Ecuaciones e Inecuaciones

Módulo Matemática Ecuaciones e Inecuaciones

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EECCUUAACCIIOONNEESS EE IINNEECCUUAACCIIOONNEESS

ECUACIONES Un problema de ingenio frecuente es: — Pensar un número. — Sumarle 15. — Multiplicar por 3 el resultado. — A lo que se obtiene, restarle 9. — Dividirlo por 3. — Restarle 8.

Si la respuesta, es, por ejemplo, 32, el número pensado originalmente es 28. — 32.

¿Cómo se sabe?

Para contestar esta pregunta, expresemos en lenguaje simbólico todas las operaciones realizadas. Llamémosle x al número pensado originalmente (valor desconocido a averiguar). Entonces:

3283

93)15( =−−⋅+x

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:

324x328315x32839

33)15x(328

393)15x( =+⇔=−−+⇔=−−⋅+⇔=−−⋅+

Por lo tanto, realizar todos los cálculos pedidos equivale a simplemente sumarle 4 al número original. De esta manera, restándole 4 a 32 es fácil descubrir cuál había sido el número pensado en principio.

Observemos que para resolver el problema utilizamos una igualdad en la que un valor era desconocido. Muchos problemas se resuelven de manera similar, lo que originó el estudio de las…

Ecuaciones: Son relaciones de igualdad entre cantidades, algunas de ellas desconocidas. Por ejemplo: y + 2x = 5, x2 + a = b + 8, 2x + 9 = 17.


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En particular, cuando el valor desconocido es uno solo, a dicha ecuación la llamamos ecuación con una incógnita. Algunos ejemplos de ecuaciones con una incógnita son: a) 3x + 4 = 5x – 8 b) 2x2 + 20 = 24x –20 c) log x = 3 – log (x + 2)

Actividad:

• Si x toma los valores 6, –1 o 10, ¿cuáles de las ecuaciones anteriores se cumplen?

¿Cuáles no se cumplen?

.....................................................................................................................................

• ¿Podría determinar todos los valores de x que satisfacen la ecuación b)? ¿Por qué?

.....................................................................................................................................

Aquellos valores de x que satisfacen una determinada ecuación se los denomina soluciones de la ecuación. Por ejemplo: 5 es solución de la ecuación –2x + 4 = –x – 1 puesto que -2 . 5 + 4 = -6 = -5 - 1; sin embargo, 2 no es solución de esa ecuación puesto que –2 . 2 + 4 = 0, mientras que –2 – 1 = –3 y 0 ≠ –3. El conjunto solución de una ecuación determinada puede: & tener un solo elemento: por ej. 2x = 6, la única solución de esta ecuación es x = 3.

Verificarlo.

& tener un número finito de elementos: por ej. x3 + 21 x2 – 2

1 x = 0 tiene como soluciones solamente a 2

1 , –1 y 0. Verificarlo.

& no tener elementos: por ej. x2 = –4, ya que vimos anteriormente que todo número real elevado al cuadrado da como resultado un número no negativo. En este caso decimos que el conjunto solución es vacío.

& tener infinitos elementos: 2x – x = x, puesto que todo número real es solución de dicha ecuación. ¿Por qué?

Actividad:

• ¿Se puede encontrar una ecuación que tenga al número 2 como solución?

.....................................................................................................................................

• ¿Se puede encontrar una ecuación que tenga al número 2 como solución, pero que el

conjunto solución posea más de un elemento?

.....................................................................................................................................


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• ¿Se puede encontrar una ecuación que no tenga ninguna solución en R?

.........................................................................................................................................

• ¿Se puede decir cuál es el conjunto solución de la ecuación x + 2y = 5?

.........................................................................................................................................

Cuando dos ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, diremos que dichas ecuaciones son equivalentes. Por ejemplo, las ecuaciones 4x + 6 = x + 9 y x – 2 = –1 tienen ambas como conjunto solución al {1}. En el ejemplo introductorio, lo que hicimos fue encontrar sucesivas ecuaciones equivalentes a la dada en un principio, es decir, ecuaciones que tengan el mismo conjunto solución, de manera tal que resulten más fáciles de resolver que la primera. Así, la ecuación equivalente que obtuvimos fue x + 4 = 32, mucho más simple de resolver que la ecuación original 328

393)15x(

=−−⋅+ .

¿Cómo podríamos obtener ecuaciones equivalentes de una dada? Para esto, nos valemos de algunas propiedades básicas de las igualdades:

Si a, b, c y d son cuatro números reales cualesquiera, entonces valen las

propiedades siguientes: 1) Reflexividad: a = a, es decir, todo número es igual a sí mismo. 2) Simetría: a = b ⇒ b = a, es decir, dados dos números a y b, si el primero

es igual al segundo, entonces el segundo también es igual al primero. 3) Transitividad: a = b b = c ⇒ a = c, es decir, si un número a es igual a

otro b, y éste último es igual a un tercer número c, entonces el primero es igual al tercero.

4) Uniformidad con la suma: a = b ⇒ a + c = b + c, es decir, si se suma el mismo número a ambos miembros de una igualdad, se obtiene otra igualdad.

5) Uniformidad con el producto: a = b ⇒ ac = bc, es decir, si se multiplican ambos miembros de una igualdad por el mismo número, se obtiene otra igualdad.

Veamos cómo aplicar dichas propiedades en la resolución de algunas ecuaciones sencillas. Por ejemplo:


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31

x

31

131

x3

1x3)8(9)8(8x3

98x3

=

⋅=⋅

=−+=−++

=+

Es importante verificar que el valor obtenido satisface la ecuación porque un error

en los cálculos puede conducirnos a una solución incorrecta

Observación: ¿Qué sucedería si quisiéramos aplicar la propiedad uniforme de la

multiplicación con un valor x desconocido? Consideremos la ecuación 2x = 6

Multipliquemos ambos miembros por x. Resulta 2x2 = 6x

• ¿Cuál es el conjunto solución de la primera ecuación?

.....................................................................................................................................

• ¿Y de la segunda ecuación?

.....................................................................................................................................

• ¿Son ecuaciones equivalentes?

.....................................................................................................................................

Conclusión:

Si a ambos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

Actividad:

Determinar si los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes. Justificar.

• 3x – 5 = –2x y 3x – 5 + x2 = –2x + x2

• 3x + 4 = 6 y x + 4 = 36

• x2 = 3x2 – 5x y x = 3x – 5

• 4 . (–2x + 8) = 6x y –2x + 8 = 23 x

• –2 . (x + 9) = 8 y x + 9 = 8 + 2

(por la uniformidad con la suma)

(por la uniformidad con el producto)


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Clasificación de ecuaciones polinómicas Determinar el grado de cada polinomio del primer miembro y completar:

grado(P(x)) = .............. Ecuación lineal o de primer grado: grado(Q(x)) = .............. Ecuación cuadrática o de segundo grado:

grado(R(x)) = .............. Ecuación cúbica o de tercer grado:

x grado(S(x)) = ........... Ecuación de grado n: x

Resolución de ecuaciones de primer grado Con las propiedades vistas anteriormente estamos en condiciones de resolver cualquier tipo de ecuación de primer grado. Veamos ciertos casos particulares.

• Sea la ecuación lineal: 2x – 8 = 2(3 + x) Resolución:

68x2x26x28x2

x268x2)x3(28x2

=−−+=−−

+=−+=−

¿Qué significa esto? ¿Habremos cometido algún error durante el desarrollo? No se cometió ningún error. El absurdo provino de que la ecuación dada no tiene solución en los números reales, es decir, no existe ningún valor de x que satisfaga la ecuación. El conjunto solución de dicha ecuación es vacío. Sea la ecuación lineal: –10x = 5(2x – 4x) Resolución:

xx101

x10101

x10

x10x10

)x2(5x10)x4x2(5x10

=

−⋅−=

−⋅−

−=−

−=−−=−

(por propiedad distributiva) (por propiedad uniforme de la suma) (operando) ¡ABSURDO!

(operando)

(por propiedad uniforme del producto)


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Observemos que la ecuación equivalente que obtuvimos se verifica para cualquier valor de x. Esto quiere decir que cualquier número real verifica la ecuación inicial, es decir, el conjunto solución de dicha ecuación es infinito. Verificar esto con algunos ejemplos.

• Sea la ecuación lineal: 3x - 5 = 8 Resolución:

313

x

31

1331

x3

13x35855x3

85x3

=

⋅=⋅

=+=+−

=−

En este caso, existe un único valor de ( 313x = ) que verifica la ecuación original. El

conjunto solución es unitario.

Conclusión:

Dada una ecuación de primer grado, ésta tiene: • ninguna solución. • una única solución. • infinitas soluciones.

Resolución de ecuaciones de segundo grado Como hemos visto, una ecuación de segundo grado es de la forma:

, donde , o cualquier expresión equivalente a ésta.

¿Por qué se aclara que ? ....................................................................................................... Ejemplos:

–x2 + 5x – 8 = 6, puesto que es equivalente a: –x2 + 5x – 14 = 0 x . (7 – x) = x, puesto que es equivalente a: –x2 + 6x + 0 = 0 5 = 3x2 – 2, puesto que es equivalente a: 3x2 + 0x – 7 = 0 (x + 2)2 = 0, puesto que es equivalente a: x2 + 4x + 4 = 0

(por propiedad uniforme de la suma)

(por propiedad uniforme del producto)


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Veamos un caso particular de resolución de una ecuación de segundo grado. Sea la

ecuación:

2x2 + 6x – 8 = 0

En primer lugar, extraemos 2 como factor común:

2.(x2 + 3x – 4) = 0

Ahora, tenemos que sumar y restar un número para que en la expresión entre paréntesis se forme un trinomio cuadrado perfecto. Este número es 4

9 . ¿Cómo lo obtuvimos? ¿Por qué lo sumamos y restamos? La expresión resulta:

2.(x2 + 3x + 49 – 4

9 – 4) = 0

Factorizando el trinomio y operando:

2.[(x + 23 )2 – 4

25 ] = 0

Dividiendo ambos miembros por 2 y despejando el binomio al cuadrado, resulta:

(x + 23 )2 = 4

25

Como ambos miembros son positivos, podemos calcular sus raíces cuadradas, y se

obtiene:

x + 23 = ± 2

5

De donde: x = 2

5 – 23 = 1, o bien x = – 2

5 – 23 = –4

Por lo tanto, la soluciones de la ecuación son {1, –4}. Verificarlo. A este procedimiento se lo conoce como “completamiento de cuadrados”. Apliquemos, ahora, el completamiento de cuadrados para resolver una ecuación general de segundo grado:

donde

0ac

xab

xa 2 =

++⋅ (podemos hacerlo pues )

En este caso, debemos sumar y restar 2

2

a4b para obtener un trinomio cuadrado perfecto.

0ac

a4b

a4b

xab

xa 2

2

2

22 =

+−++⋅ ⇒ 0

42 2

22

=

+−

+⋅

ac

ab

ab

xa


64

Dividiendo por , calculando el denominador común y despejando el binomio

al cuadrado, resulta:

2

22

a4ac4b

a2b

x−

=

+ ⇒ 2

2

a4ac4b

a2b

x−

±=+ ⇒

⇒ a2

ac4ba2

bx

2 −±=+ ⇒

a2ac4b

a2b

x2 −±

+−= ⇒

⇒ a2

ac4bbx

2 −±−=

Observemos que, mediante este desarrollo genérico, hemos conseguido obtener una fórmula que nos permite conocer las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado, sin tener que aplicar el procedimiento de completamiento de cuadrados cada vez que queremos resolver una ecuación cuadrática. Esta fórmula es la resolvente de la ecuación de segundo grado.

Ejemplo: Si queremos hallar las soluciones de la ecuación –2x2 – 3x = –2, en primer

lugar debemos llevarla a la forma general ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, es decir, –2x2 –

3x + 2 = 0.

En este caso particular, tenemos que a = –2, b = –3 y c = 2. Luego, utilizando la fórmula

ya vista las soluciones están dadas por: )2(2

2)2(4)3()3(x

2

2,1 −−−−±−−

= .

Operando se tiene: 453x 2,1 −

±= , es decir 2453

x1 −=−+

= y 21

453x 2 =

−−= .

Veamos qué información nos puede brindar sobre las soluciones la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado:

• Supongamos que tenemos una ecuación de segundo grado en la que acb 42 − = 0.

¿Cómo influye esto en el conjunto solución?

.....................................................................................................................................

• Supongamos que ac4b2 − < 0. ¿Qué sucede en este caso? ¿Cómo son las soluciones?

.....................................................................................................................................


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¿Qué sucede, en cambio, cuando ac4b2 − > 0? ¿Cómo son las soluciones?

.....................................................................................................................................

Observación: Notemos que al obtener las soluciones de una ecuación polinómica de la forma lo que se hace es hallar las raíces del polinomio

. Conocidas las raíces 1r y 2r , esto nos permite escribir al polinomio en la forma ))(()( 21 rxrxaxP −−= , es decir, escribirlo totalmente factorizado.

Recíprocamente, si tenemos un polinomio escrito de la forma ))(()( 21 rxrxaxP −−= , es decir, factorizado, sabemos que 1r y 2r son las soluciones de la ecuación

)rx)(rx(a 21 −− = 0.

Conclusión:

Dada una ecuación de segundo grado, ésta tiene:

• ninguna solución real. • una única solución real doble. • dos soluciones reales distintas.

Ejemplo: Sea el polinomio P(x) = 4x2 + 8x – 12. Para hallar las raíces, planteamos la ecuación 4x2 + 8x – 12 = 0 y encontramos sus soluciones mediante la fórmula resolvente de la ecuación de segundo grado: 1r = 1, 2r = –3.

Luego, el polinomio factorizado resulta: P(x) = )3x)(1x(4 +− .

Actividad

Resolver las siguientes ecuaciones:

• x2 – 5x = 2x2 + 6x + 2 – x2 • 2x2 = –18 • x.(x – 1)(x + 2) = x3

• – 32 x2 + 2 x – 2

1 = 0

• (x + 3)2 = 12x • x2 + 3x = 3.(x2 + x) – 2x2

Resolver los siguientes problemas:

• Julieta empleó la mitad de su dinero en comprar ropa y la mitad del resto en paseos. Si aún le quedan $10, ¿cuánto dinero tenía?

• La edad de Pablo elevada al cuadrado es igual a cinco veces la edad que tendrá dentro de 10 años. ¿Qué edad tiene Pablo?


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Ecuaciones fraccionarias que se resuelven mediante ecuaciones de primer y segundo grado

Llamamos ecuaciones fraccionarias a aquellas de la forma 0)x(Q)x(P

= , donde y

son polinomios, , o a aquellas ecuaciones que se pueden llevar a esta forma. Por ejemplo, son ecuaciones fraccionarias:

321 =

−+

xx pues es equivalente a 0

2720

263103

21 =

−+−⇔=

−+−+⇔=−

−+

xx

xxx

xx .

0251

=+xx

pues es equivalente a 0270

252 =⇔=+

xx.

02

432

3

=+

+−x

xx

Intentemos resolver la siguiente ecuación fraccionaria: 0112

=+−

xx . Para esto, aplicamos

las propiedades ya conocidas. Multipliquemos ambos miembros por x +1:

)1x(0)1x(1x1x2

+⋅=+⋅+− ⇒ 01x 2 =− ⇒ 1x1 = y 1x 2 −= .

Verificar si 1x y 2x son solución de la ecuación original. ¿Qué sucede? ¿Qué error

hemos cometido?

.............................................................................................................................................

Conclusión:

Cuando resolvemos una ecuación del tipo 0)()(

=xQxP , debemos descartar como

posibles soluciones a los valores de x que anulan el denominador Q(x), es decir, los

valores que satisfacen la ecuación Q(x) = 0. Esto se debe a que no está definida la

división por 0.

Actividad

Resolver y verificar las soluciones encontradas:

a) 2x2

1x =− b) 13x2

x3 −=+

c) 02x

42x

3 =+

+−

d)

x6x6

3x3x

+−=

+−


67

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Analicemos ahora las ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo: Para encontrar una solución de dicha ecuación, debemos hallar un par de números que la satisfaga. A diferencia de lo que ocurre con las ecuaciones lineales con una incógnita, en las ecuaciones lineales con dos incógnitas siempre se encuentran infinitas soluciones . Notemos que si despejamos la incógnita en la ecuación dada, obtenemos Entonces para cada valor de encontramos un valor de Este par de números es una de las infinitas soluciones de la ecuación dada. Por ejemplo, los siguientes pares de números son solución de la ecuación :

.

En efecto, si reemplazamos estos valores en la ecuación inicial dada por todas las soluciones en la ecuación inicial dada veremos que se satisface la igualdad:

A continuación expresamos el conjunto formado por todas las soluciones de la ecuación dada, llamado el conjunto solución o solución general:

Otra forma de hallar los pares que son solución de la ecuación dada es despejando la variable obteniendo el conjunto solución

Observemos que ambos conjuntos solución son equivalentes, aunque estén expresados de distinta manera. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Algunos problemas nos conducen a plantear desigualdades. Resolvamos la siguiente situación.

El tanque de nafta de un auto puede contener hasta 45 litros. Tiene conectado un sistema automático de alarma que se enciende cuando sólo quedan 8 litros en él. ¿Cuántos litros de nafta es posible cargar cuando recién se enciende la señal?

Si con x designamos la cantidad de litros que podemos cargar, el problema queda planteado con la siguiente desigualdad:

8 + x ≤ 45 donde 8 representa la reserva, x los litros a cargar y 45 la capacidad máxima del tanque. La desigualdad planteada es una inecuación.

Definición: Una inecuación es una desigualdad que contiene incógnitas (valores

desconocidos).

De la misma forma que para resolver ecuaciones necesitamos conocer las propiedades de las igualdades, ahora necesitaremos conocer las propiedades de las desigualdades para poder resolver inecuaciones.


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Propiedades de las desigualdades

• Consideremos la desigualdad –2 < 7 y sumemos a ambos miembros el número 8.

¿Cómo es dicha desigualdad respecto de la original?

................................................................................................................................

• Consideremos la misma desigualdad, –2 < 7, pero sumemos a ambos miembros

el número negativo –8. ¿Cómo es dicha desigualdad respecto de la original?

.....................................................................................................................................

Conclusión:

& Si sumamos a ambos miembros de una desigualdad un número real cualquiera, la desigualdad se mantiene en el mismo sentido. En símbolos: Sean a, b, c ∈ R, si a < b, entonces a + c < b + c.

• Ahora, consideremos la desigualdad 5 < 10 y multipliquemos ambos miembros

por 4. ¿Cómo es dicha desigualdad respecto de la considerada?

................................................................................................................................

• Partamos de la misma desigualdad, 5 < 10, y multipliquemos ambos miembros

por el número negativo –4. ¿Cómo es dicha desigualdad respecto de la considerada?

................................................................................................................................

Conclusión:

& Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, la desigualdad resultante mantiene el sentido de la primera. En símbolos: Sean a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c & Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad resultante cambia su sentido respecto de la primera. En símbolos: Sean a, b, c ∈ R, a < b y c < 0, entonces a.c > b.c

Ahora estamos en condiciones de resolver el problema planteado en un principio. Debíamos resolver la inecuación: 8 + x ≤ 45. Resolución:

37x)8(45)8(x8

miembros) ambos a 8 (sumando 45x8

≤−+≤−++

−≤+


69

Luego, podemos cargar cualquier cantidad de litros, siempre que sea menor o igual que 37.

Veamos otro ejemplo: resolver la inecuación 43

4x2 ≤+− .

Resolución:

4x218

21x2

cambia) ddesigualda lay 21por miembros ambos amos(multiplic 8x2

)4(12)4(4x2124x2

3433

4x2

mantiene) se ddesigualda lay 3por miembros ambos amos(multiplic 43

4x2

−≥

−⋅

−⋅−

−≤−

−+≤−++−≤+−

⋅≤⋅+−

≤+−

≥

• Dar dos valores de x que verifiquen la inecuación original y dos valores que no la

verifiquen.

................................................................................................................................

• ¿Cuántos son los valores de x que verifican la inecuación del ejemplo? Graficarlos

en la recta numérica.

................................................................................................................................

Observación: El conjunto solución puede ser expresado utilizando la notación de intervalos. En el ejemplo, el conjunto solución es el intervalo [–4, +∞).

Actividad

• Consideremos la siguiente inecuación: 30)5x(38x3 ++⋅−≥+− . ¿Cuál es su

conjunto solución?

................................................................................................................................

• Dada la inecuación: x32

5x2 +≤+ . ¿Cuál es su conjunto solución?

................................................................................................................................

Hay situaciones en las que los valores requeridos deben satisfacer dos condiciones a la vez o simplemente alguna de ellas. Veamos cómo proceder en cada uno de estos casos.


70

Encontrar los valores reales de x que satisfacen:

1) 22x21 <− y 10x2 ≤− (ambas condiciones deben satisfacerse a la vez)

La solución de la primera inecuación está dada por {x ∈ R: x < 8} = (–∞, 8). Por otra parte, para la segunda ecuación, el conjunto solución es: {x ∈ R: x ≥ –5} = [–5, +∞).

La solución del ejercicio está dada por los x que satisfacen ambas inecuaciones a la vez, es decir, los valores de x que pertenecen a ambos conjuntos solución. En símbolos: {x ∈ R: x < 8 y x ≥ –5} = (–∞, 8) n [–5, +∞) = [–5, 8). Gráficamente:

2) x23

2x −−≤+ o 21x ≥− (los valores de x deben satisfacer al menos una de las

inecuaciones) La solución de la primera inecuación está dada por {x ∈ R: x ≤ –2} = (–∞, –2]. Por otra parte, para la segunda ecuación, el conjunto solución es: {x ∈ R: x ≥ 3} = [3, +∞). La solución del ejercicio está dada por los x que satisfacen al menos una de las inecuaciones, es decir, los valores de x que pertenecen a un conjunto solución o al otro. En símbolos: {x ∈ R: x ≤ –2 o x ≥ 3} = (–∞, –2] U [3, +∞). Gráficamente: Actividad

Resolver las siguientes inecuaciones y expresar su conjunto solución mediante

intervalos, graficándolos en la recta numérica.

a) 51x43 −≥+

b) ( ) ( )2a23a23 +⋅≤−⋅−

[ )

-5 8

] [

3 -2


71

c) Las edades de Hernán, Darío y Guido suman más de 52 años. Hernán es un año menor que Guido y tres años mayor que Darío. ¿Qué edad tiene como mínimo Hernán?

d) 28z5 >− y 5z −≤

e) 13

2x2

3x ≤++−

f) 3

x212

1x −>− o 5x31

)2x(21 +<−⋅


72

TTRRAABBAAJJOO PPRRÁÁCCTTIICCOO –– EECCUUAACCIIOONNEESS EE IINNEECCUUAACCIIOONNEESS 1)

a) La solución de la ecuación 4x – 8 = 2x – (–x) – (–1) es: • un número fraccionario y entero. • un número entero y negativo. • 9

• 79

• ninguna de las anteriores. b) La solución de la ecuación: 5x + 10x –6 – 9 + 4x = x + 3 – 12 es:

• 15

• 32

• 23

•

−

32

• ninguna de las anteriores.

c) El valor de m que pertenece a N y que es solución de la ecuación m + 3(4m – 6) = –10 + 2(3m –5) es:

• 0 • inexistente

•

−

72

• 2 • ninguna de las anteriores.

2) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado y determinar la cantidad de

elementos del conjunto solución:

a) )x15(21

x4 +=+ b) yyyyy 2)4(5)2)(1( −−−=+−

c) 6

185)9(3

xx

+−=+ d)

32

a561

a3

4a2a

25

−=

++

−−+

e) )(3 axxa −=− a – x = 3(x – a), siendo x la incógnita y a a un número real fijo.


73

f) )1(445 ttt +=−+

g) )4(62 +=− xy , siendo ambas, x e y , incógnitas.

3) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones e identificar cuáles de ellas son

equivalentes:

a) (y – 41 )2 = 16

9 d) 3x2 + 3(3x – 1) = 2(3x + 2x2) – 13

b) ( 65 x + 3)2 = 5x + 8 e) w2 – 2

1 w – 21 = 0

c) –3(x – 1)(x + 21 ) = 0 f) – 2

1 x2 = – 23 x – 5

4) Factorizar los siguientes polinomios: a) P(x) = x2 – 25 c) R(x) = 3x2 – 12x – 63 b) Q(x) = –2x2 + x – 10 d) S(x) = 3x2 – 12x + 12

5) Responder: a) ¿Es posible encontrar valores de x que satisfagan 31)2(5)3)(3( ++=−+ xxx

y 04

15x3 =+ al mismo tiempo?

b) ¿Es posible encontrar valores de t que satisfagan tt 48 2 −= y t34

32t2 2

=+

simultaneamente?

6) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.

a) El conjunto solución de la ecuación 15x

xx2 2

−=− está dado por { }7,0 − .

b) El par (x, y) = (5, 2) es solución de la ecuación 3x2 – 2y = 51 + 10y.

c) Las ecuaciones 03a)3a( 2

=+

+ y 03a =+ son equivalentes.

d) 1 es raíz doble del polinomio P(x) = x2 + x – 2. 7) Resolver los siguientes problemas:

a) De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido; después, la tercera parte del resto y quedan aún 1.600 litros. Calcula la capacidad del depósito.

b) Halla dos números naturales impares consecutivos tales que su producto sea 255.

c) Un poste de luz de 7 m. se rompe y al doblarse, la punta de la sección rota toca el suelo a 3 m. de la base del poste. ¿A qué altura se rompió? (Ayuda: utilizar el Teorema de Pitágoras).


74

d) Pienso un número, le sumo 5, a este resultado lo multiplico por 3 y el nuevo resultado lo divido por 10. Obtengo así 6. ¿Qué número pensé?

e) El perímetro del siguiente triángulo es 24 cm. ¿Cuál es la longitud de cada uno de sus lados?

f) Un rectángulo tiene por dimensiones el triple y el quíntuplo del lado de un

cuadrado. Calcula las dimensiones de ambos cuadriláteros, sabiendo que la diferencia entre sus áreas es de 2015 cm2.

8) Resolver y representar gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones:

a) 5x < –5 b) 2x + 3 ≥ 7 c) 8x23

4x2 +≥− d) 48x21

<− y

37

35x

<+−

e) ( ) 523x >⋅− o ( ) 81x2 <−⋅−

f) x310x3x5 +−<+− y ( )3x3x35x 22 −⋅≤+−

9) Resolver los siguientes problemas:

a) Recuerda que cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Imagina que x e y son dos lados de un triángulo cuyo valores son x = 1 e y = 12. ¿Qué podrías decir del lado z?

b) Un padre, para estimular a su hijo a que estudie matemática, promete darle $3 por cada ejercicio bien resuelto, pero, por cada uno que esté mal, el hijo le dará $2. Ya van por el ejercicio 26 y el muchacho recibe de su padre $38. ¿Cuántos ejercicios ha resuelto bien y cuántos mal?

c) Un matrimonio dispone de $130 para asistir a un espectáculo con sus hijos. ¿Cuántos pueden ser éstos si ese dinero no alcanza para tomar localidades de $25 cada una y, en cambio, sobra para tomar localidades de $20 cada una?

d) Por ahora yo tengo el doble de tu edad. Pero cuando tú tengas mi edad, la suma de los cuadrados de nuestras edades será 26 veces la suma de las mismas. ¿Cuál es la edad de cada uno?

15x2 −

x1− x−3

Ecuaciones e Inecuaciones

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