Relación de OrdenInecuaciones en R

Inecuaciones con Valor Absoluto

Sistemas de Inecuaciones Lineales

Relación de Orden

Intervalos

Los intervalos son subconjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.

TIPOS DE INTERVALOS

INTERVALO CERRADOSi a y b son números reales tales que , se denomina intervalo cerrado al conjunto de todos los reales x para los cuales . (están incluidos los extremos a y b). Se denota por .

[𝒂 ,𝒃 ]={𝒙∈ℝ /𝒂≤ 𝒙≤𝒃 }

Tipos de intervalos

INTERVALO ABIERTOSi a y b son números reales tales que , se denomina intervalo abierto al conjunto de todos los reales x para los cuales . (No están incluidos los extremos a y b). Se denota por .

⟨𝒂 ,𝒃 ⟩= {𝒙∈ℝ /𝒂<𝒙<𝒃}

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA.Si a y b son números reales tales que , se denomina intervalo semiabierto por la izquierda al conjunto de todos los reales x para los cuales se denota por .

⟨𝒂 ,𝒃 ]= {𝒙∈ℝ /𝒂<𝒙≤𝒃 }

Tipos de intervalos

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA.Si a y b son números reales tales que , se denomina intervalo semiabierto por la derecha al conjunto de todos los reales x para los cuales se denota por

[𝒂 ,𝒃 ⟩= {𝒙∈ℝ /𝒂≤ 𝒙<𝒃 }

Tipos de intervalos

INTERVALOS INFINITOSPara indicar a los conjuntos de números reales que se extienden indefinidamente por la derecha o por la izquierda de un número “a”, existen los llamados intervalos infinitos, que tienen la forma de:

¿Qué es una inecuación?

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que hay al menos una variable cuyo valor se desconoce, y sus miembros se relacionan por algunos de estos signos

< > ≤ ≥

La solución de una inecuación, es el conjunto de valores de la variable que la verifica, hay dos formas de expresarla

Una representación graficaUn intervalo

Representaciones en Intervalos

Intervalo Abierto: “Los extremos no pertenecen al Intervalo”. Ej:

Intervalo Cerrado: “Ambos extremos pertenecen al intervalos”. Ej:

Intervalo Finito: “Son los que tiene principio y fin”. Ej:

Intervalo Infinito: “Son los que tienen principio y no fin o viceversa” Ej

Para comenzar

Primero propiedad distributiva

Se agrupan los términos semejantes

Se grafica

Se halla el intervalo solución

Gráfica

Cuando en una inecuación se pasa multiplicando o dividiendo por un número negativo, se debe invertir el signo de la desigualdad

Veamos un ejemplo

Empecemos a analizar:

El denominador NUNCA puede ser cero

Además tenemos un cociente que es menor a cero, es decir siempre será negativo. Por eso es necesario recurrir a la regla de signos.

Será necesario plantear dos posibilidades

Resolvemos cada una de las Inecuaciones

¿Cuál es el conjunto solución?

Ya tenemos la solución de las intersecciones, ahora falta unir estos resultados.

En este caso es una unión porque viene de un “o”, de modo que son validas cualquiera de las dos ramas en las que dividimos el planteo, por lo tanto debemos unir los resultados obtenidos en cada una

La solución final

Veamos otro ejemplo

Lo primero que tenemos que hacer es llevarlo a la “estructura” que posee el ejercicio anterior

Empecemos a analizar: El denominador NUNCA puede ser cero

Además tenemos un cociente que es mayor a cero, es decir siempre será positivo. Por eso es necesario recurrir a la regla de signos.

Será necesario plantear dos posibilidades

Ahora analicemos cual será el conjunto solución

La solución final será la UNION DE TODO (incluyendo x=-3)

Observen que al incluir x = -3 ponemos corchetes en el intervalo

de manera que este lo contenga

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

PROPIEDADES

1ra. x < a ; si y sólo si a > 0 y a < x < a

a a

x a ; si y sólo si a > 0 y a x a

a a

Ejemplo.- Analizar: x < 2

2 2

Ejemplo.- Analizar: x 5

5 5

Dado que 2 > 0 entonces: 2 < x < 2

Dado que 5>0 entonces: 5 x 5

2da. x > a ; si y sólo si x < a ó x > a

x a ; si y sólo si x a ó x a

– a a

– a a

Ejemplo.- Analizar: x > 2

Ejemplo.- Analizar: x 6

– 2 2

– 6 6

Para que la desigualdad se verifique se debe cumplir que:

x < (2) ó x > 2 x < -2 ó x > 2

x 6 ó x 6

Para que la desigualdad se verifique se debe cumplir que:

Ejemplo N°4 Resolver 96x

Resolución:

96x – 9 x – 6 9

– 3 x 15

x – 3; 15

– 3 15

Ejemplo N°5 Resolver 104x

Resolución:

104x x – 4 < – 10 ó x – 4 > 10

x < – 6 ó x > 14

– 6 14

x – ; – 6 14;

Sistema de Inecuaciones con una Incógnita

Se Resuelve cada inecuación del sistema por separado, obteniéndose como solución de cada una de ellas un subconjunto de la recta real. La solución del sistemas la intersección de todos estos subconjuntos. Ejemplos:

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Ejemplo: 3 𝑥−2 𝑦>6

2. La recta divide al plano en dossemiplanos. Discutimos cuál de lossemiplanos es solución utilizandoun puntoy estudiando si verifica o No la inecuación

La solución será el semiplano

3. No se incluye la recta ya que no verifica la desigualdad.

1. Representamos gráficamente la función afín o lineal:Para ello hacemos una tabla de valores: 3 𝑥−2 𝑦=6

𝑥 0 2 −2𝑦 −3 0 −6