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“Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida”

Pitágoras

CAPÍTULO III

ECUACIONES E INECUACIONES CON

POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

3.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA 3.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA

VARIABLE 3.3 CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN. 3.4 APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER

GRADO 3.5 ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES 3.6 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR SUSTITUCIÓN

3.7 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR IGUALACIÓN

3.8 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR REDUCCIÓN

3.9 INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE.

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

CAPÍTULO III

ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

En este capítulo se estudiará el procedimiento para resolver relaciones de igualdad y de orden de polinomios de primer grado en una variable. Teniendo como conjunto de referencia los reales.

3.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA

i Cómo estamos de conceptos? 1. Dar tres ejemplos de ecuaciones de primer grado en una variable. 2. Qué es resolver una ecuación? 3. Qué diferencia existe entre ecuación e identidad? 4. Qué significa conjunto solución?

3.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE Una expresión de la forma con a y b ∈ ℜ y ba +x 0a ≠ es un polinomio de primer grado en una variable . ( )x Una relación de igualdad de la forma 0ba =+x es una ecuación de primer grado en una variable ó también conocida como ecuación lineal. Esta forma es conocida como la forma estándar.

( ) 75234 −−−+ xxx

Es una expresión algebraica ó un polinomio de primer grado

( ) 075234 =−−−+ xxx

Es una relación de igualdad ó una ecuación de primer grado

Resolver una ecuación es encontrar los valores del conjunto de referencia que puede tomar la variable para que sea verdadera la relación de igualdad. Los valores que cumplen la relación de igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación y el conjunto formado por éstas soluciones o raíces se llama conjunto solución.

74 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

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3.3 CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN. Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta las propiedades de los reales y las propiedades de las igualdades, que se enuncian a continuación: Propiedad de la suma: Si ℜ∈cb,a, y ba = , entonces, cbca +=+ Propiedad de la multiplicación: Si ℜ∈cb,a, y ba = , entonces, cbca ×=× Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de 042 =+x

42 +x = 0 Ecuación dada.

( )442 −++x = ( )40 −+ Propiedad de la suma en igualdades

02 +x = 4− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.x2 = 4− Propiedad de la identidad de la suma.

( )x221 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ = ( )4

21 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ Propiedad de la multiplicación en igualdades.

x1 = 24− Propiedad del inverso multiplicativo.

x = 2− Propiedad del elemento identidad en la multiplicación y simplificación de fracciones

Como es posible cometer errores aritméticos o algebraicos al encontrar el valor de x, siempre se debe verificar la validez del valor encontrado por lo tanto:

( ) 422 +− = 0 44 +− = 0 0 = 0

Como x = − 2 hace verdadera la relación de igualdad, éste valor es la solución o raíz única de

la ecuación y { }2− es el conjunto solución el cual se puede escribir { }2C.S. −= .

Toda ecuación de la forma 0a0ba ≠=+x tiene una y sólo una solución

ab−=x

Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de 084 =+x

84 +x = 0 Ecuación dada.

( )884 −++x = ( )80 −+ Propiedad de la suma en igualdades

04 +x = 8− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 75

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

( )x441 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ = ( )8

41 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ Propiedad de la multiplicación en igualdades.

x1 = 48− Propiedad del inverso multiplicativo.

x = 2− Propiedad del elemento identidad en la multiplicación y simplificación de fracciones

Verificando la validez del valor encontrado se tiene:

( ) 824 +− = 0 88 +− = 0 0 = 0

x = − 2 hace verdadera la relación de igualdad dada, lo que significa que es la solución o raíz

única de la ecuación . Por lo tanto, { }2C.S. −= . En los dos ejemplos anteriores se ha llegado a una misma respuesta por lo que se dice que

y son ecuaciones equivalentes. En general, se tiene que dos o más ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

042 =+x 084 =+x

Continuando con la solución de ecuaciones, vale llamar la atención con respecto a las situaciones presentadas hasta el momento. En la vida cotidiana, no siempre se presentan ecuaciones de la forma . Puede ocurrir que la relación se establece entre dos expresiones de grado 1, como se muestra en los siguientes ejemplos.

0ba =+x

Ejemplo 3

Encontrar el conjunto solución de 1243 −=+ xx 43 +x = 12 −x Ecuación dada.

( )443 −++x = ( )412 −+−x Propiedad de la suma en igualdades

03 +x = 52 −x Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

x3 = 52 −x Propiedad de la identidad de la suma.

( )xx 23 −+ = ( ) 522 −−+ xx Propiedad de la suma en igualdades

x = 5− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

Encontrado un valor real para la variable, debe verificarse que hace verdadera la relación dada:

43 +x = 12 −x Ecuación dada.

( ) 453 +− = ( ) 152 −− Se reemplaza x por el valor encontrado.

415 +− = 110 −−

11− = 11−

Al comprobar que x = -5 hace verdadera la relación de igualdad inicialmente dada, puede aceptarse que éste valor es la solución o raíz de la ecuación. Es decir que . { }5C.S −=.

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Ejemplo 4 Encontrar el conjunto solución de ( ) ( )6523 −=+ xx

( )23 +x = ( )65 −x Ecuación dada.

63 +x = 305 −x Propiedad distributiva.

( )663 −++x = ( )6305 −+−x Propiedad de la suma en igualdades

03 +x = 365 −x Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

x3 = 365 −x Propiedad de la identidad de la suma.

( ) xx 35 +− = ( ) 3655 −+− xx Propiedad de la suma en igualdades

x2− = 36− Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

( x221 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − ) = ( )36

21 −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − Propiedad de la multiplicación en igualdades

x1 = 236 Propiedad de la multiplicación en igualdades

x = 18 Propiedad del elemento identidad en la multiplicación. Se debe verificar que el valor encontrado hace verdadera la relación dada:

( )23 +x = ( )65 −x Ecuación dada.

( )( )2183 + = ( )( )6185 − Se reemplaza x por el valor encontrado.

( )203 = ( )125

60 = 60 Como x = 18 hace verdadera la relación de igualdad, éste valor es la solución o raíz de la ecuación y { }18 es el conjunto solución. Para resolver una ecuación, no es indispensable realizar todos los pasos que se han seguido en este ejemplo, pero por ahora sí aclaran el porqué de lo que se hace mecánicamente. Algunos pueden suprimirse ya que es posible hacerlos mentalmente.

( )23 +x = ( )65 −x Ecuación dada.

63 +x = 305 −x Propiedad distributiva.

( )663 −++x = ( )6305 −+−x Propiedad de la suma en igualdades

x3 = 365 −x Propiedad de la suma en igualdades, inverso aditivo, agrupación de términos semejantes e identidad de la suma.

x = 18 Propiedad de la multiplicación en igualdades, inverso multiplicativo elemento identidad en la multiplicación.

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CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

Hasta el momento, los casos presentados han permitido llegar a un valor para la variable. Sin embargo, es posible encontrar otras situaciones cuyo resultado antes de causar sorpresa, debe llevar a un cuidadoso análisis para interpretarlas correctamente, como se verá en los siguientes ejemplos. Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución de ( ) xxx 21422 −+=+

( )22 +x = xx 214 −+ Ecuación dada ( )22 +x = 12 +x Agrupación de términos semejantes.

42 +x = 12 +x Propiedad distributiva. ( )442 −++x = ( )412 −++x Propiedad de la suma en igualdades.

02 +x = 32 −x Propiedad inverso aditivo y agrupación de términos semejantes. x2 = 32 −x Propiedad del elemento identidad de la adición.

( )xx 22 −+ = ( )xx 232 −+− Propiedad de la suma en igualdades. 0 = 30 − Propiedad del inverso aditivo. 0 = 3−

Como se ha llegado a una expresión diferente de x = d que era lo que se buscaba, no es de sorprenderse ni de preocuparse si se han hecho todos los pasos sin cometer error, esta situación tiene una interpretación, la cual es: Como se partió de que hay solución es decir que existe un valor para x y se llegó a una contradicción, lo que sucede es que el supuesto de que existe solución es falso, por lo tanto no hay solución y el conjunto solución es ∅ .

Ejemplo 6 Encontrar el conjunto solución de ( ) 12315639 +−+−=+− yyy

( )39 +−y = 123156 +−+− yy Ecuación dada ( )39 +−y = 279 +− y Agrupación de términos semejantes.

279 +− y = 279 +− y Propiedad distributiva. ( )yy 9279 ++− = ( )yy 9279 ++− Propiedad de la suma en igualdades.

27 = 27 Propiedad del inverso y elemento identidad de la suma. Se ha llegado a una expresión diferente de y = d que era lo que se buscaba. No es tampoco de sorprenderse ni de preocuparse si se han hecho todos los pasos sin cometer error, esta situación tiene una interpretación: Puede observarse que las expresiones a cada lado de la igualdad son iguales, lo que nos lleva a decir que cualquier valor que tome y en el conjunto de referencia hará verdadera la

igualdad, por lo tanto hay infinitas soluciones y el conjunto solución es ℜ .

78 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

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Cuando el conjunto solución es igual al conjunto de referencia, se dice que la relación de igualdad es una identidad. Siendo el conjunto de referencia los reales, se obtendrán infinitas soluciones. Ejemplo 7

EE

E

E

) Encontrar el conjunto solución de xx 100828 ,, −=

Método de Solución 1 Método de Solución 2

828, = xx 100,−

828, = xx 100,− 1002880 = xx

10010−

828, = x900, ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛100288100 = ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − xx

10010100

900828

,, = x 2880 = xx 10100 −

32 = x 2880 = x90 288 = x9 32 = x

{ }32C.S. =

jemplo 8 ncontrar el conjunto solución de

25

3123 xx −=−−

Método de Solución 1 Método de Solución 2

3123 −− x = 2

5 x− 3

123 −− x = 25 x−

31

323 +− x = 22

5 x− ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

31236 x = ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

256 x

232 xx +− = 3

1025 − 2418 +− x = x315 −

63

64 xx +− = 6

206

15 − x420 − = x315 −

6x− = 6

5− 1520 − = xx 43 +−

x = 5 5 = x

{ }5C.S. =

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CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

Una expresión de la forma ba +x toma un valor numérico diferente

dependiendo del valor que se le dé a la variable.

Una expresión de la forma 0ba =+x se hace verdadera para un único valor de la variable. Para cualquier otro valor de x, la expresión se hace falsa.

Ejercicios 3.1

Encontrar el conjunto solución: 1. 58612 −=− xx 2. tt 5115 −=−

3. 32176 −=+ aa 4. 887424280 ,,, += bb

5. ( ) ( 632135 +−−=+− yy ) 6. ( ) aaa 21803152 +=++

7. 3

2475

dd −=+ 8. 4

53653

82 −−=+− xx

9. ( ) ( )8623

272312

31 −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−− yyy 10. ( ) ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=−+− ccc 10

21

52454810

11. 64

34 +=+ xx 12. ( ) xxx 103169862143 ,,,,,, +−=−−

13. ( ) ( ) xxx 32316 +−−=− 14. ( ) ( )[ ]xxx 686324 −−−=−

3.4 APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Todo lo anterior cobra sentido si se aplica a situaciones cotidianas o reales, ya que resolver una ecuación puede prestarse para mecanizar su manejo matemático y algebraico, lo cual no es el objetivo de este curso. Conocer métodos de solución no es suficiente si no se tiene n correcto planteamiento de la situación. u

Pero… Cómo lograr un correcto planteamiento de la situación? Existen muchos modelos, pero el más aceptado es el propuesto en 1945 por George Polya y presentado en su libro How to solve it”, el cual ha sido traducido a quince idiomas. “

A continuación, se presenta el modelo general. Es necesario tener en cuenta que no siempre un problema genera el planteamiento de una ecuación. En ocasiones, puede llegarse a una inecuación, o a un sistema de ecuaciones, entre otros, temas concernientes a secciones

osteriores. p Aplicando nuevamente una analogía con el idioma español, las ecuaciones resultan de

raciones con el verbo ser. Antes de continuar, es importante recordar la sección 3.6. o

80 G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

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George Polya (1888 – 1985)

MÉTODO DE POLYA PARA RESOLVER PROBLEMAS1

1. COMPRENDER EL PROBLEMA

Cuál es la incógnita? Cuáles son los datos? Cuál es la condición? Es la condición suficiente para determinar la incógnita? Es suficiente? Redundante? Contradictoria?

2. CONCEBIR UN PLAN

Se conoce un problema semejante? Se ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? Se conoce un problema relacionado con éste? Se conoce algún teorema que pueda ser útil? Mirar atentamente la incógnita y tratar de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. Encontrado un problema relacionado al que se presenta, puede utilizarse? Podría utilizarse su resultado? Podría emplearse su método? Haría falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo? Podría enunciarse el problema de otra forma? Podría plantearse en forma diferente nuevamente? Referirse a las definiciones. Si no se puede resolver el problema propuesto, tratar de resolver primero algún problema similar. Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? Un problema más general? Un problema más particular? Un problema análogo? Puede resolverse una parte del problema? Considerar sólo una parte de la condición; descartar la otra parte; en qué medida la incógnita queda ahora determinada? En qué forma puede variar? Puede deducirse algún elemento útil de los datos? Puede pensarse en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? Puede cambiarse la incógnita? Puede cambiarse la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí? Se han empleado todos los datos? Se han empleado todas las condiciones? Se han considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

3. EJECUCIÓN DEL PLAN

Al ejecutar el plan de la solución, comprobar cada uno de los pasos. Puede verse claramente que el paso es correcto? Puede demostrarse?

4. VISIÓN RETROSPECTIVA Puede verificarse el resultado? Puede verificarse el razonamiento? Puede obtenerse el resultado en forma diferente? Puede verse de golpe? Puede emplearse el resultado o el método en algún otro problema?

1 POLYA, George. “How to solve it“.

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CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

Ejemplo 9

En el puente pasado, los 18

de los alumnos de primer semestre

trabajaron en el proyecto de análisis geométrico, los

5

139

6

del resto

estudiaron para el examen de Precálculo y 56 se fueron de rumba. ¿Cuántos alumnos son de primer semestre y cuántos se dedicaron a cada actividad?

Alumnos de primer semestre : x Alumnos que trabajaron en el proyecto de A.G. : x

185

Alumnos que quedaron : xx185−

Alumnos que estudiaron Precálculo : ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − xx

185

139

Alumnos que se fueron de rumba : 56

Total alumnos Sem = Trabajan en el proyecto + Estudian Precálculo + Se van de rumba

x = x185 + ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − xx

185

139 + 56

x = 56265

139

185 +−+ xxx

x23452 = 56

x = 252 Como x representa el total de alumnos, se tiene ya la respuesta a la primera pregunta: el total de alumnos del primer semestre es de 252 Los alumnos que trabajaron en el proyecto de geométrico x

185 = ( ) 70252

185

=

Los alumnos que estudiaron Precálculo ( ) 126252185252

139 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

Alumnos que se fueron de rumba 56 Ejemplo 10

Cecilia recibió $435.0000 por trabajar 52 horas en una sala de prematuros. Si después de 40 horas su tarifa es de 1,5 veces cada hora, ¿Cuál es el valor de una hora no extra?

Horas trabajadas 52Total horas extras 124052 =− Valor hora normal (no extra) x Valor hora extra x51,

Dinero recibido = Dinero por trabajo de 40 horas + Dinero por 12 horas extras. Dinero recibido = Número de horas × Valor hora + Número de horas × Valor hora 435.000 = 40 x + ( )x5112 ,

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Por lo tanto ( )

x

x

xx

xx

=

=

+=

+=

5007

58000435

1840000435

511240000435

.

.

.

,. Siendo x el valor de la hora no extra, se tendrá que Cecilia gana por hora normal $7.500 Verificación del resultado: Valor hora extra de Cecilia: 25011

250075007 ... =+

Cecilia trabaja 40 horas cada una a $7.500, entonces recibe 000300$5007$40 .. =× 12 horas extras cada una a $11.250 recibe 000135$25011$12 .. =× Total recibido 000435$ .

Ejemplo 11

Fernando va a un restaurante en el cual se debe pagar de impuesto el 16% de lo que se consuma y la propina que se incluye en la cuenta es del 10%. Si él tiene $315.000 de cupo disponible en su tarjeta, cuánto puede ser el valor del consumo? o

Valor del consumo: x Pago por impuesto x

10016

Pago por propina x10010

Dinero disponible = Valor consumo + Pago por impuesto + Pago por propina.

x

x

x

xxx

=

=

=

++=

000250$126

00050031$

12600050031$10010

10016000315$

.

.`

.`

.

El valor del consumo de Fernando en el restaurante puede ser de $250.000. Ejercicios 3.2

Encontrar la ecuación que representa las siguientes situaciones: 1.

2.

3. 14

4.

5. 6 8%5%

La suma de dos números enteros consecutivos es . –17

La suma de tres números enteros consecutivos es 75.

El mayor de dos números enteros consecutivos impares es igual a menos un tercio del menor de ellos.

La suma de tres números enteros pares consecutivos es mas el mayor de ellos. –98

Cuántos litros de agua deben agregarse a litros de una solución de sal al y agua para producir una solución al de sal?

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CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

Resolver los siguientes problemas:

6. En una Feria del Libro se vendieron 600 libros, algunos en ediciones de bolsillo a $3,50 cada uno y el resto empastados a $5,00 cada uno. El ingreso total fue equivalente al del año anterior cuando se vendió el mismo número de libros a un precio promedio de $4,00 por libro. ¿Cuántos libros se vendieron de cada precio?

7. 43 de un número menos

52 de ese mismo número es igual a 7. ¿Cuál es el número?

8. Dividir $4.725 en tres partes, de tal manera que la segunda sea $150 más que la primera y la tercera $525 menos que la segunda.

9. El 30% de un fondo se invierte al 5% anual. El resto se invierte al 4% anual. ¿Cuánto está invertido en cada caso si el interés total es $860?

10. La diferencia entre el 60% y el 40% de un número es 126. Hallar el número.

11. Para el examen de historia, Pancho estudió dos horas mas que Luis. Juntos estudiaron una hora menos que cuatro veces las horas que estudió Luis. ¿Cuántas horas estudió cada uno?

12. En el momento de escribir este problema, mi edad más el triple de la edad que tenía hace 14 años es igual al triple de mi edad menos tres. ¿Sabes cuántos años tengo?.

13. Un tercio de la suma de tres números enteros múltiplos de 5 consecutivos es 90. Encuentre estos números.

14.

Juan compró un sombrero que le costó $40.000, el mismo día gastó 2/7 de lo que tenía inicialmente. Al otro día gastó 2/3 de lo que le quedaba. Si al final

uedó con $125.000, ¿Cuánto tenía inicialmente? q

15. Un avión a reacción que vuela a una velocidad de 650 millas por hora va a alcanzar a otro que va adelante 4 horas y está volando a una velocidad de 400 millas. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo?

16. La cantidad que un trabajador lleva a su casa es $492, después de haber deducido un total de 40% del pago bruto. ¿Cuál es su sueldo bruto?

17. El costo de instalar material aislante en una casa es de $1080. Los costos actuales de calefacción son en promedio $60 mensuales. Se espera que el material aislante reduzca ese costo en un 10%. ¿Cuántos meses necesita para recuperar el costo de material?

18. Un trasatlántico que tiene 800m de longitud excede en 744 a los 8/9 del ancho. ¿Cuánto mide el ancho?

20.

del punto de apoyo y la menor a 8 pies del mismo. Encuentre los valores de las cargas.

Resolver los siguientes problemas: 19. Cuál fracción representa a 3, 4545...?

Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio, cuando una carga de 400 lb se sitúa a 9 pies de un lado del punto de apoyo y dos cargas que difieren entre sí en 150 lb se colocan del otro lado de ese punto, de tal manera, que la carga mayor está a 12 pies

T

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Edición Preliminar PRECÁLCULO Versión 3 UNA NUEVA VISIÓN

3.5 ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES Hasta el momento se han estudiado ecuaciones en una variable cuyo conjunto solución si existe, corresponde a un único valor. Sin embargo, es posible establecer ecuaciones en dos variables, cuya forma general es:

0cba =++ yx , con 0 y ≠ℜ∈ acba ,,., Una ecuación de esta forma tiene infinitas soluciones, dependiendo del valor real que tome una de las variables, la otra tomará un valor real que permita cumplir con la ecuación. Ejemplo 12 Encontrar soluciones para la ecuación 0123 =−− yx Como puede verse, es necesario encontrar valores para x y para y para que se cumpla la ecuación. La manera más fácil de encontrar estas parejas de valores es dar un valor para cualquiera de las variables y encontrar el valor de la otra variable. Por ejemplo, si 0=x , se tiene que ( ) 01203 =−− y . Esto significa que y debe tomara el valor de 2

1− .

Ahora, si , si , se tiene que 0=y ( ) 01023 =−−x . Por lo que x debe tomara el valor de 3

1 .

Repitiendo el proceso para diferentes valores de x ó de y, se encontrarán parejas como las que se muestran en la siguiente tabla:

X y

0 21−

1 1

2 25

-1 -2

31− 1

31 0

Podría encontrarse infinitas parejas de valores reales para las variables x ó y, de tal forma que el conjunto solución de la ecuación corresponde a las parejas de la forma ( ){ }0123 =−+ yxyx , . Por lo tanto:

C.S.= ( ){ }0123 =−+ yxyx ,

Cuando se tiene un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables es llamado sistema de ecuaciones y su forma general es:

ℜ∈⎩⎨⎧

=++=++

fe,d, c, b, a,0fed0cba

yxyx

El conjunto solución para un sistema de estas características estará formado por aquellos valores de x y de y que satisfacen las dos ecuaciones, por lo tanto serán parejas de elementos de la forma ( ) . yx ,

En este capítulo se ilustrarán los métodos de solución algebraica de dos ecuaciones lineales en dos variables. Existen tres métodos de solución algebraica conocidos con los nombres de sustitución, igualación y reducción o de suma y resta.

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA 85