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2 INTERACCINELCTRICA

La interaccin elctrica junto con la gravitatoria son las dos interacciones fundamentales que se utilizan paraexplicar el comportamiento de los sistemas materiales si exceptuamos el comportamiento de los ncleos atmicos.

Los fenmenos elctricos estn relacionados con la propiedad de la materia llamada carga elctrica, magnitudcuya unidad en el SI es el culombio.

En el estudio de la interaccin elctrica acostumbra a distinguirse lo que ocurre entre cargas elctricas en reposo(electrosttica) de los fenmenos relacionados con las cargas elctricas en movimiento (electrocintica y magnetismo).

En esta unidad trataremos la ley de Coulomb de la interaccin electrosttica y haremos una introduccin delcampo electrosttico. Haremos tambin un anlisis energtico de situaciones sencillas en las que participen cuerpospuntuales con carga elctrica neta.

Ley de Coulomb

Permitividad o constantedielctrica

Campo elctrico

Intensidad de campoelctrico

Polarizacin

Energa potencial electros-ttica

Potencial elctrico

IDEAS PRINCIPALES

69

A finales del siglo XVIII comienza el desarrollo de una rama de la fsica, la elec-tricidad, en la que se introdujo una nueva interaccin entre los cuerpos debido a lapropiedad llamada carga elctrica.

1 INTERACCIN ELCTRICALa interaccin elctrica se produce entre cuerpos que estn electrizados, es

decir, que poseen la propiedad llamada carga1 elctrica.

A.1.- a) Indica las hiptesis principales del modelo de carga elctrica.b) Explica los distintas formas de electrizar un cuerpo.

Influidos por el xito que haban tenido las ideas de Newton algunos cientficosdel s. XVIII pensaron que las fuerzas atractivas y repulsivas entre los cuerpos con cargaelctrica neta podran seguir una ley semejante a la de la Gravitacin Universal. Elfrancs Charles Coulomb public en 1785 lo que se conoce como Ley de Coulomb:

Entre dos cuerpos cargados elctricamente cuyas cargas sean q1 yq2, existen dos fuerzas iguales, que pueden ser atractivas o repulsivas,aplicadas sobre cada uno de los cuerpos y cuyo valor es directamenteproporcional al producto de las cargas de ambos e inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia que los separa. En el valor de las fuerzasinfluye el medio en el que se encuentran inmersos ambos cuerpos.

El mdulo de estas fuerzas es: = 1 22

q qF K

d

La constante K no es universal. Su valor depende del medio en el que se encuen-tren los cuerpos con carga elctrica neta. As, en el vaco o en el aire el valor de K en elSistema Internacional es de 9109 N m2/C2, mientras que en el agua es de 0,11109

Nm2/C2.

Las fuerzas electrostticas pueden ser atractivas o repulsivas, son centrales ytambin conservativas, es decir, que el trabajo que realizan no depende de la trayec-toria escogida, tan slo depende de los puntos inicial y final.

A.2.- a) Calcula la fuerza entre dos cuerpos que se encuentran en el aire sepa-rados 20 cm, si uno tiene una carga de 3 mC y el otro de 5 C.

b) Repite el clculo suponiendo que estn en el agua y que una carga es positi-va y la otra negativa.

c) Determina el valor de la fuerza atractiva entre un electrn y un protnseparados 1 Angstrm. Comprala con la fuerza gravitatoria entre ambos.

a) F = 3375 N (repulsin); b) F = 41,25 N (atraccin); c) F = 2,3108 N

d

dq1

q1

q2

q2

1 La carga elctrica no es un ente real sino una propiedad de la materia. A pesar de ello, muchas veces, porcomodidad, hablamos de cargas en movimiento, cargas que interaccionan, etc., aunque sera ms preciso referirse a loscuerpos o partculas que presentan dicha propiedad, por ejemplo electrones o iones.

9 1 2

2

9 1 2

2

9 10

0,11 10

q qen el aire F

d

q qen el agua F

d

=

=

70

En relacin a la interaccin elctrica se cumplen los siguientes principios:

a) Principio de conservacin de la carga: la carga total permanece constante.

b) Principio de cuantizacin de la carga: no se han encontrado cargas mspequeas de un valor lmite, la del electrn. A sta se le da el valor de la unidadatmica de carga.

c) Principio de superposicin: la interaccin elctrica entre dos cargas es inde-pendiente de la presencia de una tercera carga.

EJEMPLOTenemos tres cuerpos que pueden considerarse puntuales cuyas cargas y posiciones son las siguientes: q1 = 6 mC,

r1 = (3,4); q2 = 3 mC, r2 = (2,2); q3 = 4 mC, r3 = (0,3). Calcula la suma de las fuerzas que ejercen sobre un cuerpopuntual cuya carga es 2 C colocado en el origen de coordenadas. Las distancias estn en centmetros.

Conviene hacer un dibujo que represente la situacin. Calcularemos pri-mero la fuerza que cada cuerpo ejerce sobre el que est en el origen y luegosumaremos todas las fuerzas.

Para poder calcular la fuerza que ejerce cada cuerpo sobre el que est en elorigen es necesario conocer la distancia entre ellos. Esas distancias son:

( )= + =

= + =

=

2 21

2 22

3

3 4 5 cm = 0,05 m

2 2 2,8 cm = 0,028 m

3 cm = 0,03 m

d

d

d

El mdulo de la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el que est en el origende coordenadas se calcula con la ley de Coulomb:

( ) ( ) = =

3 6

9 41 2

6 10 2 109 10 4,32 10 N

0,05F

Anlogamente calcularamos las fuerzas que ejercen los otros cuerpos cargados:

F2 = 6,75 104 N

F3 = 8 104 N

Ahora se trata de sumar vectorialmente las tres fuerzas, para lo cual debemos expresar cada fuerza en funcin desus componentes. Si llamamos , , a los ngulos que forman cada uno de los vectores anteriores con el eje positivo delas X, podemos escribir:

= =4 3

sen ; cos5 5

Segn podemos observar en el dibujo

F1x = F1cos = 2,59104 N; F1y = F1sen = 3,4610

4 N

F1 = 2,59 104 i + 3,46 104 j N

De la misma manera, para F2:

= =2 2

sen ; cos8 8

F2 = 4,8 104 i 4,8 104 j N

Para la fuerza F3 slo tiene valor la componente en el eje Y:

F3 = 8 104 j N

La suma de las tres fuerzas es:

F = 7,39 104 i 9,34 104 j N

q1

q3

q =- 2 C

F1

F2

F3

q2

q =- 2 C

F1y

F2y

F2x F1x

F2

F1

Se considera que losquarks tienen carga elctrica de1/3 o 2/3 de la del electrn. Detodas formas seguira siendovlida la cuantizacin de la car-ga.

71

A.3.- Tres cuerpos que pueden considerarse puntuales y tienen una carga netade + 100 nanoculombios cada uno, estn situados en el vaco en los puntos A(0,0),B(0,4) y C(3,0). Calcula la suma de las fuerzas que los dos primeros ejercen sobre eltercero. (Las distancias estn en metros).

F = 12,2 106 i 2,9 106 j N

Permitividad del medio o constante dielctrica

Para algunas aplicaciones es aconsejable introducir algunas variaciones en laexpresin de la Ley de Coulomb. Introducimos una nueva constante, , llamada cons-tante dielctrica o permitividad del medio, relacionada con K de la forma K = 1/(4).Por lo tanto, la ley de Coulomb puede escribirse

= 1 2

2

1

4

q qF

d

La constante dielctrica del vaco, y la del aire, es

= = =

212

0 9 2

1 1 C8,84 10

4 4 9 10 NmK

La permitividad de cualquier otro medio que no sea el vaco, o el aire, es siempremayor que la del vaco. Puede expresarse como un valor absoluto (mediante un nme-ro y la correspondiente unidad) o como un valor relativo: el nmero por el que hay quemultiplicar la permitividad del vaco para obtener la permitividad del medio = r0.

A.4.- Cuerpos puntuales cuyas cargas son 1, 2, 3 y 4 C estn situados en losvrtices de un rectngulo cuyos lados verticales miden 3 cm y los horizontales 4 cm.Cunto vale la fuerza ejercida sobre el cuerpo de carga 4 C, si estn en un mediode constante dielctrica relativa 5? Los cuerpos estn situados en el sentido de lasagujas del reloj empezando por el que tiene una carga de 1 microculombio situado enel vrtice superior izquierdo.

F = 8,9 i + 4,5 j N

A.5.- En los vrtices de un tringulo equiltero de 10 cm de lado se encuentrantres cuerpos cuyas cargas elctricas son de 2, 4 y 1 C. Calcula la fuerza que ejercenlos dos primeros cuerpos sobre el tercero. (Considera que los dos primeros cuerposestn situados en los vrtices de la base del tringulo).

F = 2,7 i 1,56 j N

K Permitividad Permitividad

Nm2/C2 C2/Nm2 relativa rvaco 9 109 0,88 1011 1

aire 9 109 0,88 1011 1

aceite 4 109 1,94 1011 2,2

papel 3 109 2,65 1011 3

porcelana 1,5 109 5,30 1011 6

mica 1,3 109 6,19 1011 7

alcohol 0,35 109 22,7 1011 25,7

agua 0,11 109 70,7 1011 80

72

Determinacin de la constante K

La constante K de la ley de Coulomb puede medirse de idntica manera a comose hizo con la constante de la gravitacin universal, utilizando la balanza de Cavendish(1798), que es una balanza de torsin.

A.6.- Cmo funcionaba la balanza de Cavendish? Cmo se debera procederpara medir la constante K?

2 CAMPO ELCTRICO. INTENSIDAD DE CAMPODe igual manera que un cuerpo crea a su alrededor un campo gravitatorio, un

cuerpo con carga neta crea a su alrededor un campo elctrico.

Las ideas de Faraday abrieron una nueva poca en el desarrollo de la Fsica.Las misteriosas fuerzas que actuaban a largas distancias entre los cuerpos fueronsustituidas por algo distribuido continuamente por todo el espacio entre y en tornoa ellos, algo a lo que poda atribuirse un determinado valor en cualquier punto. Estasideas introdujeron las nociones de campo de fuerzas o simplemente campo, yafuese de interacciones elctricas, magnticas o gravitatorias. Las fuerzas entre objetosseparados por espacios vacos se podan considerar como el resultado de interaccionesentre los cuerpos y los campos en los que estaban esos cuerpos inmersos.

Cuando en diferentes puntos colocamos un cuerpo cargado, y se observa quesobre l acta una fuerza elctrica en cada punto decimos que en esa zona del espa-cio hay un campo elctrico.

La idea de campo no es slo una ayuda matemtica para resolver un determi-nado tipo de problemas. Supone un cambio drstico en la concepcin de cmo sesupone constituido el mundo fsico. La fsica newtoniana supona la existencia de lamateria actuando en el interior de un espacio vaco desprovisto de propiedades. Laidea de campo supone asignar al espacio una serie de propiedades que le permitenactuar sobre lo que llamamos materia. Podemos decir que los campos tienen unaexistencia tan real como la misma materia.

Intensidad de campo elctrico

Sea un cuerpo con una pequea carga q sobre el que se ejerce en un punto delespacio una fuerza elctrica F. Llamaremos intensidad de campo elctrico en ese punto,que notaremos E, al cociente:

=q

FE

La carga q debe ser pequea (se le llama carga de prueba) para que no perturbe elcampo en el que se coloca.

Por convenio, la direccin y sentido de la intensidad de campo elctrico coin-cide con la de la fuerza que se ejerce sobre una carga de prueba positiva. Si se colocaun cuerpo con carga negativa en un punto donde haya un campo elctrico, la fuerzaque se ejerce sobre el cuerpo tendr la misma direccin que la del campo en ese puntopero su sentido ser contrario al del campo.

73

A.7.- Indica las unidades en el SI de la intensidad del campo elctrico. De quinforma el valor de la intensidad de un campo elctrico? Un cuerpo cuya cargaelctrica neta es de 5 C se coloca en un campo elctrico cuya intensidad es de20 000 N/C. Qu fuerza ejercer el campo sobre l?

F = 0,1 N

EJEMPLOUna bola de 100 g cuelga de una cuerda de 50 cm que podemos considerar

que no tiene masa. Se coloca en un campo elctrico horizontal y uniforme dirigi-do hacia la derecha (la intensidad de campo es la misma en todos los puntos),de valor 105 N/C, observndose que se desva 30 de la vertical. Calcula la cargaelctrica que debe tener la bola.

Sobre la bola actan las fuerzas dibujadas en la fig. 1:

Fp = mg, fuerza de atraccin de la Tierra

Fe = qE, fuerza elctrica

Fh, fuerza con la que el hilo tira de la bola

Puesto que la bola est en equilibrio, la suma de las tres fuerzas debe sernula. Para realizar la suma de todas las fuerzas podemos descomponer la fuer-za que hace el hilo sobre la bola, tal como se seala en la figura 2. La quehemos sealado como Fhy se compensa exactamente con la fuerza que ejercela Tierra, mientras que la que hemos sealado como Fhx es compensada por lafuerza elctrica.

+ = + = =

+ = =

= = =

6

5

0 cos 120 0tg120

0 sen 120 0

0,1 9,85,66 10 C

tg120 10 tg120

hx e h

hy p h

F qE mg

F mg qE

mgq

E

F F

F F

El resultado es razonable si tenemos en cuenta lo siguiente:

- El signo positivo de la carga es coherente con el que la fuerza elctricatenga la misma direccin que la intensidad de campo elctrico, tal como seseal en la figura 1.

- Aunque una carga del orden de los microculombios ya supone un valorgrande, es un valor concebible en un cuerpo macroscpico.

A.8.- Supongamos que entre los electrodos sumergidos en una disolucin dePbCl2 en agua hay un campo elctrico, que suponemos uniforme, cuya intensidades 20 N/C.

a) Calcula la aceleracin con la que se movern los iones cloruro y los ionesplomo.

b) Calcula el tiempo que tardar cada ion en recorrer 2 cm, si suponemos queinicialmente estaban en reposo. Analiza los resultados indicando si parecen razo-nables.datos: mCl= 5,9410

26 kg; mPb= 3,471025 kg; e= 1,61019 C.

aCl= 5,39107 m/s2; aPb= 1,8410

7 m/s2; tCl= 2,72105 s; tPb= 4,6610

5 s

A.9.- En una zona determinada existe un campo elctrico dirigido verticalmentehacia arriba cuyo valor es de 20 000 N/C.

a) Calcula la carga elctrica que debe tener una bola de 100 g para que est enequilibrio en esa zona.

= 30

Fh

Fp

Fe

E i= 10 N/C5

= 30

= 120

Fh y

Fe

Fh

Fh x

Fp

Figura 1

Figura 2

74

b) Qu rapidez llevar esa bola despus de haber recorrido un metro, si en unmomento determinado el campo elctrico disminuye a la mitad del inicial? (Suponerque g = 10 N/kg).

q = 5105 C; v = 3,16 m/s

La teora de campos tuvo un desarrollo muy amplio y supone una gran ayudapara el estudio de estos temas. Al principio los campos eran slo una forma de repre-sentar la interaccin entre dos cuerpos lejanos sin tener que suponer que se producela interaccin a distancia. Luego fue una potente herramienta matemtica que sirvipara predecir fenmenos tan importantes como las ondas electromagnticas (a partirde las famosas leyes de Maxwell) que no se haban observado nunca. En la actuali-dad, los cientficos atribuyen al concepto de campo una existencia tan real como a loque comnmente llamamos materia.

Representaciones de los campos vectoriales

Los campos como el gravitatorio o el elctrico que estn definidos en cadapunto del espacio por una magnitud vectorial se denominan campos vectoriales.Estos campos pueden representarse mediante lneas de fuerza. Una lnea de fuerzatiene la caracterstica de ser tangente en todos sus puntos a la direccin del campo enese punto y su sentido ser el mismo que tenga el campo. Para dibujar e interpretarlas lneas de fuerza debemos tener en cuenta los siguientes criterios:

a) Las lneas de fuerza nacen en las cargas positivas (se les llama manantialesdel campo) y terminan en las cargas negativas (se les llama sumideros del campo).

b) Cuando queremos que la representacin sea til para adquirir una idea delos valores de la intensidad de campo, se dibujan las lneas de fuerza ms juntasdonde es mayor la intensidad de campo y ms separadas donde la intensidad decampo es menor.

c) Las lneas de fuerza no pueden cortarse nunca.

A.10.- En un punto determinado, cuntos valores y direcciones puede tener laintensidad de campo? Si se cortaran dos lneas de fuerza, cuntas direcciones ten-dra la intensidad de campo en el punto en el que se cortasen? Por lo tanto, esposiblen que se corten dos lneas de fuerza?

Lneas de fuerza en un campo elctrico creado por doscargas iguales positivas.

Lneas de fuerza en un campo elctrico creado por doscargas iguales de signo contrario.

75

2.1 Clculo del campo elctrico

Si queremos determinar el valor de la intensidad del campo elctrico en cual-quier punto del espacio, podremos hacerlo de varias maneras.

A) Experimentalmente

Colocando en un punto un cuerpo con una pequea carga positiva de prueba,midiendo el valor de la fuerza que acta sobre ella y calculando la intensidad decampo por la expresin que sirve para su definicin. La ejecucin de este procedi-miento es una operacin realmente complicada en la prctica.

B) Tericamente

Podemos usar la ley de Coulomb, pero slo es vlida para cargas puntuales;para cuerpos que no se pueden considerar puntuales ser necesario el desarrollo deotros mtodos* que se estudiarn en cursos posteriores. De todas formas, aunque enlos libros es muy frecuente la realizacin de clculos tericos, debemos ser conscientesque slo pueden aplicarse a situaciones relativamente simples y que para una situacincompleja hay que recurrir a la medida experimental.

Hay que tener en cuenta que la intensidad de campo elctrico es una magnitudvectorial, y por lo tanto hay que indicar su direccin y sentido. La direccin es la de larecta que une la carga con el punto en el que queremos calcular la intensidad de campoy el sentido es alejndose de la carga en el caso de que la misma sea positiva, y hacia lacarga en el caso de que sta sea negativa.

Clculo de la intensidad de campo usando la ley de Coulomb

El cuerpo 1, que tiene una carga neta positiva Q, ejerce una fuerza elctricasobre el cuerpo de prueba con carga neta positiva q, colocado en el punto A, a unadistancia r del cuerpo 1. Esa fuerza elctrica puede calcularse bien por la ley deCoulomb o bien, conociendo el campo elctrico en el punto donde se ha colocado elcuerpo de prueba.

= = =

=

2A A2 2

A

QqK Q q Q

K q Krr r

q

F rr E E r

F E

Q

cuerpo 1

punto A

cuerpo deprueba

qr

r

F

E

r^ es un vector de mdulo 1, que tiene la direccin y sentido de la lnea que une el cuerpo 1 quetiene la carga Q con el punto en el que queremos calcular el campo elctrico.

*En las actividades complemen-tarias se introduce el teorema deGauss que permite el clculoterico de la intensidad de cam-po elctrico en algunos casos.

76

El mdulo del campo ser EA = KQ/r2, su direccin la de la recta que une ambos

cuerpos cargados y sentido alejndose del cuerpo 1. Si en lugar de un cuerpo puntualcargado, tenemos varios, haremos uso del principio de superposicin: calcularemos elcampo creado por cada cuerpo en el punto en cuestin y los sumaremos todos paraconocer el campo total.

EA = EiA

A.11.- En el origen de un sistema de coordenadas se sita un cuerpo puntualque tiene una carga neta de 5108 C, y en el punto de coordenadas (0,2) metros sesita otro cuerpo puntual cuya carga es 3108 C. Calcula la intensidad de campoelctrico en los puntos A (4,0) y B (8,2).

= + = +A B16 6 N C; 2,2 1,6 N CE i j E i j

A.12.- Dos cuerpos puntuales cuyas cargas son negativas y de valor absoluto100 C se encuentran en dos puntos A y B separados 12 cm. Calcula:

a) La intensidad de campo elctrico en el punto medio O del segmento AB.b) La intensidad de campo elctrico en el punto D situado en la mediatriz de AB

a 6 cm por encima del punto O.8

O D0; 1,810 N C= = E E j

A.13.- Tres cuerpos puntuales cuyas cargas son iguales, de +5 C, estn entres vrtices de un cuadrado de 20 cm de lado. Halla el mdulo de la intensidad decampo en el cuarto vrtice. Cmo variara la solucin si las cargas fuesen negativas?

E = 2,15106 N/C

2.2 Campo electrosttico en la materia

Una de las diferencias ms importantes que existen entre los campos elctricosy gravitatorios es que los primeros dependen del medio material en que se hallen.Hemos introducido la constante dielctrica del medio en que se produce la interaccinelectrosttica para cuantificar estas diferencias.

En general, los sistemas materiales pueden comportarse de dos formas distin-tas al introducirlos en un campo elctrico, lo que nos permite clasificarlos en con-ductores y aislantes segn la movilidad de sus cargas elctricas. La teora del enlacequmico interpreta los conductores como sustancias cuyos electrones tienen facili-dad para moverse (se dice que estn deslocalizados); son las sustancias metlicaslas que as se comportan. En cambio los aislantes, tambin llamados dielctricos,poseen cargas con poca movilidad, sus electrones estn localizados pues permane-cen ligados a los ncleos de los tomos. Estas sustancias tienen enlaces covalentes oinicos entre sus tomos.

Campo elctrico en un conductor en equilibrio. Jaula de Faraday

Los electrones de conduccin en los conductores metlicos se distribuyen ensu superficie. Esto se debe a que por tener todos la misma clase de carga, se repelen yal tener mucha movilidad tienden a ocupar las posiciones ms lejanas unos de otros.En el interior de los conductores el campo elctrico es nulo, ya que si no fuese as, loselectrones se desplazaran por la accin del campo hasta que su redistribucin anularael campo elctrico en el interior del conductor.

q1 = 510 C8

q2 = 310 C8

x

y

A

B

q1 = -100 C q2 = -100 C

A

O

D

6 cm

12 cm B

77

As pues, en el interior de cualquier superficie metlica cerrada el valor delcampo elctrico es nulo, y como para establecer esa conclusin no se ha tenido encuenta ninguna condicin referida al campo exterior, podemos decir que al campo en elinterior de un conductor no le afectan las variaciones producidas en las distribucionesde las cargas elctricas exteriores. Esto se conoce como jaula de Faraday.

El interior de los pisos construidos con estructura de hormign armado, puedeconsiderarse como casi una jaula de Faraday. Esto provoca que la recepcin de laondas electromagnticas, tanto de radio como de TV, que consisten en campos elc-tricos y magnticos variables, sea defectuosa, siendo la causa de la mala audicin delos receptores de radio en el interior de estos pisos.

Si quieres comprobar lo que acabamos de decir puedes coger un transistor ymeterlo en el interior de una jaula metlica. Como jaula metlica te puede servir unatela metlica cuya malla est tupida o un papel de aluminio.

A.14.- Por qu en los coches no se escucha bien la radio si no est conectadoa una antena? Por qu no se escucha la radio cuando atravesamos un tnel?

Campo elctrico en un dielctrico. Polarizacin

Normalmente la materia es elctricamente neutra en su conjunto existiendo unnmero equivalente de partculas elementales con carga positiva y negativa. Al situarun dielctrico en un campo elctrico, las nubes electrnicas de los tomos o molculasse orientan de una determinada forma, sin que se llegue a producir un desplazamientolibre de los electrones capaz de anular el campo elctrico en el interior, como ocurre enlos metales. De esta manera aparecen dipolos elctricos si las molculas del dielctricoson apolares o se orientan los dipolos existentes si las molculas son polares.

Llamamos polarizacin de una sustancia al desplazamiento de cargas debido a laaccin de un campo elctrico. La carga neta en el interior de un dielctrico polarizadosigue siendo nula.

Como se observa en la figura, los dipolos orientados crea un campo elctricointerior Ei que se opone al campo exterior E0. El campo elctrico total E en el interiordel dielctrico es menor que en el exterior de la sustancia. Podemos escribir:

E = E0 Ei

El valor de la intensidad de campo total E en un dielctrico es:

= 0

r

EE

donde E es el mdulo del campo total en el interior del dielctrico, E0 el mdulo delcampo en el vaco y r la constante dielctrica o permitividad relativa del dielctrico.

A.15.- Se crea un campo elctrico de 10000 i N/C en el aire. Calcula el campoelctrico en una placa de mica colocada en ese campo elctrico. Cul sera el campoelctrico creado por la orientacin de los dipolos del dielctrico?

E = 1429 i N/C; Ei = 8571 i N/C

A.16.- Dos cuerpos con carga de 40 C estn situados a un metro de distancia.a) Calcula la fuerza con que se repelen en el aire y en el agua.b) Explica por qu la fuerza de repulsin es menor en el agua que en el aire.

Faire = 14,4 N; Fagua = 0,18 N

E0

Ei

E

78

3 ENERGA POTENCIAL ELECTROSTTICAEl campo electrosttico es conservativo por lo que podemos definir una funcin

llamada energa potencial electrosttica, que cumpla la condicin:

El trabajo realizado por las fuerzas del campo sobre un cuerpo cuando ste sedesplaza entre dos puntos A y B sea igual a menos la diferencia del valor de esa funcinentre los dos puntos.

= = = B

A BA

BBA p pA

r

prW F dr E E E

Podr ocurrir que en un proceso:

- El trabajo realizado por las fuerzas del campo sea positivo; la variacin deenerga potencial del sistema ser negativa y eso supone que al final tiene menosenerga potencial que al principio. El sistema puede ceder energa a otro sistema oaumentar l mismo otro tipo de energa; por ejemplo, aumentar su energa cintica.

- El trabajo realizado por las fuerzas del campo sea negativo; la variacin deenerga potencial del sistema ser positiva y eso supone que al final tiene msenerga potencial que al principio. El sistema puede ganar energa de otro sistemao disminuir l mismo otro tipo de energa; por ejemplo, disminuir su energacintica.

A.17.- Supongamos un sistema formado por dos cuerpos con cargas elctricasdel mismo signo separados 20 cm. Si dejamos que los cuerpos se separen hasta unadistancia de 40 cm, el trabajo realizado por las fuerzas del campo elctrico serpositivo o negativo? la energa potencial elctrica cuando los cuerpos estn a 40 cmser mayor, igual o menor que cuando estaban a 20 cm? Si suponemos que el sistemaestaba aislado, habr aumentado o disminuido la energa cintica del sistema?

A.18.- Supongamos un cuerpo de 2 kg cuya carga es 8106 C que en un instan-te dado tiene una velocidad horizontal de 6 i m/s y se encuentra en un campoelctrico uniforme cuya intensidad de campo es E = 5106 i N/C.

a) Calcula el trabajo realizado por las fuerzas del campo sobre el cuerpo cuandohaya recorrido 20 cm.

b) Calcula la variacin de energa potencial elctrica del sistema formado por elcuerpo y el campo elctrico en ese trayecto.

c) Calcula la velocidad final del cuerpo si suponemos que es el nico quecambia de velocidad.

W = 8 J; Ep = 8 J; v = 5,3 i m/s

Cuando se separan dos cuerpos cuyas cargas elctricas sean de distinta clase lafuerzas internas elctricas realizan trabajo negativo, lo que supone un aumento de laenerga potencial de ese sistema.

B

A

E

rB

rA

W < 0 Ep > 0

Ff

rr

FiFi Ff

Situacin finalSituacin inicial

En el proceso

79

Si los cuerpos que se separan tienen cargas del mismo tipo, el trabajo realizadopor las fuerzas internas es positivo, por lo que disminuye la energa potencial delsistema.

A.19.- a) Cmo vara la energa potencial del sistema si se acercan dos cuerposcon cargas del mismo tipo? Y si se acercan cuerpos con cargas de distinto tipo?

b) Puede que aumente la energa potencial elctrica de un sistema y no lohaga la energa total del mismo? Explica la respuesta con la ayuda de algn ejemplo.

3.1 Potencial elctrico

Si tenemos en cuenta que la fuerza que un campo elctrico ejerce sobre un cuer-po de carga q es: F = q E, se puede escribir:

A B

B BBA p pA A

= = = W d q d E EF r E r

Si dividimos la expresin anterior por q obtenemos la diferencia de energa po-tencial por unidad de carga, magnitud que se denomina diferencia de potencial elctri-co entre los puntos A y B: VA VB.

A BB p p

A BA= = E E

d V Vq q

E r

La unidad de diferencia de potencial elctrico en el SI es el voltio. Decimos queentre dos puntos hay una diferencia de potencial de 1 voltio, cuando la diferencia deenerga potencial elctrica de un cuerpo de carga 1 culombio, colocado en esos dospuntos, es de 1 julio.

A.20.- Un cuerpo de carga 2 C pasa de un punto A a otro B entre los que existeuna diferencia de potencial de 400 V, siendo mayor el potencial en A que en B.Calcula la variacin de energa potencial elctrica que ha experimentado.

a) Ha aumentado o disminuido su energa potencial elctrica? Y la energatotal?

b) Responde a las preguntas anteriores suponiendo que el cuerpo tiene unacarga de 3 mC.

a) Ep = 8104 J; ha disminuido; depende de las fuerzas exteriores

b) Ep = 1,2 J; ha aumentado; depende de las fuerzas exteriores

Tal como hemos definido la energa potencial y el potencial, slo podemos cono-cer diferencias de esas magnitudes pero nunca su valor absoluto. Ahora bien, si fija-mos mediante un convenio un punto como referencia y, a ese punto, le asignamos unvalor del potencial nulo, a los dems puntos se les puede asignar un valor de esamagnitud, no siendo ya necesario hablar de una diferencia. Pero siempre hay que tenermuy claro que nosotros hemos asignado arbitrariamente el valor 0 a un punto.

W > 0 Ep < 0

Ff

rr

Fi Fi Ff

Situacin finalSituacin inicial

En el proceso

80

Si utilizamos el convenio de asignar el valor cero a la energa potencial y alpotencial elctrico en un punto situado en el infinito, podemos definir el potencialelctrico como:

El potencial elctrico en un punto es el trabajo elctrico realizadopor el sistema para llevar un cuerpo cargado con la unidad de carga posi-tiva desde ese punto hasta el infinito, o bien, el trabajo exterior realizadopara llevar un cuerpo cargado con la unidad de carga positiva desde elinfinito hasta ese punto.

A partir de las ecuaciones anteriores, pueden obtenerse las dos siguientes:

B

A= BA =Wd VA q V( AVB VB)E r

La primera permite pasar de la descripcin vectorial a la descripcin escalar delcampo si conocemos la intensidad de campo a lo largo de la trayectoria AB. La segundapermite calcular el trabajo realizado por la fuerza del campo sobre un cuerpo de carga qde una forma muy sencilla si conocemos la diferencia de potencial entre los puntos Ay B. Estas ecuaciones son siempre vlidas y son posibles porque el campo elctrico esconservativo.

A.21.- Entre las lminas de un condensador separadas 1 mm, hay una diferenciade potencial de 500 V. Cul es el valor de la intensidad de campo elctrico en elinterior del condensador suponiendo que es constante y uniforme).

E = 500000 V/m = 500000 N/C

A.22.- En un cuerpo conductor en equilibrio la carga elctrica neta se coloca enla superficie, de forma que el campo elctrico en su interior es nulo. Por lo tanto,qu podemos decir del valor del potencial elctrico en el interior de un conductorcargado?

Dada la relacin que hay entre la diferencia de potencial y la intensidad de cam-po elctrico, podemos utilizar como unidad de la intensidad de campo elctrico elvoltio/metro, adems de la que podramos llamar su unidad propia (la que se deriva desu definicin), que es el newton/culombio. En la prctica se emplea con frecuencia elV/m, ya que existen aparatos, los voltmetros, que permiten medir con relativa facilidadla diferencia de potencial elctrico entre dos puntos.

Procesos forzados y espontneos

Los sistemas evolucionan espontneamente hacia las situaciones en las que laenerga potencial se hace mnima. Por ejemplo, si un cuerpo cargado puede moverselibremente, se alejar espontneamente de otro cuerpo fijo que tenga carga del mis-mo tipo. Teniendo en cuenta que en este caso el trabajo que realizan las fuerzas delcampo es positivo, la variacin de energa potencial es negativa, es decir que en lasituacin final la energa potencial es menor que en la inicial.

Es posible que un sistema evolucione aumentando su energa potencialelectrosttica. En ese caso calificamos al proceso de forzado. Pero para que eso puedaocurrir es necesario que suceda alguna de las dos cosas siguientes:

EL ELECTRONVOLTIO (eV)UNIDAD DE ENERGA EN FSI-CA ATMICA

Cuando un electrn (1 e =1,61019 C) pasa de un punto aotro cuya ddp es de un voltio, laenerga cambiar en 1,6 1019 J.Esa cantidad de energa tan pe-quea se utiliza como unidadcuando se trata de estudiar los fe-nmenos a nivel atmico y se lellama electronvoltio (eV).

Un mltiplo es el mega-electronvoltio (MeV) que equiva-le a 1 milln de eV.

81

- Que se aporte energa desde el exterior.

- Que disminuya otro tipo de energa del sistema, por ejemplo energa cintica.

Por el contrario, cuando el desplazamiento es espontneo, el sistema puede ce-der energa al exterior o aumentar su energa cintica.

A.23.- Calcula el trabajo realizado por las fuerzas del sistema e indica si lastransformaciones son forzadas o espontneas, as como si aumenta o disminuye suenerga potencial cuando:

a) Un cuerpo de carga +3 C pasa de un punto en el que el potencial es 2 V aotro cuyo potencial es 10 V.

b) El mismo cuerpo pasa de un punto cuyo potencial es 8 V a otro cuyo poten-cial es 4 V.

c) Un cuerpo de carga 3 C pasa de un punto de 2 V a otro punto de 10 V.a) W = 24 J: forzada, aumenta Ep b) W = 12 J: espontnea, disminuye Ep

c) W = 24 J: espontnea, disminuye Ep.

Superficies equipotenciales

Superficie equipotencial es la formada por todos aquellos puntos que tienen elmismo potencial. Un cuerpo cargado tiene la misma energa potencial elctrica en cual-quier punto que se encuentre de una superficie equipotencial.

Las figuras representan el corte de las superficies equipotenciales con el papel(lneas equipotenciales discontinuas) y las lneas de fuerza (lneas continuas) del cam-po elctrico creado por una carga puntual (figura de la izquierda) y de un campo elctri-co uniforme (figura de la derecha). En todos los casos hay una diferencia de potencialconstante entre superficies equipotenciales adyacentes. As, dada la relacin que existeentre el campo y la diferencia de potencial, E es relativamente grande cuando las lneasequipotenciales estn relativamente cercanas, y relativamente pequeo cuando estnseparadas. En forma semejante, las lneas de fuerza estn relativamente cercanas entres donde E es grande y separadas donde E es pequeo. En realidad ambas representa-ciones estn relacionadas ya que la intensidad del campo elctrico y la variacin delpotencial tambin lo estn. As, la direccin y sentido de las lneas del campo (que sonlos de E) ser siempre la de los potenciales decrecientes.

Las lneas de fuerza que representan a laintensidad del campo elctrico son en cadapunto perpendiculares a la superficieequipotencial que contiene a dicho punto.

Lneas equipotenciales (corte de la su-perficies equipotenciales con el papel) ylneas de fuerza en un campo elctricouniforme.

82

C

B

Q

A

90E

E

dr

dr

rA

rB

A.24.- Si un cuerpo con carga neta pasa de un punto a otro de una superficieequipotencial su energa potencial elctrica no cambia, es decir Ep = 0.

a) Qu trabajo realizan las fuerzas elctricas que actan sobre el cuerpo cuandose traslada entre dos puntos de una misma superficie potencial?

b) Qu ngulo debe formar la direccin del vector intensidad de campo elctri-co con la superficie equipotencial? Explica por qu.

c) Un hilo conductor cargado crea un campo elctrico en el que las superficiesequipotenciales son superficies cilndricas concntricas en el que el eje de esos cilin-dros sera el hilo cargado. Cul ser la direccin del vector intensidad de campoelctrico en este caso?

3.2 Potencial en un punto de un campo elctricocreado por un cuerpo puntual

Pretendemos obtener una expresin que permita calcular el potencial encualquier punto del campo creado por un cuerpo puntual cuya carga elctrica es Q(tambin es vlido para cuerpos esfricos con distribucin isotrpica de carga).

Para ello supongamos que se traslada desde el punto A al B otro cuerpopuntual que tiene una carga neta q. El campo elctrico creado por el cuerpo concarga Q, acta en cada momento sobre el otro cuerpo cargado en su desplaza-miento desde el punto A al B, ejerciendo sobre el mismo una fuerza elctrica cuyovalor, en cada punto, ser el producto de su carga por el valor del campo elctricoen ese punto.

F = q E

El trabajo realizado por esa fuerza sobre el cuerpo no depende de la trayec-toria (el campo elctrico es conservativo), por lo que se puede suponer que se hadesplazado desde A hasta B segn una trayectoria recta (camino 1 en el dibujo), opor cualquier otra trayectoria. Ya que el resultado ser el mismo por cualquiertrayectoria, podemos escoger aquella que permita un clculo ms sencillo. Porejemplo, supongamos que se ha escogido el camino 2, constituido por el tramorecto AC y el arco circular CB con centro en el cuerpo de carga Q. Por esa trayecto-ria slo se realiza trabajo durante el tramo AC, ya que en el tramo CB la fuerzaelctrica (que tiene la misma direccin que la intensidad del campo) es en todomomento perpendicular al desplazamiento.

Teniendo en cuenta que el mdulo de la intensidad de campo creado poruna carga puntual es E = KQ/r2, y que durante el tramo AC la intensidad decampo y el vector desplazamiento son paralelos (forman un ngulo de 0 ), elcoseno del ngulo que forman sus direcciones es igual a 1, por lo que podemosescribir:

= = + =

= =

= =

B C BBA

A A C

C CBA 2

A A

CBA

A B*A

0

1 1 1

W d d d

QW q d qK dr

r

W qKQ qKQ qKQr r r

F r F r F r

E r

*Hemos escrito rB en lugar de rC ya que son iguales.

A

C

B

Q

trayectoria 2

trayec

toria

1

cualquiertrayectoria

dr

E

83

Si comparamos el valor obtenido con la relacin entre el trabajo entre dos puntosy la diferencia de potencial entre esos dos puntos:

( )

= +=

= +=

B AA A

A B

BBA A B

B

constante

constante

QQ Q V K

W q K K rr r

QV KW q V V

r

Si adoptamos el convenio de que VA = 0 cuando rA = , se obtiene que laconstante = 0. Por lo tanto, el potencial en cualquier punto cuya distancia al cuerpopuntual que crea la carga sea r, se puede calcular con la expresin:

=Q

V Kr

Cuando queremos calcular el potencial creado por varios cuerpos puntuales concargas netas Q1, Q2, ..., se calcula el potencial creado por cada uno y se suman paraobtener el potencial total. Esa suma es fcil pues el potencial es una magnitud escalar yel potencial total ser la suma algebraica de los potenciales creados por cada cuerpocargado.

= + +1 2

1 2

...Q Q

V K Kr r

Si tenemos un cuerpo puntual con una carga Q, al colocar en sus inmediacionesotro cuerpo puntual con una carga q, el sistema de ambos cuerpos adquiere una energapotencial que viene dada por la expresin:

= =pqQ

E q V Kr

V representa el potencial elctrico creado por el primer cuerpo en el punto dondecolocamos al otro cuerpo. Seguimos usando el convenio: Ep= 0 para r = .

A.25.- Un ncleo atmico tiene una carga 50 veces la del protn. Halla el poten-cial en un punto situado a 1012 m de dicho ncleo y la energa potencial de unprotn en ese mismo punto.

V = 7,2104 V; Ep = 1,151014 J

A.26.- a) Se tienen dos cargas puntuales de 2 y 5 C separadas 10 cm (coloca-da la positivia a la izquierda). Calcula el campo y el potencial en los siguientespuntos: A (20 cm de la + y 30 cm de la , en la recta que las une) y B (20 cm de la y 30 cm de la +, en la recta que las une).

b) En qu punto de dicha recta el potencial es nulo? Y el campo?a) EA = 510

4 i N/C; VA = 6104 V; EB = 9,310

5 i N/C; VB = 16,5104 V

b) V es cero a 0,029 m de la carga (+), por un lado y a 0,067 por el otro; E escero a 0,17 m de la carga (+)

A.27.- En los vrtices de un cuadrado de 1 m de lado se colocan cargas elctri-cas de 1, 2, 3 y 2 C. Halla el potencial y el campo elctrico en el centro delcuadrado. (Coloca la primera carga en el vrtice superior izquierdo y las otras suce-sivamente segn giran las agujas del reloj).

V = 50912 V; E = 2,5104 i + 7,6104 j N/C

84

EJEMPLOa) Explica cmo es el movimiento de dos cuerpos considerados puntuales de masas m1 y m2 y cargas elctricas

netas q1 y q2 debido exclusivamente a la existencia de una fuerza elctrica entre ellos. Aplcalo al caso de que fuesen:cuerpo 1: m1 = 100 g, q1 = 2 C; cuerpo 2: m2 = 200 g, q2 = +5 C.

Cada uno de los cuerpos est sometido a una fuerza cuyo valorviene dado por:

6 691 2

2 2 2

2 10 5 10 0,09=9 10 = N

q qF K

r r r

=

La fuerza no es constante sino que depende de la distancia. Mien-tras ms alejados estn los cuerpos cargados menor ser la fuerza deatraccin entre ellos. Que la fuerza no sea constante provocar el quetampoco sea constante la aceleracin. El signo de ambas cargas slo lotenemos en cuenta para indicar que, en este caso, las fuerzas son atrac-tivas, es decir, tienden a mover a cada cuerpo hacia el otro.

La aceleracin de cada cuerpo ser:

1 22 2 2 21 2

0,09 0,9 0,09 0,45= = ; = =

0,1 0, 2

F Fa a

m r r m r r

= =

Ambos cuerpos se movern uno hacia el otro con velocidades crecientes en un movimiento acelerado, pero nouniformemente acelerado, ya que sus aceleraciones irn aumentando conforme se acerquen al ir disminuyendo r.

b) Si fijamos al cuerpo 1 y dejamos que el cuerpo 2 se acerque desde la distancia inicial de 40 cm a la distancia finalde 20 cm, qu velocidad tendr el cuerpo 2 en ese momento?

Sobre el cuerpo 2 se realiza un trabajo que se puede calcularpor la expresin: W = q2 (V40 V20) siendo

1 140 20;

0, 4 0, 2

q qV K V K= =

Aplicando el teorema del trabajo-energa, se puede escribir:

=

21 12

1= 0,2 0

0,4 0,2 2

m1,53

s

q qq K K v

v

A.28.- Con la ayuda de los conceptos de potencial y de energa potencial, calcu-la el trabajo necesario para colocar tres cuerpos cuyas cargas son de 1 C en losvrtices de un tringulo equiltero de 10 cm de lado. Segn el criterio de signosadoptado el trabajo realizado por las fuerzas del campo ser positivo o negativo?Calcula la energa potencial del sistema.

|W| = 0,27 J

A.29.- Calcular la rapidez de un electrn que inicialmente est en reposo, cuan-do haya recorrido 1 cm en el interior de un campo elctrico uniforme cuyaintensidad de campo sea de 10 000 N/C.

v = 5,93106 m/s

Situacin inicial

Situacin final

FeFe

Fe Fe

v1 v2

v1 = 0 v2 = 0

Situacin inicial

Situacin final

Fijo

FijoFe

v1 = 0

Fe

v1 = 0

Fe Fe

v2

v2 = 0

85

Representacin grfica de la fuerza elctrica enfuncin de la distancia

Sabemos que la fuerza elctrica entre dos cargas es directamente proporcional alproducto de ambas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.Podemos escribir

1 2

2 2

q q cteF K

d d= =

Si representamos el mdulo de esa fuerza en funcin de la distancia entre losdos cuerpos cargados obtenemos una rama de una hiprbola.

Supongamos que en un caso concreto, cte = 10 Nm2. Si obtenemos los valoresde F para algunos valores de d, podemos escribir:

El valor de la fuerza tiende a cero cuando la distancia tiende a infinito. Por otrolado, el valor de la fuerza tiende a infinito cuando la distancia entre los dos cuerposcargados tiende a cero. Como d, distancia entre los centros de los cuerpos, no puedeser nula, la fuerza elctrica siempre tendr un valor finito.

Grfica de la intensidad del campo elctrico creado por un cuerpo puntual.

La forma de la grfica es la misma que en el caso de la fuerza, pues el valor de laintensidad de campo en un punto que se encuentra a una distancia d del cuerpo quecrea que campo, tambin es inversamente porporcional al cuadrado de la distancia.

De igual manera puede representarse el valor de la intensidad de campo gravitatorioy el valor de la fuerza de atraccin gravitatoria entre dos cuerpos en funcin de ladistancia que los separe.

A.30.- a) Cmo afectara a las grficas anteriores el que ambas cargas tuviesenel mismo signo o tuviesen signo diferente?

b) Dibuja la grfica E-d para el caso del campo creado por una carga puntualpositiva y para el caso de una carga puntual negativa.

Fuerza elctrica F (N) 40 10 2,5 1,1 0,6 0,04

Distancia d (m) 0,5 1 2 3 4 5

F (N)

10

15

25

30

5

20

35

40

d (m)3 4 51 2

86

Representacin grfica de la energa potencial odel potencial elctrico

Supongamos que se quiere representar el valor de la energa potencial del siste-ma formado por dos cuerpos cargados. Si se trata de dos cuerpos puntuales, la energapotencial elctrica es inversamente proporcional a la distancia entre ambos, tal como serecoge en la ecuacin:

1 2p

q q cteE K

d d= =

Si suponemos que el valor de la constante es 10 J/m, los valores que se debenrepresentar son:

Hemos utilizado el criterio de que la energa potencial del sistema es nula cuan-do las dos cargas estn separadas una distancia infinita. Si ambas cargas son del mismosigno, al acercarse aumentara la energa potencial elctrica del sistema mientras que sison de distinto signo, al acercarse disminuira la energa potencial.

La energa potencial tiende a infinito cuando la distancia entre ambas cargastiende a cero. Como d, distancia entre los centros de los cuerpos, no puede ser nula, laenerga potencial elctrica tendr siempre un valor finito.

A.31.- a) Cmo sera la grfica del potencial elctrico en funcin de la distanciaen un campo elctrico creado por unaq carga puntual positiva? Y si fuese negativa?

b) Dibuja una grfica que represente la energa potencial gravitatoria de un sis-tema formado por dos cuerpos que se pueden considerar puntuales? Qu analogasy diferencias se pueden encontrar con las grficas correspondientes a dos cuerposcargados?

Energa potencial Ep (J) 40 20 10 5 3,3 2,5 2,0

Distancia d (m) 0,25 0,5 1 2 3 4 5

La energa potencial depende deotros factores adems de la car-ga elctrica. As, es importantela geometra del sistema enten-diendo por ello la distribucin delas cargas que crean el campoelctrico.

Ep (J)

40

30

10

0

50

20

10

20

30

40

50

d (m)3 4 51 2

87

ANALOGAS Y DIFERENCIAS ENTRELA INTERACCIN GRAVITATORIA Y LA ELCTRICA

Las analogas formales de las leyes de Newton y Coulomb son evidentes, ambasfuerzas dependen de los productos de las masas o de las cargas y de la inversa delcuadrado de la distancia que las separa. (No resulta extrao, ya que cuando Coulombpropuso su expresin para la fuerza elctrica, la mecnica newtoniana gozaba de ungran prestigio y en cierto sentido haba una tendencia a reducir toda la fsica a lamecnica). Las dos fuerzas son centrales y conservativas.

Entre las diferencias sealaremos:

a) Las fuerzas gravitatorias son nicamente atractivas; las fuerzas elctricas pue-den ser tambin repulsivas cuando ambas cargas sean del mismo tipo.

b) La constante de la gravitacin G tiene un valor universal. Eso significa que nodepende de nada. La constante de la ley de Coulomb K depende del medio en el que seencuentren situados los cuerpos cargados.

c) El orden de magnitud de las fuerzas elctricas es muy superior al de las fuer-zas gravitatorias. Estas ltimas slo tienen valores importantes cuando al menos unode los cuerpos que sufre la interaccin tiene una masa muy grande: la Tierra, el Sol, etc.

d) El campo gravitatorio que crea un cuerpo siempre se dirige hacia l. El campoelctrico puede dirigirse en sentidos distintos segn el tipo de carga que posea uncuerpo.

e) Cuando existen partculas cargadas en movimiento aparece una interaccinmagntica adems de la elctrica (se estudia en una unidad posterior). Debido al movi-miento de un cuerpo con una determinada masa, no se crea una nueva interaccin, obien, la debilidad de las fuerzas gravitatorias no permite su deteccin.

ACTIVIDADES DE RECAPITULACINA.1.- Dos cuerpos esfricos cuyas cargas son q1= 310

8 C y q2= 6108 C estn separados una distancia de 50 cm.

En que posicin hemos de colocar una carga elctrica arbitraria q para que est en equilibrio bajo la accin de las fuerzasejercidas por las dos esferas? Cunto vale el campo elctrico en ese punto?

Entre ambas cargas a 20,7 cm de q1; E = 0

A.2.- Un cuerpo cuya masa es de 5 kg tiene una carga elctrica de 4 C. Se lanza con una velocidad horizontal de2 m/s en el interior de un campo elctrico vertical, dirigido hacia arriba, cuya intensidad de campo es 15106 N/C.

a) Explica cmo ser el movimiento de ese cuerpo.b) Cul ser su posicin vertical cuando haya recorrido 2 metros horizontalmente? Cul ser su rapidez en ese

momento? Dibuja la trayectoria que seguir.c) Si cuando ha recorrido los 2 metros horizontalmente deja de actuar el campo elctrico, cmo ser el movimiento

del cuerpo a partir de ese momento? Cmo ser la forma de la trayectoria a partir de ese momento? Dibjala, aunqueslo sea cualitativamente.

ha subido 1 metro; v = 2,8 m/s

A.3.- Calcula el valor de la intensidad de campo elctrico en el centro de un rectngulo cuyo lado horizontal mide6 cm y el vertical mide 8 cm, suponiendo que en los vrtices del lado superior hay dos cuerpos puntuales cuyas cargasson de +2 C y en los vrtices del lado inferior hay otros dos cuerpos puntuales cuyas cargas son de 2 C.

E = 2,3107 j N/C

A.4.- Una pequea esfera cuelga por medio de un hilo entre dos lminas paralelas entre las que existe un campo

4

88

elctrico de 5,65106 N/C. La carga de la esfera es de 6 nC y el ngulo que forma el hilo con la vertical es de 10 . Calculala masa de la esfera para que el sistema est en equilibrio. (g = 9,8 N/kg).

m = 19,6 g

A.5.- Entre dos placas metlicas distantes 1 m existe un campo uniforme y una diferencia de potencial de 100 V.Calcula la velocidad de un electrn liberado en la placa negativa cuando se encuentre en el punto medio entre ambasplacas y la que tiene cuando llegue a la placa positiva.

v = 4,2106 m/s; v = 5,9106 m/s

A.6.- a) Un cuerpo cuya carga es de +2 C pasa de un punto cuyo potencial es 100 V a otro cuyo potencial es+100 V. Podr hacerlo espontneamente o necesitar que se le d energa? Explica la respuesta.

b) Si la carga del cuerpo anterior es de 2 C y pasa de un punto cuyo potencial es de 100 V a otro cuyo potenciales 100 V ser necesario darle energa o nos la dar? Calcula la cantidad de energa intercambiada.

E = 4104 J

A.7.- El dibujo representa algunas lneas equipotenciales de un campo elc-trico.

a) Dibuja la direccin del campo elctrico en los puntos A, B y C.b) Un cuerpo cuya carga es de 2 culombios puede pasar del punto D al E

siguiendo tres caminos diferentes, a travs de cul de ellos cambiar menos laenerga potencial elctrica?

c) Calcula la variacin de energa potencial elctrica cuando ese cuerpo pasadel punto A al E.

d) Cul ser la variacin de energa potencial elctrica si pasa del punto Bal D?

EAE = 200 J; EBD = 0

A.8.- a) Pueden cortarse en un punto las lneas de fuerza que representan a un campo gravitatorio o elctrico? Porqu? b) Pueden cortarse dos superficies equipotenciales? Por qu?

A.9.- Si en un punto de un campo elctrico la intensidad de campo es igual a cero, es siempre cero el valor delpotencial elctrico en ese punto? Explica tu respuesta poniendo algn ejemplo.

b) Si en un punto de un campo elctrico el potencial elctrico es igual a cero, es siempre cero el valor de laintensidad de campo en ese punto? Explica tu respuesta poniendo algn ejemplo.

c) Qu relacin existe entre la intensidad de campo elctrico y el potencial elctrico en una regin del espacio?

A.10.- Escribe la ecuacin que relaciona el valor de la intensidad de campo elctrico y la diferencia de potencialentre dos puntos para:

a) Un caso particular en el que la intensidad de campo es constante en todos los puntos y tiene la misma direccinque la lnea que une los dos puntos.

b) Un caso particular en el que la intensidad de campo es constante en todos los puntos y su direccin forma unngulo de 30 con la direccin de la lnea que une los dos puntos.

c) El caso general en el que la intensidad de campo cambie de un punto a otro tanto en magnitud como en direcciny sentido.

A.11.- En cada vrtice de un cuadrado hay un cuerpo puntual cuya carga elctrica es de 0,17 nC. Calcula el campoelctrico y el potencial en el punto de interseccin de las dos diagonales, sabiendo que el lado mide 2,8 cm.

E = 0 N/C; V = 309 voltios

A.12.- Dos cabezas de alfiler se encuentran cargadas. La carga de una de ellas es de 2 mC mientras que la de la otraes de 4 mC. Inicialmente se encuentran separadas 1 cm. Qu energa ser necesaria para aumentar su separacin hastauna distancia de 20 cm?

E = 6,84106 J

89

1 EL CAMPO ELCTRICO TERRESTREEn condiciones de estabilidad atmosfrica existe una campo elctrico en las

proximidades de la superficie terrestre de unos 130 V/m, teniendo la Tierra carga nega-tiva y la atmsfera positiva. Si lo anterior es cierto por qu no notamos entre nuestracabeza y pies una diferencia de potencial de 200 a 300 voltios?

La figura nos explica por qu no notamos la diferencia de potencial. Como elcuerpo humano es un conductor relativamente bueno, tiende a estar al mismo poten-cial que el suelo (recuerda que el potencial en toda la superficie de un conductor enequilibrio es constante) distorsionando las superficies equipotenciales del aire que lorodea; de este modo, la cabeza no se encuentra a un potencial 200 o 300 voltios supe-rior al de los pies.

La figura explica tambin por qu los rayos tienden a caer sobre los rboles yedificios altos. Los rboles o los edificios son buenos conductores, comparados con elaire, y la copa del rbol est prcticamente al mismo potencial que el suelo al que estunido. Dada la deformacin que produce en las lneas equipotenciales, se produce unasituacin en la que se genera un campo elctrico grande entre la copa del rbol y el aireque lo rodea. Si el valor del campo elctrico es suficientemente elevado, el campoarrancar electrones de los tomos de gas, e ionizar al aire, que en estas condiciones sehace mejor conductor y proporciona un camino adecuado para que se produzca ladescarga. De la misma forma se puede explicar el fundamento de los pararrayos.Estos estn formados por tubos de hierro terminados en punta, que ocasionan unadistorsin del campo terrestre de la forma sealada en la figura anterior. Se le estofreciendo un camino al rayo para que circule a travs del pararrayos y llegue a la tierrasin ocasionar daos.

La carga de la Tierra

La carga negativa de la Tierra se ha estimado en 500.000 culombios. La atmsferano es completamente aislante. Contiene iones positivos y negativos, producidos por laradiactividad natural y por la radiacin csmica. Estos iones se desplazan, dirigin-

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

0

100

200

300

400

500

600

Tierra

E

E

90

dose los iones positivos hacia la Tierra y los negativos hacia la atmsfera superior. Porqu no se descarga la Tierra si continuamente estn llegando cargas positivas, quepodran neutralizar la carga negativa terrestre? Las tormentas son las causante de quela Tierra no se descargue, aunque mejor sera decir, que las tormentas son las causantesde que la Tierra se vaya recargando, ya que los rayos traen a la Tierra carga negativa delas nubes. Los clculos y estimaciones realizadas del nmero de tormentas diariassobre la Tierra estn de acuerdo con la explicacin anterior.

Hay que distinguir lo que ocurre cuando la atmsfera est en situacin normal alo que ocurre cuando se forma una nube tormentosa. En los das normales, parte iz-quierda de la figura, existe una diferencia de potencial entre la parte alta de la atmsferay la superficie de la Tierra de aproximadamente 400.000 voltios, estando positiva laparte alta de la atmsfera en relacin a la superficie terrestre. Esa diferencia de potencialprovoca un flujo de carga negativa hacia la parte alta de la atmsfera y un flujo de cargapositiva hacia la superficie terrestre. Como consecuencia de ese movimiento de cargas,la Tierra perdera su carga neta negativa en un tiempo aproximado de media hora.

Cuando se forma una tormenta, y ms concretamente en la formacin de unanube tormentosa, se produce una separacin de carga en la nube de manera que la parteinferior de la nube se carga negativamente hasta valores muy altos (20, 30 y hasta 100millones de voltios). Ese potencial negativo tan grande respecto a la Tierra hace quepuedan producirse descargas desde esa zona de la nube a la Tierra, los llamados rayos.Tambin se producen descargas internas en la propia nube, los llamados relmpagos.El proceso que da origen a la separacin de cargas en la nube no est totalmente expli-cado, pero en l tiene especial importancia el movimiento de las gotitas de agua. Estasgotas son al principio muy pequeas, y se mueven hacia arriba arrastradas por corrien-tes de aire caliente, llegando un momento en el que empiezan a caer, dado que se hanenfriado y las gotas se han hecho ms grandes. Ese movimiento de las gotas y el roza-miento con el aire parece que tiene un protagonismo especial en la separacin de cargasen la nube.

El rayo consiste en una serie de descargas entre la parte baja de la nube y elsuelo, descargas que ocurren en un tiempo muy pequeo (centsimas de segundo).Dado que en un rayo la carga transportada puede ser del orden de 20 culombios,siendo la diferencia de potencial del orden de 30000000 de voltios, la energa que sepuede ceder es de 600000000 de julios. Adems de ser un valor apreciable de energa(equivale a la combustin de unos 20kg de gasolina), es mucho ms im-portante el hecho de que ocurre encentsimas de segundo, por lo que lapotencia puesta en juego en esa trans-formacin es muy alta (del orden demillones de caballos de vapor), dan-do lugar a una elevacin de tempera-turas en el aire prximo al rayo (quellega a alcanzar los 20000 C), lo queproduce una elevacin de la presindel aire y por lo tanto un sonido oruido intenso, el trueno, que se oyedespus de cada rayo o relmpago.

Potencial en lo altode la atmsfera endas normales:

+ 400 000 V

El rayo traslada carganegativa desde la nubehasta el suelo y positivadesde el suelo a la nube

Potencial = 30 000 000 V

Potencial en la superficie terrestre = 0 V

91

2 TEOREMA DE GAUSS2.1 Concepto de flujo

Una superficie S en un campo vectorial es atravesada por lneas de fuerza. Cun-to mayor sea la superficie o mayor sea la intensidad de campo, mayor ser el nmero delneas de fuerza que la atravesarn segn el convenio que usamos para dibujar laslneas de fuerza. Por tanto, el producto de la superficie por el campo ser un ndicepara calcular el nmero de lneas que atraviesen la superficie. A este producto se ledenomina flujo de campo . Si la superficie no es normal al campo pasarn por ellamenos lneas; por ello calculamos el flujo usando el producto escalar:

= A S = A S cos

A representa la intensidad de campo, S es un pseudovector que representa lasuperficie, cuyo mdulo es proporcional al rea de la superficie y cuya direccin es,por convenio, perpendicular a la superficie y , es el ngulo que forman ambos vectores.

En el caso ms general, en el que el valor de la intensidad de campo no seaconstante, o que la superficie no sea plana, ser necesario descomponer la superficie eninfinitas superficies infinitesimales, de manera que podamos suponer que el campo nocambia en esa superficie tan pequea; de esta manera tendramos el flujo elemental atravs de esa superficie.

= A dS

El flujo total ser la suma de esos infinitos trminos, que obtendremos medianteel clculo integral.

= A1 dS1 + A2 dS2 + A3 dS3 + ... = S A dS

A.1.- Calcula el flujo gravitatorio a travs de un rectngulo de 20 x 40 cm colo-cado paralelo a la superficie de la Tierra y a 1 metro de distancia de la misma. dempara cuando la superficie est inclinada 30 repecto a la superficie terrestre. dempara cuando est colocada perpendicular a la superficie terrestre.

= 0,784 Nm2/kg; = 0,7 Nm2/kg; = 0

A.2.- Escribe las expresiones generales para los flujos elctrico y gravitatorio.

2.2 Teorema de Gauss

Se trata de un teorema matemtico que tiene una demostracin general, rigurosay algo complicada, que no vamos a estudiar. Establece lo siguiente:

El flujo elctrico a travs de una superficie cerrada es igual al co-ciente entre la suma algebraica de las cargas elctricas que contiene y lapermitividad del medio.

4q

K q

= =

S

A

dS1

dS2

A1

A2

92

Como veremos a continuacin, el teorema de Gauss es muy til para calcular laintensidad de campo en muchas situaciones.

A.3.- Una de las ventajas de la teora de campos es que se puede utilizar loestudiado en un determinado campo para otro que tenga una estructura semejante.En este sentido, formula el teorema de Gauss para el campo gravitatorio. Para hacerloten en cuenta las analogas que existen entre la interaccin elctrica y la gravitatoria.

A.4.- La demostracin rigurosa del teorema de Gauss es bastante difcil. Sinembargo, pueden hacerse demostraciones parciales ms simples, como la que tepedimos que hagas. Comprueba que el teorema de Gauss se cumple para el caso deuna carga positiva puntual colocada en el centro de una esfera de radio r.

2.3 Clculo de la intensidad de campo usando elteorema de Gauss.

La ley de Coulomb tiene aplicacin nicamente en el caso de cuerpos puntualeso cuerpos esfricos con distribucin homognea de carga. En otros casos es convenien-te aplicar el teorema de Gauss. Veamos algunos ejemplos.

Campo creado por una carga Q distribuida uniformemente en la superficie de una esfera

Calcularemos la intensidad de campo elctrico como sigue:

a) En un punto lejano, trazamos una esfera concntrica con la que almacena lacarga que pase por el punto en cuestin. Por razones de simetra el campo ser elmismo en todos los puntos de la esfera y por lo tanto:

= = = =

> =

0

20

cos0

si4

QES ES

Qr R E

r

ES

b) En un punto de la superficie se puede aplicar el clculo anterior:

= =

20

si4

Qr R E

R

c) En un punto de su interior se puede hacer una construccin anloga slo queahora la carga encerrada es nula, pues la carga est distribuida en la superficie. As:

si r < R E = 0

A.5.- Calcula la intensidad de campo, en los mismos casos sealados anterior-mente, para el caso de una esfera maciza de radio R, en la que la carga est distribui-da uniformemente en todo el volumen de la esfera. El resultado debes expresarlo enfuncin de la carga total de la esfera, del radio de la misma y de la distancia entre elcentro de la esfera y el punto en el que se est calculando el campo.

Nota: Puedes utilizar el hecho de que al estar la carga distribuida uniformemen-te se puede definir una densidad de carga que sera la misma en todos los puntos.

S

S

S

S

EE

E

E

Q

R

r

93

Clculo del campo elctrico creado por una placa conductora cargada

La ley de Coulomb es complicada de aplicar cuando queremos calcular el campoelctrico en un punto cercano a una placa conductora plana en la que hay repartida unadeterminada carga Q, ya que la carga no es puntual. Aplicando el teorema de Gauss elclculo es bastante ms fcil.

Para hacer el clculo del campo elctrico tendremos en cuenta que, al estar distri-buida uniformemente la carga Q, podemos definir una densidad superficial de cargacomo la carga que hay en cada unidad de superficie:

placa

Q

A =

En puntos lejanos a los bordes podemos suponer que el campo elctrico tendrdireccin perpendicular a la placa. Esa suposicin es tanto ms correcta cuanto mayorsea el tamao de la placa, comparado con la distancia a los bordes de los puntos queestemos considerando; as como, cuanto ms cercano est el punto en cuestin a laplaca. Suponer que el campo elctrico no fuese perpendicular supondra que conside-ramos ms importante el efecto de un lado de la placa que el del otro lado.

Aplicamos el teorema de Gauss a una superficie cilndrica que corte la placa de laforma representada en la figura. El flujo elctrico a travs de esa superficie cilndricaser slo el que atraviesa las bases superior e inferior, ya que a travs de la superficielateral el flujo es nulo, puesto que el campo elctrico es perpendicular al vector super-ficie, siendo por lo tanto nulo el producto escalar. La carga encerrada por esa superficiecilndrica ser igual al producto de la densidad superficial por el rea de la superficierayada en la figura.

+ =

= = =

=0

0 0

22 2

qES ES S

E KS

q S

Por lo tanto, la intensidad de campo elctrico creada por una placa plana con-ductora con una distribucin uniforme de carga es:

= =

0

22

E K

S

S

S

E

E

E

E

E

E

EE

E

E

E

E

EE

E

Campo elctrico creado por una placa conductora con carga neta positiva (izquierda) y con carga neta negativa (derecha)

94

EA B

Campo creado por un condensador

Un condensador est formado por dos lminas metlicas paralelas (llamadasarmaduras) cargadas con la misma cantidad carga, pero de signos contrarios.

La intensidad de campo elctrico total ser la suma de los campos creados porcada armadura. Teniendo en cuenta que en el interior del condensador, la intensidaddel campo creado por cada placa tiene el mismo valor, la misma direccin y el mismosentido, el valor total de la intensidad de campo elctrico ser:

42 2

E E E K

+

+ = + = + =

En puntos alejados de los bordes de las armaduras, el campo es perpendicular ala superficie de las armaduras y su valor es el mismo en cualquier punto del interiordel condensador.

En el exterior del condensador, la intensidad de campo debido a la armadurapositiva tiene el mismo valor, pero sentido contrario al creado por la armadura negati-va. La intensidad de campo total es nula.

Campo creado por un hilo rectilneo cargado uniformemente

Suponemos que el hilo conductor est cargado uniformemente. Si es Q la cargatotal y L la longitud total del hilo, definimos la densidad lineal de carga, , como lacarga por unidad de longitud del hilo. Se calcula:

=Q

L

Consideremos como superficie un cilindro cuyo eje coincida con el hilo cargado.Por razones de simetra podemos pensar que la intensidad de campo es perpendiculara la superficie lateral del cilindro (es decir, tiene la misma direccin que el vectorsuperficie). Adems, como todos los puntos estn a la misma distancia del hilo, pode-mos suponer que el valor de la intensidad de campo ser el mismo en todos los puntosde la superficie del cilindro. Aplicando el teorema de Gauss, teniendo en cuenta que lacarga q encerrada en la superficie es l

= =

= = =

= =

l

ll

cos0 2

2

2

q

ES ES E r

KE

r

E S

A.6.- a) Calcula la intensidad de campo creado por una superficie plana en laque hay una distribucin uniforme de carga, siendo la densidad superficial de cargade 3 microculombios/m2.

b) Calcula la carga que debe tener cada una de las lminas de un condensador,suponiendo que crea un campo de 105 N/C. Las lminas son de 3 x 2 cm y el medioentre ambas tiene una constante dielctrica relativa igual a 5.

c) Cunto vale el campo elctrico creado por un condensador en puntos que seencuentran fuera de las placas del mismo, tales como los puntos A y B del dibujoanterior? Explica por qu.

a) E = 1,7105 N/C; b) q = 2,6109 C; c) EA = EB = 0

SE