Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

1) José los días lunes, martes y miércoles, fotocopió varias páginas en tres fotocopiadoras diferentes. El jueves, pensó cuál de las tres cobraba el menor precio por unidad y no pudo recordarlo. Después de mucho pensar, volcó lo que recordaba en tres matrices :

a) Efectúe el producto A X b) Con el producto A X efectuado, componga la ecuación matricial A X = B c) Halle los precios unitarios.

F1 F2 F3

Lunes 15 20 40

Martes 0 25 50

Miércoles 26 40 8

precio

Fotocopiadora 1

x

Fotocopiadora 2

Y

Fotocopiadora 3

z

gasto

Lunes 2,80

Martes 2,75

Miércoles 2,56

la matriz

84026

50250

402015

A

la matriz

z

y

x

X la matriz

56,2

75,2

80,2

B

yxz

zyx

zyx

a

422

222

0

)

153

123

045

)

zwyx

wz

wzyx

wzyx

b

3) Dados los sistemas lineales :

3235

822

1

)

zyx

zyx

zyx

a

1334

2543

6

)

zy

yx

zx

b

7423

3332

102

)

tzyx

tzyx

tzyx

c

4410622

3253)

tuzyx

tuzyxd

a) Clasificarlos

b) Analizarlos aplicando el Teorema de Rouché Frobenius y, si es posible, determinar el conjunto solución de cada uno de ellos.

02

023

02

)

zyx

zyx

zyx

a

zyx

zyx

yzx

b

987

0654

23

)

5) Determinar, si existen los valores de m R, tales que el

sistema

0

1

1

zymx

mzyx

zyx Sea: a) compatible determinado b)Incompatible

c) Compatible indeterminado

6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ?

7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?.

b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ?

c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ?

8) Resolver en R2 los siguientes sistemas de inecuaciones :

3

0)

y

x

xy

a

1

3

5

)

y

xy

xy

b

22

4) x

y

xxyc

147

846

323

)

1

21

21

x

xx

xx

d

Repasemos en el trabajo Práctico Nº 7

Matriz Inversa Determinantes

Operaciones elementales por Gauss - Jordan

1 2a 2b 3a 3b 3c 3d

4a 4b 5 6 7a 7b

Teorema de Rouché Frobenius

84026

50250

402015

A

A(3x3) x X(3x1) = B(3x1)Coinciden el número de

columnas de A con las filas de X

z

y

x

X

84026

50250

402015

z

y

x

A x X

zyx

zyx

zyx

XA

84026

50250

402015

15x + 20y + 40z0x + 25y + 50z

26x + 40y + 8z

zyx

zyx

zyx

XA

84026

50250

402015

56,2

75,2

80,2

B

56,2

75,2

80,2

84026

50250

402015

zyx

zyx

zyx A X = B se puede escribir como un

sistema de 3 ecuaciones con 3

incógnitas

56,284026

75,250250

80,2402015

zyx

zyx

zyx

para hallar los precios unitarios debemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos.

Vamos a usar el método de los determinantes

xx

yy

zz

A X es una matriz de 3 filas y 1 columna, igual que B

56,284026

75,250250

80,2402015

zyx

zyx

zyx

84026

50250

402015

Es el determinante principal, conformado por los coeficientes de

las incógnitas ordenados en filas y columnas

i son los determinantes que resultan de reemplazar los coeficientes de la variable i

por la columna de los resultados del sistema en el determinante

840562

5025752

4020802

,

,

,

x

856226

507520

4080215

,

,

,

y

5624026

752250

8022015

,

,

,

z

xx

yy

zz

Con todos los valores de conocidos buscaremos

84026

50250

402015

Agregamos las dos primeras

filas

50250

402015

Y sumamos los productos

de las diagonales

)( 5020264040082515

A esto le restamos

)( 8200504015402526

la suma del producto de las

contradiagonales

)()( 030000260002600003000

270005600029000

840562

5025752

4020802

,

,

,

x

5025752

4020802

,

,

),,,( 50205624040752825802

),,,( 82075250408024025562

)()( 4405600256025604400560

108086007520

Agregamos las dos primeras

filas

Y sumamos los productos

de las diagonales

A esto le restamos la suma del producto

de las contradiagonales

856226

507520

4080215

,

,

,

y

507520

4080215

,

,

),,,( 5080226405620875215

),,,( 8802050562154075226

)()( 01920286036400330

81047803970

5624026

752250

8022015

,

,

,

z ),,,( 75220268024005622515

752250

8022015

,

,

),,,( 56220075240158022526

)()( 01650182014300960

108034702390

xx

yy

zz

040270001080

,

03027000

810,

040270001080

,

La fotocopiadora 1 cobra $ 0,04



Misma técnica para resolver y y z

En un sistema de m ecuaciones con n incógnitas

mnmnnmnmm

mnnmnnmmm

nnnn

nnnn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

112211

11111212111

22112222121

11111212111

..........

..........

.................................................................................

...............................................................................

..........

..........

Definimos como matriz de coeficientes (A), a la matriz conformada por todos los coeficientes de las variables del sistema, ordenados

según el mismo orden del sistema

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

.....

................

................

.....

.....

21

22212

11211

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

A

......

......................

......................

......

......

´

21

222212

111211

Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna de los resultados de l sistema como última

columna, tenemos la matriz ampliada (A´)

Para operaciones elementales y

determinantes ver TP Nº 7

3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7b

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

.....

................

................

.....

.....

21

22212

11211

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

A

......

......................

......................

......

......

´

21

222212

111211

La matriz A es de clase (m x n) )(mxnA

La matriz A´ es de clase m x (n+1)

))1((´ nmxA

Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método

apropiado, ver TP7)´)()( AA rr El sistema tiene

soluciónsi además

incógnitasdenrr AA º´)()( El sistema es Compatible determinadoadmite solución

únicaincógnitasdenrr AA º´)()( El sistema es Compatible

indeterminadoadmite infinitas soluciones

´)()( AA rr El sistema es Incompatible

NO tiene solución

3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7b

yxz

zyx

zyx

422

222

0

BXA Si BAXAA 11 BAXI 1

BAX 1 de manera que en el sistema de ecuaciones

donde la matriz de coeficientes es

212

212

111

A

ordenado resulta

422

222

0

zyx

zyx

zyx

Las incógnita

s conforma

n la matriz

z

y

x

X

y la columna de términos

independientes conforma la

matriz

4

2

0

BBuscamos

ahora la inversa de la matriz A

Para transformar aplicaremos el método de Gauss Jordan

2 b2 b

Conformamos un esquema con la matriz A a la izquierda y una matriz unidad de igual clase que A al la derecha

A I

Luego de sucesivas operaciones elementales en ambas matricescuando tengamos a la izquierda una matriz unidad, a la

derecha habrá quedado la matriz inversa de A A-1

I A-1 212

212

111

100

010

001

0

0

111 001

3112

1

- 3

4112

2

- 4

2112

0

- 2 1102

1

1

0102

0

0

11

121

1

01

122

0

21

120

2

01

020

0 11

021

1

2 b2 b

100

010

001

43

411

3400

3410

3101

131

34

031

32

031

31

3434

34

32

36

34

32

2

2

3431

34

31

031

31

0

34

134

0 110

1

3434

31

31

031

31

0

3431

31

31

121

31

41

41

34

131

041

41

I =

= A-

1

43

411

102

41

410

1A

2 b2 b

010

430

111

102

012

001

00

3410

01

031

32

341

1)(

31

34

1

31

321

1)(

31

32

1

31

31

311

0

31

0301

0

0

34

341

0

)(

34

321

2)(

34

32

2

34 3

1311

0

3

11

301

1

1

2 b2 b

XBA 1

43

411

102

41

410

4

2

0

)()()( 441

241

00 121

021

21 )()( 412002 400 4

4y

)()()()( 443

241

01 321

027

27

XBA 1

La matriz X es

z

y

x

X De los resultado obtenidos tenemos que

21x

4

27z

Te propongo que verifiques en la consigna que estos resultados son correctos.

2 b2 b

153

123

045

zwyx

wz

wzyx

wzyx

Para resolverordenamos el sistema

153

000

123

045

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

y lo clasificamos

Sistema de 4 ecuaciones con

4 incógnitas

conformamos cada uno de los

determinantes

1513

1100

1231

1451

1511

1100

1231

1450

x

1513

1100

1211

1401

y

1113

1000

1131

1051

z

1513

0100

1231

0451

w

Aplicando el método del desarrollo por los elementos de una línea

1513

1100

1231

1451

Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores

nulos)

151

123

145

01 13)(

153

121

141

01 23)(

113

131

151

11 33)(

513

231

451

11 43)(

Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos

resultados son 0 00 )( 411 2811)(

32

Elevamos (-1) a la suma del orden fila y columna del elemento que reemplazamos multiplicamos por el

elemento que reemplzamos (0 en el primer caso)y luego por el determinante que resulta de suprimir la fila y la columna que contiene el elemento “elegido”

1511

1100

1231

1450

x


nulos)

151

123

145

01 13)(

151

121

140

01 23)(

111

131

150

11 33)(

511

231

450

11 43)( 00

Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

)( 411 1911)(

23x


nulos)

151

121

140

01 13)(

153

121

141

01 23)(

111

111

101

11 33)(

513

211

401

11 43)( 00

Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

)( 111 111)(

1y

1513

1100

1211

1401

y


nulos)

111

113

105

01 13)(

113

111

101

01 23)(

113

131

151

01 33)(

113

131

051

11 43)( 000

Los tres primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

)()( 611

6z

1113

1000

1131

1051

z


nulos)

151

123

045

01 13)(

153

121

041

01 23)(

113

131

051

11 33)(

513

231

451

11 43)( 00

Los dos primeros términos y el último son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos

que esos resultados son 0

)()( 611

6z

1513

0100

1231

0451

w

0

xx

yy

zz

3223

3223

321

321

326

326

ww

326

326

Verificamos los resultados

153

000

123

045

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

1326

326

5321

3223

3

0326

326

321

03223

0

1326

326

2321

33223

0326

326

4321

53223

)()(

)()()(

)()(

)()(

3235

822

1

zyx

zyx

zyx

sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para aplicar las operaciones

elementales, conformamos primero la matriz de

coeficientes

235

212

111

y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada3

8

1

0

0

111 13

112

1

3

4112

2

4

101

128

)(

10 2115

3

2

3115

2

81

153

)(

3 8

00

3410

01

310

341

1)(

31

34

1

31

3101

137

310

1 3

7

342

3)(

31

38

3

31

3102

834

320

8 34

3 d3 d3 c3 c3 b3 b

3100

3410

3101

34

3103

7

100

010

001

4

31

34

4

3134

34

310

236

316

310

3134

31

37

133

34

37

2

1

El rango de la matriz coeficientes

es 3 Y el rango de la matriz ampliada también es 3

´)A()A( rr el número de incógnitas es igual al rango de ambas matricesincógnitasºnrr ´)A()A( Sistema compatible Sistema compatible

determinadodeterminado1x 2y 4z

Te sugerimos que verifiques estos resultados . . .

(admite un solo conjunto (admite un solo conjunto solución)solución)

3 d3 d3 c3 c3 b3 b

1334

2543

6

zy

yx

zx

sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitasescribimos el sistema completo y ordenado

13340

25043

60

zyx

zyx

zyx

Para aplicar las operaciones elementales, conformamos

primero la matriz de coeficientes

Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada

340

043

101

13

25

6

0

0

101 6

4103

4

4 3113

0

3 7 7163

25

4100

4

4

3110

3

3

13160

13

13

00

4310

01

4

7 11

301

)(1

6170

6

6

04

343

)(0 20

474

13

20

3 d3 d3 c3 c

000

4310

101

20

47

6

El próximo pivote debe elegirse en la 3º fila 3º

columna, pero ese elemento es 0 (no puede

ser pivote)

Significa que las operaciones elementales posibles concluyeronY quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0)

2)A(r

3´)A(r pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)

´)A()A( rr Sistema Sistema incompatibleincompatible

Este sistema no tiene soluciónEste sistema no tiene solución

3 d3 d3 c3 c

7423

3332

102

tzyx

tzyx

tzyx

sistema de tres ecuaciones con cuatro

incógnitasPara aplicar las operaciones elementales, conformamos

primero la matriz de coeficientes

Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada

1423

3312

2111

7

3

10

0

0

2111 10

11

121

)(

1

1112

3

17

122

3

7

231102

3

23

11

132

)(1 1113

4

1

7123

1

7

231103

7

23

3 d3 d

7110

7110

2111

23

23

10

00

7110

01

23

21

111

2

51

712

)(

513

1231

10

)(13

0111

1

0 01

717

)(00

1231

23

)(0

El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra ó 4ta columna, pero esos elementos son 0

(no pueden ser pivote)

Significa que las operaciones elementales posibles

concluyeron

quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)

2)A(r

2´)A(r y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)

3 d3 d

´)A()A( rr Sistema compatible

Este sistema admite infinitas Este sistema admite infinitas solucionessoluciones

2)A(r 2´)A(r

pero incógnitasdeºnrr ´)A()A( Sistema compatible Sistema compatible indeterminadoindeterminado

0000

7110

5201

0

23

13

237

1352

tzy

tzx

despejamos y tzy 723

despejamos x tzx 5213

confeccionamos una tabla de valores para

encontrar diferentes soluciones, asignándole

valores a z y t, encontramos x e

y

x y z t

S1 0 0-13 -23

S2 1 1-10 -17

S3 0 1-8 -16

Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de ecuaciones con las matrices coeficiente

y ampliadas halladas

3 d3 d

4410622

3253

tuzyx

tuzyx

sistema de tres ecuaciones con cuatro

incógnitasPara aplicar las operaciones elementales,

conformamos primero la matriz de coeficientes

410622

25311

4

3

0

25311 3

01

122

)(

0

0132

6

00

152

10

)(

00

122

4

0

2132

4

2El próximo pivote debe elegirse en la 2da fila 2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos

elementos son 0 (no pueden ser pivote)

Significa que las operaciones elementales posibles

concluyeronY queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)

1)A(r

2´)A(rpero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)

´)A()A( rr Sistema Sistema incompatibleincompatible

Este sistema no tiene soluciónEste sistema no tiene solución

y la matriz ampliada

02

023

02

zyx

zyx

zyx

Sabiendo que el sistema homogéneo

será siempre compatible

Solo nos queda analizar si admite soluciones diferentes

de la trivial (todas las variables igual a cero)

sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas

Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para visualizar mejor el rango de ellas

211

123

112

0

0

0

211

0

0

0

11

121

)(

1

1112

1

1

0102

0

0

51

132

)(

5

1123

1

1

0103

0

0

4 b4 b

0

0

0

211

150

110

01

00

110

41

151

)(

4

0

0105

0

11

112

)()(

0

1

01

010

)(

0

001

100

010

0

04

010

)(

0

0401

0

0

El rango de la matriz de coeficientes es 3

3)( ArPor ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre)

incógnitasdeºnr )A(

Este sistema homogéneo admite solamente solución Este sistema homogéneo admite solamente solución trivialtrivial

0 zyx

4 b4 b

zyx

zyx

yzx

987

0654

23

ordenamos el sistema

0987

0654

032

zyx

zyx

zyx

987

654

321

0

0

0

3124

5

0

0

321 0

3

6134

6

6

0104

0

0 6127

8

6

12137

9

12

0107

0

0

00

210

01

0

1362

3

)(

1 0

0

366

12)()(

336

1212

0

0

El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra columna, pero esos elementos

son 0 (no pueden ser pivote)

las operaciones elementales

posibles concluyeron

0302

0

0306

0

0000

0210

0101

Recomponemos el sistema de ecuaciones, proponiendo un sistema de ecuaciones equivalente

02

0

zy

zx

del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de z

zx

zy 2

El rango de la matriz de coeficientes es 2

2)A(rpor ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre)

incógnitasdeºnr )A(

Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivialtrivial Este sistema admite infinitas Este sistema admite infinitas

solucionessoluciones

Y confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes soluciones; asignándole valores a z , encontramos

x e y

x y z

S1 11 -2

S2 -1

-1 2

S3 00 0

0

1

1

zymx

mzyx

zyx Efectuamos transformaciones elementales por

Gauss-Jordan

11

11

111

m

m

0

1

1

0

0

111 1 0111

1

0

1111

mm

1m

2111

1

2m

m

1

11

1m1 mm

11

11m1 m

m

11

0m

110

00

01

mm

1

01

1)1(1

m

m0

mmmm

mm

11

11

11

1m1

1

mmmm

1

)1()1()1(

0

m1

mm

mmmmm

2

)1()1(

2)1(

)1(2

m 2

110

010

001

m

mm

m

m

1

2

11

Podemos apreciar claramente que:

Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de coeficientes

Pero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º fila

Por lo que si m = 1

´)()( AA rr Sistema incompatibleSistema incompatible

Para cualquier otro valor de m

incógnitasdenrr AA º´)()(

Sistema compatible Sistema compatible determinadodeterminado

6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ?

Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidos

2) El promedio de sus edades es 18,5.

3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años

1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años

Si la cantidad de estudiantes

que tiene

18 años es x19 años es y20 años es z

32 zyx

51832

,

multiplicamos cada una de las edades por la cantidad de

estudiantes que tienen esas edades y sumamos los

productoszyx 201918

y dividimos por el total de estudiantes para hallar el promedio de las edades

6 zyx

Con las tres ecuaciones planteadas, puedo conformar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

6

51832

20191832

zyx

,zyx

zyxque ordenado queda :

6

592201918

32

zyx

zyx

zyx

6

592201918

32

zyx

zyx

zyx

111

201918

111

6

592

32

0

0

111 321

1118

19

12

1118

20

2

1613218

592

16

2111

1

2

2111

1

2

261321

6

26

00

210

01

16

1121

1

1

161161

32

16

21

222

2

61

16226

6

100

010

001

3

192

6116

19

10262

16

10

3

10

19

100

010

001 El rango de la matriz de coeficientes es 3

3)A(r

El rango de la matriz ampliada también es 3

3´)A(r

´)A()A( rr el número de incógnitas es igual al rango de ambas matricesincógnitasºnrr ´)A()A( Sistema compatible Sistema compatible

determinadodeterminado

19x

10y

3z

Te sugerimos que verifiques

estos resultados . . .

(admite un solo conjunto (admite un solo conjunto solución)solución)

Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con la matriz de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones

elementales

300

1000

1900

zyx

zyx

zyx

7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?.

b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ?

c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ?

Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas de cualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas :

que sean iguales que no sean iguales´)A()A( rr ´)()( AA rr

Si los rangos no son iguales, lo que puede suceder en un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas

El sistema es El sistema es incompatible no tiene incompatible no tiene

soluciónsoluciónSi los rangos son iguales, con seguridad, al ser menor el número de ecuaciones que el número de incógnitas


El sistema es compatible El sistema es compatible indeterminado tiene múltiples indeterminado tiene múltiples

solucionessoluciones7 b7 b

Por ser homogéneo, sabemos que los rangos no pueden ser

diferentes, luego los rangos son iguales

´)()( AA rr

Por la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor que el número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el número de incógnitas


Entonces el sistema es compatible determinado, al ser Entonces el sistema es compatible determinado, al ser homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la

trivialtrivial

3

0

y

x

xy

Trazamos primero un par de ejes coordenados

Luego analizamos la inecuación y > x como si se tratar de y = x

Pero con trazos punteados porque no están incluidos los valores de y = x entre los que buscamos sino los

de y > xsombreamos el semiplano que verifica

y > xluego graficamos la región que verifica x

> 0Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras:

El sombreado verde representa la primera inecuación

El sombreado claro representa la segunda inecuación

Se verifican ambas condiciones donde hay

sombreado doble

No se verifican ninguna de las condiciones donde no hay sombreado

8 d8 d8 c8 c8 b8 b

Queda determinada una región con triple sombreado, y es precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema Tengamos presente que esta es una

región “abierta” porque las líneas que delimitan la región no están incluidas en el conjunto solución

Por ejemplo el punto (1; 2) es una solución del sistema

3

0

y

x

xy

32

01

12

Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo dos de las condiciones pero no la tercera

36

02

26

Te queda para practicar proponer la ubicación de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones ó solo una ó ninguna

como también encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones 8 d8 d8 c8 c8 b8 b

1

3

5

y

xy

xy


Luego analizamos la inecuación y < 5 - x como si se tratara de y = 5 - x

con trazos punteados porque no están

incluidos los valores de y = 5 - x entre los que

buscamos sino los de y < 5 - xsombreamos el semiplano que verifica y <

5 - xluego graficamos la región que verifica y x

+ 3Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras:

El sombreado verde representa la primera inecuaciónEl sombreado marrón representa la segunda inecuación

Se verifican ambas condiciones donde hay

sombreado doble

No se verifican ninguna de las condiciones donde no hay sombreado

8 d8 d8 c8 c

Queda determinada una región con triple sombreado, y es precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema

Por ejemplo el punto (1; 3) es una solución del sistema

1

3

5

y

xy

xy

13

313

153

Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo la tercera condición pero no las otras dos

16

326

256

esta es una región “abierta” en la línea verde pero “cerrada” en las

otras dos

Te queda para practicar proponer la ubicación de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones ó solo una ó ninguna

como también encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones

8 d8 d8 c8 c

22

4

xy

xxyque ordenada queda

22

42

xy

xy


Luego analizamos la inecuación y 2x - 4 como si se tratara de y = 2x - 4

sombreamos todo el semiplano que verifica la condición y 2x - 4

Representamos gráficamente

22

x

y

Las soluciones de este sistema deben verificar ambas condiciones:

Pertenecer al semiplano sombreado

Pertenecer a la recta

Verifican ambas condiciones los puntos de la recta que están en la región del semiplano

Por ejemplo el punto (6, 5)

8 d8 d

147

846

323

1

21

21

x

xx

xxque ordenada queda

7

223

23

23

1

12

12

x

xx

xx

Trazamos primero un par de ejes coordenadosRepresentamos gráficamente 2

323

12 xx

Representamos gráficamente

223

12 xx

Luego analizamos la inecuación x1 7 como si se tratara de x1 = 7

sombreamos todo el semiplano que verifica la condición x1 7

Las soluciones de este sistema deben verificar las tres condiciones

Pero las rectas paralelas no tienen puntos en común, luego este sistema NO TIENE SOLUCION

Lograremos cosas

importantes

Algún día en cualquier parte, en Algún día en cualquier parte, en cualquier lugar indefectiblemente cualquier lugar indefectiblemente te encontrarás a ti mismo, y esa, te encontrarás a ti mismo, y esa, sólo esa, puede ser la más feliz ó la sólo esa, puede ser la más feliz ó la mas amarga de tus horas. mas amarga de tus horas.

Pablo Neruda Pablo Neruda

Yo creo bastante en la suerte. He constatado que cuanto más trabajo, mas suerte tengo.

Thomas Jefferson

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

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