Dpto. Matematica Aplicada. E. Patino. E.T.S. Arquitectura. U.P.M.

GEOMETRIA AFIN Y PROYECTIVA.

Hoja 11. Isometrıas en R3.

1. Determinar las ecuaciones de la composicion de un giro de angulo π con respecto a la rectar ≡ (0, 0, 1) + t(0, 1, 1) con t ∈ R con la traslacion de vector ~v = (1, 1, 0), aplicandose latraslacion en segundo lugar.

2. Sea el espacio afın euclıdeo tridimensional E3 r R = {=; e1, e2, e3} una referenacia ortonor-mal. Se considera la aplicacion f : E3 → E3 cuyas ecuaciones respecto de la referncia dadason: f(x1, x2, x3) = (1 + x3, x2, 3 + x1). Se pide:

(a) ¿Es f una isometrıa? Clasificarla.

(b) Escribe la expresion matricial de la aplicacion inversa f−1.

(c) Determinar las ecuaciones de la simetrıa ortogonal respecto del plano π ≡ x1−x3−2 =0.

(d) ¿Es el plano π invariante para f?

3. Clasificar las isometrıas cuyas matrices asociadas son

(a)

1 0 0 01 0 0 −11 0 2 02 1 0 0

(b)

1 0 0 0

−6 0 0 −11 0 1 0

−7 −1 0 0

(c)

1 0 0 0

−4 4/9 8/9 −1/94 −4/9 1/9 −8/9

−2 −7/9 4/9 4/9

(d)

1 0 0 0

−1 −1/3 2/3 2/3−1 2/3 −1/3 2/3−1 2/3 2/3 −1/3

4. Determinar la expresion matricial de un giro de angulo α = π/6 que tiene como eje de giro

la recta de ecuaciones r ≡ x = y, z = 0. Determinar la composicion de este giro con unatraslacion de vector ~v = (1, 2, 3).

5. Consideremos el espacio afın euclıdeo tridimensional E3 con referencia ortonormal.

(a) Encontrar las ecuaciones de la simetrıa con respecto al plano 2x+ y + z − 2 = 0.

(b) Calcular las direcciones invariantes. Determinar el valor del angulo que forman lasdirecciones invariantes corresponientes a autovalores distintos. ¿Se puede generalizareste resultado?

(c) Calcular la expresion matricial de la simetrıa calculada en el primer apartado com-puesta con una traslacion de vector ~v = (−1, 0, 2).

6. Consideremos el espacio afın euclıdeo tridimensional E3 con referencia ortonormal.

(a) Si s es la simetrıa respecto del plano de ecuacion cartesiana π ≡ x + 3z + 1 = 0,determinar la ecuacion de s.

(b) Sea h la homotecia de centro C(1, 1, 1) y razon k = 3. Hallar la ecuacion de h.

(c) Encontrar la ecuacion de la aplicacion g = h ◦ f . ¿Es una isometrıa?

(d) Sea r ≡{

y = 13x− z − 2 = 0

. ¿Es r una recta de puntos fijos para g? ¿Es una recta

invariante?

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7. En el espacio afın euclıdeo tridimensional (E3 con una referencia ortonormalR = {O;BV ={e1, e2, e3}}, se pide:

(a) Escribe las ecuaciones de la homotecia h de razon k = −1 y centro C(−2, 0, 2). ¿Esisometrıa?, razona la respuesta.

(b) Determina las ecuaciones de la simetrıa ortogonal s respecto del plano z − x = 0.Caracteriza la isometrıa resultante de la composicion s ◦ h. Justifica la respuesta.

8. En el espacio afın euclıdeo tridimensionalE y fijada la referencia ortonormalR = {O, {e1, e2, e3}},se consideran una isometrıa f dada por

f ≡

x′ = yy′ = xz′ = −z − 2

.

Clasificar f obteniendo sus elementos notables (plano de simetrıa, eje de giro, angulo degiro segun corresponda).

9. En el espacio afın euclıdeo tridimensional, fijada una referencia ortonormal = {O, {e1, e2, e3}},se considera una isometrıa afın f , cuyas ecuaciones respecto a son:

x′ = 53 + 2

3x+ 23y −

13z

y′ = −103 + 2

3x− 13y +

23z

z′ = 53 − 1

3x+ 23y +

23z

Se pide:

(a) Hallar el subespacio de puntos fijos de f y clasificar f .

(b) Determinar una homotecia h de centro el punto C = (5, 2, 4) y razon r = 12 .

(c) Determinar la expresion matricial de la transformacion afın g que verifica h = g ◦ f .Es g una isometrıa? Justifica tu respuesta.

10. En el espacio afın euclıdeo tridimensional,(E3, (V3, ·), f) fijada una referencia ortonormal= {O, {e1, e2, e3}}, se considera la aplicacion lineal ~f : V3 → V3 cuya matriz asociadarespecto de la base {e!, e2, e3} es: 1 0 0

0 0 10 1 0

.

Se pide:

(a) ¿Es ~f isometrıa vectorial? Hallar las direcciones invariantes mediante ~f .

(b) En una isometrıa vectorial, ¿eciste algun autovalor distinto de 1 y -1?

(c) Hallar la aplicacion afın f1 que tiene como aplicacion vectorial asociada a ~f y mantieneel punto P (0, 0, 1) fijo.

11. En el espacio afın euclıdeo tridimensional (E3, (V3, ·), f) referido a la referencia ortonormalR = {O;BV = {e1, e2, e3}} se considera la rotacion g : E3 → E3 de angulo de giro 120◦ yeje de giro la recta x1 = 1 + λ, x2 = 2 + λ, x3 = 3 + λ. Se pide:

(a) Ecuacion matricial de g y g3 = g ◦ g ◦ g : E3 → E3.

(b) Subespacio de puntos invariantes por g y g3.

12. En el mismo espacio del ejercicio anterior referido a la misma referencia, se pide:

(a) Expresion matricial de la simetrıa Sπ respecto del plano π ≡ x1 + x2 − 2 = 0.

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(b) Expresion matricial de la rotacion gr de eje de giro r ≡{

x1 − x2 = 0x3 = 1.

y amplitud

de giro 180◦.

(c) Sabiendo que hkC es la homotecia sobre E3 de centro C(1, 1, 1) y razon k = −1,determinar la expresion matricial de gr ◦ Sπ ◦ hkC : E3 → E3, clasificarla y obtener lossubespacios invariantes.

13. En el mismo espacio del ejercicio 2 y referido a la misma referencia, se considera la rectar de expresion parametrica x1 = λ, x2 = λ, x3 = −1, ∀λ ∈ R. Se pide:

(a) Expresion matricial del giro gr : E3 → E3, de eje de giro r y amplitud de giro 180◦.

(b) Expresion matricial de la simetrıa Sπ respecto del plano π que es ortogonal a r ypasa por (−1, 0, 13).

(c) Expresion matricial de f = Sπ ◦ gr. Clasificarla y definir los subespacios invariantespor f .

(d) ¿La composicion de isometrıas es siempre una isometrıa?

(e) Transformada respecto de gr y respecto de f de la recta paralela a r que pasa por elpunto P (2, 0, 1).

14. En el espacio afın euclıdeo tridimensional E3 referido a la referencia ortonormal R ={O;BV = {e1, e2, e3}} se considera la isometrıa f de ecuaciones:

x′1 = 3− x2, x′2 = −1 + x1, x′3 = x3.

(a) Hallar los puntos fijos de f y clasificarla.

(b) Determinar las ecuaciones de la simetrıa sπ respecto del plano π ≡ x1 − x2 − 1 = 0.

(c) Sabiendo que tv es la traslacion de vector v(1,−1, 0), determinar las transformacionesg1 y g2 tales que f = g1 ◦ sπ y tv = g2 ◦ sπ.

15. En el espacio afın euclıdeo tridimensional E3 referido a la referencia ortonormal R ={O;BV = {e1, e2, e3}} se pide:

(a) Ecuacion matricial de la simetrıa sπ respecto del plano π ≡ x1 + x2 + 2 = 0.

(b) Determinar una nueva referencia ortonormal, R′, respecto de la cual la expresionmatricial de sπ sea

1z′1z′2z′3

=

1 0 0 00 −1 0 00 0 1 00 0 0 1

1z1z2z3

,

y las ecuaciones del cambio.

16. En el espacio afın (E3, V3, ϕ) referido a la referencia ortonormal R = {O;B = {e1, e2, e3}}se considera la aplicacion afın f : E3 → E3, definida mediante las ecuaciones

y1 = 1 + x3y2 = −2− x2y3 = 1− x1

siendo (x1, x2, x3) las coordenadas de un punto P ∈ E respecto de dicha referencia, y(y1, y2, y3) las coordenas de f (P ) respecto de dicha referencia. Se pide:

(a) Obtener la matriz de f referida a la referencia R.

(b) Comprobar que f es una isometrıa afın.

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(c) Obtener el subespacio de puntos fijos.

(d) Clasificar dicha isometrıa.

(e) Obtener una descomposicion no trivial de dicha isometrıa en terminos de un giro, unasimetrıa y una traslacion segun corresponda.

17. Clasificar la isometrıa afın que viene dada por la matriz y describir sus elementos notables(angulo de giro, eje de simetrıa, plano de simetrıa, vector traslacion) segun corresponda.

M1 =

1 0 0 0

−4/5 14/15 −1/3 2/152 −1/3 −2/3 2/38/5 2/15 2/3 11/15