3 Interes Compuesto

INTERES COMPUESTO

56 Matemtica Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado.

D. INTERES COMPUESTO

Objetivos

Al finalizar este capitulo estaremos en capacidad de:

a) Establecer y explicar la diferencia entre monto a inters simple y monto compuesto.

b) Argumentar la diferencia de tasa de inters peridica nominal y tasa peridica efectiva.

c) Explicar los conceptos de tasas de inters equivalentes, perodos de capitalizacin, frecuencia de capitalizar intereses segn la tasa de inters nominal.

d) Analizar los modelos de capitalizacin de intereses discreta y continua.

e) Adquirir habilidades en el planteamiento y resolucin de problemas relacionados con: monto compuesto, tiempo, inters, valor actual , tasas de inters nominal, efectiva y equivalentes.

f) Desarrollar habilidades en el planteamiento y resolucin de problemas de ecuaciones de valores equivalentes a inters compuesto.

1. Introduccin

Anteriormente abordamos problemas de inters simple, donde el capital permanece invariable o constante durante todo el tiempo que dura la transaccin y los intereses se retiran peridicamente. Cuando utilizamos el mtodo de Inters Compuesto, el capital aumenta en cada perodo; por cuanto el inters se integra al capital, para luego calcular intereses sobre un nuevo monto en cada perodo. Por ello, es muy corriente decir que en el Inters Compuesto los intereses ganan intereses, debido que stos se capitalizan en cada perodo de liquidacin de inters.

Al proceso de integracin de los intereses al capital al final de cada perodo de inters, le conocemos como capitalizacin de intereses y constituye la esencia del mtodo de inters compuesto. Producto de este mecanismo, el capital invertido con este mtodo crece ms rpidamente, convirtindose en el sistema de clculo de intereses ms utilizado en las operaciones financieras de las instituciones bancarias y de prstamos.

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2. Monto compuesto

Estamos interesados en deducir la frmula general que nos permitir el clculo del monto de una suma de dinero a inters compuesto. En particular iniciaremos con el ejemplo 1.23.

Ejemplo 1.23Una persona acude a un banco y deposita $2,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un ao. El banco paga inters del 9% convertible trimestralmente (inters compuesto). Cul ser el valor del depsito al final del ao?

SolucinSe trata de hallar el valor futuro del depsito con una tasa de inters del 0.09/4 = 2.25% acumulativo por trimestre. Esta situacin se ilustra en la tabla 1.14.

Datos P = 2,000, i = 0.0225 trimestre, N = 4 trimestres

Periodo trimestral

Valor inicio de periodo

Inters devengado en el periodo

Valor a final de periodo

No. P I = P i n F = P + P i n 1 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,045.00 2 $2,045.00 2,045.00(0.0225) = 46.01 $2,091.01 3 $2,091.01 2,091.01(0.0225) = 47.05 $2,138.06 4 $2,138.06 2,138.06(0.0225) = 48.11 $2,186.17 Tabla 1.14

2,138.06 2,186.17 2,045 2,091.01

0 1 2 3 4 Trimestres

Grfico 1.15 1,000

Los nuevos montos o valores futuros en cada periodo, se muestran en el grfico 1.15, observemos que en cada trimestre, el inters se suma al capital a este proceso se le llama capitalizacin.

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El flujo mostrado en el grfico 2.15 se puede representar a travs del grfico 2.16 donde la operacin se realiza desde el valor presente hasta el valor futuro, o sea, desde el inicio hasta el final del plazo. 2,186.17

0 1 2 3 4 Trimestres

Grfico 1.16 1,000

3. Valor futuro con inters compuesto

Para deducir la frmula general del clculo de la equivalencia financiera entre una suma de dinero presente P y una suma futura F llamada monto, utilizaremos los resultados del ejemplo 1.23, los cuales se muestran en la tabla 1.15

Periodo de inters

Valor inicio de perodo

Inters devengado en el periodo

Valor final de perodo

No. P I F 1 P Pi F = P(1 + i) 2 P(1 + i) P(1 + i) ( i ) F = P(1 + i)2

3 P(1 + i)2 P(1 + i)2 ( i ) F = P(1 + i)3

4 P(1 + i)3 P(1 + i)3 ( i ) F = P(1 + i)4

. . . N

. . . P(1 + i)N-1

. . .P(1 + i)N-1 ( i )

. . . F = P(1 + i)N

Tabla 1.15

De lo anterior se generaliza la frmula de valor futuro a inters compuesto para N perodos de capitalizacin de intereses de la siguiente manera:

201. Ni 1PF

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Donde:

La frmula 1.20 tambin se puede escribir en sus formas equivalentes de la siguiente manera

Donde:

En la frmula 1.23 el valor de la tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal anual si m =1.

1.21 n.m

m

j 1PF

1.22 ne

i 1PF

231.1m

m

j 1

ei

cincapitaliza de periodos deNmero n .m N

efectivaoperidicaTasa m

ji

F : Valor Futuro o monto a inters compuesto de una deudaP : Valor Presente o principal de una deudajm : Tasa de inters nominal con periodos anuales m : Frecuencia de capitalizacin o liquidacin de intereses segn el perodo de la tasa nominal j i : Tasa de inters efectiva para cualquier perodo n : Plazo en aos y total de capitalizaciones anuales de intereses N : Nmero total de capitalizaciones en el plazo

ie : Tasa de inters efectiva anual

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Si resolvemos nuevamente el ejemplo 1.23 por la frmula 1.21, obtenemos el mismo resultado;

Datos P = $ 2,000 j = 9% tasa nominal anual m = 4 frecuencia de capitalizacin anual i = j/m = 2.25% tasa efectiva trimestral n = 1 ao de plazo de la operacin N = 4 periodos capitalizacin

Solucin

Observemos que el resultado es el mismo, tanto por deduccin como por induccin. En la solucin anterior debemos sealar que el valor de 0.0225 es lo que gana un dlar en un trimestre y N = 4x1 es el nmero de capitalizaciones durante el tiempo de la operacin financiera; lo que significa que $2,000 colocados al 2.25% trimestral producen al cabo de 4 trimestres un monto o valor futuro de $2,186.17 dlares.

4. Tasas de inters

a. Tasa nominalLa tasa de inters nominal es la tasa pactada o establecida en toda operacin financiera, generalmente es para perodos anuales pero tambin puede definirse para perodos menores que un ao. Esta tasa no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses. Por ejemplo, consideremos las siguientes tasas de inters con su frecuencia de convertir o capitalizar intereses. La tasa nominal la denotaremos por j.

a) 20% convertible trimestralmente, significa que es una tasa nominal anual con 4 conversiones en un ao.

b) 18% convertible mensualmente, tasa nominal anual con 12 conversiones anuales.

c) 24% convertible semestralmente, tasa de inters nominal anual con 2 conversiones en un ao.

b. Tasa efectivaLa tasa efectiva es peridica y expresa la rentabilidad a inters compuesto, mide el porcentaje de ganancia de la inversin, por tanto tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. En este texto, la tasa efectiva para periodo diferente de un

2,186.171.0930832,000 40.0225 12,000F

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ao la denotaremos como i; para periodo anual, la tasa efectiva la denotaremos

por ie.

La tasa efectiva peridica i esta dada por

La tasa efectiva anual est por la frmula 1.23

Ejemplo 1.24Para cada uno de los casos determinemos las tasas efectivas.

a) Para 24% convertible mensualmente (C.M). Es una tasa nominal j con frecuencia anual m = 12 de capitalizar intereses con;

b) 7% semestral. Es una tasa efectiva i = 7% por semestre.

c) 16% convertible trimestralmente (C.T). Es una tasa nominal j con frecuencia anual m = 4 con tasas efectivas;

d) 12% semestral, convertible bimensualmente CB. Es una tasa nominal j de con frecuencia anual m = 6.

efectivaoperidicaTasa m

ji

anualefectivaTasa1m

m

j 1

ei

anualefectivaTasa26.8242%112

12

0.24 11

m

m

j 1

ei

mensual efectivaperidicaTasa 2% 12

0.24

m

ji

anualefectivaTasa16.9859%14

4

0.16 11

m

m

j 1

ei

trimestral efectivaperidicaTasa 4% 4

0.16

m

ji

anualtivaefecTasa12.6163%16

6

0.12 11

m

m

j 1

ei

bimensual efectivaperidicaTasa 2% 6

0.12

m

ji

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Concluimos del ejemplo anterior lo siguiente: si una empresa invierte al 24% convertible mensualmente, entonces tiene una ganancia o rentabilidad anual 26.8241% equivalente una rentabilidad mensual del 2% acumulativo, es decir que la ganancia mensual se invierte a la misma tasa. De igual manera, si invierte al 16% convertible trimestralmente, obtiene una ganancia anual de 16.9859% y una rentabilidad equivalente trimestral de 4% acumulativo. En la tabla 1.16 presentamos las notaciones y las frecuencias ms usuales de la tasa nominal anual en las operaciones financieras.

Concepto Notacin Frecuencia anualConvertible anualmente CA m = 1Convertible semestralmente CS m = 2Convertible cuatrimestre CCt M = 6Convertible trimestral CT m = 4Convertible bimensualmente CB m = 6Convertible mensualmente CM m = 12

Convertible quincenalmente CQ m = 24Convertible semanalmente CSe m = 52Convertible diariamente CD m = 365Convertible continuamente CC m (infinito)

Tabla 1.16

Ejemplo 1.25Calculemos el monto F de un capital de $6,000 invertido, al 20% CS a 5 aos de plazo:

DatosP = $6,000 capital invertidoj = 20% tasa de inters nominal anualm = 2 frecuencia de conversin de intereses anualesi = j/m = 0.20/2 = 10% tasa efectiva del periodon = 5 aos de plazo o tiempo N = mn = 2(5) = 10 periodos capitalizados semestralesF = ?SolucinLa solucin la hallamos utilizando la frmula 1.20

$15,562.452.5937426,000 100.10 16,000F

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Ejemplo 1.26Determinemos el valor final F de un depsito de $10,000 invertido, al 8% CM a 16 meses de plazo:

DatosP = $10,000 principal depositadoj = 8% tasa de inters nominal anualm = 12 frecuencia de conversin de intereses anuales i = j/m = 0.08/12 = 0.6666% tasa efectiva del periodon = 16/12 = 1.33333 aos de plazo N = mn = 12(1.333333) = 16 nmero de periodos capitalizadosF = ?

SolucinLa solucin la hallamos utilizando la frmula 1.21

Ejemplo 1.27Calculemos el monto F de un prstamo de $15,000 que se concede el da 10 de enero y vence el da 18 de julio del mismo ao con el inters del 18% CT.

DatosP = $15,000 principal prestadoj = 18% tasa de inters nominal anualm = 4 frecuencia de conversin de inters anuali = j/m = 0.18/4 = 0.045% tasa efectiva del periodon = 189/360 = 0.525 aos de plazoN = mn = 4(0.525) = 2.1 nmero de periodos capitalizadosF = ?


Ejemplo 1.28Determinemos el valor final F de un certificado de $30,000 que se adquiere con un inters del 12% CD a plazo de 3 aos.

$11,121.69 1.11216910,000

1212

16

12

0.08 110,000F

$16,452.63 1.09684215,000

4360

189

4

0.18 115,000F

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DatosP = $30,000 valor inicial de la inversinj = 12% tasa de inters nominal anualm = 365 frecuencia de conversin de intereses anualesi = j/m = 0.12/365 = 0.032876% tasa efectiva del periodon = 3 aos de plazoN = mn = 365(3) = 1,095 nmero de periodos capitalizadosF = ?SolucinLa solucin la hallamos utilizando la frmula 1.21

Ejemplo 1.29Hallemos el monto F de un capital de $5,000 invertido, al 0.76% mensual a un ao de plazo:

DatosP = $5,000 principal invertidom = 12 frecuencia de conversin de intereses anualesi = 0.76% tasa efectiva del periodon = 1 ao de plazoN = mn = 12(1) = 12 periodos capitalizados F = ?


Podemos proponernos hacer una comprobacin de los resultados de los ejemplos anteriores utilizando las frmulas 1.20, 1.21 y 1.22; y notaremos que son los mismos para cada operacin financiera.

Ejemplo 1.30Comprobemos el resultado del ejemplo 1.28 por la frmula 1.22.

DatosP = $30,000 valor inicial de la inversinj = 12% tasa de inters nominal anualm = 365 frecuencia de conversin de intereses anualesi = j/m = 0.12/365 = 0.032876% tasa efectiva del periodon = 3 aos de plazo

$42,997.33 1.43324430,000 3653365

0.12 130,000F

$5,475.551.095115,000 120.0076 15,000F

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N = mn = 365(3) = 1,095 nmero de periodos capitalizadosF = ?

Para usar frmula indicada primero debemos calcular la tasa efectiva anual ie, esto es;

As, la solucin por la frmula 1.22 que obtenemos es:

La solucin que hallamos anteriormente por la frmula 1.21 estaba dada por;

Concluimos que el resultado es el mismo, lo cual significa que las tasa de inters nominal del 12% CD es equivalente al 12.7475% efectivo anual.

c. Tasas equivalentesDos o ms tasas de inters, tanto nominales como efectivas son equivalentes, si al final de perodo rinden los mismos intereses y tienen la misma tasa peridica efectiva, es decir; para el inversionista le es indiferente invertir con cualquiera de las tasas dado que al final del plazo el monto es mismo como lo vimos en el ejemplo 1.28. Ms adelante abordaremos el clculo de las tasas equivalentes

5. Valor presente de una suma de dinero

El valor actual o presente P a inters compuesto, es el valor del dinero el da de hoy o el valor en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. El clculo del valor presente responde a la pregunta: si se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, cunto se tendr que invertir hoy, conociendo la tasa de inters y el plazo de la inversin? Otra forma de uso del valor presente, es para saber el valor actual de una deuda pendiente si deseamos pagarla por adelantado antes de la fecha de su vencimiento.

De las frmulas 1.20 y 1.21 al despejar la variable P, obtenemos el valor presente a inters compuesto, de la siguiente manera:

$42,997.33 1.43324430,000 3653365

0.12 130,000F

anualefectiva12.7475%1365

365

0.12 1

ei

$42,997.33 1.43324430,000 30.127475 130,000F

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Todas las variables bsicas definidas en las frmulas 1.20 y 1.21 son vlidas para las frmulas 1.24 y 1.25.

Ejemplo 1.31Una empresa debe pagar dentro de 2 aos, 5 meses y 18 das la cantidad de $100,000 a un inters del 16% C.S. Cul es su valor presente?

DatosF = $100,000 valor futuroj = 16% CS tasa de inters nominal anual m = 2 frecuencia de conversin de intereses en el aoi = j/m = 0.16/2 = 0.08 tasa efectiva por semestren = 2 + 5/12 + 18/360 = 2.4666666 plazo en aosN = mn = 2(2.4666666) = 4.93333 total de capitalizaciones semestrales

Solucin Por la frmula 1.24 obtenemos el valor presente o actual

El resultado anterior significa que el valor actual de la deuda futura $100,000 es de $68,408.41, cantidad que no contiene intereses y representa el valor del pronto pago el da de hoy.

6. Diferencias entre el inters simple y compuesto

Fundamentalmente existen dos diferencias entre ambos mtodos:

a) La aplicacin de los mtodos difieren en respuesta al tipo de operacin financiera efectuada; si los intereses son pagaderos por perodo, acta el

1.24 Ni 1

F Ni 1FP

$68,408.410.684084100,000 4.9333330.08 1100,000P

1.25 mn

m

j 1

F mn

m

j 1FP

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inters simple. Si los intereses son integrados al principal en cada perodo de liquidacin de intereses, acta el mtodo de inters compuesto.

b) El crecimiento de una inversin especfica se da en forma ms acelerada si es colocada a inters compuesto que a inters simple para un mismo plazo y una misma tasa de inters.

Si observamos el ejemplo, 1.23 resuelto en la tabla 1.14 podemos apreciar que el monto a inters compuesto de 2,000 dlares, colocados a una tasa del 2.25% trimestral, durante un ao de plazo, resulta $2,186.17. En cambio si realizamos el clculo a inters simple detectamos que se produce una ligera disminucin de $6.17 dlares en el monto de la misma operacin. Efectivamente, este resultado lo observamos en la tabla 1.17 y lo comprobamos a travs de:

La diferencia entre el clculo de inters compuesto y simple es debido a que los intereses devengados con inters simple en cada periodo no ganan intereses, ya que los intereses no se capitalizan.

Perodo trimestral

Valor inicio de perodo

Inters devengado Valor final de perodo

No. P I = P i n F = P + Pin 1 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,045.00 2 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,090.00 3 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,135.00 4 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,180.00 Tabla 1.14

F Monto a inters compuesto.

Monto a inters simple.

P

0 1 2 3 4 5 . . . n aos Grfico 1.17

$2,180.001.092,000 40.022512,000ni1PF

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Como ejercicio independiente dejamos al lector que establezca la relacin entre las tasas de inters de un cierto capital invertido a inters simple y compuesto.

El mtodo de clculo del inters compuesto, hace crecer a la inversin o principal de forma exponencial, en vista del proceso de capitalizacin de los intereses. El monto o valor futuro a inters compuesto crece en forma de razn geomtrica y su grfico corresponde a una funcin exponencial; en cambio, el valor futuro a inters simple crece en forma de progresin aritmtica y su grfico corresponde a una funcin lineal, como se aprecia en el grfico 1.17.

a. Uso de factores a travs de tablas

Desde hace buen tiempo ha sido una tradicin en la enseanza de las Matemticas Financieras, el empleo de las tablas de factores financieros dado que los especialistas en finanzas elaboraron tablas con factores para facilitar los clculos del valor del dinero.

Con el desarrollo de la ciencia y la tcnica y el surgimiento de las calculadoras electrnicas, el uso de las tablas financieras han quedado relegadas debido a su limitacin para abordar una diversidad de casos relacionados con las operaciones financieras. Por eso, en este texto trataremos en lo adelante no hacer uso de las tablas de factores financieros, ya que stos sern calculados a partir de las frmulas estndares, por ello se hace necesario e indispensable que dispongamos de una calculadora que nos facilite realizar dichos clculos.

No obstante, podemos hacer algunos clculos empleando las tablas de factores, la cual le hemos llamado forma alternativa de clculo.

b. Clculo de valor futuro forma alternativaComo definimos antes el valor futuro F, es la cantidad resultante al final de cierto perodo de tiempo (cierto nmero de perodos de capitalizacin) despus de sucesivas adiciones de los intereses al capital o principal. Plantearemos ahora, la frmula 1.26 de forma alternativa para el clculo del monto de la siguiente manera:

La expresin (F/P, i, n) se lee se busca F dado P a la tasa de inters i durante el tiempo n (o nmero de capitalizaciones N y se encontrar en la primera columna (F/P) de las tablas de factores de matemticas financieras.

El valor numrico de la expresin (F/P, i, n) es exactamente igual al factor

F = P (F/P, i, n) 1.26

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de la frmula 1.20 para el clculo del monto compuesto.

c. Clculo de valor presente forma alternativaDe la frmula 1.24 tambin podemos determinar el valor presente P, utilizando la frmula alternativa 1.27 a travs de tablas financieras o sea;

La expresin (P/F, i, n) se lee se busca P dado F a la tasa de inters i, durante el tiempo n (o perodos de capitalizaciones N) y se encontrar en la segunda columna (P/F) de la tabla de factores de matemticas financieras.

Esta expresin (P/F, i , n) en valor numrico es exactamente igual al factor;

Correspondiente a la frmula 1.24. Analicemos los ejemplos que se dan a continuacin para comprender mejor los conceptos de valor presente a inters compuesto.

F = 24,007.26

0 1 2 3 4 . . . 27.67 Meses

P = ? Grfico 1.18

P = F(P/F, i, n) 1.27

nmm

j 1Ni 1

mnNN

mj 1

1 i 1

1 i 1

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Ejemplo 1.32Una empresa al final del plazo fijo de 2 aos, 3 meses y 20 das obtiene la cantidad de $24,007.26 en concepto de un depsito. Si el inters es del 8% CT. Determines el valor inicial del depsito. Grfico 1.18

DatosF = $24,007.26 valor futuroj = 8% C.T. tasa de inters nominal anualm =4 frecuencia de conversin de interesesi = j/m = 0.08/2 = 0.02 tasa efectiva por trimestren = 2 + 3/12 + 20/360 = 2.305555 aosN = m.n = 4(2.305555) = 9.22222 total de capitalizaciones trimestralesP = ?

SolucinEl valor que tenemos que hallar es el presente. La solucin del problema la obtenemos a travs de la frmula 1.24

El valor del depsito de la empresa es de $20,000.00

Ejemplo 1.33Una persona pag al final del plazo de 2 aos $7,549.00, en concepto de principal ms intereses del 18% efectivo anual. Determinemos el valor del prstamo que recibi la persona. Grfico 1.18

P = ?

0 1 2 Aos

Grfico 1.18 F = 7,549Datos F = 5,549 valor futuro ie = 18% tasa de inters efectivo anual n = 2 aos de plazom = 1, frecuencia de conversin de interesesF = ?

$20,000.00 0.83308124,007.26 2.3055544

0.08 124,007.26P

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SolucinSe busca en la tabla de factores financieros, la tasa del 18% en correspondencia al perodo N = mn = 2, encontramos el factor (0.7182) que corresponde al valor de la expresin de factores financieros (P/F, i, n) y que reemplaza al factor

de la frmula 1.25, esto es;

P = F(P/F, i, n) = 5,549(P/F, i, n) = 5,549(0.7182) = $3,985.29

Si empleamos la frmula 1.25 para el clculo exacto de valor presente, tenemos:

Observamos que hay una diferencia mnima entre las dos respuestas. Esto es debido a que estamos usando todos los decimales sin redondear el factor financiero. Cuando utilizamos los factores financieros dados en las tablas, los resultados muchas veces no son exactos por efecto de redondeo de dicho factor.

Ejemplo 1.34Determinemos el valor presente de un documento por el cual al final de 18 meses, se pag un monto de $125,310.50 a un inters del 15% C.M. Grfico 1.19

P = ?

0 1 2 3 . . . 18 Meses

Grfico 1.19 F = 125,310.50DatosF = $125,310.50 valor futuroj = 15% tasa nominal anualm = 12 frecuencia de conversin de inters anuali =j/m = 0.30/12 = 0.025 tasa efectiva del periodon = 1.5 plazo en aosN = m.n = 12(1.5) = 18 nmeros de periodos capitalizadosP= ?

211

0.18 1 nm

m

j 1

$3,985.21 0.7181845,549.00 211

0.18 15,549.00P

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SolucinSi buscamos en una tabla de factores financieros, la tasa i = 0.15/12 = 0.0125

mensual en correspondencia al perodo N = m.n = 12(18/12) = 18 que significan el total de perodos capitalizados, encontramos el factor (0.7996) que es el valor de la expresin (P/F, i, n) y que reemplaza al factor

Por tanto la solucin es: P = F(P/F, i, n) = 125,310.50(P/F, i, n) = 125,310.50(0.7996) = $ 100,198.27

Si empleamos la frmula 1.25 para el clculo exacto de valor presente, obtenemos;

En este caso la diferencia entre ambas respuestas es de $3.85.

Ejemplo 1.35En la compra de una casa, el Sr. Martnez paga $55,000 de cuota inicial o enganche y acuerda desembolsar $122,500 dos aos despus para cancelar totalmente la casa. Determinemos el valor de contado de la casa, si la tasa de inters es del 24% C.T. Grfico 1.20

DatosC0 = $55,000 cuota inicial F = $125,500 valor futuro a pagarj = 16% tasa de inters nominal anualm = 4 frecuencia de conversin de intereses anualesi = j/m = 0.16/4 = 0.04 tasa efectiva del periodon = 2 aos de plazo para pagar el saldoN = m.n = 8 periodos de capitalizaciones trimestrales

1218

12

12

0.15 1 nm

m

j 1

1$100,202.1 0.799631125,310.50 12

1812

12

0.15 1125,310.50P

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P = ?

0 1 2 3 . . . 8 Trimestres

55,000 Grfico 1.20 F = 125,500

SolucinEl valor de contado de la casa es el valor presente de todos los pagos que deben realizarse, de esta manera; si buscamos en la tabla de factores financieros, la tasa trimestral del 4% en correspondencia al perodo N = 8, encontraremos el factor (0.7307) que es el valor de la expresin (P/F, i, n) que aparece en las tablas y que reemplaza al factor;

El valor presente de la cuota inicial es su mismo valor, dado que coincide con la fecha focal que es el valor cero en la escala tiempo valor, as la solucin es;

P = C0 + F (P/F, i, n) = 55,000 + 122,500(P/F, i, n) = 55,000 + 89,510.75 =

P = $ 144,510.75

El clculo exacto a travs de la frmula 1.25 es:

7. Nmero de periodos capitalizados y plazoEl clculo del nmero de perodos capitalizados a inters compuesto es til que lo conozcamos para estimar el tiempo o plazo que puede alcanzar un monto prefijado de una determinada inversin realizada a partir del da de hoy, sabiendo la tasa de inters que acta en la operacin. Como sabemos N representa el nmero de perodos capitalizados el cual est dado por;

0.1 1 nmm

j 1 24

4

6

5$144,509.589,509.5555,000

0.730690122,50055,000 21212

0.16 1122,50055,000P

m

Nnesplazootiempoeldonden.mN

INTERES COMPUESTO


As; de la frmula 1.20 sabemos que:

Se trata de despejar el exponente N en (1) de la siguiente manera:

Aplicando logaritmo natural ( ln ) a ambos miembros de la ecuacin (2), tenemos;

En (3) despejamos N y obtenemos la frmula deseada para el clculo de nmero de periodos capitalizados de inters en la operacin desde el inicio hasta el final.

La frmula 1.28 tiene sus acepciones, por ejemplo si en la operacin financiera interviene una tasa nominal j entonces la frmula para calcular el plazo es;

Si la tasa de inters que utilizamos es la efectiva anual ie entonces la frmula para determinar el nmero de periodos que coinciden con el plazo en aos es la siguiente:

81.2 i1lnP

Fln

N

)( Ni 1PF 1

(2) P

F

Ni 1

P

Flni 1Nlnentonces

(3) P

Fln

Ni 1ln

91.2

m

j1ln

P

Fln

m

1n

INTERES COMPUESTO


Ejemplo 1.36Una persona invirti en un CDT (certificado de depsito a trmino) la cantidad de $15,000 y le redimieron $19,438.60. Determinemos el nmero de periodos y el plazo del certificado, si la tasa de inters fue del 18% CT. Grfico 1.21

F = 19,438.60

0 1 2 3 4 . . . n = ?

Grfico 1.21

P = 15,000 DatosP = $15,000 principal invertidoF = $19,438.60 valor futuro o valor redimidoj = 18% C.T. tasa de inters nominal anualm = 4 frecuencia de conversin de inters anuali = 0.18/12 = 0.045 tasa efectiva del periodoN = ?, n = ?

SolucinPor la frmula 1.28 calculemos el nmero de periodos de inters esto es:

Para hallar el plazo utilicemos la frmula .129 o sea;

trimestres 5.888876 0.0440160.259210

0.0451ln

15,000

19,438.60ln

N

1.30 e

i1ln

P

Fln

n

aos1.4722195.8888764

1

0.044016

0.259210

4

0.181ln

15,000

19,438.60ln

4

1n

INTERES COMPUESTO


El valor 1.472219 representa aos comerciales. Ms exactamente el plazo del CDT se obtiene multiplicando los decimales de ao (0.472219) por 12 para obtener meses y multiplicando los decimales de meses (0.666628) por 30 para obtener das; as el plazo es: 1 ao, 5 meses, 20 das comerciales aproximadamente.

Ejemplo 1.37Una empresa paga un monto de $8,300.20 para saldar un prstamo de $5,000 con inters del 16% efectivo anual. Determinemos el plazo y los periodos capitalizados del prstamo.

DatosP = $5,000 principal prestadoF = $8,300.20 valor futuro o monto del prstamoie = 16% tasa de inters efectivo anualn = ?, N = ?

SolucinEn este caso el nmero de periodos capitalizados coincide con el plazo en aos, por la frmula 1.30 obtenemos las respuestas;

La respuesta anterior significa que el nmero de periodos capitalizados y el plazo es 3.4149139 aos. En aos comerciales es: 3 aos, 4 meses y 29 das.

Ejemplo 1.38Si los periodos capitalizados de cierta operacin financiera son de 32.892345 meses, determinemos exactamente el plazo en: aos, meses y das comerciales.

DatosN = 32.892345 periodos capitalizados mensualesm = 12 frecuencia de conversin de intereses anualesn = ?

SolucinEl nmero de periodos y el plazo se expresan de la siguiente manera;

aos 3.4149139 0.1484200.506842

0.161ln

5,000

8,300.20ln

n

m

Nnesplazootiempoeldonden.mN

INTERES COMPUESTO


As, el plazo en aos comerciales es;

Concluimos que el plazo en ao comercial aproximadamente es: 2 aos, 8 meses y 27 das.

8. Tasas de inters efectivas y nominalesEn esta seccin abordaremos el clculo de las tasas de inters efectivas y nominales a partir del conocimiento del valor futuro F de un valor presente P y el plazo n de una operacin financiera. Podemos hallar la tasa efectiva de inters i para cualquier perodo, excepto anual; sta tasa la definimos anteriormente como la rentabilidad de la inversin a inters compuesto. De la frmula general de inters compuesto, despejamos i de la siguiente forma:

de donde la tasa efectiva peridica i es:

La tasa efectiva ie anual la obtenemos de la ecuacin

Despejamos

1.31 1N

1

P

Fi

321. 1n

1

P

Fe

i

das27:das26.77300.892345

meses8:meses8.892345120.741028

aos2: aos 2.741028 12

32.892345

m

Nn

P

F

Ni 1entonces

Ni 1PFComo

P

F n

ei 1entonces n

ei 1PF

INTERES COMPUESTO


Dado que la tasa peridica i = j/m y N = mn, entonces resulta;

De la relacin anterior obtenemos la tasa nominal j;

Ejemplo 1.39Si invertimos $2,500 dlares y dentro de 5 aos nos pagan intereses y principal por $3,700.61. Hallemos la tasa de inters nominal CS y la tasa efectiva anual que ganamos.

Datos P = $2,500 valor presenteF = $3,700.61 valor futuron = 5 aos de plazom = 2 frecuencia de conversin de intereses anualesj = ? , ie = ?

SolucinSi utilizamos la frmula 1.33 obtenemos la tasa nominal j;

Por la frmula 1.32 calculamos la tasa efectiva ie ;

1.33 1n.m

1

P

Fmj

.S.C %8 j sea o 0.0811

2,500

3,700.612j

52

anual efectivo 8.16% ei sea o 0.0816 15

1

2,500

3,700.61ei

P

F

n.m

m

j 1entonces

n.m

m

j 1PF

INTERES COMPUESTO


Ejemplo 1.40Una persona invirti $10,000 dlares en un certificado y al final del plazo de 2 aos le redimieron $14,845.76. Determinemos las tasas de inters que gana la inversin:

a) efectiva mensualb) efectiva anualc) nominal convertible semestralmente CT

Datos P = $10,000 valor presente invertidoF = $14,845.76 valor redimido o futuron = 2 aos de plazom = 12 frecuencia de conversin de intereses anuales ( para solucin inciso a)m = 1 frecuencia de conversin de intereses anuales ( para solucin inciso b)m = 4 frecuencia de conversin de intereses anuales ( para solucin inciso c)

Solucina) A travs de la frmula 1.31 obtenemos la tasa efectiva mensual i;

b) La tasa efectiva anual en este caso es:

c) La solucin de la tasa nominal CT es a travs de la frmula 1.33.

Concluimos en este ejemplo que las tasas de inters: 1.66% efectiva mensual, 21.8432% efectivo anual y 20.2525% nominal CT son tasas equivalentes, ya que para la misma inversin de $10,000 y para el mismo plazo de 2 aos producen los

mensual %1.66 i sea o 0.016612121

10,000

14,845.76i

anual efectivo 21.8432% ei sea o 0.218432 12

1

10,000

14,845.76ei

.T.C %20.2525 j entonces0.2025251241

10,000

14,845.764j

INTERES COMPUESTO


mismos intereses de $4,845.76. En la seccin 10 de este capitulo abordaremos el clculo de la tasas equivalentes.

9. Inters compuesto convertible continuamente

Estudiaremos en esta seccin un tipo de clculo de intereses de forma continua, es decir; que las capitalizaciones que se producen en un periodo dado son infinitas. En este caso la palabra infinito se deriva del concepto de continuidad infinitesimal. Los modelos de inters compuesto estudiados anteriormente se denominan discretos, debido a que las capitalizaciones en el periodo de la tasa de inters nominal son finitas, es decir; podemos saber exactamente el nmero de ellas, por ejemplo si decimos 20% CM significa que la frecuencia de capitalizar intereses es de 12 veces en el ao y el capital invertido en estas condiciones crece en forma discreta, entonces para el clculo del monto utilizamos los modelos discretos.

En cambio si decimos 22% CC (convertible continuamente) significa que las capitalizaciones de inters por periodo de la tasa nominal son infinitas y el capital crece de forma continua. En este caso para el clculo del monto compuesto es necesario que utilicemos el modelo de capitalizacin continua.

La importancia de las capitalizaciones continuas estriba en el uso que le dan las instituciones financieras para llamar la atencin de los ahorrantes. Por ejemplo, es normal escuchar la publicidad de las instituciones ofertando a los ahorrantes, tasas de inters convertibles continuamente, cuando afirman que el dinero depositado en sus cuentas de ahorro crece de da, de noche y en todo momento, es decir; no se detiene de crecer. Se trata entonces, de tasas de inters convertibles de forma continua. Ms adelante aprenderemos a transformar una tasa nominal con frecuencia discreta de capitalizar intereses a una tasa nominal con frecuencia infinita, esto lo lograremos con el clculo de las tasas equivalentes.

a. Monto a inters convertible continuamenteAnteriormente calculamos el valor futuro F con una tasa nominal j con una frecuencia finita m veces de capitalizaciones de intereses, mediante la frmula 1.21. Esta frmula no la podemos usar cuando la frecuencia de capitalizaciones de la tasa nominal es continua, ya que la variable m en este caso tender a infinito, es decir; crece sin lmite. Pero la podemos transformar de tal manera que sea posible aplicarla en estas condiciones. Esta transformacin se efecta a partir de la frmula 1.21 que la retomamos:

En la ecuacin (1) hacemos un cambio de variable, denotamos:

(1) n.m

m

j 1PF

INTERES COMPUESTO


Si reemplazamos este valor en la ecuacin (1) tenemos;

En la ecuacin (2) m tiende a infinito (m ) entonces, tambin w tiende a infinito ( w ). En estas condiciones, podemos aplicar lmite al infinito a la expresin que aparece entre corchetes,

El resultado e = 2.7182818 de (4) lo reemplazamos en la ecuacin (3) obtenemos la frmula del clculo del monto compuesto continuamente, tambin llamado modelo continuo;

Donde:

(2) jnw

w

11P

wjn

wj

j 1PF

sea; o ),(w infinito a tiende w cuando w

w

11

(3) jnw

w

11

wlimP F

(4) ..2.7182818.e w

w

11

wlim lmitedelnaproximaci Por

1.34 n

eP Fj

j w mentoncesj

mw

INTERES COMPUESTO


En el grfico 1.22 presentamos la forma en que aumenta el capital invertido a inters convertible continuamente.

F Monto a inters compuesto continuo

P

0 1 2 3 4 5 . . . n aos Grfico 1.22

Ejemplo 1.41El seor Gutirrez debe cancelar el monto de un prstamo que vence dentro de 5 meses. Si el principal es de $2,450.80 y el inters es del 17.5% CC. Determinemos el monto en la fecha de vencimiento.

DatosP = $2,450.80 principal prestado = 17.5% CC tasa de inters convertible continuamenten = 5/12 = 0.416666 ao de plazoF = ?

Solucin Por la frmula 1.34 obtenemos la respuesta.

F: valor futuro o montoP: valor presente o principal : tasa peridica nominal convertible continuamente (CC)n : plazo de la operacin financierae : constante de valor e = 2.7182818...

INTERES COMPUESTO


El monto esperado ser entonces de $ 2,636.18

Ejemplo 1.42Si depositamos $12,000 en una cuenta aplazo fijo de 10 meses con el inters del 10% CC Cunto tendremos en la cuenta al finalizar el plazo?

DatosP = $12,000 principal depositado = 10% CC tasa de inters convertible continuamenten = 10/12 = 0.833333 ao de plazoF = ?

Solucin Nuevamente por la frmula 1.34 obtenemos la respuesta.

Al finalizar el plazo tendremos en nuestra cuenta la cantidad de $ 12,042.85

b. Valor presente a inters convertible continuamentePara determinar el valor presente con inters convertible continuamente partimos de la frmula 1.34 donde las variables definidas siguen siendo vlidas esto es:

Ejemplo 1.43Hallemos el valor que pagaramos hoy por una deuda de $18,000 que vence dentro de 15 meses, si el inters es del 15.6% CC

DatosF = $18,000 monto o valor futuro de la deuda = 15.6% CC tasa de inters convertible continuamenten = 15/12 = 1.25 aos de plazoF = ?

Solucin Utilizando la frmula 1.35 obtenemos el valor actual de la deuda.

2,636.18$ )(1.07564082,450.80 6666)0.175(0.412,450.80 njPF ee

13,042.85$ (1.086904)12,000 333)0.10(0.83312,000 njPF ee

1.35 nj

Fe nj

e

1F P

INTERES COMPUESTO


El valor del pronto pago de la deuda hoy sera de $ 14,811.02

c. Plazo a inters convertible continuamenteSi queremos hallar el plazo cuando la operacin financiera es con inters convertible continuamente, despejamos la variable n en la frmula 1.34 de la siguiente forma;

Aplicando logaritmo natural a la ecuacin derecha obtenemos;

La frmula 1.36 expresa el plazo de la operacin en aos si la tasa nominal es anual, de lo contrario expresar el perodo en que est definida dicha tasa de inters.

Ejemplo 1.44Una empresa invierte $20,000 en un certificado de inversin obtendr una ganancia por intereses de $3,944.35 si inversin se coloca al12% CC. Hallemos el plazo del certificado.

DatosF = P + I = $20,000 + $3,944.35 = $23,944.35 valor futuro del certificadoP = $20,000 valor presente o principal invertido = 12% CC tasa de inters convertible continuamenten = ? Solucin Por la frmula 1.36 obtenemos el plazo de la inversin.

14,811.02$ (0.822835)18,000 )0.156(1.2518,000 njFP ee

P

F

nj entonces

njP F Si ee

donde;de P

Flnnj entoces

P

Fln

njln e

1.36 P

Fln

j

1n

INTERES COMPUESTO


Debido a que la tasa nominal es anual, entonces el valor 1.5 es el plazo en aos.

d. Tasa de inters convertible continuamenteTambin en algunos casos, se hace necesario que conozcamos la tasa de inters convertible continuamente a partir del valor futuro F, el valor presente P y el plazo n de la operacin. De la frmula 1.36 despejamos la variable ;

De la frmula anterior concluimos que el periodo de la tasa nominal convertible continuamente, depende de la unidad en que est expresado el plazo, por ejemplo; si el plazo est definido en meses el perodo de la tasa r tendr una expresin en meses; si el plazo es en ao el perodo de la tasa ser expresada en aos.

Ejemplo 1.45La sociedad Atlas obtiene un descuento y paga $48,356.90 por una deuda que dentro de 7 meses tendra un valor de $54,978.50. Calculemos la tasa nominal CC que le aplican en el descuento.

DatosF = $54,978.50 valor futuro de la deudaP = $48,356.90 valor presente o valor lquido que pagan = 7/12 = 0.583333 ao de plazo = ? Solucin A travs de la frmula 1.37 obtenemos la tasa del descuento continuo.

Concluimos que la tasa resultante de 22% tiene perodo anual dado que el plazo lo definimos en ao.

1.5 0.1800008.3333 20,000

23,944.35ln

0.12

1

P

Fln

j

1n

1.37 P

Fln

n

1 j

anual22% sea o 0.22 0.1283338.3333

48,356.90

54,978.50ln

0.583333

1

P

Fln

n

1j

INTERES COMPUESTO


Ejemplo 1.46Si resolvamos el ejemplo 1.45 considerando el plazo en meses y no en ao comprobaremos la afirmacin anterior.

DatosF = $54,978.50 valor futuro de la deudaP = $48,356.90 valor presente o valor lquido que pagan = 7 meses de plazo = ? Solucin Nuevamente por la frmula 1.37 obtenemos la tasa del descuento continuo.

Ahora concluimos que la tasa nominal resultante de 1.8333% CC tiene perodo mensual, dado que el plazo lo definimos en meses.

10. Tasas equivalentes nominales y efectivasAl iniciar este captulo abordamos las tasas de inters nominales y efectivas. En esta seccin trataremos de establecer la relacin de equivalencias existente entre estas tasas. Como definimos antes la tasa nominal es aquella que se pacta o que se establece en todas las operaciones financieras; reafirmamos que esta tasa de inters establece la forma en que se liquidan o que se capitalizan los intereses y no mide rentabilidad. Por ejemplo, j = 10% CT significa una tasa nominal anual con capitalizacin de intereses trimestrales, o sea, tiene una frecuencia anual m = 4 y tasa efectiva de perodo trimestral de i = 2.5% . Esto resulta que la tasa nominal, es igual a la tasa del perodo multiplicada por la frecuencia, es decir;

j = i(m) = 0.025(4) = 0.10 = 10%

Por otro lado, la tasa efectiva i es la tasa peridica de rentabilidad a inters compuesto, mide el porcentaje de utilidad peridica que realmente se adiciona al capital en el instante en que se liquida.

La tasa efectiva puede ser diaria, mensual, trimestral, semestral, anual o cualquier otro perodo que se defina. Para perodos de inters menores que un ao o mayores que un ao la tasa efectiva la denotamos en este texto por ( i ) y cuando el perodo sea anual la denotaremos por ie .

Cuando la tasa nominal establece perodos de capitalizacin una sola vez al ao, entonces decimos que la tasa nominal j es igual a la tasa efectiva anual ie. Si los

mensual1.8333% sea o 0.018333 0.1283330.142857

48,356.90

54,978.50ln

7

1

P

Fln

n

1j

INTERES COMPUESTO


intereses se capitalizan m-veces en un perodo dado, entonces decimos que la tasa de inters es necesariamente nominal para ese perodo, pues las tasas efectivas no se capitalizan.

11. Metodologa para equivalencias de tasas nominales y efectivasA continuacin abordaremos una metodologa que hemos preparado para el clculo de tasas equivalentes. La comprensin del mtodo y el desarrollo de habilidades en el clculo de las tasas equivalentes nos ser de mucha utilidad para el estudio y tratamiento de las anualidades generales, tema que estudiaremos en el prximo capitulo.

Como sabemos, para que dos o ms tasas de inters i, j, ie y , sean equivalentes, el monto de un principal debe ser el mismo si se utiliza el mismo plazo para su clculo, es decir;

En base a este principio, la metodologa para calcular las tasas equivalentes se compone de cuatro pasos.

Primero debemos calcular la tasa efectiva anual ie , si no la conocemos como dato, a partir de: La tasa efectiva i de periodo m La tasa nominal peridica j de frecuencia m La tasa nominal de frecuencia (infinita)

Paso 1

Pi1Pm

j1Pi1PF jn

ne

mnN

ee

1.40 1j

ei

1.39 1m

m

j1

ei

81.3 1mi1 e

i

e

INTERES COMPUESTO


Si conocemos como dato o hemos calculado la tasa efectiva anual ie, podemos hallar la relacin de equivalencia entre sta y la tasa efectiva im para cualquier perodo;

El resultado de frmula anterior es la tasa im que tendr perodo especfico de acuerdo al valor de la frecuencia m, como lo podemos apreciar en la tabla 1.15

Valor de la frecuencia m Perodo de la tasa efectiva im m = 1 i1 anual (ie = i) m = 2 i2 semestral m = 3 i3 cuatrimestral m = 4 i4 trimestral m = 6 i6 bimestral m = 12 i12 mensual m = 24 i24 quincenal m = 52 i52 semanal m = 365 i365 diaria

Tabla 1.15

Si conocemos como dato o hemos calculado la tasa efectiva anual ie, podemos establecer la relacin de equivalencia entre sta y la tasa nominal jm de frecuencia m, a travs de:

Paso 2

1.41 1i1 i m1

em

Paso 3

1.42 1i1m j m1

eme

INTERES COMPUESTO


Nuevamente, el resultado anterior 1.35 es la tasa nominal jm que tendr frecuencia de conversin especfica de acuerdo al valor m, como lo podemos apreciar en la tabla 1.16

Valor de la frecuencia m Perodo de conversin de jm m = 1 j1 C A (ie = j) m = 2 j2 CS m = 3 j3 CCt m = 4 j4 CT m = 6 j6 CB m = 12 j12 CM m = 24 j24 CQ m = 52 j52 CSe m = 365 j365 CD

Tabla 1.16

Si conocemos como dato o hemos calculado la tasa efectiva anual ie, podemos establecer la relacin de equivalencia entre sta y la tasa nominal convertible continuamente CC de la manera siguiente:

Ejemplo 1.47Dada una tasa nominal del 24% CM, halle la relacin de equivalencia con: a) la tasa nominal CT b) la tasa nominal CCDatosj = 24% CM tasa nominal anualm = 12 frecuencia de conversin de interests anualesa) j4 = ? b) = ?

SolucinEn el paso 1 con la frmula 1.39 calculamos ie tasa efectiva anual

Paso 4

1.43 i 1ln je

26.8241%decires 0.268241 112

0.241

i

12

e

INTERES COMPUESTO


a) Una vez calculada ie , en el paso 3 con la frmula 1.42 hallamos la tasa equivalente j4

b) De igual manera, en el paso 4 con la frmula 1.43 hallamos la tasa equivalente

En resumen: las tasas de inters siguientes son equivalentes

24% CM, 26.8241% efectivo 24.4831% CT 23.7632% CC

Dado que son tasas de inters equivalentes se puede invertir con cualquiera de ellas y los resultados anuales en trminos de rendimiento no varan.

Ejemplo 1.48Un inversionista desea saber: a) la tasa nominal CB b) la tasa efectiva semestral que sean equivalentes a 18% CD

Datosj = 18% CD tasa nominal anualm = 365 frecuencia de conversin de intereses anualesa) j6 = ? b) i2 = ?

SolucinPrimero hallamos la tasa efectiva anual ie en el paso 1 con la frmula 1.39

a) Dado que ya hallamos el valor de ie , en el paso 3 con la frmula 1.42 calculamos la tasa nominal j6 equivalente a 18% CD.

24.4831% 10.26824114 j 41

4e

CC23.7632% 0.268241 1ln j

19.7164% 1365

0.181

i

365

e

INTERES COMPUESTO


b) A travs de paso 2 con la frmula 1.41 hallamos la tasa efectiva semestral i2 equivalente a 18% CD

Concluimos que las tasas:

o 18% CDo 19.7164% efectivo anualo 18.2681% CBo 9.4150% efectivo semestre

por ser equivalentes, le es indiferente al inversionista invertir con cualquiera de ellas, ya que los resultados en trminos de rendimientos sern iguales.

Ejemplo 1.49Un inversionista tiene un capital colocado en negocios financieros a una tasa de inters del 19.5% CD. Calculemos las equivalencias: a) la tasa efectiva o rentabilidad anual b) la tasa efectiva mensual.

Datosj = 19.5% CD tasa nominal anualm = 265 frecuencia de conversin de intereses anualesa) ie = ?, b) i12 = ?

Solucina) En el paso 1 tenemos la relacin de equivalencia de la tasa nominal y la tasa efectiva anual.

anual efectiva21.5248% 1365

0.1951

i

365

e

18.2681% 10.19716416

j6

1

6e

9.4150% 10.1971641 i2

1

2

INTERES COMPUESTO


b) Ahora que tenemos el resultado anterior, deseamos obtener el valor de la tasa equivalente efectiva mensual i12 ; esto lo logramos a travs del paso 2 con la frmula 1.41

Concluimos que las tasas siguientes son equivalentes: 19.5% CD 21.5248% efectivo anual 1.5678% efectiva mensual

Ejemplo 1.50Una libreta de ahorros devenga un inters del 10% semestral CM. Determine a) la tasa equivalente efectivo ie anual b) la tasa equivalente nominal semestral CC

Datosj = 10% CM tasa nominal de perodo semestralm = 6 frecuencia de conversin de intereses semestralesa) ie = ? b) = ? semestral

SolucinComo la tasa nominal j = 10% tiene perodo semestral, con m = 6, primero calculamos la tasa efectiva i12 mensual y despus usamos el resultado para hallar la tasa efectiva ie

a) A travs de paso 1 con la frmula 1.39 obtenemos ie

b) para hallar la tasa nominal semestral CC, primero utilizamos la frmula 1.41 para calcular la tasa efectiva semestral i2 del paso 2.

Ahora utilizamos el paso 4 con la frmula 1.43 obtenemos;

mensual efectivo1.5678% 10.2152481

i12

1

12

mensualefectivo1.6667% 6

0.10

m

ji

anual efectiva 21.9391% 10.0166671

i 12e

semestralefectivo%10.4260 10.2193911

i2

1

2

INTERES COMPUESTO


En este caso concluimos que la libreta de ahorros tiene las siguientes tasas equivalentes:

10% semestral CM 1.6667% efectivo mensual 21.9391% efectivo 9.9176% semestral CC

Con cualquiera de ellas podemos invertir y la ganancia ser la misma, como lo comprobaremos en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 1.51Deseamos saber el valor final de un depsito de $15,000 a plazo fijo de 1.5 aos con las siguientes tasas de inters:

a) 10% semestral CMb) 1,6667% efectivo mensuald) 21.9396% efectivo anuale) 9.9176% semestral CC

DatosP = $15,000 principal depositadon = 1.5 aos de plazo F = ?

Solucin Para el caso a) como la tasa nominal j = 10% semestral CM o sea, m = 6, tiene dos perodos semestrales en un ao y tres perodos en ao y medio, por tanto en la frmula 1.21, n = 3 as, obtenemos el valor futuro;

Para el caso b) usamos la frmula 1.20 con N = m(n) = 12(1.5) = 18

Para la solucin del caso c) utilizamos la frmula 1.22 con n = 1.5 entonces,

$20,198.00 1.34653315,000 366

0.10 115,000F

$20,198.00 1.34653315,000 180.016667 115,000F

CCsemestral9.9176% 0.104260 1ln j

INTERES COMPUESTO


Para el caso d) utilizamos la frmula 1.34 y obtenemos

Concluimos que las tasas son equivalentes ya que el resultado para el valor final o futuro es el mismo para los cuatro casos, esto quiere decir; que podemos invertir con cualquier tasa y los intereses sern de $5,198.00 que es, la diferencia entre lo invertido y el valor final.

Ejemplo 1.52a) En una inversin que genera el 17.56% efectivo Cul es la tasa efectiva

mensual?b) Un deudor paga mensualmente el 2% acumulativo Cunto paga realmente de

forma anual?

Datos

ie = 17.56% tasa efectiva anual Caso a) m = 12 i12 = ?

i12 = 2% tasa efectiva mensual Caso b) m = 12 ie = ?Solucina) Como ie = 17.56% deseamos calcular i12 mensual esto lo logramos con la

frmula 1.41 del paso 2, as tenemos;

b) Sabemos que i12 = 0.02 efectivo mensual a travs de paso 1 con la frmula 1.39 obtenemos ie

$20,198.00 1.34653315,000 1.50.219396 115,000F

$20,198.0 81.3465260715,000 )(1.5)2(0.0991762.71828115,000F

mensual efectivo1.3573% 10.17561

i12

1

12

anual efectiva 26.8242% 10.021

i 12e

INTERES COMPUESTO


Concluimos que las tasas 2% efectivo mensual es equivalente a 26.8242% efectivo y 17.56% efectivo es equivalente a 1.3573% efectivo mensual.

Ejemplo 1.53Si el Seor Gmez pag una deuda a plazo de 4 aos con inters del 18% CC. Determinemos las tasa equivalentes a) efectiva anual b) la tasa nominal CS.

Datos = 18% CC tasa nominal anual convertible continuamente a) ie = ?

m = 2 frecuencia de capitalizar interests de la tasa nominal CS. b) j2 = ? CS

Solucina) Se trata de hallar una tasa anual efectiva que sea equivalente a la tasa del 18% CC. Si usamos la frmula 1.40 del paso 1 obtenemos

b) Una vez que hemos obtenido el valor de la tasa efectiva anual, utilizamos la frmula 1.42 del paso 3 para calcular la tasa nominal CS.

Concluimos que las siguientes tasas de inters son equivalentes:o 18% CC tasa nominal anual convertible continuamenteo 19.7217% efectivo anualo 18.8348% CS tasa nominal anual convertible semestralmente

Ejemplo 1.54Una empresa desea que le calculemos a partir del 20% CT las tasas equivalentes a) nominal CC b) efectiva semestral

Datos j4 = 20% C T tasa nominal anual

efectivo 19.7217% 1 0.182.7182818 10.18ei e

CS 18.8348%0. 121

0.19721712

j2

INTERES COMPUESTO


Inciso a) m = 4 frecuencia de conversin de intereses anuales = ? CC m = 2 frecuencia de conversin de intereses anualesInciso b) i2 = ?

Solucina) Primero con la frmula 1.39 calculemos la tasa efectiva anual, paso 1

Seguidamente por la frmula 1.43 del paso 4 obtenemos la tasa nominal

b) dado que ya conocemos la tasa efectiva anual ie , calcularemos la tasa efectiva semestral a travs de la frmula 1.41 del paso 2, esto es;

Ejemplo 1.55Una sociedad financiera que opera a nivel local e internacional, tiene una tasa efectiva (Tasa de retorno) del 18% efectivo anual para todas sus inversiones financieras, desea saber las tasas de inters equivalentes con capitalizaciones de

anual efectiva21.5506%sea o0.215506 14

4

0.201

ei

CC 19.5160%0. 0.215506 1ln j

semestral efectivo 10.25% i sea o 0.1025 121

0.2155061

i2

Concluimos que las tasas de inters son equivalentes 20% CT tasa nominal convertible trimestralmente 21.5506 % tasa efectiva anual 19.5160% CC tasa convertible continuamente 10.25% tasa efectiva semestral

INTERES COMPUESTO


inters en la forma: a) anual b) mensual c) bimensual d) trimestral e) cada 4 meses f) semestral g) diaria h) continuamente i) bienal.

SolucinLa relacin de equivalencias de las tasas de inters de la compaa se muestran en la tabla 1.17, donde el lector puede comprobar los resultados haciendo uso de las frmulas de equivalencias ya estudiadas localizadas en los pasos del 1 al 4.

Perodo de conversin

Tasa efectiva

Frecuencia de conversin

Tasa nominal Tasa efectiva del perodo

ie M j ia) anualb) mensualc) bimensuald) trimestrale) cuatrimestralf) semestralg) diariah) continuai) bienal

18.0000%18.0000%18.0000%18.0000%18.0000%18.0000%18.0000%18.0000%18.0000%

1 12 6 4 3 2 365 m 1/5

18.0000%16.6661%16.7818%16.8986%17.0165%17.2556%16.5552%16.5514%19.6200%

18.0000% 1.3888% 2.7970% 4.2247% 5.6722% 8.6278% 0.0453% i 039.2400%

Tabla 1.17

12. Ecuaciones de valor

Las ecuaciones de valor a inters simple las estudiamos en el captulo B, recordemos que una ecuacin de valor es una igualdad de valores, que se ubican en una fecha que se escoge para la equivalencia. A esta fecha le llamamos fecha focal. El procedimiento para el planteamiento y resolucin de una ecuacin de valor a inters compuesto, es similar al estudiado anteriormente con inters simple, la nica diferencia en este caso es que la fecha focal la podemos elegir para cualquier fecha y el resultado no cambia.

Como sabemos, todas las cantidades, ya sean deudas o pagos deben ser trasladadas a la fecha focal con una tasa de inters denominada tasa de rendimiento.

La metodologa que estudiamos anteriormente sigue siendo til para el planteamiento de la ecuacin de valor a inters compuesto .

INTERES COMPUESTO


Para desarrollar los pasos 2 y 3 de la metodologa sealada, podemos emplear las frmulas 1.20, 1.21, 1.22 y 1.34 de valor futuro o bien 1.24, 1.25 y 1.35 de valor presente.

En el grfico 1.23 observamos que la cantidad A est a la izquierda de la fecha focal, el traslado de dicha cantidad a la fecha focal la podemos hacer con las frmulas 1.20, 1.21, 1.22 o 1.34

La cantidad B est a la derecha de la fecha focal, entonces el traslado a la fecha focal la realizamos con las frmulas 1.24, 1.25 o 1.35

Cantidad A Frmula 1.13,14,15

Fecha focal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses

Grfico 1.23 Frmula 1.17,18 Cantidad B

Ejemplo 1.56Una empresa tiene tres deudas con el Banco Atlntida:a) $15,800, a plazo de 10 meses, al 18% CM y vence hoy.b) $20,600 a plazo de 12 meses, al 19% CT y vence dentro de 8 meses.

1. Dibujemos el diagrama del perfil de flujos y calculemos los montos compuestos de las deudas si no estn dados.

2. Traslademos con inters compuesto los montos a la fecha focal con la tasa de rendimiento y efectuemos la suma. Ubiquemos este procedimiento sobre la lnea del diagrama del perfil de flujos.

3. Traslademos con inters compuesto los pagos a la fecha focal con la tasa de rendimiento, y calculemos la suma. Ubiquemos este procedimiento debajo de la lnea del diagrama del perfil de flujos.

4. Igualemos los resultados de la suma en (2) con la en (3) y despejemos la incgnita X que soluciona el problema de equivalencia financiera.

INTERES COMPUESTO


c) $26,300.25 monto que vence dentro de 6 meses.

Para saldar las tres deudas se establece el siguiente plan de pagos equivalentes, los cuales reestructuran las deudas anteriores con un plazo a partir de hoy de 1.5 aos.

Acuerdo: la empresa debe efectuar los siguientes pagos:a) Un pago hoy por $12,500.b) El saldo se recoge en 3 cuotas iguales a efectuarse dentro de 6, 12 y 18 meses

respectivamente.Por su parte, el banco no cobrar intereses por mora y utilizar una tasa de rendimiento del 24% CM para el clculo de los pagos.

SolucinLa fecha focal la elegimos dentro de 6 meses, pero puede ser cualquier fecha. Siguiendo la metodologa descrita procedemos:1. Calculemos los montos de cada una de las deudas a su fecha de vencimiento,

grfico 1.24

18,336.55 24,801.81 26,300.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Meses

Grfico 1.24

hoy vence 18,336.55 12

101

12

0.18 115,800 Fa)

2

meses6dedentrovence 26,300.25 Fc)

meses8dedentro vence24,801.81 12

124

4

0.19 120,600 Fb)

INTERES COMPUESTO


2. Traslademos los montos a la fecha focal dentro de 6 meses, con la tasa de rendimiento. La suma de los montos (70,730.72) la sealamos sobre grfico 1.25

18,336.55 24,801.81 26,300.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

12,500 X X X

fecha focal

Grfico 1.25

3. Traslademos los pagos a la fecha focal dentro de 6 meses, con la tasa de rendimiento y determinemos la suma, cantidad debajo del grfico 1.25

4. Igualando los resultados de 2 y 3 (valores en crculos) y despejando la incgnita X, obtenemos:

70,730.72 = 14,077.03 + X(2.676464)

70,730.7225,278.9824,801.8120,649.93

12

212

12

24 126,300.2524,801.81 12

612

12

24 118,336.55

70,730.72

14,077.03 + X(2.676464)

2.676464X14,077.030.788493X0.887971X1X14,077.03

12

1212

12

24 1X12

612

12

24 1XX 12

612

12

24 112,500

INTERES COMPUESTO


Concluimos que cada pago ser de $21,167.36 a efectuarse dentro de 6, 12 y 18 meses respectivamente, de esta forma se saldan todas las deudas. Podemos comprobar que si variamos la fecha focal desde hoy hasta dentro de 18 meses, el valor de los pagos no cambia.

E. Ejercicios propuestos para el auto-estudio

Monto compuesto

1. Cul el valor final de un documento de valor nominal $3,000 a un plazo de 2 aos y 7 meses comerciales si el inters es del 18% CT? Respuesta: $4,727.77

2. Calcule el monto de $2,000 desde el 10 de mayo al 18 de diciembre del mismo ao al 14.965% CD. Respuesta: $2,190.54

3. Cul es el valor final de un certificado de valor nominal de $15,500 a un plazo de 8 meses y 12 das si la tasa de inters es de 6.8% CT? Respuesta. $16,249.14

4. Determine que plan le conviene a una persona para ahorrar cierta cantidad de dinero a los 5 meses, sabiendo que el dinero gana un inters del 22% CT. Respuesta: plan a)

a) Un solo depsito hoy de $8,000 b) Un depsito hoy de $3,500 y otro depsito de $4,500 a los 4 mesesc) Tres depsitos en los meses 1, 2 y 3 de $2,800 cada uno

5. Determine el monto de $12,500 invertidos al 21% de forma continua, durante 18 meses. Respuesta. $17,128.24.

6. Una cuenta de ahorros se abre con $500.00, al tercer mes se depositan $150, a los dos y seis meses siguientes se retiran $85 y $100 respectivamente. Si el inters que gana es del 6.30% CM determine la cantidad en la libreta de ahorros un ao despus de iniciada la cuenta. Respuesta. $499.91

7. Una deuda de $3,600 se contrae el da 26 de febrero para pagarse junto a sus intereses el da 25 de noviembre del mismo ao; si los intereses corriente son de 24% CM y los intereses por mora son de 20% efectivo anual, determine: a) el valor del pago en la fecha de vencimiento b) el valor de la deuda el da 28 de

21,167.362.676464

56,653.69

2.676464

14,077.0370,730.72X

INTERES COMPUESTO


marzo del siguiente ao. (sugerencia: calcule el inters por mora sobre principal vencido) Respuestas: a) $4,308.02 b) $ 5,843.89

8. Cunto gana por concepto de intereses un inversionista que deposita $320,000 en una cuenta que redita el 18.4% CM, en un ao y medio de plazo? Respuesta: $100,828.92

9. Una apersona ahorra en el mes cero $1,500 a 4% CB, en el mes 15 ahorra $1,600 a 5% CT. Halle el monto en el mes 24. Respuesta: $3,285.25

10.La seora Ferrer invierte hoy $25,000, cunto acumula en un semestre, si su inversin redita el 2.8% mensual capitalizable por mes? Cunto dinero gana por intereses? Recuerde que esta tasa significa que j/m = j/12 = 0.028 de donde j = 0.336 es la tasa nominal anual CM. Respuesta: a) $29,505.21 b) $4,505.21

Valor Actual o presente compuesto

11.Qu capital debe invertir un ao despus para tener $12,000 en una cuenta que produce el 24.8% de inters CM? Respuesta:$9,388.02

12.Qu cantidad de dinero recibe hoy una empresa en calidad de prstamo si ha firmado un documento por $56,500 que incluye capital e intereses a 28% CD y tiene un vencimiento en 20 meses? Respuesta: $35,436.87

13.Determine el valor actual de $855 que vencen dentro de 300 das con las siguientes tasas de inters: a) 12% CT, b) 14% CB, c) 14% CS, d) 15% CD Respuestas: a) $774.77 b) $761.87 c) $763.82 d) $754.55

14.Qu depsito debe efectuarse hoy en un fondo que paga el 12% CB para tener disponibles $7,000 al cabo de 3 aos? Respuesta: $4,901.12

15.Qu valor tiene un depsito el da de hoy en una cuenta para garantizar dosretiros de $2,000 y $3,500 dentro de 7 meses y 1.5 aos respectivamente con el inters de 9.5% CD? Respuestas: $4,927.41

16.Determine el valor total de dos depsitos el da 30 de noviembre, si el primero es de $1,400 se efectu el da 15 de febrero y el segundo por $1,800 se realiz el 26 de junio, el primero con el 12% CD y el segundo con el 13% CS. Respuesta: $3,442.68

17. Determine que le conviene ms a un empleado si la patronal le ofrece tres opciones para liquidar sus prestaciones por servicio, al 15% CS. (sugerencia: halle el valor actual de cada opcin y seleccione la mayor) Respuesta: opcin c)

a) Recibir hoy $3,000 y $3,800 a los 5 mesesb) Recibir hoy un solo pago de $6,500c) Recibir hoy $1,000, $2,000 a los 2 meses y $4,000 a los 6 meses

INTERES COMPUESTO


18.Un documento por $50,000 se vence dentro de 15 meses, si se descuenta a una tasa: (a) del 18% de forma continua (b) del 18.10 % CT (c) del 18.20% CS. Determine el menor valor al da de hoy. (indicar el inciso) Respuesta. Inciso (a) $39,925.81.

19.Hoy se contrae una deuda que junto con sus intereses al 8.5% efectivo trimestral al final de 4 aos representar $500,000. Determine la cantidad que se deber pagar si la deuda se cancela al cabo de 18 meses. Respuesta. $221,142.71

20.Una empresa compra un equipo de computacin con $3,500 de cuota inicial y un pago por $10,000 a los dos meses de la compra. Cul es el precio de contado si se tienen cargos del 33% CM? Respuesta: $12,971.88

21.Cul es el precio de contado de 40 impresoras que se pagan con un anticipo del 30% y dos abonos o cuotas de $7,000 y $9,000 respectivamente a 2 y 3 meses de la compra? Suponga intereses del 29% anual con capitalizacin quincenal. Respuesta: $21,493.50

Combinaciones

22.Una corporacin financiera, recibe una letra de cambio por valor nominal de $35,000 con vencimiento en 15 meses y un inters del 24% CT. A los 10 meses solicita que le sea descontada por el Banco de Amrica del Sur que cobra el 2.4% mensual, cunto recibir la corporacin por la letra? Respuesta. $41,217.35

23.Una empresa debe pagar hoy una deuda cuyo monto es de $3,870 y dentro de 9 meses tiene que pagar otra por $2,650. Necesita saber cunto debe pagar dentro de 5 meses si le cargan intereses de 14.5% CD. Respuesta: 6,635.96

24.Si una persona debi pagar hace 1.5 aos $580 y tiene que pagar $720 dentro de 8 meses. Si le cobran intereses corrientes del 18% CT y moratorios del 9% anual IC por la cuenta no pagada y el 15% anual por la prxima a vencer Qu pago nico debe hacer el da de hoy? Respuesta: $1,491.29

25.En una operacin de exportacin una empresa recibe un pagar por $75,000 a 180 das de plazo y que devenga un inters mensual de 1%. A fin de contar con recursos lquidos, la empresa descuenta el documento en su banco y ste lo acepta cargando un inters de 2.50% trimestral Cul es el importe neto que recibe la empresa, si el descuenta se efecta 143 das antes del vencimiento? Respuesta: $76,451.56

26.Cul de las siguientes alternativas es ms redituable para un inversionista?a) Invertir en una cuenta de ahorros que paga el 32.5% CM;b) Invertir en una cuenta bancaria que paga el 33.5% capitalizable por

cuatrimestres, oc) Invertir en una cuenta de valores al 30.8% capitalizable por semanas.

INTERES COMPUESTO


Respuesta: con el 32.5 anual compuesto por meses

27.Una distribuidora automotriz ofrece a sus clientes un 10% de descuento en la compra de contado de un automvil nuevo, o bien, 50% del precio de contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses qu alternativa debe escogerse si el dinero puede ser invertido a una tasa de inters mensual de: a) 2% b) 3% c) 4% Respuestas: a) de contado b) de contado c) a plazo

28.Un inversionista local tiene 3 opciones para invertir su dinero a) al 28.5% CM b) al 32% simple c) al 30% CS Qu opcin le sugiere usted? Respuesta. 28.5% CM?

Tasas de inters

29.A qu tasa nominal CT el monto de $3,000 ser de $9,000 en 3 aos? Respuesta. j = 38.349% CT.

30.a) A qu tasa efectiva anual se duplica un capital en 2 aos? b) A qu tasa nominal CS se duplica un capital en 2 aos? c) A qu tasa nominal CM se duplica un capital en 2 aos? Respuesta a) i = 41.42% b) j = 37.84% CS c) j = 35.163% CM

31.Si un certificado de depsito a trmino en el mercado primario de la Bolsa de Valores es emitido a $93,677 para ser redimido a $100,000 en 90 das, calcular la tasa de rentabilidad trimestral y la tasa de rentabilidad mensual; a) sin tomar en cuenta la retencin en la fuente y b) tomando en cuenta la retencin del 3.7%. Respuesta. a) 6.7497% trimestral, 2.2011% mensual b) 6.4838% trimestral 2.1162% mensual.

32.Una persona invierte $4,500 y 15 meses despus le devuelven $7,010.85 Qu tasa de inters efectiva mensual y anual gana sobre la inversin? Respuestas. 3% mensual y 42,5760% anual.

33.Un televisor cuyo precio de contado es de $4,500, al crdito se liquida con $5,200 a los tres meses. Cul es la tasa de inters anual capitalizable por quincenas? Respuesta: 58.48%

34.El 2 de junio el seor Gonzlez compra mercanca por $32,500 y firma un pagar con valor nominal de $37,250 y vencimiento al 21 de agosto siguiente. Cul es la tasa de inters anual CD? Respuesta: 61.4377%

35.Cul es la tasa nominal anual CB, si un capital de $10,500 genera intereses del 30% global total en 8 meses? Respuesta: 40.674%

36.Con qu tasa anual compuesta por semanas se triplica un capital en 3 aos?Respuesta: 0.3675%

INTERES COMPUESTO


Plazo o tiempo

37.El 18 de marzo se firma un pagar de valor nominal de $10,000, con el 15% CM cuyo monto a pagar es de $11,182.92 En qu fecha vence?

38.En qu tiempo un capital de $48,500 alcanza un valor de $60,000 si es invertido al 8.3% CM? b) En qu tiempo se duplica? Respuestas. a) 2 aos, 6 meses y 27 das b) 8 aos, 4 meses, 17 das.

39.En cunto tiempo se liquidar un crdito de $175,000 con intereses del 30% compuesto por quincenas y un pago final de $230,000? Respuesta: 22 quincenas.

40.Se depositan $500.00 el da 19 de septiembre al 2.2% CM En qu fecha logra ganar $8.00 de inters? Respuesta: 6 de junio siguiente.

41.Determinar el da que se cancela con $21,000 un crdito de $18,750, concedido el 5 de junio con cargos del 36.72% CD. Respuesta: 24 de septiembre.

42.Se compra un refrigerador, que de contado cuesta $7,850 el cual se paga con un anticipo del 35% y un pago adicional de $5,650.Cunto tiempo despus de la compra se hace este pago, si se pagan intereses del 28.6% capitalizable por semanas? Respuesta: 19 semanas

43.La totalidad de intereses que se paga sobre una deuda de $12,000 contrada el 20 de junio es de $1,200, si el inters cobrado es del 26% CT Cul es el plazo y la fecha de vencimiento de la deuda? Respuesta: 136 das, 3 de noviembre.

44.Encuentre la fecha en la que vence un documento con valor nominal de $4,550. Este se firm por un prstamo de $4,125 el 1 de junio con intereses del 21.6% CD? Respuesta: 11 de noviembre

45. Cul es la duracin de una inversin de $80,000 al 3% CM para que alcance un valor de $250,000? Respuesta: 38 aos comerciales con 10 das.

46.Calcule el tiempo que se demora una inversin de $25,000 a plazo fijo para alcanzar un monto de $30,000 al 2.5% efectivo. Respuesta. 7 aos, 4 meses, 18 das.

Tasas equivalentes

47.Si un inversionista trabaja con el 2% mensual acumulativo en sus negocios, calcule las tasas equivalentes: a) nominal CT b) nominal semestral CC c) nominal CB . Respuestas. a) 24.4832% b) 11.8816% c) 24.24%

48.Calcule la tasa nominal CT equivalente a) al 18% CM b) al 20% CS. Respuestas. a) 18.27135% b) 19.5235%

INTERES COMPUESTO


49.a) Cul es la tasa equivalente convertible continuamente a 24% efectivo? b) Cul es la tasa efectiva equivalente 20% CS? Respuesta. a) 21.511137% b) 21%

50.a) Determine una tasa de inters CM que rinda lo mismo que 20% convertible continuamente. b) Calcule la tasa nominal convertible continuamente, que genere los mismos intereses que 18% CT Respuesta. a) 20.167596% b) 17.606754%

51.Considere una tasa nominal de 22.34% CM y halle el conjunto de tasas equivalentes siguientes: a) Nominal CT, b) Nominal CD, c) Nominal CC d) Nominal trimestral CC e) Nominal semestral CM. Respuestas: a) 22.7585% b) 22.1413% c) 22.1346% d) 5.5336% e) 11.17%

52.A partir de 3.2% EM calcule el conjunto de tasas equivalentes siguientes: a)Nominal CT, b) Efectiva ES, c) Nominal trimestral CC, d) Efectiva ED e) Nominal CB. Respuestas: a) 39.6419% b) 20.8031% c) 9.4496% d) 0.103610% e) 39.0144%

53.Si en un negocio su propietario gana 1.2% EM acumulativo qu porcentaje gana en 2 aos? cunto en 5 aos? Respuestas: a) 33.1473% b) 104.5647%

54.Si el desarrollo o crecimiento econmico de un pas fue de 28.7377% en 6 aos de cunto fue el crecimiento promedio anual? Respuesta: 4.3%

55.Es lo mismo, en trminos de la tasa de inters pagar una deuda hoy con el 4.55% nominal trimestral CC, que pagarla dentro de 2 aos con el 9.1694% nominal semestral CM? Respuesta: s (sugerencias: calcule el monto a los 2 aos o la tasa efectiva anual para cada caso)

56.Una entidad financiera local paga en depsitos a trmino fijo de un ao una tasa de inters en dlares de 6.5% CD Cul es la tasa que paga efectivamente de forma anual? Respuesta. 6.7153%

Ecuaciones de valor con inters compuesto

57.Un prstamo personal por $1,200 se obtuvo hace un mes, se cancela mediante dos pagos uno de $600 el da de hoy y otro por la cantidad que usted determine dentro de 3 meses si el inters es del 10% semestral. Respuesta. $649.43

58. El contador Prez compra un televisor con video casetera integrada, con un enganche de 150 dlares que representa el 20% del precio del aparato, y dos abonos iguales para cubrir el 80% restante De cunto es cada uno, si se tienen cargos del 32% CM y los pagos se hacen a 2 y 3 meses despus de la compra? Respuesta: $ 320.37

59. Hoy se cumplen dos meses que la empresa Otelo SA consigui un prstamo de $7,500 a 7 meses de plazo con el Banco Omega. Tres meses antes del primero le concedieron otro por $12,000 a un plazo de 6 meses. El da de hoy la

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empresa hace un pago de $10,000 y acuerda con el Banco liquidar el resto en 2 cuota iguales dentro de 2 y 5 meses respectivamente. Si le cargan una tasa de inters de 21.84% efectivo anual, halle el valor de cada cuota. Respuesta: $5708.20

60.Una empresa local tiene 3 deudas as: $5,000 con vencimiento en 5 meses e intereses del 20% CT. $10,000 con vencimiento en 9 meses e intereses del 24% CS $20,000 con vencimiento en 21 meses e intereses del 30% efectivo. Estas deudas se van a cancelar mediante 2 pagos iguales uno el da de hoy y otro al final de 2 aos. Suponiendo un rendimiento de 24% CM. Calcule el valor de los pagos. Respuesta. Cada pago $22,022.88.

61.El Seor Ramiro Pascual, 3 meses antes de iniciar la construccin de su casa apertura una cuenta de dbito para este fin y deposita $25,000 y otros $45,000 al iniciar las obras. Determine el valor del depsito 2 meses despus si el presupuesto total es de $120,000 distribuidos de la forma siguiente: 30% al comenzar la construccin, 35% a los 2 meses, 20% 3 meses despus y el resto al terminar, es decir 8 meses despus del inicio y la cuenta devenga el 15% CM. Respuesta: $46,000.74

62.La administracin de un proyecto tiene 4 adeudos de $7,000, $15,000, $12,000, y $13,000 que vencen respectivamente el 15 de abril, el 7 de mayo, el 18 de julio y el 30 de octubre del mismo ao y todos devengan intereses de 32.85% CD. Entre deudor y acreedor se acuerda que estos adeudos se liquiden en 3 pagos iguales el quinceavo da de los meses de abril , junio y agosto en sustitucin de los primeros de cunto es cada uno? Respuesta: $15,340.62

63.La Librera Bolvar suscribi 3 operaciones de crdito con la Editorial Nuevo Mundo que vencen el mismo ao. La primera se suscribi el 15 de marzo por $75,000 a pagarse el da 30 de noviembre; la segunda el 8 de mayo mediante un pagar con valor nominal de $50,500 y vencimiento el 10 de diciembre y la ltima el 1 de junio con un documento con valor nominal de $60,000 y vencimiento el 25 de agosto. Acuerdan reemplazar el compromiso con 2 pagos, uno el 15 de agosto y el otro el 15 de octubre por un valor que es doble del primero. a) De cunto es cada pago si devengan intereses de 27.375% CD? b) Con cunto se liquidan las deudas con un pago nico el 20 de diciembre? Respuestas: a) $60,112.36 y $120,224.72 b) $192,614.84

64. El da 20 de marzo el Seor Dionisio Bello compra un automvil usado y paga un anticipo del 40% y el saldo se liquida en dos pagos uno de $3,000 el da 19 de mayo y el otro de $2,500 el da 18 de junio del mismo ao; a una tasa de inters del 30% CM cunto se pagara de contado por el auto, si adems se hace un descuento del 6.8% adicional? Respuesta $8,041.51

65.En el problema anterior En qu fecha despus de la compra, el Seor Bello hara un pago de $6,000 en sustitucin de los dos de $3,000 y $2,500? Respuesta: 15 de septiembre

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66.Determine cunto debe invertir en una cuenta el 10 de marzo y el 7 de mayo la Empresa de Dulces el Gallito, para disponer de $12,000 el 18 de agosto y de $20,000 el 15 de noviembre del mismo ao, sabiendo que la cuenta devenga un inters de 13.87% CD, suponiendo que: a) Los dos depsitos son iguales b) El segundo depsito es 40% mayor que el primero. Respuestas: a) $14,885.54 cada depsito b) el primero $12,427.76, el s

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