Introduccion a la Geometrıa Proyectiva:

Aplicaciones a Vision Computacional

Edgar Antonio Sucar Escamilla

January 11, 2013

1 Introduccion

La geometrıa proyectiva surgio para describir el espacio de tres dimensiones enuna imagen de dos dimensiones. La forma de representar el plano proyectivoha ido evolucionando, lo que ha permitido diversos desarrollos, desde teoremasimportantes en la geometrıa antigua hasta aplicaciones en vision computacional.

2 Objetivos

El objetivo general de este artıculo es introducir ideas importantes de la ge-ometrıa proyectiva y mostrar la aplicacion de esta geometrıa en el area de visioncomputacional. En especıfico se busca hacer una descripcion del plano proyec-tivo que sea suficiente para tener una idea intuitiva de su estructura. Para estoes necesario entender el origen del plano proyectivo y describir las diferentes for-mas de representarlo. Finalmente, la intencion de ligar la geometrıa proyectivacon el area de vision computacional es mostrar la utilidad de esta geometrıa, loque a la vez enfatizara ciertos conceptos del plano proyectivo.

3 Teoremas Importantes

En esta seccion se mencionaran tres teoremas importantes para la geometrıaproyectiva. Aunque estos teoremas tienen equivalentes en la geometrıa euclidi-ana, se necesitan excepciones para que sean validos en esta geometrıa. Esto sedebe a que a que en ciertos casos de los teoremas es necesario tomar en cuentala interseccion de lıneas paralelas, la cual no existe en el plano euclidiano.

3.1 Teorema de Pappus

Pappus fue un matematico de la Grecia Antigua, y es considerado uno de losfundadores de la geometrıa proyectiva, lo que muestra la antiguedad de estageometrıa.

El Teorema de Pappus nos dice que si tenemos dos lıneas cualesquiera, y

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sean A, B y C tres puntos cualesquiera en una de las lıneas, y A’, B’ y C’ trespuntos cualesquiera en la otra lınea, y sea C” la interseccion de AB’ y A’B, B”la interseccion de AC’ y A’C, y A” la interseccion de BC’ y B’C, entonces A”,B” y C” son colineales. Este teorema es ilustrado en la figura 1.

Figure 1: Teorema de Pappus

El Teorema de Pappus tambien nos dice que si las lıneas en dos de las pare-jas de lıneas formadas por los seis puntos son paralelas, entonces las lıneas enla otra pareja de lıneas tambien son paralelas. Por ejemplo si AB’ y A’B sonparalelas y AC’ y A’C son paralelas, entonces BC’ y B’C son paralelas, esto esilustrado en la figura 2. En este caso es posible ver una excepcion del teoremaen la geometrıa euclidiana ya que los puntos A”, B” y C” de este caso no existenen el plano Euclidiano.

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Figure 2: Caso 2, Teorema de Pappus

3.2 Teorema de Desargues

Desargues fue un matematico frances que vivio en el siglo XVII, es consideradouno de los fundadores de la geometrıa moderna.

El Teorema de Desargues dice que dos triangulos estan en perspectiva desdeun punto si y solo si estan en perspectiva desde una lınea. Dos triangulos estanen perspectiva desde un punto si las lıneas que unen vertices correspondientesson concurrentes, y estan en perspectiva desde una lınea si las interseccionesformadas por las lıneas de lados correspondientes son colineales

Por ejemplo, sean△ABC y△A′B′C ′ dos triangulos en perspectiva, entoncesAA’, BB’ y CC’ son concurrentes en un punto, llamemoslo O, y sea C” la in-terseccion de AB y A’B’, B” la interseccion de AC y A’C’, y A” la interseccionBC y B’C’; A”, B” y C” son colineales. Esto es ilustrado en la figura 3.

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Figure 3: Teorema de Desargues

3.3 Teorema de Cuadrilateros/Cuadrangulos opuestos

Sea ABCD un cuadrangulo (4 puntos en el plano proyectivo tal que cualesquiera3 no son colineales), trazamos las 6 posibles lıneas con estos 4 puntos. Sea E lainterseccion de BA y CD, G la interseccion de BC y AD, y F la interseccion deAC y BD. Los puntos E, F y G forman un triangulo llamado el triangulo diagonalde ABCD. Trazamos las lıneas que forman los vertıces del triangulo diagonal,estas lıneas se intersectan con las lıneas de ABCD en 6 puntos, llamemoslosH, I, J, K, L y M, con estos puntos se pueden formar 4 lıneas que forman uncuadrilatero, �JKHI, llamado el cuadrilatero opuesto a ABCD. La figura 4ilustra este teorema.

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Figure 4: Teorema de Cuadrilateros/Cuadrangulos opuestos

4 Geometrıa Proyectiva y Perspectiva

Los artistas del siglo XV tuvieron el problema de representar de forma correctauna situacion en 3D en una pintura en 2D. Esto en matematicas quiere decirque cada objeto de 3D este en perspectiva con su respectiva proyeccion en 2D;es decir, que al trazar una lınea que parta del ojo del artista (el centro de per-spectiva) a cada punto a ser proyectado, esta intersecte al plano proyectivo enla respectiva proyeccion del punto, esto se muestra en la figura 5.

Figure 5: Proyeccion de un objeto en 3D en una pintura

Para poder resolver este problema, los artistas desarrollaron tres reglas deperspectiva, que se deben de respetar para poder proyectar una situacion en 3Den una pintura. Estas reglas son las siguientes:

1. La imagen de una lınea recta es una lınea recta. Esto se puede ver en lafigura 6, donde se traza un plano que pasa por una lınea recta en 3D y por

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el ojo del artista, este plano intersecta a la pintura (el plano de proyeccion)en una lınea recta, la cual es la proyeccion de la lınea recta en 3D.

2. Las imagenes de lıneas paralelas son concurrentes. Esta regla surgio al pro-yectar una cuadrıcula, donde se observo que al proyectar lıneas que sonparalelas en 3D, su proyeccion concurre en un punto en el horizonte lla-mado el punto al infinito, esto es ilustrado en la figura 7.

3. La imagen de una conica es una conica. En la figura 8 se puede ver quesi se toma un cırculo en la superficie un cono doble en 3D y se proyectaen base al vortice del cono doble como centro de perspectiva, entoncesel cırculo se proyectara en una conica ya que las lıneas que pasan por elcentro de perspectiva y el cırculo son las lıneas de la superficie del cono. Laconica que se proyecte dependera de la forma en que plano de proyeccionintersecte al cono doble, en el caso de la figura 8 el cırculo se proyecta enuna elipse. Analogo a este caso cualquier conica se puede proyectar encualquier conica.

Figure 6: Proyeccion de una lınea recta

Figure 7: Izquierda: cuadrıcula en 3D. Derecha: proyeccion de la cuadrıcula enun plano de 2D.

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Figure 8: La proyeccion de un cırculo puede ser una elipse.

A partir de estas reglas fue posible realizar pinturas que estuvieran en perspec-tiva con escenarios en 3D, lo cual revoluciono la pintura. A continuacion sedescribira un ejemplo de como se pueden utilizar las reglas 1 y 2 para dibujaruna cuadrıcula.

Se empieza con un cuadrilatero tal que al trazar las lıneas de sus lados estasse intersecten en dos puntos (la lıneas forman parte de la cuadrıcula ya que laproyeccion de lıneas rectas son lıneas rectas), con estos puntos se puede trazarla lınea del horizonte. Al trazar la diagonal del cuadrilatero y encontrando suinterseccion con el horizonte, se pueden encontrar otras dos diagonales de lacuadrıcula partiendo de dos vertices del cuadrilatero y que tambien intersectenal horizonte en el punto donde intersecta la primer diagonal, esto es ya que laproyeccion de lıneas paralelas son concurrentes. Las nuevas diagonales permitenencontrar nuevas lıneas de la cuadrıcula de forma analoga. Continuando esteproceso se puede construir una cuadrıcula, como se muestra en la figura 9.

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Figure 9: Construccion de la proyeccion de una cuadrıcula

Es posible decir que dos lıneas rectas esten en perspectiva, ya que si setoma cualquier punto en una de las lıneas, y se fija el centro de perspectivaen cualquier punto que no este sobre las lıneas, entonces se puede encontrarun unico punto en perspectiva con el punto que se escogio inicialmente, alencontrar la interseccion de la otra lınea con la recta que pasa por el centro deperspectiva y el punto escogido. Para que la perspectiva entre las lıneas seauna biyeccion es necesario anadir a ambas lıneas un punto al infinito, esta serauna idea importante para construir el plano proyectivo. La figura 10 muestrala perspectiva entre dos lıneas rectas, al fijar O como el centro de perspectiva ytomar tres puntos A, B y C en una de las lıneas y encontrar el respectivo puntoen perspectiva en la otra lınea.

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Figure 10: Dos lıneas rectas estan en perspectiva

5 Coordenadas Homogeneas

A partir de los teoremas mencionados en el capıtulo 3 y de la idea de perspectivaentre lıneas, es posible ver que para construir el plano proyectivo se debe ex-tender el plano euclidiano. Para hacer esto se le asigna a cada familia de lıneasparalelas en el plano euclidiano un punto llamado punto al infinito, el conjuntode estos puntos forman una lınea llamada la lınea al infinito. Por lo tanto elplano proyectivo es el plano euclidiano mas la lınea al infinito, como se puedever en la figura 11.

Figure 11: Plano Proyectivo

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La representacion anterior del plano proyectivo fue la que tuvieron los mate-maticos de los anos 1600 al 1800. Aunque fue util para ciertos desarrollos en lageometrıa proyectiva, esta representacion del plano proyectivo no es la optima,ya que no es clara la utilidad de los puntos al infinito.

En el ano 1800 los matematicos Mobius y Plucker desarrollaron una nuevarepresentacion del plano proyectivo llamada coordenadas homogeneas, este fueuno de los avances mas grandes en matematicas. En esta representacion lospuntos en el plano proyectivo son lıneas por el origen en el espacio de tres di-mensiones (x, y, z) [1].

En esta representacion del plano proyectivo hay un plano de referencia enz=1, que es el plano x, y desplazado una unidad en la direccion z. Toda lınea nohorizontal que pasa por el origen intersecta al plano de referencia en un unicopunto. Una lınea que pasa por el origen es definida por cualquier otro puntosobre esa lınea, ya que al escalar las coordenadas de ese otro punto se puedeobtener todo punto sobre la lınea. Por lo tanto las coordenadas homogeneasde un punto proyectivo son [X: Y: Z], donde X, Y, Z es un punto en la lıneaa excepcion del origen. Para obtener las coordenadas del plano de referencia(punto cartesiano) a partir de las coordenadas homogeneas de un punto proyec-tivo debemos escalar las coordenadas homogeneas para hacer Z=1, por lo tantodadas las coordenadas homogeneas [X, Y, Z] de un punto proyectivo, el puntocartesiano es [X/Z, Y/Z] dada Z 6= 0.

Por ejemplo [4, 1] ⇔ [4 : 1 : 1] = [8 : 2 : 2]. Las coordenadas homogeneastambien pueden servir para eliminar las fracciones de las coordenadas de unpunto cartesiano, por ejemplo: [4/3,−1/3] ⇔ [4 : −1 : 3].

La figura 12 ilustra la nueva representacion del plano proyectivo.Las lıneas horizontales que pasan por el origen representan direcciones en el

plano cartesiano, y son puntos al infinito en el plano proyectivo, uno para cadafamilia de lıneas paralelas en el plano cartesiano.

Figure 12: Coordenadas Homogeneas del Plano Proyectivo

Un plano que pasa por el origen puede ser definido por las coordenadas ho-mogeneas de un punto proyectivo, al tomar la lınea por el origen perpendicular al

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