INTERACCIN ELECTROSTTICA1.1. CAMPO y POTENCIAL ELECTRICOS

Una partcula material, caracterizada por poseer masa, puede interactuar gravitacionalmente con otra partcula, pero adems puede o no estar dotada de un especial atributo llamado carga elctrica , y por consiguiente, interactuar elctricamente con otras partculas cargadas.

La carga elctrica en s durante el proceso de frotamiento no se crea, slo existe una transferencia de carga negativa (electrones), de la lana a la ebonita. Por consiguiente, la ebonita queda cargada negativamente y la lana positivamente. Una observacin experimental es que cuerpos con cargas de igual signo se repelen y con cargas de signos distintos se atraen (Ley de polaridad). La materia se compone de tomos y stos a su vez de electrones, protones, neutrones y otras partculas que son de menor importancia en electrosttica. Los tomos son elctricamente neutros. Los electrones son partculas cargadas negativamente, los protones son partculas con cargas positivas. El tomo tiene igual nmero de electrones que de protones. Cuando decimos que un objeto est cargado, lo que queremos decir es que tiene un exceso de carga; que puede ser positiva (deficiencia de electrones) o negativa (exceso de electrones). A diferencia de la masa (siempre de valor positivo), una partcula material puede tener carga elctrica de valor positivo, nulo o negativo. Experimentalmente se observa que "la carga neta en un sistema cerrado se conserva", esto es el enunciado del principio de la conservacin de la carga. El valor de la carga inicial en un cuerpo puede aumentarse, disminuirse o anularse, mediante procesos de carga, descarga y neutralizacin, respectivamente. Si un cuerpo posee la carga Q1 y se lo pone en contacto con otro cuerpo con carga Q2, entonces la carga adquirida por el conjunto ser (Q1 + Q2). As la carga total de un conjunto es la suma algebraica de las cargas de sus componentes. En particular, si Q2= -Q1, entonces la carga neta es nula y el sistema est elctricamente neutro. Un cuerpo neutro puede cargarse, si se separa sus cargas de signo opuesto. En el siglo pasado se crea que la carga elctrica era un fluido continuo, pero a principios de este siglo, se descubri que la carga elctrica est dada en unidades o paquetes de cargas separadas, y esta propiedad de la carga elctrica se conoce como "cuantizacin de la carga". Esta carga bsica es la carga del electrn que se representa simblicamente por , y su valor est dado e [Coulomb]. e=1.6020610 -19 ( C ) 1Coulomb [C], la unidad de carga elctrica en el sistema internacional de unidades. Dentro de un tomo, el protn posee la carga de +1e y el electrn la carga de 1e Notacin: las cargas macroscpicas se representan por q o Q y equivalen a Ne donde N es un nmero enteroEntre los mtodos para separar dichas cargas podemos citar: el frotamiento (que es el mtodo tradicional), la electrlisis, el efecto termo-inico, el efecto foto-elctrico, el campo ionizante y la separacin de carga por colisiones. Sobre estos procedimientos para separar carga y sus aplicaciones, le recomendamos leer el Captulo del texto de Serway.

1.2. Conductores y aisladores Respecto al comportamiento elctrico, los materiales pueden clasificarse en general en dos clases: conductores y aisladores (dielctricos) de la electricidad. Los conductores son substancias metlicas, como el cobre, plata, fierro, etc., que contienen un gran nmero de portadores de carga libre. Estos portadores de carga (generalmente electrones) se mueven libremente en el conductor. Los dielctricos, son materiales en los que las partculas cargadas no se mueven debido a que estn fuertemente ligadas a las molculas de las que forman parte, por ejemplo, vidrio, plstico, porcelana, etc1.3. LEY DE COULOMB

La interaccin elctrica entre cargas en reposo, se rige por la ley de Coulomb: Uno de los primeros cientficos que realiz experimentos para el estudio cuantitativo de la fuerza de atraccin o repulsin entre dos cargas puntuales, fue el cientfico francs Charles Augustin Coulomb (l736 - 1806). Utilizando una balanza de torsin, similar a la que utiliz posteriormente Cavendish para medir las atracciones gravitacionales. El experimento que realiz Coulomb fue diseado con el propsito de analizar cmo la fuerza entre dos cargas puntuales vara con el producto de la magnitud de las cargas e inversamente a su separacin elevada al cuadrado. Las cargas son representadas por q1 y q2, y la separacin entre las cargas r. Coulomb encontr que la fuerza que ejerca una carga sobre la otra, estaba descrita por:

(1.1)En sta expresin K es una constante, q1 y q20 son las respectivas cargas elctricas de las partculas interactuantes y r el vector posicin de q1 respecto de la carga q2. Se trata pues de una Fuerza Central y, al igual que la fuerza de interaccin gravitacional, es una fuerza conservativa. La constante de Coulomb K=9 *109 Nm 2 /C 2 =1/ 40 ; donde 0 (permitividad elctrica del vaco) es una constante que caracteriza elctricamente al vaco. De la expresin (1.1) se infiere que la magnitud de la fuerza elctrica depende tanto de las cargas elctricas como de la distancia relativa entre ellas. Respecto de las cargas, es necesario conocer su valor y forma en que se distribuye sobre el cuerpo. Sin embargo, cuando las dimensiones del cuerpo son despreciables comparadas con la distancia entre las cargas, se puede concebir a la carga distribuida sobre un cuerpo que es un punto del espacio, y se denomina carga puntual. As, la expresin (1.1) es la ley de fuerzas o ley de Coulomb para la interaccin entre cargas puntuales en reposo y en el vaco. El problema de determinar el movimiento de una carga puntual dentro del campo elctrico, es anlogo al problema dinmico para el movimiento de una partcula de masa m dentro de un campo gravitacional. El hecho que la interaccin elctrica sea conservativa, implica que son vlidas las relaciones siguientes: dW e = F dl = dU (1.2) siendo dU la variacin de la energa potencial electrosttica. As, la carga puntual Q genera en todo el espacio una funcin vectorial, Vector Campo Elctrico E , cuya unidad en el sistema SI se expresa en (N / C) (o en V / m, como veremos ms adelante):

La ecuacin (1.1) se puede escribir en forma vectorial como

Donde er es el vector unitario a lo largo de r Cuando se considera la interaccin de un conjunto discreto formado por varias cargas puntuales y se desea saber la fuerza resultante sobre una carga especfica, se encuentra que la fuerza total resultante es simplemente la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada una de las cargas. Esto se conoce como el Principio de Superposicin.

1.4 Densidad de carga elctrica Densidad de carga volumtrica. Cuando una carga elctrica es distribuida en toda una regin del espacio, podemos definir la densidad de carga elctrica promedio como la carga total en la regin dividida por el volumen de la regin. La densidad de la carga elctrica se simboliza por y tiene las unidades de [C/m3], cuando el volumen V contiene la carga total q, entonces la densidad de carga promedio es: prom=q /V (1.4) La carga total se puede encontrar a partir del volumen y la densidad de carga promedio, es decir:

Vprom=qEstas relaciones son similares a la definicin de la densidad de la masa. En la interaccin entre cargas, supongamos que lleguen a un arreglo equilibrado en el cul la fuerza neta actuando en cada carga sea cero; por lo tanto, es frecuente encontrar distribuciones de carga que no son uniformes. Podemos definir la densidad de la carga variable en funcin de la posicin, esto es:

con que describe la presencia de cargas infinitesimales (dq en cada regin infinitesimal) del espacio con volumen dv; es decir que podemos expresar la densidad de la carga como:

(1.5) Si la densidad de la carga no es funcin de la posicin, entonces es constante; si se asume que el lmite existe y es independiente de los detalles de la subdivisin se puede escribir: (1.6) El diferencial de volumen d puede expresarse en diferentes sistemas de coordenadas dependiendo del problema en cuestin (cartesianas, esfricas y cilndricas).

Densidad de carga lineal y superficial. Si la regin cargada elctricamente es muy delgada comparada con su longitud y distante de otros cuerpos, entonces se puede representar por una lnea matemtica (ideal), con una distribucin de carga unidimensional , definida mediante.

(1.8)

de donde se tiene que

si es independiente de o constante, entonces: La densidad de carga lineal est expresada en unidades de [C/m]. Si la carga se encuentra distribuida sobre una superficie en una regin del espacio distante de otros cuerpos se puede representar matemticamente por la siguiente expresin: (1.9) (1.10) El diferencial de superficie se debe expresar en sus coordenadas apropiadas. La densidad de carga superficial est dada en unidades de [C/m2]. 1.5. Campo Elctrico (Er) Cuando una carga elctrica experimenta una fuerza de atraccin o repulsin (en ausencia de campos gravitacionales y magnticos) en una regin del espacio, existe un campo elctrico en esa regin. La magnitud del campo elctrico depender de la magnitud de la fuerza elctrica y de la magnitud de la carga prueba (carga que experimenta la fuerza). La fuerza elctrica puede ser generada por cargas aisladas o bien por una distribucin de carga. Supongamos que la fuerza se debe a una carga aislada, entonces se observa experimentalmente que la atraccin o repulsin sobre la carga de prueba es radial y se puede dibujar lneas radiales a la carga que representen grficamente la direccin de repulsin o atraccin, estas lneas radiales se conocen como lneas de campo (las cuales son imaginarias) que salen de las cargas positivas y entran a las cargas negativas como se muestran en la figura. de donde se obtiene

El campo elctrico se define como la razn de la fuerza elctrica Fr (que experimenta la carga prueba), por unidad de carga prueba (q) que por definicin se considera positiva. Esto es:

De la Fig. anterior se observa que la direccin de la fuerza est en la direccin del campo. Si se tiene una carga punto , y a una distancia r se encuentra una carga prueba , se puede emplear la ley de Coulomb, ecuacin (1.3). Para obtener que:

Si se divide ambos lados de la ecuacin por se obtendr una expresin del campo elctrico para cargas aisladas.

Para determinar el campo elctrico en el punto P, debido a la presencia de un conjunto discreto de cargas puntuales se utiliza el principio de superposicin el cual consiste en la suma vectorial de los campos en el punto P, dado por

(1.13) Donde qi representa la carga de cada una, y ri la distancia de las cargas al punto donde se desea calcular el campo. Determinacin del campo elctrico para distribuciones continuas Tomando el lmite continuo de la ecuacion (1.13) que consiste en escribir:

(1.14) Se obtiene que el campo para una distribucin continua de carga, est dado por

(1.15)donde: dq = dl (distribucin lneal ) dq = ds (distribucin superficial ) dq = dV (distribucin volumetrica)

dq es una diferencial de carga, r es la distancia entre el diferencial de carga y el punto donde se desea calcular el campo y e es el vector unitario que nos indica la direccin del campo, siguiendo la trayectoria de r.

1.6. Lneas de fuerza Las lneas de fuerza o lneas de campo son lneas imaginarias trazadas de tal forma, que la tangente en un punto coincide con la direccin del campo elctrico en dicho punto.

a) Dos cargas iguales

.

. b) Dipolo elctrico

c) Placa cargada.

d) Dos placas paralelas con la misma densidad de carga, y signo contrario.

Al analizar los diagramas de la Fig. anteriores para diferentes distribuciones de carga, se observa que: 1. Las lneas de Fuerza comienzan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. 2. La tangente a la lnea de fuerza en cualquier punto es paralela a la direccin del campo elctrico en ese punto. 3. El nmero de lneas de fuerza por unidad de rea en una regin del espacio est en relacin directa a la magnitud del campo elctrico. A mayor nmero de lneas de fuerza por unidad de rea, mayor la magnitud del campo. 4. Las lneas de fuerza nunca se cruzan. Ejemplos 1.- Si se tiene una esfera dielctrica de radio R con una densidad de carga volumtrica = A [C/m3]; donde A es constante. Calcule la carga total encerrada en la esfera. Desarrollo:Utilizando la ecuacin (1.6) tenemos que = A entonces: =AV, con V volumen de la esfera V=4R3/3, entonces = 4R3A/3 2.- Una esfera maciza, no conductora, de radio a, con una cavidad esfrica de radio b, como se muestra en la figura, tiene una distribucin de carga volumtrica donde A es una constante. Calcule la carga que se encuentra en la esfera.

Utilizando la ecuacin (1.6), se tiene que: En coordenadas esfricas , dV= r2dr sen dd entonces

Luego

De donde se encuentra que la carga en la esfera es:

3.- Una semiesfera hueca dielctrica tiene una distribucin de carga elctrica () =0 sen, donde est expresada en [C/m2]. Calcule la carga total que encuentra en la semiesfera hueca.

0 se

Sol: Para una distribucin superficial de carga seque

tiene

en esta caso dS= dr2sendd . Sustituyendo, se obtiene

evaluando: est distribuida uniformemente.

Esta expresin nos muestra que la carga total que no

4.- Se tiene un anillo de radio a, cargado positivamente con una distribucin de carga uniforme lineal. Calcular E a una distancia x sobre el eje del anillo a partir de su centro. Sol: Me doy un elemento de carga en el anillo con dq y dl. Se une con un segmento de recta, desde donde esta situado el elemento de carga hasta en punto P, donde e quiere calcular el campo( r ) Dibujamos el vector elemento de campo elctrico en el punto P siguiendo a r . Ver Figura

De la definicin de densidad lineal de carga, se tiene que lo cual producir un diferencial de campo elctrico en el punto en cuestin, que de acuerdo con la ecuacin (1.14), resulta:

de la Fig. se puede ver que al integrar, la componente perpendicular al eje se anula ( por simetra) quedando solamente la componente colineal, de aqu que:

donde

entonces:

Integrando y evaluando

Para x>>a, se tiene que donde 2a representa la carga total del anillo. Del resultado anterior se puede concluir que para grandes distancias, el anillo se comporta como una carga puntual.

5.- Considere un arco semicircular de la figura, cargado uniformemente con densidad lineal . Determine el campo en el centro de curvatura del arco Sol:Me doy un elemento de carga dq en el arco saemicircular y dl. Se une con un segmento desde donde esta situado el elemento de hasta en punto P, donde e quiere calcular el Dibujamos el vector elemento de campo en el punto P siguiendo a r . Ver Figura De la figura se tiene por simetra E x =0 Por otro lado, de la definicin de campo elctrico se obtiene que

como el una elctrico

de recta, carga campo( r ) elctrico

sustituyendo en la ecuacin anterior, se puede escribir

para este caso dq=dl, donde, dl=ad y r = a, entonces

Integrando

En forma vectorial Ey

6.- La mitad de un cascarn esfrico, conductor de radio interior r, tiene una carga total Q distribuida uniformemente su superficie interior. Calcular el campo elctrico en el centro de curvatura.

no en

Sol Se elije De la figura se ve que por simetra Ey =0, (ver problema anterior), entonces se puede escribir De la ecuacin (1.15), se tiene que

Sabiendo que dq=ds e integrando se obtiene

dado que

, se tiene

como

, se tiene

dado que =Q/2r2, sustituyendo se encuentra

7.- Para un anillo circular de radio a con una distribucin de carga lineal(1+cos) como el de la Fig. Calcule la carga total del anillo. Para esta caso la carga elctrica se determina a partir de

=0

donde =0 (1+cos) y de la figura se tiene que dl=ad Reemplazando se encuentra

de donde se obtiene que q = 2a0 8.- Determine la carga en el volumen definido por 12r[m] en coordenadas esfricas si: = 5cos2/r4 (/m3) Solucin: La carga en un volumen est dada por

expresando dV en coordenadas esfricas

Dado que

, se tiene

9.- Una varilla de longitud no conductora tiene una distribucin de carga lineal uniforma . Determine el campo elctrico en el punto P a una distancia b sobre la perpendicular bisectriz.Sol. Se elije un elemento dq en la varilla.

De la figura se tiene que

la componente Ex = 0 por simetra

como

, se tiene que

Para esta caso dq=dx, y cos =b/r , luego sustituyendo se tiene

como r= (x2+b2 )1/2 se obtiene

Integrando

Dado que

, se encuentra

Tambin se puede escribir

10.- Determine el campo elctrico en un punto P ubicado a una distancia b del extremo izquierdo de la barra del problema anterior.

Nos damos un elemento de carga dq .

Integrando se encuentra