Derivada de una función

“Aplicaciones de la derivada ”

Objetivos

Que el alumno logre:

• Resolver problemas de optimización mediante la aplicación de la derivada.

• Graficar una función mediante la aplicación de herramientas estudiadas en análisis matemático

Contenidos Previos

Extremos locales o relativos

f(c.) es un mínimo local (o relativo) de f si existe un intervalo I, que contenga a c, tal que f(c)≤f(x) x I

f(c) es un máximo local (o relativo) de f si existe un intervalo I, que contenga a c, tal que f(c)≥f(x) x I

Ejemplo

yf(c1)

f(c2)

0 1 c1 c2 x

( ) ( )I1 I2

Observaciones:

Un extremo local no tiene porque ser absoluto.

f(c1) es un máximo

local, no absoluto.

f(c2) es un mínimo local, no absoluto

0 c1 c2 x

y

f(c1)

f(c2)

f(x)

Si f está definida en [a;b], los extremos locales no pueden ser ni f(a) ni f(b).

0 a b x[ ]

y

f(b)

f(a)

f(x)

f(a) mínimo absoluto, no relativo, ya que no existe un intervalo abierto I que contenga a a, tal que f(a) f(x) x I

f(b) máximo absoluto, no relativo, ya que no existe un

intervalo abierto I que contenga a b, tal que f(b) f(x) x I

Todo extremo absoluto que una función presenta en un punto “interior” de su dominio es también extremo local.

0 a c d b x

y

f(c)

f(d)

f(x)

f(c) es máximo absoluto y relativo.

f(d) es mínimo absoluto y relativo.

[a c d b]

Extremos absolutos

Los extremos absolutos se producen en puntos donde hay extremos locales o en los extremos del intervalo de definición.

a b x

0 c

m= f(c)

M= f(b)

y

f(x)

Extremos locales y derivada

a e f0

yf ’(a) = 0

f ’(e) = 0

no f ’(f)

f(x)

Teorema del Extremo Interior

Si f tiene un extremo local en

x=c f´(c)= 0 ó no existe f´(c)

Observación:

El proposición recíproca no es válida.

y

0 c x 0 c x

y

f ’(c) = 0 o f ’(c) f(c) es extremo

Número crítico

Si f está definida en c, se dice que c es un número crítico si f´(c)= 0 ó no existe f´(c).

(Es decir un número crítico, es un posible extremo relativo)

Observación: Con esta definición el teorema anterior se puede expresar:

“Si f tiene un extremo relativo en x=c, entonces c es un número crítico de f ”

Crecimiento

Si f es una función continua en [a;b] y derivable en (a;b), entonces:

a) f’(x) > 0 x en (a;b) f es creciente en [a;b] b) f’(x) < 0 x en (a;b) f es decreciente en [a;b] c) f’(x) = 0 x en (a;b) f es constante en [a;b]

x

y

Determinación de los extremos relativos

Hemos visto que el signo de la derivada primera de una función determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la misma.

Esta información nos permite detectar los valores de la variable donde se producen los extremos locales de la función.

Ejemplos

y y

0 c1 x 0 c2 x

f(x) g(x)

creciente decreciente decreciente creciente

máximo local en c1 mínimo local en c2

Y y y

0 c1 x 0 c2 x

h(x) t(x)

creciente decreciente decreciente creciente

máximo local en c1 mínimo local en c2

Teorema Criterio de la derivada primera para la

determinación de extremos locales

Consideremos una función f continua en [a;b] y derivable en (a;b) excepto quizás en c (a;b).

a) Si f´(x) > 0 en (a;c) y f´(x) < 0 en (c;b) entonces f

tiene un máximo local en c.

b) Si f´(x) < 0 en (a;c) y f´(x) > 0 en (c;b) entonces f

tiene un mínimo local en c.

Procedimiento práctico para la determinación de extremos locales

Obtener los puntos críticos de f.

Aplicar el criterio de la derivada primera para la determinación de los extremos locales.

Ejemplos

2x

12x2x

11

xx

1

Analizaremos el crecimiento de las siguientes funciones y determinaremos si existen extremos locales.

1) f(x) =

• Dominio

Dom(f) = R – {0}

• Números críticos

f ’(x) =

0

x

f ’(x) = 0 x = 1 x = -1

números críticos• Crecimiento

f ’(x) = , el denominador es siempre positivo

por lo tanto el signo de la derivada primera lo determina el numerador, luego:

f ’(x)>0 x2-1 > 0 x>1 x<-1

f ’(x)<0 x2-1 < 0 -1<x<1 y x 0

2

2

x

x

1

0 Dom(f)

1x2

-1 0 1

f’(x)>0 -1 f’(x)<0 1 f’(x)>0

f crece f decrece f crece

en x = -1 hay un máximo local y ML= f(-1)=-2

en x =1 hay un mínimo local y mL= f(1)=2

-1 0 1 x

Dom(f) = R – {0} Bosquejo de la función

-2

2

f crece f decrece

f decrece f crece

2) f(x) = 3x4-8x3+6x2

• Dominio

Dom(f) = R

• Números críticos

f’(x) = 12x3-24x2+12x

f’(x) = 0 12x3-24x2+12x = 0 12x(x2-2x+1) = 0

12x(x-1)2 = 0 x = 0 x = 1

números críticos

• Crecimiento

f ’(x) > 0 12x(x-1)2 > 0 x > 0 y x 1f ’(x) < 0 12x(x-1)2 < 0 x < 0

f ’(x)<0 0 f ’(x)>0 1 f ’(x)>0

f decrece f crece f crece

en x = 0 hay un mínimo local y mL= f(0)=0

en x =1 no hay extremo local

y

0 1 x

Dom(f) = R Bosquejo de la función

f decrece

f crece

f crece

Estrategia para hallar extremos absolutos de una función continua en un intervalo [a;b]

Hallamos los números críticos c (a;b).Calculamos el valor de la función en esos

números y en los extremos del intervalo.El mayor de esos valores es el máximo y

el menor el mínimo absoluto.

Ejemplos

Sea f(x) = 2x4 - 3x3 en [-1;1], hallemos los extremos absolutos:

f ’(x) = 8x3-9x2

• f ’(x) = 0 x2(8x-9) = 0 [ x= 0 x= 9/8 ]

• f ’(x) está definida x

Luego, el único número crítico en (-1;1) es x = 0

Evaluamos a la función en las abscisas del único punto crítico obtenido y en las de los extremos del intervalo:

f(-1)= 5

f(0) = 0

f(1) = -1

Finalmente concluimos…

máximo absoluto es M= f(-1)= 5 mínimo absoluto es m= f(1)= -1

Veamos otro ejemplo…

Sea f(x) = 3(x-8)2/3 en [7;9], hallemos los extremos

absolutos.

f ’(x) = 2(x-8) -1/3 =

f ’(x) 0 x en (7;9) f ’(x) no está definida para x=8

Luego, el único número crítico en (7;9) es x = 8

3 8x

2

f(7) = 3f(8) = 0f(9) = 3

Finalmente concluimos……

máximo absoluto es M= f(7)= f(9) = 3mínimo absoluto es m= f(8)= 0

Evaluamos a la función en las abscisas del único punto crítico obtenido y en las de los extremos del intervalo: