MDULO 1: ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES ECUACIONESGeneralidades Las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que se verifican para ciertos valores de las letras, a las cuales se denominan incgnitas. Ejemplos de ecuaciones: x 2 + 4x = 1 y Si bien hay distinto tipo de ecuaciones (con una incgnita, con dos incgnitas, con la incgnita elevada al cuadrado, etc.), en todos los casos se intenta buscar el valor de las incgnitas que satisfacen la igualdad. x+1=3;2 x + 3 y xy = z ; x 2 + 3 x 4 = 0 ;

Por ejemplo en el caso de la ecuacin x + 1 = 3 podemos afirmar que x=2 verifica la igualdad. Los valores que satisfacen la ecuacin reciben el nombre de races o soluciones de la misma.

Cmo surgen las ecuaciones? Hace ms de 3000 aos el hombre intentaba resolver problemas y observ que su traduccin al lenguaje de los smbolos posibilitaba su resolucin. Muchos siglos despus se lleg a la simbologa actual y con el objetivo de encontrar respuesta a problemas de cierta naturaleza se intenta traducir el mismo al lenguaje matemtico. Veamos como hacerlo, en una situacin particular. El gerente de produccin de una pequea empresa dispone de un presupuesto de $8.000.que desea destinar totalmente a la produccin mensual, sabe que los gastos fijos ascienden a $500.- por mes y que el costo de fabricacin de cada producto es $30.- Se pregunta, bajo estas condiciones, cuntas unidades como mximo podr producir por mes? El primer paso para resolver un problema es analizar detenidamente la situacin, estableciendo cules son las incgnitas y cules son datos.Materia: Herramientas Matemticas I- lgebra Profesora: Nancy Stanecka Pgina 1

En nuestro caso la incgnita es "la cantidad de unidades a producir por mes", la cual puede ser representada por la letra x. x : "cantidad de unidades a producir por mes" Los valores 30, 500 y 8.000 son datos, ahora debemos traducir al lenguaje algebraico lo que ellos representan. Como producir una unidad le cuesta $30, el costo de produccin de "x" unidades ser: 30 x Adems existe un gasto fijo mensual de $500.-, independiente de las cantidades producidas, que deberemos agregar al gasto total. 30 x + 500 Si el gerente dispone de un presupuesto de $8.000.-, quiere decir que el gasto mximo que puede realizar en la produccin es igual a $8.-000, as la situacin planteada puede ser representada algebraicamente por la ecuacin: 30 x + 500 = 8000 Hemos obtenido una ecuacin, que debido a su estructura, se la denomina lineal. Ecuaciones lineales con una incgnita Una ecuacin lineal en una variable x es una ecuacin donde la incgnita est elevada a la potencia 1, y en general puede escribirse en la forma: ax+b=0 donde a y b son constantes y a es distinta de cero.

El proceso de encontrar las races se denomina resolver la ecuacin. La idea es transformar la ecuacin, a travs de operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicacin, divisin, etc), en otra ms simple de resolver, pero que admite las mismas races que la ecuacin original.Materia: Herramientas Matemticas I- lgebra Profesora: Nancy Stanecka

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En tal sentido diremos que dos ecuaciones con las mismas incgnitas son equivalentes si y slo si tienen las misma soluciones. Cmo pasar de una ecuacin a otra equivalente? Para ello podemos valernos de las siguientes operaciones algebraicas: 1) Sumar algebraicamente a ambos miembros de la igualdad la misma expresin. 2) Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo factor no nulo. Por ejemplo si queremos dar solucin al problema planteado por el gerente de la empresa la ecuacin a resolver es 30 x + 500 = 8000 Como el objetivo es encontrar el valor de x, parece razonable tratar de "aislar" de algn modo la variable en cuestin. Si sumamos a ambos miembros de la igualdad (500 ) 30 x + 500 500 = 8000 500 obtenemos as una ecuacin equivalente, ms simple que la original, 30 x = 7500 pero an no hemos encontrado la incgnita. Podemos entonces simplificar ms la ecuacin si multiplicamos ambos miembros por 1/301 1 30 x = 7500 30 30

de donde surge que

x = 250

As el gerente de la empresa podr producir, de acuerdo a su presupuesto, 250 unidades mensuales. OBSERVACIN Por lo general el estudiante para encontrar el valor de x usa reglitas tales como: "Lo que esta sumando en un miembro pasa restando al otro", "lo que esta multiplicando pasa dividiendo".

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Estas reglitas no son incorrectas, pues en cierta medida constituyen una forma abreviada de las operaciones enunciadas, el problema est en la forma indiscriminada en que se las aplica. Est atento! Ecuaciones lineales con dos incgnitas No todos los problemas involucran una sola variable, puede que en el planteo surjan dos, tres o ms incgnitas, y cuanto mayor es el nmero de ellas, mas complicada es la bsqueda de sus soluciones. Dentro de la gama de posibilidades que pueden darse, tenemos el caso de una ecuacin lineal con dos incgnitas x e y , la cual tiene la siguiente estructura: ax+by=c donde a, b y c son los parmetros de la ecuacin con a y b distintos de cero. Ejemplifiquemos a travs de un problema particular. Un criador de animales puede adquirir, para la alimentacin de los mismos, dos tipos de productos A y B, ambos del mismo costo. Si sabe que el alimento A contiene 60 gr. de grasa por kg., mientras que el alimento B contiene 30 gr. por kg. cmo debe combinar los alimentos si desea que el contenido de grasa sea 600 gramos? Llamemos x a la cantidad de alimento A en la mezcla, en kg. y a la cantidad de alimento B en la mezcla, en kg. El aporte de grasa del alimento A es de 60 gr/kg. entonces el aporte de grasa de x kg ser: 60 x Anlogamente el aporte de grasa del alimento B en y kg. ser 30 y Dado que el aporte total debe ser de 600 gramos, la ecuacin que describe la situacin planteada ser: 60 x + 30 y = 600 Estamos en presencia de una sola ecuacin con dos incgnitas, veamos cules son las soluciones; Si x = 0 entonces y = 20Pgina 4

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Si x = 5 entonces y = 10 Si x = 6,5 entonces y = 7 Cada una de ellas se denomina solucin particular. As podramos encontrar infinitas alternativas de mezcla de los alimentos que contengan un total de 600 gramos de grasa. La solucin general, se obtiene despejando una de las variables en funcin de la otra, esto es despejando x en trminos de y y en trminos de x, En nuestro caso, despejemos y 60 x + 30 y = 600 y= 600 6 x 30

Distribuyendo denominador, la solucin general ser:y = 20 2 x cualquiera sea x

Es decir, cualquier solucin particular se obtiene dando a x un valor arbitrario. Visualizacin grfica del conjunto solucin: Los pares (x, y) que verifican la ecuacin, se pueden graficar en un sistema de coordenadas cartesianas, Qu forman?...Los pares que son solucin se alinean formando una recta.

Por ejemplo en el caso anterior se obtendra la siguiente solucin grficay 20

10

5

x

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitasMateria: Herramientas Matemticas I- lgebra Profesora: Nancy Stanecka Pgina 5

Qu ocurrira si en el caso anterior agregamos una nueva restriccin? Por ejemplo, que el criador de animales desee que la mezcla contenga exactamente 15 kg de alimento. Algebraicamente podemos expresar esta condicin a travs de la ecuacin x + y = 15 es decir la cantidad de alimento de tipo A ms la cantidad de alimento de tipo B debe ser igual a 15 kg. Tendremos pues que la solucin del problema consistir en encontrar los valores de x e y que satisfagan simultneamente ambas ecuaciones. 60 x + 30 y = 600 x + y = 15 Esto es lo que se denomina un sistema de ecuaciones lineales, en este caso de dos ecuaciones con dos incgnitas.Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnita, tiene la estructura

ax + by = f cx + dy = g donde a, b, c, d, e, f, g son constantes.

Cmo obtener el conjunto solucin? Apliquemos el mtodo por sustitucin, el cual consiste en despejar de cualquiera de las ecuaciones, una de las incgnitas, por ejemplo de la segunda ecuacin despejemos "y". As y = 15 - x verificar la segunda condicin. Para que tambin verifique la primera condicin, deberamos sustituir el valor de y en la primera ecuacin por la expresin hallada anteriormente.Materia: Herramientas Matemticas I- lgebra Profesora: Nancy Stanecka

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Esto es, si tenamos 60 x + 30 y = 600 reemplazamos y , de donde resulta 60 x + 30 (15 x) = 600 la cual es una ecuacin de primer grado con una incgnita, cuya solucin es x = 5: Pero para dar respuesta a nuestro interrogante tambin debemos encontrar el valor de y. Como vimos para que se verifique la segunda ecuacin "y" deba ser igual a 15 x , ahora dado que x = 5 , resulta el valor de y es 10. As, la respuesta al problema planteado ser: para que el criador de animales obtenga una mezcla de 15 kg. con un aporte de 600 gramos de grasa deber usar 5 kg de alimento A y 10 kg de alimento B. Tambin podemos especificar la solucin, de una manera ms algebraica diciendo que: El par (x , y) = (5 , 10) es la solucin del sistema.

Visualizacin grfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas Ahora agreguemos al grfico anterior las soluciones de la segunda ecuacin. Como nos interesa los valores de x y de y que verifiquen simultneamente ambas ecuaciones, la solucin al sistema estar dado por la interseccin entre ambos conjuntos de soluciones, es decir por el punto de encuentro entre las dos rectas.y 20

10

15

x

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En este caso hemos encontrado una nica solucin a nuestro problema, pero esto no siempre ocurre. Veamos el siguiente sistema

2 x + y = 10 3 x + 3 y = 15 2 Despejemos y de la primera ecuacin y = 10 2 x sustituimos y en la segunda ecuacin por su expresin equivalente y operamos, resultando: 0 x + 15 = 15Hemos obtenido una identidad! Esto significa que cualquiera sea el valor de x, verifica la ecuacin propuesta. Toda vez que ello suceda diremos que el sistema es compatible indeterminado, compatible porque admite solucin e indeterminado pues para cada valor de "x", "y" asumir el valor "10 2x", como lo estableca la primera ecuacin. As la solucin como par ordenado en este caso ser:

( x , y ) = ( x , 10 2 x)

xR

x R se lee Para todo x que pertenece a los reales

Finalmente consideremos el siguiente sistema, 2 x + y = 10 3x + 3 y = 20 2 Es muy parecido al anterior, y los clculos son bastantes similares Despejemos y de la primera ecuacin y = 10 2 x sustituimos y en la segunda ecuacin por su expresin equivalente y resolvemos.Materia: Herramientas Matemticas I- lgebra Profesora: Nancy Stanecka

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Realizando las operaciones indicadas, resulta 0 x + 15 = 20Llegamos a una proposicin que es falsa! obviamente 15 no es igual a 20, esto significa que no existen valores de x e y que verifiquen simultneamente las dos ecuaciones propuestas. Toda vez que ello suceda diremos que el sistema es incompatible, es decir no posee solucin.

Resumiendo un sistema de ecuaciones lineales ser:Compatible determinado: cuando el sistema posea una nica solucin. Compatible indeterminado: cuando el sistema posea mltiples soluciones. Incompatible: cuando el sistema no admita solucin. Sistemas de ecuaciones con tres incgnitas

Si tenemos ecuaciones lineales con tres incgnitas se procede de manera similar teniendo en cuenta que nuestro conjunto solucin, si existe, debe estar compuesto por ternas ordenadas. La idea bsica es pasar de un sistema de tres ecuaciones a un sistema de dos ecuaciones y luego resolver como antes. Veamos cules son los pasos a seguir, insistiendo en el mtodo de sustitucin. Consideremos el sistema:2 x y + 3 z = 3 x z = 2 x + y + z = 6 El primer paso es despejar una de las incgnitas de cualquiera de las ecuaciones, en nuestro caso conviene despejar x de la segunda ecuacin. x = 2 + z Sustituimos el valor de x por la expresin anterior, en las ecuaciones restantes 2 (2 + z) y + z = 3 (2 + z) + y + z = 6 Operamos algebraicamente en cada ecuacin, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitasMateria: Herramientas Matemticas I- lgebra Profesora: Nancy Stanecka

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y+3z =7 y+2z =8

Resolviendo como antes resulta que y = 2 y z = 3 , pero para encontrar el valor de la solucin, falta hallar el valor de x. Como esta variable haba sido despejada anteriormente: x = 2 + z Reemplazamos z por 3, de donde surge que x=1 As nuestro sistema es compatible determinado, siendo su nica solucin la terna (x, y , z ) = (1 , 2, 3) Al igual que en el caso de dos ecuaciones con dos incgnitas se podra haber presentado una situacin de indeterminacin o incompatibilidad. En todos los casos los resultados pueden ser verificados a travs de su reemplazo en las ecuaciones originales, este es un punto en que no nos detendremos, pero que sugerimos como forma de auto-evaluacin.

INECUACIONESInecuaciones con una incgnita

Analicemos las siguientes expresiones: El nmero de inscriptos no llega a 40. Se deben imprimir por lo menos 600 copias. El total de empleados no pasa de 55. El porcentaje de desercin es superior al 30%. Las podremos expresar matemticamente? La respuesta es s. Si llamamos x al nmero de inscriptos, podemos simbolizar la primera expresin como x < 40 Si llamamos y a la cantidad de copias a imprimir tendremos y 600 Si llamamos z a la cantidad de empleados surge que z 55 Finalmente, llamando w al porcentaje de desercin se tiene que w > 30

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Como vemos estas y otras relaciones, mucho ms complejas, se pueden expresar matemticamente como desigualdades que involucran incgnitas, en tales casos decimos que estamos en presencia de inecuaciones. FormalmenteUna inecuacin es una desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunos valores de sus letras, a las que denominamos incgnitas.

El objetivo es encontrar el conjunto de valores de las incgnitas que verifican la desigualdad, este conjunto se denomina SOLUCIN DE LA INECUACIN. Ejemplifiquemos este ltimo concepto: 1) Si x pertenece a los nmeros naturales y x < 5 , entonces el conjunto solucin de esta inecuacin es: S = { 1, 2, 3, 4 } 2) Si x pertenece a los nmeros enteros y x < 5 , entonces el conjunto solucin de esta inecuacin es: S = {. . . 1, 0 , 1 , 2, 3, 4 } 3) Si x pertenece a los reales y x < 5 , entonces el conjunto solucin ya no puede ser expresado por enumeracin de sus elementos sino que debe recurrirse a la notacin por intervalos: S=( ,5) De estos ejemplos surge una primera observacin: En la resolucin de una inecuacin es fundamental el conocimiento del conjunto de referencia Concentraremos nuestra atencin en las inecuaciones definidas sobre el conjunto de los reales. Para avanzar sobre el tema revisemos algunas propiedades de las desigualdades:Propiedades de las desigualdades

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Propiedad 1: Si a ambos miembros de una desigualdad se agrega la misma cantidad, el sentido de la desigualdad no cambia.

4 < 7 4 < 7

4 + 2 6 8 > 6

2.8 > 2.6 1/2 . 8 > 1/2 . 6

Propiedad 3: Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte.

8 > 6 2 . 8 < 2 . 6 8 > 6 1/2 . 8 < 1/2 . 6 Estas propiedades nos servirn para encontrar el conjunto solucin de cualquier inecuacin, efectivamente con ellas podemos transformar inecuaciones de aspecto complicado en inecuaciones simples. Veamos como hacerlo a travs de ejemplos. Ejemplo 1: Sea la inecuacin x3 -6 Grficamente:Materia: Herramientas Matemticas I- lgebra Profesora: Nancy Stanecka Pgina 13

( -6

En cuanto a la mecnica de resolucin de inecuaciones es muy similar a la de ecuaciones con la salvedad de que hay un caso en el cambia el sentido de la desigualdad. Cul es ese caso? La respuesta est en este mismo texto.Inecuaciones lineales con dos incgnitas

Una inecuacin lineal con 2 incgnitas es aquella que responde a algunas de las siguientes estructuras: 1) ax + by + c 2) ax + by + c > 3) ax + by + c 4) ax + by + c < 0 0 0 0

En todos los casos el conjunto solucin ser un semiplano, es decir que el conjunto solucin puede ser representado como pares (x, y) en un sistema de ejes cartesianos. As como cuando tenamos una sola incgnita, despejbamos x, tombamos de referencia un punto y luego establecamos si eran los que estaban a la derecha a la izquierda de ese punto, ahora vamos a despejar y, tomaremos de referencia la recta que surge de igualar y al segundo miembro de la inecuacin y luego estableceremos si son los puntos que estn por encima por debajo de esa recta. Veamos como hacerlo en un ejemplo. Sea la siguiente inecuacin: 4x2y 6

Para despejar y pasamos 4x al segundo miembro 2y 64x El (2) est multiplicando pasa dividiendo, pero por ser negativo cambia el sentido de la desigualdad. y (6 4 x ) / (2) Aplicando propiedad distributiva resulta y 3 + 2 xMateria: Herramientas Matemticas I- lgebra Profesora: Nancy Stanecka

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Volviendo al objetivo que era encontrar los pares (x, y) que satisfacen la inecuacin, resulta que podemos usar de referencia la recta y = 3 + 2x Para graficar la recta basta encontrar dos puntos que pertenezcan a ella, es decir dos pares (x, y) que verifiquen la ecuacin. Por ejemplo: Si x = 0 y = 3 Si x = 3/2 y= 0Graficamos la recta que pasa por esos dos puntos

.Luego seleccionamos el semiplano formado por todos los puntos que verifican la inecuacin.

(3/2, 0)

(3/2, 0)

(0, 3) (0,3)

Qu ocurre si tenemos un conjunto de inecuaciones? En tal caso diremos que estamos en presencia de un sistema de inecuaciones y la solucin ser aquella regin del plano que satisfaga simultneamente todas las inecuaciones, grficamente sera la interseccin de las respectivas soluciones. Por ejemplo: 4 x 2 y 6 (1) 3 x + y 2 (2) En el ejemplo anterior encontramos la regin solucin a la primera inecuacin, falta ver cul es la solucin a la segunda. Nuevamente despejamos y y 23x Graficamos la recta en el mismo sistema de coordenadas cartesianas y encontramos la regin comn a ambas (zona rayada), esa es la solucin del sistema.Materia: Herramientas Matemticas I- lgebra Profesora: Nancy Stanecka Pgina 15

2

(1)

3/2

x

-3

(2) (2) semiplano superior a esta recta.

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