INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN CRISTÓBAL “Liderando Procesos …
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1 DOCENTE: ALFONSO ESTRADA ARAQUE ASIGNATURA: MATEMÀTICAS GRADO: 8 GRUPOS: 8.1,8.2,8.3,8.4, PERIODO: 3 FECHA: junio 15 2021 TALLER #: 2 NOMBRE ESTUDIANTE: _____________________________ GRUPO: ______ TALLER NUMERO 2 TERCER PERIODO TEOREMA DE THALES Y SU APLICACIÓN THALES DE MILETO. (624 a. C. -547 a.C) Thales uno de los siete sabios de Grecia, es también el fundador de la filosofía natural, y busca en el agua el principio y realidad última de todas las cosas. Sobresale especialmente porque sus teoremas geométricos, en los que aparece el germen del concepto de demostración, constituyen el punto de partida en el proceso de organización racional de las matemáticas. La Ciencia nace en Oriente, pero no adquiere características racionales hasta que, en el siglo VI a.C., Grecia comienza a organizar los conocimientos empíricos de las antiguas civilizaciones El teorema de Thales se puede aplicar desde dos aspectos: a. Teorema de Thales. “Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante.” b. Triángulos en posición de Thales, donde se aplica la proporcionalidad en triángulos semejantes: “Si dos triángulos están en posición de Thales, entonces sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales”. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS. TEOREMA DE THALES. 1. Teorema de Thales. 1.1. Segmentos proporcionales entre paralelas. [1] Observa que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t. Considera los segmentos AB y CD de la recta r. Se observa que CD = 2 · AB. ¿Qué relacion hay entre los segmentos correspondientes A’B’ y C’D’? Observa que C’D’ es también doble de A’B’: C’D’ = 2 · A’B’. Observa también que con estos segmentos se puede escribir esta proporción: CD / C’D’ = (2 · AB) / (2 · A’B’) = A’B’ / AB. Esta proporcionalidad existente entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t: AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'=CD / C'D'=k. Teorema de Thales. INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN CRISTÓBAL “Liderando Procesos de Crecimiento Humano” ACTIVIDADES DE APOYO ESTUDIANTESIN INTERNET TRABAJO EN CASA – EMERGENCIA SANITARIA COVID 19 - 2021
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DOCENTE: ALFONSO ESTRADA ARAQUE ASIGNATURA: MATEMÀTICAS GRADO: 8 GRUPOS: 8.1,8.2,8.3,8.4, PERIODO: 3 FECHA: junio 15 2021 TALLER #: 2 NOMBRE ESTUDIANTE: _____________________________ GRUPO: ______
TALLER NUMERO 2 TERCER PERIODO TEOREMA DE THALES Y SU APLICACIÓN
THALES DE MILETO. (624 a. C. -547 a.C) Thales uno de los siete sabios de Grecia, es también el fundador de la filosofía natural, y busca en el agua el principio y realidad última de todas las cosas. Sobresale especialmente porque sus teoremas geométricos, en los que aparece el germen del concepto de demostración, constituyen el punto de partida en el proceso de organización racional de las matemáticas. La Ciencia nace en Oriente, pero no adquiere características racionales hasta que, en el siglo VI a.C., Grecia comienza a organizar los conocimientos empíricos de las antiguas civilizaciones El teorema de Thales se puede aplicar desde dos aspectos:
a. Teorema de Thales. “Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante.”
b. Triángulos en posición de Thales, donde se aplica la proporcionalidad en triángulos semejantes: “Si dos triángulos están en posición de Thales, entonces sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales”.
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS. TEOREMA DE THALES. 1. Teorema de Thales.
1.1. Segmentos proporcionales entre paralelas. [1] Observa que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t. Considera los segmentos AB y CD de la recta r. Se observa que CD = 2 · AB. ¿Qué relacion hay entre los segmentos correspondientes A’B’ y C’D’? Observa que C’D’ es también doble de A’B’: C’D’ = 2 · A’B’. Observa también que con estos segmentos se puede escribir esta proporción: CD / C’D’ = (2 · AB) / (2 · A’B’) = A’B’ / AB.
Esta proporcionalidad existente entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t: AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'=CD / C'D'=k. Teorema de Thales.
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TRABAJO EN CASA – EMERGENCIA SANITARIA COVID 19 - 2021
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“Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante”. 1.2. División de un segmento en partes iguales.
Vamos a dividir el segmento AB en tres segmentos iguales. 1. Para ello se traza una semirrecta cualquiera con origen en A que forme con el segmento AB un ángulo menor de 180º. 2. Se elige un segmento u arbitrario se lleva sobre la semirrecta que antes hemos trazado tres veces y el punto P, correspondiente a la última división, se une con el punto B. 3. Finalmente se trazan paralelas a PB por los puntos de división M y N y se obtienen los puntos M' y N', que dividen el segmento AB en tres partes iguales. 1.3. Segmento cuarto proporcional. Dados tres segmentos a, b y c se llama segmento cuarto proporcional de a, b y c a otro segmento x que cumple la siguiente
proporción: a / b = c / x. Observa los segmentos a, b y c. Numéricamente podemos calcular el cuarto proporcional de la siguiente manera: a / b = c / x; 5 / 4 = 2,5 / x; 5·x = 4 · 2,5; 5x = 10; x = 10 / 5 = 2. El cuarto proporcional es 2.
Observa cómo se determina gráficamente el segmento cuarto proporcional. 1. Se trazan dos semirrectas de origen O y sobre ellas se llevan los segmentos a, b y c como indica la figura. 2. Se unen los extremos no comunes P y Q de a y b y por el extremo M de c se traza una paralela a PQ; el segmento QN = x es el segmento buscado. 1.4. Segmento tercero proporcional.
Dados dos segmentos a y b, se llama segmento tercero proporcional de a y b a otro segmento x que cumple la siguiente proporción: a / b = b / x. Observa los segmentos a y b. Numéricamente podemos calcular el tercero proporcional de la siguiente manera: a / b = b / x; 1 / 2 = 2 / x; x = 4. El tercero proporcional es 4 cm. La construcción gráfica del tercero proporcional se hace como en el caso del cuarto proporcional.
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2. TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES. 1. Dibuja en tu cuaderno un triángulo como el triángulo ABC. 2. Traza una paralela A'B' al lado AB. Así se forma un nuevo triángulo CA'B'. Los triángulos CAB y CA'B' se dice que están en posición de Thales o que son triángulos de Thales. Veamos que dos triángulos en posición de Thales tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales:
Los ángulos de dos triángulos de Thales son iguales. El ángulo C es el mismo para los dos triángulos:
A = A'
B = B' 3. Los lados de dos triángulos de Thales son proporcionales. Para ver la proporcionalidad de los lados tracemos por el punto B' una paralela B'D al lado CA. Entonces A'B' = AD por ser lados opuestos de un paralelogramo.
· Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AB A'B', cortadas por CA y CB, resulta la proporción a): a) CA / CA' = CB / CB'. · Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AC B'D. cortadas por CB y AB, resulta: AB / A'B' = CB / CB'.
y como AD = A'B' resulta la proporción b): las proporciones a) y b) resulta: AB / A'B' = CB / C'B'. De las proporciones a) y b) resulta: CA / CA' = CB / CB' = AB / A'B'. Si dos triángulos están en posición de Thales, entonces sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.
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PROBLEMAS GUIAS:
1. Las baldas de una repisa representada en la figura son paralelos. Calcula las longitudes
de la repisa representadas como x e y.
SOLUCIÒN.
APLICAMOS PROPORCIÒN ENTRE LOS LADOS
CORRESPONDIENTES PARA ENCONTRAR X
Despejamos X
APLICAMOS PROPORCIÒN ENTRE LOS LADOS
CORRESPONDIENTES PARA ENCONTRAR Y
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Despejamos Y
2) Los triángulos de la figura son semejantes, halla la medida del lado x.
SOLUCION:
3)Los triángulos de la figura son semejantes, halla la medida del lado x.
SOLUCION
ACTIVIDAD:
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Copiar en el cuaderno el tema los conceptos, los procedimientos y los ejemplos guía para apropiarse de la
construcción del concepto. Luego realizar el taller en hojas de block con los procedimientos en cada ejercicio
que es lo que se evalúa.
TAREA
Resolver en hojas de block con su letra los ejercicios:
1. En la siguiente figura L1//L2
a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?
b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?
c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.
d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.
e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?
f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?
g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD = ?
h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1. Determina PC y CD.
i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD = 3,6 cm., BD = ?
2. En la siguiente figura L1//L2.
a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?
b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de a y c.
c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.
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d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?
3. En la siguiente figura L1//L2.
a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?
b) AP = x + 13, BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?
c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm., AD = ?
d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm., CD = 4 cm.
Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.
4. Halla la altura del árbol ayudándote de las sombras que proyectan el árbol y una persona.
5. Para calcular la profundidad de un pozo, hasta no hace mucho tiempo, se utilizaba una vara de
un metro de largo que se apoyaba en el suelo y se iba separando del borde del pozo hasta que se veía el
extremo del fondo. Aquí tienes una representación esquemática: BC= 75 cm ; diámetro del pozo DE= 150
cm
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6. Calcula el valor de x en esta ilustración.
7. Calcula x e y (las unidades son metros):
8. Halla x e y en la siguiente figura:
¿H=?
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9. Calcula x (todas las medidas están en centímetros).
10. Calcula x e y (las unidades son metros):
11. Calcula x e y (las unidades son centímetros):
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12. Con ayuda de la escena calcula la longitud del hilo de pescar
Resolver en hojas de block con su letra los ejercicios:
SUS DUDAS SE ATENDERÀN EN LAS HORAS DE ATENCIÒN DISPUESTAS PARA LOS DOCENTES DE 10:00 A.M.
HASTA LAS 12:00 A.M.
MI CORREO INSTITUCIONAL:
Taller Físico 2 periodo 3 de Matemáticas - 8.1-8.2-8.3-8.4 Alfonso Estrada
7
4,3
X=?
4m
3m
