Diseño de Filtro IIR por invarianza impulsional
Gamaliel Moreno Chávez
Sistemas Telemáticos II
Universidad Politécnica de San Luis Potosí
ITEM
21 de octubre de 2014
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Contenido
Introducción.
Mapeo
ejemplo
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Diseño de por invarianza impulsional
En le método de invarianza impulsional, el objetivo es diseñar un ltro IIR a
partir de una respuesta la impulso h(n) que es una versión muestreada de
la respuesta al impulso de un ltro análogo.
h(n) = h(nT ) n = 0, 1, 2, ...
donde T es el intervalo de muestreo
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Filtro IIR por invarianza impulsional
Examinando las implicaciones del muestreo tenemos que cuando una señal
en tiempo continuo xa(t) con espectro Xa(F ) es muestreada a una
frecuencia de Fs = 1/T muestras por segundo, el espectro de la señal
muestreada es una repetición periódica del espectro escalado FsXa(F ) con
periodo Fs , especícamente, la relación es
X (f ) = Fs
∞∑k=−∞
Xa[(f − k)Fs ]
donde f = F/Fs es la frecuencia normalizada. El aliasing ocurre si la tasa
de muestreo Fs es menor que dos veces la frecuencia máxima de la señal
contenida en Xa(F )
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Filtro IIR por invarianza impulsional
Respuesta en frecuencia de Ha(Ω) de un ltro analógico y respuesta en
frecuencia del ltro digital correspondiente con aliasing.
Es claro que el ltro digital con respuesta en frecuencia H(ω) tiene
características del correspondiente ltro análogo, si el intervalo de muestreo
T es sucientemente pequeño se puede evitar o minimizar los efectos del
aliasing. El método de varianza impulsional es inapropiado para diseño de
ltro pasabajas.
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Métodos de diseño
Existen dos métodos para diseñar ltros IIR usando invarianza impulsional.
El primer método requiere la transformada inversa de Laplace. El segundo
método usa una sustitución directa pero puede haber casos donde se
requiera expansión por fracciones parciales.
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Método 1
1 Prototipo del ltro analógico expresado como la relación de dos
polinomios.
2 Determinar la respuesta al impulso en el dominio del tiempoha(t),mediante la transformada inversa de Laplace.
3 Determinar la frecuencia de muestreo fs y el periodo de muestreo
ts = 1/fs , en la práctica se usa una frecuencia los más grande posible.
4 Encontrar la transformada z de la respuesta ha(t)
5 Sustituir ts en la función de transferencia H(z)
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Mapeo
Para conoce el mapeo de puntos entre el plano-z y el plano-s producto del
proceso de muestreo, observamos las ecuaciones de muestreo las cuales
relacionan la transformada z de h(n) con la transformada de laplace de
ha(t). Esta relación es
H(z)|z=est =1
T
∞∑k=−∞
Ha
(s − j
2πk
T
)Nótese que cuando s = jΩ se reduce al muestreo de ΩT
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Mapeo
Tenemos que
H(z) =nf∑n=0
h(n)z−n
Si realizamos el muestreo tendríamos que
H(z)|z=esT =nf∑n=0
h(n)e−sTn
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Mapeo
Considerando que el mapeo de los puntos del plano s al plano z implican la
relación
z = esT
si sustituimos s = σ + jΩ y expresamos la variable compleja en forma polar
z = re jω tenemos que
re jω = eσT e jΩT
entonces tenemos que
r = eσT
ω = ΩT
Obsérvese que si σ < 0 entonces 0 < r < 1 y si σ > 0 entonces r > 1 y si
σ = 0 entonces r = 1, lo que implica que el LHP en s es mapeado dentro
del circulo unitario en z y el RPH en s es mapeado fuera.
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Mapeo
en la gura se muestra el mapeo de z = esT en fracciones con un ancho de
sπ/T (para σ < 0) en el plano s en puntos dentro del circulo unitario del
plano z
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Mapeo
Para explorar aún más el efecto el método invarianza impulsional,
expresamos la función del sistema del ltro análogo en forma de fracción
parcial
Ha(s) =N∑
k=1
ck
s − pk
donde pk son los polos del ltro análogo y ck son los coecientes en la
expansión de la fracción parcial. Entonces
ha(t) =N∑
k=1
ckepk t t ≥ 0
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Mapeo
si muestreamos ha(t) periódicamente t = nT tenemos que
h(n) = ha(nT ) =N∑
k=1
ckepk t
Si obtenemos la transformada z de la ecuación anterior tenemos que
H(z) =∞∑n=0
h(n)z−n
=∞∑n=0
(N∑
k=1
ckepk t
)z−n
=N∑
k=1
ck
∞∑n=0
(epkT z−1
)nGamaliel Moreno Chávez Sistemas Telemáticos II (Universidad Politécnica de San Luis Potosí ITEM)Diseño de Filtro IIR por invarianza impulsional 21 de octubre de 2014 14 / 22
Mapeo
para pk < 0 tenemos que
∞∑n=0
(epkT z−1
)n=
1
1− epkT z−1
Entonces la función del sistema de un ltro digital queda como
H(z) =N∑
k=1
ck
1− epkT z−1
Observamos que el ltro digital tiene polos
zk = epkT k = 1, 2, ...,N
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Mapeo
Resumiendo, la conversión de un ltro análogo en uno digital queda de la
siguiente manera
Hp(s) =M∑k=p
ck
s − bk−→ H(z) =
M∑k=p
ck
1− ebkT z−1
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Ejemplo 1
convertir el ltro analógico con función de sistema
Ha(s) =s + 0.1
(s + 0.1)2 + 9
En un ltro digital IIR por el método de invarianza impulsional
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Solución del ejemplo 1
Vemos que el ltro análogo tiene un cero en s = −0.1 y un par de complejo
conjugado como polos pk = −0.1± j3 como se ilustra en la gura
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Solución del ejemplo 1
No necesitamos determinar la respuesta la impulso ha(t) con este método,
podemos determinar H(z) directamente, entonces haciendo fracciones
parciales tenemos que
H(s) =1/2
s + 0.1− 3j+
1/2
s + 0.1 + 3j
mapeando
H(z) =1/2
1− e−0.1T e j3T z−1+
1/2
1− e−0.1T e−j3T z−1(1)
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Segundo método
Paso 1.- Tener la función Ha(s) del ltro prototipo.
Paso 2.- Seleccionar una frecuencia de muestreo fs adecuada
Paso 3.- Usar fracciones parciales para expresar el ltro como:
=M∑k=1
Ak
s + pk=
A1
s + p1+
A2
s + p2+ ...+
AM
s + pM
Paso 4.- Sustituir s + pk por 1− e−pkT z−1, de tal forma que se
realice mediante el mapeo una aproximación
Hk(s) =Ak
s + pk−→ Hk(Z ) =
Ak
1− e−pkT z−1
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Segundo método
paso 5.- Obtener la función de transferencia en el dominio z sumando
los polos simples resultantes, para obtener
H(z) =Y (z)
X (z)=
∑Nk=0
bkz−k
1−∑M
k=1akz−k
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Ejercicio
Diseñar un ltro digital IIR por él segundo método de invarianza
impulsional, a partir de la función del sistema de un ltro prototipo
Hc(s) =17410.145
s2 + 137.94536s + 17410.145
utilice un T=0.01 y
s2 + bs + c =
(s +
b
2+
√b2 − 4c
4
)∗
(s +
b
2−√
b2 − 4c
4
)
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