Capitulo I: Modelos de Inventarios Probabilstico

Ingenieria Civil Industrial

Profesor : Jos G. Correa RamosProfesor de Matemticas y Fsica

Ingeniero Civil Industrial (MBA-UTFSM)

Modelo Probabilsticos.

En esta seccin se presenta modelos de inventariosdiferentes (de un solo artculo) en los cuales la demanda esprobabilistica.

El criterio bsico de decisin utilizado con modelos deinventario probabilsticos en este captulo es la minimizacinde costos esperados ( o maximizacin del beneficioesperado).

Modelo de Revisin Continua.El modelo probabilstico, el almacenamiento se revisacontinuamente y un pedido de tamao y se coloca cadavez que el nivel de existencia llega a un cierto punto dereorden R.

El objetivo es determinar los valores ptimos de y y Rque minimicen los costos esperados de inventarios porunidad de tiempo.

En la figura que se muestra a continuacin representa lasfluctuaciones de inventario.

Un ciclo se define como el periodo entre dos llegadassucesivas de pedidos.

Las hiptesis del modelo son:

y R y

Tiempo Tiempo de Demora de demora Ciclo 1 Ciclo 2

Supuestos :

1. El tiempo de fabricacin entre la colocacin de unperiodo y su recepcin es estocstico.

2. La demanda que no se satisface durante el tiempo defabricacin se deja pendiente para ser satisfecha enperiodos posteriores.

3. La distribucin de la demanda durante el tiempo defabricacin es independiente del tiempo en el cual estaocurre.

4. No existe ms de un pedido pendiente a la vez.

Sea::)/( txr Funcin de Densidad de Probabilidades condicional

de la demanda X durante el tiempo de fabricacin t,X > 0

S (t) : Funcin Densidad de Probabilidades (f.d.p) defabricacin t, t > 0f (x) : f.d.p absoluta de la demanda X durante el tiempo defabricacin

= dttStxrxf )()/()(

y: Cantidad ordenada por ciclo.

D: Demanda anual total esperada.

H: Costo anual de mantener inventario por unidadP: Costo anual de escasez por unidad.

El costo anual total (CT) para este modelo incluye

EMF CCCCT ++=CF = Costo fijo promedioCM =Costo esperado de mantenimiento de inventarioCE = Costo esperado escacez.

Determinacin del (CF) Costo Fijo Promedio

El costo fijo Promedio est dado por:

K, es el costo fijo por orden.(D/y) es el nmero aproximado de pedidos por ao.

yDKCF =

Determinacin del (CM) Costo Esperado de Mantener Inventarios

Se calcula con base en el nivel de inventario neto esperado al inicio y al final del ciclo.

El nivel esperado al final de un ciclo de inventarios:

( ){ }XRE Al comienzo del ciclo ( justo despus se recibe un pedido detamao y), el nivel esperado de inventario es igual a:

)( XREy +Por lo tanto, el inventario promedio por ciclo (por ao) est dado por: ( )

2)()(__ XREXREyH ++=

)(2

__

XREyH +=

Analicemos ( ){ }XRE

( ){ } ==oo oo

dxxxfdxxRfdxxfXRXRE )()()()(Sabemos que :

=oo

xf0

1)(

Entonces :

)()( XERXRE =Observe que la expresin para H ignora el caso que R E(X)es negativo (cantidad de escasez).Sea S la cantidad de escasez por ciclo. Entonces

0 X R S(x) =

X R X > R

Consecuentemente, la cantidad esperada de escasez porciclo es:

==oo oo

R

dxxfRxdxxfxSS0

__

)()()()(

Puesto que existen aproximadamente (D/y) ordenes por ao, laescasez anual esperada entonces es igual a (DS/y).

Por lo tanto El costo anual total del sistema esta dado como

ySPD

xERyhy

DKRyCAT__

)(2

),( +

++=

Observe que el costo de escasez (PDS/y) se suponeproporcional a la cantidad de escasez, nicamente sin tomar encuenta el tiempo de escasez.

La solucin para y* y R* ptimos se obtiene:

02 2

__

2 =+=

YSPDh

YDK

YCAT

0__

=

+=

RS

yPDh

RCAT

(1)

Sabemos que:

=oo

RdxxfRxS )()(

__

= oo

Rdxxf

RS )(__

(2)=

00 )(R

dxxfy

PDhR

CAT

De la ecuacin (1)

hKSPDy

__

* )(2 +=

De la ecuacin (2):

=*

*

)(R PD

hydxxf

Una solucin general explcita para y* y R* no es posible eneste caso, por consiguiente se debe utilizar un mtodo deaproximacin numrica.

La ecuacin (1), S es al menos igual a cero, esto muestra que el valor ms pequeo de y* es igual:

hDKy 2* = 0

__

=S )( Ro

Ahora bien, en R = 0, la ecuacin (1) da

hxPEKDyy ))((2* +==

mientras que la Ecuacin (2):

hPDy =

MtodoCalcule el primer valor de ensayo de y* como

hDKy 2* =

En segunda, utilice la ecuacin (2) para calcular R1correspondiente a y1. Utilizando R1, se obtiene un nuevo valorde ensayo y2 de la ecuacin (1)

Despus, R2 se calcula de la ecuacin (2) utilizando y2. Esteprocedimiento se repite hasta que dos valores sucesivos deR sean iguales. En este punto, el ltimo valor calculadopara y y R proporcionan y* y R*.

Modelos de un Solo Periodo

Los modelos de intervalos de un solo periodo ocurre cuando un artculoes ordenado una vez, nicamente para satisfacer la demanda de unperiodo especifico.

Por Ejemplo : Un artculo de moda llega a ser obsoleto despus de uncierto periodo y despus no puede volverse a pedir.

Modelo de Demanda Instantnea sin Costo fijo

En los modelos con demanda instantnea se supone que la demandatotal se satisface al inicio del periodo. Por consiguiente, dependiendo dela cantidad demandada D, la posicin de inventario justo despus quela demanda ocurre, puede ser positiva (excedente) o negativa(escasez).

DY

Y

Tiempo D-Y

Por lo tanto el inventario que se tiene esta dado por:

Y D para D= Y

{La escasez de inventario se da por:

0 para D= Y

{

Sea x la cantidad que se tiene antes de que se coloque un pedido.Definamos f(D) como una funcin de densidad de probabilidades(f.d.p.) de la demanda y sea h y P los costos unitarios de mantener elinventario y de escasez por periodo.

Adicionalmente, sea C el costo unitario de compra. Suponiendo que yes continua y no se incurre en ningn costo fijo, el costo esperado parael periodo esta dado como:

{ } { }scasezCostodelaEEtenerCostodeManEenarCostodeOrdyCE ++=))((

Por lo tanto:

++=0 0

)()()()()())(( dDDfyGPdDDfyHhxyCycE

++

++=

y

y

y

dDDfyDPdDDfyHdDDfDyhxyCycE )()(0)()()()()())((0

00

++=y

y

dDDfyDPdDDfDyhxyCycE0

)()()()()())((

Ecuacin de Costo por Unidad de Tiempo.

Del punto de vista, de la Minimizacin de costos, se obtiene que:

=+=

y

y

dDDfPdDDfhCy

xcE

0

0)()())((

Sabemos que : (1)

=

y

y

dDDfdDDf0

)(1)( (2)

Reemplazando (2) en (1) y resolviendo :

+

=

*

0

)(y

hPCPdDDf

El valor de y* esta definido nicamente si P>= C, ahora si P

La poltica de ordenamiento ptimo dado que x antes de que un pedido se coloque esta dada por:

Si xy >* pedir xy * Si xy * No pedir