Inversión Temporal de Ondas Ultrasónicas en Cavidades ... · Difracción de la luz por el sonido...

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Inversión Temporal de Ondas Ultrasónicas en Cavidades Acústicas

Thesis · May 2006

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Nicolás Perez

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Tesis de Doctorado: Inversión Temporal de ondas ultrasónicas en medios complejos 1

TESIS DE DOCTORADO EN FISICA

Inversión Temporal de Ondas Ultrasónicas en Cavidades

Acústicas

Aplicaciones: Mejora de la focalización espacio-temporal. Influencia de la rugosidad superficial Caracterización en el dominio de la frecuencia.

Autor: Mag. Ing. Nicolás Pérez Orientador Dr. Carlos Negreira Tribunal Dr. Carlos Negreira Dr. Julio Adamowski Dr. Hugo Fort Dr. Stefan Catheline Ing. Rafael Canetti

Índice

Tesis de Doctorado: Inversión Temporal de ondas ultrasónicas en medios complejos

2

Nuestra noción del tiempo y la posibilidad de medirlo están asociados a la existencia de fenómenos periódicos. Afortunadamente hay cosas en la naturaleza que se repiten siempre igual. Y tenemos aun mas suerte, los fenómenos que se repiten son muchos y de naturaleza diversa, esto nos permite inventar la magnitud tiempo y definir su medida. El concepto de tiempo ha evolucionado a lo largo de la historia. Isaac Newton nos decía en sus Principia "No definiré tiempo, espacio y movimiento ya que estos conceptos son bien conocidos por todos". Esta inocente frase encubre la gran dificultad que tenemos cuando hablamos de conceptos primarios directamente relacionados con nuestros sentidos. Sabemos que la idea de un gran relojero que marca intervalos iguales y absolutos para todos no es consistente con la observación de la naturaleza. El concepto del tiempo como otros evoluciona para adaptarse y cubrir nuevos resultados experimentales. La teoría de la relatividad vincula las magnitudes espacio y tiempo, en este contexto un suceso se describe por un vector de cuatro componentes donde una de ellas es la velocidad de la luz multiplicada por el tiempo y las otras son coordenadas espaciales. Puede pensarse que el espacio y el tiempo tienen en cierto sentido comportamientos semejantes. Lamentablemente esto no es así. El tiempo posee una propiedad única. Su dirección es siempre la misma. En física solo sobreviven las ideas y conceptos que son verificables por algún procedimiento en la naturaleza. En otras palabras, si no lo puedo medir se trata de una especulación en espera de confirmación o rechazo. Esto nos permite tener confianza en nuestras teorías hasta el limite impuesto por nuestra capacidad de medir. El proceso físico de inversión temporal no es posible si se trata del tiempo real, el que mide el reloj, el que hace que hoy sea mas viejo que ayer, el que hace que no pueda volver a ver lo que ya pasó. Esto será así mientras nadie logre probar lo contrario.

¿Por qué decimos que hacemos inversión temporal? Yo creo que es un lindo nombre para un problema interesante, que esta relacionado con invertir el sentido de un proceso pero no con invertir el verdadero tiempo. Lo que hacemos es como ver una película en retroceso, las cosas suceden en el orden inverso que si vemos la película “normal”. Pero el tiempo siempre corre en el mismo sentido.

Quiero dedicar mi trabajo a Carla, Manuel, Juan, Francisca y al gorgojo. El tiempo que pasó no puede volver, solo podemos esperar por el que vendrá.

Índice


3

INDICE DE CONTENIDO

1 Introducción 6

1.1 Presentación y síntesis de resultados

1.2 Organización de la tesis

1.3 Descripción del problema

1.4 Antecedentes

2 Fundamentos 12

2.1 Inversión Temporal

2.1.1 Principios básicos de la inversión temporal. Estudio como sistema dinámico.

2.1.2 Señales digitales.

2.1.3 Focalización temporal.

2.1.4 Focalización espacial.

2.1.5 Efecto de los errores de identificación.

2.1.6 Inversión temporal en el dominio de la frecuencia.

2.1.7 Filtro Inverso

2.1.8 Propiedades de focalización espacial y temporal en una cavidad

2.1.9 Análisis del determinismo en la respuesta del sistema.

2.2 Rugosidad

2.2.1 Rugosidad intrínseca. Criterio de Rayleigh.

2.2.2 Descripción matemática de una superficie rugosa.

2.2.3 Teoría escalar de Kirchoff.

2.3 Acusto-óptica

2.3.1 Efecto Fotoelástico. Difracción de la luz por el sonido

2.3.2 Método de Schlieren para medir variaciones de fase.

Índice


4

3 Técnicas experimentales y numéricas

3.1 Espectroscopia Acústica de Superficie [SAS].

3.1.1 Fundamentos del método.

3.1.2 Descripción del montaje experimental.

3.1.3 Procedimiento

3.1.4 Programas asociados

3.2 Inversión Temporal en el Dominio del tiempo [TTR].


3.2.2 Procedimiento.

3.2.3. Programas asociados.

3.3 Inversión Temporal en el Dominio de la Frecuencia [FDTR].




3.4 Simulación por elementos finitos.

3.4.1 Amplitud de vibración y cálculo de modos espaciales.

3.4.2 Calculo de modos en una cavidad.

3.4.3 Inversión temporal por elementos finitos.

3.5 Medidas Acusto-Ópticas.

3.5.1 Montaje.


4 Resultados

4.1 Focalización espacio-temporal utilizando FDTR.

4.1.1 Magnitudes medidas.

4.1.2 Resultados.

4.1.3 Conclusiones.

4.2 Modelo de radiación en una cavidad compleja.

4.2.1 El campo en el interior de la cavidad.

4.2.2 Transmisión de energía hacia el fluido.

4.2.3 Propagación en el agua e inversión temporal fuera de la cavidad.

4.2.4 Influencia de la rugosidad en el coeficiente de transmisión sólido-fluido.

4.2.5 Conclusiones.

Índice


5

4.3 Estudio experimental de la influencia de la rugosidad en la focalización de una

cavidad acústica.

4.3.1 Consideraciones teóricas.

4.3.2 Materiales y métodos.

4.3.3 Resultados

4.3.4 Conclusiones.

4.4 Estudio experimental de la influencia de la geometría en la distribución espacial

de frecuencias y la focalización espacial.

4.4.1 Setup experimental.

4.4.2 Resultados experimentales para pieza lisa

4.4.3 Estudio comparativo entre pieza lisa y pieza rugosa.

4.4.4 Influencia en la focalización espacio-temporal

4.4.5 Otras verificaciones.

4.4.6 Conclusiones.

4.5 Medida de la rugosidad superficial

4.5.1 Medida de rugosidad con transductores de aire para NDT

4.5.2 Resultados experimentales de la medida con transductores de aire

4.5.3 Estudio acusto-óptico de la rugosidad superficial.

5 Conclusiones

5.1 Resumen de resultados.

5.2 Focalización espacio-temporal por inversión temporal en cavidades acústicas.

5.3 Futuros trabajos.

Glosario de términos

Referencias

Índice


6

CAPITULO 1.

INTRODUCCION 1.1 Presentación y síntesis de resultados

La tesis "Inversión Temporal de Ondas Ultrasónicas en Cavidades Acústicas” es el resumen

de los resultados mas relevantes obtenidos durante la realización de mi Doctorado en Física

del Programa PEDECIBA-FISICA de la Universidad de la República, en el período

comprendido entre septiembre del 2002 hasta marzo del 2006.

Luego de una etapa inicial de evaluación sobre los alcances del doctorado, decidimos con mi

orientador, el Dr. Carlos Negreira, estudiar el proceso de inversión temporal aplicado a

cavidades acústicas. Se puso énfasis en las propiedades geométricas de dichas cavidades que

mejoran la focalización espacio-temporal, en particular la influencia de la rugosidad fue

analizada en detalle.

En una primera instancia se pensó en la posibilidad de medir rugosidad utilizando la inversión

temporal, por ello se incluyen los avances realizados en esta dirección y se deja planteada la

necesidad de proseguir dichos trabajos. Por otro lado en la tesis se muestra la influencia de las

condiciones de borde geométricas en la focalización por inversión temporal, esto justifica la

necesidad de técnicas de medida de rugosidad superficial para caracterizar dichos bordes.

Como primer resumen pueden destacarse los siguientes resultados:

Resultado teóricos

Estudio teórico detallado del proceso de inversión temporal desde el punto de vista del análisis de sistemas.

Estudio teórico de los factores que influyen en la focalización espacial y temporal.

Estudio de la influencia de los errores de identificación en la focalización espacial y temporal.

Modelo de la radiación en la cavidad y su transmisión al fluido. Este es un resultado

obtenido en trabajo conjunto con el Dr. Gabriel Montaldo.

Discusión sobre la necesidad del determinismo en la respuesta para poder realizar la inversión temporal.

Índice


7

Técnicas experimentales

Se implementaron todas la técnicas experimentales con los equipos disponibles en el

Laboratorio de Acústica Ultrasonora [LAU], dándose una descripción detallada de setup

experimental, configuración de equipos y manipulaciones necesarias para realizar dicha

medida.

Implementación de la medida de inversión temporal en un canal.

Implementación de la inversión temporal en el dominio de la frecuencia [FDTR]. Este es un resultado original donde por primera vez se realiza la inversión caracterizando el

sistema en el dominio de la frecuencia, tiene importancia teórica y experimental.

Simulación Numérica

Las técnicas numéricas utilizadas en la tesis son simulaciones por elementos finitos [FEM]

utilizando el software comercial ANSYS. Debo agradecer al Dr. Julio Adamowski y la Dr.

Gilder Nader de la Universidad de San Pablo por su ayuda en los primeros pasos utilizando

dicho software.

Inversión temporal por elementos finitos.

Calculo de ondas de compresión y ondas de corte en placas.

Calculo de modos espaciales.

Trabajos publicados o a publicar en revistas especializadas o congresos

Focalización espacio-temporal utilizando FDTR. [Pérez 2006]

Modelo de radiación en una cavidad compleja. En revisión en Waves in Random Media. [Montaldo 2006]

Estudio experimental de la influencia de la geometría en la distribución espacial de

frecuencias y la focalización espacial. Se esta preparando una publicación.

Estudio experimental de la influencia de la rugosidad en la focalización de una cavidad acústica Presentado en el IEEE Ultrasonic Congress [Pérez 2005]

Medida de rugosidad con transductores de aire para NDT. Aceptado para publicar en la Revista Española de Ensayos No Destructivos. [Pérez 2005/2]

Estudio acusto-óptico de la rugosidad superficial. Se esta preparando una publicación.

Índice


8

1.2 Organización de la tesis.

La tesis se organiza en cuatro grandes capítulos.

El capitulo 2 corresponde a la teoría necesaria para comprender los problemas de inversión

temporal. Aquí se utiliza el enfoque del análisis de sistemas dinámicos para estudiar dicho

fenómeno aplicado la focalización en cavidades. Aunque este enfoque ya ha sido largamente

utilizado, la redacción y presentación de los resultados es original. Además existen algunos

puntos, como la discusión de los errores de identificación, la inversión caracterizando el

sistema en el domino de la frecuencia y el análisis de la focalización espacial que son, a mi

entender, resultados originales. Se incluye el modelo desarrollado por el Dr. Gabriel Montaldo

para la radiación en el interior de la cavidad para el cual yo aporte la validación de las

hipótesis estadísticas del trabajo mediante simulaciones numéricas por elementos finitos.

Al final del capitulo se agregan dos apartados, uno con el modelo de Kirchoff para la

rugosidad superficial y otro con el método Schlieren del campo oscuro. Estos apartados

teóricos están incluidos para seguir los resultados del capitulo 4 no conteniendo aportes

originales.

El capitulo 3 describe con detalle las técnicas experimentales y numéricas. Se diagramó con el

espíritu de que otro investigador pueda repetir las experiencias utilizando este material como

base. Por ello se detalla además del setup experimental, los detalles de conexión, algunos

puntos importantes en al manipulación de los equipos y fragmentos de los programas

utilizados como interfase tanto con los equipos de medida como con el software ANSYS.

El capitulo 4 hace un resumen de los resultados de la tesis que se han enviado a publicar o

están en una etapa final de redacción.

Finalmente el capitulo 5 resume las conclusiones generales y las perspectivas de evolución de

este trabajo.

1.3 Descripción del problema.

“Conjuntos de transductores pueden recrear el sonido y enviarlo de regreso

a su fuente como si el tiempo se invirtiera. Este proceso puede utilizarse para

destruir piedras en los riñones, detectar defectos en materiales y

comunicarse con submarinos”

Mathias Fink. Time-reversed acoustic. [Fink 1999]

Para comprender el proceso de inversión temporal comenzaremos con un ejemplo idealizado

de la mecánica, este ejemplo se retoma en el 2.1.9. Consideremos un billar en el que se realiza

un proceso de reemisión de bolas, se emiten bolas y se intenta que se refocalicen en el emisor.

Entendemos que refocalicen el hecho de que las bolas lleguen al emisor todas al mismo

tiempo.

Índice


9

Modelo simple:

Consideremos un billar en el que se dispone de un punto emisor de bolas y una región de una

de las bandas en que se dispone de un sensor capaz de medir la cantidad de movimiento p de

una bola que incida sobre el. Supongamos además que este sensor tiene la capacidad de

reemitir las bolas en el instante que se desee.

Figura 1.2.1: Billar de bolas.

En la figura se muestra la emisión de una bola en 0t luego de recorrer la curva azul la bola

pega en el sensor en 1tt aquí el sensor registra la cantidad de movimiento p1 y el tiempo,

sigue su viaje por la curva roja hasta que en 2tt la bola pega nuevamente en el sensor

registrándose la cantidad de movimiento p2 y el tiempo. El proceso puede continuarse

indefinidamente si el billar se considera sin rozamiento, pero para fijar ideas consideremos T

como el largo de la experiencia. Tenemos al tiempo T una tabla del tipo:

Tiempo Cantidad de movimiento

t1 p1

t2 p2

t3 p3

…….. …………

Realicemos ahora el proceso de inversión, para ello formamos la “señal invertida” mediante

la tabla


T-t1 -p1

T-t2 -p2

T-t3 -p3

…….. …………

Se reemiten las bolas desde el sensor en los tiempos indicados en la tabla y con la cantidad de

movimiento invertida. Todas las bolas llegaran al punto emisor en el instante T produciéndose

la focalización.

Índice


10

El hecho físico fundamental detrás de este proceso de inversión es que se compensan los

retardos introducidos en el viaje de la bola. Esto en principio es posible solo con la

información del sensor suponiendo que las bolas cumplen con

Energía constante

Movimiento rectilíneo cuando no hay reflexión

Reflexión especular (independiente de la dirección de incidencia)

Puede pensarse una situación análoga a la planteada dentro de una cavidad sólida, donde son

emitidas ondas acústicas en una región del borde (por ejemplo acoplando una pequeña

cerámica piezoeléctrica) y recibiendo la presión en un punto de la superficie (por ejemplo

mediante un hidrófono). La señal emitida originalmente es un pulso estrecho (cercano a una

delta de Dirac) y la señal recepcionada contiene la información de los rebotes de la onda al

propagarse por el medio. El proceso finaliza con la reemisión de la señal adquirida en el

hidrófono invertida en el tiempo, luego se observa una focalización de la presión en el punto

emisor original en el instante de tiempo correspondiente al largo temporal de la señal

invertida T. La justificación de este proceso será ampliamente discutida en el capitulo 2, pero

podemos adelantar que son necesarias cuatro hipótesis fundamentales:

Linealidad.

Invariancia en el tiempo.

Determinismo.

Propagación ondulatoria.

El hecho de que el medio propague ondas es de fundamental importancia y será discutido con detalle en 2.1.8. Veremos que la propagación ondulatoria hace robusta la respuesta del

sistema frente a pequeños cambios locales formando lo que llamamos determinismo entrada -

salida.

Desde el punto de vista de la dinámica de sistemas, la cavidad acústica se comporta como un

filtro, el cual queda completamente caracterizado por su respuesta al impulso si se cumplen

las hipótesis anteriores. El proceso de inversión temporal permite encontrar la fase optima

para cada componente sinusoidal que debe tener una señal inyectada al filtro si se desea

focalizar en su salida. Hablamos de la fase optima porque existen diversas formas de fijar la

amplitud de cada componente. Ver 2.1.7.

En este punto es importante hacer la aclaración de a que llamamos inversión temporal en este

trabajo. Hay dos formas de utilizar el término, la primera es que las ecuaciones utilizadas para

describir el sistema son invariantes en un cambio de tt . Si este es el caso conociendo la

solución en el tiempo t, la misma con la sustitución –t tambien es solución. Este enfoque no

permite incluir los medios con atenuación debido a que presentan términos en la derivada

primera respecto del tiempo, pero existen situaciones no lineales que pueden tratarse con este

enfoque. Sin embargo estas ultimas son dependientes de la amplitud de la señal.

La segunda forma de pensar es considerar un sistema lineal, invariante en el tiempo y

determinista, caracterizado por su respuesta al impulso th . Llamamos en esta tesis inversión

temporal a la operación tThth independientemente de si las ecuaciones que describen

el medio poseen la simetría tt .Si el sistema es lineal, invariante en el tiempo,

determinista y sin atenuación ambos enfoques son iguales.

Esta definición se refiere a la inversión de la señal y reenvío en un tiempo físico posterior, en

ningún momento se cuestiona la causalidad que es una hipótesis implícita a todo sistema

físico.

Índice


11

1.4 Antecedentes.

Aunque la posibilidad teórica de realizar la inversión temporal de ondas acústicas esta

contenida en la ecuación de onda, la verificación experimental de este fue pioneramente

propuesta por Mathias Fink a fines de los años ochenta. Fink y su grupo trabajando el

Laboratorie de Ondes et Acustique [LOA] perteneciente a la l’Université Paris VI – Pierre et

Marie Curie. Una serie de tres articulos resume estos primeros trabajos [Fink 1992] [Wu 1992]

[Cassereau 1992].

Aquí puede verse la evolución de la idea desde una cavidad cerrada sin atenuación, rodeada

de transductores que permite realizar en teoría la inversión temporal perfecta, al Time

Reversal Mirror [TRM] que consiste en “escuchar” sobre una porción limitada del espacio e

invertir las señales en esta, en clara analogía con un espejo óptico. Se plantea además la

posibilidad de focalizar atravesando medios aberrantes, lo que marca una clara ventaja

respecto a otras técnicas como leyes de retardo fijo.

El problema de focalizar en un blanco reflector, donde no se dispone de la señal emitida

desde éste, es abordado tanto en [Fink 1992] como en [Parada 1994] [Parada 1995], se llama a esta

técnica Iterative Time Reversal y permite focalizar en modo pulso – eco.

El concepto de propagación en cavidades caóticas es introducido en [Draeger 1997]. Luego el

estudio continua con las cavidades de un solo transductor análogas a las utilizadas en esta

tesis, [Draeger 1999] [Draeger 1999/2] [Rosny 2000] .

Vinculado con lo anterior se investiga la propagación en medios multidifusores [Derode 1997]

[Derode 1998] [Roux 2000] [Rosny 2004], estos medios presentan una focalización mejor que los

homogéneos lo que introduce, como en el caso de las cavidades, una aparente paradoja, la

complejidad mejora la focalización. Se ha realizado una investigación matemática extensa de

las propiedades de estos medios lo que permitió llegar a conclusiones estadísticas del

comportamiento de la inversión temporal. [Borcea 2003] [Papanicolaou 2004] [Alfaro 2004]

Se investiga el proceso de inversión temporal para otros modos de propagación como las

ondas de Lamb y las ondas de Rayleigh [Ing 1996], [Parada 1998] y [Nuñez 2000].

Existe un trabajo de investigación sobre la medida de la rugosidad superficial, tanto el valor

rms como la función de correlación espacial, utilizando inversión temporal [Rose 1999] [Roux

1999].

Uno de los avances en el tratamiento o modificación de la señal a utilizar en la inversión

temporal lo constituye la inversión a un bit [Derode 1999] [Montaldo 2001] [Montaldo 2002]. Esto

consiste en mantener la información temporal de los cruces por cero de la respuesta al

impulso pero con amplitud V dependiendo del signo de la señal.

Otro avance en el tratamiento de la señal consiste en la utilización del filtro inverso [Tanter

2000], [Aubry 2001] y [Tanter 2001/2]. Esta técnica propone una compensación de los modos de

menor amplitud de forma de lograr una mejor focalización.

Finalmente la investigación de las cavidades acústicas caóticas para su utilización como

focalizador de ultrasonido es una de las líneas mas actuales de investigación [Sprik 2004]

[Quieffin 2004] [Montaldo 2004]. En particular se propone el uso de estas cavidades como una

alternativa para la formación de imágenes 3D acústicas.

Índice


12

CAPITULO 2

FUNDAMENTOS

2.1 Inversión Temporal

En esta sección se describe la teoría de la inversión temporal aplicada a la focalización

espacio-temporal de ondas acústicas.

Comienza con el planteo de los principios básicos, luego se discuten las propiedades que

influyen tanto en la focalización temporal como en la espacial además de la influencia de los

errores en la caracterización del sistema.

Se presenta un modelo para la radiación en el interior de la cavidad y su transmisión al medio

fluido.

Finalmente se deja planteada una discusión sobre la necesidad del determinismo en la

focalización por inversión temporal.

En todo el apartado 2.1 caben las siguientes referencias generales [Canales 1977][Papoulis 1986]

[Carlson 1988][Oppenheim 1998]

2.1.1 Principios básicos de la Inversión temporal. Estudio como sistema dinámico.

En este punto se expondrán los principios básicos de la focalización acústica por inversión

temporal. En este análisis se considerara un sistema acústico excitado por un transductor

(entrada) y donde la señal es recepcionada por un hidrófono (salida). El análisis se hará

siguiendo el estilo de la teoría de sistemas, en el cual no se profundiza en la dinámica de la

propagación de las ondas en el medio sino que se utiliza un modelo de entrada – salida.

El análisis se aplicara a focalización de ondas en cavidades sólidas, aquí no es relevante que el

transductor fuente no sea puntual, solo interesa la transferencia entre el voltaje aplicado a

dicho transductor y un punto cualquiera de la superficie donde se coloca el hidrófono que

recepciona la señal. Lamamos cavidad acústica al conjunto transductor que emite ondas mas

el medio físico donde estas se propagan. Esta cavidad actúa como un filtro que transforma las

señales aplicadas en deformación de la superficie.

De forma simplificada el sistema puede pensarse con una entrada y múltiples salidas,

correspondiendo la notación u(t) para la entrada y y(r,t) para la salida, donde r indica el punto

donde se mide la respuesta de salida.

La hipótesis fundamentales en el análisis son:

El sistema es lineal.

Se considera que la respuesta del sistema es lineal en el sentido que si ty1 es la respuesta a

la entrada tu1 y ty2 es repuesta a tu2 entonces la respuesta a tuBtuA 21 es

tyBtyA 21

Índice


13

El sistema es invariante en el tiempo.

La respuesta del sistema a una entrada determinada no depende del instante en que esta se

aplica, suponiendo que las condiciones iniciales son iguales. Esto puede escribirse como si

ty es la respuesta a la entrada tu entonces ty es la respuesta a la entrada tu

para un desplazamiento arbitrario del tiempo .

El sistema es determinístico.

Entradas iguales producen salidas iguales, suponiendo condiciones iniciales iguales. Esto

significa que no hay una estadística en la determinación de la salida, esta queda

completamente determinada por la entrada y la dinámica del sistema. En la práctica la salida

medida tiene dos componentes, una determinista y una aleatoria. Esta última se asume como

ruido y puede eliminarse mediante un promedio de ensamble sobre un conjunto de respuestas

medidas.

Con estas hipótesis el sistema queda completamente caracterizado por su respuesta a un

impulso. Llamamos trh , a la respuesta del sistema a una entrada impulso o delta de Dirac

medida en el punto r, como el emisor es fijo no se especifica su ubicación en la notación.

La respuesta a una entrada arbitraria tu puede escribirse entonces como el producto de

convolución entre la entrada y al respuesta al impulso del sistema. En todo el trabajo se

asumen condiciones iniciales nulas por lo que la salida es

dtrhutrhtuty ,, Eq. 2.1.1.1

Se recuerda brevemente la necesidad de las hipótesis anteriores para la validez de Eq. 2.1.1.1.

Primero se observa que trh , es la respuesta en el punto r a una señal temporal estrecha

(idealmente una delta de Dirac) aplicada en la entrada. El sistema se considera como un todo,

cavidad mas transductor de entrada.

Figura 2.1.1.1. Cavidad acústica con transductor de entrada. La salida se toma en un punto genérico de la

superficie.

La entrada se considera al voltaje aplicado a la cerámica que excita a la cavidad mientras que

Índice


14

la salida es el voltaje en bornes del hidrófono.

En general la entrada puede descomponerse como la suma de impulsos aplicados en tiempos

consecutivos multiplicados por el valor de la entrada en ese instante

Figura 2.1.1.2. Descomposición de una señal temporal como suma de impulsos

De esta forma pude escribirse

dtutu Eq. 2.1.1.2

Aquí vemos que si aplicamos una delta en un instante arbitrario al sistema ttu , la

salida del sistema es la respuesta al impulso desplazada thty . Esto implica que el

sistema es determinista, h no es estadístico y esta bien determinado y que el sistema es

invariante en el tiempo.

Al aplicar al sistema la entrada de Eq 2.1.1.2, se obtiene

dthuty Eq. 2.1.1.3

Para ello es necesaria la hipótesis de linealidad que implica que la respuesta a una suma es la

suma de las respuestas.

La caracterización del sistema puede realizarse igualmente en el domino de la frecuencia.

Recordamos que la transformada de Fourier de una señal del tiempo f(t) se define por

dttjtftfF exp Eq. 2.1.1.4

Mientras que la inversión del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo se realiza por

Índice


15

dtjFFtf exp2

11 Eq. 2.1.1.5

De esta forma la respuesta de frecuencia caracteriza al sistema con la misma información que

la respuesta al impulso

trhrH ,, Eq. 2.1.1.6

La respuesta a una señal arbitraria puede obtenerse en el dominio de la frecuencia como un

producto ordinario

UrHrY ,, Eq. 2.1.1.7

El resultado Eq. 2.1.1.7 puede interpretarse a partir de la respuesta del sistema a una sinusoide

individual. Consideramos la entrada u(t) como

tjttu 00 expRecos Eq. 2.1.1.8

La salida es entonces

tjjAtAtry 00000 expexpRecos, Eq. 2.1.1.9

Donde A0 y 0 son la amplitud y la fase de H(r,) evaluada en = 0. En adelante se utilizara indistintamente la notación trigonométrica o la notación exponencial, además como

tomar la parte real es una operación lineal se omite en los cálculos. Cuando la señal esta

conformada por varias frecuencias, la respuesta total será la suma (sistema lineal).

El sistema es reciproco. Esto significa que son intercambiables la fuente con el destino en la propagación en el medio.

En la Ec 2.1.1.9 se ve que la respuesta a una sinusoide queda caracterizada por un término de

amplitud y un desfasaje. La idea física de la reciprocidad puede entenderse sin entrar en una

demostración rigurosa de la misma. La atenuación esta relacionada con la perdida de energía

al propagarse al onda en el medio y el desfasaje con el tiempo de transito, ninguna de estas

magnitudes depende de la dirección de propagación. Por esta razón, si en el punto 1 se inyecta

una sinusoide unitaria y se observa la respuesta en el punto 2 esta es idéntica a inyectar una

sinusoide en el punto 2 y recepcionarla en el 1.

A partir de esto es fácil ver que H(r,) es reciproca y consecuentemente h(r,t).

La reciprocidad se incluye para dar un panorama mas completo del comportamiento de los

sistemas acústicos aunque no se utiliza explícitamente en los resultados. En el proceso de

inversión temporal esta propiedad permite intercambiar el emisor con el receptor de acuerdo

con la conveniencia en el proceso experimental.

Inversión Temporal.

Índice


16

El proceso de inversión temporal comienza con la caracterización de la respuesta al impulso

del sistema, esta se realiza emitiendo un pulso con forma de delta de Dirac en el emisor y

recepcionandolo en el destino. Esta señal es h(r,t).

En la práctica el pulso emitido es estrecho pero no una delta perfecta, puede descontarse el

efecto del ancho finito del pulso en los cálculos posteriormente en forma numérica. Algunas

veces la señal recibida esta contaminada por ruido y es conveniente hacer un promedio de

ensamble sobre un conjunto de señales equivalentes para obtener la respuesta al impulso.

Una vez adquirida la respuesta h(r,t) se invierte en el tiempo, esta es la señal h(r,-t). Este

proceso es equivalente a almacenar los datos y reemitirlos como una pila LIFO (last in first

out).

Obviamente debido a la causalidad no se emite verdaderamente la señal h(r,-t), sino que se

emite h(r,T-t) donde T es la duración de la señal. Puede adicionarse un retardo a la señal

correspondiente al tiempo entre que se tomó la medida y que se reemite el pulso, este retardo

corresponde a una traslación del origen del tiempo que como el sistema se asume invariante

no tiene consecuencias físicas. Por ello este retardo no se incluida en ningún calculo.

Luego de la reemisión se recepciona en el punto r nuevamente y se obtiene la señal

convolucionada con la respuesta al impulso

dTtrhrhtrhtTrhtry ,,,,, Eq. 2.1.1.10

Es fácil ver que esta convolución es equivalente a la función de autocorrelación de h de la

forma

dtrhrhtry

tTt

',,',

'

Eq. 2.1.1.11

La diferencia es que el máximo de esta función se da cuanto t’ es cero, o sea cuando el tiempo

transcurrido es igual a la duración de la señal.

Para analizar el proceso de inversión temporal en el dominio de la frecuencia recordaremos

como trasforma un retardo en el tiempo en la transformada de Fourier. Si una señal f(t) se

retarda en el tiempo segundos, su transformada de Fourier sufre un corrimiento de fase de

la forma

jFtf exp Eq. 2.1.1.12

Utilizando Eq. 2.1.1.12 y como transforma el producto de convolución se obtiene

TjrHrHtrhtTrhrY exp,,,,, * Eq. 2.1.1.13

El efecto del producto de H.H* es cancelar todas las fases correspondientes a cada frecuencia,

dando un máximo en el instante inicial, mientras que el termino exponencial corresponde a un

retardo T global a toda la señal.

Índice


17

Para aclarar este punto se analizara el efecto sobre una componente sinusoidal. Consideramos

la entrada u(t) como

tjArY

tjU

000

00

exp,

exp Eq. 2.1.1.14

Donde A0 y 0 son la amplitud y la fase de H(r,) evaluada en = 0. El proceso de inversión temporal corresponde a aplicar en la entrada la señal conjugada a la

que llamaremos H*. La nueva entrada es

tjAHU 000 exp* Eq. 2.1.1.15

Como respuesta a Eq 2.1.1.15 tenemos

tjArY 0

2

00 exp, Eq. 2.1.1.16

Donde se ha cancelado la fase y la amplitud es el cuadrado de la amplitud inicial que es

proporcional a la potencia de esta señal.

Vemos entonces que el proceso de inversión temporal pone en fase todas las componentes de

frecuencia de la señal para el tiempo cero, que como se mostró en Eq. 2.1.1.11 corresponde al

largo de la señal T.

Si se considera una señal con N frecuencias la suma puede escribirse como

N

N

nn tjArY exp, 2 Eq. 2.1.1.17

Se mostrará gráficamente cual es el efecto de la fase en suma de frecuencias, para ello

consideraremos una señal formada por diez sinusoides en el rango de frecuencias de 1 a 10

Hz. Su espectro de amplitud es

Figura 2.1.1.3 Espectro de amplitud.

Índice


18

Observe que cada frecuencia tiene una componente positiva y una negativa con amplitud

correspondiente a la mitad de la señal temporal ya que

2

expexpcos 00

0

tjtjt

Eq. 2.1.1.18

Este uso de la notación compleja se hace a lo largo de toda la tesis, identificando una

componente de frecuencia con la exponencial positiva como ya se indico en Eq. 2.1.1.14. Los

espectros en general se graficarán de aquí en más solo para la parte positiva.

¿Que ocurre si sumamos las diez componentes con fases al azar?. El resultado es

Figura 2.1.1.4. Suma de componentes sinusoidales al azar.

Las fases se anulan en forma aleatoria y no se produce una focalización apreciable en ningún

punto, si se agregan mas componentes de frecuencia la señal se convierte en un ruido

aleatorio.

Cuando las componentes individuales se ponen en fase para el instante inicial el efecto es

Índice


19

Figura 2.1.1.5 Suma de componentes sinusoidales en fase. Observe que las gráficas tienen diferentes escalas

temporales.

Vemos en ese ejemplo algunas características generales de la inversión temporal. El poner las

ondas correspondientes a cada frecuencia del espectro de la señal en fase Eq. 2.1.1.18, da

como resultado una focalización temporal en el origen. El ancho del foco esta limitado por el

periodo de la componente de frecuencia mas alta, cuanto mayores frecuencias se incluyen el

la suma pueden lograrse menores anchos temporales para el foco.

2.1.2 Señales digitales.

Aquí se consideran las características de las señales reales utilizadas tales como la

digitalización y el ancho finito de los impulsos temporales.

Aunque en la propagación en el medio acústico las señales deben considerarse como

analógicas, en la practica se realiza una digitalización en la recepción de las señales. Luego de

esto se procesan digitalmente en un computador (o hardware dedicado) y se sintetizan

finalmente en un conversor digital – analógico [D/A] para su emisión.

Las señales en el tiempo se muestrean con una frecuencia Fmues que depende de la

digitalizadora utilizada y con un número de puntos predeterminado Np, ambos valores

determinan la longitud temporal de la señal adquirida.

mues

p

F

NT Eq. 2.1.2.1

En el dominio de la frecuencia la señal es caracterizada por 2

pNpuntos espaciados un

intervalo . La relación entre los valores temporales y en frecuencia es

12

p

mues

N

F Eq. 2.1.2.2

El número de puntos en frecuencia es la mitad, pero en cada punto se mide un numero

complejo H(r,) que tiene módulo y fase.

Índice


20

Generalizando el resultado de una componente sinusoidal para el caso de N frecuencias

N

n

nnn

N

n

n

tjArY

tjU

1

1

exp,

exp

Eq. 2.1.2.2

En este caso la salida luego de la inversión es

N

n

nn tjArY

1

2 exp, Eq. 2.1.2.3

Que es proporcional a la potencia total de la señal de acuerdo con el teorema de Parserval.

Para la identificación de los sistemas se excita el transductor de entrada con una señal que es

un ciclo de sinusoide de 1 MHz de frecuencia. Esta señal tiene el siguiente espectro de

amplitud

Figura 2.1.2.1 Espectro de amplitud del pulso de entrada.

Esta espectro en modulo y fase puede utilizarse para compensar la respuesta al impulso del

sistema. Sin embargo aparece aquí un problema general, las componentes de menor amplitud

en el espectro son las que tendrán mas error de identificación, si al compensar damos igual

peso a estas componentes que a las mejor identificadas estamos introduciendo errores en el

sistema. Esto se discute con detalle en 2.1.5 y 2.1.6.

Índice


21

2.1.3 Focalización temporal.

En esta sección y la siguiente se plantean que factores afectan la focalización espacio-

temporal, pueden verse resultados experimentales en las secciones 3.2.2, 3.3.2, y en el

capitulo 4.

Calcularemos primero la amplitud del foco considerando que se ha caracterizado la respuesta

al impulso h(r,t) y se calcula la transferencia H(r,). Suponemos como en 2.1.2 que en el

dominio de la frecuencia la señal es caracterizada por 2

pNpuntos espaciados un intervalo .

Luego del proceso de inversión la señal temporal obtenida en el foco es

2

2

2 exp,

Np

Npn

nn tjAtry Eq. 2.1.3.1

La suma se realiza en el intervalo

2,

2pp NN

debido a que cada componente real del

espectro es representado por un par de exponenciales con frecuencia positiva y negativa.

Como se mostró en 2.1.1, el proceso de inversión temporal pone en fase todas las

componentes sinusoidales de la señal en el tiempo correspondiente al largo de la señal.

Para el instante t = 0 se produce la focalización temporal (recordar que debido a la causalidad

el cero corresponde a t = T Eq. 2.1.1.11) y la amplitud resulta igual a la energía de la señal

invertida

2

2

20,

Np

Npn

nAry Eq. 2.1.3.2

Vemos que el máximo de amplitud depende de cuantas frecuencias estén incluidas en la suma

y de la amplitud de cada componente. Para comprender mejor el problema se recuerda la

transformada de Fourier de un pulso temporal

0

1th

2

2

0

0

t

t

Eq. 2.1.3.3

La transformada de Fourier es un pulso sinc con ancho inverso a la ventana temporal como lo

muestra la siguiente figura.

Índice


22

Figura 2.1.3.1. Pulso temporal y espectro de amplitud.

Puede verse que para lograr pulsos estrechos en el tiempo el espectro de frecuencias

correspondiente debe ser ancho, en el límite cuando el pulso temporal tiende a una delta, el

espectro es constante.

De este punto de vista se observa que hay dos formas de mejorar la focalización temporal sin

alterar la física del sistema

Aumentar el número Np de frecuencias que se utilizan en Eq. 2.1.3.2

Aumentar el ancho de banda mediante el aumento del paso en frecuencia

Sin embargo un aumento del número de frecuencias sin cambiar el ancho de banda produce

un aumento en la amplitud del foco pero el ancho en el tiempo esta limitado por el ancho en

frecuencias del cual es inverso.

Resumiendo:

El ancho del foco mejora al aumentar el ancho de banda ya que esta limitado por el

período de la máxima frecuencia incluida.

La amplitud máxima del foco depende de la cantidad de frecuencias enviadas, esto es proporcional a la energía de la señal.

Índice


23

Estas afirmaciones se clarificaran con una experiencia numérica. Se retoma para ello el

ejemplo presentado en 2.1.1 con una suma de diez frecuencias en el intervalo 1 Hz – 10 Hz.

En la figura 2.1.1.3 se mostró el espectro de esta señal, teniendo un ancho de banda de 10 Hz.

Esto nos permite esperar como en la figura 2.1.3.1 que el ancho temporal sea de 0.1 s y como

la amplitud de cada componente es uno, la amplitud máxima del foco es 10.

Figura 2.1.3.2. Ancho del pulso temporal del ejemplo.

Veremos que ocurre si se duplica el ancho de banda sin cambiar el número de frecuencias.

Figura 2.1.3.3. Ancho del pulso temporal con ancho de banda doble, 20 Hz, y diez armónicos.

Índice


24

Veremos que ocurre al duplicar las frecuencias sin cambiar el ancho de banda, esto es veinte

frecuencias desde 0.5 Hz – 10 Hz.

Figura 2.1.3.4. Ancho del pulso temporal para veinte frecuencias. Observe que la amplitud se duplica y no hay

cambio apreciable en el ancho del foco.

Surge aquí una cuestión importante:

Dada una frecuencia máxima en el espectro, está limitado el ancho del foco temporal. El nivel

de ruido disminuye con la introducción de nuevos armónicos, pero dado el ancho de banda

existe un limite al cual converge la rsn en la suma de armónicos de banda acotada. La

pregunta es entonces, dado un ancho de banda cual es el menor numero de frecuencias que es

necesario para alcanzar un valor final de rsn.

Esta cuestión en el dominio del tiempo esta relacionada directamente con el largo de la señal

T. A partir de la Eq. 2.1.2.2 pude mostrarse la relación entre la frecuencia de muestreo, el

intervalo entre frecuencias y el ancho de la ventana temporal T es

1

FmuesT

Fmuesf Eq. 2.1.3.3

2.1.4 Focalización espacial

Para el estudio de la focalización espacial se comienza definiendo una medida de la misma.

La señal emitida en el proceso de inversión temporal tiene una serie de ganancias fijas

(factores de amplificación) que se aplican a la señal digitalizada en la computadora. Sin

embargo este factor puede cambiar entre distintas muestras ya que es afectado por el

transductor (cerámica piezoeléctrica) utilizado. Como primer factor de normalización para

todas las señales recibidas en la focalización se utiliza la energía enviada al medio, esto es

),(1

),(),(

2 trhN

trytry

p

Eq. 2.1.4.1

Índice


25

Se define entonces la amplitud de la señal focalizada Af (r) como

2

),(min),(max trytryrAf

Eq. 2.1.4.2

Donde t es una ventana temporal de N puntos entorno la punto del foco t = T

muesF

Nt

En la tesis todas las medidas se realizan con MHzFmues 5 , la ventana de medida 100N y

8192pN . Esto determina una longitud total para la señal de 1.6 ms y un ancho para la

ventana de medida de 100 puntos de 20 s aproximadamente un 1 % de la señal.

El estudio de la focalización espacial se realiza en forma experimental de la siguiente forma

Caracterización del sistema, obtención de la respuesta al impulso o función de

transferencia.

Inversión numérica.

Emisión de la señal invertida.

Recepción de la señal en el foco.

Barrido espacial en torno al foco y medida de la amplitud definida en Eq. 2.1.4.2

Para evaluar el efecto de cambiar el punto espacial estudiaremos que ocurre con una sinusoide

rjtjrAtry

tjtu

000

0

exp,

exp

Eq. 2.1.4.3

Luego de la inversión temporal la señal de entrada es

rjtjrAtru 000 exp, Eq. 2.1.4.4

Por lo que la señal focalizada es

tjrAtry 0

2

0 exp, Eq. 2.1.4.5

El efecto de realizar un barrido espacial es que tanto la amplitud como la fase corresponden a

la respuesta en cada punto r + pero la caracterización y por consiguiente la señal enviada se

realiza en r. Se mide en la posición r y se recepciona en r + .

)exp(exp, 00000 tjrjrjrArAtry Eq. 2.1.4.6

Índice


26

Figura 2.1.4.1. Esquema de emisión y recepción para estudio de focalización espacial.

Al igual que en 2.1.3, el cambio en la amplitud de la respuesta al variar la posición introduce

una diferencia de amplitud pero su efecto no es relevante en la focalización, el termino que

importa el la diferencia de fase para cada componente entre el punto focal r y el punto r + donde se quiere evaluar. La amplitud en el foco de esta señal sinusoidal Eq. 2.1.4.6, se

obtiene evaluando t = 0 por el producto

),(),(

expexp

0

*

0

0000

rHrHY

rjrArjrAY

Eq. 2.1.4.7

Aquí corresponde una observación importante, Eq 2.1.4.7 es la amplitud solo si el máximo se

da en el instante correspondiente a t = 0. Para punto cercanos al foco esto es cierto, pero

cuando nos alejamos y la amplitud disminuye mucho esto deja de cumplirse. Sin embargo

sigue cumpliéndose para una ventana pequeña en torno al foco como la considerada para

definir el máximo y por otra parte cuando la amplitud del foco es inferior a los picos del ruido

pierde sentido el concepto de focalización.

Cuanto tenemos una señal con muchas componentes sinusoidales Eq. 2.1.4.7 se generaliza

tomando el modulo para la suma a

2

2

* ),(),()(

Np

Npn

nn rHrHY Eq. 2.1.4.8

Veremos como este resultado puede interpretarse en el sentido de una correlación temporal

cruzada entre las señales de diferentes posiciones.

Por definición una correlación entre dos señales es

dyxygyfxC gf )()(*

, Eq. 2.1.4.9

Índice


27

Calcularemos la correlación temporal cruzada entre las señales correspondientes r y el punto

r + . Esta correlación es una función del tiempo que depende de la distancia

dttrhrhtc ),(),(, Eq. 2.1.4.10

Que corresponde en frecuencias a

),(),(),( * rHrHc Eq. 2.1.4.11

Las c forman una matriz con elementos correspondientes a las posiciones espaciales y a las

frecuencias .

Para obtener una información espacial promedio, sumamos en las frecuencias obteniendo

2

2

* ),(),(

Np

Npn

nn rHrHc Eq. 2.1.4.12

Cuyo módulo coincide con el valor del máximo hallado en Eq. 2.1.4.8.

Finalmente veremos la influencia de los armónicos espaciales en la focalización espacial. La

función c depende de la distancia entre el punto focal y el punto donde se recibe la

señal. Al ser una función únicamente de la posición puede descomponerse en sus armónicos

de al forma habitual, realizamos entonces la transformada de Fourier espacial que nos da

dkjckC exp Eq. 2.1.4.13

Donde k es la frecuencia angular espacial definida como

2k

Esta expresión nos muestra la importancia del conocimiento del espectro espacial de

vibración de una cavidad. La focalización espacial esta limitada por la longitud de onda mas

pequeña excitada en la cavidad. La longitud de onda mas pequeña se relaciona con la

frecuencia temporal mas alta mediante la velocidad. Son validos resultados análogos a los

vistos en 2.1.3 en cuanto a las características del espectro y su influencia en la amplitud y el

ancho del foco.

En un razonamiento simplificado, donde solo se consideran ondas de volumen, a cada

frecuencia temporal que excita la cavidad corresponden dos k, uno para las ondas de

compresión y otro para las ondas de corte.

Índice


28

Una conclusión importante de estos cálculos es que la focalización espacial es de naturaleza

diferente a la temporal, el proceso de inversión temporal impone la igualdad de fases en el

tiempo para t = 0, pero la focalización espacial depende de cómo es la correlación temporal

cruzada entre las diferentes posiciones. Esto depende de la física del sistema y no del proceso

de inversión temporal. Para fijar ideas pensemos en una cuerda, las fases de los armónicos

espaciales están dadas por las condiciones de borde y no pueden elegirse de forma arbitraria.

No tenemos la posibilidad de hacer una “inversión espacial” que cambie r por –r e imponga

la fase espacial para un punto arbitrario. Esto se da naturalmente en los ejes de simetría del

sistema que en principio serían los mejores para la focalización espacial.

Lo único que en principio puede hacerse para un punto arbitrario es favorecer aquellas

componentes de frecuencia que aumenten la focalización para un punto determinado, pero en

principio esto no es trivial.

Algunas consecuencias de este razonamiento y las medidas experimentales de las frecuencias

espaciales se muestran en 4.4, otras son planteadas para futuras verificaciones.

2.1.5 Efecto de los errores de identificación.

Consideraremos ahora que ocurre cuando aparecen errores en el proceso de identificación de

la dinámica del sistema. Existen diversas fuentes de error que pueden llevar a una incorrecta

determinación de la respuesta al impulso del sistema o su equivalente en frecuencias la

función de transferencia.

Lo más grueso es que se verifiquen las hipótesis planteadas en 2.2.1.

Sistema lineal.

En el dominio del tiempo la linealidad es hipótesis fundamental para la determinación de la

respuesta del sistema mediante un producto de convolución.

Es en el dominio de la frecuencia donde se puede interpretar más fácilmente el efecto de la

perdida de linealidad. Que el sistema sea lineal garantiza que la respuesta del sistema a una

entrada sinusoidal de frecuencia 0 es

000 cos, tAtry Eq. 2.1.5.1

La perdida de linealidad puede manifestarse de tres formas; aparecen en la salida frecuencias

distintas a la de la entrada, la amplitud depende de la amplitud de la entrada no linealmente o

la fase depende de la amplitud de la entrada. La dependencia de la amplitud y la fase será

analizada cuando se estudie el efecto de un error en la medida de los mismos. Para evaluar el

efecto de cambio de frecuencia suponemos que la salida es de la forma

111000 coscos, tAtAtry Eq. 2.1.5.2

Esto significa que como respuesta a una entrada de frecuencia 0 se obtiene una salida con dos frecuencias una igual y otra diferente a la de la entrada.

Supongamos que además realizamos un proceso de detección sincrónica, esto es detectamos

la componente de la salida de frecuencia igual a la de la entrada. Luego se realiza la inversión

temporal con una nueva entrada del tipo

000 cos tAtu Eq. 2.1.5.3

Índice


29

Puede suponerse entonces que la salida tiene la forma

011100

2

0 coscos, tAAtAtry Eq. 2.1.5.4

En este caso considerado la salida tiene dos componentes, una que se pone en fase en el

instante inicial y que cumple con el proceso de inversión temporal y otra que no que se suma

al nivel de ruido reduciendo la focalización.

Sistema invariante en el tiempo.

En el dominio del tiempo la invariancia en el tiempo es tambien hipótesis fundamental para la

determinación de la respuesta del sistema mediante un producto de convolución. Si las

características del medio en que se propaga la onda cambian la dinámica del sistema depende

del tiempo, esto puede ocurrir por ejemplo porque cambia la temperatura, aparecen cambios

en la geometría (defectos) o en el caso de cavidades acústicas cambios en las condiciones de

borde.

Supondremos que el sistema se mantiene lineal pero depende del tiempo, esto pensado en el

dominio de la frecuencia de ve reflejado en que la amplitud y la fase dependen del tiempo,

con lo que el efecto se evaluara con el estudio del error de medida.

Podemos adelantar que los cambios en la fase introducirán perdida de focalización temporal,

sin embargo esto pude utilizarse como una medida de los cambios en el medio y

correlacionarlo con la propiedad que esta cambiando y de esta forma medirla.

El sistema es determinístico.

Si el sistema no es determinístico, la respuesta a una señal de entrada esta definida en un

sentido estadístico, esto puede provocar la perdida total de la focalización por inversión

temporal. En la práctica parte de la energía se comporta de forma determinista, esto es cuando

repito la experiencia el resultado es el mismo, y parte en forma aleatoria.

Experimentalmente el efecto se nota en que para obtener la señal a ser invertida debe

realizarse un promedio de ensamble, ver 3.3.2, se observa que luego de realizar el promedio

sobrevive una señal de energía mucho menor que las medidas individuales, mostrando la

existencia de estas dos componentes.

Para evaluar el efecto supongamos el caso más simple que la salida a una entrada sinusoidal

unitaria tiene dos componentes una determinista y una no determinista

det0detdet0det coscos, nono tAtAtry Eq. 2.1.5.5

La salida que se obtiene luego de la inversión es

det

'

det0det

'

det

detdet0detdetdet

'

det0

'

detdet0

2

det

cos

coscoscos,

nononono

nononono

tAA

tAAtAAtAtry

Eq. 2.1.5.6

En esta expresión pueden observarse cuatro términos, el primero es la respuesta de la

componente determinista a la entrada determinista invertida y es la causante de la

focalización. El segundo es la respuesta de la componte no determinista a la entrada

determinista, observe que la amplitud y el ángulo pueden variar respecto a los obtenidos en la

primera respuesta por lo que se indican con una prima. El tercero y el cuarto son la respuesta a

la entrada no determinista invertida.

Índice


30

Obviamente solo el primer término focaliza, mientras que los tres restantes se suman al nivel

de ruido.

Este efecto puede eliminarse realizando los promedios de ensamble, si se realizan en la

identificación de la respuesta la salida luego del promedio es

det0det cos, tAtry Eq. 2.1.5.7

Esto provoca que luego de la inversión solo aparezcan el primer y el segundo término de

Eq. 2.1.5.6. Este último puede eliminarse tambien realizando un promedio en la salida.

Efecto de los errores de medición en la focalización temporal.

Evaluaremos ahora el efecto del error de medición en la amplitud y la fase. Supongamos para

ello que la amplitud y la fase de una determinada componente sinusoidal se forman como la

suma de la medida más un término de error

000

000

AAA med

med

Eq. 2.1.5.8

Entonces cuando aplicamos en la entrada la señal sinusoidal unitaria obtenemos en la salida

medmed tAtry 000 cos, Eq. 2.1.5.9

Si realizamos la inversión y reinyectamos la señal se obtiene ahora

0000

2

000000 coscos, tAAAtAAtry medmed Eq. 2.1.5.10

Aquí puede verse que los errores en amplitud afectan la amplitud final del foco pero no la

condición de si focaliza o no. En cambio los errores en la fase determinan una perdida de

focalización que crece con dicho error.

Efecto de los errores de medición en la focalización espacial. Para evaluar el efecto de los errores en la focalización espacial retomaremos la Eq. 2.1.4.6 y

se considerara únicamente el error en fase que es el que afecta la focalización.

)exp(exp, 00000 tjrjrjrArAtry Eq. 2.1.4.6

Se adiciona a esta expresión un error en la medida de la fase como en Eq. 2.1.5.8.

)exp(exp, 000000 tjjrjrjrArAtry Eq. 2.1.5.11

Inicialmente los errores 0 son al azar por lo que para una frecuencia individual y para una

determinada experiencia pueden mejorar o empeorar la focalización. Sin embargo es de

esperar que en la experiencia se verifique:

El termino 0 es debido a la caracterización del sistema, por lo que aparece en la

señal que se utiliza para ser reenviada. Su efecto aparece en todas las posiciones

espaciales disminuyendo la focalización.

Índice


31

Si el termino rr 00 es pequeño, esto es para medios en que la respuesta de

frecuencias cambia muy poco de un punto a otro, el error 0 será importante.

Para medios en que rr 00 es relativamente grande, el error 0 será menos

significativo.

Los errores sean mas pequeños en la frecuencias donde la amplitud es mayor, estos términos son los que mas contribuyen a la amplitud del foco, por lo que sistemas con

modos bien definidos son menos influenciados por los errores de medición.

Resumiendo: se espera que en algunas situaciones el error de medición sea poco importante y

que la focalización espacial no dependa fuertemente de el, mientras que en otros sistemas este

error puede llevar a una perdida de focalización espacial al afectar a todas las posiciones por

igual.

Criterio para determinar si la focalización esta contaminada por errores de fase.

Un criterio para determinar la calidad de la focalización por inversión temporal es estudiar la

simetría de la señal. Si todas las componentes de frecuencia de la señal se invirtieron

correctamente la señal resultante es simétrica respecto al cero. Puede estimarse el porcentaje

de error en la señal restando la mitad correspondiente a t > 0 de la correspondiente a t < 0.

Esta resta posee información de amplitud y frecuencia. Para aclarar estas ideas se retoma el

ejemplo numérico del final de 2.1.1, una señal suma de diez armónicos en la banda 1 Hz – 10

Hz.

Como ejemplo se introduce una fase aleatoria a la componente de 5 Hz, veremos el resultado

de este proceso

Figura 2.1.5.1. Suma de armónicos con error en la componente de 5 Hz. Observe la perdida de simetría de la

señal.

Índice


32

Si realizamos la resta de la señal para t > 0 de la señal para t < 0 se obtiene la siguiente figura

Figura 2.1.5.2. Error obtenido restando la simetría respecto al cero. Observe que el periodo coincide con la

componente que se alteró de la suma de 5 Hz.

Vemos aquí que la información del periodo es correcta y que la amplitud depende del error de

fase introducido (en el ejemplo al azar), pero que esta limitado por dos veces la amplitud de la

componente de error.

Finalmente se muestra la fase calculada en la señal de la figura 2.1.5.1. Si la inversión es

efectiva, todos los términos tienen una fase cercana a cero, aquí se ve la aparición del error

introducido en la componente de 5 Hz.

Figura 2.1.5.3. Fase de la señal en el foco con la componente de 5 Hz al azar.

Esto nos muestra la posibilidad de utilizar este criterio para detectar las componentes de la

señal mas afectadas de error y poder eliminarlas de la suma.

Índice


33

2.1.6 Inversión temporal en el dominio de la frecuencia.

Frequency Domain Time Reversal [FDTR].

Hasta el momento la inversión temporal para el caso de ultrasonido se ha realizado

experimentalmente en el dominio del tiempo, la llamaremos TTR (Time Time Reversal) por

tener el sistema identificado en el dominio del tiempo y reenvío de la señal invertida

temporal, de forma de distinguirla de la variante propuesta en este punto. Esto presenta una

serie de limitaciones prácticas para la obtención de la respuesta del sistema que impiden

alcanzar la focalización óptima.

Llamamos optima dado un setup experimental fijo, esto es la cavidad (o el medio donde se

propagan las ondas), los transductores y la electrónica (Fmues, Np).

Puede mostrarse que estas limitaciones se eliminan caracterizando el sistema en el dominio de

la frecuencia para luego realizar la inversión temporal FDTR (Frequency Domain Time

Reversal), alcanzando el límite práctico de focalización para el montaje experimental dado.

En la tesis se presenta la obtención experimental por primera vez de la inversión temporal

para señales ultrasónicas caracterizando el sistema en el dominio de la frecuencia, FDTR. Ver

4.1. Los resultados muestran una mejor focalización espacial y temporal lo que permite

suponer que será de gran utilidad en la construcción de las futuras maquinas de inversión

temporal acústica.

Como se desarrollo en el punto anterior, el proceso de inversión temporal en un medio con un

punto de entrada (emisión) y un punto de salida (recepción) consiste en excitar la entrada con

una señal tipo delta de Dirac, recibir y almacenar la señal en la salida (respuesta al impulso

h(r,t)), invertirla en el tiempo y reenviarla. En el dominio de la frecuencia la entrada delta

corresponde a excitar con infinitas sinusoides de amplitud unitaria y que se encuentran en fase

en el instante inicial.

1 t Eq. 2.1.6.1

Al propagarse por el medio cada componente sinusoidal es atenuada y desfasada antes de ser

recepcionada, estas componentes en modulo y fase son la transformada de Fourier temporal

H(r,) de h(r,t) y poseen la misma información que esta.

La inversión temporal en frecuencias consiste en tomar la conjugada H*(r,), cuando se

reinyecta al sistema la señal recibida es producto H(r,) H*(r,) que pone en fase todas las

componentes sinusoidales en un instante y en la posición espacial de recepción.

,,),(),( * xHxHtxhtxh Eq. 2.1.6.2

Cuando se realiza experimentalmente este proceso hay factores que dependen de la dinámica

del sistema y factores que dependen de la implementación y sobre los cuales se puede actuar.

Uno de los puntos centrales para la mejora de la focalización espacio-temporal esta en la

medida de la fase de cada componente sinusoidal de H(x,), pueden pensarse técnicas análogas como la del filtro inverso que introducen una compensación en la amplitud pero

siempre se debe conocer la fase con la mejor resolución posible y es en este sentido que el uso

del FDTR presenta una mejora a las implementaciones actuales de la inversión temporal.

Índice


34

En la técnica tradicional TTR la digitalización de la señal se realiza utilizando una frecuencia

de muestreo Fmues y un numero de muestras fijo Np. Teóricamente esta información es

equivalente a medir la respuesta de frecuencia compleja H(x,) con un intervalo entre

frecuencias de Fmues /( Np - 1) como lo indica el teorema del muestreo, en este sentido la

implementación propuesta caracteriza el sistema en el dominio de la frecuencia mediante la

obtención experimental de H(x,). Existen razones fundamentales y tecnológicas para esperar una mejor caracterización del

sistema en el dominio de la frecuencia y con ello una mejor focalización espacio-temporal. A

continuación se discuten las diferencias entre la identificación en el dominio del tiempo y el

dominio de la frecuencia:

Señales reales; en el tiempo es imposible construir una delta de presión, la respuesta del

sistema siempre esta modulada por el ancho de banda finito de la señal de entrada. En

frecuencia las sinusoides son de duración finita, es imposible construir una señal

monocromática pura. Esta es una limitación fundamental, sin embargo tecnológicamente es

más simple construir sinusoides largas que impulsos cortos.

Fenómenos no lineales; en el tiempo se excita con una delta de gran amplitud mientras que

en frecuencia se utilizan sinusoides de baja amplitud, esto asegura que trabaja en el régimen

lineal todo el tiempo.

Ruido de medida; tecnológicamente se logra una inmunidad al ruido mayor en la detección de

una señal de frecuencia fija que en la adquisición de una señal en el dominio del tiempo. Esto

se debe a que en el dominio del tiempo el ruido cuyo espectro coincide con el de la señal la

contamina, siendo la una posibilidad de eliminarlo realizar una media en un ensamble. En el

dominio de la frecuencia, puede utilizarse una detección sincrónica que permite recibir

únicamente la información de la frecuencia emitida.

Ancho de banda no acotado; la respuesta del sistema disminuye con el aumento de la

frecuencia pero no es nula. En FDTR no se incluyen los términos a partir de Fmues/2, sin

embargo en el tiempo ocurre el fenómeno de solapamiento o aliasing. Esto implica un

solapamiento del espectro contaminando las frecuencias menores que Fmues/2. Esta es una

limitación fundamental introducida por la digitalización de las señales.

En 4.1 se presentan los resultados experimentales obtenidos en la focalización sobre la

superficie de una cavidad caótica, estos dispositivos fueron presentados por Mathias Fink y

sus colaboradores como una alternativa para la generación de imágenes 3D [Montaldo 2004].

Las medidas comparativas en tiempo y frecuencias se realizan sobre los mismos puntos

geométricos, con la misma electrónica de emisión y recepción y utilizando el mismo número

de muestras. Una descripción detallada del setup experimental se presenta en 3.3.

Índice


35

2.1.7 El filtro inverso.

Hasta aquí de mostró que el efecto de la inversión temporal es poner en fase todas las

componentes del espectro de la señal para el tiempo igual al largo de la señal. Tambien se

comentó que los errores o diferencias en la amplitud no son relevantes en la focalización

temporal. En este punto se intenta responder a la siguiente pregunta:

¿Puede utilizarse la amplitud de las componentes del espectro para mejorar la

focalización temporal?

Veremos que la respuesta es si, pero con cuidado. Como referencias a trabajos en esta

dirección pueden verse [Tanter 2000], [Aubry 2001] y [Tanter 2001/2].

Retomemos el ejemplo visto en 2.1.1 donde se muestra el efecto de la fase en la focalización

temporal. Aquí se consideraron diez sinusoides con frecuencias de 1 Hz a 10 Hz, pero todas

con amplitud uno.

Saber en general como influye la variación de la amplitud de cada armónico en el foco no es

simple. Intuitivamente se ve que si todas las amplitudes son iguales en frecuencia se

corresponderá a un sinc en el tiempo que converge a una delta cuando se aumenta el numero

de componentes consideradas. Pero no hay una forma analítica simple y general de evaluar el

efecto de variar las amplitudes de las componentes sin calcular explícitamente la señal.

Por ello se muestra el efecto de forma estadística, se considera un conjunto de N señales y se

estudia como se distribuye la amplitud máxima para cada caso. Cada señal es formada por

una suma de diez frecuencias igual que antes pero los coeficientes de cada componente se

toman al azar.

10

1

exp, tjAtry nn Eq. 2.1.7.1

Donde los An son aleatorios y las n corresponden al rango de 1 Hz a 10 Hz mencionado.

Figura 2.1.7.1. Estadística de la amplitud máxima al variar los armónicos.

Se observa aquí que es muy improbable tener amplitudes mayores a ocho. Esto nos permite

concluir que la amplitud máxima se da cuando los armónicos son iguales y que su variación

siempre produce una reducción apreciable de la focalización.

Índice


36

En la inversión temporal se compensan las fases, pero todavía tenemos la posibilidad de elegir

la amplitud de cada componente. Surge la siguiente idea:

Caracterizar el sistema, esto relevar la respuesta de frecuencia.

trhrH ,, Eq. 2.1.7.2

Calcular para cada componente de frecuencia 0 la amplitud de la respuesta de frecuencia.

0,rH Eq. 2.1.7.3

Calcular el inverso del módulo para cada frecuencia

0,

1

rH Eq. 2.1.7.4

Tomar la conjugada para la fase y formar la inversa compleja H-1

,

,1 rH Eq. 2.1.7.5

Realizar la transformada inversa de Fourier y reenviar.

,11 rHtu Eq. 2.1.7.6

En teoría esto nos permite obtener la focalización máxima en el origen al sumar todos los

armónicos de igual amplitud. El hecho de que la amplitud sea igual pero con un valor

diferente de uno no es relevante en la teoría, ya que se trata de un factor de ganancia global.

Sin embargo en la experiencia tiene una gran importancia ya que la amplitud máxima de la

señal temporal esta limitada por la electrónica utilizada y debe normalizarse la señal emitida

para no superarla.

¿Cual es el problema?. La normalización de la amplitud hace que todas las frecuencias se

transmitan con la misma energía, pero las de menor amplitud tienen errores mayores en la

caracterización tanto en amplitud como en fase (en particular cuando la amplitud tiende a cero

desconozco la fase, el error de fase es aleatorio). De esta forma introducimos componentes

contaminadas de error con igual peso que las mejor caracterizadas (modos del sistema).

¿Cual es la solución? Definir un rango de confianza para las medidas, por ejemplo en las

experiencias realizadas durante la tesis se utilizo 50 % del valor máximo. Esto es considerar

que las señales que tienen hasta el 50 % del máximo se consideran con bajo error. Compensar

luego la amplitud solo en este rango. Se observo experimentalmente que este proceso produce

una mejora en la focalización temporal.

Índice


37

Como observación final en los trabajos mencionados al principio de este punto se intenta dar

una forma a la focalización espacial, esto puede plantearse en teoría cuando se utilizan

muchos emisores ya que se tiene una respuesta de frecuencia para cada uno de ellos y con esto

pueden ajustarse las amplitudes espaciales. Sin embargo este problema numérico parece ser

mal condicionado de acuerdo a las referencias. En esta tesis no se pudo investigar dicha

posibilidad ya que se dispone de un solo canal emisor.

2.1.8 Modelo físico para la focalización espacial en una cavidad.

Las ideas teóricas presentadas aquí corresponden al trabajo realizado en conjunto con el Dr.

Gabriel Montaldo y que dio lugar a la sumisión del trabajo “The spatial focusing of a time

reversal chaotic cavity: A statistical model.” [ref].

El trabajo se desarrollo de la siguiente forma, en el LAU se realizó una serie de medidas para

la caracterización de los modos espaciales de vibración. Ver. 4.4. A partir de esto el Dr.

Montaldo propuso un modelo estadístico para la radiación en el interior de la cavidad,

finalmente las hipótesis estadísticas del modelo fueron probadas numéricamente en el LAU

utilizando elementos finitos.

El objetivo principal del trabajo es comprender la física subyacente en la focalización

ultrasónica en una cavidad acústica por inversión temporal. Concretamente se intenta

responder cuatro preguntas básicas:

¿Cómo es la radiación en el interior de la cavidad?

¿Cómo es la radiación transmitida desde la cavidad al medio fluido?

¿Cómo se realiza la propagación en el agua?

¿Cómo influye la rugosidad en la transmisión de energía al medio fluido?

Para responderlas se plantea un modelo teórico simplificado en dos dimensiones, aunque en la

comparación con los datos experimentales se realiza una extensión al caso tridimensional.

El campo en el interior de la cavidad.

Dentro de una cavidad sólida isotópica, existen ondas longitudinales (l) y ondas de corte o

shear (s). Las ondas de corte tienen dos posibles polarizaciones, shear - horizontal o

polarizadas paralelas a la superficie de emisión y shear - verticales o polarizadas en el plano

de incidencia. Las ondas horizontales no transmiten energía al exterior de la cavidad cuando

esta en contacto con un fluido debido a que este no transmite esfuerzos de corte y para este

tipo de incidencia no hay conversión de modo en la interfase, por esta razón no serán

consideradas en el siguiente análisis.

Índice


38

Figura 2.1.8.1. Ondas de volumen en una cavidad sólida, la polarización shear horizontal no transmite energía en

una interfase fluida.

Podemos descomponer el campo ultrasónico que incide en la superficie de emisión en sus

componentes de onda plana. Por ejemplo una onda plana longitudinal puede escribirse como

)exp()(),( tiivt kll krkrv u Eq. 2.1.8.1

Donde k es el vector de onda, kk/ku es su versor dirección, lv es una magnitud compleja

que contiene la amplitud y la fase de la onda, es la frecuencia angular asociada al número

de onda por medio de la velocidad lc longitudinal en este caso, lck / . A continuación se

detallan las hipótesis para las propiedades estadísticas en un ensamble de realizaciones de lv

Valor medio nulo. Como las fases de las ondas son arbitrarias entre las diferentes

realizaciones (ej. Para dos puntos de excitación diferentes en la cavidad) es claro que el valor

medio de lv debe ser nulo

0)( klv Eq. 2.1.8.2

Donde . es el valor medio del ensamble.

Independencia de las direcciones. Suponemos que para dos direcciones diferentes ku y 'ku ,

las fases y las amplitudes son independientes

0)()( * kk ll vv Eq. 2.1.8.3

Isotropía. El valor medio de la intensidad es independiente de las direcciones.

Las dos condiciones finales pueden resumirse en

)()()( 2*kkkk lll vv A Eq. 2.1.8.4

Donde es la función de Dirac.

Índice


39

Hipótesis similares se hacen para las ondas de corte.

)exp()(),( tiivt kss

krkrv u Eq. 2.1.8.5

ku es la dirección perpendicular a ku en el plano de incidencia.

0)( ksv Eq. 2.1.8.6

)()()( 2*kkkk sss vv A . Eq. 2.1.8.7

Un punto importante a considerar es la relación entre sA y lA , es decir la energía relativa

entre el campo longitudinal y el shear. Luego de varias reflexiones y conversiones de modo en

los bordes de la cavidad podemos considerar que la energía se distribuye de igual forma entre

todos los modos del sistema. R. Weaver [Weaver 1982] calculó la densidad de modos

longitudinales y shear, deduciendo la equipartición de la energía para una cavidad isotrópica

33 /2/ lsls ccEE Eq. 2.1.8.8

La relación 33 / ls cc proviene de la densidad de modos y el factor 2 de las dos polarizaciones

de la ondas de corte. Para el duraluminium smcl 6300 , smcs 3100 , tenemos entonces

16.8 mas energía en los modos de corte que en los longitudinales.

Como estamos interesados solamente en la polarización vertical podemos concluir que la

relación entre sA y lA para la cavidad de duraluminium es

3322 // lsls ccAA Eq. 2.1.8.9

Transmisión de energía hacia el fluido.

Cuando una onda plana en el interior de una cavidad sólida, incide en una interfase sólido-

fluido, la energía es parcialmente transmitida hacia este último. Para el caso monocromático,

el ángulo que forma el vector de ondas de la onda transmitida es dado por la ley del Snell

wls sinksinksink wls Eq. 2.1.8.10

donde k es el módulo del vector de onda, es el ángulo que forma respecto a la normal, el

subíndice s denota las ondas de corte, l las longitudinales y w para las transmitidas. El medio

fluido solo propaga son ondas de compresión. Las componentes paralelas al plano de

incidencia son continuas.

La amplitud de las ondas transmitidas puede calcularse explícitamente [Dieulesaint 1980] o

usando un método matricial que permite obtener todas las combinaciones de condición de

borde [Auld 1990].

Por ejemplo, el coeficiente de transmisión para una onda longitudinal que incide en la

interfase es

wllwslssl

wlsl

zzccT

coscos2cos2sin2sin

coscos2cos2222

Eq. 2.1.8.11

Índice


40

donde www cz y solidll cz son las impedancias mecánicas del agua y del sólido

respectivamente y es la densidad de masa.

En la figura 2.1.8.2 podemos ver los coeficientes de transmisión para la interfase duraluminium-agua calculados a partir de Eq. 2.1.8.11 y su similar para las ondas de corte.

Las velocidades de las ondas longitudinales y de corte son smcl 6300 y smcs 3100

respectivamente.

Pueden observarse dos ángulos particulares, a 13.8° las ondas longitudinales dejan de

transmitirse al agua presentando un ángulo crítico, mientras que las ondas de corte muestran

un ángulo particular de no transmisión en 13.8° y un ángulo crítico 29°. Para este último caso

no hay transmisión ángulos mayores a el indicado.

Figura 2.1.8.2. Coeficiente de transmisión contra el ángulo transmitido. Observe la existencia de ángulos críticos

para ambos tipos de onda.

Las ondas transmitidas se expresan en función de xk debido a que es la componente continua

en la interfase. De esta forma escribimos la presión transmitida al agua por los modos de corte

y longitudinal como

)()()(

)()()(

xsxsxs

xlxlxl

kvkTkp

kvkTkp

Eq. 2.1.8.12

Usando las ecuaciones Eq 2.1.8.4 y Eq 2.1.8.7, las propiedades estadísticas de sp y lp son

0)()( xsxl kpkp Eq. 2.1.8.13

)()()()( 22*xxxssxsxs kkkTkpkp A Eq. 2.1.8.14

)()()()( 22*xxxllxlxl kkkTkpkp A Eq. 2.1.8.15

Índice


41

La presión total transmitida en la dirección xk será la suma

)()()( xsxlx kpkpkp Eq. 2.1.8.16

mientras que la intensidad media en esta dirección es

)()())(()( 2222**xllxssslslx kTAkTAppppkI Eq. 2.1.8.17

normalizando entre As y utilizando la equipartición Eq. 2.1.8.9 para relacionar sA y lA

tenemos

)()()( 22

3

3

xlxs

l

s

x kTkTc

ckI Eq. 2.1.8.18

Presión en la superficie de la cavidad.

La presión en la superficie de la cavidad puede obtenerse por una medida directa. Llamamos

),,( tyxp a esta presión para un punto genérico de la superficie. Se realiza la transformada

triple de Fourier obteniendo ),,( yx kkp .

Las diferentes frecuencias son diferentes realizaciones del ensamble, podemos calcular

entonces la energía media transmitida en )( , yx kk como

dkkpkkpkkI yxyxyx ),,(),,()( *, Eq. 2.1.8.19

Partiendo de las presiones en el espacio k como las calculadas en la ecuación Eq. 2.1.8.18 la

correlación entre dos vectores k es

dkkpkkpkkpkkp yxyxyxyx ),,(),,(),(),( ** Eq. 2.1.8.20

Realizando la transformada inversa de Fourier podemos calcular la presión en cada punto

r = (x,y) del agua en contacto con la superficie

rrr dkrikkprp )exp()()( Eq. 2.1.8.21

Las propiedades estadísticas de )(rp son

0)( rp Eq. 2.1.8.22

y la correlación es

rrrrrr kddkrkirikkpkprprp )exp()()()()( ** Eq. 2.1.8.23

Índice


42

Utilizando las ecuaciones Eq. 2.1.8.14 o Eq. 2.1.8.15 de forma genérica, la )()( *rr kpkp es

una delta de Dirac, entonces

)()](exp[)()()( * rrBdkrrikkIrprp rrr Eq. 2.1.8.24

donde B(r) es la transformada inversa de Fourier de )( rkI .

Se puede interpretar la función )(rB de la ecuación Eq. 2.1.8.24 en términos de la

focalización por inversión temporal. Observe que este resultado es análogo a Eq. 2.1.4.12.

Para ello repasaremos dicho proceso de focalización:

Respuesta al impulso. Se envía un pulso corto desde un emisor situado en un punto

fijo de la cavidad y se recepciona en otro punto r perteneciente a la superficie, la señal

),( trp mediante un hidrófono idealmente puntual. Luego de un promedio para eliminar

ruidos aleatorios, ),( trp es la convolución de la respuesta al impulso con el espectro

del pulso enviado, aquí supondremos un pulso delta ideal por lo que se obtiene la

respuesta al impulso.

Inversión de la señal. La respuesta adquirida se invierte en el tiempo y se reenvía al sistema desde el emisor original un tiempo T posterior como se detalla en 2.1.1. Por

simplicidad se omite este retardo y se considera la emisión de ),( trp .

Recepción de la señal focalizada. Con el hidrófono se recibe la señal nuevamente en el punto r. La respuesta al proceso de inversión temporal será la convolución

),(),(),( trptrptry Eq. 2.1.8.25

Relevamiento de la focalización. La respuesta para los puntos vecinos rr será

entonces la convolución con la respuesta al impulso ),( trp correspondiente a la

emisión en el transductor original y la recepción en dicho punto r .

),(),(),( trptrptry Eq. 2.1.8.26

La transformada de Fourier de Eq. 2.1.7.26 es

),(),(),( * rprprY Eq. 2.1.8.27

Realizando la transformada inversa al dominio del tiempo, la señal recibida será

dtirprptry )exp(),(),(),( * Eq. 2.1.8.28

En 0t la focalización obtenida en r es

Índice


43

drprprrrt ),(),()0,,( * Eq. 2.1.8.29

Comparamos este resultado con la ecuación Eq. 2.1.8.24, tomando como media en las

realizaciones la media en las frecuencias asociamos d...... , entonces la función )(rB es

justamente el foco espacial de la inversión temporal.

Propagación en el agua e inversión temporal fuera de la cavidad.

Estudiaremos ahora la propagación en el exterior de la cavidad a un punto (r,z), se toma un

sistema de coordenadas con eje z normal saliente a la cara emisora y centrado en esta, z > 0

corresponde a puntos del agua. El método mas simple consiste en utilizar la integral de

Righley para la propagación en el liquido. A partir del conocimiento de la presión sobre la

superficie, esto es en el plano z = 0, podemos calcular la presión en un punto genérico como

drzrrGrpzrp ),,()(),( 11 Eq. 2.1.8.30

donde ),,( 1 zrrG la función de Green entre los puntos r y 1r .

Las propiedades estadísticas de la presión en ),( 1 zr son

0),( 1 zrp Eq. 2.1.8.31

utilizando la Eq. 2.1.8.24 tenemos

rdrdzrGzrGrrBzrpzrp ),(),()(),(),( *2

*1 Eq. 2.1.8.32

Esta correlación puede interpretarse en términos de la focalización por inversión temporal

como se hizo para los puntos sobre la superficie de la cavidad. Como conclusión tenemos que

la inversión temporal focalizada en el punto ),( 1 zr da como resultado en el punto ),( 2 zr que se

calcula como

rdrdzrrGzrrGrrBrrAtr ),,(),,()(),( 2*

121 Eq. 2.1.8.33

Índice


44

2.1.9 Análisis del determinismo en la respuesta del sistema.

En este punto se intenta aclarar la necesidad del determinismo en la focalización por inversión

temporal y el porqué es utilizado el termino “caótico” para las cavidades irregulares. Se habla

de determinismo en el sentido de unicidad de la respuesta a una misma entrada, llamamos a

esto determinismo entrada – salida o determinismo en la respuesta. Ver 2.1.

Para ello se comienza con el estudio de un modelo simple, presentado en la introducción de

esta tesis, el billar mecánico. En él se realiza un proceso de inversión temporal, esto es se

emiten bolas y se intenta que se refocalicen en el emisor. Entendemos que refocalicen el

hecho de que las bolas lleguen al emisor todas al mismo tiempo.

Modelo simple:

Consideremos un billar en el que se dispone de un punto emisor de bolas y una región de una

de las bandas en que se dispone de un sensor capaz de medir la cantidad de movimiento p de

una bola que incida sobre el. Supongamos además que este sensor tiene la capacidad de

reemitir las bolas en el instante que se desee.

Figura 2.1.9.1: Billar de bolas.

En la figura se muestra la emisión de una bola en 0t luego de recorrer la curva azul la bola

pega en el sensor en 1tt aquí el sensor registra la cantidad de movimiento 1p y el tiempo,

sigue su viaje por la curva roja hasta que en 2tt la bola pega nuevamente en el sensor

registrándose la cantidad de movimiento 2p y el tiempo. El proceso puede continuarse

indefinidamente si el billar se considera sin rozamiento. Para fijar ideas consideremos T como

el largo de la experiencia. Tenemos al tiempo T una tabla del tipo:


t1 p1

t2 p2

t3 p3

…….. …………

Índice


45

Realicemos ahora el proceso de inversión, para ello formamos la “señal invertida” mediante

la tabla


T-t1 -p1

T-t2 -p2

T-t3 -p3

…….. …………

Se reemiten las bolas desde el sensor en los tiempos indicados en la tabla y con la cantidad de

movimiento invertida. Todas las bolas llegaran al punto emisor en el instante T produciéndose

la focalización.

El hecho físico fundamental detrás de esta propagación es que se compensan los retardos

introducidos en el viaje de la bola sumado a la suposición de que las bolas cumplen con

Energía constante

Movimiento rectilíneo cuando no hay reflexión

Reflexión especular (independiente de la dirección de incidencia)

Existen dos grandes dificultades para realizar físicamente esta experiencia, la primera es que

no existen billares sin rozamiento y la segunda es la sensibilidad extrema de la trayectoria de

una bola a las condiciones iniciales.

Estas causas son de distinto peso. La perdida de energía afecta la velocidad y con ello el

tiempo de vuelo que es lo que se desea compensar, sin embargo si se conoce la velocidad

inicial puede utilizarse esta para calcular el modulo de p y con ello reproducir el fenómeno.

La segunda causa es mas profunda, esta asociada a la estabilidad de las trayectorias en este

tipo de situaciones, donde, salvo en algunas geometrías muy idealizadas, la trayectoria no es

predecible luego de algunos rebotes dándose una situación llamada de caótica.

¿Que ocurre en la focalización de ultrasonido en las cavidades acústicas?

Puede pensarse una situación análoga a la planteada dentro de una cavidad sólida, donde son

emitidas ondas acústicas en una región del borde (por ejemplo acoplando una pequeña

cerámica piezoeléctrica) y recepcionada la presión en un punto de la superficie (por ejemplo

mediante un hidrófono). La señal emitida originalmente es un pulso estrecho (cercano a una

delta de Dirac) y la señal recepcionada contiene la información de los rebotes de la onda al

propagarse por el medio.

El proceso finaliza con la reemisión de la señal adquirida en el hidrófono invertida en el

tiempo, luego de esto se observa una focalización en el tiempo de la presión en el punto

emisor original en el instante de tiempo correspondiente al largo temporal de la señal

invertida T. Las hipótesis fundamentales para este proceso son:

Linealidad.

Invariancia en el tiempo.

Determinismo.

Propagación ondulatoria.

Índice


46

Desde el punto de vista de la dinámica de sistemas, la cavidad acústica se comporta como un

filtro, el cual queda completamente caracterizado por su respuesta al impulso si se cumplen

las hipótesis anteriores. El proceso de inversión temporal permite encontrar la fase optima

para cada componente sinusoidal que debe tener una señal inyectada al filtro para focalizar en

su salida. Hablamos de la fase optima porque existen diversas formas de fijar la amplitud de

cada componente. Ver 2.1.7.

Los problemas observados para la realización del proceso de focalización por inversión

temporal para el caso de partículas tienen aquí una naturaleza bien diferente debido a que se

trata de la propagación de ondas. Esto permite levantar, al menos en forma aproximada,

ambas restricciones.

En el caso de las ondas la perdida de energía o atenuación produce una disminución de la

amplitud del foco ya que existen en el interior de la cavidad procesos irreversibles que la

transforman. Sin embargo la compensación del tiempo de vuelo esta asociada con la

velocidad de propagación. Esta velocidad puede depender de la atenuación, pero es

independiente de si la onda se propaga en una dirección u otra, por ello la inversión temporal

produce focalización en medios atenuantes.

Resumiendo, la atenuación disminuye la amplitud del foco, ya que parte de la energía se

pierde en el proceso, pero la focalización sigue produciéndose en medios atenuantes que

propagan ondas.

El segundo problema, esta asociado al determinismo de la evolución del proceso de

propagación. En el caso de las ondas, la propagación se da por infinitos caminos simultáneos

(frente de ondas) que producen un efecto acumulado al llegar al destino (suma lineal). Esta

suma compensa en principio pequeñas diferencias debidas a las condiciones iniciales u otros

factores que afectan la propagación. El proceso de propagación ondulatoria es desde este

punto de vista robusto, puede predecirse su evolución futura con bastante precisión lo que

llamamos determinismo entrada-salida siendo poco sensible a cambios puntuales en el medio.

Esto no quiere decir que sea poco sensible a cambios del medio. Si cambia una propiedad

global como la temperatura (que afecta la velocidad de propagación) o en un medio

multidifusor se cambia la distribución de estos (aunque mantengan la misma estadística) la

focalización por inversión temporal se pierde gradualmente con esto cambios. Por otra parte

si en el medio se introduce un defecto puntual u otro tipo de cambio en una propiedad local,

el proceso permanece prácticamente inalterado.

En la practica las cosas no son tan simples, al propagarse la onda parte de la energía es

efectivamente afectada por pequeños cambios y parte es determinista, esto es se repite de un

proceso a otro. Esto introduce otra causa de irreversibilidad y limita la amplitud de la

focalización por inversión temporal.

Resumiendo, solo puedo compensar los retardos de propagación de la porción de energía que

se comporta de igual forma cuado se repite el proceso, esta es llamada determinista.

Se observa en este punto que el caso ideal es cuando las amplitudes de salida para cada

componente sinusoidal son iguales (transformada de una delta), es por ello que en la práctica

se desea enriquecer el contenido de la respuesta de frecuencia para mejorar la focalización.

Esto se logra con cavidades mas complicadas, por ejemplo con rugosidad o imperfecciones en

sus bordes.

Para aclarar el porque la introducción de rugosidad u otra característica que rompa la

regularidad de la cavidad ayuda a la riqueza espectral consideremos el siguiente ejemplo. Un

conjunto de cuerdas diez vibrantes, de longitud l y velocidad de propagación v.

Índice


47

Figura 2.1.9.2: Dos familias de cuerdas, una todas iguales y otra con longitudes variables.

Se considera primero que si todas las longitudes son iguales y los extremos fijos. Hay una

distribución de modos de resonancia que si asumimos equipartición de la energía para cada

modo pueden calcularse como

,....2,1

2

n

l

vnfn Eq. 2.1.9.1

Si ahora se considera que las longitudes de las cuerdas pueden variar entre l y 4

3l (una

variación del 25% en el largo) la distribución de modos toma el siguiente aspecto

Figura 2.1.9.3: Primeros armónicos para ambas familias de cuerdas, en el caso regular, todos son iguales y la

suma da diez, en cambio cuando ser rompe la regularidad los armónicos se distribuyen de forma mas homogénea

en el espectro manteniendo la misma energía total.

Vemos en este modelo tan simple un hecho general, cuando se rompe la regularidad de un

sistema resonante su patrón de modos se hace mas homogéneo.

Índice


48

Como ya se mencionó, la información necesaria para caracterizar el sistema es la amplitud y

la fase de cada componente sinusoidal, la inversión temporal pone en fase, para el tiempo

correspondiente al largo de la señal, todas las componentes sinusoidales. Esto produce la

focalización.

Este fenómeno lleva a la siguiente oposición de factores: por un lado cavidades mas

complicadas presentan patrones de frecuencia mas distribuidos mejorando la focalización, por

otro estas cavidades presentan un comportamiento menos predecible, parte de la energía se

comporta de forma caótica, disminuyendo la focalización.

Esta ultima afirmación no se ha cuantificado experimentalmente y será uno de los trabajos

futuros a encarar luego de finalizada la tesis. Lo que si esta verificado es que es necesario un

promedio de ensamble para determinar la respuesta del sistema eliminado la componente

aleatoria como se detalla en 2.1.5.

Resumiendo:

Solo es posible realizar el proceso de focalización por inversión temporal a la parte de la

energía que se comporta como determinista entrada – salida.

El enriquecimiento del patrón de modos del sistema favorece la focalización.

Esto trajo aparejado el uso de la denominación de caóticas para las cavidades donde se

introducen defectos para aumentar el número de modos.

Esta denominación nace en la analogía con los billares de bolas, donde en el limite de

longitudes de onda muy pequeña las ondas se comportarían como partículas y se verificaría

este tipo de comportamiento.

2.2 Rugosidad

En este punto se presentan las ideas básicas para el estudio de superficies rugosas. Comienza

con una descripción del problema y la relación entre la rugosidad y la longitud de onda

incidente. Luego se da descripción matemática de las superficies rugosas, rugosidad rms y

correlación espacial.

Finalmente se describen las bases del modelo de Kirchoff para el scattering de superficies

rugosas.

El estudio no pretende ser original y esta completamente extraído de las referencias [] [], se

incluye en la tesis a efectos de facilitar el entendimiento en los puntos 4.3 y 4.5. Vinculacion con focalizciòn por inversión temporal

2.2.1 El criterio de Rayleigh.

El scattering de las ondas desde una superficie rugosa fue estudiado originalmente por

Rayleigh en 1877, quien consideró el problema de una onda plana monocromática incidiendo

de forma normal in una superficie sinusoidal. Este trabajo condujo al llamado criterio de

Rayleigh para determinar el grado de rugosidad de una superficie, en el cual es posible una

interpretación física simple.

Índice


49

Considere una onda plana monocromática que incide a cierto ángulo 1 sobre una superficie

rugosa.

Figura 2.2.1.1 Diagrama para el calculo de la diferencia de fase entre dos rayos reflejados paraleles con

diferentes alturas.

Para ondas reflejadas en el plano azimutal (ej, el plano x,y de incidencia) a cierto ángulo es

fácil calcular la diferencia de fase entre dos rayos reflejados desde puntos separados de la

superficie. Esto puede expresarse como

21122121 sinsincoscos xxhhk Eq. 2.2.1.1

donde k es el módulo de el vector de onda incidente (y reflejado) y los puntos de scattering

están localizados en x1 y x2. Las alturas de estos puntos, medidas desde un cierto plano de

referencia, son h1 y h2 respectivamente.

Para la reflexión especular 21 la diferencia de fase es

1cos2 hk Eq. 2.1.1.2

donde 21 hhh . La interferencia entre los rayos depende del valor del desfasaje

comparado con .

Para las dos ondas se encuentran esencialmente en fase e interfieren

constructivamente. De otra forma para las ondas interfieren destructivamente

resultando en ausencia de energía reflejada en esa dirección.

El llamado Criterio de Rayleigh dice que si 2

la superficie puede considerarse “lisa”,

de otra forma le llamamos “rugosa”.

Si esta restricción se promedia sobre la superficie, entonces h debe remplazarse por la

desviación RMS de la superficie lisa (ver 2.1.1) y el criterio se establece como

4

Ra Eq. 2.1.1.3

donde Ra es el llamado parámetro de Rayleigh definido por

Índice


50

1cos kRa Eq. 2.1.1.4

El uso del criterio de Rayleigh para dividir las superficies en rugosas o lisas es de alguna

forma arbitrario. De todos modos muestra un hecho importante que es que el efecto de la

rugosidad de una superficie cuando refleja una onda, no es una propiedad intrínseca sino que

depende de las propiedades de la onda incidente.

Tanto la frecuencia como el ángulo de incidencia de la onda determinan que tan rugosa la

superficie se presenta, esto es llamado rugosidad efectiva, la superficie aparece mas rugosa

cuanto menor la longitud de onda y cuanto mas cerca de la incidencia normal. De esta forma

para decidir si una superficie es rugosa mediante un ensayo que involucra la reflexión de una

onda, deben tomarse en cuenta las características de la radiación incidente. Por ejemplo, una

superficie que aparece rugosa a la luz visible, con longitudes de onda del orden de cientos de

nanómetros, puede aparecer como lisa para el ultrasonido, con longitudes de onda del orden

de milímetros. La escala de rugosidad, relativa a la longitud de onda de la radiación incidente,

es crucial para determinar como la energía es reflejada por la superficie.

La ecuación Eq. 2.2.1.1 puede utilizarse para entender los efectos de la rugosidad en un

sentido cualitativo. Cuando una onda es reflejada por una superficie, esta puede verse como

un emisor secundario de pequeñas ondas (Principio de Huygens). La fase relativa de estas

pequeñas ondas viene dada por la ecuación Eq. 2.2.1.1. Para superficies lisas donde 21 hh

para todos los puntos, la diferencia de fase es

2112 sinsin xxk Eq. 2.2.1.5

En la dirección especular 0 todas las pequeñas ondas generadas en la superficie

interfieren constructivamente para dar un campo reflejado fuerte. Fuera de esta dirección la

diferencia de fase es generalmente fuerte, ya que 221

xx y la interferencia destructiva

lleva a que no halla campo reflejado.

Una superficie lisa de dimensiones infinitas solo puede reflejar en la dirección especular, esto

cambia para superficies de dimensiones finitas donde hay un scattering fuerte en la dirección

especular y su entorno, donde el lóbulo formado depende de las dimensiones de la superficie

relativas a la longitud de onda incidente.

Figura 2.2.1.2.- Energía reflejada. A superficie lisa, la energía se refleja en la dirección especular y el campo es

coherente. B superficie poco rugosa, hay una componente coherente y una difusa. C superficie muy rugosa,

domina el campo difuso.

Sea ahora una superficie en la que en general 21 hh , entonces la superficie debe reflejar la

onda como rugosa. Para la dirección especular la diferencia de fase es dada por la ecuación

Eq. 2.2.1.2. Si es pequeña para todos los puntos de la superficie, comparada con , entonces

Índice


51

la superficie se ve como casi lisa. Sin embargo cuando la diferencia de alturas no es

despreciable, ocurre interferencia destructiva.

2.2.2 Descripción matemática de una superficie rugosa.

Para describir las superficies rugosas utilizamos un modelo unidimensional (que representa un

corte de una superficie real con un plano perpendicular a la misma) definiendo la función h(x)

como la altura medida respecto a la superficie media. La superficie media verifica

L

xdxh0

0 Eq. 2.2.2.1

Figura 2.2.2.1.- Definición, altura de la superficie

A partir de la función h(x) puede definirse la rugosidad rms (Root Medium Square)

dxxhL

rms 21 Eq. 2.2.2.2

Este parámetro caracteriza el alejamiento de la superficie respecto a la superficie media,

dando información promedio de la misma.

Otra descripción determina el perfil espacial de la superficie; se puede establecer una primer

división entre superficies periódicas y aleatorias. Superficies periódicas pueden ser

producidas en procesos de maquinado de piezas mientras que procesos naturales como la

corrosión suelen tener distribuciones aleatorias. Una distribución aleatoria muy frecuente es la

gausiana que será tomada como hipótesis para las muestras utilizadas en este trabajo. La

distribución de probabilidad p(h) es dada por

2

2

2exp

2

1)(

hhp Eq. 2.2.2.3

Índice


52

Figura 2.2.2.2. Distribución gausiana.

La especificación de la distribución de alturas no da información acerca de los períodos

espaciales o la escala en que las porciones de la superficie guardan una relación con regiones

vecinas. El parámetro que caracteriza este comportamiento es la función de correlación

espacial CR definida por

2

)()()(

XxhxhXCR

Eq. 2.2.2.4

2.2.3 Teoría escalar de Kirchoff.

Esta sección es un extracto del material encontrado en [Ishimaru 1978] [Ogilvy 1991] y contiene

las ideas generales de la teoría escalar de Kirchoff. Esta teoría es tambien conocida como del

plano tangente o teoría de la óptica física, es la teoría mas usada para el scattering de ondas en

superficies rugosas. Esto puede deberse fundamentalmente a dos razones:

La teoría tiene una base física fácilmente comprensible

En ciertos límites importantes conduce a expresiones analíticas relativamente simples para las amplitudes del scattering comparables con la experiencia.

El método del plano tangente para el estudio de scattering de ondas por superficies rugosas

tiene sus orígenes en el estudio de la difracción de la luz por una abertura donde se asume que

el campo difractado en cualquier punto puede determinarse por el campo incidente en la

abertura. El nombre de teoría de Kirchoff deriva de esta analogía. La mayor objeción es que al

igual que en muchas aproximaciones físicas intuitivas su precisión no es fácilmente

cuantificable.

El principio general es determinar el campo en el reflector por la aproximación del plano

tangente. Cada punto de la superficie es tratado como si fuera parte de un plano infinito, cuya

pendiente es la misma que la tangente a la superficie en dicho punto.

Índice


53

La teoría es exacta para un plano infinito liso, pero es aproximada para superficies de tamaño

finito, no planas o rugosas. En este sentido, cuanto mayor es la rugosidad mas pobre es la

aproximación sin embargo en la práctica solo pueden obtenerse soluciones analíticas cuando

se hacen algunas simplificaciones.

La forma mas simple de la teoría de Kirchoff se alcanza cuando una onda plana

monocromática escalar incide en una superficie rugosa cuyo coeficiente de reflexión es

independiente de la posición.

Como se mencionó en 2.2.1, una onda ultrasónica reflejada sobre una superficie cada punto de

la superficie reflectora puede considerarse como la suma de infinitas fuentes puntuales. Estas

fuentes al sumarse conforman el campo acústico total reflejado.

Para una superficie lisa, la dirección especular se forma con todas las ondas individuales

reflejadas en fase, formando un ángulo igual al de incidencia con respecto a la normal a la

superficie.

Para las otras direcciones ocurre una interferencia destructiva entre las ondas y no se propaga

energía. Así una superficie lisa refleja la onda solamente en la dirección especular, si la zona

iluminada por la onda es de extensión finita existe un lóbulo en torno a la dirección especular

donde ocurre la reflexión cuyo tamaño depende de la longitud de onda y el tamaño de la zona

iluminada. Llamamos campo coherente al producido por estas ondas en fase.

Para una superficie rugosa la fase de las ondas reflejadas no puede predecirse sin el

conocimiento del perfil de la superficie, se producen reflexiones en direcciones diferentes de

la especular y no mantienen una relación de fase fija respecto a la onda incidente. Esta

componente del campo reflejado se llama difuso o incoherente. Ver figura 2.1.1.

De esta forma cuando se produce una reflexión en una superficie rugosa la intensidad total

reflejada es suma de dos términos, uno coherente y otro incoherente

eincoherentcoherentetotal III Eq. 2.2.3.1

Además de la hipótesis física fundamental de tratar la superficie como localmente plana se

utilizan otras aproximaciones que se detallan a continuación:

Emisor en campo lejano.

Onda plana y monocromática.

Las pendientes son suaves en la superficie

La distribución de alturas es gausiana y no hay direcciones privilegiadas.

El área iluminada es mayor que la longitud de correlación de la superficie.

Las expresiones para la intensidad coherente e incoherente resultan entonces

Índice


54

SR

cC

I

I

c

R

I

I

rms

Reincoherent

rmscoherente

4

2exp

0

2

22

0

Eq. 2.2.3.2

I0 es la intensidad medida en un plano reflector liso (sólo reflexión coherente), es la frecuencia angular del pulso emitido, S la región iluminada de la superficie y c la velocidad de

propagación del medio, 1500 m/s en el agua y 340 m/s en el aire.

Esta aproximación será ampliamente utilizada en el 4.5 cuando se evalúan transductores de

aire para la medida de rugosidad.

2.3 Acusto – Óptica.

Esta sección resume las ideas teóricas para comprender la experiencia de medida de rugosidad

por técnicas acusto-ópticas. El resultado fundamental, es la posibilidad de medir información

espacial de la superficie sin realizar un barrido ultrasónico. Esto es con un solo pulso de

ultrasonido se obtiene una imagen que permite describir la superficie detectando periodicidad

y espectro espacial.

Estos trabajos fueron realizados en el curso de Acusto-óptica, dictado por el Dr. Ismael Núñez

y que fue una de mis materias de doctorado. Los resultados son muy prometedores y

trabajamos en estos momentos para publicar dichos resultados. Estos se resumen en el 4.5.

Como referencia general a este capitulo ver [Núñez 2004].

2.3.1 Efecto Fotoelástico Difracción de la luz por el sonido

En este punto se intenta mostrar la relación entre la condensación de un medio elástico y las

variaciones del índice de refracción óptico. Se considera un medio fluido, esto es liquido o

gas, en el que solo se propagan ondas de compresión y de esta forma hay una única velocidad

de propagación.

La condensación s es una propiedad local de los medios elásticos que mide las variaciones de

densidad relativas

0

0

s Eq. 2.3.1.1

Este resultado puede expresarse en función del numero de moléculas por unidad de volumen

N, suponiendo todas las moléculas de igual masa y llamado N0 a la densidad de moléculas en

equilibrio (ausencia de campo acústico)

00

0

N

N

N

NNs

Eq. 2.3.1.2

Índice


55

Para campos acústicos de pequeña amplitud se cumplen las siguientes aproximaciones

lineales

0

0

0

t

vp

t

sv

sBp

Eq. 2.3.1.3

Aquí p es la presión acústica definida como la diferencia entre la presión media y la presión

instantánea, v es la velocidad de partícula de un punto del medio y B es el modulo de rigidez

adiabático. La primera ecuación es la ecuación constitutiva, la segunda representa la ecuación

de continuidad y la tercera es la ley de Newton para un punto del medio.

A partir de ellas se deduce que la condensación cumple la ecuación de ondas

2

2

2

2 1

t

s

Vs

Eq. 2.3.1.4

Donde la velocidad

BV es la velocidad de las ondas acústicas en el medio.

Como las derivadas de s son iguales a la derivadas de N puede escribirse

2

2

2

2 1

t

N

VN

Eq. 2.3.1.5

De esta forma vemos que al propagarse una onda acústica en un fluido el número de

moléculas por unidad de volumen es modulado por los frentes de onda. Se intenta ahora a

partir de un modelo simple mostrar la dependencia entre el índice de refracción y la esta

densidad de moléculas en el caso de un fluido.

Utilizando los resultados de la teoría electromagnética para el calculo de la velocidad de la luz

en un medio, el índice de refracción se define como

000

0

c

cn Eq. 2.3.1.6

Aquí c0 es la velocidad de la luz en el vacío y c lo es en cierto medio material, mientras que

es la permeabilidad magnética del medio y es su permitividad eléctrica.

Supondremos que la permeabilidad magnética es esencialmente constante lo que justifica la

ultima igualdad.

La permitividad eléctrica de un medio determina la polarizabilidad de las moléculas del

mismo bajo la acción de un campo eléctrico aplicado. Sea P la polarización eléctrica (número

de dipolos por unidad de volumen). En Electromagnetismo se utiliza una relación constitutiva

de los medios dieléctricos que establece una dependencia lineal entre la polarización y el

campo eléctrico aplicado (cuando éste no es muy grande). Esta relación es

EnEP 02

00

11

Eq. 2.3.1.7

Índice


56

Si N es el número de moléculas por unidad de volumen en el gas, y que estas presentan un

momento dipolar medio <p>, entonces la polarización será

pNpV

P

N

i

1

1 Eq. 2.3.1.8

Por otra parte, el momento dipolar de una molécula que tiene sus centros de cargas positivas q

y negativas -q separados una distancia x, es

qxp Eq. 2.3.1.9

Substituyendo tenemos para la densidad de polarización

xNqP Eq. 2.3.1.10

Razonablemente la distancia media entre los centros de cargas + y – de la molécula no varia

con una onda acústica de baja intensidad (esto es mas notorio en los gases que en los

líquidos), esta dependencia de la distancia media con el número de moléculas puede

plantearse como un desarrollo en torno a la situación de equilibrio

...00

NN

N

xNxNx Eq. 2.3.1.11

donde solo mantenemos el termino de orden cero. De esta forma la polarización P se ve

afectada por la onda acústica en forma lineal. Si ahora se aplica un campo eléctrico externo, la

distancia es afectada por dicho campo. Adoptemos, como es usual en primera aproximación,

un modelo de molécula “elástica” lineal con constante elástica k. Entonces, bajo la acción de

una fuerza elástica Fe la separación x obedece a la ley lineal kxFe . Interpretando la

molécula o el átomo como un oscilador sin amortiguación, la fuerza total qEF que el

campo eléctrico vibratorio de la luz con frecuencia le aplica (en el caso de nuestra

experiencia la frecuencia del laser), conduce a la ecuación del oscilador armónico

qEkxdt

xdm

2

2

Eq. 2.3.1.12

donde m es la masa de los electrones y q su carga.

Como el campo es de la forma tEE cos0 , sustituimos en esta ecuación una solución

estacionaria de la forma txx cos0 y obtenemos la relación

tqEtxmk coscos 002 Eq. 2.3.1.13

que podemos escribir como

qEfEmk

qx

2 Eq. 2.3.1.14

donde hemos definido un factor que sólo depende de la frecuencia 2

1

mkf

.

Índice


57

Sustituyendo en la Eq. 2.3.1.10

NEqfP 2 Eq. 2.3.1.15

Igualando Eq. 2.3.1.13 con Eq. 2.3.1.7 obtenemos

Nqfn 20

2 1 Eq. 2.3.1.16

de donde resulta la dependencia con el número de moléculas del índice de refracción para un

fluido excitado por una luz monocromática de frecuencia

N

qfn

0

2

1

Eq. 2.3.1.17

Desarrollando este resultado en torno a la situación de equilibrio

Nn

qfnNn

NoN

Nqf

qfN

qfNn

00

2

0

00

2

0

2

00

2

2

1

...

12

11

Eq. 2.3.1.18

se obtiene la dependencia del índice de refracción con la variación de la densidad local de

moléculas, que como ya se dijo se propaga como una onda acústica en un fluido.

2.3.2 Método de Schlieren para medir variaciones de fase.

El método Schlieren permite extraer la modulación de fase de una onda luminosa que no

puede ser detectada por una medida de intensidad.

Sea una onda luminosa plana que se propaga en la dirección z. La amplitud del campo

eléctrico puede expresarse como la parte real de

ikzEzE exp0 Eq. 2.3.2.1

donde 2k .

El problema que queremos estudiar es la detección de la variación de fase producida por un

índice de refracción dependiente de la posición ),,( zyxnn producida por una onda viajera de

número de onda K y frecuencia angular . Esto introduce un retardo de fase dependiente de

la posición y el tiempo tyx ,, en el campo óptico, éste se puede escribir en todos los puntos

x,y de un plano perpendicular z como

ikztyxiEzyxE ,,exp,, 0 Eq. 2.3.2.2

La intensidad de este campo es proporcional a la amplitud al cuadrado

20

2,, EzyxEI Eq. 2.3.2.3

Índice


58

por lo que en ella se pierde la variación de fase tyx ,, que deseamos observar.

Supongamos que la modulación de fase es armónicamente periódica de período espacial

en la dirección x (para modulaciones no periódicas puede utilizarse una transformada de

Fourier con suma de infinitos armónicos), de forma que tenemos

tKxyxatyx sin,,, Eq. 2.3.2.4

donde 2K . El campo óptico resulta entonces

ikztKxyiaEzyxE sinexp,, 0 Eq. 2.3.2.5

La función sinexp ibf , donde b es constante, es periódica de período 2 . Se puede

entonces desarrollar en serie de Fourier, obteniéndose el resultado

n

n inbJib expsinexp Eq. 2.3.2.6

donde los nJ son las funciones de Bessel de primera clase de orden n.

n

n ikztKxinyaJEzyxE exp,, 0 Eq. 2.3.2.7

Esta expresión se interpreta como la descomposición en ondas planas del campo óptico E, de

forma que cada termino de la sumatoria representa una componente de onda plana.

Obsérvese que cada componente nE del campo óptico tiene un vector de propagación

knKxn zeek en el plano x,z, siendo zee ,x los versores sobre los ejes respectivos.

Figura 2.3.2.1 Descomposición de un campo óptico modulado en fase en ondas planas que viajan en distintas

direcciones, se muestran los primeros órdenes ( 2,1,0 ) de componentes de E.

La colocación de una lente convergente perpendicular al eje z hará converger los haces de

ondas planas en diversos focos contenidos en el plano focal de la misma, como ilustra la

Índice


59

figura 2.3.2.2. Los diferentes ángulos de incidencia de las componentes de onda plana sobre la

lente determinarán la focalización de cada una a una altura distinta en el plano focal, a lo

largo del eje x. Este hecho permite separar las componentes y hacer un filtrado espacial, que

consiste en dejar pasar algunas y bloquear otras.

En el método Schlieren este filtrado se realiza colocando una “cuchilla” en el plano focal, con

su borde paralelo al eje y. Si el borde de la cuchilla corta el eje x en el punto a, serán

bloqueadas todas las componentes que se focalicen en los puntos ax .

Figura 2.3.2.2 La lente convergente focaliza cada componente de onda plana n del campo óptico en un punto

diferente del plano focal. La cuchilla en el plano focal de la lente bloquea las componentes negativas y el orden

cero en el método de Schlieren tradicional.

La ausencia de modulaciones en la fase del campo óptico hace que la única componente

existente sea el orden cero. Si se utiliza el método tradicional ubicando la cuchilla de forma

que elimine el orden cero y los negativos, el único orden existente será bloqueado y no pasará

luz hacia la derecha de la cuchilla en la figura 2.3.2.2. La imagen obtenida no contendrá luz,

por lo que este método se llama método Schlieren de campo oscuro.

Para reconstruir la imagen se utiliza otra lente convergente luego de la cuchilla, como se

muestra en la figura 2.3.2.3. Esta lente proporciona una imagen del campo de entrada 0,, yxE

situado en z = 0, aunque modificado por el efecto de la cuchilla. En la practica esta segunda

lente es la óptica de una cámara CCD y el plano donde se enfoca al imagen es el plano de los

sensores de la cámara. Veremos que esto permite observar la variación de fase óptica yx,

del campo de entrada.

Índice


60

Figura 2.3.2.3. Esquema del método Schlieren para observar en el plano imagen la variación de fase óptica del

campo de entrada.

El campo óptico de salida izyxE ,, , donde iz es la posición del plano imagen (CCD) en la

figura 2.3.2.3, es una superposición de las ondas planas que la cuchilla permite pasar. Este

filtro espacial da como resultado que la suma de la Eq. 2.3.1.7 comienza en n = 1,

produciendo una imagen en el plano del CCD

1

0 exp,,

n

n ikztKxinyaJEzyxE Eq. 2.3.2.8

Calcularemos la intensidad luminosa en el plano imagen. Si llamamos 200 EI a la intensidad

luminosa uniforme del campo de entrada e yxI , a la intensidad de salida en el plano imagen

obtenemos

1 10

exp,

m n

mn ikztKxinaJaJI

yxI Eq. 2.3.2.9

Utilizando la aproximación de que la amplitud ya de la variación de fase es pequeña

comparada con la unidad (desarrollo en potencias de a) y luego de algunas manipulaciones

algebraicas obtenemos

tKx

yaya

I

yxI cos

84

,32

0

Eq. 2.3.2.10

Que muestra la dependencia de la intensidad relativa de la luz, medida en el plano CCD luego

de filtrarla espacialmente con la cuchilla (Schlieren), con la modulación de fase propuesta en

la Eq 2.3.2.4.

Índice


61

CAPITULO 3.

TÉCNICAS EXPERIMENTALES Y NUMÉRICAS

3.1 Espectroscopia Acústica de Superficie [SAS].

La espectroscopia acústica de superficies, [SAS] por su sigla en ingles Surface Acoustic

Spectroscopy, fue desarrollada íntegramente el en LAU y adaptada para su uso durante esta

tesis. Se trata de una técnica original de medida de vibraciones que dio lugar a una

publicación, “Surface Acoustic Spectroscopy. A simple method to characterize vibration

modes in piezocomposite transducers” [Pérez 2005]. En este párrafo se presenta un resumen de

dicho trabajo y la documentación detallada del montaje y programas desarrollados

especialmente para adquirir e interpretar los resultados de las medidas. Puede verse su

aplicación en el 4.4 en la determinación de las frecuencias espaciales de vibración en

superficies.

En el diseño de transductores piezoeléctricos para aplicaciones de ultrasonido es importante

conocer los modos de vibración espaciales de la estructura. La determinación de propiedades,

como la focalización espacial, esta ligada a estos modos espaciales de vibración.

La espectroscopia acústica de superficies compite con los métodos ópticos de determinen

desplazamientos en la superficie de un transductor, presentando como grandes ventajas la

simplicidad del montaje y la gran resolución. La principal desventaja consiste en que las

medidas son relativas y se necesita un patrón comparativo para determinar el orden de

magnitud real. Sin embargo esta información es muy útil en muchas situaciones prácticas

como el ejemplo de caracterización de piezocomposites 1-3 que se fue la aplicación original

de la técnica.

El SAS esta basado en el barrido espacial de la superficie de un transductor utilizando un

hidrófono de aguja, la información es adquirida con un analizador de transferencias que

determina modulo y fase de la transferencia electromecánica para cada punto de la superficie

del transductor. La medida se presenta en forma de sonograma que muestra un diagrama

espacio vs. frecuencia que permite identificar modos espaciales y temporales de vibración.

Como alternativa para escalar los resultados se utilizan simulaciones por elementos finitos.

3.1.1 Fundamentos del método.

Los transductores piezoeléctricos pueden ser identificados como cajas negras, con una entrada

eléctrica f(t) y el desplazamiento en un punto de la superficie como salida g(t). Si se conoce la

relación entrada-salida el sistema queda completamente caracterizado.

La dinámica del sistema es caracterizada por la función de transferencia H() en el domino de

la frecuencia. Consideramos el sistema como lineal e invariante en el tiempo, para cada

frecuencia se aplica una señal sinusoidal en la entrada y se obtiene a la salida una de igual

frecuencia pero con una amplitud y desfasaje característicos

Índice


62

jV

DH

tDtg

tVtf

exp0

0cos

0cos

Eq. 3.1.1

La transformada de Fourier de la función H() es la respuesta al impulso h(t). En el caso de

una superficie, cada punto tiene un desplazamiento diferente y la función se particulariza

como H(r,). Usamos entonces un modelo de una entrada y varias salidas cada una correspondiente a un punto r de la superficie. El número de puntos en que se divide la

superficie depende del número de armónicos espaciales de se desea medir, con las

consideraciones habituales del teorema del muestreo aplicadas a la posición, son necesarios al

menos dos puntos por longitud de onda para identificar una componente espacial.

De esta forma dividimos la superficie en N elementos y tenemos N funciones de transferencia

H(ri,)

Figura 3.1.1.1. Sistema una entrada varias salidas.

3.1.2 Setup experimental

A continuación se muestra el montaje experimental y se detallan los equipos utilizados.

Analizador de impedancia y transferencia HP4194A, utilizado en el modo Gain/phase. El

ancho de banda para este módulo es 10 Hz – 100 MHz.

Hidrófono de aguja NTR Systems, NP1000 PVDF model TNU001A (PVDF 0.4mm),

preamplificador de ganancia fija 60 dB. (El preamplificador es opcional)

Arreglo bidimensional de motores de paso ORIEL controlados desde el PC.

PC con interfase IEEE 488 y software de adquisición y control en Matlab.

Amplificador de potencia ENI 240 L RF con un ancho de banda de 20 KHz – 10 MHz y

ganancia fija 50 dB. (Opcional)

Índice


63

En la figura Fig 3.1.2.1 se muestra el setup experimental. El analizador de transferencias tiene

dos salidas, una para realimentación interna y otra para el dispositivo de preueba device under

test [DUT]. Esta última salida esta conectada al amplificador de potencia y este al transductor

piezoeléctrico.

Figura 3.1.2.1. Diagrama de conexiones.

Sobre al superficie del transductor se coloca una gota o una fina capa de aceite para actuar

como acoplante acústico, sobre esta se coloca el hidrófono de aguja. La entrada del hidrófono

se conecta directamente a la entrada del analizador HP4194A, este tiene un rango de trabajo

en frecuencias de 10 Hz – 100 MHz, la resolución máxima en frecuencias es de 1mHz y una

precisión de 20 ppm. El rango de amplitud de la salida es de –65dB a +15dB y tiene una

respuesta plana o flatness de 1dB. El rango de medida para la amplitud va de 0 a 120 dB y la

resolución 0.001dB mientras que para la fase una resolución de 0.01°. Internamente el sistema

realiza una detección sincrónica que permite detector señales muy pequeñas dentro de un

nivel de ruido alto. La gran dinámica de recepción permite al sistema utilizar el hidrófono sin

amplificar.

El amplificador de potencia es un ENI 240L con un ancho de banda de 20 kHz – 10 MHz.

Este amplificador tiene una ganancia fija de 50 dB, por esta causa el voltaje aplicado al

transductor debe controlarse en el analizador. Debe prestarse especial atención a este punto ya

que la operación es en onda continua y puede dañarse al transductor.

La comunicación entre el HP4194A y el PC se realiza mediante un bus GPIB (Standard

IEEE 488) y el posicionamiento de los motores de paso es realizado por una interfase

dedicada. Se desarrollo un software de interfase que permite realizar barridos espaciales

almacenando los datos de cada punto. Se desarrollo adicionalmente un programa que permite

adquirir un número arbitrario de puntos en la transferencia superando el límite impuesto por el

equipo de 401. De esta forma obtenemos información tanto espacial como en frecuencia del

patrón de vibración de la superficie, con la fase medida respecto a la señal generada por el

analizador. La simulación de las estructuras por elementos finitos permite determinar la

resolución en amplitud. En las medidas que hemos comparado con simulaciones consiguen

determinarse desplazamientos del orden de un Ángstrom. Finalmente como una validación independiente las mismas muestras fueron medias con un

interferómetro heterodino en el LOA (Laboratoire Ondes et Acoustique - ESPCI France) [4].

Los resultados muestran el mismo orden de magnitud que las simulaciones.

Índice


64

3.1.3 Procedimiento

La muestra piezoeléctrica debe estar polarizada y con electrodos.

Soldar la muestra y conectar en el HP4194A. La muestra puede conectarse

directamente a la salida Dual del modulo de Gain/Phase o a la salida del amplificador

ENI. El electrodo de tierra debe ser el que queda en contacto con el hidrófono. Para

muestras sensibles al ruido se construyo un porta muestras blindado.

Conectar el cable desde la salida Dual del HP4194A al amplificador ENI (opcional).

Conectar la entrada Reference channel con la señal generada en Dual.

Verificar que este la opción de salida Dual. Es la opción por defecto.

Conectar el hidrófono al Test channel

Acoplar el hidrófono y la muestra mediante aceite o agua.

Configurar el HP4194A en modo transferencia. Gain/Phase

Seleccionar relación de amplitud y fase en grados. Tch/Rch.

Seleccionar el rango de frecuencias

Seleccionar el tempo de integración y el promedio. Ej. tiempo medio y promedio 2.

Seleccionar los atenuadores de entrada.

Reference channel 1M -20dB

Test channel 1M 0dB

No encender el ENI antes de configurar la salida del oscilador. Debe prestarse especial cuidado al “Osc level” ya que la salida es amplificada y

los niveles de voltaje pueden dañar el transductor. Recomendado -40 dBV.

Debe verificarse la alineación de la muestra, fundamentalmente si se quiere mover el

hidrófono. Un desnivel de la muestra se refleja en una capa de acoplante variable con la

posición lo que produce un background proporcional al mismo donde se superpone la medida.

Para mejorar este problema se puede utilizar un plano de simetría de la pieza y simetrizar los

datos.

Índice


65

3.1.4 Programas asociados.

En esta sección se presentan los programas modificados para su uso en la tesis de doctorado,

versiones anteriores pueden encontrarse en el Apéndice 4 de la referencia [Pérez 2003]

El programa barre_tranf.m permite realizar barridos con el HP4194A. Permite configurar el

número de puntos y la frecuencia máxima utilizada. El retardo utilizado depende del

promedio configurado en el equipo.

% BARRE_TRANF.M

% El numero de puntos es la mitad que el correspondiente en el tiempo, la frecuencia máxima la mitad que la de

% muestreo.

Npuntos=4096;

Fmax=2.5e6;

deltaf= Fmax/(Npuntos);

% El retardo depende de la configuracion del HP4194A (promedios y tiempo de integracion)

retardo=125;

% El HP4194A realiza barridos de 401 puntos por lo que el numero de barridos es:

Nbarridos=fix(Npuntos/400)+1;

F=deltaf/2:deltaf:deltaf*Nbarridos*400+deltaf;

for m =1:Nbarridos

% calcula la frecuencia de inicio y fin, luego envia al HP4194A

frt=fix(F(400*(m-1)+1));

fop=fix(F(400*m+1));

comando=strcat('START = ',num2str(frt))

fprintf(tranf,'%s\n',comando');

comando=strcat('STOP = ',num2str(fop));

fprintf(tranf,'%s\n\n',comando');

pause(retardo)

% Lee amplitud fase y frecuencia y lo transforma a numeros

fprintf(tranf,'A?');

datoA = fscanf(tranf);

datoA=strrep(datoA,',',' ');

datoA=str2num(datoA);

fprintf(tranf,'B?');

datoB = fscanf(tranf);

datoB=strrep(datoB,',',' ');

datoB=str2num(datoB);

fprintf(tranf,'X?');

datoX = fscanf(tranf);

datoX=strrep(datoX,',',' ');

datoX=str2num(datoX);

% Agrega el resultado a la señal.

for h=1:401

Amp((m-1)*400+h)=datoA(h);

fase((m-1)*400+h)=datoB(h);

freq((m-1)*400+h)=datoX(h);

end

end

Índice


66

% Recorta las señales al largo requerido

Amp=Amp(1:Npuntos);

fase=fase(1:Npuntos);

freq=freq(1:Npuntos);

% Grafica el resultado

subplot(211),plot(freq,Amp)

xlabel('frecuencia')

ylabel('módulo de la impedancia')

grid

subplot(212),plot(freq,fase)

xlabel('frecuencia')

ylabel('fase')

grid

%%%%%%%%%%%%%% Fin BARRE_TRANF.M

El programa secuencia_sas.m se utiliza para generar una serie de barridos a partir del

barre_tranf.m, cada punto espacial genera un archivo indexado con el número de paso.

Permite configurar el tamaño del paso en unidades de 20 m que es el mínimo permitido por

los motores disponibles y el número total de pasos espaciales.

Los datos se guardan en el directorio nombre_de_directorio comenzando por paso_0 para la

posición inicial y siguiendo por paso_X para los restantes. El directorio debe existir antes de

inicial el programa.

% SECUENCIA_SAS.M

Tp=input('ingrese el tamaño del paso en unidades de 20 um = ' );

Nx=input('ingrese el numero de pasos = ' );

barre_tranf

cd nombre_de_directorio

save paso_0

cd ..

for MM=1:Nx

MM

paso(Tp)

pause(5)

close all

barre_tranf

pause(1)

cd nombre_de_directorio

eval(['save paso_' num2str(MM) ' Amp fase freq' ])

cd ..

end

%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin

Índice


67

La función paso.m maneja los motores de paso, tiene como argumento el número de pasos a

realizar. En este caso se muestra un ejemplo configurado para mover el motor llamado 2.

Invoca una rutina de bajo nivel que envía un comando de mover un paso al motor, existen

rutinas similares para cada motor.

Utilizan ejecutables de DOS que envían un comando al motor de un paso correspondiente a

20 m.

% PASO.M

% Ejecuta una serie de pasos del motor 2, el tamaño de los pasos es 20 micras c/u

function p=paso(N)

if N > 0

for m=1:N

dos('Masdos');

pause(0.25)

end

else

for m=1:abs(N)

dos('Menosdos');

pause(0.25)

end

end

Índice


68

3.2 Inversión Temporal en el Dominio del tiempo [TTR].

En esta sección se describe la técnica para obtener experimentalmente la inversión temporal

en el dominio del tiempo TTR. Esta técnica se implementa utilizando equipos de adquisición

comerciales, en este momento el laboratorio no dispone de un hardware dedicado para esta

aplicación, siendo uno de los objetivos a futuro el desarrollo del mismo.




ganancia fija 50 dB.

Hidrófono de aguja NTR Systems, NP1000 PVDF model TNU001A, preamplificador de


Generador de señales arbitrarias HP33120A.

Las medidas en el tiempo se toman con el osciloscopio HP54520A, 1 GSample 16 kpuntos.


Todo el sistema esta controlado por un PC que corre un software especializado desarrollado

en Matlab que permite la configuración de los equipos, tareas de control y comunicación y

almacenamiento de datos. La interfase con los instrumentos se realiza con el bus IEEE 488.

El proceso esta automatizado en un solo paso.

Figura 3.2.2.1 Montaje para la experiencia de TTR

Índice


69

Soldar la muestra en un cable con terminal BNC para ser conectado en el amplificador

ENI.

Conectar la muestra en la salida del amplificador ENI 240L.

No encender el ENI antes de ejecutar el programa burst.m en el paso

indicado mas adelante

Verificar que todos los instrumentos estén conectados al bus IEEE 488.

Conectar el hidrófono a su preamplificador y encenderlo.

Realizar el contacto entre el hidrófono y la superficie donde se realiza la inversión mediante un acoplante líquido.

Conectar la entrada del amplificador ENI 240L a la salida del HP33120A.

Conectar la entrada del preamplificador del hidrófono en la entrada del canal 1 del

osciloscopio HP54520A.

Verificar que la salida de sincronismo del HP33120A este conectada a la entrada de trigger externo del HP54520A. Verificar que el trigger este configurado en la opción

externo.

Ejecutar el programa de configuración inicio_gpib.m. Configuración general de los instrumentos.

Ejecutar el programa burst.m. Este programa genera una señal pulsada que no daña la cerámica al encender el amplificador.

Encender el ENI 240L.

Ejecutar el programa timerev.m

Índice


70

Ejemplo de configuración para realizar TTR comparable con una frecuencia de muestreo de 5

MHz. Osciloscopio HP54520A:

Mode real time

Fumes 5 Mhz

Puntos 8192

Figura 3.2.2.2 Al fin de la adquisición de la respuesta al impulso aparece una imagen similar a esta. En este

momento el programa esta realizando la inversión temporal y luego envía el resultado al HP120A.

Los resultados se guardan de la siguiente forma:

La señal focalizada se almacena en resultado_foco.mat. Se guarda el tiempo y la amplitud.

Figura 3.2.2.3 Pulso focalizado.

Índice


71


TIMEREV.M realiza el proceso completo de inversión temporal TTR a un canal. Para ello

utiliza los programas auxiliares indicados en negrita en el código.

El resultado es la señal focalizada que se almacena en la variable senial2.

% TIMEREV.M

% tieme reversal un calnal usando 54600 y 33120

% emite pulso

burst

fprintf(osc,':CHANNEL1:RANGE 0.1')

senial_gpib

plot(t,senial),grid,title('Respuesta al impulso')

fprintf(gen,'VOLT 2');

pause(2),close all,

senial_ori=senial;

senial_ori(4096:8192)=0;

for j=1:length(senial_ori)

senial_inv(j)=senial_ori(length(senial_ori)+1-j);

end

fprintf(osc,':CHANNEL1:RANGE 1 ')

inv_senial

fprintf(gen,'VOLT 0.5');

senial_gpib2


save resultado_foco t senial2

%%%%%%%%%%%%%%% Fin

El programa burst.m emite un pulso temporal estrecho, un ciclo a 1 MHz mínimo permitido

por el HP33120A, amplitud 10 V y lo repite con una frecuencia de 100 Hz.

% BURST.M

%

fprintf(osc,':TIM:REF LEFT')

fprintf(osc,':TIM:DEL 0 us')

fprintf(gen,'FUNC:SHAP SIN');

fprintf(gen,'TRIG:SOUR IMM');

fprintf(gen,'BM:SOUR INT');

fprintf(gen,'FREQ 1 MHz');

fprintf(gen,'BM:NCYC 1');

fprintf(gen,'BM:INT:RATE 100 Hz');

fprintf(gen,'VOLT 10');

fprintf(gen,'BM:STAT ON');

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin burst.m

Índice


72

El programa INV_SENIAL.M realiza la emisión de la señal invertida adquirida en el

TIMEREV.M, este programa genera una señal llamada senial_inv en el ambiente de Matlab.

Se adquiere desde el osciloscopio HP54520A la configuración, número de puntos y

frecuencia de muestreo y se envían los datos para emitir en el generador arbitrario HP33120

en forma de burst con la señal invertida como información a repetir y una tasa

correspondiente al largo temporal de la señal.

% INV_SENIAL.M

senial_inv=senial_inv/(max(abs(senial_inv)));

senial_inv=senial_inv/1.01;

senial_inv=(fix(senial_inv*1000))/1000;

dato='DATA VOLATILE';

datok=',';

indice=100;

k=1

for j=1:length(senial_inv)

if k < 100

numero=num2str(senial_inv(j));

datok=strcat(datok,numero,',');

k=k+1;

else

k=1;

numero=num2str(senial_inv(j));

datok=strcat(datok,numero,',');

dato=strcat(dato,datok);

clear datok

datok='';

end

end

dato=strcat(dato,datok);

disp('Enviando señal')

dato(length(dato))=dato(length(dato)-1);

fprintf(gen,'BM:STAT OFF');

fprintf(gen,dato);

fprintf(osc,':ACQ:POIN?')

Npoint= str2num(fscanf(osc));

fprintf(osc,':TIM:SAMP:CLOC?')

Fmues= fscanf(osc);

Fmues= 1e6*str2num(Fmues(1:3));

Frep=num2str(fix(Fmues/Npoint));

comando=strcat('FREQ',',',Frep);

comando=strrep(comando,',',' ');

fprintf(gen,'FUNC:USER VOLATILE');

fprintf(gen,'FUNC:SHAP USER');

fprintf(gen,comando);

Índice


73

%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin INV_SENIAL

El programa SENIAL_GPIB2.M adquiere una señal del osciloscopio HP54520A, la señal esta

centrada en el osciloscopio. Permite configurar el promedio de N señales adquiridas en modo

real time realizando el promedio en el PC.

% SENIAL_GPIB2.M

close all

pause(0.1)

% Lee los parámetros de escala

fprintf(osc,':WAV:XINC?');

xinc = str2num(fscanf(osc));

fprintf(osc,':WAV:XOR?');

xor = str2num(fscanf(osc));

fprintf(osc,':WAV:XREF?');

xref = str2num(fscanf(osc));

fprintf(osc,':WAV:YINC?');

yinc = str2num(fscanf(osc));

fprintf(osc,':WAV:YOR?');

yor = str2num(fscanf(osc));

fprintf(osc,':WAV:YREF?');

yref = str2num(fscanf(osc));

fprintf(osc,':RUN');

% Configuración

fprintf(osc,':TIM:REF CENT')

fprintf(osc,':TIM:DEL 0 us')

fprintf(osc,':DIGITIZE CHANNEL1')

fprintf(osc,':WAV:DATA?');

datos = fscanf(osc);

senial2 = str2num(datos);

senial2=(senial2-yref)*yinc;

senial2=senial2-mean(senial2);

t=0:xinc:xinc*(length(senial2)-1);


for h=1:3

fprintf(osc,':DIGITIZE CHANNEL1')

fprintf(osc,':WAV:DATA?');

datos = fscanf(osc);

senial = str2num(datos);

senial=(senial-yref)*yinc;

senial=senial-mean(senial);

senial2=senial2 + senial;


end

senial2=(senial2)/4;

plot(t,senial2)

grid

%%%%%%%%%%%%% Fin

Índice


74

3.3 Inversión Temporal en el Dominio de la Frecuencia [FDTR].

En esta sección se describe la técnica para obtener experimentalmente la FDTR. Esta técnica

no se ha implementada hasta el momento tratándose de un resultado original de la tesis. Esta

fuertemente relacionada con la técnica SAS que se presentó en el 3.1 por lo que algunos

conceptos y procedimientos son repetidos aquí.





Hidrófono de aguja NTR Systems, NP1000 PVDF model TNU001A, preamplificador de


Generador de señales arbitrarias HP33120A.

Las medidas en el tiempo se toman con el osciloscopio HP54520A, 1 GSample 16 kpuntos.

Analizador de impedancia y transferencia HP4194A, utilizado en el modo Gain/phase. El

ancho de banda para este módulo es 10 Hz – 100 MHz.


Todo el sistema esta controlado por un PC que corre un software especializado desarrollado

en Matlab que permite la configuración de los equipos, tareas de control y comunicación y

almacenamiento de datos. La interfase con los instrumentos se realiza con el bus IEEE 488.

Etapa 1: obtención de la respuesta de frecuencias del sistema.

Soldar la muestra en un cable con terminal BNC para conectar en la salida del

amplificador de potencia ENI. El electrodo de tierra debe ser el que queda en contacto

con la muestra para evitar problemas de tierra con el hidrófono.

Conectar el transductor que excita la cavidad acústica a la salida del amplificador ENI 240L.

No encender el ENI antes de configurar la salida del oscilador. Debe prestarse

especial cuidado al “Osc level” ya que la salida es amplificada y los niveles de

voltaje pueden dañar el transductor. Recomendado -40 dBV.

Índice


75

Conectar la entrada del amplificador a la salida del modulo Gain/phase (HP4194A)

indicada como dual output. Note que esta salida tiene dos terminales, uno que

realimenta la señal al propio equipo y el otro que es la salida hacia el ENI.

Verificar que todos los instrumentos estén conectados al bus IEEE 488.

Conectar el hidrófono a su preamplificador.

Conectar el preamplificador a la entrada del modulo Gain/phase del HP4194A.

Realizar el contacto entre el hidrófono y la superficie donde se realiza la inversión mediante un acoplante líquido.

Ejecutar el programa de configuración de instrumentos inicio_gpib.m

Ejecutar el programa timerev_hp.m. Verificar en el programa barre_tranf.m el numero

de puntos, la frecuencia de muestreo y el delay.

Figura 3.3.2.1 Montaje para la obtención de la respuesta de frecuencia en el FDTR

Índice


76

Ejemplo de configuración para realizar la FDTR comparable con una frecuencia de muestreo

de 5 MHz. Analizador de impedancias HP4194A:

Función ganin/phase

Modo lineal, aplitud y fase

Osc level -40 dBV

Imp imput 1 Mohm

Imp chanel 1 Mohm

Atte. chanel -20 dB

Integ time long

Fmin 305.213 Hz

Fmax 2.5 Mhz

N puntos 4096

Cuando termina el proceso de adquisición de la respuesta de frecuencia el programa se

detiene y presenta el mensaje: “en pause, cambiar los cables y oprima una tecla para

continuar”.

Figura 3.3.2.2 Señal invertida obtenida en el proceso de FDTR. El sistema se encuentra esperando una tecla para

continuar. Deben cambarse las conexiones como se indica en la etapa 2 antes de continuar.

Índice


77

Etapa 2: focalización.

Cambiar la conexión de la entrada del amplificador ENI 240L y conectarlo a la salida

del HP33120A.

Cambiar la conexión de la entrada del preamplificador del hidrófono y conectarlo en la entrada del canal 1 del osciloscopio HP54520A.

Verificar que la salida de sincronismo del HP33120A este conectada a la entrada de trigger externo del HP54520A.

Presione una tecla para continuar.

Figura 3.3.2.3 Montaje para la emisión de la señal conjugada en el FDTR

Ejemplo de configuración para realizar la FDTR comparable con una frecuencia de muestreo

de 5 MHz. Osciloscopio HP54520A:

Mode real time

Fumes 5 Mhz

Puntos 8192

Los resultados se guardan de la siguiente forma:

La respuesta de frecuencia en el archivo transferncia.mat, en el directorio de trabajo.

La señal focalizada se almacena en resultado_foco.mat. Se guarda el tiempo y la amplitud.

Índice


78


TIMEREV_HP.M realiza el proceso completo de inversión temporal FDTR a un canal. Para

ello utiliza los programas auxiliares indicados en negrita en el código.

Puede realizarse la adquisición completa o solo el proceso de inversión.

El resultado es la señal focalizada que se almacena en la variable senial2.

% TIMEREV_HP.M

% La bandera completa permite realizar el proceso completo de focalización

% desde la adquisición en el HP4194A hasta la emisión, completa = 1.

% Cuando completa = 0 la respuesta de frecuencia se carga desde el transferecia.mat.

completa=1;

if completa == 1

barre_tranf

save transferencia Amp freq fase

else

load transferencia

end

% La respuesta de frecuencia para realizar la ifft debe ser compleja

% respetando las condiciones de borde.

N=length(Amp)

for hh=1:N-1

A(hh+1)=Amp(hh);

A(2*N+1-hh)=Amp(hh);

PH(hh+1)=fase(hh);

PH(2*N+1-hh)=-fase(hh);

end

A(1)=0;

A(N+1)=Amp(N);

PH(1)=0;

PH(N+1)=180;

clear j

FT=A.*exp(j*PH*pi/180);

% Conjuga la señal y realiza la transformada inversa de Fourier

FT=conj(FT);

senial=real(ifft(FT));

senial_inv=senial;

close all

% Una vez adquirida la transferencia la salida debe conectarse al generador HP33120A y la entrada al

% osciloscopio HP54520A

t=0:xinc:xinc*(length(senial)-1);

plot(t,senial_inv,t,senial_inv,'*')

disp('en pause, cambiar los cables y oprimir tecla')


pause

% Envía la señal invertida al generador HP33120A

fprintf(osc,':CHANNEL1:RANGE 1.6 ')

inv_senial


pause(1)

Índice


79

% Adquiere el resultado

senial_gpib2


save resultado_foco t senial2

%%%%%%%%%%%%%%% Fin

El programa BARRE_TRANF.M lee la transferencia en el modo GAIN/PHASE obtenida desde

el HP4194A para realizar la FDTR.

Permite adquirir un rango de frecuencias con un mayor número de puntos que los 401

predefinidos del equipo.

Debe ingresarse la frecuencia de muestreo y el número de puntos deseado. Puede configurase

el retardo entre las lecturas y ajustarlo al número de barridos del equipo. La configuración del

HP4194A debe realizarse manualmente de acuerdo a lo indicado en 3.2.1. Ver código en

3.1.3

El programa INV_SENIAL.M realiza la emisión de la señal invertida adquirida en el

timerev.m, este programa genera una señal llamada senial_inv en el ambiente de Matlab. Se

adquiere desde el osciloscopio HP54520A la configuración, número de puntos y frecuencia

de muestreo y se envían los datos para emitir en el generador arbitrario HP33120 en forma de

burst con la señal invertida como información a repetir y una tasa correspondiente al largo

temporal de la señal. Ver código en 3.2.3.

El programa SENIAL_GPIB2.M adquiere una señal del osciloscopio HP54520A, la señal

esta centrada en el osciloscopio. Permite configurar el promedio de N señales adquiridas en

modo real time realizando el promedio en el PC. Ver código en 3.2.3

3.4 Simulación por elementos finitos [FEM].

En esta sección se describe la técnica utilizada para la simulación de propiedades mecánicas y

acústicas por elementos finitos. Todas las situaciones descritas tienen en común que no están

incluidas de forma natural en el paquete ANSYS, debe implementarse una programación

externa para aplicarlas. Por ello se pone énfasis en describir los puntos originales

implementados para la tesis, por información sobre técnicas básicas de simulación consultar

[Nelly 1993] [Pérez 2002] .

Se implemento una biblioteca de programas Matlab que permite configurar la simulación e

interpretar los resultados, los programas presentados en este capítulo forman parte de esta

biblioteca que se encuentra disponible en el LAU. Se pretende que un usuario familiarizado

con Matlab pueda interpretar y modificar dichos programas, utilizando la experiencia

adquirida como base para generar otros códigos en caso de ser necesario. Todos los

programas están probados en la versión de ANSYS 5.4, dándose la solución a los problemas

que aparecen en dicha versión.

3.4.1 Amplitud de vibración y cálculo de modos espaciales.

Como primer ejemplo de esta biblioteca se muestra una parte del archivo principal que

configura el numero de warnings máximo y el numero de resultados en la salida del

Índice


80

programa, los valores por defecto no son suficientes para las simulaciones presentadas aquí.

El PRINCIPAL.M carga la configuración general, el nombre de la simulación y los archivos

que se incluirán en la misma, se muestra la configuración general y el código resultante.

% PRINCIPAL.M

%

fid_principal=fopen('principal.lgw','w+');

control=fprintf(fid_principal,'!ARCHIVO GENERADO POR EL ANSYS_PRINCIPAL \n');

fecha=date;

control=fprintf(fid_principal,'!Fecha : %s\n\n',fecha);

control=fprintf(fid_principal,'/NERR,1,1000000 \n');

control=fprintf(fid_principal,'/UIS,MSGPOP,3 \n');

control=fprintf(fid_principal,'/CONFIG, NRES, 10000 \n');

Esa sección del código genera un archivo que contiene:

!ARCHIVO GENERADO POR EL ANSYS_PRINCIPAL

!Fecha : 26-Feb-2006

/NERR,1,1000000

/UIS,MSGPOP,3

/CONFIG, NRES, 10000

Se describe a continuación el procedimiento para adquirir la amplitud de vibración para cada

punto de una superficie vibrante y luego realizar el calculo de los modos espaciales. Este

experimento numérico se realiza en el dominio de la frecuencia por lo que se utiliza el análisis

armónico.

Como primer paso deben seleccionarse las propiedades de los materiales. Esto se encuentra

suficientemente documentado y no se profundizara en este punto.

Luego debe programarse la geometría con las condiciones de borde. En este punto tambien se

introduce la excitación, que puede ser una carga sinusoidal de voltaje aplicado a un elemento

piezoeléctrico o la deformación mecánica de un punto. En la sección 3.4.2 se muestra como

introducir una carga de desplazamiento mecánico.

El programa ARCO2D.M permite configurar una placa a la que le falta un arco de la mitad del

lado inferior. Los parámetros ajustables son el ancho y el alto de la placa, el espesor de la

cerámica y la grilla. La primera sección del programa muestra como ingresar los parámetros

de la geometría mediante una interfase gráfica.

% ARCO2D.M

% Ingreso de parámetros.

fid_geometria=fopen('geometria.lgw','w+');

control=fprintf(fid_geometria,'!ARCHIVO GENERADO POR EL ANSYS_GEOMETRIA \n');

fecha=date;

control=fprintf(fid_geometria,'!Fecha : %s\n\n',fecha);

prompt = {'Alto de la placa','Ancho de la placa','Alto de la ceramica','Grilla'};

titulo = 'Gerando geometia.lgw';

lines= 1;

def = {'0.03','0.03','0.001','0.0005'};

answer = inputdlg(prompt,titulo,lines,def);

control=fprintf(fid_geometria,'!Geometria de microcanal exitacion simple \n\n');

Índice


81

control=fprintf(fid_geometria,'altop = %s\n',answer{1});

control=fprintf(fid_geometria,'anchop = %s\n',answer{2});

control=fprintf(fid_geometria,'altoc = %s\n',answer{3});

control=fprintf(fid_geometria,'grilla = %s\n',answer{4});

altop=str2num(answer{1});

anchop=str2num(answer{1});

grilla=str2num(answer{1});

La segunda sección muestra como definir los Keypoints a partir de los cuales armar la

geometría. Note que la definición de los Keypoints es paramétrica ajustándose al variar la

configuración de entrada.

% Definición de Keypoints

control=fprintf(fid_geometria,'K,1,0,0,0, \n' );

control=fprintf(fid_geometria,'K,2,0,altoc,0, \n' );

control=fprintf(fid_geometria,'K,3,anchop/2,altoc,0, \n' );

control=fprintf(fid_geometria,'K,4,anchop/2,0,0, \n' );

control=fprintf(fid_geometria,'K,5,0,altoc+altop,0, \n' );

control=fprintf(fid_geometria,'K,6,anchop,altoc+altop,0, \n' );

control=fprintf(fid_geometria,'K,7,anchop,altoc+altop/2,0, \n' );

control=fprintf(fid_geometria,'K,8,anchop,altoc,0, \n' );

Figura 3.4.1.1 Definición de Keypoints.

A partir de los Keypoints definidos pueden construirse líneas uniendo dichos puntos. El

comando [LSTR,P1,P2] permite definir una recta entre los puntos P1 y P2, mientras que

[LARC,P1, P2,PC,RAD] genera un arco de circunferencia que comienza en P1, finaliza en P2,

tiene su centro de curvatura en el semiplano (definido por la recta [P1,P2]) en que se

encuentra PC y radio RAD.

Índice


82

Figura 3.4.1.2 Definición de líneas.

% Definición de líneas

control=fprintf(fid_geometria,'LSTR, 1, 2 \n' ); %L1







control=fprintf(fid_geometria,'LARC, 3, 7, 8, anchop/2 \n' ); %L8

El comando [AL,L1,...,L10] permite construir áreas a partir de líneas, se acepta un máximo de

10 líneas.

Figura 3.4.1.3 Definición de áreas.

%Definicion de area

Índice


83

control=fprintf(fid_geometria,'AL, 1, 2, 3, 4, \n' ); %A1

%Definicion de area

control=fprintf(fid_geometria,'AL, 5, 6, 7, 8, 2, \n' ); %A2

Se definen el tipo de elemento [TYPE, N], el tipo de material [MAT, N] y el tamaño de grilla

[ESIZE, N] para cada material. Finalmente se fijan las condiciones de borde tanto eléctricas

como de desplazamiento.

%Definicion de elemento, material y grilla

control=fprintf(fid_geometria,'TYPE, 1\n');

control=fprintf(fid_geometria,'MAT, 1\n');

control=fprintf(fid_geometria,'ESIZE, %s\n',answer{4});

control=fprintf(fid_geometria,'AMESH, 1 \n');

%Definicion de elemento, material y grilla

control=fprintf(fid_geometria,'TYPE, 2\n');

control=fprintf(fid_geometria,'MAT, 2\n');

control=fprintf(fid_geometria,'ESIZE, %s\n',answer{4});

control=fprintf(fid_geometria,'AMESH, 2 \n');

%Condicones de borde electrica

control=fprintf(fid_geometria,'NSEL,S,LOC, Y, 0 \n');

control=fprintf(fid_geometria,'CP, 1 ,VOLT,ALL \n');

control=fprintf(fid_geometria,'D,ALL,VOLT, 0 \n');

control=fprintf(fid_geometria,'NSEL,S,LOC, Y, altoc\n');

control=fprintf(fid_geometria,'CP, 2 ,VOLT,ALL \n');

control=fprintf(fid_geometria,'D,ALL,VOLT, 1 \n');

control=fprintf(fid_geometria,'*GET,nmaster,NMIN \n');

control=fprintf(fid_geometria,'D,nmaster,VOLT,1 \n');

control=fprintf(fid_geometria,'M,nmaster,VOLT \n');

Figura 3.4.1.4 Geometría utilizada para modos de placa. El rectángulo inferior corresponde a la cerámica

piezoeléctrica. Observe las condiciones de borde eléctricas en la cerámica y de desplazamiento a la izquierda de

la figura.

Índice


84

Definida la geometría se configura la ejecución de la simulación, esto se hace en el

solucion.m. Aquí se define el tipo de análisis armónico, el rango de frecuencias y el número

de frecuencias a simular.

% SOLUCION.M

% Carga el encabezado y abre el archivo

fid_solucion=fopen('solucion.lgw','w+');

control=fprintf(fid_solucion,'!ARCHIVO GENERADO POR EL ANSYS_SOLUCION \n');

fecha=date;

control=fprintf(fid_solucion,'!Fecha : %s\n\n',fecha);

% Ingresa los parámetros

prompt = {'Frecunecia minima','Frecuencia maxima','Numero de pasos'};

titulo = 'Generando solucion.lgw';

lines= 1;

def = {'1e5 ','5e6','100'};


% Configura la simulación

control=fprintf(fid_solucion,'!Condicones de solucion \n');

control=fprintf(fid_solucion,'/SOLUTION\n');

control=fprintf(fid_solucion,'ANTYPE, HARMIC\n');

control=fprintf(fid_solucion,'HARFRQ,%s, %s,\n',answer{1},answer{2});

control=fprintf(fid_solucion,'NSUBST, %s,\n',answer{3});

control=fprintf(fid_solucion,'HROUT,OFF \n');

control=fprintf(fid_solucion,'/CONFIG, NRES, 10000\n\n');

control=fprintf(fid_solucion,'SOLVE\n\n');

% Cierra el archivo

fclose(fid_solucion);

Como primer resultado pueden verse los modos espaciales en la superficie deformada. Esta es

una función propia del ANSYS.

Figura 3.4.1.5 Resultado de la deformación de la placa para la frecuencia 300 kHz. (Observe que no se utilizó

la condición de borde fijo en el extremo izquierdo de la figura 3.4.1.4).

Índice


85

En la determinación de los modos de la placa el resultado interesante es tener un mapa que

nos muestre la amplitud de vibración en función de la frecuencia y la posición, llamamos a

este mapa sonograma.

Para ello el primer paso es conocer la posición de los nodos en la superficie de la placa, esto

se realiza en el INICIO_SONO.M. La variable directorio es un string con el directorio de

trabajo.

% INICIO_SONO.M

% Carga el encabezado

fid_postproceso=fopen('inicio_sono.lgw','w+');

control=fprintf(fid_postproceso,'!ARCHIVO GENERADO POR EL INICIO_SONO \n');

fecha=date;

control=fprintf(fid_postproceso,'!Fecha : %s\n\n',fecha);

control=fprintf(fid_postproceso,'!Genera Sonograma \n');

control=fprintf(fid_postproceso,'/POST26 \n');

prompt = {'Eje en que se encuentran los nodos','Coordenada'};

titulo = 'Generando postproceso.lgw';

lines= 1;

def = {'Y','altop+altoa'};


control=fprintf(fid_postproceso,'NSEL,S,LOC, %s, %s\n',answer{1},answer{2});

control=fprintf(fid_postproceso,'/OUTPUT, SONO,lis, %s \n',directorio);

control=fprintf(fid_postproceso,'NLIST,ALL,,,,Y,X,NODE \n');

control=fprintf(fid_postproceso,'/OUTPUT, basura,lis, %s \n',directorio);

fclose(fid_postproceso);

Como resultado se genera el archivo SONO.LIS donde están las coordenadas de los nodos:

LIST ALL SELECTED NODES. DSYS= 0

SORT TABLE ON X Y NODE

NODE X Y Z THXY THYZ THZX

152 .00000 .30000E-01 .00000 .00 .00 .00

3300 .218E-02 .29926E-01 .00000 .00 .00 .00

2923 .371E-02 .30150E-01 .00000 .00 .00 .00 .................

Después de ejecutar en el ANSYS el INICIO_SONO.M se necesita importar los nodos y

generar los comandos que permiten adquirir los datos correspondientes a cada punto de la

superficie. Para ello se utiliza el FIN_SONO.M.

% FIN_SONO.M


fid_postproceso=fopen('fin_sono.lgw','w+');

control=fprintf(fid_postproceso,'!ARCHIVO GENERADO POR EL FIN_SONO \n');

fecha=date;

Índice


86


control=fprintf(fid_postproceso,'!Carga el archivo de sonograma \n');

control=fprintf(fid_postproceso,'/INPUT,sonograma,lgw, %s \n\n',directorio);

cd placatrm

cd(directorio);

archivos=dir;

Esta sección del código genera el archivo SONOGRAMA.LGW que será incluido en la

simulación. Se genera además el archivo TRANS_SONO.TXT con la información de las

coordenadas de los nodos


nombre='SONO.lis';

salida='sonograma.txt';

fid=fopen(nombre,'r+');

fid2=fopen('trans_sono.txt','w');

while (feof(fid) == 0)

linea = fgets(fid);

[a,b] = size(linea);

if b==72

fprintf(fid2,'%s' ,linea);

end

end

fclose(fid2);

fclose(fid);

load trans_sono.txt

prompt = {'Desplazamiento en la direccion'};

title = 'Generando sonograma.lgw';

lines= 1;

def = {'Y'};

answer = inputdlg(prompt,title,lines,def);

[a,b]=size(trans_sono)

Nnodo=num2str(trans_sono(:,1));

Nvar=2;

control=fprintf(fid_postproceso,'NUMVAR,%s \n',num2str(length(Nnodo)+1));

directorio=strcat(directorio,'\archivos');

for k=1:length(Nnodo)

nombresono=strcat('sono',num2str(k-1));

control=fprintf(fid_postproceso,'/OUTPUT, %s,lis, %s \n',nombresono,directorio);

control=fprintf(fid_postproceso,'NSOL,%s , %s, U, %s,\n',num2str(Nvar),Nnodo(k,:),answer{1});

control=fprintf(fid_postproceso,'PRVAR,%s\n',num2str(Nvar));

Nvar=Nvar+1;

end

control=fprintf(fid_postproceso,'/OUTPUT, salida,out,\n');


EL comando [NUMVAR,N] configura el numero de variables en la salida del ANSYS, se

calcula a partir del numero de nodos de la superficie. La directiva /OUTPUT permite escribir

la salida en un archivo especificando el directorio y la extensión, en este caso sonoN.lis,

mientras que el comando [NSOL,2 , NODE, U, Y] especifica que variable se va a adquirir desde

el archivo de resultados, el segundo número es la identificación interna de esta variable, el

número de nodo, la magnitud (en este caso desplazamiento) y la dirección (en este caso Y). El

archivo SONOGRAMA.LGW tiene el siguiente aspecto:

!ARCHIVO GENERADO POR EL ANSYS_SONOGRAMA

!Fecha : 28-Feb-2006

Índice


87

!Genera Sonograma

/POST26

NUMVAR,54

/OUTPUT, sono0,lis, D:\resultados_ansys\simulacion_placa\archivos

NSOL,2 , 152, U, Y,

PRVAR,2

/OUTPUT, sono1,lis, D:\resultados_ansys\simulacion_placa\archivos

NSOL,3 , 3300, U, Y,

PRVAR,3

El archivo TRANS_SONO.TXT tiene el número de nodo y las coordenadas espaciales

3317 .25538E-01 .29867E-01 .00000 .00 .00 .00

3300 .21815E-02 .29926E-01 .00000 .00 .00 .00

3282 .29289E-01 .29927E-01 .00000 .00 .00 .00 ....................

Como resultado, luego de ejecutar el SONOGRAMA.LGW en el ANSYS, se genera un archivo

por cada frecuencia configurada, se muestra parte de un ejemplo para el desplazamiento en el

eje Y:

VARIABLE 2 IS AT NODE 152 ITEM= U COMP= Y NAME= UY

STORAGE COMPLETE FOR 25 DATA POINTS

SUMMARY OF VARIABLES STORED THIS STEP AND EXTREME VALUES

VARI TYPE IDENTIFIERS NAME MINIMUM AT TIME MAXIMUM AT TIME

2 NSOL 152 UY UY -.2123E-09 .2000E+07 .1816E-08 .3280E+06

***** ANSYS POST26 VARIABLE LISTING *****

TIME 152 UY

UY

REAL IMAGINARY

.17600E+06 .272806E-12 .118203E-13

.25200E+06 .837913E-10 .283574E-11 ..............

Para importar los datos de estos archivos en MATLAB se realiza un programa

IMPORTA_SONO.M que elimina el encabezado y genera una salida como *.txt:

.17600E+06 .272806E-12 .118203E-13

.25200E+06 .837913E-10 .283574E-11 ..................

% IMPORTA_SONO.M

cd archivos

d=dir;

nombre={d.name};

for k=3:length(nombre)

salida=nombre(k);

salida=strrep(salida,'lis','txt');

fid=fopen(nombre{k},'r+');

fid2=fopen(salida{1},'w');


linea = fgets(fid);


if b>3

if (linea(2) == ' ')

if (linea(5) ~= ' ')

if (linea(4) ~= ' ')

Índice


88


end

end

end

end %ultimo if

end % while

fclose(fid2);

fclose(fid);

end %for

cd ..

Finalmente los archivos son leídos por el CONSTRUYE_SONO.M que genera una matriz en el

ambiente Matlab que permite construir el mapa amplitud vs. frecuencia y posición. Hay que

notar que los archivos están numerados en orden correlativo a la posición sobre la superficie,

% CONTRUYE_SONO.M

cd(directorio)

cd archivos

delete *.lis

d=dir;

nombre={d.name};

clear M


archivo=nombre{k};

load(archivo)

archivo=archivo(1:length(archivo)-4);

A=eval(archivo);

f=A(:,1);

numero=str2num(archivo(5:length(archivo)))

M(:,numero+1)=A(:,2);

end %for

cd ..

load('trans_sono.txt');

XX=trans_sono(:,2);

%Simetria

for k=1:length(XX)

MM(:,length(XX)-k+1)=M(:,k);

MM(:,length(XX)+k-1)=M(:,k);

XXX(length(XX)-k+1)=XX(k);

XXX(length(XX)+k-1)=-XX(k);

end

Se muestra ahora el resultado de similar una placa similar a la presentada aquí. Los resultados

se encuentran el la matriz M o MM con simetría. La posición espacial esta en la variable XX.

Índice


89

Figura 3.4.1.6 Resultado superficie de deformación vs. posición y frecuencia.

Figura 3.4.1.7 Sonograma correspondiente a la superficie anterior. Note los modos temporales definidos.

3.4.2 Calculo de modos en una cavidad.

En el trabajo planteado en el punto 4.2 se necesita evaluar la distribución de modos en una

cavidad sólida. Estos modos se dividen en modos de corte y de compresión, pero el programa

ANSYS no permite obtener las componentes de corte y compresión de forma directa para el

desplazamiento y la velocidad. En esta sección se presenta la técnica para obtener dichas

componentes a partir de los datos de la simulación.

La simulación se hace en una placa bidimensional y en el dominio de la frecuencia.

Para cada punto se obtiene el desplazamiento en modulo y fase

Índice


90

tjjUiUtru

jtjjuiutru

jtjyxutru

yx

yx

exp,

exp,

exp,,

Eq. 3.4.2.1

donde las componentes complejas del desplazamiento son

juU

juU

yy

xx

exp

exp

Eq. 3.4.2.2

derivando respecto al tiempo obtenemos el campo de velocidades

tjjViVt

utrv

yxexp,

Eq. 3.4.2.3

donde las componentes complejas de la velocidad son

90expexp

90expexp

jjuujV

jjuujV

yyy

xxx

Eq. 3.4.2.4

Esto significa que las propiedades del campo de velocidades a la frecuencia pueden obtenerse directamente del campo de desplazamientos.

Inicialmente queremos separar la parte de compresión de la de corte, para ello utilizamos el

hecho de que una onda de compresión puede expresarse totalmente en términos de la

dilatación , mientras que una de corte se expresa en función de la rotación W [Kino 1987]

x

U

y

UuW

y

U

x

Uu

yx

yx

Eq. 3.4.2.5

Entonces la idea es la siguiente, calcular el campo de desplazamientos para una frecuencia , luego considerar un punto adyacente a la superficie y calcular la divergencia y el rotor.

Este calculo puede realizarse mediante la expresión simétrica respecto al punto

y

yyUyyU

y

U

x

xxUxxU

x

U

yyy

xxx

2

2 Eq. 3.4.2.6

Índice


91

La geometría utilizada en este trabajo se construye con una técnica similar a la presentada en

3.4.1, pero hay importantes detalles que se describen a continuación:

Primero toda la geometría se divide en áreas rectangulares y se utiliza la opción de grilla

cartesiana, [MSHKEY,2] la opción 2 de este comando hace que si es posible se utiliza una grilla

cartesiana. Dado que se pretende hacer el calculo de los operadores de Eq. 3.4.2.6 es

necesaria la definición cartesiana o una compleja interpolación.

Segundo, los rectángulos deben ser definidos por su cuatro vértices (recordar que se

construyen a partir de Keypoints), si se utilizan mas puntos aunque estén alineados el ANSYS

asume la grilla irregular.

Tercero, para romper la regularidad de la geometría se introducen defectos en los bordes, para

imitar ranuras se aplica un material con las propiedades del aire. Esto tiene el doble efecto de

romper los frentes de onda en la simulación y no alterar la estructura de la matriz de nodos.

Cuarto, la excitación no se hace con una cerámica piezoeléctrica y aplicando un voltaje, sino

que se utiliza como entrada la fuerza aplicada en un nodo, el comando [F, NODE, FY, VALUE]

aplica una fuerza de amplitud VALUE en el nodo NODE en la dirección vertical FY.

Figura 3.4.2.1 Geometría para simulación de modos en placa. Observe que se introducen defectos en el borde

derecho de la placa, en este caso se usa una geometría caótica de Cantor.

Como primer paso se adquieren las coordenadas de los nodos para la superficie utilizada. Para

ello se utiliza el NODOS.M que genera los comandos ANSYS que permiten leer dichos nodos

en el archivo postproceso.lgw. El comando [NSEL, ALL] seleccionan todos los nodos de la

simulación, mientras el [NWRITE, nodos,lis,dir,0] escribe los nodos seleccionados en el

comando anterior en el archivo nodos.lis, el directorio es el de trabajo y el ultimo parámetro

indica que se escribe el archivo desde el comienzo.

La directiva /OUTPUT cambia la salida del ANSYS a un archivo predeterminado.

El comando [PRNSOL,U,X] imprime en la salida el desplazamiento U de la dirección X.

% NODOS.M


fid_postproceso=fopen('postproceso.lgw','w+');

Índice


92

control=fprintf(fid_postproceso,'!ARCHIVO GENERADO POR EL ANSYS_POSTPROCESO \n');

fecha=date;


control=fprintf(fid_postproceso,'!lee nodos \n');

control=fprintf(fid_postproceso,'/PREP7 \n');

control=fprintf(fid_postproceso,'NSEL, ALL \n');

control=fprintf(fid_postproceso,'NWRITE,nodos,lis,,0 \n');


control=fprintf(fid_postproceso,'SET, FIRST \n');

control=fprintf(fid_postproceso,'/OUTPUT, ux,lis, %s \n',directorio);

control=fprintf(fid_postproceso,'PRNSOL,U,X \n');

control=fprintf(fid_postproceso,'/OUTPUT, uy,lis, %s \n',directorio);

control=fprintf(fid_postproceso,'PRNSOL,U,Y \n');

cd placatrm


Se muestran los archivos resultado:

nodos.lis

1 0.000000000000 0.1000000000000E-02

2 0.1000000000000E-02 0.1000000000000E-02

3 0.2500000000000E-03 0.1000000000000E-02

4 0.5000000000000E-03 0.1000000000000E-02 ............

ux.lis

PRINT U NODAL SOLUTION PER NODE

***** POST1 NODAL DEGREE OF FREEDOM LISTING *****

LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 1

TIME= .32500E+06 LOAD CASE= 0

THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS ARE IN GLOBAL COORDINATES

NODE UX

1 .56070E-10

2 .51392E-10

3 .55780E-10

4 .54917E-10 ...........

Presentamos un programa IMPORTA_SUP.M que permite importar los archivos ux.lis y uy.lis

para generar un mapa de las ondas de corte y compresión para esa frecuencia.

%IMPORTA_SUP.M

x=0:0.00025:0.040;

FFdiv = zeros(161);

FFrot = FFdiv;

fid2=fopen('transxtxt','w');

fid3=fopen('nodos.txt','w');

fid4=fopen('ux.lis','r+');

fid5=fopen('uy.lis','r+');

fid6=fopen('transy.txt','w');

Índice


93

while (feof(fid4) == 0)

linea = fgets(fid4);


if b==23

fprintf(fid2,'%s ' ,linea );

end

end % while




if b==23

fprintf(fid6,'%s ' ,linea );

end

end % while

fclose(fid4);

fclose(fid2);

fclose(fid6);

fclose(fid5);

fid2=fopen('transx.txt','r+');

fid6=fopen('transy.txt','r+');

fid=fopen('nodos.lis','r+');


linea1 = fgets(fid);

l inea2 = fgets(fid2);

linea3= fgets(fid6);

fprintf(fid3,'%s\n' ,strcat(linea1,linea2,linea3) );

end % while

fclose(fid);

fclose(fid3);

Al final de este proceso se tiene un archivo de texto nodos.txt con la estructura siguiente:

Nodo coordenada x coordenada y Nodo Amplitud x Nodo Amplitud y

1 0.0000000 0.10000000000E-02 1 0.63035E-10 1 -0.37020E-10

2 0.10000000E-02 0.10000000000E-02 2 -0.15779E-10 2 0.77237E-11

3 0.25000000E-03 0.10000000000E-02 3 0.29481E-10 3 0.94852E-12

.....

Se construyen los operadores para la divergencia y el rotor. Notar que la placa es de 40 mm

comenzando en el 1 y finalizando en el 41, por ello se chequea ((linea(3) >= 0.001)&(linea(3) <=

0.041)).

fid3=fopen('nodos.txt','r+');

clear Mux Muy



linea=str2num(linea);

if((linea(3) >= 0.001)&(linea(3) <= 0.041))

indicex=round(1+linea(2)/0.00025);

indicey=round(-3+linea(3)/0.00025);

Mnodos(indicex,indicey)=linea(1);

Mux(indicex,indicey)=linea(5);

Índice


94

Muy(indicex,indicey)=linea(7);

end

end % while

for m=1:length(x)

for n =1:length(x)

if m==1

Mdxx(m,n) = (Mux(m+1,n)-Mux(m,n))/(x(2)-x(1));

else

if m==length(x)

Mdxx(m,n) = (Mux(m,n)-Mux(m-1,n))/(x(2)-x(1));

else

Mdxx(m,n) = (Mux(m+1,n)-Mux(m-1,n))/(2*(x(2)-x(1)));

end

end

end

end

for m=1:length(x)

for n =1:length(x)

if n==1

Mdyy(m,n) = (Muy(m,n+1)-Muy(m,n))/(x(2)-x(1));

else

if n==length(x)

Mdyy(m,n) = (Mux(m,n)-Mux(m,n-1))/(x(2)-x(1));

else

Mdyy(m,n) = (Mux(m,n+1)-Mux(m,n-1))/(2*(x(2)-x(1)));

end

end

end

end

for m=1:length(x)

for n =1:length(x)

if n==1

Mdxy(m,n) = (Mux(m,n+1)-Mux(m,n))/(x(2)-x(1));

else

if n==length(x)

Mdxy(m,n) = (Mux(m,n)-Mux(m,n-1))/(x(2)-x(1));

else

Mdxy(m,n) = (Mux(m,n+1)-Mux(m,n-1))/(2*(x(2)-x(1)));

end

end

end

end

for m=1:length(x)

for n =1:length(x)

if m==1

Mdyx(m,n) = (Muy(m+1,n)-Muy(m,n))/(x(2)-x(1));

else

if m==length(x)

Mdyx(m,n) = (Muy(m,n)-Muy(m-1,n))/(x(2)-x(1));

else

Mdyx(m,n) = (Muy(m+1,n)-Muy(m-1,n))/(2*(x(2)-x(1)));

end

end

end

end

Índice


95

En este punto tenemos la matrices:

Mdxx derivada parcial de la componente x del desplazamiento respecto a x

Mdyy derivada parcial de la componente y del desplazamiento respecto a y

Mdyx derivada parcial de la componente y del desplazamiento respecto a x

Mdxy derivada parcial de la componente x del desplazamiento respecto a y

Con esto es fácil construir las matrices con la componente de corte Mdiv y con la componente

de compresión Mrot. Se calcula tambien su transformada bidimensional de Fourier.

Mdiv=Mdxx+Mdyy;

Mrot=Mdyx-Mdxy;

FFdiv=FFdiv+abs(fftshift(fft2(Mdiv')));

FFrot=FFrot + abs(fftshift(fft2(Mrot')));

fclose(fid2);

fclose(fid3);

Figura 3.4.2.2. Mapa de amplitud (dB) para las ondas de compresión. Observe que la excitación esta colocada

en el vértice inferior izquierdo lo que favorece la propagación en esta diagonal, esto se vera reflejado en el

espectro espacial.

Índice


96

Figura 3.4.2.3. Transformada de Fourier bidimensional para las ondas de compresión. Observe la dirección

privilegiada indicada en la figura 3.4.2.2.

Figura 3.4.2.4 Mapa de amplitud (dB) para las ondas de corte.

Índice


97

Figura 3.4.2.5 Transformada de Fourier bidimensional para las ondas de corte. Notar que estos resultados

corresponden a una única frecuencia

Figura 3.4.2.6 Suma de armónicos espaciales en una banda de frecuencias. En la derecha esta la suma para las

ondas de compresión, donde se nota la dirección privilegiada, en la izquierda para las ondas de corte.

Índice


98

De forma similar pueden construirse los datos para las componentes de desplazamiento

horizontal y vertical para una línea seleccionada.

Figura 3.4.2.7 Esquema para calcular los operadores de la Eq. 3.4.2.6 en la línea de la matriz N. Se muestra

que para cada punto se generan dos archivos, uno con el desplazamiento vertical y y otro con el desplazamiento

horizontal x.

En el siguiente ejemplo se muestra como escribir en el archivo LINEA1.LIS los nodos

correspondientes a la línea definida en {'X','coordenada'} aquí es una línea horizontal X que se

encuentra en la posición coordenada.

control=fprintf(fid_postproceso,'PRCPLX, 1 \n');

control=fprintf(fid_postproceso,'NSEL,S,LOC, %s, %s\n',’X’,’coordenada’);

control=fprintf(fid_postproceso,'/OUTPUT, LINEA1,lis, %s \n',directorio);

control=fprintf(fid_postproceso,'NLIST,ALL,,,,Y,X,NODE \n');

Para obtener el rotor y la divergencia en una línea de la matriz deben adquirirse las dos lineas

adyacentes para poder calcular los operadores de la Eq. 3.4.2.6.

Para leer los archivos de línea se utiliza una estructura como la siguiente,

fid_lista=fopen('lista.lgw','w+');

nombre='LINEA1.lis';

salida='lista1.txt';


fid2=fopen('trans_lista1.txt','w');


linea = fgets(fid);


if b==72


end

end

fclose(fid2);

fclose(fid);

Índice


99

load trans_lista1.txt

[a,b]=size(trans_lista1)

Nnodo=num2str(trans_lista1(:,1));

Nvar=2;

control=fprintf(fid_lista,'/PREP7 \n');

control=fprintf(fid_lista,'/POST26 \n');

control=fprintf(fid_lista,'PRCPLX, 1 \n');

directorio2=strcat(directorio,'\archivos');


nombresono=strcat('lisx1_',num2str(k-1));

control=fprintf(fid_lista,'/OUTPUT, %s,lis, %s \n',nombresono,directorio2);

control=fprintf(fid_lista,'NSOL,%s , %s, U, %s,\n',num2str(Nvar),Nnodo(k,:), 'X');

control=fprintf(fid_lista,'PRVAR,%s\n',num2str(Nvar));

end


nombresono=strcat('lisy1_',num2str(k-1));

control=fprintf(fid_lista,'/OUTPUT, %s,lis, %s \n',nombresono,directorio2);

control=fprintf(fid_lista,'NSOL,%s , %s, U, %s,\n',num2str(Nvar),Nnodo(k,:), 'Y');

control=fprintf(fid_lista,'PRVAR,%s\n',num2str(Nvar));

end

fclose(fid_lista);

Como ejemplo del resultado se muestra el archivo lisx1_0.lis. Hay que construir para cada nodo

de la línea la componente horizontal y la vertical como se muestra en la figura 3.4.2.7.

VARIABLE 2 IS AT NODE 568 ITEM= U COMP= X NAME= UX

STORAGE COMPLETE FOR 500 DATA POINTS

SUMMARY OF VARIABLES STORED THIS STEP AND EXTREME VALUES

VARI TYPE IDENTIFIERS NAME MINIMUM AT TIME MAXIMUM AT TIME

2 NSOL 568 UX UX -0.1082E-09 0.2648E+06 0.4594E-10 0.2612E+06

***** ANSYS POST26 VARIABLE LISTING *****

TIME 568 UX

UX AMPLITUDE PHASE

0.20360E+06 0.274449E-12 103.845

0.20720E+06 0.174975E-10 176.117

0.21080E+06 0.934281E-11 15.5195 ...............

Índice


100

Estos archivos deben importarse para ser leídos en Matlab de forma similar a lo realizado en

el IMPORTA_SONO.M. El siguiente programa IMPORTA_LINEA.M muestra como se hace este

calculo, los archivos *.lis estan en un subdirectorio \archvos que debe existir

% IMPORTA_LINEA.M

cd archivos

d=dir;

nombre={d.name};


salida=nombre(k);

salida=strrep(salida,'lis','txt');

fid=fopen(nombre{k},'r+');

fid2=fopen(salida{1},'w');


linea = fgets(fid);


if b>3

if (linea(2) == ' ')

if (linea(5) ~= ' ')

if (linea(4) ~= ' ')


end

end

end

end %ultimo if

end % while

fclose(fid2);

fclose(fid);

end %for

cd ..

El siguiente es un ejemplo del archivo resultante lisx1_0.txt:

lisx1_0.txt

0.20360E+06 0.274449E-12 103.845

0.20720E+06 0.174975E-10 176.117

0.21080E+06 0.934281E-11 15.5195 ................

El próximo programa CONSTRUYE.M muestra como leer los datos de las líneas y graficarlos.

% CONTRUYE_SONO.M

cd archivos

d=dir('*.txt');

nombre={d.name};

Narch=fix((length({d.name}))/6);

paso=0.00025

Esta primera sección busca los archivos de texto y genera el numero de puntos a calcular la

divergencia y el rotor, observe que para cada punto se necesitan diez archivos, el punto mas

los cuatro vecinos y dos direcciones por cada uno. Ver figura 3.4.2.7.

Índice


101

% Selecciona los operadores

ButtonName=questdlg('Eje X?')

Este botón de decisión permite elegir entre el eje horizontal X y el vertical Y.

for k=1:Narch-2

archivox=strcat('txtx2_',num2str(k),'.txt');

archivoy=strcat('txty2_',num2str(k),'.txt');

archivox1=strcat('txtx1_',num2str(k),'.txt');

archivoy1=strcat('txty1_',num2str(k),'.txt');

archivox2=strcat('txtx2_',num2str(k+1),'.txt');

archivoy2=strcat('txty2_',num2str(k+1),'.txt');

archivox3=strcat('txtx3_',num2str(k),'.txt');

archivoy3=strcat('txty3_',num2str(k),'.txt');

archivox4=strcat('txtx2_',num2str(k-1),'.txt');

archivoy4=strcat('txty2_',num2str(k-1),'.txt');

load(archivox)

load(archivoy)

load(archivox1)

load(archivoy1)

load(archivox2)

load(archivoy2)

load(archivox3)

load(archivoy3)

load(archivox4)

load(archivoy4)

switch ButtonName,

case 'Yes',

eval([' Dxx= ( txtx3_' num2str(k) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txtx3_' num2str(k) '(:,3)))-txtx1_'

num2str(k) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txtx1_' num2str(k) '(:,3))) ) / (2*paso);'])

eval([' Dyy= ( txty2_' num2str(k+1) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txty2_' num2str(k+1) '(:,3))) -

txty2_' num2str(k-1) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txty2_' num2str(k-1) '(:,3))) ) / (2*paso);'])

eval([' Dxy= ( txtx2_' num2str(k+1) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txtx2_' num2str(k+1) '(:,3)))-

txtx2_' num2str(k-1) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txtx2_' num2str(k-1) '(:,3))) ) / (2*paso);'])

eval([' Dyx= ( txty3_' num2str(k) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txty3_' num2str(k) '(:,3))) - txty1_'

num2str(k) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txty1_' num2str(k) '(:,3))) ) / (2*paso);'])

case 'No',

eval([' Dxx= ( txtx2_' num2str(k+1) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txtx2_' num2str(k+1) '(:,3)))-

txtx2_' num2str(k-1) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txtx2_' num2str(k-1) '(:,3))) ) / (2*paso);'])

eval([' Dyy= ( txty3_' num2str(k) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txty3_' num2str(k) '(:,3)))-txty1_'

num2str(k) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txty1_' num2str(k) '(:,3))) ) / (2*paso);'])

eval([' Dxy= ( txtx3_' num2str(k) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txtx3_' num2str(k) '(:,3)))-txtx1_'

num2str(k) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txtx1_' num2str(k) '(:,3))) ) / (2*paso);'])

eval([' Dyx= ( txty2_' num2str(k+1) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txty2_' num2str(k+1) '(:,3))) -

txty2_' num2str(k-1) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txty2_' num2str(k-1) '(:,3))) ) / (2*paso);'])

end % switch

div=Dxx+Dyy;

rot=Dyx-Dxy;

Índice


102

eval([' MUx(:,' num2str(k) ')= txtx2_' num2str(k) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txtx2_' num2str(k) '(:,3)));'])

eval([' MUy(:,' num2str(k) ')= txty2_' num2str(k) '(:,2).*exp(j*((pi/180)*txty2_' num2str(k) '(:,3)));'])

eval([' f = txty3_' num2str(k) '(:,1);'])

eval([' clear txty3_' num2str(k) ' txtx3_' num2str(k) ' txty1_' num2str(k) ' txtx1_' num2str(k) ' txty2_'

num2str(k-1) ' txtx2_' num2str(k-1) ' txty2_' num2str(k+1) ' txtx2_' num2str(k+1)])

salida=strcat('div_',num2str(k))

save(salida,'div', 'rot' , 'f')

Mdiv(:,k)=div;

Mrot(:,k)=rot;

end %for

El escalado espacial X debe ser consistente con la grilla elegida en la geometría.

cd ..

[a,b]=size(Mrot);

X=0:0.00025:0.00025*(b-1);

close all

figure(1)

pcolor(f/1e6,X*1000,abs(Mdiv')),shading interp

grid

Figura 3.4.2.8 Matriz de divergencia, esta es una simulación de las ondas de compresión en una línea interior

a la placa.

Índice


103

figure(2)

pcolor(f/1e6,X*1000,abs(Mrot')),shading interp

title('Mrot')

Figura 3.4.2.9 Matriz de rotor, esta es una simulación de las ondas de corte en una línea interior a la placa.

figure(3)

Fmuesx=1/0.00025;

Fx=-Fmuesx/2:Fmuesx/(length(X)-1):Fmuesx/2;

imagesc(f,Fx,log10(abs(fftshift(fft(Mdiv'),1)))),shading interp

Figura 3.4.2.10 Mapa de frecuencias espaciales vs. frecuencias temporales para las ondas de compresión. Note

un cono bien definido en la figura, cada recta por el origen corresponde a una velocidad. Ver 4.4.

Índice


104

figure(4)

imagesc(f,Fx,log10(abs(fftshift(fft(Mrot'),1)))),shading interp

Figura 3.4.2.11 Mapa de frecuencias espaciales vs. frecuencias temporales para las ondas de corte. Note un

cono bien definido en la figura, cada recta por el origen corresponde a una velocidad. Ver 4.4.

El siguiente código calcula la suma de la matriz a lo largo de una recta por el origen de

pendiente variable, esto permite hacer un mapa amplitud en función de la velocidad. Este

resultado se utiliza en 4.2.

delta=5;

m=(0.025:0.0025:2.5)*1e-3;

matriz= abs(fftshift(fft(Mdiv'),1));

for r=1:length(m)

y=m(r)*f;

suma = 0;

a=min(find(f>50000));

for h=a:length(y)

vert=matriz(:,h);

minimo=min(find(Fx >( y(h)- delta)));

maximo=max(find(Fx < (y(h)+ delta)));

suma=suma+sum(vert(minimo:maximo));

end

res_div(r)=suma;

end

matriz= abs(fftshift(fft(Mrot'),1));

for r=1:length(m)

y=m(r)*f;

a=min(find(f>50000));

suma = 0;

for h=a:length(y)

vert=matriz(:,h);

minimo=min(find(Fx >( y(h)- delta)));

maximo=max(find(Fx < (y(h)+ delta)));

suma=suma+sum(vert(minimo:maximo));

end

res_rot(r)=suma;

end

Índice


105

figure(5)

v=1./m

plot(v,res_div,'g',v,res_div,'*g',v,res_rot,'b',v,res_rot,'*b'),grid

Figura 3.4.2.12 Amplitud para los modos de corte y longitudinales. La distribución es aproximadamente plana

y cuatro veces mayor para los modos de corte.

Índice


106

3.4.3 Inversión temporal por elementos finitos.

Como en los casos anteriores el primer paso es definir la geometría, esta se construye con una

técnica similar a la presentada en 3.4.1 y 3.4.2, hay importantes detalles que se describen a

continuación:

Primero, debe incluirse un material de acoplamiento entre el sólido y el fluido. Este tiene las

características de fluido estructurado que presenta los grados de libertad de presión y

deformación.

Segundo, primero se definen Keypoints, luego líneas y finalmente áreas. Esto permite que

cuando se realiza el mesh (grilla), las líneas de frontera son un elemento único y solo pueden

tener un numero determinado de nodos que pertenecen a ambos materiales adyacentes. Esto

soluciona el problema de la unión de materiales y los tamaños de grilla diferentes.

Tercero, se utilizan condiciones de borde del tipo:

[SFL, LINEA, FSI] este comando aplica una carga a la línea seleccionada, el parámetro

FSI define interacción fluido estructura.

[SFL, LINEA, IMPD,1] esto fija la impedancia acústica relativa al agua, el valor 1 hace

que la impedancia sea igual a la del agua simulando un medio infinito (ausencia de

borde).

[DL, LINEA, ,SYMM] define un eje de simetría, asigna las condiciones de borde

apropiadas para un medio simétrico.

Figura 3.4.3.1 Detalle de la geometría utilizada para la simulación. Se muestra la interfase fluido-sólido con

los nodos comunes.

Índice


107

El primer paso en el proceso de inversión temporal es adquirir la respuesta al impulso, para

ello se construye un programa SOLUCION.M que permite aplicar una señal arbitraria en un

punto de la pieza. El comando [TIMP, ,0.25,0.5,0.5,0.5,0.2] configura los parámetros de

integración para el régimen transitorio con materiales piezoeléctricos. El comando

[TIMINT,ON,ALL] incluye los efectos transitorios.

Debe existir en el ambiente un archivo de datos Matlab llamado señal.mat con dos variables , t

(tiempo) y v (amplitud) definidas.

El comando [D,1,UY,',Numero,',] aplica en el nodo 1 un desplazamiento en la dirección vertical

de amplitud Numero.

El comando [TIME, tiempo] fija el tempo para el paso de simulación.

El comando [LSWRITE,',NdeLS] escribe el archivo nombre_de_simulación.sNdeLS, por defecto la

simulación se llama file.

Finalmente [LSOLVE,1,legnth(v)] ejecuta la solución por pasos grabada en los archivos *.sNdeLS

desde el 1 hasta el largo de la señal.

% SOLUCION.M


fid_solucion=fopen('solucion.lgw','w+');

control=fprintf(fid_solucion,'!ARCHIVO GENERADO POR EL ANSYS_SOLUCION \n');

fecha=date;

control=fprintf(fid_solucion,'!Fecha : %s\n\n',fecha);

load('señal.mat');

fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,'/SOLU');

fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,'ANTYPE,4');

fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,'OUTRES,NSOL,ALL,');

fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,'TINTP, ,0.25,0.5,0.5,0.5,0.2');

fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,'TIMINT,ON,ALL');

fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,'EQSLV,FRONT,1e-008,0');

for i=1:length(t)

Numero=num2str(v(i)*1e-9);

tiempo=num2str(t(i));

basura=strcat('D,1,UY,',Numero,',');

fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,basura);

basura=strcat('TIME,',tiempo);


fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,'AUTOTS,0');

fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,'NSUBST,1,0,0,0 ');

fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,'KBC,0');

NdeLS=num2str(i);

basura=strcat('LSWRITE,',NdeLS,',');


fprintf(fid_solucion,'%s\n' ,'!***************************************');

end

control=fprintf(fid_solucion,'%s %s\n\n','LSSOLVE, 1,', num2str(length(v)));

fclose(fid_solucion);

Índice


108

Un ejemplo de archivo generado SOLUCION.LGW es

!ARCHIVO GENERADO POR EL ANSYS_SOLUCION

!Fecha : 04-Mar-2006

/SOLU

ANTYPE,4

OUTRES,NSOL,ALL,

TINTP, ,0.25,0.5,0.5,0.5,0.2

TIMINT,ON,ALL

EQSLV,FRONT,1e-008,0

D,1,UY,0,

TIME,2e-007

AUTOTS,0

NSUBST,1,0,0,0

KBC,0

LSWRITE,1,

!********************************************************

D,1,UY,1e-009,

TIME,4e-007

AUTOTS,0

NSUBST,1,0,0,0

KBC,0

LSWRITE,2,

!********************************************************

Este archivo es leído en el ANSYS y genera la simulación. Como postproceso debe leerse la

presión en el punto del liquido que se toma como salida. La presión se adquiere con el

PRESION.M. La variable presión será la 2 del ANSYS.

El comando [NSOL,2,Nodo,PRES] especifica los datos de la solución a ser cargados en la

variable 2, corresponde al Nodo y magnitud presión. La salida se realiza en el archivo

PRPRES.lis. [PRVAR,2] lista la variable dos en la salida.

% PRESION.M


fid_postproceso=fopen('postproceso.lgw','w+');

control=fprintf(fid_postproceso,'!ARCHIVO GENERADO POR EL ANSYS_POSTPROCESO \n');

fecha=date;


Nvar=2;

control=fprintf(fid_postproceso,'!presion nodal \n');

control=fprintf(fid_postproceso,'NSOL,%s , %s, PRES,\n',num2str(Nvar),Nodo);

control=fprintf(fid_postproceso,'/OUTPUT, PRPRES,lis, %s \n',directorio);

control=fprintf(fid_postproceso,'PRVAR,%s\n',num2str(Nvar));

control=fprintf(fid_postproceso,'PLVAR,%s\n',num2str(Nvar));

control=fprintf(fid_postproceso,'/OUTPUT, basura,lis, %s \n',directorio);


Índice


109

Los archivos de presión generados por el ANSYS en los archivos PRPRES.lis son leídos en el

Matlab con el IMPORTA_PRES.M

% IMPORTA_PRES.M.

nombre='PRPRES.lis';


fid2=fopen('trans','w');


linea = fgets(fid);


if b>3

if (linea(2) == ' ')

if (linea(5) ~= ' ')

if (linea(4) ~= ' ')


end

end

end

end

end

fclose(fid2);

fclose(fid);

load('trans');

A=eval('trans');

Amp=A(:,2);

t=A(:,1);

save(resultado.mat,'t','Amp')

plot(t,Amp)

grid

Figura 3.4.3.2 Respuesta al impulso. Esta es la señal de presión adquirida después de la simulación.

Índice


110

Una vez adquirida la señal en el nodo deseado esta se invierte en el tiempo. La señal invertida

se guarda en el archivo señal.mat y se repite el proceso ya descrito. Luego de la simulación se

obtiene la señal focalizada en el nodo donde se tomo la respuesta al impulso. Ver 2.1.

Figura 3.4.3.3 Señal focalizada.

3.5 Medidas Acusto-Ópticas.

Las medidas acusto-ópticas realizadas durante la tesis son tomadas utilizando la técnica de

Schlieren del campo oscuro en régimen pulsado.

Equipos utilizados:

Generador de pulsos HP8114A 100V/2A.

Modulador acusto-óptico NEOS AOM 23080

Electrónica de control para modulador acusto-óptico NEOS N21080-1SAS

Laser de helio-neon de 10 mW

Generador / receptor de ultrasonido de uso general SONIC FTS MARK IV

Cámara CCD

PC con software para adquisición EDC 1000HR “imaging software”

Accesorios ópticos, lentes, cuchilla regulable, pinhole.

Cuba de ensayos.

Índice


111

3.5.1 Montaje.

La luz es emitida por el laser [LA] y su paso es controlado por el modulador acusto-

ótico [AOM]. Luego de este se coloca un pinhole [PH] para generar una fuente

puntual de luz, este esta colocado en el foco de una lente convergente [L1] que hace

que el haz continúe paralelo.

La luz pasa en este punto por la cuba donde el campo de ultrasonido modula la

información de fase.

A la salida se coloca otra lente [L2] y en su foco la cuchilla para filtrar el orden cero de

difracción y los ordenes negativos. Esta cuchilla tiene una regulación para encontrar el

punto focal.

Finalmente se coloca la cámara [CCD] donde la lente del objetivo debe estar enfocada

en el punto de la cuchilla (foco de L2)

Figura 3.5.1.1 Montaje del banco acusto-óptico (izquierda)

Figura 3.5.1.2 Montaje del banco acusto-óptico (derecha)

Índice


112

Conexionado de equipos:

El pulso de ultrasonido es generado en el SONIC, puede utilizarse la salida de

transmisión T o la de transmisión / recepción T/R si se quiere visualizar el eco

ultrasónico. Toda la experiencia debe sincronizarse con este pulso por lo que se utiliza

la señal de trigger externo de la salida de video.

Figura 3.5.1.3 SONIC, observe la conexión del trigger externo en la salida de video (pieza en la

parte inferior de la imagen).

Esta señal de trigger se utiliza como entrada externa del generador de pulsos

HP8114A, en este deben configurarse el tiempo de retardo y el ancho del pulso. El

tiempo de retardo fija el instante en que se adquiere el pulso respecto a al emisión,

mientras que el ancho del pulso fija el tiempo de exposición de la foto [HP8114A]. La

salida del generador se conecta a la entrada externa de la electrónica de control del

modulador acusto-óptico

Figura 3.5.1.4 Generador HP8114A, observe la señal de disparo externa procedente del SONIC y la

salida hacia el AOM.

Índice


113

El modulador acusto-óptico debe conectarse en su entrada externa y este modo debe

seleccionarse mediante un selector ext/CW. El modo CW, onda continua se utiliza

solo en el inicio de la experiencia para ajustar la óptica y adquirir la escala.

Figura 3.5.1.5 Comando del AOM, observe la entrada externa procedente del generador HP8114A.


Encender el laser, conectar el AOM en la posición CW y ajustar la óptica. En general

el pinhole y las lentes no es necesario tocarlos (no cambia de una experiencia a otra).

Si debe verificarse la posición de la cuchilla, en el foco de L2 y tapar el orden cero de

difracción. Para ello se tiene dos tornillos de regulación.

Debe ajustarse además la lente de la cámara CCD para enfoca en la cuchilla.

Luego debe tomarse una foto de una regla graduada para tener el factor de escala,

tanto en la horizontal como en la vertical.

Para adquirir una imagen se usa el software EDC 1000HR, debe verificarse que

primero este LIVE, luego se ajusta la intensidad de la luz y finalmente se adquiere la

imagen y se guarda con un nombre apropiado.

Para adquirir una imagen del pulso, primero se toma una foto sin el sonido (SONIC

desconectado) para hacer el background (resta de los defectos de fondo de la imagen).

Luego se enciende el sonido y se fija el retardo en el generador HP8114A. Finalmente

se adquiere la imagen y se guarda en disco.

Índice


114

CAPITULO 4

RESULTADOS 4.1 Focalización espacio-temporal utilizando FDTR.

En esta sección se presenta la obtención experimental de la inversión temporal caracterizando

el sistema en el dominio de la frecuencia FDTR. Esta técnica permite mejorar los resultados

obtenidos en la focalización espacio-temporal para una configuración experimental dada. Esto

permite suponer que será de gran utilidad en la construcción de futuras maquinas de inversión

temporal acústica. Esta sección complementa lo presentado en el 2.1.6 y resume el articulo

“Frequency Domain Time Reversal. Searching the best Acoustic Focusing” [Pérez 2006].

En este trabajo se realiza por primera vez la obtención en forma experimental de la respuesta

de frecuencia del sistema para el caso de ondas ultrasónicas. Se utiliza una grilla de

frecuencias dada por el teorema del muestreo, luego se conjuga y se obtiene la señal temporal

invertida utilizando la transformada inversa de Fourier que es reenviada al sistema.

Para aplicaciones en las que medio acústico posee una entrada y una salida independientes,

modo de transmisión, esta técnica permite una mejor identificación de la respuesta al impulso.

Esto permite una mejor focalización espacio-temporal, sin embargo no seria aplicable (como

actualmente esta implementada) a situaciones donde la inversión temporal trabaja en modo

pulso-eco.

La técnica es tecnológicamente simple y permite mejorar la respuesta de este tipo de

maquinas de inversión temporal.

4.1.1 Magnitudes medidas.

Aquí se detallan las magnitudes medidas y su formula de calculo. Estas definiciones se

aplican a lo largo del trabajo.

Señal es la recibida en el hidrófono luego de la focalización, en cada caso se normaliza entre

la energía emitida. Ver Eq. 2.1.4.1.

emitidaEnergia

SeñalSeñal

_ Eq. 4.1.1.1

Donde la energía emitida depende del transductor y su acoplamiento.

Relación señal ruido [rsn]

Emedia

señalseñal

rsn

2

2

)min()max(

log20 Eq. 4.1.1.2

Índice


115

Donde Emedia es la energía media de la señal recibida, observe que la normalización se hace

con la energía de la señal emitida.

Amplitud pico a pico [Vpp] 2

)min()max( señalseñalVpp

Eq. 4.1.1.3

Ancho de la focalización espacial a 6 dB [BW6]. Se mide el ancho del foco espacial cuando

la amplitud llega al 50 % del valor máximo.

Ancho de la focalización espacial a 20 dB [BW20] . Se mide el ancho del foco espacial

cuando la amplitud llega al 10 % del valor máximo.

4.1.2 Resultados

Se realizan para cuatro piezas de aluminio con geometrías:

[pieza 1] placa delgada 30 x 30 x 2 mm

[pieza 2] prisma pequeño 25 x 25 x 15 mm

[pieza 3] cubo de 50 x 50 x 50 mm

[pieza 4] placa de 110 x 60 x 5 mm

Para cada pieza se realizan dos medidas, una por FDTR (indicada en azul en las graficas) y la

otra por TTR (indicada en rojo).

Los resultados presentados son los siguientes:

Señal temporal y su espectro de frecuencias; esto nos permite comparar que componentes

de frecuencia son mejor identificadas en la FDTR. En el caso de la FDTR se mide la

transferencia y se calcula la respuesta en el tiempo con el algoritmo ifft, mientas que en la

TTR se mide la respuesta al impulso y se calcula su espectro con la fft.

Señal temporal focalizada y su espectro; aquí se muestra la amplitud de la señal en el foco,

se muestra además un detalle del mismo correspondiente a una ventana de 40 s y el espectro

de esta ventana temporal. En el espectro se puede ver la influencia de las altas frecuencias en

la mejora de la focalización.

Foco espacial; se muestra el resultado de focalizar en un punto de la cavidad y hacer un

barrido espacial para relavar la focalización. Los pasos empleados de de 0.2 mm para todos

los casos.

Resumen de resultados; se da una tabla resumiendo los resultados obtenidos para las

magnitudes antes definidas.

Índice


116

Resultados [pieza 1]. Placa delgada 30 x 30 x 2 mm.

Figura 4.1.2.1. A Señal temporal obtenida a partir de la ifft de los datos medidos en frecuencia. B espectro de

amplitud medido. C Señal temporal medida. D espectro calculado a partir de las medidas en el tiempo.

Figura 4.1.2.2. A Señal temporal en el foco por FDTR. B Detalle del pulso temporal en el foco por FDTR. C

Espectro del pulso temporal en el foco. D Señal temporal en el foco por TTR. E Detalle del pulso temporal en el

foco por TTR. F espectro del pulso temporal en el foco.

Índice


117

Figura 4.1.2.3. Azul focalización espacial por FDTR. Rojo focalización espacial por TTR. La amplitud es

calculada en dB, se toma la energía de la señal en torno al foco (100 puntos que corresponden a 20 s).

Tabla 4.1.2.1 Resumen de las propiedades medidas para la [pieza 1]

PIEZA 1

[medida en frecuencia]

PIEZA 1

[medida en el tiempo]

RSN 52.9 dB 50.9 dB

Vpp 67.4 V/Joule 58.3 V/Joule

BW6 1.4 mm 1.6 mm

BW20 2.6 mm 2.7 mm

Índice


118

Resultados [pieza 2]. Prisma pequeño 25 x 25 x 15 mm






Índice


119




PIEZA 2


PIEZA 2


RSN 57.4 dB 51.9 dB


BW6 1.5 mm 3.2 mm

BW20 3.7 mm 4.7 mm

Índice


120

Resultados [pieza 3]. Cubo de 50 x 50 x 50 mm






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121




PIEZA 3


PIEZA 3


RSN 61 dB 50 dB


BW6 2.1 mm 2.5 mm

BW20 3.4 mm 4.2 mm

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122

Resultados [pieza 4]. Placa de 110 x 60 x 5 mm






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123




4.1.3 Conclusiones

Se han realizado numerosos ensayos que muestran que tanto la focalización espacial como la

temporal son mejores o iguales cuando se realiza la FDTR comparadas con la inversión

temporal tradicional TTR. Esto esta de acuerdo con la discusión teórica presentada en 2.1.6.

Actualmente existen en el mercado dispositivos electrónicos que permiten la implementación

de esta técnica sin aumentar el costo de una maquina de inversión temporal tradicional en

forma sensible. La técnica es tecnológicamente simple y permite mejorar la respuesta de este

tipo de maquinas de inversión temporal en modo de transmisión.

Numerosas aplicaciones pueden ser optimizadas de esta forma, actualmente trabajamos en la

focalización 3D por inversión temporal acústica a partir de cavidades caóticas resonantes.

PIEZA 4


PIEZA 4


RSN 53.58 dB 50.10 dB

Vpp 5 V/Joule 3.2 V/Joule

BW6 2.7 mm 2.8 mm

BW20 4.4 mm 4.4 mm

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124

4.2 Modelo de radiación en una cavidad compleja.

En este punto se presentan las verificaciones experimentales y numéricas del modelo

presentado en 2.1.8. Este modelo fue presentado en el trabajo realizado en conjunto con el Dr.

Gabriel Montaldo y que dio lugar a la sumisión del trabajo “The spatial focusing of a time

reversal chaotic cavity: A statistical model.” [ref].

Los detalles de implementación de la simulación por elementos finitos se presentan en 3.4.

Se incluye un estudio experimental de la influencia de la rugosidad en la transmisión de

energía entre la cavidad y el fluido. Este reslutado da lugar a un trabajo posterior “Spatial

Focalization Using Temporal Inversion in Chaotic Cavities. Influence of Surface Roughness” [Pérez 2005].

4.2.1 El campo en el interior de la cavidad.

Como no es posible medir el campo acústico en el interior de la cavidad realizamos

simulaciones numéricas por elementos finitos para evaluar las hipótesis de equipartición.

Simulamos una cavidad bidimensional cuadrada de cuatro centímetros de borde, se agregaron

defectos en los bordes a fin de aumentar la complejidad de la cavidad, las propiedades son las

del duraluminium.

En la figura 4.2.1.1 dos muestra un ejemplo de tres modos normales, los patrones difieren

entre si con el cambio de frecuencia, un cambio de frecuencia implica un cambio en el vector

de onda.

Figura 4.2.1.1 Ejemplos de modos en la cavidad simulados por elementos finitos.

Calculando los modos normales en el rango de 1 MHz – 2 MHz y descomponiendo cada

modo en sus componentes transversales y longitudinales obtenemos la distribución de energía

para cada vector k dentro de la cavidad. En la figura 4.2.1.2 puede verse como la distribución

de energía es independiente de k tanto para las ondas transversales como para las

longitudinales. Este resultado concuerda con la hipótesis de isotropía planteadas en Eq 2.1.8.4

y Eq 2.1.8.7. En una cavidad bidimensional el teorema de equipartición nos permite esperar 22 // lsls ccEE = 4.13 para el duraluminium, mientras que en la simulación la energía de los

modos de corte es del orden de cuatro veces mayor que en los modos transversales.

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125

Figura 4.2.1.2. Simulación por elementos finitos del espectro de energía para los modos de corte y

longitudinales. La distribución es aproximadamente plana y cuatro veces mayor para los modos de corte de

acuerdo a las hipótesis de equipartición.

4.2.2 Transmisión de energía hacia el fluido.

Realizamos la primera verificación experimental para el modelo planteado en 2.1.8 midiendo

la energía transmitida al agua para cada componente xk . En la figura 4.2.2.1 podemos ver el

setup experimental. Utilizamos una cavidad cúbica de duraluminium de cinco centímetros de

lado, en tres caras de la cavidad se realizaron agujeros con el taladro en forma aleatoria con

diámetros entre 3 mm y 1 cm. La presencia de estas superficies rugosas asegura el

comportamiento complejo de las ondas. Una cara del cubo es puesta en contacto con el agua,

el origen de las coordenadas espaciales se toma en su centro con el eje z normal saliente a la

cara.

Figura 4.2.2.1. Setup experimental. La cavidad es un cubo de duraluminium de cinco centímetros de lado. Tres

caras tienen agujeros aleatorios para romper la simetría y asegurar el comportamiento complejo de las ondas.

Se realiza un barrido de las ondas transmitidas en el plano (x,y) con un hidrófono en la

superficie de la cavidad, la grilla es de 20 x 20 mm en pasos de 0.2 mm. El transductor

utilizado tiene una frecuencia central de 3.5 MHz y es excitado con un burst con espectro

entre 3.1 MHz y 3.8 MHz. La elección de esta excitación responde al compromiso de tener

una onda monocromática de 3.5 MHz, utilizada en el calculo de los coeficientes de

transmisión y un conjunto de frecuencias que nos permitan obtener un conjunto de

realizaciones para realizar la estadística como se discutió en el 2.1.8.

Índice


126

La figura 4.2.2.2 muestra la intensidad medida en el plano )( , yx kk . Como puede verse hay dos

círculos concéntricos definidos, el primero es el ángulo critico para las ondas de compresión y

el segundo para las ondas de corte.

Figura 4.2.2.2. Intensidades experimentales en el plano (kx,ky). Los ejes están normalizados entre el máximo k

posible en este caso. En 0.2 podemos ver el corte para las ondas longitudinales y en 0.5 para las shear.

Realizando en corte en la dirección xk observamos la intensidad radial )( xkI , se calcula el

resultado con la ecuación Eq. 2.1.8.17 y se compara con los datos experimentales. Ver figura

4.2.2.3. Observamos un buen ajuste con el modelo teórico y podemos concluir que el modelo

de equipartición da la relación correcta para la distribución de energía entre los modos de

corte y compresión.

Figura 4.2.2.3. Intensidad radial. Se observa un buen ajuste entre el modelo y la experiencia. En 0.5 los datos

experimentales presentan un pequeño pico del orden del 10 % del máximo marcado por las ondas de corte, esto

puede deberse a las ondas de Righley que no están consideradas en el modelo.

Utilizando los mismos datos experimentales podemos probar la hipótesis entre dos diferentes

vectores k. Tomando la dirección particular )1.0,0( yx kk y correlacionadola con todas

las otras obtenemos el resultado que se muestra en la figura 4.2.2.4. Puede observarse que la correlación es muy similar a una delta de Dirac como lo predicen las ecuaciones Eq. 2.1.8.4 y

Eq. 2.1.8.7. El valor de la autocorrelación es uno (punto negro en la figura) y el resto es

menor que el 10%.

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127

Figura 4.2.2.4. Test para probar la correlación de la Eq. 2.1.8.4. en el punto (0,0.1). El punto correspondiente a la

autocorrelación tiene valor uno y el resto es menor a 0.08.

Evaluaremos ahora el resultado presentado en Eq. 2.1.8.24, este indica que la correlación de

la presión en la superficie es función de la distancia entre los puntos, en la figura 4.2.2.5 se

compara este resultado con una medida experimental de la correlación.

Figura 4.2.2.5. Correlación espacial en la superficie de la cavidad. Los puntos indican los resultados

experimentales y el trazo continuo el modelo.

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128

4.2.3 Propagación en el agua e inversión temporal fuera de la cavidad. Compararemos ahora los resultados obtenidos para la propagación en el exterior de la cavidad

a un punto (r,z), recordar que z > 0 corresponde a puntos del agua.

Utilizando Eq. 2.1.8.33 comparamos la salida del modelo teórico con los resultados

experimentales de focalizar por inversión temporal para diferentes puntos del espacio. La

superficie de emisión es una cara del cubo de cinco centímetros de lado y se muestra el

resultado de focalizar en cinco diferentes puntos del espacio.

Figura 4.2.3.1. Focalización espacial para cinco puntos exteriores a la cavidad. El sistema de coordenadas

espaciales es el indicado en la figura 4.2.2.1. Los puntos (a) y (c) en el eje de la cavidad tienen foco simétrico,

mientras que los puntos (b) y (d) correspondientes al borde son asimétricos. El punto (e) exterior a la sombra

geométrica de la cavidad presenta un foco mucho mayor. Los ejes horizontales indican la distancia en mm

respecto al punto original de focalización.

Tomando 21 rr en la ecuación Eq. 2.1.7.33 obtenemos la amplitud máxima del pulso

focalizado. En la figura 4.2.3.2 se muestra el resultado de medir la amplitud máxima de

focalización en diferentes profundidades, realizando un barrido frente a la cavidad. Se observa

un buen ajuste entre los datos experimentales y el modelo. Este calculo puede ser de utilidad

en el diseño geométrico de cavidades en aplicaciones como la liptotricia donde debe

entregarse alta potencia en el foco de la señal.

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129

Figura 4.2.3.2. Amplitud máxima de foco por inversión temporal a diferentes profundidades. Los puntos son

datos experimentales mientras que las líneas continuas resultan de aplicar el modelo. La distancia horizontal

corresponde a un desplazamiento en el eje x, mientras que el cero es el eje que pasa por el centro de la cavidad.

4.2.4 Influencia de la rugosidad en el coeficiente de transmisión sólido-fluido.

En la interfase sólido-fluido las frecuencias espaciales mas altas son filtradas, esto es no se

transmiten al fluido, presentando una limitación importante a al focalización espacial. Una

solución para disminuir este efecto es el uso de una interfase rugosa, en este caso se amplia el

espectro de transmisión permitiendo pasar frecuencias mas altas que en el caso liso.

Como prueba experimental de este fenómeno usamos una de las superficies rugosas de la

cavidad como cara emisora al medio fluido. Ver figura 4.2.2.1. Se releva la presión ),,( tyxp y

se realiza la transformada triple de Fourier para obtener el espectro angular ),,( yx kkp como

en 2.1.8.

Figura 4.2.4.1. Especto espacial emitido por cara lisa (a) comparado con el emitido por cara rugosa (b). Los ejes

están normalizados al máximo k posible emitido por el transductor.

La superficie rugosa tiene un espectro mas ancho y no presenta el hueco en el ángulo crítico

de las ondas longitudinales. Este enriquecimiento del espectro tiene como consecuencia

directa una mejora en la focalización espacial. La figura 4.2.4.2 muestra el foco obtenido para

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130

ambos casos, el ancho focal es aproximadamente 35% menor para la cara rugosa comparada

con la lisa. Se observa además una reducción de los lóbulos laterales.

Figura 4.2.4.2. Focalización espacial para una interfase lisa y una rugosa. Se observa una reducción del ancho

focal y los lóbulos laterales para la interfase rugosa respecto a la lisa. El punto seleccionado corresponde al

(x, y, z) = (0, 0, 0, 2.5)

4.2.5 Conclusiones.

Se presento un modelo físico para la focalización en cavidades acústicas caóticas. El modelo

asume que la radiación en el interior de la cavidad es incoherente e isotrópica con

equipartición de la energía entre los modos longitudinales y de corte.

Las verificaciones numéricas y experimentales permiten acreditar en la hipótesis del modelo,

al menos como una primer aproximación al problema. Es de destacar que es el primer modelo

físico que se plantea para el estudio de la focalización espacial en cavidades.

El calculo de la correlación especial para los puntos de la superficie en el modelo incluye el

coeficiente de transmisión en el interfase sólido-fluido, se muestra que esta correlación es la

amplitud del foco obtenido el la inversión temporal.

Se discute la forma del coeficiente de transmisión sólido-fluido que presenta ángulos críticos

para las ondas de compresión y corte. Estos ángulos producen un filtrado de las altas

frecuencias espaciales que limita la focalización.

Experimentalmente se muestra que este efecto puede reducirse introduciendo interfases

rugosas, se midió una mejora del orden del 35 % en el ancho del foco para estas superficies

rugosas comparadas con las lisas.

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131

4.3 Estudio experimental de la influencia de la rugosidad en la

focalización de una cavidad caótica.

En este punto presentaremos los resultados del estudio de la influencia de la rugosidad en la

focalización de ondas acústicas. Estos resultados fueron presentados en “Spatial Focalization

Using Temporal Inversion in Chaotic Cavities. Influence of Surface Roughness” [Pérez 2005].

En el trabajo se intenta complementar los resultados presentados en 4.2 en el sentido de

explorar la influencia de la rugosidad en el coeficiente de transmisión sólido – fluido.

Se presentan además de los resultados experimentales, simulaciones con elementos finitos del

proceso completo propagación y posterior inversión de las ondas.

En este trabajo el interés es en mostrar la influencia de la rugosidad en el coeficiente de

transmisión, intentando evitar el efecto en el cambio del número de modos. Se propone como

un trabajo futuro un montaje experimental que mejore la medida independizándola del

número de modos de la cavidad.

4.3.1 Consideraciones teóricas.

De acuerdo a lo discutido en el capítulo 2.1 se esperan verificar el siguiente comportamiento:

Focalización temporal y distribución de modos.

En el proceso de inversión temporal todas las componentes de la señal invertida se ponen en

fase en el instante inicial de la señal. La amplitud recibida para cada modo es el cuadrado de

las amplitudes de la respuesta de frecuencia. Por esta razón la energía es fundamentalmente

transmitida por los modos principales (con mayor amplitud) de la cavidad. La focalización

temporal mejora cuando aumenta el número de modos de similar amplitud y se ensancha la

banda donde están estos modos. Ver 2.1.

¿Cuál es el papel de la rugosidad en la distribución de modos?

Los modos de resonancia en una cavidad regular dependen de las dimensiones de la misma y

de la velocidad de propagación, cumpliéndose esencialmente la conocida relación

l

cnfn

2 Eq.4.3.1.1

Esta formula puede generalizarse a tres dimensiones, pero parte del supuesto de que las caras

son lisas y paralelas. En el caso rugoso la distancia l no esta bien definida y se produce un

ensanchamiento de los modos (disminuyendo su amplitud máxima) logrando una mejor

distribución de la energía en el espectro.

Rugosidad y focalización espacial.

La focalización espacial es una medida de la correlación temporal cruzada de las respuestas al

impulso como se mostró en 2.1.4. ¿Cuál es el papel de la rugosidad en la focalización

espacial? La rugosidad disminuye la correlación entre las respuestas de frecuencia de los

distintos puntos de la superficie y consecuentemente aumenta la focalización.

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132

Rugosidad y coeficiente de transmisión sólido-fluido:

Cuando incide una onda acústica en una interfase sólido-fluido, en general se produce una

conversión de modos y parte de la energía incidente es transmitida. En 2.1.8 se mostró la

existencia de ángulos críticos para esta transmisión lo que genera una frecuencia de corte para

la transmisión de energía, limitando las posibles frecuencias espaciales y degradando la

focalización.

La rugosidad en la superficie permite solucionar en parte ese problema, las ondas incidentes

atacan la superficie con diferentes ángulos producidos por la rugosidad y un rango mayor de

frecuencias es transmitido mejorando la focalización tanto espacial como temporal.

4.3.2 Materiales y métodos

Simulaciones numérica

Para la realización de las simulaciones numéricas se utilizo en software comercial ANSYS,

ver 3.4. Se utilizo un modelo de dos dimensiones y se consideró una celda de la cavidad con

longitud del orden del periodo espacial esperado en la cavidad.

En este trabajo se muestra el resultado de realizar la inversión temporal totalmente simulada

por elementos finitos. Cada simulación consiste en dos pasos, el primero es el calculo de la

respuesta al impulso para el punto del medio fluido donde se quiere focalizar. Al finalizar este

paso la simulación de cómo resultado la presión en función del tiempo para cada punto. En el

segundo paso se invierte la presión en el punto seleccionado y se usa como función exitadora

de la fuente (transductor). Al final de este paso se obtiene la presión focalizada en el punto

seleccionado.

La grilla utilizada en este trabajo es de 0.6 mm para el sólido (aluminio) y 0.3 mm para el

fluido (agua). La señal temporal es de 2048 pasos con un incremento de 0.2 s (frecuencia de

muestreo 5 MHz)

Figura 4.3.2.1: Modelos para simulación FEM. En la izquierda una pieza lisa y en la derecha una rugosa, se

indica el punto donde se realiza la focalización.

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133

Setup experimental.

Aquí se describe el setup experimental y las medidas realizadas. Para este trabajo se construyó

una familia de piezas con rugosidades periódicas conocidas. Para calcular la rugosidad rms se

utiliza la ecuación (Ver 2.2):

L

dxxhL

rms

0

21 Eq.4.3.2.1

Donde h es la altura de la superficie medidas respecto a la superficie media.

Figura 4.3.2.2: Familia de muestras. La rugosidad se incrementa desde la pieza 1 (rms = 0) en la izquierda

arriba, hasta la pieza 6 (rms = 1.8 mm) en la derecha abajo.

La siguiente tabla muestra la familia de muestras construidas, indicando la rugosidad y la

profundidad de la huella, es decir la distancia entre el punto mas bajo y el mas alto de la

superficie.

Rugosidad rms [mm] Profundidad [mm]

Pieza 1 0 0

Pieza 2 0.3 0.75

Pieza 3 0.6 1.5

Pieza 4 1 2.25

Pieza 5 1.1 3

Pieza 6 1.8 6

Las medidas acústicas de inversión temporal se realizan con el procedimiento descrito en 3.2.

Se utiliza un pulso de frecuencia central 1.3 MHz, la señal es recibida con el hidrófono de

aguja NTR Systems, NP1000 PVDF modelo TNU001A, preamplificador de ganancia fija 60

dB. El foco se toma a seis milímetros de la superficie. Una diferencia con la simulación es que

se adquieren 8192 puntos con frecuencia de muestreo de 5 MHz, esta cantidad de puntos hace

muy lentas las simulaciones y produce archivos de salida del orden de decenas de GByte.

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134

4.3.3 Resultados.

Se presenta primero el resultado de simular la focalización ultrasónica. Se muestra la

evolución de pulso en el tiempo para dos muestras de la familia, la pieza 1 (lisa) y la pieza 4

(rms = 1 mm).

Figura 4.3.3.1: Focalización temporal para la pieza 1 (lisa). Se muestra la evolución de los últimos instantes

(4.5 s) de la focalización.

En la figura 4.3.3.1 se observa que aproximadamente en instante t = 409 s el pulso focaliza,

eso es consistente con el calculo 2048 * 0.2 e-6 = 409.6 s. Esta representación dada por el

software ANSYS representa una escala arbitraria de colores, para obtener información

cuantitativa debe realizarse un programa que tome los datos de la simulación nodo a nodo, ver

3.4.

Una información cuantitativa puede obtenerse del diagrama que muestra la presión en función

de la posición y el tiempo para una línea determinada de la simulación. Esto es se toma un

corte horizontal que pasa por el foco y se grafica la pasión para todos los puntos en función

del tiempo, observe que focaliza par 409 s.

Figura 4.3.3.2: Focalización espacio – temporal para la pieza 1 (lisa). La información obtenida es cuantitativa.

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135

Los resultados se repiten para la pieza 4:

Figura 4.3.3.3. Focalización temporal para la pieza 4 (rms = 1 mm).

Figura 4.3.3.4. Focalización espacio – temporal para la pieza 4 (rms = 1 mm).

A continuación se muestra el resultado de adquirir la respuesta al impulso experimentalmente

para realizar la inversión temporal como se indico en 3.2. Al igual que en el caso de la

simulación se muestra el resultado para una muestra lisa y una rugosa.

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136

Figura 4.3.3.5. Respuesta al impulso su espectro. Pieza 1 (lisa). Observe la frecuencia del transductor

(aprox. 1.3 MHz) y dos picos debidos a la cavidad en 300 kHz y 500 KHz.

Figura 4.3.3.6. Respuesta al impulso su espectro. Pieza 4 (rms = 1 mm). Observe que aparece un nuevo pico en

la banda de 1.6 – 1.7 MHz.

Luego de adquirida la respuesta al impulso la señal es invertida y reenviada a la cavidad.

Luego de la emisión se recepciona con el hidrófono en el punto original donde se caracterizó

la respuesta al impulso. Todas las señales se normalizan por la energía emitida como se indico

en 3.2. En la siguiente figura 4.3.3.7 se muestra el resultado para la pieza 1 y la pieza 4.

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137

Figura 4.3.3.7. Pulso focalizado (superior) en un entorno del foco temporal. Especto de frecuencias del intervalo

temporal mostrado. Pieza 1 (lisa).

Figura 4.3.3.8. Pulso focalizado (superior) en un entorno del foco temporal para la pieza 4. Especto de

frecuencias del intervalo temporal seleccionado. Observe la aparición de las altas frecuencias (mayores a 1

MHz), responsables del aumento de amplitud del pico. Observe que fuera del foco no se nota la presencia de

altas frecuencias.

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138

A continuación se muestra la amplitud máxima del foco para la familia de muestras, los

resultados se normalizan por la amplitud de la pieza 1 (lisa). Puede verse que existe un

máximo en los datos experimentales par la pieza 4 (rms = 1 mm)

Figura 4.3.3.9. Amplitud en el foco en función de la rugosidad rms para la familia de muestras. La curva *

corresponde a los resultados experimentales mientras que son simulaciones FEM.

Finalmente se estudia el comportamiento espacial de la focalización. Una vez focalizado el

pulso se realiza un barrido en torno a el para determinar el ancho del foco. Como criterio para

el ancho se usa la mitad de la amplitud que corresponde a 6 dB.

Figura 4.3.12: Ancho del foco a 6 dB en función de la rugosidad rms para la familia de muestras. Observe un

comportamiento decreciente con la rugosidad.

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139

Se muestra un detalle del foco espacial para tres muestras seleccionadas, la pieza 1 (lisa),

pieza 4 (rms = 1 mm) que es la de mayor amplitud en el foco y la pieza 6 (rms = 1.8 mm) que

es la de menor ancho espacial en el foco. Puede verse fácilmente el comportamiento

decreciente del ancho espacial con la rugosidad.

Figura 4.3.3.10. Detalle del ancho del foco. De izquierda a derecha: pieza 1, pieza 4 y pieza 6. La línea

punteada indica la mitad de la amplitud, punto utilizado para calcular el ancho.

4.3.4 Conclusiones.

En este trabajo se investigó la influencia de la rugosidad en la focalización de ultrasonido por

inversión temporal en cavidades.

En particular se intentó estudiar el efecto de la rugosidad en el coeficiente de transmisión

sólido – fluido y como este afecta dicha focalización. El resultado era esperado a partir del

trabajo mostrado en 4.2.

Los resultados muestran una mejora en la focalización espacio temporal de la piezas rugosas

con respecto a la pieza lisa. Esta mejora se interpreta físicamente de la siguiente forma: la

superficie rugosa permite pasar frecuencias mas altas en la interfase mejorando la focalización

temporal. Ver 2.2. En cuanto a la focalización espacial se verifica la hipótesis de que mayores

rugosidades decorrelacionan la repuesta al impulso para los puntos vecinos mejorando dicha

focalización. Sin embargo se detectaron deficiencias en el proceso de medición cuya mejora

puede dar lugar a futuros trabajos:

Eliminar totalmente la influencia de los modos de la cavidad, para ello se propone utilizar una cavidad con dos caras, una lisa y una rugosa comparando la lisa con

respecto a la rugosa.

Las medidas son realizadas en una zona cercana a la superficie donde los efectos de focalización de la forma son muy importantes. Se propone tomar medidas mas

apartadas.

Pueden existir modos introducidos por la cavidad del fluido, por ello se propone tomar

las medidas en una cavidad grande (una pecera) para evitarlos.

La forma periódica influye mucho en la correlación espacial, para ello se propone trabajar con muestras aleatorias.

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140

4.4 Estudio experimental de la distribución de frecuencias

espaciales y focalización espacial por inversión temporal.

La focalización espacial por inversión temporal en la superficie de un cuerpo sólido puede

pensarse como la suma de todas las frecuencias espaciales excitadas en dicha superficie, ver

2.1.4. Dicha focalización depende fuertemente de la geometría de la cavidad estando limitada

por la riqueza de modos de vibración de la cavidad. Si solo se consideran ondas de volumen

corresponden dos velocidades de propagación para cada frecuencia temporal, una para las

ondas de compresión y otra para las ondas de corte. Estas ultimas tienen dos polarizaciones

posibles, una paralela al plano de la superficie y otra perpendicular. Por ello en principio un

modo temporal corresponde a más de un modo espacial.

En esta sección se presenta la medida experimental de dichas frecuencias espaciales

utilizando la técnica de SAS (ver 3.1) y se estudia el comportamiento para diferentes

cavidades en que varia la rugosidad superficial.

Se espera que la geometría de la cavidad, y en particular la rugosidad superficial, aumente el

número de modos de la cavidad mejorando la focalización espacial y temporal. El objetivo de

este trabajo es caracterizar el patrón de frecuencias espaciales de una cavidad acústica y

verificar la dependencia de focalización espacial con la distribución de frecuencias espaciales.

En particular se intenta mostrar que se incrementa la focalización espacial sobre la superficie

cuando se adiciona rugosidad a las caras de la misma. Este proceso puede verse como un

aumento en la complejidad del patrón de vibración de la cavidad.

Finalmente se comparan los resultados obtenidos al realizar la focalización por inversión

temporal en cada una de ellas.

En el caso de la cavidad rectangular con caras lisas, los resultados son verificados utilizando

simulaciones por elementos finitos al menos en un análogo 2D.

4.4.1 Setup experimental

Para la medida de los modos espaciales se realiza un barrido de la superficie mediante la

técnica de SAS. Los resultados serán comparados con las medidas en el tiempo realizados con

una frecuencia de muestreo de 5 MHz, por ello se espera una longitud de onda mínima de

mmef

vshear 2.165.2

3000

max

min Eq. 4.4.1.1

Las medidas realizadas con el hidrófono son poco sensibles para frecuencias menores que los

50 kHz, ver figura 4.4.1.1, por ello se toma como longitud de onda máxima aproximada para

las ondas de corte

mmef

vshear 60350

3000

min

max Eq. 4.4.1.2

El número de puntos se elige utilizando el criterio del teorema del muestreo, dos puntos como

mínimo para la frecuencia espacial mayor, esto marca un espaciamiento de 0.6 mm como

mínimo.

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141

Figura 4.4.1.1. Espectro de amplitud medido en la superficie de la cavidad. Se observa que para frecuencias

menores de 50 kHz el sistema no responde.

Se realizan dos medidas para cada cavidad, una en el dominio de la frecuencia y otra en el

dominio del tiempo. El detalle del montaje para el dominio de la frecuencia se detalla en 3.3

mientras que el montaje para el dominio del tiempo esta detallado en 3.2.

Cada medida se repite sobre una grilla recta a fin de estudiar la focalización espacial.

Rango de barrido en el dominio de la frecuencia:

4096 frecuencias temporales

Fmin = 305 Hz.

Fmax = 2.5 MHz.

Fmin = 610 Hz.

Rango de barrido en el dominio de el tiempo:

8192 puntos temporales

Frecuencia de muestreo Fmues = 5 MHz

Rango de barrido espacial:

40 puntos espaciales

x = 0.4 mm.

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142

Las piezas utilizadas para la experiencia son prismas de aluminio de 35 mm x 30 mm x 20

mm. Se construyeron dos piezas nominadas de la siguiente forma:

[Pieza 1]. Ambas caras lisas.

[Pieza 2]. Cara rugosa periódica con rugosidad rms = 1.1 mm

Figura 4.4.1.2 Cavidades utilizadas. A la izquierda la cavidad regular, a la derecha con rugosidad en la cara

superior. Observe la cerámica piezoeléctrica en un lado de la cavidad.

La cerámica piezoeléctrica es pegada en una de las caras laterales de la cavidad, de esta forma

la medida se toma en una cara que no esta enfrentada con la cerámica. Esto evita el efecto de

la onda balística, esto es el frente de onda directamente emitido por la cerámica y que trae la

longitud de onda del transductor fundamentalmente y no el efecto de los rebotes dentro de la

cavidad.

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143

4.4.2 Resultados experimentales para pieza lisa

El primer resultado es la obtención del mapa que relaciona frecuencias temporales con

frecuencias espaciales. Para ello se realiza un barrido en el dominio de la frecuencia para cada

punto de una recta sobre las muestras con los pasos que se indican en el apartado anterior. La

figura 4.2.2.1 muestra un esquema del montaje, en cada punto se mide la función de

transferencia entre la cerámica y el hidrófono (magnitud adimensionada). Con ello se forma

una matriz que tiene en sus filas la información temporal y en sus columnas la información

espacial. Se evita el uso de amplificadores a fin de no introducir elementos que distorsionen la

respuesta.

Figura 4.4.2.1 Setup para relevar la trasferencia para dada posición.

Los resultados se muestran primero para la [pieza 1] (lisa) y se comparan posteriormente con

la [pieza 2] (rugosa).

Figura 4.4.2.2 En la imagen superior se muestra la función de transferencia medida para el primer punto espacial

de la serie, la imagen inferior muestra el sonograma formado por las frecuencias espaciales y su ubicación en el

espacio. Pieza 1.

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144

Note en el diagrama anterior que existen dos rangos de frecuencias en que el sistema

responde, uno inferior del orden de cientos de kHz y otro superior en torno a 1.5 MHz, esta

frecuencia es la central de la cerámica piezoeléctrica con que se excita la cavidad.

Se analizan las columnas de la matiz, estas corresponden a la información espacial a

frecuencia fija.

Figura 4.4.2.3 Cortes espaciales del sonograma, se observa el aumento de las frecuencias espaciales a medida

que la frecuencia temporal aumenta. Pieza 1.

Sobre estas curvas se toma la transformada de Fourier para analizar el espectro de frecuencias

espaciales. La transformada de Fourier se toma sobre los valores complejos de la matriz.

La frecuencia de muestreo utilizada es

1250044/1 meFmuesx

con un paso en frecuencia de

16439/2500 mFmuesx

Índice


145

Figura 4.4.2.4 Espectro de frecuencia espacial para la misma serie de frecuencias temporales que en figura

4.4.2.3. Se observa un aumento de las componentes de alta frecuencia con el incremento de frecuencia temporal.

Pieza 1.

A partir de estos datos se forma un diagrama de frecuencias espaciales vs. frecuencias

temporales en el que se observa el comportamiento de los diferentes modos.

Figura 4.4.2.5 Diagrama de frecuencias espacio-temporales. Pieza 1.

En este diagrama esta duplicado en el eje de frecuencias espaciales, resultado obtenido en la

transformada de Fourier.

Índice


146

Para interpretar este diagrama recordamos

tx

t

fcf

fc

Eq. 4.4.2.1

De aquí se desprende que las frecuencias espaciales fx y temporales ft son proporcionales y la

constante de proporcionalidad es una velocidad. En un sólido la situación es compleja ya que

existen varias velocidades posibles, compresión, corte y modos determinados por las

condiciones de borde.

De todas formas la relación anterior indica que las rectas por el origen en el diagrama

corresponden a una velocidad que es la pendiente.

Para evaluar como se distribuyen los modos para cada velocidad se realiza un cálculo de la

suma de los modos a una velocidad dada, esto corresponde a cortar el diagrama de la

figura 4.4.2.5 con una recta de pendiente v y sumar los valores encontrados

Figura 4.4.2.6 Diagrama de velocidades, observe que existe un conjunto discreto de velocidades bien definido.

Pieza 1.

Aquí pueden verse algunas velocidades bien definidas, el eje de las ordenadas no tiene

unidades ya que se trata de suma de valores obtenidos de una trasferencia que son

adimensionados.

Debe observarse además que las velocidades calculadas no corresponden a las velocidades

bulk en el sólido ya que los modos de vibración quedan determinados por el tamaño finito de

la cavidad.

Finalmente se presenta un diagrama donde se suman las frecuencias espaciales de la cavidad

sobre todas las frecuencias temporales. Esto significa la suma de la matriz mostrada en la

figura Fig 4.4.2.5 sobre todas las columnas.

Índice


147

Figura 4.4.2.7 Promedio normalizado de armónicos espaciales. Pieza 1.

Este resultado puede interpretarse como el peso relativo que tiene cada armónico espacial en

promedio sobre todas las frecuencias temporales. Se observa que los armónicos espaciales

disminuyen siguiendo aproximadamente una ley de potencias del tipo

)min( fx

fx

Cuanto mayor mas rápida es la disminución de los armónicos espaciales, en este caso se

calculó por mínimos cuadrados = 0.95. Este coeficiente se introduce solo a fin de comparar los resultados obtenidos en diferentes cavidades, cuanto mas rápida es la disminución de los

armónicos menos homogénea es la distribución de frecuencias y se espera una peor

focalización espacial.

Figura 4.4.2.9 Ajuste por mínimos cuadrados ‘*’ del promedio normalizado de armónicos espaciales.

Las medidas se muestran en trazo continuo.

Índice


148

4.4.3 Estudio comparativo entre pieza lisa y pieza rugosa.

En este punto se realiza el estudio comparativo entre una pieza liza, la llamada [pieza 1] y una

rugosa, [pieza 2]. La secuencia de medidas es la descrita en 4.2.1, a continuación se muestra

el mapa de modos espaciales medido en ambas piezas.

Figura 4.4.3.1 Diagramas de frecuencia espacial – frecuencia temporal. La figura superior corresponde a

la pieza 1 “lisa” mientras que la inferior corresponde a la pieza 2 “rugosa”.

Aquí puede verse la diferencia entre la respuesta de la [pieza 1] y la [pieza 2]. La [pieza 1]

tiene una mayor localización de los modos de vibración, mientras que en la [pieza 2] estos

modos se distribuyen de un modo mas difuso fundamentalmente en la zona de alta frecuencia

(1.4MHz - 1.8MHz), esto indica la aparición de nuevos modos en la [pieza 2]. En baja

frecuencia se observa que el cono definido en el diagrama frecuencia espacial – frecuencia

temporal es mas notorio en la [pieza 1] que en la [pieza 2], esto indica mas frecuencias

espaciales para una misma frecuencia temporal en la [pieza 2]. En resumen se observa un

aumento de los modos de vibración tanto espaciales como temporales en la [pieza 2] frente a

la [pieza 1].

Para evaluar como varia la distribución de modos observamos el diagrama de suma de modos

contra velocidades

Índice


149

Figura 4.4.3.2. Mapas de velocidad. La curva azul con “*” corresponde a la [pieza 1] “lisa” mientras

que la curva negra con “” corresponde a [pieza 2] “rugosa”.

Aquí se observa una distribución mas homogénea de las velocidades en la curva

correspondiente a la [pieza 2] frente a la [pieza 1]. Lo interesante de ver en este diagrama es

que los picos para una velocidad fija son menos marcados en la [pieza 2] comparados con la

[pieza 1], esto puede interpretarse como una distribución mas homogénea de los modos

espaciales.

Para evaluar cuantitativamente el peso relativo de los modos espaciales se grafica su suma

normalizada

Figura 4.4.3.3. Promedio de armónicos espaciales. La curva azul con “*” corresponde a la [pieza 2]

“lisa” mientras que la curva negra con “” corresponde a [pieza 2] “rugosa”.

Aquí se observa nuevamente la mayor homogeneidad (menor diferencia relativa) entre los

modos espaciales en el caso de la palca rugosa respecto a la lisa. El índice en este caso vale 0.8 mostrando una mayor homogeneidad de los modos espaciales.

Índice


150

4.4.4 Influencia en la focalización espacio-temporal.

Evaluaremos ahora las diferencias en al focalización espacial para las dos placas. Para ello se

realizan dos series de medidas, una a partir de la función de transferencia y otra utilizando

directamente la focalización en la inversión temporal.

Para la mediada a partir de la función de transferencia se utilizan los datos obtenidos a partir

del SAS (ver 3.1), y que son los graficados en la figura 4.4.2.1. Se tiene la transferencia

electromecánica H(r,) para una línea de puntos sobre la superficie. A partir de esto se realiza

el producto H(r0,). H*(r0,) y la inversión numérica con el algoritmo ifft. Esto nos da la

señal focalizada en el tiempo, obtenida numéricamente, que se espera en el primero punto de

la serie punto r0.

Luego se realiza el producto y posterior inversión numérica para los puntos restantes

H(r0,). H*(ri,), este proceso tiene la parte de identificación del sistema en el dominio de la frecuencia y posteriormente el calculo numérico del foco espacial.

La siguiente figura muestra el resultado obtenido para ambas piezas en la medida de

focalización por función de transferencia. Se toma una ventana de tiempo de 20 s en torno al

foco para determinar el máximo valor de amplitud. Ver 2.1.4.

Figura 4.4.4.1 Foco espacial medido por correlación de las respuestas de frecuencia. La curva azul con

“*” corresponde a la [pieza 1] “lisa” mientras que la curva negra con “” corresponde a [pieza 2] “rugosa”.

Puede observarse que la focalización para la [pieza 2] es mejor desde el punto de vista de

reducción del ancho del foco y de la reducción de los lóbulos laterales.

El calculo realizado a –6 dB nos da 4.44 mm de ancho para la [pieza 2] y 5.21 mm para la

[pieza 1], esto es una reducción del ancho del foco del orden del 15%.

En la [pieza 2] se observan lóbulos laterales, pero muy atenuados y fuera de la banda de –20

dB que se consideró.

Índice


151

La medida se realiza ahora focalizando por inversión temporal en el primer punto (ver 3.2).

Una vez adquirida la señal focalizada, se realiza un barrido espacial y se registra la señal

recibida en los puntos vecinos, aquí se utiliza la misma ventana de 20 s en torno al foco.

Figura 4.4.4.2. Foco espacial medido directamente en la inversión temporal. La curva azul con “*”

corresponde a la [pieza 1] “lisa” mientras que la curva negra con “” corresponde a [pieza 2] “rugosa”.

Aquí puede observarse que la focalización para la [pieza 2] es mejor desde el punto de vista

de reducción del ancho del foco, los lóbulos laterales son equivalentes.

El calculo realizado a –6 dB nos da 3.9 mm de ancho para la [pieza 2] y 4.83 mm para la

pieza 1, esto es una reducción del ancho del foco del orden del 20%. Observe que en este caso

la diferencia en el ancho del foco es mayor que en el calculo mostrado en la figura 4.4.4.1,

esto es debido a que en este caso la señal pasa físicamente dos veces por el filtro de la

cavidad, mientras que antes solo pasa una y la inversión se hace en forma numérica.

Analizaremos ahora el comportamiento temporal de ambas piezas, para ello se muestra un

detalle del pulso focalizado obtenido en ambas experiencias. Se toma una ventana de 10 ms

en torno al foco.

Para dar un resultado cuantitativo se utiliza la relación señal ruido entre el pulso del foco y el

nivel medio de ruido de la señal calculado como

Emedia

señalseñal

rsn

2

2

)min()max(

log20

Los resultados obtenidos son

Medida rsn Pieza 1 [dB] rsn Pieza 2 [dB]

Inversión temporal 44.7 46.8

SAS 41.6 43

Índice


152

La figura muestra la forma del pulso obtenido por ambas técnicas. Puede observarse

directamente que en ambos casos los pulsos en la pieza lisa son de menor amplitud absoluta

que los de la pieza rugosa, ambas figuras están normalizadas por el máximo de la pieza

rugosa, mostrando una reducción de amplitud del orden del 50 % para la pieza lisa.

Se observa además que el pulso esta mas concentrado en el tiempo y es simétrico para la

medida echa por SAS que para la medida de inversión temporal, esto es evidente debido a que

en el caso del SAS la inversión es numérica lo que impone la fase temporal en el origen

independientemente de la medida. Podemos decir que el resultado del SAS es el máximo

esperable si ninguna fase esta contaminada por errores. La simetría es una propiedad

importante para caracterizar la calidad del foco ya que su rompimiento implica que hay

componentes de frecuencia no que se ponen en fase para el tiempo igual al largo de la señal.

Ver 2.1.5.

Figura 4.4.4.3. Detalle del foco temporal. La figura superior corresponde al cálculo realizado mediante

la inversión numérica de la transformada de Fourier, la figura inferior corresponde al foco medido directamente

en la inversión temporal. La curva azul con corresponde a la [pieza 1]. “lisa” mientras que la curva negra

corresponde a [pieza 2]. “rugosa”.

Índice


153

4.4.5 Otras verificaciones.

Se presenta ahora un nuevo estudio de los modos espaciales realizado en dos piezas con la

siguiente geometría:

[Pieza 3]. Volumen regular de 25 x 25 x 15 mm .

[Pieza 4]. Volumen irregular de 25 x 25 x 15 mm con un arco de 7.5 mm de radio

en un vértice.

Figura 4.4.5.1. Muestras Pieza 3 (derecha), Pieza 4 (izquierda).

Para ambas muestras se realiza un trabajo experimental y una simulación por elementos

finitos. El trabajo experimental es simular al presentado en el punto 4.1.1, mientras que

detalles de la simulación pueden verse en 3.4.1.

Para las simulaciones se utilizó una grilla de 0.5 mm coincidente con el paso utilizado en la

medida eléctrica del SAS.

Se realiza un análisis armónico con el voltaje en la cerámica piezoeléctrica como entrada y se

obtienen los datos de deformación para cada punto. Esto permite comparar directamente los

resultados obtenidos.

Como primer paso se muestra la simulación y medida de los diagramas de frecuencia espacial

vs. frecuencia temporal tanto para la simulación como para la medida. Estos diagramas son

simulares a los obtenidos en la figura 4.4.2.5.

Para graficar estas imágenes se utilizó un filtro espacial que resalta (negro) los valores

mayores que el 50 % del máximo de la imagen y apaga (blanco) el resto.

Es importante destacar que las simulaciones son bidimesionales, en este caso la tercera

dimensión de las piezas vale 15 mm por lo que es grande para considerarla una placa y

pequeña para considerar un medio infinito. Se elige esta segunda opción sabiendo que se trata

de una aproximación gruesa.

Índice


154

Figura 4.4.5.2. Mapas de frecuencia espacial vs. frecuencia temporal para la Pieza 3 (irregular). En la figura

superior se muestra la simulación y el la inferior la medida por SAS.

Debe notarse en la comparación de los patrones de las figuras 4.4.5.2 y 4.4.5.3 que hay una

mayor dispersión de los modos en el caso de la [pieza 3] que en la [pieza 4]. Este resultado es

similar al obtenido en las secciones anteriores.

Figura 4.4.5.3. Mapas de frecuencia espacial vs. frecuencia temporal para la Pieza 4 (regular). En la figura

superior se muestra la simulación y el la inferior la medida por SAS.

Para evaluar cuantitativamente el peso relativo de los modos espaciales se grafica su suma

normalizada:

Índice


155

Figura 4.4.5.4. Promedio de armónicos espaciales. La curva azul con “*” corresponde a la [pieza 3]

“regular” mientras que la curva negra con “” corresponde a [pieza 4] “irregular”.

Puede observarse en la figura 4.4.5.4 que al igual que en el ejemplo anterior la distribución de

modos para la geometría caótica es más homogénea que para el caso regular. Esto permite

esperar una mejor focalización espacio-temporal en la [pieza 4] respecto a la [pieza 3].

Finalmente se muestra el resultado de focalizar espacialmente en ambas piezas:

Figura 4.4.5.5. Foco espacial medido directamente en la inversión temporal. La curva azul con “*”

corresponde a la [pieza 3] “regular” mientras que la curva negra con “” corresponde a [pieza 4] “irregular”.

Observe en la figura 4.4.5.5 que el ancho del foco medido al 50 % de la amplitud, es

aproximadamente el doble para la pieza regular respecto a la pieza irregular.

Índice


156

4.4.6 Conclusiones.

Se implemento una técnica experimental basada en el SAS que permite medir el patrón de

modos espaciales y realizar mapas de frecuencia espacial vs. frecuencia temporal.

Esta información permite evaluar los cambios en el número de modos introducidos en una

determinada geometría por ejemplo al agregar rugosidad a las caras de la cavidad.

A partir de estos datos se construyen diagramas que muestran la distribución de velocidades,

llamamos una velocidad a la pendiente de una recta que pasa por el origen en el diagrama

frecuencia espacial vs. frecuencia temporal, ver Eq. 4.4.2.1.

Se muestra el resultado en dos casos que comparan piezas regulares con piezas donde se

introducen factores que enriquecen el espectro espacial, primero rugosidad y luego un arco

sobre una de las caras.

En ambos casos se verifica que mejora tanto la focalización espacial como la temporal de

acuerdo con las ideas presentadas en 2.1.

Los trabajos teóricos y experimentales sobre el comportamiento de los modos espaciales son

pioneros en esta área, en este punto están trabajando los grupos de punta en el tema.

Hasta el momento no hay un modelo teórico que incluya la propagación de ondas en la

cavidad que permita evaluar estos factores. El modelo del Dr. Montaldo que se presento en

2.1.8, es una primera aproximación al tema que considera las cavidades independientes de la

forma de los bordes y solo cuenta su volumen.

Puede decirse a nivel de entrada-salida el problema esta bien comprendido pero falta modelar

el comportamiento interno que incluya al propagación y transmisión de energía al medio.

Índice


157

4.5 Medida de la rugosidad superficial.

En este punto se presenta un resumen de los trabajos realizados para la caracterización de la

rugosidad superficial. En la primera parte se resume el trabajo “Medida de la rugosidad

superficial en piezas mediante transductores de aire” [Pérez 2005/2]. En el se evalúan los

resultados obtenidos en la medida de la rugosidad superficial en piezas mediante

transductores de aire especialmente realizados para Ensayos No Destructivos [NDT].

El enfoque de las medidas realizadas es para realizar aplicaciones de ensayos no destructivos.

Por ello además de la verificación del modelo teórico, ver 2.2.3, se hace la introducción del

trabajo con transductores de aire, estos están construidos con cerámicas composites

piezoeléctricos adaptados al aire mediante materiales de alta porosidad. Fueron realizados en

el Instituto de Acústica de Madrid por el Dr. Francisco Montero de Espinosa.

Se incluye además el resultado de los trabajos realizados para la monografía del curso de

acusto-óptica correspondiente al plan de estudios del doctorado “Estudio Acusto-Óptico del

Efecto de la Rugosidad Superficial en el Scattering de Ondas Ultrasonoras”, se trabaja con

estos resultados para realizar una publicación junto con el Dr. Ismael Nuñez.

En ambos trabajos se mide la rugosidad superficial de un conjunto de muestras con

características que van desde hierros sometidos a la corrosión hasta piedras de amolar de uso

comercial, comparándose estos resultados a los obtenidos con transductores de inmersión y

con las medias acusto-ópticas.

4.5.1 Medida de rugosidad con transductores de aire para NDT

Durante la última década se ha incrementado el uso de los transductores de ultrasonido

acoplados por aire para los ensayos no destructivos a escala industrial. Con el diseño de

transductores especializados y el equipo adecuado pueden realizarse un gran número de

ensayos en los que el uso de acoplantes líquidos es incompatible o hace lenta y difícil la

medida. Aunque originalmente esta técnica fue concebida para materiales compuestos

aeroespaciales, las aplicaciones se han extendido a una gama muy amplia de materiales donde

los métodos de NDT tradicionales son de difícil aplicación. El hecho de que el aire sea el

medio acoplante entre el transductor y la muestra a evaluar, trae aparejados dos problemas:

una gran diferencia de impedancias acústicas y una gran absorción del ultrasonido en el aire.

Para materiales utilizados habitualmente en NDT la impedancia acústica varía cinco órdenes

de magnitud.

Z [Mrayl]

Aire 0.00042

Agua 15

Aluminio 17

Acero 45

Tabla 4.5.2.1. Impedancia acústica específica de materiales usados en NDT con acoplamiento en aire

Índice


158

La energía acústica transmitida entre dos medios de impedancias Z1 y Z2 es:

221

214

ZZ

ZZT

Eq. 4.5.1.1

Si por ejemplo, un pulso de ultrasonido incide desde el agua a una superficie de aluminio, se

le transmite el 30 % de la energía. Si el pulso incide desde el aire sólo el 0.01 % de la energía

es transmitida. Este hecho es una de las grandes dificultades en el uso de los transductores

acoplados por aire y una de razones por la que debe optimizarse el diseño físico del

transductor.

El segundo problema mencionado es la gran absorción del ultrasonido en el aire, este efecto

aumenta con la frecuencia y limita el rango de aplicación de la técnica. Existe pues, un

compromiso entre frecuencia y distancia a utilizar.

En el presente trabajo se han utilizado transductores acoplados por aire especialmente

diseñados, con una frecuencia central de 850 kHz. Los transductores están basados en

piezocomposites 1-3 sin sección de amortiguamiento y con dos capas de adaptación a cuarto

de longitud de onda. Las capas, una de ellas realizada con material microporoso, han sido

fabricadas para lograr unas pérdidas de inserción que llegan a menos de –20 dB con

acoplamiento a 1 M - ver figura 4.5.1- .

En la figura 4.5.2 se muestra una imagen de los transductores usados. Dado que las pérdidas

de inserción se han realizado utilizando dos transductores enfrentados 8 mm en aire, puede

observarse un rizado con las resonancias asociadas a dicha columna de aire. La medida se

realizó con el analizador de impedancias HP 4152.

0,0 2,0x105

4,0x105

6,0x105

8,0x105

1,0x106

1,2x106

1,4x106

1,6x106

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0 pérdidas de inserción 1M

pérdidas de inserción 50

Mó

du

lo d

e p

érd

idas d

e in

se

rció

n d

B

Frecuencia Hz

Figura 4.5.1.1. Pérdidas de Inserción de los transductores usados en este trabajo. El rizado observado en las

gráficas es debido a las resonancias del camino acústico entre los transductores.

Índice


159

Figura 4.5.1.2. Fotografía de los dos transductores usados en el trabajo, observe la terminación con conectores

BNC para su uso en campo.

La alta eficiencia de estos transductores los hace adecuados para la determinación de la

rugosidad superficial a través del análisis de la medida de la señal reflejada en la interfaz aire-

superficie rugosa, parámetro de fundamental importancia en la determinación del acabado de

piezas, control de calidad en líneas de producción y el mantenimiento predictivo. Es frecuente

que las fallas en piezas mecánicas comiencen en la superficie, el origen puede ser un defecto

aislado de fabricación o provocado por la corrosión superficial, por lo que la medida directa

de la rugosidad de la superficie ayuda al mantenimiento predictivo. Por otra parte en el

control de calidad de acabado de piezas la rugosidad suele ser un parámetro relevante,

tradicionalmente se evalúa con una pluma utilizando el contacto directo al deslizar la pluma

sobre la superficie, sin embargo este procedimiento puede hacer más lenta la línea de

producción e incluso producir marcas en las piezas a evaluar.

Es por esto que las técnicas ultrasónicas se presentan como una buena alternativa para la

determinación de la rugosidad en escala industrial. En particular los transductores ultrasónicos

acoplados por aire permiten resolver problemas de control en línea que resultan

impracticables utilizando acoplantes líquidos.

4.5.2 Resultados experimentales de la medida con transductores de aire

Los resultados experimentales presentados en este trabajo son tres, primero la caracterización

del transductor de aire por medio de la respuesta acustoeléctrica, segundo el ensayo de una

familia de superficies rugosas utilizando el transductor de aire y tercero verificación del

resultado utilizando un transductor comercial de inmersión.

La emisión y recepción de señales ultrasónicas se realiza con un equipo de NDT comercial

Sonic FTS Mark IV, para la digitalización se utiliza un osciloscopio HP54600 de 100 MHz.

Índice


160

Respuesta acustoeléctrica.

La respuesta acustoeléctrica [RAE] se obtiene a partir del esquema siguiente donde la

superficie emisora y la superficie reflectora son paralelas.

Figura 4.5.2.1. Esquema experimental para la obtención de la respuesta acustoeléctrica

La señal recibida y puede interpretarse como el producto de varios factores :

vHrHdHey Eq. 4.5.2.1

He es la función de transferencia en emisión del transductor, Hd es la respuesta impulsional

de difracción, Hr es la transferencia en recepción y v la señal eléctrica de excitación. Al ser

paralelos plano reflector y superficie del transductor, la respuesta en difracción Hd es una

constante que depende de la distancia entre ambos. La respuesta acustoeléctrica emisión –

recepción es HeHd, por lo tanto proporcional a y.

Figura 4.5.2.2. Ejemplo de señal y recibida

Índice


161

Figura 4.5.2.3. Espectro de frecuencias de la señal y recibida .Frecuencia de muestreo 10MHz.

La figura 4.5.2.3 muestra el espectro de frecuencias obtenido para evaluar la respuesta

acustoeléctrica.

El ancho de banda del transductor está entre 560- 900 kHz. Tomamos como frecuencia central

de la emisión 850 kHz.

Medidas de rugosidad.

Para las medias de rugosidad se seleccionó una familia de muestras que varían su rugosidad

en forma aproximadamente lineal desde valores próximos a 0 hasta unos 120 m. En la

siguiente tabla se describen las muestras y se da un valor de rugosidad medido por métodos de

contacto.

Índice Descripción Rugosidad [m]

1 Placa de vidrio 0

2 Metal con corrosión débil 17

3 Metal con corrosión media 34

4 Piedra de pulir fina 51

5 Piedra de pulir media 68

6 Piedra de pulir gruesa 86

7 Piedra de amolar fina 103

8 Piedra de amolar gruesa 120

Tabla 4.5.2.1. Familia de muestras para ensayos.

Índice


162

Para la realización de cada ensayo se realiza un barrido de 5 x 5 pasos separados 1 mm cada

uno sobre la superficie. En cada paso se registra el valor máximo de la señal almacenándolo

en una matriz, se asigna como valor de la medida el promedio de la matriz y como cota del

error su desviación estándar.

La figura 4.5.2.4 muestra el resultado obtenido utilizando el transductor de aire, en ella se

muestra la amplitud normalizada en función del número de muestra. La normalización se

realiza dividiendo toda la serie por el primer valor correspondiente a la superficie lisa.

Figura 4.5.2.4. Amplitud normalizada medida para el transductor de aire. La amplitud del eco disminuye con la

rugosidad.

A continuación se ajustan los datos utilizando el modelo de Kirchoff suponiendo que la

reflexión incoherente es despreciable, seguramente esta aproximación es pobre para las

muestras de mayor rugosidad pero es un método rápido de caracterización frecuentemente

utilizado en NDT debido a su simplicidad.

Invirtiendo el modelo de Kirchoff y se obtienen los valores de rugosidad correspondientes.

La formula de inversión es:

2

0

2

2

ln

I

Ic

Rrms Eq. 4.5.2.2

El cociente 0I

I es el que se muestra en la figura 4.5.2.5, donde , la frecuencia angular, vale

aproximadamente 4.6 Mrad/s y la velocidad c = 340 m/s.

Índice


163

Figura 4.5.2.5. Ajuste de la rugosidad medida utilizando el modelo de Kirchoff.

A continuación se muestra el resultado de repetir la experiencia para un transductor comercial

de inmersión. Como medio de transmisión se utiliza agua con c = 1500 m/s.

El transductor empleado en este caso es un Panametrics tipo V de 5 MHz debido a que

presenta una longitud de onda comparable al transductor de aire de 850 kHz.

mmagua

mmaire

3.05000000

1500

4.0850000

340

La longitud de onda en el agua es menor que en aire lo que hace más pesado el error al

despreciar el término incoherente.

Puede observarse esto directamente en la figura 4.5.2.6. Para las muestras más rugosas la

medidas son poco sensibles y las muestras 5 – 6 y 7 – 8 dan resultados muy similares.

Índice


164

Figura 4.5.2.6. Amplitud normalizada medida para el transductor de agua.

El ajuste con el modelo de Kirchoff se muestra en la figura 4.5.2.7. Obsérvese que los valores

mencionados para altas rugosidades dan puntos casi iguales en la escala de rugosidad.

Figura 4.5.2.7.- Ajuste de la rugosidad medida utilizando el modelo de Kirchoff.

Finalmente, en la figura 4.5.2.8, se muestran los resultados de las predicciones realizadas en

aire junto con las correspondientes a las medidas realizadas en agua. Dichas predicciones se

comparan con las medidas realizadas con rugosímetro de contacto. Puede apreciarse cómo son

las del transductor acoplado en aire las más precisas. La razón puede justificarse por la

diferencia de longitud de onda y por la distinta relación de impedancias medio-muestra.

Índice


165

En este trabajo se muestra la viabilidad de usar transductores ultrasónicos acoplados a aire

para la medida de rugosidad de superficies. La comparación con la medida con transductores

en inmersión es muy positiva.

Este método permite la caracterización de conductos sin tener que utilizar líquidos como

acoplante, lo que abre este tipo de medidas a aplicaciones y materiales hasta ahora

inexplorados.

Figura 4.5.2.8.- Rugosidad medida en aire ‘*’ y rugosidad medida en agua ‘o’. La línea gris continua muestra la

rugosidad estimada por contacto para cada muestra.

Índice


166

4.5.3 Estudio acusto-óptico de la rugosidad superficial.

En este capitulo se presentan los resultados experimentales obtenidos en la medida acusto-

óptica de la rugosidad superficial. Todas las medidas se realizan en modo pulsado con el

montaje descrito en el capítulo 2.4 y utilizando la técnica del campo oscuro que se detalla en

3.5.

Para el trabajo experimental se utilizo el mismo conjunto de piezas que en el apartado

anterior, además se agrega una pieza con periodicidad 1.5 mm. Se presenta un resumen de los

resultados con piezas numeradas de la siguiente forma:

Pieza 1 Plano de acero liso (relector ideal)

Pieza 2 Hierro sometido a corrosión

Pieza 4 Pieza de aluminio tallada periódica fina.

Figura 4.5.3.1: Piezas periódicas. En la tesis se muestra el resultado obtenido en el caso de la

periodicidad fina (derecha) de 3 mm de paso.

Índice


167

Series temporales Se mide una serie temporal para cada pieza de duración total 80 s, esto corresponde a un vuelo de 60 mm ida y vuelta desde el transductor a la pieza. Cada imagen se encuentra

espaciada 10 s correspondientes a unos 15 mm. El plano reflector se encuentra en la posición

de la foto correspondiente al tiempo 60 s, esta foto es tomada inmediatamente después del rebote.

Figura 4.5.3.2. Serie temporal para la pieza 1 (lisa). Observe los ecos provenientes de la pared

posterior de la pieza luego del rebote.

Figura 4.5.2.3. Serie temporal para la pieza 2 (Hierro rugoso).

Índice


168

Figura 4.5.3.4. Serie temporal para la pieza 4 (Periódica fina).

4.5.4 Estudio de periodicidad espacial. En este punto se estudiara la posibilidad de detectar estructuras espaciales, en particular

periodicidad, a partir de las imágenes obtenidas. Hasta el momento no se encontró referencias

a trabajos similares por lo que se supone que se trata de un resultado original.

Para ello se realizara un estudio comparativo entre la pieza 1 (lisa) y la pieza 4 (periódica

fina)

La imagen utilizada para extraer la información espacial es la obtenida inmediatamente

después del rebote, para evitar los efectos de la difracción que producen una perdida de

información espacial. Esta imágenes corresponden a las marcadas con 60 s en la secuencia

presentada en el 4.5.3.

Figura 4.5.4.1. Imagen del pulso para la pieza 1 y la pieza 4. Corresponden al instante inmediato posterior al

rebote. Note la periodicidad en la pieza 4. El plano reflector se encuentra en el borde izquierdo de cada imagen.

Índice


169

Figura 4.5.4.2. Suma de las columnas de la matriz. En ambas imágenes existen dos pulsos claramente

definidos. La distancia es medida a partir de la posición del plano reflector y los pulsos viajan de izquierda a

derecha. La escala es arbitraria y corresponde a la escala de inmensidad de la foto integrada en el número de

puntos considerado.

En la figura 4.5.4.2. se observan los dos pulsos de cada imagen sumados por columnas. Si se

observa la imagen original, figura 4.5.4.1, los puntos en el caso periódico aparecen difusos,

por ello se suman las columnas y aparecen claramente los frentes de onda. La distancia

corresponde a distancia entre el plano reflector y el punto donde se encuentra el pulso para el

tiempo 60 s. Esta información es semejante a la obtenida con el transductor en el tiempo. Sin

embargo ambas señales son cualitativamente diferentes:

La pieza 1 presenta dos picos debido a que la gran reflexión de la superficie permite ver toda la señal emitida por el transductor, incluso para tiempos posteriores aparecen

otros picos debidos a los rebotes contra el fondo de la pieza.

La pieza 4 muestra dos picos tambien, pero estos se deben a la presencia de ranuras

sobre la superficie, la distancia medida entre ellos permite estimar el tamaño de la

huella en 1.25 mm aproximadamente, dado que el pulso se retrasa el doble que la

separación entre picos. La profundidad de la huella medida directamente es 1.5 mm.

A continuación se analizara la información espacial de estos picos. Para ello comenzamos con

la pieza 4 (periódica) y se realiza un estudio de la suma de las señales correspondientes a cada

pico. Esto es se suman las filas pertenecientes a la banda de 0 – 2.5 mm (pico 1) y luego en la

banda de 2.5 – 5 mm (pico 2).

La siguiente figura aclara como es el proceso de suma por filas. Los frentes de onda

correspondientes a cada plano de la superficie están formados por varios puntos en distintas

columnas. Puede reconocerse que pertenecen a un mismo frente, pero el frente tiene un ancho

apreciable que lo distribuye entre varias columnas. Si se toma cada columna individualmente

la información queda muy disminuida en el ruido de la medida, por ello se hace la suma de las

columnas correspondientes a un pico. Este proceso se muestra gráficamente en la figura

4.5.4.3.

Índice


170

Figura 4.5.4.3. Esquema de suma por picos.

En la figura 4.5.4.4 puede observarse la señal sumada para cada pico. Obsérvese que hay un

desfasaje entre la señal proveniente del primer pico con el segundo, esto es consistente con

que un pico proviene del frente y el otro de la parte posterior de la huella. El pico 2

proveniente del frente como es de esperar tiene mayor amplitud.

Figura 4.5.4.4. Pulsos para la pieza 4. En la figura superior el pulso 1 corresponde al fundo de la huella,

mientras que en la figura inferior el pulso 2 corresponde al frente de la huella. Observe el desfasaje entre ambos

pulsos.

Índice


171

A continuación se estudia el espectro de frecuencias para ambos pulsos, se realiza la

transformada de Fourier espacial y se identifica la frecuencia fundamental contenida en la

señal. Debido a la baja resolución espacial dada por los píxeles de la imagen, la estimación de

la frecuencia espacial es muy gruesa, los números indicados son aproximados a máximo del

pico.

Figura 4.5.4.5. Pulso 1 y su espectro espacial para la pieza 4. El pulso 1 es el debido al fondo de la huella y

llega al transductor mas tarde. En el espectro se observan frecuencias espaciales marcadas.

Figura 4.5.4.6. Pulso 2 y su espectro espacial para la pieza 4. El pulso 2 es el debido al frente de la huella y

llega al transductor primero. En el espectro se observan aproximadamente las mismas frecuencias espaciales que

en el pico anterior.

Índice


172

Se analiza la señal de la pieza 1 (lisa). En esta pieza se observan tambien dos pulsos, pero

correspondientes a dos frentes de onda consecutivos.

Figura 4.5.4.7. Pulsos para la pieza 1. En la figura superior el pulso 1 corresponde al frente de onda principal

del modo pisotón, mientras que el en la figura inferior el pulso 2 corresponde a un frente secundario. Observe

que no hay periodicidad espacial marcada.

Figura 4.5.4.8. Pulso 1 y su espectro espacial para la pieza 1. El pulso 1 es la onda plana principal generada

por el transductor. En el espectro no se observan frecuencias espaciales, las frecuencias inferiores a 500 m-1

corresponde al ancho espacial del pulso completo.

Índice


173

Para comparar con una pieza de rugosidad aleatoria se muestra el análisis para la pieza 2

(hierro sometido a corrosión).

Figura 4.5.4.9. Imagen del pulso para la pieza 2. Se observa un único pulso reflejado donde el frente de onda

es irregular.

Figura 4.5.4.10. Espectro espacial para el pulso de la pieza 2. Se observa que las frecuencias se distribuyen

sobre el rango de 1 – 2.5 Km-1

.

Índice


174

4.5.5 Conclusiones.

En la primera parte del trabajo se muestra la viabilidad de usar transductores ultrasónicos

acoplados a aire para la medida de rugosidad de superficies. La comparación con la medida

con transductores en inmersión es muy positiva.

Este método permite la caracterización de conductos sin tener que utilizar líquidos como

acoplante, lo que abre este tipo de medidas a aplicaciones y materiales hasta ahora

inexplorados.

Se verifico la validez del modelo de Kirchoff para estimar rugosidades superficiales para el

caso de distribuciones gaussianas en la superficie.

En la medida acusto-óptica se investigó un método para caracterizar la rugosidad no solo

utilizando el valor rms sino estimando las componentes espaciales. La acusto-óptica permite

obtener este resultado en una única imagen lo que presenta una gran ventaja frente a las

técnicas tradicionales de ultrasonido.

Este resultado se encuentra original y se esta trabajando para su publicación.

Índice


175

CAPITULO 5.

CONCLUSIONES En este capítulo se resumen los trabajos mas relevantes realizados durante el doctorado, las

conclusiones generales y los futuros trabajos que se plantean luego de la tesis.

En esta tesis se resume la teoría de la focalización por inversión temporal desde el punto de

vista de los sistemas dinámicos. La teoría se plantea para el estudio de focalización en

cavidades sólidas, pero es fácilmente adaptable a otras situaciones como medios aberrantes o

multidifusores.

Se describen las experiencias y simulaciones al detalle. Puesto que todo el trabajo

experimental y numérico fue desarrollado en nuestro laboratorio, esto permitirá que otros

investigadores puedan continuar con el trabajo iniciado

Finalmente de describen algunas experiencias puntuales que apoyan la teoría presentada.

5.1 Resumen de resultados.

A mi entender en la teoría presentada en la tesis se llega al estado del arte, presentando

algunos planteos originales que representan aportes teóricos al tema. A saber:

Estudio de la focalización espacial y su identificación con la correlación temporal cruzada entre diferentes posiciones del espacio. Esta tesis clarifica tanto teórica como

experimentalmente la diferencia entre la focalización temporal y la focalización

espacial en el proceso de inversión temporal. Mientras que la inversión temporal

impone la focalización en el tiempo al ajustar todas la fases temporales, la focalización

espacial es una consecuencia que depende de cómo se correlacionan las diferentes

respuestas de frecuencia para cada punto. Esto es la focalización espacial depende de

la geometría y las propiedades del medio.

Influencia de los errores de identificación en la focalización espacio-temporal. Se hace un estudio detallado de la influencia de los errores en amplitud, fase, perdida de

linealidad y perdida de la invariancia en el tiempo.

Importancia de la simetría de la señal temporal en trono al tiempo cero en la calidad de la focalización por inversión temporal. Este punto fue incorporado en el cuerpo de la

tesis luego de un intercambio de ideas sobre resultados experimentales obtenidos por

el Dr. Francisco Montero de Espinosa del Instituto de Acústica de Madrid.

Factores que determinan la importancia de la identificación en el dominio de la

frecuencia. Este punto es complementario al trabajo experimental donde se obtiene la

identificación del sistema en el proceso llamado FDTR.

Importancia del determinismo entrada – salida en la dinámica del sistema y el porqué de la denominación de “caóticas” a las cavidades irregulares. Este punto permanece

abierto y presenta un camino para el estudio del llamado caos ondulatorio.

Índice


176

En cuanto al trabajo experimental de base podemos destacar:

Se deja una documentación detallada sobre cada técnica experimental que permitirá a

otros investigadores retomar el tema. Se detalla el setup, las configuraciones de los

equipos, los procedimientos y los segmentos mas representativos del software.

Se implemento en el laboratorio el montaje experimental para realizar la inversión temporal con un canal utilizando equipos estándar de laboratorio.

Se implemento la técnica de inversión temporal identificando el sistema en el dominio de la frecuencia FDTR. Este es un aporte original de la tesis que presenta una

alternativa para mejorar el proceso. La técnica es tecnológicamente simple y permite

mejorar la respuesta de maquinas de inversión temporal en modo de transmisión.

Frente al problema del costo asociado a identificar el sistema en frecuencias podemos

decir que actualmente existen en el mercado dispositivos electrónicos que permiten la

implementación de esta técnica sin aumentar el costo de una maquina de inversión

temporal tradicional en forma sensible.

En simulaciones por elementos finitos los principales resultados logrados son:

Se deja documentación detallada de cada simulación y de los programas asociados que

permiten generar nuevas simulaciones. Estos programas incluyen los parámetros del

ANSYS y los programas Matlab necesarios para importar dichos datos.

Se realizo el proceso de inversión completamente en FEM.

Se calcularon los modos espaciales en la superficie de una pieza sólida y se calculó el mapa de modos espaciales vs. modos temporales.

Se calculó para el interior de una cavidad sólida la distribución de modos de corte y modos de compresión. Esta simulación presenta una primera validación para el

modelo presentado de rayos en una cavidad presentado en el capítulo 2.

En cuanto a las aplicaciones puntuales podemos destacar:

Se han realizado numerosos ensayos que muestran que tanto la focalización espacial

como la temporal son mejores o iguales cuando se realiza la FDTR comparadas con

la inversión temporal tradicional TTR. Esto dio lugar a un trabajo que se encuentra en

evaluación.

Se presento un modelo físico para la focalización en cavidades acústicas caóticas en trabajo conjunto con el Dr. Gabriel Montaldo. El modelo asume que la radiación en el

interior de la cavidad es incoherente e isotrópica con equipartición de la energía entre

los modos longitudinales y de corte.

Las verificaciones numéricas por elementos finitos, que permiten validar las hipótesis

físicas del modelo, fueron totalmente implementadas durante el desarrollo de la tesis.

El calculo de la correlación espacial para los puntos de la superficie en el modelo

incluye el coeficiente de transmisión en el interfase sólido-fluido. Se muestra que esta

correlación es la amplitud del foco obtenido el la inversión temporal.

Índice


177

Se discute la forma del coeficiente de transmisión sólido-fluido que presenta ángulos

críticos para las ondas de compresión y corte. Estos ángulos producen un filtrado de

las altas frecuencias espaciales que limita la focalización.

Experimentalmente se muestra que este efecto puede reducirse introduciendo

interfases rugosas, se midió una mejora del orden del 35 % en el ancho del foco para

estas superficies rugosas comparadas con las lisas.

Se investigó la influencia de la rugosidad en la focalización de ultrasonido por

inversión temporal en cavidades. En un trabajo presentado en el IEEE 2005 Ultrasonic

Symposium se realizo el primer estudio sistemático de la influencia de la rugosidad en

la focalización espacio-temporal por inversión temporal.

En particular se intentó estudiar el efecto de la rugosidad en el coeficiente de

transmisión sólido – fluido y como este afecta dicha focalización. Estos primeros

resultados muestran una mejora en la focalización espacio temporal de la piezas

rugosas con respecto a la pieza lisa. Esta mejora se interpreta físicamente de la

siguiente forma: la superficie rugosa permite pasar frecuencias mas altas en la

interfase mejorando la focalización temporal. En cuanto a la focalización espacial se

verifica la hipótesis de que mayores rugosidades decorrelacionan la repuesta al

impulso para los puntos vecinos mejorando dicha focalización.

Se realizó un estudio experimental detallado sobre la distribución de modos espaciales y su dependencia con las condiciones de borde de la cavidad. Este estudio es

completamente original y muestra que el modelo de rayos presentado en el capítulo 2

es una primera aproximación al problema ya que no considera las condiciones de

borde. A mi entender la obtención de estos resultados experimentales dan lugar a uno

de los principales aportes teóricos de la tesis.

Los resultados muestran claramente el aumento de la relación señal ruido en la

focalización temporal y la disminución del ancho espacial del foco cuando se

comparan piezas regulares con piezas donde se introducen defectos en el borde.

En este momento trabajamos con estos datos para la realización de una publicación.

Se realizaron medidas adicionales de rugosidad superficial. Al ser uno de los objetivos primarios del trabajo la determinación de la rugosidad superficial se avanzo en esta

dirección por varios frentes. Se presentan dos resultados interesantes como son la

medida de rugosidad utilizando transductores de aire y la medida acusto-óptica de la

rugosidad.

El primer caso dio lugar a una publicación en la Revista Española de Ensayos No

Destructivos, mientras que en el segundo se llegó a un resultado que pensamos es

original. La determinación del patrón espacial de rugosidad de una superficie en una

imagen acusto-óptica, permite utilizar dicho resultado tanto en ensayos no destructivos

como para caracterizar la superficie para su uso en sistemas de inversión temporal. Se

trabaja junto al Dr. Ismael Núñez para publicarlo.

Índice


178

5.2 Focalización espacio-temporal por inversión temporal en

cavidades acústicas.

Lamamos cavidad acústica al conjunto transductor que emite ondas mas el medio físico donde

estas se propagan. Esta cavidad actúa como un filtro que transforma las señales aplicadas en

deformación de la superficie. La salida del filtro se toma en un punto particular donde se mide

dicha deformación utilizando un hidrófono inicialmente puntual.

De esta forma nuestro sistema tiene entrada eléctrica en bornes del amplificador que excita la

cerámica piezoeléctrica de la cavidad y salida eléctrica en bornes del amplificador del

hidrófono.

Este filtro se supone con las siguientes características

Lineal

Invariante en el tiempo

Determinista

Propagación ondulatoria

Para que la focalización por inversión temporal pueda realizarse físicamente es necesario que

el sistema propague ondas.

Queda completamente determinada su dinámica por la respuesta al impulso trh , o la función

de transferencia ,rH , donde r identifica el punto de la superficie que se toma como salida

del filtro.

El proceso que llamamos de inversión temporal consiste en identificar la función de

transferencia, conjugarla ,* rH y reenviar la señal temporal correspondiente tTrh , . Lo

que hacemos es elegir una señal de fase optima para focalizar en un determinado instante de

tiempo Tt .

Aquí vemos que la focalización temporal queda impuesta por el proceso de inversión que

anula las fases.

La focalización espacial tiene una naturaleza bien diferente, aunque puede pensarse como

suma de armónicos espaciales en un punto de la superficie sus fases no son impuestas por el

proceso. El comportamiento espacial queda totalmente determinado por la correlación de las

funciones de transferencia entre puntos vecinos, se demostró que se trata de la correlación

temporal cruzada entre diferentes puntos del espacio.

Quedan abiertas las siguientes cuestiones:

Realizar un modelo físico que incluya el efecto de los bordes de la cavidad. Sin este aspecto se pierde la física esencial de la focalización espacial.

Determinar que porción de la energía que se entrega al sistema es efectivamente invertible. Cuando se identifica el sistema una parte de la señal se porta en forma

determinista y otra aleatoria, desapareciendo en un promedio de ensamble entre

diferentes adquisiciones. Es un punto teóricamente importante determinar la

dependencia del porcentaje de energía determinista con la geometría de la superficie.

Índice


179

Evaluar el criterio de simetría de la señal focalizada para determinar que modos de la

cavidad son efectivamente identificables. Esto permitiría reducir la información

necesaria para invertir la señal, fijar un criterio para la amplitud de los armónicos en

un proceso del estilo filtro inverso y optimizar el reconocimiento espacial de los

puntos mediante de su respuesta al impulso.

Determinar el numero mínimo de componentes sinusoidales necesarios para una determinada relación señal ruido.

5.3 Futuros trabajos

En cuanto a los futuros trabajos se podemos destacar

Diseño e implementación de una maquina que realice la inversión temporal con identificación en frecuencias.

Diseño e implementación de una maquina modular que realice la inversión temporal

en varias vías.

Continuar los trabajos teóricos y experimentales para levantar las cuestiones planteadas en 5.2.

Implementar la técnica de medida de rugosidad superficial mediante la correlación espacial por inversión temporal.

Profundizar las posibilidades de la acusto-óptica para medir rugosidad superficial.

Continuar con la investigación de la dependencia de la geometría en la focalización

espacial, en particular con la rugosidad superficial, mejorando los aspectos señalados

en 4.3.

Índice


180

GLOSARIO DE TERMINOS Y ABEVIACIONES

[LAU] Laboratorio de Acústica Ultrasonora, perteneciente al Instituto de Física de la

Facultad de Ciencias. Universidad de la República.

[FDTR] Inversión temporal identificando el sistema en el dominio de la frecuencia.

[FEM] Método de simulación por elementos finitos.

[SAS Espectroscopia Acústica de Superficie. Método de relevar la vibración

superficial que permite generar diagramas de frecuencia espacial vs.

frecuencias temporal.

ANSYS Software comercial para simulación por elementos finitos.

Matlab Programa de cálculo numérico de uso general.

IEEE Asociación de Ingenieros eléctricos y electrónicos.

[NDT] Ensayos no destructivos

[LOA] Laboratorie de Ondes et Acustique. Université Paris VI – Pierre et Marie Curie

[TRM] Espejo de inversión temporal. Se trata de un conjunto de transductores que

tienen la capacidad de recepcionar la señal acústica e invertirla en el tiempo

para una región finita.

[LIFO] Ultimo en entrar, primero en salir.

[BW6] Ancho del foco espacial a 6 dB. Corresponde al 50 % de la amplitud máxima.



Fft Transformada rápida de Fourier.

Ifft Inversa de la transformada rápida de Fourier.

Rms Raíz media cuadrática.

Rsn Relación señal – ruido.

Setup Configuración experimental

Cerámica

Índice


181

piezoeléctrica. Dispositivo transductor que produce una deformación en sus caras

proporcional al voltaje eléctrico que se le aplica.

Hidrófono. Transductor que transforma presión en voltaje eléctrico. En este trabajo se

considera puntual.

dB Decibeles. En este trabajo se utilizan decibeles de amplitud que corresponden

al 20 logaritmo en base diez de la magnitud expresada.

A.U. Unidades Arbitrarias.

Bulk Termino utilizado para las ondas de volumen.

Shear Componente de corte.

[Norm] Amplitud normalizada. Se divide entre el valor máximo de la magnitud para

normalizar a uno.

[A.N.] Amplitud normalizada. Se divide entre el valor máximo de la magnitud para

normalizar a uno.

Cavidad

acústica Conjunto transductor que emite ondas mas el medio físico donde estas se

propagan. Esta cavidad actúa como un filtro que transforma las señales

aplicadas en deformación de la superficie.

Inversión

Temporal Operación thth , donde h es la respuesta al impulso del sistema,

independientemente de si las ecuaciones que describen el medio poseen la

simetría tt .

Identificación

Determinación del modelo que representa un determinado sistema o proceso.

Esto consiste en la selección del modelo mismo y los parámetros asociados.

Modo de

Transmisión Consiste en emitir una señal de ultrasonido con un transductor y recepcionar la

señal transmitida a través de un medio con otro diferente.

Modo

Pulso-eco consiste en emitir una señal de ultrasonido con un transductor y recepcionar el

eco con el mismo transductor.

Índice


182

Bibliografia

[Alfaro 2004] D. Alfaro Vigo, J. Fouque, J. Garnier, A. Nachbin. “Robustness of time reversal for

waves in time-dependent random media”. Stochastic Processes and their Applications

113, pp 289– 313, 2004.

[Aubry 2001] J.-F. Aubry, M. Tanter, J. Gerber, J.-L. Thomas, M. Fink. “Optimal focusing by

spatio-temporal inverse filter : Part II. Experiments”. J. Acoust. Soc. Am. 101, pp

48-58, 2001

[Auld 1990] B.A. Auld.. “Acoustic fields and waves in solids”. Krieger Publishing Company,

ISBN 0-89874-783-X. Volume II, second edition 1990

[Bal 2002] G. Bal, G. Papanicolaou, L. Ryzhik, “Self-averaging in time reversal for the

parabolic wave equation”, Stochastics Dynamics 2, pp 507–531, 2002.

[Borcea 2003] L. Borcea, G. Papanicolaou, Ch. Tsogka. “Resolution estimation for imaging and time

reversal in scattering media", Mathematical and Numerical Aspects of Wave

Propagation WAVES 2003, pp. 631-636, 2003.

[Canales 1977] R. Canales Ruiz, R. Barrera Rivera. “Análisis de sistemas dinámicos y control

automático”. Editorial Limusa 1977.

[Carlson 1988] A. B. Carlson. “Sistemas de comunicación”. Editorial Mac Graw-Hill, ISBN 968-

6046-83-6 1988.

[Cassereau 1992] D. Cassereau, M. Fink. “Time-reversal of ultrasonic fields - Part III: theory of the

closed time-reversal cavity”. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelec., Freq. Contr. 39 (5),

pp 579-592, 1992.

[Certon 2001] D Certon, O. Boumatar, J. Guyonvarch, N. Felix, F. Patat. “Characterization

of transducers arrays by laser interferonetry: influence of acoustic-optic interactions

on displacement measurement in water”. IEEE Ultrasonics Symp. pp. 1065-1068

(2001)

[Derode 1997] A. Derode, M. Fink. “Partial coherence of transient ultrasonic fields in anisotropic

random media : application to coherent echo detection”. J. Acoust. Soc. Am. 101 (2),

pp 690-704, 1997.

[Derode 1998] A. Derode, M. Fink. “Correlation length of ultrasonic speckle in anisotropic random

media : Application to coherent echo detection”

J. Acoust. Soc. Am. 103 (1), pp 73-82, 1998.

[Derode 1999] A. Derode, A. Tourin, M. Fink. “Ultrasonic pulse compression with one-bit time

reversal trough multiple scattering”. J. Acoust. Soc. Am. 85 (9), pp 6343-6352, 1999.

[Dieulesaint 1980] E. Dieulesaint, D. Royer. “Elastic waves in solids”. John Wiley & Sons 1980.

[Draeger 1997] C. Draeger, M. Fink. “One-channel time reversal of elastic waves in a chaotic 2D-

silicon cavity”. Physical Review Letters 79 (3), pp 407-410, 1997

[Draeger 1999] C. Draeger, J.-C. Aime, M. Fink. “One-channel time-reversal in chaotic cavities:

Theoretical limits”. J. Acoust. Soc. Am. 105 (2), pp 611-617, 1999.

[Draeger 1999/2] C. Draeger, J.-C. Aime, M. Fink. “One-channel time-reversal in chaotic cavities:

experimental results”. J. Acoust. Soc. Am. 105 (2), pp 618-625, 1999.

[Fink 1992] M. Fink. “Time reversal of ultrasonic fields - Part I: basic principles”. IEEE Trans.

Ultrason., Ferroelec., Freq. Contr. 39 (5), pp 555-566, 1992.

Índice


183

[Ing 1996] R. K. Ing, M. Fink, O. Casula. “Self focusing Rayleigh wave using a time reversal

mirror”. Appl. Phys. Lett. 68 (2), pp 161-163, 1996.

[Ing 1998] R. K. Ing, M. Fink. “Time reversed Lamb waves”. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelec.,

Freq. Contr. 45 (4), pp 1032-1043, 1998.

[Ishimaru 1978] A. Ishimaru. “Wave Propagation and Scattering in Random Media”. Academic Press,

New York, 1978.

[Montaldo 2001] G. Montaldo, P. Roux, A. Derode, C. Negreira, M. Fink. “Generation of very high

pressure pulse with 1-bit time reversal in a solid waveguide” J. Acoust. Soc. Am. 110

(6), pp 2849-2857, 2001.

[Montaldo 2002] G. Montaldo. “Guías de ondas en sólidos heterogéneos. Compresión de energía por

inversión temporal . Aplicación a la litrotipsia”. Tesis doctoral, Universidad de la

República, PEDECIBA-Física. 2002.

[Kino 1987] G.S. Kino “Acoustic waves: Devices, imaging and analog signal processing”.

Prentice-Hall 1987

[Montaldo 2002/2] G. Montaldo, P. Roux, A. Derode, C. Negreira, M. Fink, ”Ultrasonic shock wave

generator using 1-bit time-reversal in a dispersive medium : application to

lithotripsy”, Appl. Phys. Lett. 80 (5), pp 897-899, 2002.

[Montaldo 2004] G. Montaldo, D. Palacio, M. Tanter, M. Fink. “The time reversal kaleidoscope: a new

concept of smart transducers for 3d ultrasonic imaging” Appl. Phys. Lett. 84 (19), pp

3879-3881, 2004

[Montaldo 2006] G.Montaldo, N.Perez, C.Negreira and M. Fink ,” The spatial focusing of time reversal

chaotic cavity:A statistical mode”, Waves in Random Media. En revision.

[Nelly 1993] E. C. Nelli Silva. “Modelagem Vibracional de Transdutores de Ultra-som

Piezelétricos Usando o Método de Elementos Finitos”. Mestre em Engenharia

Universidade de São Paulo. 1993.

[Nuñez 2000] I. Nuñez, R. K. Ing, C. Negreira, M. Fink. “Green Function Based in Modal Analysis

for Lamb Waves Generated in Elastic Plates”. J. Acoust. Soc. Am. 107 (5), pp 2370-

2378,

[Núñez 2000] I.Núñez. “Estudio de ondas de Lamb por técnicas acusto-ópticas. Funciones de

Green e inversión temporal”. Tesis doctoral, Universidad de la República,

PEDECIBA-Física. 2000.

[Ogilvy 1991] J. Ogilvy. “Theory of Wave Scattering From Random Rough Surfaces”. Hilger,

Philadelphia, Pa. 1991

[Oppenheim 1998] A. Oppenheim, A. Willsky. “Señales y sistemas”. Editorial Prentice Hall. ISBN 970-

17-0116-X

[Papoulis 1986] A. Papoulis. “Sistemas digitales y analógicos, transformads de Fourier, estimación

espectral”. Editorial Marcombo, ISBN 84-267-0596-0, 1986

[Parada 1994] C. Prada, M. Fink.” Eigenmodes of the time reversal operator: a solution to selective

focusing in multiple-target media”. Wave Motion 20, pp 151-163, 1994.

[Parada 1994] C. Prada, J. Thomas, M. Fink. “The iterative time reversal process: analysis of the

convergence”. J. Acoust. Soc. Am. 97 (1), pp 62-71, 1995

Índice


184

[Parada 1998] C. Prada, M. Fink. “Separation of interfering acoustic scattered signals using the

invariants of the time-reversal operator. Application to Lamb waves

characterization” J. Acoust. Soc. Am. 104 (2), pp 801-807, 1998.

[Papanicolaou 2004] G. Papanicolaou, L. Ryzhik, K. Solna, “Statistical stability in time reversal",. SIAM

Journal on Applied Mathematics. 64, pp. 1133-1155, 2004.

[Pérez 2002] N. Pérez. “Dinámica de estructuras piezocomposites complejas. Aplicación a

transductores de ultrasonido”. Tesis de Maestria en Física, Universidad de la

República, PEDECIBA-Física. 2002.

[Pérez 2005] N. Pérez, C. Negreira, G. Montaldo, M. Fink. ”Spatial Focalization using Temporal

Inversion in Chaotic Cavities: Influence of Surface Roughness”. 2005 IEEE

International Ultrasonics Symposium. En proceso de impresión.

[Pérez 2005/2] N. Pérez, C. Negreira, F. Montero de Espinosa. “Medida de la rugosidad superficial

en piezas mediante transductores de aire”. Revista Española de Ensayos No

Destructivos. En proceso de impresión.

[Pérez 2005/3] N. Pérez, C. Negreira. “Surface Acoustic Spectroscopy. A simple method to

characterize vibration modes in piezocomposite transducers”. En revisión en

Ultrasonics.

[Pérez 2006] N. Pérez, C. Negreira. “Frequency Domain Time Reversal. Searching the best

Acoustic Focusing”. En revisión en Applied Physics Letters.

[Quieffin 2004] N. Quieffin, S. Catheline, R. K. Ing, M. Fink. “Real-time focusing using an ultrasonic

one channel time-reversal mirror coupled to a solid cavity” J. Acoust. Soc. Am. 115

(5), pp 1955-1960, 2004

[Rose 1999] J. H. Rose, M. Bilgen, P. Roux, M. Fink. “Time-reversal mirrors and rough surfaces:

Theory”. J. Acoust. Soc. Am. 106 (2), pp 716-723, August 1999.

[Rosny 2000] J. de Rosny, A. Tourin, M. Fink. “Coherent Backscattering of an Elastic Wave in a

Chaotic Cavity”. Physical Review Letters 84 (8), pp 1693-1695, 2000

[Rosny 2004] J. de Rosny, A. Tourin, A. Derode, B. Van Tiggelen, M. Fink. “Relation between time

reversal focusing and coherent backscattering in multiple scattering media: A

diagrammatic approach. Physical Review E 046601 (70), pp 046601-1-046601-12,

2004.

[Roux 1999] P. Roux, J. De Rosny, J. H. Rose, M. Fink. “Time-reversal mirrors and rough

surfaces: Experiment”. J. Acoust. Soc. Am. 106 (2), pp 724-732, August 1999.

[Roux 2000] P. Roux, A. Derode, A. Peyre, A. Tourin, M. Fink. “Acoustical imaging through a

multiple scattering medium using a time-reversal mirror” J. Acoust. Soc. Am. 107

(2), pp L7-L12, 2000.

[Royer 1986] D. Royer, E. Dieulessanint “Optical detection of sub-angstrom transient mechanical

displacements.”. IEEE Ultrasonic Proceedings, pp 527-530, (1986).

[Sprik 2004] R. Sprik, A. Tourin. “Time Reversed wave propagation experiments in chaotic micro-

structured cavities” Ultrasonics International 42, p 775, 2004.

[Tanter 2000] M. Tanter, J.L. Thomas, M. Fink. “Time reversal and the inverse filter”. J. Acoust.

Soc. Am. 108 (1), pp 223-234, 2000

[Tanter 2001] M. Tanter, J.-L. Thomas, F. Coulouvrat, M. Fink. “Breaking of time reversal

invariance in non linear acoustics”. Physical Review E 64, p 016602, 2001

Índice


185

[Tanter 2001/2] M. Tanter, J.-F. Aubry, J. Gerber, J.-L. Thomas, M. Fink. “Optimal focusing by

spatio-temporal inverse filter : Part I. Basic principles” J. Acoust. Soc. Am. 101, pp

37-47, 2001

[Weaver 1982] R. L. Weaver, “On diffuse waves in solid media” J. Acoust. Soc. Am. 71, pp 1608-

1609, 1982

[Wu 1992] F. Wu, J. Thomas, M. Fink, ” Time reversal of ultrasonic field - Part II: experimental

results”. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelec., Freq. Contr. 39 (5), pp 567-578, 1992.

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Inversión Temporal de Ondas Ultrasónicas en Cavidades ... · Difracción de la luz por el sonido...

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