soluciones

Dualidad

5 resultados



4) Todas las repeticiones de la tabla simplex hasta llegar a la solución óptima

5) Solución gráfica.- este tipo de solución solo se puede visualizar cuando en el problema

existen solamente dos variables, caso contrario solo se trabaja con el método simplex.



5.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE


ubicamos en la pestaña Module y seleccionamos Transportation.

2. Nos dirigimos a la pestaña File y seleccionamos New

3. A continuación aparecerá un cuadro en donde, si deseamos, ponemos el título del

problema, seleccionamos el número de fuentes con la barra de desplazamiento dando

un clic, luego seleccionamos el número de destinos, después seleccionamos maximizar

o minimizar dependiendo del problema, los nombres de las filas (row names) y nombres

de columnas (column names) dejamos tal como está. Y luego damos clic en OK.

Para explicar de una manera detallada vamos hacerlo con el siguiente ejemplo que es un sistema

balanceado:



Encontrar el costo mínimo óptimo iniciando por el método la esquina noroeste



C 1 C 2 C 3 C 4

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s) F 1 10 0 20 11

15

F 2 12 7 9 20 25

F3 0 14 16 18 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

45

4. Nos aparece una tabla, para llenar los costos unitarios de cada fuente a cada destino y

también las ofertas y demandas, además en la parte superior tenemos 4 opciones para el

cálculo del costo inicial, 1) Comience por cualquier método, 2) Método de la esquina

noroeste, 3) Método del costo mínimo, 4) Método de aproximación de Vogel.

Seleccionamos para este ejemplo la esquina noroeste.

5. Luego damos clic en solve, teniendo 6 maneras de ver la respuesta: 1) Tabla de transporte de envíos, 2) Costos marginales, 3) Tabla final de soluciones, 4)

Tablas del proceso, 5) Los envíos y sus costos, 6) La lista de envíos. En la primera

tabla tenemos el costo óptimo y sus respectivos envíos.



Ejemplo 2: cuando se tienen un problema desbalanceado

Simplemente ingresamos al programa los datos de los costos unitarios, ofertas y demandas y el

software nos resuelve automáticamente con fuentes o destinos ficticios:

TABLA INICIAL DE TRANSPORTE DESTINOS

(Clientes) OFERTA C 1 C 2 C 3

FUE

NT

ES

(Fáb

rica

s)

F 1 68 215 100

2000

F 2 108 80 102

1400

DEMANDA 1000 1500 1200 3400

3700

Ingresamos los costos unitarios, demandas y ofertas.



Tenemos las siguientes respuestas: Costo optimo mínimo: 280000, y los diferentes envíos de

transporte, hay que tener en cuenta que la fuente ficticia no existe, solamente es parte del

proceso matemático para su resolución.

5.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REDES PERT-CPM


ubicamos en la pestaña Module y seleccionamos 20Project Management

(PERT/CPM).

2. Nos dirigimos a la pestaña File y seleccionamos New, Single time estimate

20 https://www.youtube.com/watch?v=bzW6cyGO7uY

Fuente ficticia



3. A continuación aparecerá un cuadro en donde, si deseamos, ponemos el título del

problema, seleccionamos el número de tareas o actividades, con la barra de

desplazamiento dando un clic, luego seleccionamos la tabla de estructura: lista de

precedencia, después seleccionamos los nombres de las filas (row names) A, B, C,

D, E,…. Y luego damos clic en OK.

Para explicar de una manera detallada vamos a realizar un ejemplo de una red Pert – Cpm, con

toda la explicación detallada:

Problema 1: La directora de educación acaba de aprobar los planes para realizar un seminario de

capacitación en ventas. Su asistente administrativo ha identificado las diversas actividades que

será necesario llevar acabo y las relaciones que existen entre ellas, como se aparecía en la

siguiente tabla:

2

1

3 4



TABLA DE ACTIVIDADES

Actividad Precedente(s) Inmediato(s)

Duración

A - 5

B - 6

C - 3

D A 11

E B 8

F C,E 3

G D 4

H F 5

I G,H 8

J G 4

4. Se aparece una tabla, para llenar la duración o tiempo de cada actividad (Activity

time), luego llenamos las actividades precedentes (Prec 1), cuando tenemos 2

actividades precedentes, la segunda lo llenamos en la columna de (Prec 2), y si

hubiera una tercera llenamos en la columna de (Prec 3).

5. Luego damos clic en solve, tenemos 2 ventanas de respuestas, en la primera ventana

tenemos los resultados de todos los tiempos, tiempo tardío y tiempo lejano, además

se tiene la Holgura (slack). En la segunda ventana tenemos 4 pestañas de respuestas de diagramas de Grantt de

los tiempos lejanos y cercanos y el diagrama de pert-cpm:



Ventana de Tiempos temprano y cercano.

Ventana de diagramas de Grantt

Ventana del Diagrama PERT –CPM, la ruta crítica esta de color rojo.

Problema 2: la empresa constructora hermanos s.a. El ingeniero diseñador luego de hacer los

planos, pone en ejecución las siguientes actividades, determinando los siguientes tiempos:

Tiempo optimista (a), tiempo medio (m), tiempo pesimista (b). Se desea determinar el diagrama

pert, y la ruta crítica.

Tiempo temprano Tiempo tardío

Holguras Nota:

El CPM se

forma con las

holguras =0



Actividades Descripción Predecesoras a m b

A Cimientos y paredes - 2 5 6

B Plomería A 2 6 7

C Electricidad y techos A 1 2 4

D Pintura exterior B,C 4 5 7

E Pintura Interior D 2 2 2

F Acabados E 1 1 1

Ingreso de datos:

Respuestas de Tiempos:

Respuestas del diagrama PERT y CPM

APÉNDICE B Software Phpsimplex Programación lineal


6. APÉNDICE B

6.1. PROGRAMA PHPSIMPLEX EN LA WEB

PHPSimplex es una herramienta online para resolver problemas de programación lineal. Su uso

es libre y gratuito. Para acceder a ella ingresa al link: http://www.phpsimplex.com/index.htm

luego pulsar sobre el ícono que aparece a la izquierda, o sobre «PHPSimplex» en el menú

superior.

PHPSimplex es capaz de resolver problemas mediante el método Simplex, el método de las Dos

Fases, y el método Gráfico, y no cuenta con limitaciones en el número de variables de decisión

ni en las restricciones de los problemas.

Esta herramienta está pensada para ayudar a los estudiantes en su aprendizaje ya que no solo

muestra los resultados finales sino también las operaciones intermedias. También ofrece la

solución directa para uso de profesionales. Otras de sus ventajas, son que no precisa de ningún

lenguaje para enunciar el problema, ofrece una interfaz amigable, es cercano al usuario, de

manejo fácil e intuitivo, no es necesario instalar nada para poder usarlo, y está disponible en

varios idiomas (si desea que PHPSimplex esté en su idioma póngase en contacto con nosotros).

Está disponible también un manual de ayuda de PHPSimplex para aprender rápidamente a

utilizar la herramienta.

Además, en esta página encontrará teoría de los métodos utilizados, casos especiales a tener en

cuenta, ejemplos de problemas resueltos paso a paso, una comparación entre el método Simplex

y el método Gráfico, historia de la Investigación Operativa, etc.

Ejemplo 1: vamos a resolver por el método gráfico.


𝑥1 = Producto A

𝑥2 = Producto B


3.-Restricciones:

{

7𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 21 (𝟏)

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12 (𝟐)

4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18 (𝟑)

Paso 1: Escogemos el método, si es gráfico las variables siempre serán dos, y seleccionamos el

número de restricciones y clic en continuar.

http://www.phpsimplex.com/simplex/simplex.htm?l=es

http://www.phpsimplex.com/index.htm

http://www.phpsimplex.com/contacto.htm

http://www.phpsimplex.com/ayuda.htm



Paso 2: llenamos los datos, los coeficientes de la función objetivo y también los coeficientes de

las restricciones, teniendo en cuenta que para ingresar el sentido de la desigualdad,

seleccionamos de las flechas desplegables el signo, y luego clic en continuar.

Pantalla de respuestas: tenemos 3 ventanas, la primera la de restricciones, la segunda es la

pantalla de la gráfica, y la tercera es la tabla de valores en donde la respuesta está en color

verde, además en la parte inferior tenemos una opción de poner las respuestas en fracción.



Ejemplo 2: Resolver por el método simplex.


𝑥1 = Cantidad de kilogramo de maíz

𝑥2 = Cantidad de kilogramo de grasas

𝑥3 = Cantidad de kilogramo de alfalfa

2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 42𝑥1 + 36𝑥2 + 30𝑥3

3.-Restricciones:

{

90𝑥1 + 20𝑥2 + 40𝑥3 ≥ 200 ÷ 10 30𝑥1 + 60𝑥2 + 80𝑥3 ≥ 180 ÷ 1010𝑥1 + 20𝑥2 + 60𝑥3 ≥ 150 ÷ 10

= {

9𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 ≥ 20 (𝟏)

3𝑥1 + 6𝑥2 + 8𝑥3 ≥ 18 (𝟐)

1𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 ≥ 15 (𝟑)


1. Seleccionamos el método, Cuantas variables, y restricciones

2. ingresamos los coeficientes de la función objetivo y restricciones:

3. El programa arroja los siguientes resultados:

a) Especifica las variables de holgura y artificiales, además utiliza el teorema de la dualidad.



b) Si damos clic en continuar nos muestras todas las tablas de resolución hasta llegar a la final.

c) Si damos clic en solución directa, tenemos la opción de mostrar los resultados con decimales

y con fracciones:

APÉNDICE C Software Geogebra Gráficas de inecuaciones


7. APÉNDICE C

7.1. PROGRAMA GEOGEBRA

Utilizado específicamente en este libro para construir manualmente y pintar la zona factible

personalizada (colores, texto, etc.) los problemas de optimización por el método gráfico.

Geogebra es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios y

universidades. Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir,

un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, algebra y calculo,

por lo que puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de

decisión estrategia y otras disciplinas.

Con Geogebra pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas,

segmentos, vectores, cónicas, etc., mediante el empleo directo de herramientas operadas con el

ratón o la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado es modificable en

forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa

ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A.

INSTALACIÓN

El programa se encuentra disponible en la red, así que lo puedes bajar e instalar en tu

computador de la siguiente dirección: http://geogebra.softonic.com/descargar

También lo puedes encontrar el programa portable en donde no necesitas instalar, simplemente

ejecutamos el archivo: GeoGebra.exe, y ya podemos utilizar, el link es:

http://descargadictos.net/programas/98496/geogebra-5-0-portable.html

PANTALLA INICIAL DE GEOGEBRA:

VISTA

GRÁFICA

VIS

TA A

LGEB

RA

ICA

http://geogebra.softonic.com/descargar

http://descargadictos.net/programas/98496/geogebra-5-0-portable.html



Botones de acceso rápido

Herramientas mas utilizadas Nombres

Elige y mueve

Nuevo punto

Recta que pasa por dos puntos

Recta perpendicular

Poligono

Insertar texto

Desplaza vista gráfica

COMO INGRESAR LOS PUNTOS O COORDENADAS

1. Para graficar una recta, como ya sabemos, necesitamos dos puntos. En la barra de

entrada ingresamos los valores o coordenadas del punto o puntos que deseamos graficar

A=(0,7)

2. En la pantalla del programa apareceran los puntos que se ingresaron.



TRAZO Y FORMATO DE RECTAS EN EL PLANO

1. Seleccionamos el ícono (recta que pasa por dos puntos) que se encuentra en la parte

superior de la pantalla.

2. Damos un clic sobre el punto A dibujado en el plano, seguido del punto B para

dibujar la recta.

3. Damos clic derecho sobre la recta.

4. Aparece un cuadro con varias opciones, seleccionamos propiedades, que se

encuentra en la parte final de las opciones.

5. Aparecerá en la pantalla un cuadro con varias pestañas:

Básico.

Color.

Estilo.

Algebra.

Avanzado.

Programa de guíon (scripting).

6. La pestaña básico nos sirve para seleccionar como deseamos nombrar la recta: por

nombre, nombre y valor o solo valor.



7. La pestaña color nos sirve para seleccionar el color que deseamos que tenga la

recta en el plano.

8. La pestaña estilo nos sirve para seleccionar el grosor de la recta, si deseamos que

sea con lineas entrecortadas, largas o cortas y la capacidad de trazo, es decir que tan

intensa deseamos que sea la linea.



FORMATO Y POSICIONAMIENTO DE TEXTO EN UN PUNTO

1. Nos dirigimos hacia el icono de (insertar texto) que se encuentra en la parte superior de

la pantalla.

2. Damos clic, se despliega un cuadro con múltiples opciones, seleccionamos texto dando

un clic.

3. Nos dirigimos a un punto que se encuentre dibujado en el plano y damos clic sobre este.

Aparecerá un cuadro de texto, ingresamos el nombre que deseamos que tenga el punto

seleccionado y damos clic en OK.

4. En la pantalla se encontrará el nombre que escogimos en el punto seleccionado, damos

clic derecho sobre este y seleccionamos propiedades.

5. Aparecerá una ventana con varias opciones en las que podemos editar el color, tamaño

y posición del texto.



DESPLAZAR VISTA GRÁFICA

1. Nos ubicamos en la parte superior de la pantalla y seleccionamos desplazar vista gráfica

dando un clic sobre el ícono.

2. Damos un clic en cualquier parte del plano y notaremos que se empieza a desplazar

conforme nosotros movamos el cursor del mouse, esto nos servirá para obtener una

mejor vista de los puntos o coordenadas que hemos trazado en el plano.

QUITAR PUNTOS DEL PLANO

Para quitar de la vista gráfica los nombres de los puntos, ya que para pintar la region factible

vamos nuevamente a renombras los puntos o insertar puntos de manera alfabetica (A,B,C,…..).

Empecemos de la siguiente forma:

1. Nos dirigimos a la parte iquierda de la pantalla, donde dice vista algebráica.

Seleccionamos el punto o todos los puntos que deseamos que desaparecerán del plano.



2. Nos ubicamos en la parte superior de la pantalla, seleccionamos el ícono (nuevo punto)

dando un clic sobre este.

3. Damos un clic sobre los nuevos puntos que deseamos que aparezcan en el plano, para

posteriormente pintar como la región factible.

4. Una vez seleccionados, por defecto los puntos estarán ya nombrados. Para cambiarlos y

ordenar de manera alfabética damos clic derecho sobre el punto y seleccionamos

renombrar.

5. Editamos el nombre del punto y damos un clic en OK.

FORMATO DE NUEVOS PUNTOS EN EL PLANO

1. Damos clic derecho sobre el punto antes renombrado, seleccionamos propiedades.



2. Aparece una ventana con varias pestañas:

Básico: Podemos seleccionar si se desea que aparezca el nombre, el valor o

ambos

Color: Edita el color de texto que escogimos para el punto

Estilo: Sirve para seleccionar el tamaño del punto.

Algebra.

Avanzado.


Al finalizar con la edición de los puntos en la pantalla encontraremos los nombres con el

respectivo valor. (En este caso se ha seleccionado el color azul 00255).



COMO PINTAR LA ZONA FACTIBLE Y DAR FORMATO

1. Nos ubicamos en la parte superior de la pantalla, seleccionamos (polígono) dando un

clic.

2. Damos un clic sobre los puntos que anteriormente habíamos realizado.

Es importante que este trazo termine con el punto que se empezó para que el polígono

se cierre completamente.

3. Nos ubicamos en el polígono graficado y damos clic derecho, seleccionamos

propiedades.

4. Aparece una venta con varias opciones:

Básico: Realiza los mismos cambios antes mencionados.

Color: Edita el color que deseamos que tenga el poliígono graficado.

Estilo: Sirve para editar el tipo de sombreado, grosor y textura que se desea tener en

el grafico.

Algebra.

Avanzado.


En este caso se ha decidido que el estilo del trazo sea rayado con un grosor de 0.5 y un

espaciado de 5.



EXPORTAR EL GRÁFICO DE GEOGEBRA A MICROSOFT WORD

1. Nos ubicamos en la barra de tareas que se encuentra en la parte superior de la pantalla.

2. Damos clic en Archivo, se depliega una pestaña con múltiples opciones, seleccionamos

exportar y luego vista gráfica al portapapeles, o tambien puede guardar como foto (gif) .

3. Abrimos una hoja de Microsoft Word y tenemos tres opciones:

Damos clic derecho en la hoja y seleccionamos pegar.

Presionamos las teclas CTRL + V

En la parte superior de la hoja seleccionamos el icono de pegar y la opción

pegar.

4. Finalmente damos doble clic sobre la imagen y seleccionamos el formato que deseamos

que tenga (en nuestro caso el contorno de la imagen color azul claro, con un grosor de

línea de 1).

BIBLIOGRAFÍA Cita de autores Páginas de ayuda


BIBLIOGRAFÍA

Barsov, A. (1972). ¿Que es programación Lineal? México: Limus.

Brigham, E., & Pappas, J. (1978). Economia y Administración. México: Interamerica.

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Fragoso, Trads.) México: Thomson.

sta obra está fundamentada en la aplicación de las desigualdades, intervalos, matrices y la programación lineal, para analizar, plantear y resolver matemáticamente modelos lineales Modelar y solucionar problemas de programación lineal, hacer análisis de sensibilidad para la optimización de recursos, producción, costos y beneficios.

La programación lineal es una técnica matemática que permite la optimización de una función objetivo a través de la aplicación de diversas restricciones a sus variables. Se trata de un modelo compuesto, por lo tanto, por una función objetivo y sus restricciones, constituyéndose todos estos componentes como funciones lineales en las variables en cuestión.

Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción.

Los autores

E


9 789978 978382

ISBN 978-9978-978-38-2

INVESTIGACIÓN OPERATIVA 2019... · 2019. 1. 4. · CARÁTULA Presentación I.O. Roberto Valencia...

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