CAPITULO 5:Interés compuesto

MATEMATICAS FINANCIERA

Dalia Alicia Solís Llanas Juan Alejandro Jaime Flores Eliodoro Puentes FloresJulio Cesar Gonzales Miguel Ángel Briseño Quintero Emma Idalia

Introducción

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial. 

5.1 INTERES COMPUESTO ¿EN QUE CONSISTE EL INTERES COMPUESTO?

Este interés se caracteriza por ser capitalizable, es decir como se menciona en la introducción, el interés causado en cada periodo se va adicionando al capital inicial y este mismo va causando mas intereses.

Por ejemplo si tenemos un capital de $3,000 a una tasa de interés del 18% anual durante 6 periodos.

PERIODO CAPITAL INTERES MONTO

1 3000 540 3540

2 3540 637.2 4177.2

3 4177.2 751.89 4929.1

4 4929.1 887.24 5816.33

5 5816.33 1046.99 6863.27

6 6863.27 1235.39 8098.66

5.2 COMPARACION INTERES SIMPLE-INTERES

COMPUESTO La diferencia entre interés simple y compuesto es que en el interés simple , el mismo interés se va calculando sobre un mismo capital inicial sin importar el interés ocasionado en periodos anteriores, mientras que en interés compuesto el interés ocasionado en cada periodo se va agregando al capital ocasionando el mismo mas interés.

Para comprobar lo anterior se plateara un ejercicio con los datos del ejemplo anterior:

INTERES SIMPLE:

I=C*i*t

I=(3,000)(0.18)(6)=

I=3,240.00

M=C(1+i*t)

M=3,000(1+(0.18)(6))=

M=6,240.00

INTERES COMPUESTO

1.- M=3,000(1+(0.18)(1))=$3540

2.- M=3,400(1+(0.18)(1))=$4177.2

3.-M=4177.2(1+(0.18)(1))=$4949.10

4.- M=4949.10(1+(0.18)(1))=$5816.33

5.-M=5816.33(1+(0.18)(1))=$6863.27

6.-M=6863.27(1+(0.18)(1))=$8098.66

M=$8098.66

TABLA COMPARATIVA POR PERIODO

PERIODOS MONTO I.S. MONTO I.C. DIFERENCIA

1 $3540.00 $3540.00 $0

2 4080.00 4177.20 97.2

3 4620.00 4929.09 309.09

4 5160.00 5816.33 656.33

5 5700.00 6863.26 1163.26

6 6240.00 8098.66 1858.66

5.2.1 VARIABLES DE INTERES COMPUESTO

El interés compuesto tiene sus formulas exactamente para tal, y así que el resultado sea directo sin necesidad de tanto procedimiento, formulas que se muestran a continuación junto con el significado de cada variable.

FORMULAS PARA PERIODOS ANUALES

FORMULAS DE MONTO PARA PERIODOS DE CAPITALIZACION MENOS DE UN AÑO- SEMESTRAL, TRIMESTRAL, MENSUAL, DIARIO O CONTINUA.

M=monto

C= capital

J= tasa de interés nominal capitalizable varias veces en el año

m=numero de capitalizaciones en cada año

t=numero de años

Ejemplo.

Calculemos el monto compuesto que acumulara un capital de $3,500 durante 9 años y 9 meses al 16% anual con capitalización mensual:

= =$16,485.06

5.2.2 Tasas EquivalentesTASA EQUIVALENTE:Dos o más tasas periódicas de interés son equivalentes, si con diferente periodicidad producen el mismo interés efectivo al final de cualquier periodo. La costumbre es considerar este periodo de un año.

Formula de equivalencia de tasa nominal-tasa efectiva.

Tenemos que:

Despejando ‘i’

Ejemplo:A que tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal del 16% anual capitalizable semestralmente:

i=?

j=16%

m=2

)*100=16.64%

5.2.3 CALCULO DE LA TASA DE INTERES

La tasa no efectiva o nominal puede calcularse partiendo de la formula del monto a interés compuesto.

FORMULA:

a) ; b)

POR LO TANTO:

5.2.4 EL VALOR ACTUAL A INTERES COMPUESTO, O CALCULO DEL CAPITAL.

El valor actual a interés compuesto es el valor de un documento, bien o deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerando determinadas tasas de interés.

Formula para el calculo del valor actual a interés compuesto, para ello consideramos la formula del monto a interés compuesto:

También conocemos que, ,por tanto.

5.2.5 DESCUENTO COMPUESTO Operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización.

FORMULA PARA EL CALCULO DEL DESCUENTO COMPUESTO:

FORMULA PARA EL CALCULO DEL DESCUENTO BANCARIO:

Ejemplo:Calcule el descuento compuesto matemático y el descuento compuesto bancario de un documento cuyo monto al final de los 8 años es de $6,000 si fue descontado tres años antes de la fecha de su vencimiento con una tasa de interés del 12% efectiva.

M=$6,000

i=12%

n=3

Descuento compuesto matemático

Descuento Compuesto Bancario

𝐷𝐶=𝑀 ¿

𝐷𝐶=$ 6,000¿

𝐷𝑏𝑐=𝑀 ⌈ 1−¿𝐷𝑏𝑐=$6,000 ⌈ 1−¿

5.2.6 ECUACIONES DE VALOR EN INTERES COMPUESTO

Una ecuación de valor es la igualdad de dos conjuntos de obligaciones (o flujos de efectivo) en una fecha focal o fecha de comparación.

El interés compuesto, el resultado que se obtenga de la ecuación importando la ubicación de la fecha Focal.

ESTO SIGNIFICA que en los problemas a interés compuesto, no se especificara la fecha Focal, porque se puede usar cualquier punto en el tiempo.

5.2.7 TIEMPO EQUIVALENTEEl tiempo equivalente es el tiempo promedio de dos o

más

deudas, valores u obligaciones.

La fecha en la cual un conjunto de obligaciones, con

vencimiento en fechas diferentes, puede liquidarse mediante un

pago único igual a la suma de las distintas deudas, se conoce

como fecha de vencimiento promedio de las deudas. El tiempo

por transcurrir hasta dicha fecha se conoce como tiempo

equivalente.

FORMULA PARA CALCULAR EL TIEMPO EQUIVALENTE:

EJEMPLO:

Una empresa tiene las siguientes deudas:

a) $ 1.000.000 a 3 años plazo con una tasa del 18% capitalizable semestralmente.

b) $ 5.000.000 a 4 años y 6 meses con una tasa del 12% efectiva.

c) $ 3.000.000 a 6 años y 9 meses con una tasa del 15 % anual capitalizable trimestralmente.

Desea reemplazar sus deudas por un solo pago en un tiempo

equivalente para los tres vencimientos. Calcular la fecha de pago y el

valor de pago único, considerando una tasa de interés del 14% anual

capitalizable semestralmente.

Calculamos los montos para cada una de las deudas, considerando los períodos de capitalización.

El tiempo de 10,736 semestres equivalen a 5,3682 años

Calculamos el tiempo equivalente, sumando los diferentes montos y multiplicados por sus tiempos de vencimiento, divididos por la suma de sus respectivos montos.

Calculamos los tiempos en relación con la fecha focal, es decir, restando el valor del tiempo equivalente menos el valor del tiempo de vencimiento, en cada caso.

Finalmente planteamos la ecuación de valor, tomando el interés del 14% anual capitalizable semestralmente y los tiempos calculados en el paso anterior.

NOTA: Mientras más decimales utilicemos al calcular el Tiempo Equivalente (en el segundo paso), más exacta será la respuesta