INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ......Prof. ALBERTO ALAVEZ CRUZ Página 5 14. Hallar la...

Prof. ALBERTO ALAVEZ CRUZ Página 1

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y

TECNOLÓGICOS “CUAUHTÉMOC”

GUIÁ DE ESTUDIO

GEOMETRÍA ANALÍTICA

CONCEPTOS BÁSICOS

1.-Hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos:

a) 4,1 , 3, 2 b) 0,3 , 4,1 c) (2, -6), (2, -2) d) (-3, 1), (3, -1)

2.- Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:

a) (2, -5), (-3, 4), (0, -3) b) (0, 4), (-4, 1), (3, -3) c) (-2, 5), (4, 3), (7, -2)

3.- Demostrar que los siguientes triángulos, dados por las coordenadas de sus vértices son isósceles:

a) (2, 4), (5, 1), (6, 5) b) (-2, 2), (6, 6), (2, -2) c) (6, 7), (-8, -1), (-2, -7)

4.- Demostrar que los siguientes triángulos, dados por las coordenadas de sus vértices son rectángulos.

Hallar sus áreas.

a) (10, 5), (3, 2), (6, -5) b) (3, -2), (-2, 3), (0, 4) c) (-2, 8), (-6, 1), (0, 4)

5.- Demostrar que los siguientes puntos son los vértices de un paralelogramo:

a) (-1, -2), (0, 1), (-3, 2), (-4, -1) b) (2, 4), (6, 2), (8, 6), (4, 8) c) (-1, -5), (2, 1), (1, 5), (-2, -1).

6.- Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos:

a) (3, 3), (6, 2), (8, -2) b) (4, 3), (2, 7), (-3, -8) c) (2, 3), (4, -1), (5, 2)

7.- Mediante la fórmula de la distancia, demostrar que los siguientes puntos son colineales: a) (0, 4), (3,

-2), (-2, 8); b) (1, 2), (-3, 10), (4, -4); c) (1, 3), (-2, -3), (3, 7)

8.- Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto (-3, 6)

9.- Hallar las coordenadas del punto P(x, y) que dividen al segmento P1P2 en la razón r = P1P / PP2.

a) 1 24, 3 , 1,4 , 2P P r , b) P1 (5, 3), P2 (-3, -3), r = 1 / 3, c) P1 (0, 3), P2 (7, 4), r = -2 / 7

10.- Sabiendo que el punto (9, 2) divide al segmento que determinan los puntos P1 (6, 8) y P2 (x2, y2),

en la razón r = 3 / 7, hallar las coordenadas de P2.

11.- El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro P1(-4, 1) es P2(2, 6). Hallar las

coordenadas P(x, y) del otro extremo.


12.- Hallar dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) que dividen al segmento que une A(3, -1) con B(9, 7) en

tres partes iguales.

13.- Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son:

a) (5, 7), (1, -3), (-5, 1) b) (3, 6), (-5, 2), (7, -6) c) (-3, 1), (2, 4), (6, -2)

14.- Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo cuyas coordenadas de los puntos medios de

sus lados son:

a) (3, 2), (-1, -2) y (5, -4) b) (-2, 1), (5, 2) y (2, -3)

15.- Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divida al segmento determinado por P1(x1, y1) y

P2(x2, y2) en la razón r = P1P/ PP2.

a) P1(4, -3), P2(1, 4), r = 2/1 Sol. (2, 5/3)

b) P1(5, 3), P2(-3,-3), r = 1/3 Sol. (3, 3/2)

c) P1(-2, 3), P2(3, -2), r = 2/5 Sol. (-4/7, 11/7)

d) P1(0, 3), P2(7, 4), r = - 2/7 Sol. (-14/5, 13/5)

e) P1(-5, 2), P2(1, 4), r = - 5/3 Sol. (10, 7)

16.- Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son:

a) A(5, 7), B(1, -3) y C(-5, 1) Sol. (1/3, 5/3)

b) P(2, -1), Q(6, 7) y R(-4, -3) Sol. (4/3, 1)

c) A(3, 6), B(-5, 2) y C(7, -6) Sol. (5/3, 2/3)

17.- Sabiendo que el punto (-4, 6) divide al segmento que determinan los puntos P1(-9, 8) y P2(x2, y2)

en la razón r = 1/2, hallar las coordenadas de P2. Sol. P2(6, 2)

18.- Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo cuyas coordenadas de los puntos medios de

sus lados son:

a) A(-2, 1) , B( 5, 2) y C(2, -3) Sol. (1, 6), (9, -2) y (-5, -4)

b) A(3, 2), B(-1, -2) y C(5, -4) Sol. (-3, 4), (9, 0) y (1, -8)

19.- Hallar las pendientes y los ángulos de inclinación de las rectas que pasan por los puntos:

a) (4, 6) y (1, 3) Sol. m =1 = 45º b) (2, 3), (1, 0) Sol. m =3, = 60º

c) (3, 2) y (0, 1) Sol. m =1/ 3, = 30º d) (2, 3) (1, 4) Sol. m = -1, = 135º

20.- Aplicando el concepto de pendiente, averiguar cual de los siguientes puntos son colineales:

a) (2, 3), (-4, 7) y (5, 8) Sol. No

b) (4, 1), (5, -2) y (6, -5) Sol. Sí

c) (0, 5), (5, 0) y (6, -1) Sol. Sí

d) (a, 0), (2a, -b) y (-a, 2b) Sol. Sí


21.- Aplicando el concepto de pendiente, demostrar que los puntos siguientes son los vértices de un

triángulo rectángulo.

a) (6, 5), (1, 3) y (5, -7) b) (3, 2), (5, -4) y (1, -2) c) (2,4), (4, 8) y (6, 2)

22.- Hallar los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices son:

a) (3, 2), (5, -4) y (1, -2) Sol. 45º, 45º, 90º

b) (4, 2), (0, 1) y ( 6, -1) Sol. 109º 39.2' , 32º 28.3' 37º 52.5'

c) (-3, -1), (4, 4) y (-2, 3) Sol. 113º 29.9', 40º 25.6' , 26º 4.5'

23.- Demostrar, hallando los ángulos interiores, que los triángulos siguientes son isósceles.

a) (2, 4), (5, 1) y (6, 5) Sol. 59º 2.2', 61º 55.6' , 59º 2.2'

b) (8, 2), (3, 8) y (-2, 2) Sol. 50º 11.7', 79º 36.6', 50º 11.7'

c) (1, 5), (5, -1) y (9,6) Sol. 63 26', 63º 26', 53º 8'

24.- Encontrar el valor de "x" para el cual, la pendiente de la recta que pasa por A( x, 3) y B( 5, 1) es 2

Sol. x = 6.

25.- Hallar el valor de "y" para el cual, la recta que pasa por P(0, y) y Q(3, 8) es paralela a la recta que

pasa por R(-1, 4) y S(0, 6). Sol y = 2

26.- Hallar el valor de "y" para el cual, la recta que pasa por A(-1, y) y B(3, 8) es perpendicular a la

recta que pasa por D(4, 5) y E(2, 4). Sol y = 16

27.- El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos (-4, 5) y (3, y) con la que pasa por (-2, 4) y

(9, 1) es de 135º. Hallar el valor de "y". Sol. y = 9

28.- Hallar las áreas de los polígonos cuyas coordenadas de los vértices son:

a) (1, 2), (4, 5), (4, -2) y (6, 3)

b) (2, 3), (-3, 5), (-5, 2), (-4,-3) y (4, -3)

c) (4, 5), (-4, 5), (-6, 0) , ( -4, -5), (4, -5) y (6, 0)

LA RECTA

1.- Hallar las ecuaciones en forma general de las rectas que satisfacen las condiciones siguientes:

a) Pasa por 3,2 , m = - 5 b) Pasa por 2, 1 , m = 2

c) Pasa por 0, 5 , m = 4 /3 d) Pasa por 0, 1 , m = 0

e) Pasa por 2, 1 , m = 3 f) Pasa por 4, 1 , m = -3

2.- Hallar las ecuaciones en forma general de las rectas que pasan por los puntos:

a) 2, 3 y 4,6 b) 3,1 y 5,1

c) 2, 3 y 6, 1 d) 2,0 y 2,5


e) 1, 5 y 6,5 f) 1,2 y 10,2

3.- Expresar en forma simétrica las siguientes ecuaciones y hallar las intersecciones con los ejes.

a) 2 3 18 0x y b) 5 4 20 0x y

c) 3 4 12 0x y d) 2 7 14 0x y

4.- Encontrar la ecuación en forma general de la recta que pasa por 4, 2 y es paralela al segmento

que pasa por 2,5 y 3,6

5.- Encontrar la ecuación en forma general de la recta que pasa por 2,5 y es paralela a

4 3 5 0x y

6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por 1,3 y es perpendicular al segmento que pasa por 2,5

y 6,9

7.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por 10, 4 y es perpendicular a 2 5 7 0x y

8.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une 4, 3 con 8,5

(8,5) y es paralelo a 2 7 4 0x y

9.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto que divide al segmento de 3, 4 a 7,1

en la razón 2 a 1 y es perpendicular a ese segmento.

10.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento entre 7, 4 y 1,2 y

forma un ángulo de 60º con ese segmento.

11.- Hallar la ecuación de la mediatriz al segmento determinado por 8,6 y 4, 2

12.- Encontrar la pendiente y la intersección con el eje y de las siguientes rectas:

a) 2 10 0x y b) 3 5 15 0x y

c) 2 3 12 0x y d) 2 8 4 0x y

e) 6 7 28 0x y f) 3 5 15 0x y

13.- Hallar el ángulo de intersección formado por las siguientes rectas:

a) 3 4 0x y , 4 9 7x y b) 2 9 0x y , 5 2 12 0x y


14. Hallar la ecuación del conjunto de puntos, tal que la distancia de cada uno de ellos desde (2,-5) sea

igual a su distancia a (7,-4).

15.- Hallar la ecuación del conjunto de puntos, tal que la distancia de cada uno de ellos desde 3, 4

sea igual a su distancia a 5, 2

16.- Encontrar la ecuación del conjunto de puntos, tal que la diferencia de los cuadrados de las

distancias de cada uno de ellos desde 3,5 hasta 7, 1 sea 4.

17.- Encontrar la ecuación del conjunto de puntos, tal que la diferencia de los cuadrados de las

distancias de cada uno de ellos desde 4,9 hasta 1, 2 sea 6.

18.- En los siguientes problemas, clasificar los pares de rectas como: coincidentes, paralelas,

intersecantes o perpendiculares.

a) 2 3 7 0x y , 6 9 21 0x y b) 5 2 3 0x y , 10 4 5 0x y

c) 3 4 9 0x y , 2 3 7 0x y d) 3 4 6 0x y , 4 3 7 0x y

e) 5 8 13 0x y , 10 17 26 0x y f) 2 7 3 0x y , 4 14 16 0x y

19.- Hallar las ecuaciones de las rectas que satisfacen las condiciones siguientes:

a) 3, 45p b) 7, 150p

c) 5, 225p d) 4, 300p

e) 5, 210p f) 7, 330p

20.- Escribir las siguientes ecuaciones en forma normal:

a) 5 12 39 0x y b) 3 4 20 0x y

c) 7 24 100 0x y d) 8 15 85 0x y

e) 15 8 68 0x y f) 12 5 91 0x y

21.- Hallar la distancia entre cada par de rectas:

a) 3 4 10 0x y , 3 4 25 0x y b) 5 12 39 0x y ,5 12 26 0x y

c) 4 50 0x y , 2 8 75 0x y d) 15 6 34 0x y ,5 2 0x y

22.- Determinar el área de un círculo si 8 15 51 0x y y 8 15 17 0x y son tangentes a él.

23.- Encontrar el área de un cuadrado que tiene dos lados colineales con: 3 4 10 0x y y

3 4 15 0x y


24.- ¿Dónde puede estar el centro de un círculo, si 5 12 39 0x y y 5 12 13 0x y son

tangentes a éste.

25.- Sin encontrar los vértices, determinar el área del rectángulo de lados colineales con

3 4 5 0x y ,3 4 15 0x y , 4 3 30 0x y y 4 3 5 0x y .

26.- Encontrar la distancia y el sentido de la recta al punto:

a) 5 12 62 0x y , 3,1 b) 8 15 54 0x y , 2, 2

c) 7 24 2 0x y , 4, 1 d) 3 4 36 0x y , 4, 1

e) 15 8 12x y , 3,2 f) 24 7 75x y , 7,24

27.-Hallar el área de un rectángulo que tiene lados colineales con 3 4 10x y y 4 3 7 0x y y un

vértice en 3,2

28.- ¿Cuál es el radio de un círculo con centro en 3, 2 si 5 12 4 0x y es tangente al círculo?

29.- ¿Cuál es el radio de un círculo, si 4,5 y el punto de tangencia de 3 4 12x y están en los

extremos opuestos de un diámetro?

30.- Si el centro de un círculo está en 5, 1 y 8 15 8x y es tangente al círculo, encontrar el radio.

31.- Si 3,2 está sobre un círculo y la recta 7 24 106x y es tangente a él en el punto más alejado

de 3,2 , encontrar el radio del círculo.

32.- Hallar el área de los siguientes triángulos, multiplicando la base por la mitad de la altura.

a) 2,3 , 1, 1 , 2,1 b) 4,7 , 0,4 , 3,0

b) 5,2 , 3, 13 , 5,1 c) 3, 6 , 5,9 , 9,6 }

33.- Mostrar que 3, 1 y 5,2 están en el mismo lado que 2x y

34.- Mostrar que 4,1 y 1,6 están en el mismo lado que 2 7 0x y

35.- Mostrar que 3, 1 y 1, 3 están en lados opuestos a 5 8 9 0x y .

36.- Hallar la distancia entre las siguientes rectas:

a) 2 15 0x y y 2 20 0x y b) 6 12x y y 6 6 0x y

c) 3 4 20x y y 6 8 38x y d) 5 10 0x y y 10 2 15x y


37.- Hallar las ecuaciones y el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del

triángulo formado por las rectas:

a) 3 4 10 0x y , 5 12 13 0x y , 8 15 51 0x y

b) 4 3 65 0x y , 7 24 55 0x y , 3 4 5 0x y

c) 7 6 11 0x y , 9 2 7 0x y , 6 7 16 0x y

d) 0y , 3 4 0x y , 4 3 50 0x y

38.- Hallar la ecuación de la bisectriz del menor ángulo formado entre 7 24 125x y y

12 5 39x y

39.- Hallar la ecuación de la bisectriz del mayor ángulo formado 8 15 85 0x y y

3 4 30 0x y

40.- Hallar el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo de vértices:

1,3 , 3,6 y 31/ 5,0

41.- Determinar el valor de k para que sea satisfecha la condición solicitada

a) 2 3 0x y k pasa por 3,2

b) 4 7 0kx y pasa por 2,1

c) 5 26 0x ky está a 2 unidades del origen

d) 4 2 0x ky k tiene pendiente 1/ 3

e) 3 15 0kx y está a 3 unidades del origen

LA CIRCUNFERENCIA

1.- Hallar la ecuación de la circunferencia que cumple con las condiciones siguientes:

a) Centro en 3,4 y radio 2

b) Centro en 2,1 y radio 3

c) Centro en 4, 1 y diámetro 8

d) Centro en 6, 2 y pasa por el punto 4,0

e) Centro en 4,2 y pasa por el punto 1,3

f) Diámetro el segmento que une los puntos 3,5 y 7, 3

g) Diámetro el segmento que une los puntos 1,5 y 5, 7

h) Centro en 3, 4 y que sea tangente al eje "X".

i) Centro en 5,3 y que sea tangente al eje "Y"

j) Centro en 3, 4 y que pase por el origen


2.- Reducir las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria y determinar el radio y las coordenadas del

centro:

a) 2 2 6 4 12 0x y x y

b) 2 2 10 4 7 0x y x y

c) 2 2 8 10 12 0x y x y

3.-Determinar si las siguientes ecuaciones representan a una circunferencia real, imaginaria o puntual.

a) 2 2 6 2 10 0x y x y

b) 2 2 4 8 5 0x y x y

c) 2 23 3 4 2 6 0x y x y

4.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

a) 4,5 , 3, 2 y 1, 4 b) 8, 2 , 6,2 y 3, 7 c) 1,1 , 1,3 y 9,2

5.- Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados:

a) 2 0x y , 2 3 1 0x y , 4 17 0x y

b) 2 5 0x y , 2 7 0x y , 1 0x y

c) 3 2 13 0x y , 2 3 0x y , 5 0x y

6.- Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de lados:

a) 4 3 65 0x y , 7 24 55 0x y y 3 4 5 0x y Sol. 2 2 20 75 0x y x

b) 4 3 0x y , 4 3 8 0x y y 0y

7.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro 2,3 que sea tangente a la recta

20 21 42 0x y Sol.2 2 4 6 12 0x y x y

8.- La ecuación de una circunferencia es 2 24 4 16 20 25 0x y x y . Hallar la ecuación de la

circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5 12 1 0x y

9.- Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia 2 2 4 2 47 0x y x y en el

punto 6,5 . Hallar su ecuación. (Dos soluciones)

10.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 5,9 y es tangente a la recta

2 3 0x y x + 2y -3 = 0 en el punto 1,1


11.-Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos 0,2 y 7,3 . Hállese su ecuación. (Dos

soluciones).

12.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 6,1 y es tangente a cada una de las

rectas 4 3 6 0x y , 12 5 2 0x y . (Dos soluciones)

13.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 3, 1 , 5,3 y es tangente a la

recta 2 13 0x y . (Dos soluciones)

14.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 6,2 y 8,0 y cuyo centro está

sobre la recta 3 7 2 0x

15.-Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 2 3x en el punto 1,2 y cuyo

centro está en el eje Y.

16.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa que pasa por la intersección de las circunferencias: 2 2 2 24 0x y x ,

2 2 6 2 6 0x y x y y por el punto 1,1

17.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias: 2 2 4 2 4 0x y x y y

2 2 4 0x y x

18.- Obtener la ecuación del eje radical de las circunferencias: 2 2 4 8 16 0x y x y y

2 2 10 16 0x y x .

19.- Hallar la ecuación de la cuerda común a las circunferencias: 2 2 3 2 7 0x y x y y

2 2 2 0x y x y

20.- Hallar los puntos de intersección de las circunferencias: 2 2 25 0x y y

2 2 20 0x y x y

LA PARÁBOLA

Hallar las ecuaciones de las parábolas que cumplen con las condiciones dadas:

1.- Vértice en V 4,6 y foco F 6,6

2.- Vértice en V 2, 3 y foco F 2, 3

3.- Vértice en V 4,3 y foco F 4,6

4.- Vértice en V 5, 2 y foco F 5, 4

5.- Vértice en V 4,3 y directríz 5y

6.- Vértice en V 3, 2 y directríz 5y


7.- Vértice en V 1, 2 y directríz 3x

8.- Vértice en V 2, 1 y directríz 4x

9.- Foco en F 3,3 y directríz 7x

10.- Foco en F 3,2 y directríz 10y

11.- Extremos del lado recto en L 5,2 y R 3,2 y vértice en V 1,5

12.- Extremos del lado recto en L 3,6 y R 3, 2 y vértice en V 1,2

13.- Vértice en V 1, 3 , eje paralelo al eje X , pasando por el punto 3,1

14.- Vértice en V 4, 3 , eje paralelo al eje X, pasando por el punto 0, 4

15.- Vértice en V 3,4 , eje paralelo al eje Y, pasando por el punto 7,9

16.- Longitud del lado recto 12, eje paralelo al eje X pasando por los puntos 1, 3 y 2,3

17.- Longitud del lado recto 16, eje paralelo al eje x pasando por los puntos 1,3 y 2, 9

18.- Longitud del lado recto 4, eje paralelo al eje Y pasando por los puntos 2, 1 y 2,3

Dadas las parábolas siguientes, calcular a) las coordenadas del vértice, b) las coordenadas del foco, c) la

longitud del lado recto y d) la ecuación de la directriz.

19) 2 6 8 49 0x x y 20)

2 12 12 12 0x x y

21) 2 6 4 22 0y x y 22)

2 16 8 32 0y x y

23.- Hallar la ecuación de la parábola, cuyo eje sea paralelo al eje X y que pase por los puntos 2,1 ,

1,2 y 1,3

24.-Hallar la ecuación de la parábola, cuyo eje sea paralelo al eje Y y que pase por los puntos 4,5 ,

, 2,11 y 4,21

25.- El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares

que lo soportan tienen una altura de 40 metros y están separados una distancia de 500 metros, quedando

el punto más bajo del cable a una altura de 15 metros sobre la calzada del puente. Tomando como eje X

la horizontal que define el puente, y como eje Y el de simetría de la parábola , hallar la ecuación de

ésta. Calcular la altura de un punto situado a 150 metros del centro del puente.

26.- Un arco parabólico tiene una altura de 40 metros y una luz de 60 metros. Hallar la altura de los

puntos del arco situados 20 metros a ambos lados de su centro.


LA ELIPSE

1.- Para cada una de las siguientes elipses hallar a) las longitudes del semieje mayor y menor , b) las

coordenadas de los vértices, covértices y focos, c) los extremos de cada lado recto, d) longitud de cada

lado recto , e) la excentricidad. Construir la gráfica:

a b)

c d)

)

)

x y y x

x y x y

2 2 2 2

2 2 2 2

169 1441

289 2251

25 161

64 1001

2.- Dadas las condiciones siguientes, determinar la ecuación de la elipse.

a) Vértices 4,0 , focos 3,0

b) Vértices 0, 6 , focos 0, 4

c) Vértices 5,0 , focos 4,0

d) Vértices 0, 17 , focos 0, 8

3.-Las siguientes ecuaciones, representan a una elipse. Hallar las coordenadas de los vértices y focos,

las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados

rectos.

a) 2 29 4 36x y b)

2 24 9 144x y

c) 2 216 25 400x y d)

2 29 25 225x y

4.-Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos 2,0 y su excentricidad es igual 2 / 3 .

5.- Los focos de una elipse son los puntos 3,0 y la longitud de sus lados rectos es igual a 9. Hallar la

ecuación de la elipse.

6.- Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. Hallar la ecuación

sabiendo que pasa por los puntos 6, 1 y 2, 2 .

Determinar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus

vértices en el punto 0, 7 y pasa por el punto 5,14 / 3 .

8.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes:

a) a = 5 , b = 3, eje mayor paralelo al eje X, centro en 2,1

b) a = 13 , b = 5, eje mayor paralelo al eje X, centro en 1,5


c) a = 25 , c = 7, eje mayor paralelo al eje Y, centro en 4,3

d) a = 17 , c = 8, eje mayor paralelo al eje Y, centro en 4, 2

9.- Obtener las ecuaciones de las elipses siguientes:

a) Eje mayor paralelo al eje X con centro en 1,3 y ejes mayor y menor de longitudes 10 y 6

respectivamente.

b) Eje mayor paralelo al eje Y con centro en 3, 4 y ejes mayor y menor de longitudes 34 y 30

respectivamente.

c) Vértice en 5,4 y uno de los extremos del eje menor en 3,1

d) Vértices en 8,2 y 2,2 , uno de sus focos en 6,2

e) Un vértice en 6,3 y sus focos en 4,3 y 4,3

f) Un vértice en 6,3 y sus focos en 4,3 y 4,3

g) Centro en 3,1 , vértice en 14,1 y un foco en 5,1

h) Centro en 2,1 , vértice en 2, 12 y un foco en 2,6

10.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes:

a) Extremos del eje menor en 2,2 , un vértice en 1,1

b) Extremos del eje menor en 3,5 y 3, 3 , un vértice en 2,1

c) Extremos del eje menor en 3, 2 y 1, 2 , un vértice en 1,1

11.-Reducir las siguientes ecuaciones a la forma ordinaria y hallar las coordenadas del centro, focos,

vértices y covértices. Determinar la longitud del lado recto y la excentricidad.

a) 2 24 6 16 21 0x y x y

b) 2 24 9 32 18 37 0x y x y

c) 2 225 9 200 90 400 0x y x y

d) 2 22 3 8 18 29 0x y x y

e) 2 23 2 24 12 60 0x y x y

Hallar el lugar geométrico de los puntos P ,x y que cumplen con las siguientes condiciones:

12.- La suma de las distancias de cada punto P ,x y a los puntos fijos 2,3 y 6,3 es 10.

13.- La suma de las distancias de cada punto P ,x y a los puntos fijos 3, 4 y 3,12 es 34.

14.- La suma de las distancias de cada punto P ,x y a los puntos fijos 2, 3 y 2,7 es 12.

15.- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo 3,2 es la mitad de la

correspondiente a la recta 2 0x . ¿Qué curva representa dicho lugar?


LA HIPÉRBOLA

1.- Para cada una de las siguientes hipérbolas, hallar: a) las longitudes del eje transverso, conjugado y

principal b) las coordenadas de los vértices y focos, c) la excentricidad, e) la longitud del lado recto y f)

la ecuación de sus asíntotas. Trazar el lugar geométrico.

a) 2 29 16 144x y b)

2 212 4 48y x c) 2 2144 25 3600x y

d) 2 25 4 80y x e)

2 216 9 144x y f) 2 236 64 2304y x

Para cada una de las siguientes condiciones, hallar : a) la ecuación de la hipérbola , b) las longitudes de

los ejes transverso, conjugado y principal c) las coordenadas del centro, vértices y focos, d) la

excentricidad, la longitud del lado recto y e) la ecuación de sus asíntotas. Trazar el lugar geométrico.

2.- Vértices en los puntos V 3,0 y V´ 3,0 ; focos en los puntos F 5,0 y F´ 5,0 .

3.- Centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, un foco es el punto 0,5 y la excentricidad

es igual a 3.

4.- Los extremos del eje conjugado son los puntos 0,3 y 0, 3 , la longitud de cada lado recto es 6.

5.- Focos en 7,3 y 1,3 ; longitud del eje transverso igual a 4.

6.- Vértices en 1,4 y 5,4 ; longitud del lado recto igual a 5.

7.- Vértices en 3,4 y 3, 2 ; excentricidad igual a 2.

8.- Pasa por el punto 3, 1 , su centro está en el origen, sus eje transverso está sobre el eje X y una de

sus asíntotas es la recta 2 3 2 0x y

9.- Pasa por el punto 2,3 , tiene su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y y una de

sus asíntotas es la recta 2 7 0y x

10.- Vértices en 1,3 y 3,3 ; excentricidad igual a 3/2.

11.- Vértices en 2,2 y 2, 4 ; la longitud de su lado recto es igual a 2.

12.- Focos en 4, 2 y 4, 8 ; la longitud de su eje transverso es 4.

13.- Centro en 4,5 y uno de sus focos en 8,5 ; excentricidad igual a 2.


14.- Vértices en 3,2 y 3, 2 ; la longitud de su eje conjugado es igual a 6.

15.- Focos en 4,0 y 10,0 ; un vértice 6,0

Para cada una de las siguientes ecuaciones, reducir a su forma ordinaria y hallar : a) las coordenadas del

centro , b) las longitudes de los ejes transverso, conjugado y principal c) las coordenadas de los vértices

y focos, d) la excentricidad, la longitud del lado recto y e) la ecuación de sus asíntotas. Trazar el lugar

geométrico.

16.- 2 29 4 36 41 0x y x y

17.- 2 22 3 8 6 1 0y x y x

18.- 2 29 36 6 18 0x y x y

19.- 2 29 4 8 18 41 0y x x y

20.- 2 25 4 10 8 79 0x y x y

21.- 2 25 4 32 30 99 0y x x y

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