Interes Compuesto
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INTERES COMPUESTO
Definición
“El interés compuesto se caracteriza porque el interés generado en un
período de tiempo ,siempre que no se retire, se suma al capital y este nuevo valor vuelve a ganar intereses y se acumula al nuevo capital. Y
así sucesivamente tanta veces como períodos de capitalización se hayan establecido. En este método, se dice que los intereses se
capitalizan.”
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COMPARACION CON EL INTERES SIMPLE Ejemplo • Calcular el Monto a interés simple y el interés compuesto de un
capital de $ 4.000.000 invertido a una tasa de interés del 10% durante 6 períodos.
a) Interés simple. I= Cit = 4.000.000 (0,10) (6) = $ 2.400.000 M = C (1+it) = 4.000.000 [1 + 0,10(6)] = $ 6.400.000.-
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b) Interés compuesto • Para el primer período M= 4.000.000 [1 + 0,10(1)] = $ 4.400.000 • Para el segundo período M = 4.400.000 [1 + 0,10(2)] = $ 4.840.000.
• Para el tercer período M = 4.840.000 [1 +0,10(3)] = $ 5.324.000.
• Para el cuarto período M = 5.324.000 [1 + 0,10(4)] = $ 5.856.400.
• Para el quinto período M = 5.856.400 [1 + 0,10(5)] = $ 6.442.040.
• Para el sexto período M = 6.442.040 [1 + 0,10(6)] = $ 7.086.244.-
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Note la diferencia: • El Monto final a Interés simple = $ 6.400.000. • El Monto final a Interés Compuesto = $ 7.086.244.
CONCLUSIONES: El interés simple es constante durante todo el período El interés compuesto es creciente a través del tiempo porque los interese
se van capitalizando a través del tiempo Mientras más períodos se capitalice, mayor será la diferencia entre el IS y
el IC
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VARIABLES DEL INTERES COMPUESTO
• Período de capitalización = n: es el espacio de tiempo en el que el interés se adiciona o acumula al capital. Este período puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, etc.
• Tasa de interés = i: es la tasa de capitalización del período que puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, diaria, etc.
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Ejemplo: • Calcular el número de períodos de capitalización y la tasa de interés por
período de capitalización de un capital invertido a interés compuesto durante 7 años, a una tasa de interés de 15% anual capitalizable semestralmente.
• t = 7 años
• Entonces:
• n= número total de meses / número de meses del período de capitalización
• n = 7(12)/6 = 14 semestres
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• i= tasa anual/ numero de capitalizaciones al año= tasa anual /m en donde
• m= 360 / Nº de días del período = 360/ 180 = 2
• i = 0,15 anual / 2 (semestres) = 0,075 = 7,5% semestral
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Ejemplo:
• Calcular el número de períodos de capitalización(n) y la tasa de interés por período de capitalización (i) de un capital colocado a interés compuesto durante 5 años, a una tasa de interés anual del 15%, capitalizable trimestralmente
• t = 5 años
• i= 15%
• n= 5 (12/3) = 20 trimestres
• m= 360 / 90 = 4 significa que se capitaliza 4 veces al año.
• I = 0,15/ 4 (trimestres) = 0,0375 = 3,75% trimestral
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FORMULA DEL MONTO A INTERES COMPUESTO
• El Monto (M) de un capital invertido a interés compuesto, o monto compuesto, es el valor del capital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses.
IC = MC – C En donde
• IC = interés compuesto • MC= Monto Compuesto • C= Capital original
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Ejemplo:
• Calcular el monto (M) a interés compuesto de un capital de $ 100.000 a 4 años plazo invertidos a una tasa del 12% anual.
• Si tenemos que I = Cit
• Primer año: • I = 100.000(0,12) (1) = $ 12.000. • M= 100.000 + 12.000 = $ 112.000.
• Segundo año: • I = 112.000(0,12) (1)= $ 13.440 • M= 112.000 + 13.440= $ 125.440
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• Tercer año: • I = 125.440(0,12) (1)= $ 15.052,80 • M = 125.440 + 15.052,80 = $ 140.492,80
• Cuarto año: • I = 140.492,80(0,12) (1)= $ 16.859,14 • M= 140.492,80 + 16.859,14 = $ 157.351,94 Entonces, • C= Capital • i = Tasa de interés por período de capitalización • n= número de períodos de capitalización
Entonces para n períodos de capitalización tenemos
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Período Capital al inicio del período
Interés Monto
1 C Ci C + Ci = C(1 + i)
2 C(1+i) C ( 1 + i)i C(1+i) + C(1+i)i= C(1+i)2
3 C(1+i)2 C(1+i)2 i C(1+i)2 + C(1+i)2 i= C(1+i)3
4 C(1+i)3 C(1+i)3 i
n C ( 1 + i ) n-‐1 C ( 1 + i ) n-‐1 i C ( 1 + i ) n-‐1 + C ( 1 + i ) n-‐1 i = C( 1+ i ) n
Entonces, para cualquier período de capitalización y tasa de interés por período, se obtiene la fórmula del monto a interés compuesto:
M= C (1 + i)n
La fórmula del Monto también puede expresarse tomando en cuenta los períodos de capitalización menor de un año: semestral, trimestral, mensual,
diaria.
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Entonces, el INTERES será
I = M-C
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Fórmula del Monto a interés compuesto en función de m y t
M = C (1 + i/m) mn En donde: • M = Monto
• C = Capital inicial
• i = Tasa de interés nominal que puede ser capitalizable varias veces en un año
• m = número de capitalizaciones al año
• n = número de años
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• Si la capitalización es anual, la fórmula del monto en un año es:
M = C (1+i)n • Si la capitalización es semestral
M = C (1 + i/2)2 • Si la capitalización es trimestral
M = C (1 + i/4)4
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• Si la capitalización es bimestral
M = C (1 + i/6)6 • Si la capitalización es mensual
M = C (1 + i/12)12 • Si la capitalización es quincenal
M = C (1 + i/24)24 • Si la capitalización es diaria
M = C (1 + i/360)360
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Ejemplo • Calcular el monto de un capital de $ 200.000 invertido al 12% interés anual
compuesto durante 5 años capitalizable en la siguiente manera:
• Anualmente ( o tasa efectiva)
M= 200.000(1+0,12)5 = $ 352.468,34 • Capitalizable semestralmente
M = 200.000(1+0,12/2)10 = $ 358.169,54 • Capitalizable trimestralmente
M = 200.000(1+0,12/4)20 = $ 361.222,25
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• Capitalizable bimestralmente
M = 200.000(1+0,12/6)30 = $ 362.272,32 • Capitalizable mensualmente
M = 200.000(1+0,12/12)60 = $ 363.339,34 • Capitalizable diariamente
M = 200.000(1+0,12/360)1.800 = $ 364.387,33 OBSERVE QUE CUANDO EL PERIODO DE CAPITALIZACION AUMENTA,
AUMENTA EL MONTO PORQUE AUMENTA EL INTERES COMPUESTO
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Ejemplo: • Una empresa obtiene un préstamo de $ 3.000.000 a 6 años plazo a una
tasa de interés anual del 15% capitalizable semestralmente. Calcular el monto que debe pagar al vencimiento y el interés pagado.
• M= 3.000.000(1+0,15/2)12 = 3.000.000(1,075)12 • = 3.000.000(2,381780)= $ 7.145.338,80 • Interés que debe pagar: • I = M – C • I = 7.145.338,80 – 3.000.000 = $ 4.145.338,80
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Monto Compuesto con períodos de capitalización fraccionarios
Cuando el tiempo de pago no coincide con el período de capitalización, se
presenta este caso Ejemplo: Calcular el valor de una deuda de $ 4.000.000 contraída a interés
compuesto durante 6 años y 3 meses plazo, a una tasa de interés anual del 14% capitalizable semestralmente.
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• Resolucion Toma el valor exacto de n en la fórmula del Monto compuesto Entonces tenemos: • n = 6(12) + 3 / 6 = 75/6 = 12, 5 semestres • i = 0, 14/2= 0, 07 semestral (7% semestral) • M = 4.000.000 (1 +0, 07)12.5 = 4.000.000(2, 329685)= $ 9.318.740,34
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Ejemplo: • Calcular el Monto compuesto de un capital de $ 2.000.000 invertido a 7
años y 8 meses plazo a una tasa anual del 18% capitalizable trimestralmente
Calculo n e i • n= 7(12)+8/ 3 = 84+8 /3 = 30,6667 trimestres • i = 0,18/4 = 0,045 trimestral M= 2.000.000(1+0,045)30,6667= $ 7.713.714,13
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EJERCICIOS 1.- Una empresa obtiene un préstamo de $ 4.000.000. a 10
anos plazo a una tasa de interes del 15% anual capitalizable semestralemente . Calcule el interés y el Monto que debe pagar en la fecha de vencimiento.
2.- Una persona toma un depósito a plazo en su libreta de
ahorros de $ 3.000.000. al 12% de interés anual capitalizable trimestralmente. Cuanto habrá en su libreta ala cabo de 8 años y 6 meses.
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3.- Calcule el Monto a interes compuesto de un Capital de $ 1.000.000 invertido al 12% anual durante 10 años.
4.- Rubén abre una cuenta de ahorros hoy, con $ 800.000.
a una tasa de interés del 14% capital izable semestralmente .Calcule cuanto habrá en la cuenta al cabo de 7 años y 7 meses.
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CALCULO DE LA TASA DE INTERES
LA TASA NOMINAL O EFECTIVA DE INTERES SE PUEDE CALCULAR PARTIENDO DE LA FORMULA DEL MONTO
M = C ( 1 + i ) n ; M= C ( 1 + i/m)mn
Y DESPEJAMOS APLICANDO LOGARITMOS
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M C M C
28
log (1 + i ) n
n log (1 + i )
M C n log (1 + i )
log
log
log
O TAMBIEN i =
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M C
1/ n
- 1
EJEMPLO A qué tasa efectiva se convertirá un capital
de $ 300.000 en un monto de $ 450.000 al cabo de 6 anos? M = C ( 1 + i ) n M/C = ( 1 + i )n
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450.000 / 300.000 =( 1 + i ) 6
1,5 = ( 1 + i ) 6 Aplicamos logaritmos log1,5 = log( 1 + i ) 6
log1,5 = 6 log( 1 + i )
log1,5 /6 = log( 1 + i ) 0,029348= log( 1 + i ) antilog 0,029348= 1 + i
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1, 069913 = 1 + i
0,069913 = i
i = 6,99132 %
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ACTIVIDADES DE EJERCITACION
• A q u é t a s a a n u a l c a p i t a l i z a b l e trimestralmente, un capital de $ 400.000 se convertirá en ¾ veces más al cabo de 5 años?
• A qué tasa efectiva es equivalente la tasa del 11,35037% anual capital izable trimestralmente?
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• A qué tasa efectiva se convertirá un capital de $ 500.000 en un Monto de $ 900.000 en 9 anos y 6 meses?
• A que tasa de interés annual capitalizable
trimestralmente se debe colocar un capital de $ 1.000.000 para que produzca un Monto de $ 5.500.000 en 6 anos y 9 meses.A qué tasa efectiva equivale?
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CALCULO DEL TIEMPO
A INTERES COMPUESTO
PARA CALCULAR EL TIEMPO, SE DEBE CALCULAR PRIMERO n, POR LO CUAL SE APLICA LA FORMULA DEL MONTO
M = C ( 1 + i ) n ; M= C ( 1 + i/m)mn
M = C ( 1 + i ) n
35
36
M C M C
log (1 + i )
n log (1 + i )
n
log
log
log
M C
log (1 + i ) n
EJEMPLO En qué tiempo un capital de $ 1.000.000. se
convertirá en $ 1.500.000. a una tasa de interés efectiva del 18%?
Tenemos: • M = $ 1.500.000 • C = $ 1.000.000 • i = 18%
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• M/C = ( 1 + i )n • 1.500.000 / 1.000.000 = ( 1 + 0,18)n • 1,5 = ( 1 + 0,18)n • log 1,5 = log ( 1 + 0,18 )n • log 1,5 =n log ( 1 + 0,18) • n=log 1,5 / log (1+0,18) • n = 0,176091/0,071882 • n= 2,449726 anos (1 ano = 360 días, 0,449726 son x
días) • n= 2 anos, 5 meses, 12 días
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EJERCICIOS
• En qué tiempo un capital de $ 700.000 se duplicará invertido a una tasa del 18% capitalizable semestralmente?
• En qué tiempo un capital de $ 2.500.000 , se
convertirá en $ 5.625.000 invertido a una tasa de interés anual del 24% capitalizable semestralmente?
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• En cuantos anos aumentará en ¾ su valor un capital de $ 600.000 invertido a una tasa de interés del 17% capitalizable semestralmente ?
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VALOR ACTUAL A INTERES COMPUESTO
• El VAC es el valor de un documento, inversión o deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa de interés
• VAC significa el valor de un pago futuro en una determinada fecha antes de su vencimiento
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Responde por ejemplo a : • Cuanto vale HOY día una deuda de $ 1.000.000
que vencerá en 5 anos mas ? • En cuanto se puede vender HOY un documento
de $ 5.000.000 que en vence en 4 anos más?
42
• Si tenemos que: M= C(1 + i )n
Despejamos C C = para tasa efectiva
Para tasa nominal =
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M
(1 + i )n
C M
(1 + i/m )mn
• Para el cálculo del VAC (entre la fecha de suscripción y la fecha de vencimiento) pueden haber dos casos generales:
• Caso 1: Cuando conocemos el valor que tendrá un documento al cabo de n periodos ( o sea, conocemos el Monto)
• Caso 2 : Cuando conocemos el valor hoy día del documento que gana interés. En este caso desconocemos el Monto (hay que calcularlo).
44
Ejemplo Caso 1: • Cual es el VAC de un pagaré cuyo valor al
vencimiento al final de 4 años es $ 3.500.000, considerando una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente?
Entonces tenemos que : • M=$ 3.500.000.- • J = 0,12 • m = 2 • t = 4
45
• C= M ( 1 + j/m)
• C = M ( 1 + 0,12/ 2)
• C = 3.500.000 ( 1 + 0,06)
• C = 3.500.000 (0,627412) = $ 2.195.943,30
46
- mt
-(2)4
-8
1 0 2 3 4
$ 2.195.943,30 $ 3.500.000
47
Ejemplo Caso 2: • Cual es el VAC de un pagaré cuyo valor nominal
es $ 500.000 a 6 años plazo considerando una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente desde su suscripción si se vende dos años antes de la fecha de vencimiento , considerando una tasa anual del 14% capitalizable semestralmente?
Solución gráfica
48
0 1 2 3 4 5 6
$ 500.000 M= ? C= ?
Entonces primero se calcula el Monto a 6 anos: • M = C ( 1 + i/m) • M = 500.000 ( 1 + 0,12/ 2)
• M = 500.000 ( 2,012196)
• M = $ 1.006.098,236
49
mn
2(6)
Ahora calculamos el VAC 2 anos antes de su vencimiento
C = M (1 + i/m) C = 1.006.098,236 ( 1 + 0,14/ 2) C = 1.006.098,236 (0,762895) C = $ 767.547,58 ( VAC)
50
-mn
-2(2)
VAC CON TIEMPO FRACCIONARIO
Para calcular el VAC con períodos de capitalización fraccionarios, utilizamos la fórmula del interés compuesto
C = o lo que es lo mismo C = M ( 1 + i )
51
M
(1 + i ) n
-n
Ejemplo El valor de un pagaré al cabo de 7 anos será $3.400.000. Calcular su VAC luego de transcurridos 3 años y
4 meses de la fecha de suscripción , considerando una tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente
M = $ 3.400.000 i/2 = 0,14 /2 = 0,07
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Calculamos primero el tiempo n Aplicamos la fórmula: C C = $ 2.070.131,25
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= (7)(12) – [ (3)(12) + 4 ]
6 = 44/ 6 = 7,3333
= $ 3.400.000( 1 + 0,14/2) - 7,3333
EJEMPLO Luego de 3 años y 3 meses de la fecha de
suscripción se negocia un documento suscrito el día de hoy por $ 2.800.000 a 6 años 9 meses con una tasa de interés del 12% capitalizable semestralmente. Calcular el valor actual a dicha fecha considerando una tasa de interés del 11,25% efectiva.
54
• Se calcula el Monto al final de los 6 años y 9 meses
n M 2.800.000 ( 1 + 0,12/2) M $ 6.148.755,355
55
= (6)(12)+ 9
6 =
81
6 = 13 3/6 = 13,5
= 13,5
=
Ahora se calcula el valor actual a los 3 años y 3 meses, si la tasa de interés es del 11,25% efectiva
El tiempo que falta para el vencimiento del documento es:
n C = $ 6.145.755,355 (1+0,1125) C = $ 4.233.866,90
56
= [6(12) +9] – [3(12)+3]
6 = 3,5 anos
- 3,5
EJERCICIOS
• Calcule el VAC de un pagaré cuyo valor al término de 3 años y 6 meses será de $ 2.100.000 considerando una tasa de interés del 16% anual capitalizable semestralmente.
• Un documento suscrito hoy por $ 950.000 a 5 años plazo a una tasa del 17% anual capitalizable semestralmente , se vende dos anos antes de la fecha de su vencimiento considerando una tasa del 18% anual capitalizable semestralmente. Calcule el VAC a esa fecha
57