IIR Impulse Invariance

Diseño de Filtro IIR por invarianza impulsional

Gamaliel Moreno Chávez

Sistemas Telemáticos II

Universidad Politécnica de San Luis Potosí

ITEM

21 de octubre de 2014

Gamaliel Moreno Chávez Sistemas Telemáticos II (Universidad Politécnica de San Luis Potosí ITEM)Diseño de Filtro IIR por invarianza impulsional 21 de octubre de 2014 1 / 22

Contenido

Introducción.

Mapeo

ejemplo


Diseño de por invarianza impulsional

En le método de invarianza impulsional, el objetivo es diseñar un ltro IIR a

partir de una respuesta la impulso h(n) que es una versión muestreada de

la respuesta al impulso de un ltro análogo.

h(n) = h(nT ) n = 0, 1, 2, ...

donde T es el intervalo de muestreo


Filtro IIR por invarianza impulsional

Examinando las implicaciones del muestreo tenemos que cuando una señal

en tiempo continuo xa(t) con espectro Xa(F ) es muestreada a una

frecuencia de Fs = 1/T muestras por segundo, el espectro de la señal

muestreada es una repetición periódica del espectro escalado FsXa(F ) con

periodo Fs , especícamente, la relación es

X (f ) = Fs

∞∑k=−∞

Xa[(f − k)Fs ]

donde f = F/Fs es la frecuencia normalizada. El aliasing ocurre si la tasa

de muestreo Fs es menor que dos veces la frecuencia máxima de la señal

contenida en Xa(F )


Filtro IIR por invarianza impulsional

Respuesta en frecuencia de Ha(Ω) de un ltro analógico y respuesta en

frecuencia del ltro digital correspondiente con aliasing.

Es claro que el ltro digital con respuesta en frecuencia H(ω) tiene

características del correspondiente ltro análogo, si el intervalo de muestreo

T es sucientemente pequeño se puede evitar o minimizar los efectos del

aliasing. El método de varianza impulsional es inapropiado para diseño de

ltro pasabajas.


Métodos de diseño

Existen dos métodos para diseñar ltros IIR usando invarianza impulsional.

El primer método requiere la transformada inversa de Laplace. El segundo

método usa una sustitución directa pero puede haber casos donde se

requiera expansión por fracciones parciales.


Método 1

1 Prototipo del ltro analógico expresado como la relación de dos

polinomios.

2 Determinar la respuesta al impulso en el dominio del tiempoha(t),mediante la transformada inversa de Laplace.

3 Determinar la frecuencia de muestreo fs y el periodo de muestreo

ts = 1/fs , en la práctica se usa una frecuencia los más grande posible.

4 Encontrar la transformada z de la respuesta ha(t)

5 Sustituir ts en la función de transferencia H(z)


Mapeo

Para conoce el mapeo de puntos entre el plano-z y el plano-s producto del

proceso de muestreo, observamos las ecuaciones de muestreo las cuales

relacionan la transformada z de h(n) con la transformada de laplace de

ha(t). Esta relación es

H(z)|z=est =1

T

∞∑k=−∞

Ha

(s − j

2πk

T

)Nótese que cuando s = jΩ se reduce al muestreo de ΩT


Mapeo

Tenemos que

H(z) =nf∑n=0

h(n)z−n

Si realizamos el muestreo tendríamos que

H(z)|z=esT =nf∑n=0

h(n)e−sTn


Mapeo

Considerando que el mapeo de los puntos del plano s al plano z implican la

relación

z = esT

si sustituimos s = σ + jΩ y expresamos la variable compleja en forma polar

z = re jω tenemos que

re jω = eσT e jΩT

entonces tenemos que

r = eσT

ω = ΩT

Obsérvese que si σ < 0 entonces 0 < r < 1 y si σ > 0 entonces r > 1 y si

σ = 0 entonces r = 1, lo que implica que el LHP en s es mapeado dentro

del circulo unitario en z y el RPH en s es mapeado fuera.


Mapeo

en la gura se muestra el mapeo de z = esT en fracciones con un ancho de

sπ/T (para σ < 0) en el plano s en puntos dentro del circulo unitario del

plano z


Mapeo

Para explorar aún más el efecto el método invarianza impulsional,

expresamos la función del sistema del ltro análogo en forma de fracción

parcial

Ha(s) =N∑

k=1

ck

s − pk

donde pk son los polos del ltro análogo y ck son los coecientes en la

expansión de la fracción parcial. Entonces

ha(t) =N∑

k=1

ckepk t t ≥ 0


Mapeo

si muestreamos ha(t) periódicamente t = nT tenemos que

h(n) = ha(nT ) =N∑

k=1

ckepk t

Si obtenemos la transformada z de la ecuación anterior tenemos que

H(z) =∞∑n=0

h(n)z−n

=∞∑n=0

(N∑

k=1

ckepk t

)z−n

=N∑

k=1

ck

∞∑n=0

(epkT z−1

)nGamaliel Moreno Chávez Sistemas Telemáticos II (Universidad Politécnica de San Luis Potosí ITEM)Diseño de Filtro IIR por invarianza impulsional 21 de octubre de 2014 14 / 22

Mapeo

para pk < 0 tenemos que

∞∑n=0

(epkT z−1

)n=

1

1− epkT z−1

Entonces la función del sistema de un ltro digital queda como

H(z) =N∑

k=1

ck

1− epkT z−1

Observamos que el ltro digital tiene polos

zk = epkT k = 1, 2, ...,N


Mapeo

Resumiendo, la conversión de un ltro análogo en uno digital queda de la

siguiente manera

Hp(s) =M∑k=p

ck

s − bk−→ H(z) =

M∑k=p

ck

1− ebkT z−1


Ejemplo 1

convertir el ltro analógico con función de sistema

Ha(s) =s + 0.1

(s + 0.1)2 + 9

En un ltro digital IIR por el método de invarianza impulsional


Solución del ejemplo 1

Vemos que el ltro análogo tiene un cero en s = −0.1 y un par de complejo

conjugado como polos pk = −0.1± j3 como se ilustra en la gura


Solución del ejemplo 1

No necesitamos determinar la respuesta la impulso ha(t) con este método,

podemos determinar H(z) directamente, entonces haciendo fracciones

parciales tenemos que

H(s) =1/2

s + 0.1− 3j+

1/2

s + 0.1 + 3j

mapeando

H(z) =1/2

1− e−0.1T e j3T z−1+

1/2

1− e−0.1T e−j3T z−1(1)


Segundo método

Paso 1.- Tener la función Ha(s) del ltro prototipo.

Paso 2.- Seleccionar una frecuencia de muestreo fs adecuada

Paso 3.- Usar fracciones parciales para expresar el ltro como:

=M∑k=1

Ak

s + pk=

A1

s + p1+

A2

s + p2+ ...+

AM

s + pM

Paso 4.- Sustituir s + pk por 1− e−pkT z−1, de tal forma que se

realice mediante el mapeo una aproximación

Hk(s) =Ak

s + pk−→ Hk(Z ) =

Ak

1− e−pkT z−1


Segundo método

paso 5.- Obtener la función de transferencia en el dominio z sumando

los polos simples resultantes, para obtener

H(z) =Y (z)

X (z)=

∑Nk=0

bkz−k

1−∑M

k=1akz−k


Ejercicio

Diseñar un ltro digital IIR por él segundo método de invarianza

impulsional, a partir de la función del sistema de un ltro prototipo

Hc(s) =17410.145

s2 + 137.94536s + 17410.145

utilice un T=0.01 y

s2 + bs + c =

(s +

b

2+

√b2 − 4c

4

)∗

(s +

b

2−√

b2 − 4c

4

)


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