ING1024 C2 1234 Elasticidad

8/18/2019 ING1024 C2 1234 Elasticidad

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II. ElasticidadTensiones, equilibrio, deformaciones y relación constitutivas

ING1024 – Propiedades y Resistencia de Materiales Versión 2.0

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

Escuela

de

Ingeniería

1


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ING1024 – Propiedades y Resistencia de Materiales Escuela de Ingeniería – PUC

2II. Elasticidad1. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LOS MATERIALES

Motivación y visión general de la disciplina Definición de propiedades mecánicas fenomenológicas

2. ELASTICIDAD EN MEDIOS CONTINUOS

Análisis de tensiones: conceptos de tracción, tensión y equilibrio diferencial,transformación de coordenadas, estado de tensiones planas, tensiones y direcciones principales, círculo de Mohr de tensiones, esfuerzos internos. Análisis de deformaciones: concepto de deformaciones unitarias, transformación decoordenadas, estado de deformaciones planas, deformaciones y direcciones principales,círculo de Mohr de deformaciones.

Relación constitutiva: modulo elástico, de corte y razón de Poisson, ley de Hookegeneralizada, formulación matemática de la elasticidad.

3.

ESTRUCTURA ATOMICA DE LA MATERIA

Elementos de microestructura Enlaces entre átomos: primarios y secundarios Estructuras cristalinas y amorfas (sistemas cristalográficos, mallas de Bravais, definiciónestructura atómica, estructuras BCC, FCC, HCP)

Defectos microestructurales (puntuales, lineales y superficiales)

4.

PROPIEDADES FÍSICAS DE MATERIALES Y SU RELACIÓN CON LAMICROESTRUCTURA

Seleccionadas propiedades físicas: densidad, porosidad abierta y cerrada, absorción,coeficiente de expansión térmica, capacidad calórica, conductividad térmica, punto defusión, conductividad eléctrica.

5. PROPIEDADES MECÁNICAS DE MATERIALES Y SU RELACIÓN CON LAMICROESTRUCTURA

Comportamiento elástico, anelástico y pseudoelástico

Comportamiento plástico Criterios de fluencia: Tresca y von Mises

Daño por fractura

Comportamiento visco-elástico (elastómeros, modelos de Maxwell y Voight)

6.

CLASES DE MATERIALES

Materiales metálicos Materiales cerámicos Materiales poliméricos

Materiales compuestos, elasticidad en materiales compuestos

Avances en materiales


3/53

Análisis

de

tensiones

Análisis de deformaciones

Tracción, tensión y equilibrio diferencialTransformación de coordenadasTensiones y direcciones principalesCírculo de Mohr de tensionesEsfuerzos internos

Deformaciones unitariasTransformación de coordenadasDeformaciones y direcciones principales

Relación

constitutiva

Modulo elástico, de corte y razón de PoissonLey de Hooke generalizadaEstados planos de tensión y deformaciónEl problema de elasticidad


3II. Elasticidad


4/53


4II. Elasticidad

Tracción, tensión y equilibrio diferencial


5/53


Motivación: Considere un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas

5

El diagrama de cuerpo libre (DCL) es

Si el cuerpo esta en equilibrio, necesariamente se tiene que (FIS1513)


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Considere un plano que corta arbitrariamente un cuerpo

6Tracción

El vector

de

tracción en un punto de la sección se define como

En condición de equilibrio, el campo de tracciones en el plano que

corta el sólido necesariamente

equilibra

las

fuerzas

externas


7/53


Considerando un eje coordenando ortogonal de referencia podemos expresar el vector de tracción en componentes.

7Tensión

Definición

de

tensión

Es

decir,

podemos

expresar

la

tracción

vectorialmente

como


8/53


Alternativamente, podemos descomponer el vector de tracción como:

8Tensión

componente

paralela

al

plano

de

corte

componente perpendicular al plano de

corte

donde


9/53


El estado de tensiones en un punto se expresa con el siguienteelemento diferencial

9Tensión

• Tensiones normales• Tensiones de corte (tangenciales)

Cara

positiva

: Superficie cuya normal tiene dirección , , ̂Cara

negativa : Superficie cuya normal tiene dirección

, , ̂


10/53


Se tiene una tensión positiva cuando:• La tensión sobre la cara positiva actúa en dirección positiva de

los ejes• La tensión sobre la cara negativa actúa en dirección negativa de

los ejes

Se

tiene

una tensión

negativa

cuando

no

es

positiva.

10Tensión

Convención

de

signos

para las tensiones

Tensiones positivas Tensiones negativas


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Las tensiones se pueden expresar matemáticamente como un tensor de tensiones ó tensor de Cauchy:

11Tensor de tensiones

Notación

indicial: Para referirse a una componente genérica de escribimos donde


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El tensor de tensiones puede descomponerse

aditivamente de la siguiente forma:

Esta descomposición es importante para definir criterios de fallas de los materiales (e.g. deviatorica ↔plasticidad, hidrostática ↔fractura)

Donde:


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Si la tracción entonces

y tenemos un caso de tensiones planas. En tensiones planas

podemos trabajar con un tensor de tensiones de menordimensión


14/53


14Equilibrio diferencial

Considere un elemento diferencial en tensión plana:

en donde:• es la fuerza por unidad de volumen en dirección

• es la fuerza por unidad de volumen en dirección


15/53



Del equilibrio de fuerzas obtenemos el equilibrio diferencial

Del equilibrio de momentos tenemos

es decir, el tensor de tensiones es simétrico


16/53


Análogamente,

para

el

caso

3D

se

puede

demostrar

para

un

elemento diferencial que


Lo cual puede ser escrito vectorialmente como

Equilibrio

diferencial

Simetría del tensor de Cauchy


17/53


17II. Elasticidad

Transformación de coordenadas


18/53


Caso

2D: Suponemos conocidas las tensiones en dos planos ortogonales. Queremos conocer el estado de tensiones en un plano cuya orientación la define el ángulo theta.

18Transformación de coordenadas

Del equilibrio de fuerzas se tiene:


19/53


Podemos

darle

otra

interpretación

a

las

transformación

de

tensores

usando el concepto de rotación espacial:


La rotación del punto (a,b) en

grados nos da el punto (a',b'):

Matricialmente

Donde R es la matriz de rotación 2D.


20/53



Entonces, se puede demostrar que:


21/53


21II. Elasticidad

Tensiones y direcciones principales


22/53


22Tensiones y direcciones principales

Se define como dirección principal aquella en cuyo plano las tensiones normales son máximas ó mínimas, siendo la tensión

principal la tensión normal a dicho plano principal.

Caso 2D

Dado recordemos que

La condición para que sea máximo o mínimo (óptimo) es


23/53



y las tensiones principales asociadas a esas direcciones son:

Se puede demostrar también que en dichas direcciones principales, las tensiones de corte son nulas.

De

la

condición

de

optimalidad

se

obtienen

dos

orientaciones

principales:


24/53



Procediendo de manera similar, podemos encontrar el esfuerzo

de

corte

máximo. Dado tenemos

de donde se obtiene que las direcciones y la magnitud de corte máximo son, respectivamente

La condición de optimalidad en este caso es


25/53



Comparando este resultado con el de tensiones principales se deduce que

Por último, se puede demostrar que en la dirección de corte máximo las tensiones normales son de igual magnitud.


26/53


27/53


27II. Elasticidad

Círculo de Mohr de tensiones


28/53


28Círculo de Mohr de tensiones

En el caso de tensiones planas, el estado de tensiones en cualquier dirección queda representado por el Círculo de Mohr 2D. Considere la rotación de un estado de tensión plana:

Ecuación de un Círculo


29/53


29Círculo de Mohr de tensiones

Convención

Círculo

de

Mohr

donde

ú


30/53


31/53


32/53


32II. Elasticidad

Transformación de coordenadas 3D


33/53


Caso 3D: Suponemos conocido el estado de tensiones según ejes cartesianos. Queremos conocer el estado de tensiones en un plano de orientación arbitraria definido por su normal y dos vectores ortogonales dentro del plano.

33Transformación de coordenadas 3D

34f ió d d d 3


34/53



y su descomposición es

son ortonormales:

donde , , etc.

35T f ió d d d 3D


35/53



Calculando el volumen del tetraedro se concluye que la relación del area

de sus caras es

36T f ió d d d 3D


36/53



Entonces, haciendo equilibrio de fuerzas:



37/53



donde R: matriz de rotación 3D

De lo anterior se puede deducir que el tensor de Cauchy para un sistema de ejes ortogonales se obtiene como:

38II Elasticidad


38/53


38II. Elasticidad

Corte máximo en estado plano de tensiones

39Corte Máximo


39/53


39Corte Máximo

Consideremos el caso de tensiones planas visto desde los ejes principales de tensión. En este caso, 1 > 2 > 0

1

2

1

2

3

40Corte Máximo


40/53


40Corte Máximo

Veamos el cubo diferencial desde el plano 1‐2, con el eje 3 saliendo de la figura.

1

2

1

2

3

2

1 1

2

41Corte Máximo


41/53


41Corte Máximo

Se dibuja el Círculo de Mohr asociado a este estado de tensiones. El estado en estos ejes corresponde al diámetro horizontal.

1

2

1

2

3

12

2

1 1

2

42Corte Máximo


42/53


42Corte Máximo

Al rotar en 45º se llega al valor máximo de la tensión de corte en ese plano, que llamaremos max

12

1

2

1

2

3

max12

12

max12

1

2

43Corte Máximo


43/53


43Corte Máximo

Ahora veamos el cubo en el plano 2‐3, con el eje 1 saliendo de la figura.

1

2

1

2

3

12

max12

1

2

1

2

2

3

max12

44Corte Máximo


44/53


44o e á o

1

2

1

2

3

123=0

max12

1

2

1

2

2

3


max12

45Corte Máximo


45/53


1

2

1

2

3

123=0

max12

max23

1

2

2

3

max23


23

max12

46Corte Máximo


46/53


Finalmente, veamos el cubo en el plano 1‐3, con el eje 2 saliendo de la figura.

1

2

1

2

3

123=0

max12

max23

1

2

2

3

1

2

3

1

max23

max12

47Corte Máximo


47/53


1

2

1

2

3

1

2

2

3

3

1

123=0

max12

max23


1

2

max23

max12

48Corte Máximo


48/53


1

2

1

2

3

123=0

max12

max

13

max23

3

1

2

3

1

2

max

13


13

max23

max12

49Corte Máximo


49/53


1 1

2

3

123=0

max12

max

13

max23

3

1

2

3

1

2

La máxima tensión de corte será la mayor entre las tres calculadas. En este caso, corresponde a max

13 y se obtiene rotando el plano 1‐3 en 45º en torno al eje 2

max23

max12

max

13


50/53

51Esfuerzos internos


51/53


Al cortar un continuo con un plano aparecen tracciones en la

superficie interna que equilibran las fuerzas externas. Entonces, se definen los esfuerzos internos como las resultantes de fuerza y

momento, las cuales se calculan mediante la integración del campo de tracciones en dicha sección.

Donde:

Y por definición tenemos:

52Esfuerzos internos


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Eligiendo como origen el centroide de la sección, y expresando la

tracción en componentes axiales y de corte , se definen• El esfuerzo normal

• El esfuerzo de corte

• El momento flector

• El momento

torsor

53II. Elasticidad


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Conclusiones• Un medio continuo puede estar sometido a tracciones externas

y

internas. Las tracciones internas equilibran las fuerzas externas• Las tensiones en una superficie resultan de proyectar el vector

de

tracción en los ejes de un sistema ortogonal• Conocido el tensor de tensiones es posible determinar las

tensiones en un plano arbitrario• Se define como dirección principal aquella en cuyo plano las

tensiones normales son máximas ó mínimas, siendo la tensión

principal la tensión normal a dicho plano principal• La transformación de un estado de tensiones y el calculo de

tensiones principales en 2D pueden calcularse usando el círculo de

Mohr

• Los esfuerzos internos resultan de la integración de lastracciones/tensiones en una superficie interna.

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