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1

El Valor Temporal del Dinero

INTERS COMPUESTO

RAUL DIAZ 1

Inters Compuesto

Este mtodo representa mejor el valor

temporal del dinero

En la Capitalizacin compuesta, se considera que los intereses que va generando el capital inicial, se incorporan al capital y van generando nuevos intereses.

RAUL DIAZ 2

En el interes compuesto, el interes (I) ganado en cada periodo (n) esagregado al capital inicial (P) para constituirse en un nuevo capital (S) sobre el

cual se calcula un nuevo interes produciendose lo que se conoce comocapitalizacin la cual puede ser anual,trimestral, mensual, diaria; y se sigueaplicando hasta que vence la transaccion de acuerdo a lo pactado.

0 meses

1 2 3 S1= P + P x i S2= S1 +S1x i

P

S3 = S2 +S2 x i

S1 S2 S3

RAUL DIAZ 3

Ejemplo: calcular el valor futuro de un depsito de $100 que vence en 5 perodos

ms, si se aplica una tasa del 10% compuesto

Perodo

Capital al

inicio Inters

Capital al

Final

1 100 10 110

2 110 11 121

3 121 12 133

4 133 13 146

5 146 15 161

RAUL DIAZ 4

R A U L

D I A

Z

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Generalizando:

Perodo Capital al inicio Inters Capital al Final

1 P Pi P+Pi = P(1+i)

2 P+Pi = P(1+i) P(1+i)i P(1+i)+P(1+i)i = P(1+i)^2

3 P(1+i)+P(1+i)i = P(1+i)^2 P(1+i)^2 i P(1+i)^2+P(1+i)^2 i = P(1+i)^3

n formula general P (1+i) ^n

RAUL DIAZ 5

Frmula del Valor Futuro

ni)(1VPVF

Donde: VF = Valor Futuro VP = Valor Presente i = Tasa de Inters n = Perodos de Capitalizacin

Si aplicamos inters compuesto, el Valor Futuro se calcular segn:

RAUL DIAZ 6

1.166,41,16641.0000,08)(11.000VF 2

Aplicamos: ni)(1VPVF

Hemos solicitado un prstamo de $1.000 con una

tasa de inters compuesto del 8% anual. Cunto

deber devolver en dos aos ms? Cunto estoy

pagando en intereses?

Intereses a pagar = Valor Futuro Valor Presente

= 1166 1000 = 166

Ejemplo

RAUL DIAZ 7

Cmo se hace en Excel?

RAUL DIAZ 8

R A U L

D I A

Z

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En la medida que sea ms largo el periodo de

capitalizacin, pequeas diferencias en las tasas de inters producen grandes diferencias en los valores

futuros

El estudio de Ibbotson seala que en promedio, al largo plazo, las tasas de los T Bonds y de los T Bills han sido 5.2% y 3.6% respectivamente.

Suponiendo que estas tasas se mantengan en el futuro, a qu valores llegaramos con una

inversin de US$1000?

RAUL DIAZ 9

Vencimiento aos: T Bond T Bill

5 $ 1.288 $ 1.193

10 $ 1.660 $ 1.424

15 $ 2.139 $ 1.700

20 $ 2.756 $ 2.029

25 $ 3.551 $ 2.421

30 $ 4.576 $ 2.889

40 $ 7.597 $ 4.115

$ -

$ 1.000

$ 2.000

$ 3.000

$ 4.000

$ 5.000

$ 6.000

$ 7.000

$ 8.000

5 10 15 20 25 30 40

T Bond

T Bill

RAUL DIAZ 10

Qu influencia tiene la Tasa de crecimiento del PIB en cuanto al ingreso

futuro esperado?

Calculemos para distintas hiptesis

RAUL DIAZ 11

Tasa 3,5%

6,0%

Aos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

$ 14.000 $ 14.490 $ 14.997 $ 15.522 $ 16.065 $ 16.628 $ 17.210 $ 17.812 $ 18.435 $ 19.081 $ 19.748 $ 20.440

$ 14.000 $ 14.840 $ 15.730 $ 16.674 $ 17.675 $ 18.735 $ 19.859 $ 21.051 $ 22.314 $ 23.653 $ 25.072 $ 26.576

Partiendo de un PIB per cpita de US$14.000 (PPA):

Si la tasa de crecimiento es 3.5%, demoramos 11 aos en llegar a US$20.000 Si la tasa fuese 6%, al ao 7 habramos sobrepasado los US$20.000

RAUL DIAZ 12

R A U L

D I A

Z

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Actualizacin

podemos estar interesados en calcular cul es el Valor Actual (VA) o Valor Presente (VP) de una cantidad que se recibir en el futuro.

Por ejemplo, si dentro de dos aos vamos a recibir $6000 , queremos calcular a cunto equivale en el momento actual si el tipo de inters es del 20% .

RAUL DIAZ 13

La frmula de capitalizacin ya vista, puede adaptarse para calcular el valor actual.

nn

i1

VFVP

Ejemplo: cunto se debe pagar HOY por un pagar que promete un monto de $100 dentro de dos aos, si la tasa de inters

que se exige es 4% anual compuesto

45.92

0816.1

100

04.01

100VP

2

RAUL DIAZ 14

88

Tasa de Inters Nominal

Es la tasa de inters que se estipula para un determinado perodo (por ejemplo, un ao) y que se puede liquidar en lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente.

RAUL DIAZ 15 89

Tasa de Inters Efectiva

Es la tasa que resulta cuando se capitaliza una tasa nominal en perodos menores al estipulado inicialmente para ella.

La Tasa Efectiva es aquella tasa capitalizable anualmente que produce la misma cantidad de intereses que una tasa nominal capitalizable m veces al ao

RAUL DIAZ 16

R A U L

D I A

Z

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5

95

Clculo de la Tasa de Inters Efectiva

Dada una tasa nominal y el nmero de capitalizaciones en el ao, la Tasa Efectiva es:

ief = tasa de inters efectiva

n = nmero de veces que se capitaliza el inters nominal durante el perodo

inom = tasa de inters nominal por perodo

1

n

nom1ef n

ii

RAUL DIAZ 17 19/02/98 96 Copyright Ignacio Vlez Pareja

Funcin de Tasa Efectiva en Excel

=INT.EFECTIVO(int.nominal;num.perodos al ao)

RAUL DIAZ 18

Ejemplo: Una tarjeta de crdito aplica un inters del 2% mensual.

Calcular: Tasa Efectiva por ao

1) La tasa nominal anual ser: 2% x 12 = 24%

2)Aplicamos la frmula para n=12:

112

12

0.2411

n

nom1ef n

ii

26.8% RAUL DIAZ 19

Otro ejemplo: Un bono paga una tasa efectiva anual del

6%. Hallar la tasa equivalente semestral.

11. anualsem iiAplicamos esta frmula

106.01. semi 2.956% RAUL DIAZ 20

R A U L

D I A

Z

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Anualidades

Son Flujos de Caja de igual valor, que ocurren en intervalos

regulares de tiempo

A A A A

1 2 3 4

RAUL DIAZ 21

Valor Actual de las Anualidades o Payments (Pagos Periodicos)

Cunto es el Valor Actual del Microondas si lo pago en 6 cuotas mensuales de $1500 c/u, si aplican una

tasa del 3% mensual

RAUL DIAZ 22

PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 12

A = PMT = 15.000

I = 3%

N = 6

i

i1

11

AVAn

0.03

03.01

11

50001VA6

$81.258

RAUL DIAZ 23

Cmo hacerlo con Excel?

=VA(tasa;nper;pago;{VF};{tipo})

Para obtener el Valor Actual (VA) de una serie de pagos, durante n perodos y a una tasa del i%, debemos usar la funcin:

RAUL DIAZ 24

R A U L

D I A

Z

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7

-10814,33

Tipo: 0 , indica pagos al final de cada perodo; lo

asume por defecto

RAUL DIAZ 25

Valor Futuro de una Anualidad

i

1i1AFV

n

En algunos casos, las personas pueden tener un plan de ir

depositando peridicamente una cierta cantidad y estn interesados en saber cunto habrn acumulado al

final del perodo.

RAUL DIAZ 26

Un ejemplo: A los 25 aos, un joven decide depositar US$2000 en una cuenta de ahorro previsional voluntario, la cual espera que le rinda un 8% anual. Planea retirar esos fondos en 40 aos ms, para complementar su pensin. Cul ser el valor que

habr acumulado?

0.08

10.0812000FV

40

US$518.113

RAUL DIAZ 27

Cmo hacerlo con Excel?

=VF(tasa;nper;pago;{VA};{tipo})

Para obtener el Valor Futuro (VF) de una serie de pagos, durante n perodos y a una tasa del i%, debemos usar la funcin:

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R A U L

D I A

Z

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8

$518,113

RAUL DIAZ 29

Por ejemplo, queremos saber la cuota con que se tendr que pagar un crdito:

La persona recibe HOY un prstamo (valor presente) y se compromete a pagarlo en n cuotas (la anualidad) y est vigente cierta tasa de inters i%

Calcular el valor de la cuota (anualidad), a partir de un Valor Presente

ni1

11

iVAA

RAUL DIAZ 30

Homero desea renovar su automvil. El vehculo cuesta $7.000.000 y desea pagarlo

en 48 cuotas mensuales iguales.

Cul ser el valor de cada cuota si el inters es del

3% mensual?

480.031

11

0.037.000.000A

$277.044

RAUL DIAZ 31

Cmo hacerlo con Excel?

Para obtener el Pago (cuota) que habr que hacer durante n perodos y a una tasa del i%, tal que equivalga a un cierto valor Actual:

=PAGO(tasa;nper;VA;{VF};{tipo})

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R A U L

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Z

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9

$277,044

RAUL DIAZ 33

Calcular el valor de la cuota a partir de un Valor Futuro:

1i)(1

iVFA

n

En este caso, queremos saber la cuota que se tendr que colocar para juntar un monto en el futuro:

Ejemplo, cunto tendremos que ahorrar durante n perodos para que finalmente hayamos juntado FV, si la tasa de inters es i%

RAUL DIAZ 34

Cmo hacerlo con Excel?

Para obtener el Pago (cuota) que habr que hacer durante n perodos y a una tasa del i%, tal que equivalga a un cierto valor Actual:

=PAGO(tasa;nper;VA;{VF};{tipo})

RAUL DIAZ 35

Bart quiere renovar su skateboard en 6 meses ms. Debe contar con $50.000. Cunto debe ahorrar mensualmente si el Banco paga un 2% mensual a los depsitos?

10.02)(1

0.0250.000A

6

$7.926,29

RAUL DIAZ 36

R A U L

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Z

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10

$7,926.29

RAUL DIAZ 37

Perpetuidades.

i

APV

Consisten en un flujo de efectivo que se paga (o se recibe) en intervalos regulares, por tiempo indefinido (para siempre).

Su valor presente es:

RAUL DIAZ 38

Ejemplo: console

En el mercado de valores de EE.UU. Se transa un tipo especial de bonos, llamados console bonds, que pagan peridicamente ciertos intereses pero que no tienen vencimiento (o sea, la deuda es perpetua)

RAUL DIAZ 39

Supngase que se emiten consoles en cortes de US$1000, con inters de emisin 6% anual y que en virtud de su riesgo, el mercado inversionista les exige un rendimiento del 9%. Cunto es el valor de mercado de ese bono?

0.09

60VAValor

$667

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Perpetuidades Crecientes:

g iA

VA 1

En este caso, el flujo de efectivo que se paga peridicamente (y por tiempo indefinido) crece a una tasa constante del g% por perodo

Su valor actual es:

Para:

A1 = Cuota a partir del perodo 1

g = tasa de crecimiento

i = tasa de descuento

RAUL DIAZ 41

Supngase que a partir de un ao ms, se pagar al portador de un instrumento financiero una cuota de $20.000, la que crecer de all en adelante a un 4% anual.

cunto es el equivalente en valor presente, hoy, si aplicamos una tasa de descuento del 10%?

0.040.1020.000

VA

$333.333,33

RAUL DIAZ 42

Calcular el nmero de perodos necesarios para saldar una deuda

i1log

iA

VA1log

n

Conocidos el Valor Actual (lo que se adeuda), la cuota peridica que se desea pagar y la tasa de inters

aplicable, podemos calcular el nmero de perodos que

demora en saldarse la deuda con esta

frmula:

log indica logaritmo decimal

RAUL DIAZ 43

cuntos pagos de US$500 c/u sern

necesarios para saldar una deuda de

US$50.000, si aplicamos una tasa del 4%?

0.041log

0.04500

50.0001log

n

41 cuotas

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Cmo hacerlo con Excel?

Para obtener el nmero de perodos en que habr que hacer pagos, a una tasa del i%, para saldar una deuda de cierto valor Actual:

=NPER(tasa;pago;VA;{VF};tipo)

RAUL DIAZ 45

41.03

RAUL DIAZ 46

Los habitantes de XXX tienen actualmente un ingreso percpita de US$20.000. Si la tasa de crecimiento promedio de la renta es de un 6% anual, cuntos aos demorarn en duplicar el ingreso actual

Si conocemos el Valor Actual y el Valor Futuro, aplicando la funcin anterior de Excel podremos responder preguntas como cunto tiempo hay que esperar para duplicar un cierto valor actual?

RAUL DIAZ 47

11.07

Demorarn 11 aos en duplicar

su renta per capita

RAUL DIAZ 48

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Calcular la Tasa implcita en una

operacin financiera

Quisiera saber cul es la tasa de inters que me estn

cobrando por un crdito, y comparar con la que aplica otra

casa comercial

RAUL DIAZ 49

Por ejemplo, se ofrecen paquetes vacacionales que pueden ser cancelados al contado o en cuotas fijas. Queremos saber la tasa de inters que se est aplicando al vender en cuotas. Suponga que opta vacaciones en Punta Cana.

RAUL DIAZ 50

Para estas vacaciones en Punta Cana, tenemos un Valor Presente (pago al contado) de $510.048 o (pago a crdito) 24 cuotas de $30.450. Aplicando la frmula del VA de anualidades, se tiene:

24i1

11

i51004830450

i = 3.01% Habr que despejar la incgnita i en esa

relacin:

RAUL DIAZ 51

Despejar el valor de i en la frmula es engorroso.

Pero podemos aplicar EXCEL. Se utiliza:

Para flujos constantes :

=TASA(nper;pago;VA;{VF};{tipo};{estimar})

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R A U L

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Z

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0.031

RAUL DIAZ 53

Si conocemos el Valor Actual y la serie de pagos futuros, que NO SEAN CONSTANTES, entonces podemos calcular la tasa

implcita en la operacin utilizando la funcin de Excel:

TIR (rango; {estimar})

Perodo Flujo

0, inicial en que se pagara ctdo.

-40000

1 12000

2 15000

3 18000

Supongamos que se puede pagar o 40 mil al contado o

tres cuotas de 12; 15 y 18 mil

respectivamente.

Qu tasa se est aplicando

i = 6% RAUL DIAZ 54

6%

RAUL DIAZ 55

Estos son los conceptos y las herramientas bsicas relacionadas con el Valor Temporal del Dinero.

Luego veremos ms aplicaciones:

Al evaluar decisiones de inversin

Al valorar instrumentos financieros

RAUL DIAZ 56

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