Cantidades y Magnitudes-Modelos Matematicos Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

5/21/2018 Cantidades y Magnitudes-Modelos Matematicos Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

1/15

PROGRAMA DE SEGUNDA ESPECIALIDADDIDCTICA DE LA MATEMTICA EN EDUCACIN SECUNDARIA

UGEL 04, 05 y 06

SESION N 03

EQUIVALENCIAS ENTRE CANTIDADES Y MAGNITUDESMODELOS MATEMATICOS HACIENDO USO DE ECUACIONES E INECUACIONES

LINEALES.

1 Reflexin dede l! "#!$%i$! & C!n%id!d ' M!(ni%)de

La medicin es la tcnica por medio de la cual asignamos un nmero a una propiedad fsica, comoresultado de una comparacin de dicha propiedad con otra similar tomada como patrn, la cual seha adoptado como unidad.

Una habitacin cuyo suelo est cubierto de losetas, tal como se ve en la figura, tomando unaloseta como unidad, y contando el nmero de losetas medimos la superficie de la habitacin, 3

losetas. !n la figura siguiente, la medida de la misma superficie da una cantidad diferente" #$losetas.

%efina Ud. La concepto de magnitud y cantidad usada en las losetas para la habitacin de nuestrocaso y &ue necesidad infiere para e'presar esta magnitud fsica ()uperficie*++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++..

%efina Ud. La importancia de la unidad de medida de losetas para la habitacin de nuestro caso,con la finalidad de &ue sea e'presada en forma numrica y con atributos medibles.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

2 Reflexin dede l! *#+$%i$! & E$)!$i,ne e Ine$)!$i,ne line!lea* !n el trayecto a tu trabao observas &ue un poste de lu- (longitud nominal de 3 pies*

se ha &uebrado (producto de algn impacto en el poste de lu-*, donde la punta de la seccinrota toca el suelo a 3 m de la base del poste. /os preguntan" 01 cuntos metros de la base

1

Responsable: Prof: Consuelo Pozo Garrido


2/15


UGEL 04, 05 y 06

se rompi el poste2 (odela la e'presin en trminos algebraicos con la finalidad dedeterminar lo solicitado de a cuantos metros de la base se produo la fractura del poste*

b* !l consumo en una cafetera de"4. Un vaso de limonada, tres sand5iches y siete bi-cochos ha costado # cheln y

peni&ues,.44. mientras &ue un vaso de limonada, cuatro sand5iches y die- bi-cochos vale # cheln y $

peni&ues. 6allar cul es el precio" %e un vaso de limonada, un sand5ich y un bi-cocho. %e dos vasos de limonada, tres sand5iches y cinco bi-cochos.

7esolver el problema recordando &ue # cheln vale # peni&ues.

%e acuerdo a la situacin planteada responda las siguientes preguntas"

C!, !-%etermine el modelamiento matemtico de caso de la rotura del poste de lu-, con la finalidad dee'presar el registro literal en el algebraico, del sistema de ecuacin lineal con dos incgnitas.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

!l sistema de ecuaciones obtenido se puede clasificar, como de 8ompatible, 4ncompatible o4ndeterminado, por &u92

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Luego de efectuar la e'presin algebraica, compruebe el resultado obtenido, haciendo uso del registrogrfico, para el caso del poste de lu-

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

2



3/15


UGEL 04, 05 y 06

C!, -%etermine el modelamiento matemtico de caso de la rotura del poste de lu-, con la finalidad dee'presar el registro literal en el algebraico, del sistema de ecuacin lineal con dos incgnitas.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++!l sistema de ecuaciones obtenido se puede clasificar, como de 8ompatible, 4ncompatible o4ndeterminado, por &u92

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Luego de efectuar la e'presin algebraica, compruebe el resultado obtenido, haciendo uso del registrogrfico, para el caso del poste de lu-

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++3 M!(ni%)de ' C!n%id!de

L! Medid! de M!(ni%)de. 8onstituye una parte esencial del aprendi-ae matemtico. %e un ladopor su valor funcional derivado de su aplicabilidad a diversos campos y situaciones (la medida demagnitudes es elemento fundamental para comprender e interpretar adecuadamente la realidad:no se concibe la vida cotidiana sin las magnitudes y la medida (volumen del depsito de unvehculo, distancias a recorrer, peso, relaciones comerciales, superficies de viviendas, capacidad

de una copa, etc.**, de otro por su valor altamente formativo (se eercitan constantemente lacomparacin, el orden, el clculo, el maneo de la informacin, etc.*, y, por otro, ;... por constituirelementos bsicos necesarios para la construccin de otros conocimientos matemticos"numricos, mtricos, geomtricos, etc.< (=unta de 1ndaluca, #>>*.

M!(ni%)d. !s una propiedad, caracterstica fsica o atributo observable de los cuerpos, entes,colecciones, fenmenos o situaciones, &ue se manifiesta en distintos grados o intensidades,normalmente infinitos, cada uno de los cuales recibe el nombre de cantidad de magnitud.

)egn su naturale-a hay dos tipos de magnitudes"

4. agnitudes fundamentales" son a&uellas &ue son bsicas, no dependen de otras y hansido elegidas por su frecuencia de uso. !s el caso de la masa, la longitud y el tiempo.

44. agnitudes derivadas" son a&uellas &ue se definen a partir de las magnitudesfundamentales, dependen de ellas y pueden ser e'presadas por frmulas a partir destas (!." v ? e @ t (velocidad ? espacio @ tiempo**.

Aeniendo en cuenta la forma en &ue se e'presan, las magnitudes pueden ser"

a. agnitudes escalares" se definen e'clusivamente mediante un nmero, como ocurre

con la temperatura o el tiempo.

3



4/15


UGEL 04, 05 y 06

b. agnitudes vectoriales" son a&uellas &ue para definirlas hay &ue especificar, ademsde un nmero o mdulo, su direccin y sentido (!." la velocidad*.

Bor otra parte, hay magnitudes con sustrato o soporte fsico maneable (longitud, peso, superficie*y sin dicho sustrato fsico (tiempo, temperatura*.

C!n%id!d.Una cantidad de una magnitud es una manifestacin concreta o en un caso particularde la misma (!." una hoa de papel tamaCo folio presenta en cada cara una cantidad especfica dela magnitud superficie. %icha cantidad puede ser la misma cantidad de superficie de una baldosacuadrada o de la cantidad de papel del desarrollo plano de las caras de un cubo. 4gualmente,dicha cantidad ser distinta de otras cantidades de la misma magnitud, como por eemplo de lacantidad de superficie del rectngulo de un campo de ftbol, &ue es mucho mayor*.

Aodos los obetos con la misma cantidad de una magnitud se dice &ue son e&uivalentes respectode dicha magnitud o cualidad o &ue presentan dicha magnitud o cualidad en el mismo grado (!."obetos &ue pesan igual o coches &ue tiene la misma longitud entre ees o personas &ue tienene'actamente la misma estatura*.

C,/*!#!$in de C!n%id!de. Las distintas cantidades de una magnitud se pueden comparar (deforma grosera, si es mayor, menor o igual, mediante diferentes procedimientos segn sea lamagnitud, o de forma precisa estableciendo la medida de cada una y efectuando posteriormente ladiferencia en uno o en otro sentido*, ordenar (segn su mayor o menor grado o intensidad: e."distintos pesos o longitudes se pueden ordenar mediante la relacin ;menor o igual &ue


5/15

x

1

x

2

y

1

y

2

L

x2

x1

y2

y1

x

y


UGEL 04, 05 y 06

.1 L! Re$%!.

!sta es otra de las formas de representar la ecuacin de la recta.

Bero antes de entrar en la ecuacin principal de la recta conviene recordar lo siguiente"

8ada punto 2x '4&ue pertenece a una recta se puede representar en un sistema decoordenadas, siendo x el valor de la abscisa (hori-ontal* e ' el valor de la ordenada(vertical*.

2x '4 5 2A$i! O#den!d!4

Re*#een%!$in (#+fi$! de l! l6ne! #e$%!

!n toda igualdad de la forma a' D by ? c, donde a,b,c 7, representa una ecuacin linealcon dos incgnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (', y*. !ste par ordenado

(', y* corresponde a un punto del plano cartesiano.

E7e/*l," la ecuacin L" ' D y ? E

Aabla de valores Frfico

x ' 2x '4 (, *# 3 (#, 3* E (, E*G# $ (G#, $*

Hbservaciones"

c* 1 toda ecuacin lineal (de primer grado* con dos incgnitas le corresponde grficamenteuna recta.

d* 8ada par ordenado de nmeros (', y* corresponde a las coordenadas de un punto &ue essolucin de la ecuacin dada, es decir satisface esta ecuacin.

e* Los puntos &ue cada par ordenado representa pertenecen a la recta correspondiente.

"ENDIENTE DE UN RECTA

)e denomina pendiente ;m< de una recta al grado de inclinacin ;< &ue tiene respecto del eede las abscisas (ee '*

x-x

y-ym

12

12=

.8 SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES.

5


1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y


6/15


UGEL 04, 05 y 06

Una ecuacin de la forma a' D by ? c se dice ecuacin lineal con dos incgnitas eindeterminada, es decir tiene infinitos pares (',y* como solucin.

)i se forma otra ecuacin de la mismas incgnitas y al mismo tiempo, se dice &ue se forma unsistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas, es decir tienen la forma "

a#' D b#y ? c#

a' D by ? c

Bara resolver estos sistemas de ecuaciones e'isten varios mtodos algebraicos.

.8.1 METODO DE ELIMINACI9N "OR SUSTITUCI9N" 8onsiste en despear de una delas ecuaciones, una de las incgnitas en funcin de la otra y )%i%)i#este valor en laotra ecuacin.

E7e/*l, " 3' D Ey ? 3#

E' D Iy ? EE

)e despea ;'< en la primera ecuacin" ' ?3

y431

)e )%i%)'een la segunda ecuacin" E( )

3

y431 D Iy ? EE @J3

)e multiplica por 3 y se resuelve el parntesis" #E G #Iy D #Ky ? #3

%e donde y ? K @ J2

1

y ? E

)e sustituye este valor en ' ?3

y431 &uedando ' ? $

1s el par solucin del sistema dado es 2:4.08mo comprobar &ue esto escierto2

.8.8 ELIMINACI9N "OR IGUALACI9N" 8onsiste en despear la misma incgnita enambas ecuaciones e igualar los valores de la variable elegida.

E7e/*l, " 3' y ? #3

' D 3y ?

!ligiendo la variable '"

G en la primera ecuacin"3

132yx +

=

6


Ambos !"o#$s %$

&x' so( )*+!"$s


7/15


UGEL 04, 05 y 06

G en la segunda ecuacin"2

3y-x =

Luego2

3y-3

132y =+

: despeando y se obtiene ' 5 ;8

7eempla-ando en la ecuacin ' D 3y ? ,

)e tiene ' D 3 JG ?

' G I ?

' ? I

%e donde x 5 3

1s, el par solucin del sistema es 23;84.

.8.3 ELIMINACI9N "OR REDUCCI9N" 8onsiste en multiplicar ambas ecuaciones porvalores de tal manera &ue los coeficientes de una de las incgnitas sean iguales y consignos distintos: en seguida se suman las ecuaciones resultantes.

E7e/*l,- >' G Ky ? 3 G3

M' G Iy ? I E

7esulta GM' D Ey ? G>I

K' G Ey ? #E

)umando, se obtiene" x 5 ' G Ky ? 3 ,)e tiene >(K* G Ky ? 3

M G Ky ? 3

GKy ? GE

%e donde ' 5 :

1s, el par solucin del sistema es 2


8/15


UGEL 04, 05 y 06

a ' D by ? c

al resolverlo por cual&uiera de los mtodos anteriores obtenemos para sus incgnitas lossiguientes valores"

abba

cbbcx

2121

2121

= :

abba

cacay

2121

1221

=

8omo el numerador y denominador de las soluciones del sistema son diferencias de dosproductos, podemos e'presar estas soluciones como determinantes de orden dos.

1l resolver determinante obtendrs un nmero real.

1hora bien, un determinante de orden dos se resuelve

dc

ba

? ad bc

Luego"

22

11

22

11

ba

ba

bcbc

x= :

22

11

22

11

ba

ba

caca

y=

Hbserva &ue el determinante de ambos denominadores es el mismo, ste se llamade%e#/in!n%e *#in$i*!ly sus elementos son los coeficientes de las incgnitas del sistema de

ecuaciones. )e designa por p.

8


D)!*o(!"

s$+(%!#)!

D)!*o(!"

#)()!"


9/15


UGEL 04, 05 y 06

1s" p ?

22

11

ba

ba

!ntonces, ': y sern respectivamente" ' ?

22

11

bc

bc : y ?

22

11

ca

ca

Pinalmente" ' ?p

x

: y ?p

y

E7e/*l, " $' Ky ? E

3' D y ? 3

8alculamos los tres determinantes"

p ?

23

8-5? # (GE* ? 3E

' ?

232

8-42? KE (G$I* ? 3E y y ?

323

425? #I #I ? 3E

Luego" ' ?p

x

?34

340? # : y ?

p

y

?34

34? #

1s, el par solucin del sistema es 21014. NN 8omprubalo OO9



10/15


UGEL 04, 05 y 06

.8.: M=TODO GR>?ICO "ARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES.

!n toda igualdad de la forma a' D by ? c, donde a,b,c 47 , &ue representa a una

ecuacin lineal con dos incgnitas ,las soluciones son pares ordenados de la forma (',y* .La representacin de los pares ordenados (',y* corresponde a un punto en el planocartesiano, por eemplo, en la ecuacin "

x @ ' 5

T!l! de !l,#e- G#+fi$,

1 toda ecuacin lineal (de primer grado* con dos incgnitas le corresponde grficamente unarecta.

8ada par ordenado de nmeros (', y* &ue satisface esta ecuacin, corresponde a lascoordenadas de un punto de la recta correspondiente.

!stos pares ordenados son solucin de la ecuacin, y los puntos &ue ellos representanpertenecen a la recta correspondiente.

5 Ine$)!$i,ne Line!le

!n el estudio de la matemtica adems del signo igual (?* aparecern los signos < , , > , &ue se utili-an para relacionar los nmeros o e'presiones algebraicas

cuando no son iguales.

Q " mayor &ue

R " menor &ue

" mayor o igual &ue

" menor o igual &ue

/osotros estamos acostumbrados a utili-ar estos signos pero no nos hemos dado el tiempo de

estudiarlos. Lo usamos en frases tan tpicas como, yo soy mayor &ue t, menos de S. no,te puedo prestar como m'imo S$., etc.

10


x y .x,y/

2 2 .2,2/

1 3 .1,3/

0 4 .0,4/

4

2

42x

y


11/15


UGEL 04, 05 y 06

!l conunto de los nmeros reales 47 es un conunto ordenado, por lo tanto podemoscomparar sus elementos mediante una relacin de orden y podemos decir &ue"

Bara a, b 47 se tiene"

a < b a b IR-

a > b a b IR+

a b a b IR 0+

a b a b IR 0

LEY DE TRICOTOMA

%ados a, b 47 se cumple &ue" a Q b a R b a ? b

E7e/*l,, tenemos los nmeros $ y >, ahora 0el $ es mayor &ue >2 o 0es menor2 o 0es igual2.Tasta con &ue cumpla una de esas.

EL AGRUPAMIENTO DE NMEROS

/osotros estamos acostumbrados a hablar de agrupamientos de nmeros, peromatemticamente como se escribiran" por eemplo ;1 m me dn entre S y S$ para veniral colegio>>


12/15


UGEL 04, 05 y 06

!. C!n%id!de ' M!(ni%)de-!n la figura adunta se representa una circunferencia, un cuadrado circunscrito y unhe'gono regular inscrito. 7epresentamos por % la longitud del dimetro de lacircunferencia.

%eterminar"

4. )i tomamos el dimetro de la circunferencia % como unidad de medida, 08ul esla medida del permetro del cuadrado2

44. 08ul es la medida del lado del cuadrado si tomamos el permetro como unidadde medida2

444. 08ul es la ra-n entre la longitud del permetro del cuadrado y el lado delcuadrado2

4V. )i tomamos el dimetro de la circunferencia % como unidad de medida, 08ul esla medida del permetro del he'gono inscrito2

V. 08ul es la medida del permetro del he'gono si tomamos el lado del he'gonocomo unidad de medida.

V4. 08ul es la medida del lado del he'gono si tomamos el permetro como unidadde medida2

V44. 08ul es la ra-n entre la longitud del permetro del he'gono y el dimetro de lacircunferencia circunscrita al he'gono2

V444. 08ul es la medida de la longitud de la circunferencia si tomamos % como unidadde medida2

4W. 0!ntre &u valores se encuentra comprendida dicha medida2

. E$)!$i,ne e Ine$)!$i,ne Line!le

#. )e va a fabricar una caa sin tapa con una hoa cuadrada de cartn. Bara ello, en cadaes&uina de la hoa cuadrada hay &ue cortar un cuadrado de 3 pulgadas por lado ydespus doblar las partes restantes para formar la caa. )i la caa tendr un volumen de#K pulgadas cbicas, 0cunto deber medir por lado la hoa cuadrada2

. Bara la pregunta anterior. 08unto deberan medir por lado los cuadrados &ue se recortanen las es&uinas si se &uiere obtener el mayor volumen posible2 X 08ul es el mayorvolumen posible2

3. 8on el resultado de la pregunta anterior, se &uiere obtener un volumen menor &ue #Kpulgadas cbicas. 08unto podran medir por lado los cuadrados &ue se recortan en laes&uinas2

12



13/15


UGEL 04, 05 y 06

A$%iid!d de %#!!7, indiid)!l

%e acuerdo a tu e'periencia como docente de matemtica, sabe &ue se debera hacer nfasis enel uso de los grficos a la hora de introducir a los estudiantes en el Ylgebra por primera ve-. !ssabido &ue algunos estudiantes comprenden meor una relacin si se les dibua, por tanto,deberan usarse los grficos desde el principio. La mayora de los estudiantes tienen problemas enescribir correctamente la ecuacin correspondiente a un determinado enunciado verbal. %ibuar elgrfico correspondiente a ese enunciado verbal es un buen eercicio intermedio y hace &ue losestudiantes desarrollen el pensamiento abstracto.

1 continuacin, te presentamos un problema en el &ue debers hacer primero un es&uemagrfico y luego buscar la estrategia adecuada"

#. 0Aiene solucin el problema. %iga las ra-ones2++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

. !s posible encontrara relaciones dentro del mismo enunciado, para encontrar lo solicitado.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

3. 0Aiene importancia la transformacin de magnitudes y@o cantidades de unidades2

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

E. !'plica el proceso de modeli-acin utili-ando el ra-onamiento algebraico para este casoparticular.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

13


!l consumo en una cafetera de"4. Un vaso de limonada, tres sand5iches y siete bi-cochos ha costado # cheln y peni&ues,.

44. mientras &ue un vaso de limonada, cuatro sand5iches y die- bi-cochos vale # cheln y $ peni&ues. 6allarcul es el precio"

a* %e un vaso de limonada, un sand5ich y un bi-cocho.b* %e dos vasos de limonada, tres sand5iches y cinco bi-cochos.

7esolver el problema recordando &ue # cheln vale # peni&ues.

Evaluacin


14/15


UGEL 04, 05 y 06

O7e%, /!%e/+%i$," signo, concepto &ue aparece en la actividad matemtica y del &ue se conocen

sus propiedades, operaciones, teoremas, etc: como los nmeros enteros, las funciones, los lmites,los polinomios, las matrices, etc.

M,del, /!%e/+%i$," es una construccin matemtica abstracta y simplificada, relacionada con unaparte de la realidad y creada para un propsito particular. 1s, por eemplo, un grfico, una funcin, ouna ecuacin pueden ser modelos matemticos de una situacin especfica.

Si(n,- )eCal &ue representa una operacin o caracteri-a una cantidad. M!(ni%)d- Una magnitud es una propiedad, caracterstica fsica o atributo observable de los

cuerpos, entes, colecciones, fenmenos o situaciones, &ue se manifiesta en distintos grados ointensidades, normalmente infinitos, cada uno de los cuales recibe el nombre de cantidad demagnitud.

C!n%id!d- Una cantidad de una magnitud es una manifestacin concreta o en un caso particular dela misma (!." una hoa de papel tamaCo folio presenta en cada cara una cantidad especfica de lamagnitud superficie. %icha cantidad puede ser la misma cantidad de superficie de una losetascuadrada o de la cantidad de papel del desarrollo plano de las caras de un cubo. 4gualmente, dichacantidad ser distinta de otras cantidades de la misma magnitud, como por eemplo de la cantidad desuperficie del rectngulo de un campo de ftbol, &ue es mucho mayor*.

Unid!d de Medid!- arbitraria de una magnitud &ue se adopta por convenio para comparar con ellacual&uier otra cantidad de la misma magnitud en procesos de medicin. Bara las longitudes se hanempleado el ZpieZ, la ZyardaZ o el ZmetroZ. Las unidades de medida se establecen y son tiles por dosmotivos"- la reali-acin de comparaciones precisas (meor &ue las comparaciones groseras en ms o en

menos, sin menospreciar su utilidad en algunas situaciones (esta sanda pesa ms &ue esta peromenos &ue a&ulla, aun&ue hay mucha diferencia entre las dos ms pe&ueCas . . 02**:

- el acuerdo y la comunicacin sobre mediciones precisas (todo el mundo sabe lo &ue significacuando se habla de una distancia de $ metros*.

E%#)$%)#! /!%e/+%i$!- !s a&uel conunto formado por elementos tales &ue es posible definir una oms operaciones, incluyendo propiedades.

Portino !scareCo y Hlga Leticia Lpe-(K*. atemticas 3. !ditoreal ArillasG e'ico. Fon-ales ar, =.L.(K* %idctica de las atemticas. agnitud, 8antidad, edida y /mero. 1lfonso 1rriaga 8oronilla y 6iginio Tarrn 7odrigue- (#>>$*. La !nseCan-a de las atemticas en

)ecundaria. )ecretara de !ducacin Bblica. 1rgentina. artne-. !cuaciones y Punciones Lineales.

%ireccin Feneral de ateriales y todos !ducativos de la )ubsecretara de !ducacin Tsica y7egular (#>>E*. Libro para el aestro atemtica de )ecundaria. )ecretara de !ducacin Bblica.1rgentina

14


Bibli!"a#$a % "e#e"encias

elect"nicas

&lsa"i


15/15


UGEL 04, 05 y 06

1lvaro olina 1yuso (M*. Brogramacin de la %idctica Bara las atemticas 4. 4ttaus, )ociedadpara la 4nformacin )L. )ierra ginaG=aen. !spaCa

15


Cantidades y Magnitudes-Modelos Matematicos Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

Documents

Transcript of Cantidades y Magnitudes-Modelos Matematicos Ecuaciones e Inecuaciones Lineales