ContenidoUnidad 1 - Bases de Conocimiento 1. Grandes Personajes Matematicos..................................................... Biografias 1.1 Thales de mileto............................................................................. 1.2 Pitagoras....................................................................................... 1.3 Eraststenes.................................................................................. 1.4 Diofanto........................................................................................ 1.5 Arquimedes.................................................................................. 1.6 Euclides....................................................................................... 1.7 Rene Descartes.......................................................................... 1.8 Gerolamo cardono...................................................................... 1.9 Blaise Pascal............................................................................. 1.10 Bhaskara................................................................................. 1.11 Carl Friedrich Gauss................................................................. 1.12 Apolonio de Perga.................................................................. 1.13 Leonard Euler.......................................................................... 1.14 Isaac Newton.......................................................................... 1.15 Gottfried Wilhelm Leibniz........................................................ 1.16 Leonardo Fibonacci................................................................. 1.17 Evariste Galois....................................................................... 1.18 Albert Einstein....................................................................... 1.19 Al-Jwarizmi........................................................................... 1.20 John Neper...................................................................................... 2. Terminologia Matematica................................................................. 2.1 Vocabulario.................................................................................... Unidad 2 - Creatividad Estimulativa 3. Generalidades Matematicas.............................................................. Ingenio y Recreacion 4. Desafios Matematicos....................................................................... 4.1 Cuadrado magico............................................................................. 4.2 Nmero en el abaco........................................................................ 4.3 Signos y numeros ocultos........................................................... 4.4 Signos y numeros ocultos.............................................................. 4.5 Sucesion de Fibonacci.................................................................. 4.6. Raices y potencias..........................................................................

4.7 Solucion de ecuaciones.................................................................. 4.8 Bases y logaritmos....................................................................... 4.9 Angulos desconocidos.................................................................. 4.10 Problema de galones.................................................................. 4.11 El conductor ms veloz.............................................................. 4.12 Producto de factores................................................................ 4.13 Fraccionarios equivalentes.......................................................... 4.14 Metodo ingenioso.................................................................... 4.15 Nombres Poliedricos.............................................................. 4.16 Binario a decimal.................................................................... 4.17 Adicion incompleta................................................................... 4.18 Potencias a decimales............................................................. 4.19 Descubrir numeros primos........................................................ 5. Mensajes......................................................................................... 5.1 Mensajes en Arbol..................................................................... 5.2 Historietas................................................................................ Unidad 3 - Problemas Algebraicos 6. Relaciones y Funciones.................................................................... 6.1 Parejas Ordenadas 6.2 Representacion del Producto cartesiano 6.3 representacion garfica de una funcion 6.4 Clases de Funciones reales 6.4.1 Funcion Lineal 6.4.2 Funcion Constante 6.4.3 Funcion Valor Absoluto 6.4.4 Funcion Parte Entera 6.4.5 Funcion Parte Compuesta 7. Razones y Proporciones 7.1 Razon............................................................................................... 7.2 Proporciones.................................................................................... 7.3 Magnitudes Proporcionales............................................................ a) Magnitudes Directamente Proporcionales b) Magnitudes Inversamente Proporcionales 7.4 Regla de Tres Simple...................................................................... a) Regla de Tres Simple Directa b) Regla de Tres Simple Inversa 7.5 Regla de Tres Compuesta..............................................................

8.Problemas Generales 8.1 Problemas Basicos.......................................................................... 8.2 Problemas Patrones Regla de tres................................................. 8.3 Porcentajes.................................................................................... 8.4 Problemas Patrones sobre Porcentajes......................................... Unidad 4 - Trabajo Geometrico 9. Sistema de Medidas......................................................................... 10. Logica y Conjuntos........................................................................... 11. Polinomios....................................................................................... 12.Geometria....................................................................................... Areas y Volumenes 13. Estadistica..................................................................................... Elementos Basicos, Graficacion, Medidas de Tendencia Central Unidad 5 - Introduccion al examen de estado 14. Evaluacion tipo ICFES................................................................. Estadistica Anexos Respuestas........................................................................................ Complemento Conceptual...............................................................

IntroduccinEsta tesis de grado de matemticas, contiene informacin completa de los temas vistos a lo largo de bsica secundaria, incluyendo los procesos que se deben dar para el desarrollo de ejercicios matemticos. Encontraremos personajes que a lo largo de la historia han dejado sus teoras y formulas para el desarrollo de ejercicios matemticos, como es tambin visto encontraremos la terminologa manejada a lo largo de este tiempo por el rea de las matemticas. Luego damos a conocer la habilidad por la cual se destacan los estudiantes, con el desarrollo de ejercicios, mas conocidos como los desafos, y con ingenio y creatividad les damos a conocer diferentes figuras literarias y formas creativas las matemticas, como lo son la poesa, coplas, historietas, adivinanzas etc. Por ultimo encontraremos ejercicios de estadstica, siguiendo la teora aprendida en el ao correspondiente.

Unidad 1Bases de Conocimiento

1. Grandes Personajes Matematicos. Biografias 2. Terminologia Matematica. 2.1 Vocabulario

1. Grandes Personajes Matematicos

Biografias

1.1 Thales de mileto (c. 625-c. 546 a.C.) Filsofo griego nacido en Mileto (Actual Grecia). Ninguno de sus escritos ha llegado hasta nuestros das; a pesar de ello, son muy numerosas las aportaciones que a lo largo de la historia, desde Herodoto, Jenfanes o Aristteles, se le han atribuido. Entre las mismas cabe citar los cinco Teoremas Geomtricos que llevan su nombre (todos ellos resultados fundamentales), o la nocin de que la esencia material del universo era el agua o humedad. Aristteles consider a Tales como el primero en sugerir un nico sustrato formativo de la materia; adems, en su intencin de explicar la naturaleza por medio de la simplificacin de los fenmenos observables y la bsqueda de causas en el mismo entorno natural, Tales fue uno de los primeros en trascender el tradicional enfoque mitolgico que haba caracterizado la filosofa griega de siglos anteriores. Fue el fundador de la filosofa griega, y est considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Lleg a ser famoso por sus conocimientos de astronoma despus de predecir el eclipse de sol que ocurri el 28 de mayo del 585 a.C. Se dice tambin que introdujo la geometra en Grecia. Segn Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. Antes de Tales, las explicaciones del universo eran mitolgicas, y su inters por la sustancia fsica bsica del mundo marca el nacimiento del pensamiento cientfico. Tales no dej escritos; el conocimiento que se tiene de l procede de lo que se cuenta en la Metafsica de Aristteles. 1.2 Pitagoras (c. 582-c. 500 a.C.) Se tienen pocas noticias de la biografa de Pitgoras que puedan considerarse veridicas, ya que su condicin de fundador de una secta religiosa propici la temprana aparicin de una tradicin legendaria en torno a su persona. Parece seguro que Pitgoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pas en Samos, la isla que probablemente abandon unos aos antes de la ejecucin de su tirano Polcrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este ltimo pas, cuna del conocimiento

esotrico, se le atribuye haber estudiado los misterios, as como geometra y astronoma. Algunas fuentes dicen que Pitgoras march despus a Babilonia con Cambises, para aprender all los conocimientos aritmticos y musicales de los sacerdotes. Se habla tambin de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde goz de considerable popularidad y poder. La comunidad liderada por Pitgoras acab, plausiblemente, por convertirse en una fuerza poltica aristocratizante que despert la hostilidad del partido demcrata, de lo que deriv una revuelta que oblig a Pitgoras a pasar los ltimos aos de su vida en Metaponto. La comunidad pitagrica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discpulos deban esperar varios aos antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseanzas recibidas. Las mujeres podan formar parte de la cofrada; la ms famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quiz del propio Pitgoras y madre de una hija y de dos hijos del filsofo. El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal asctico y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificacin ritual (catarsis) de sus miembros a travs del cultivo de un saber en el que la msica y las matemticas desempeaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofa, trmino que, segn la tradicin, Pitgoras fue el primero en emplear en su sentido literal de amor a la sabidura. Tambin se atribuye a Pitgoras haber transformado las matemticas en una enseanza liberal mediante la formulacin abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; ste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relacin entre los lados de un tringulo rectngulo, una relacin de cuyo uso prctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega. El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemtico a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el mtodo pitagrico para la purificacin y perfeccin del alma, que enseaba a conocer el mundo como armona; en virtud de sta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposicin armnica que haca que sus distancias estuvieran entre s en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armona era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numrico, y si todo era armona, el nmero resultaba ser la clave de todas las cosas.

1.3 Eraststenes (c. 284-c. 192 a.C.) Matemtico, astrnomo, gegrafo, filsofo y poeta griego. Midi la circunferencia de la Tierra con una precisin extraordinaria al determinar, a travs de la astronoma, la diferencia de latitud entre las ciudades de Siena (actual Asun) y Alejandra, en Egipto. Naci en Cirene (en la actualidad Shat, Libia). Entre sus maestros se encontraba el poeta griego Calmaco de Cirene. Hacia el 240 a.C., Eratstenes lleg a ser el director de la Biblioteca de Alejandra. Sus clculos sobre la circunferencia terrestre se basaron en la observacin que hizo en Siena, su ciudad natal; a medioda, en el solsticio de verano, los rayos del sol incidan perpendicularmente sobre la tierra y, por tanto, no proyectaban ninguna sombra (Siena estaba situada muy cerca del trpico de Cncer). En Alejandra se percat de que en la misma fecha y hora las sombras tenan un ngulo de aproximadamente 7 con respecto a la vertical. Al conocer la distancia entre Siena y Alejandra, pudo hallar a travs de clculos trigonomtricos la distancia al Sol y la circunferencia de la Tierra. Eratstenes tambin midi la oblicuidad de la eclptica (la inclinacin del eje terrestre) con un error de slo 7' de arco, y cre un catlogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra ms importante fue un tratado de geografa general. Tras quedarse ciego, muri en Alejandra por inanicin voluntaria. 1.4 Diofanto (150 a.C. - 350 d.C) Matemtico griego. Vivi en Alejandra (Egipto), donde se ocup principalmente del anlisis diofntico, siendo merecedor del ttulo de padre del lgebra. Escribi Las aritmticas, obra de la que slo quedan 6 libros de los 13 que la componan.

1.5 Arquimedes (287-212 a.C.) Notable matemtico e inventor griego, que escribi importantes obras sobre geometra plana y del espacio, aritmtica y mecnica. Naci en Siracusa, Sicilia, y se educ en Alejandra, Egipto. En el campo de las matemticas puras, se anticip a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el clculo integral, con sus

estudios de reas y volmenes de figuras slidas curvadas y de reas de figuras planas. Demostr tambin que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. En mecnica, Arqumedes defini la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto invent el tornillo sin fin para elevar el agua de nivel. Arqumedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley de la hidrosttica, el llamado principio de Arqumedes, que establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una prdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja (vase Mecnica de fluidos). Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se baaba, al comprobar cmo el agua se desplazaba y se desbordaba. Arqumedes pas la mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigacin y los experimentos. Aunque no tuvo ningn cargo pblico, durante la conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposicin de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos mecnicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invencin se le atribuye est la catapulta y un sistema de espejos quiz legendario que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Pnica, fue asesinado por un soldado romano que le encontr dibujando un diagrama matemtico en la arena. Se cuenta que Arqumedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendi al intruso al decirle: No desordenes mis diagramas. Todava subsisten muchas de sus obras sobre matemticas y mecnica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, El arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginacin de su pensamiento matemtico. 1.6 Euclides Euclides es, sin lugar a dudas, el Matemtico ms famoso de la antigedad y quizs el ms nombrado y conocido de la historia de las Matemticas. Se conoce poco de la vida de Euclides, sin embargo, su obra s es ampliamente conocida. Todo lo que sabemos de su vida nos ha llegado a travs de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivi en Alejandra (Egipto), al parecer en torno al ao 300 a.c. All fund una escuela de estudios matemticos. Por otra parte tambin se dice que estudi en la escuela fundada por Platn. Su obra ms importante es un tratado de geometra que recibe el ttulo de "Los Elementos", cuyo contenido se ha

estado (y an se sigue de alguna manera) enseando hasta el siglo XVIII, cuando aparecen las geometras no eucldeas. "Los Elementos" ha tenido ms de 1.000 ediciones desde su primera publicacin en imprenta en 1482. Se puede afirmar, por tanto, que Euclides es el matemtico ms ledo de la historia. Esta obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la sistematizacin, el orden y la argumentacin con la que est constituida. Euclides recopila, ordena y argumenta los conocimientos geomtrico-matemticos de su poca, que ya eran muchos.Euclides construye su argumentacin basndose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo dems) que Euclides llam postulados. Los famosos cinco postulados de Euclides, que ofrecemos a continuacin, son: I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une. II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma direccin. III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera. IV.- Todos los ngulos rectos son iguales. V-. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una nica paralela. 1.7 Rene Descartes (1596 -1650) Filsofo, cientfico y matemtico francs, considerado el fundador de la filosofa moderna. Nacido el 31 de marzo de 1596 en La Haye, hoy Descartes (Indre-et-Loire), era hijo de un miembro de la baja nobleza y perteneca a una familia que haba dado algunos hombres doctos. Cuando tena ocho aos de edad fue enviado al colegio jesutico de La Flche (en Anjou), donde permaneci 10 aos. Junto a las disciplinas clsicas tradicionales, tambin aprendi matemticas y las principales doctrinas del escolasticismo, tendentes a orientar la razn humana hacia la comprensin de la doctrina cristiana. El catolicismo ejerci una gran influencia en Descartes a lo largo de toda su vida. Tras concluir su

periodo de formacin primaria en dicho centro, curs estudios de Derecho en la Universidad de Poitiers, donde se licenci en 1616. Sin embargo, nunca lleg a ejercer como jurista. En 1618 entr al servicio del prncipe Mauricio I de Nassau-Orange, con la intencin de seguir la carrera militar; posteriormente sirvi en otros ejrcitos. Pero su inters se centr siempre en los problemas de las matemticas y la filosofa, a los que dedic el resto de su vida. Tras realizar numerosos viajes residi en Pars desde 1625 a 1628. Durante este periodo se dedic al estudio de la filosofa y tambin realiz experimentos de ptica. En 1628, despus de vender las propiedades que posea en Francia, se traslad a las Provincias Unidas y vivi en diferentes ciudades (Amsterdam, Deventer, Utrecht y Leiden). Fue quiz durante los primeros aos que pas en Holanda cuando escribi su primera obra importante, Ensayos filosficos, publicada en 1637 y que estaba integrada por tres ensayos (Diptrica, Geometra y Meteoros), a los que serva de prefacio el que luego sera su escrito ms famoso, Discurso del mtodo, en el que expona sus especulaciones filosficas. sta fue seguida de otras obras, entre ellas Meditaciones metafsicas (1641) y Los principios de la filosofa (1644). Sus ltimos escritos estuvieron dedicados a Isabel Estuardo, reina de Bohemia que viva en las Provincias Unidas y con quien Descartes haba entablado una profunda amistad. En 1649 fue invitado a acudir a Estocolmo para impartir clases de filosofa a la reina Cristina de Suecia. Los rigores del invierno le provocaron una neumona, a consecuencia de la cual falleci, en la capital sueca, el 11 de febrero de 1650. Descartes trat de aplicar a la filosofa los procedimientos racionales inductivos de la ciencia y, ms concretamente, de las matemticas. Antes de configurar su mtodo, la filosofa haba estado dominada por el escolstico, que se basaba por completo en comparar y contrastar las opiniones de autoridades reconocidas. Rechazando este sistema, Descartes estableci: En nuestra bsqueda del camino directo a la verdad, no deberamos ocuparnos de objetos de los que no podamos lograr una certidumbre similar a las de las demostraciones de la aritmtica y la geometra. Por esta razn determin no creer ninguna verdad hasta haber establecido las razones para creerla. Comenz sus investigaciones a partir de un nico conocimiento seguro: Cogito, ergo sum (Pienso, luego existo). Partiendo del principio de que la clara consciencia del pensamiento prueba su propia existencia, mantuvo la existencia de Dios. Dios, segn la filosofa de Descartes, cre dos clases de sustancias que constituyen el todo de la realidad. Una clase era la sustancia pensante, o inteligencia, y la otra la sustancia extensa, o fsica.

Ciencia: Su filosofa, denominada en ocasiones cartesianismo, le llev a elaborar explicaciones complejas y errneas de diversos fenmenos fsicos. stas, sin embargo, tuvieron el valor de sustituir los vagos conceptos espirituales de la mayora de los autores clsicos por un sistema de interpretaciones mecnicas de los fenmenos fsicos. Tuvo que renunciar a su primera concepcin de un sistema de planetas que rotaban en torno al Sol (prxima a la teora de Coprnico sobre el Universo) cuando fue considerada hertica por la Iglesia catlica. En su lugar, ide la doctrina de los vrtices o torbellinos de materia etrea, en la que el espacio estaba pleno de materia, en diversos estados, girando alrededor del Sol. En el campo de la fisiologa, sostuvo que parte de la sangre era un fluido misterioso que l llam espritu animal. Crea que ste entraba en contacto con la sustancia pensante en el cerebro y flua a lo largo de los canales de los nervios para animar los msculos y otras partes del cuerpo. Sus estudios sobre ptica culminaron con el descubrimiento de la ley fundamental de la reflexin: el ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin. La publicacin de su citado ensayo sobre ptica supuso la primera exposicin de este principio. Adems, el hecho de que Descartes tratara la luz como un tipo de fuerza en un medio slido prepar el terreno para la teora ondulatoria de la luz. Matematicas: Su contribucin ms notable a las matemticas fue la sistematizacin de la geometra analtica. Fue el primer matemtico que intent clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen y contribuy tambin a la elaboracin de la teora de las ecuaciones. Fue el responsable de la utilizacin de las ltimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. Tambin invent el mtodo de los exponentes (como en x2) para indicar las potencias de los nmeros. Adems, formul la regla (conocida como ley cartesiana de los signos) para descifrar el nmero de races negativas y positivas de cualquier ecuacin algebraica. Principales descartes:

Ao 1628 - 1629 1630 1633 1637 1641 1644 1649

Obra Reglas para la direccion del Espiritu El mundo o tratado de la luz Ensayos Filosoficos Meditaciones Metafisicas Los principios de la Filosofia las pasiones del alma

1.8 Gerolamo cardono (1501 -1576) Matemtico italiano. Se gradu en la Universidad de Pava y se doctor en medicina (1526) en la de Padua. En 1536 se traslad a Miln, donde empez a ejercer como profesor de matemticas. En 1539 public su primera obra en dicha materia, la Prctica de matemticas y mediciones individuales, en la que recogi el contenido de sus clases. Ese mismo ao fue admitido en la facultad de medicina, de la que al poco fue nombrado rector. En 1543, ya con una slida fama como mdico (a l se debe la primera descripcin clnica de la fiebre tifoidea), se traslad de nuevo a Pava. Dos aos despus public su obra cientfica ms importante, el Ars magna, donde se recoge un exhaustivo estudio de las ecuaciones de tercer grado o cbicas, y en la que se ofrece la regla para la resolucin de las mismas que lleva su nombre. Por la publicacin de dicho resultado fue duramente criticado por el tambin matemtico Niccol Tartaglia, quien se lo haba revelado con la condicin de que lo mantuviera en secreto y no lo divulgara, si bien Cardano, al descubrir otra fuente en la que se contena dicha regla, se crey liberado de su promesa. Otras obras suyas de importancia fueron el Libro sobre juegos y azar, en el cual ofreci la primera aproximacin sistemtica a la teora de la probabilidad y enunci la ley de los grandes nmeros, resultados todos ellos que no seran abordados de nuevo (por Blaise Pascal y Pierre de Fermat) hasta un siglo ms tarde. As mismo, public ttulos de contenido filosfico, como La sutileza de las cosas, que fueron muy ledos en su tiempo. Los ltimos aos de su vida estuvieron plagados de desgracias, desde la ejecucin en el ao 1560 de uno de sus

hijos, acusado de asesinato, hasta un proceso por hereja por el que lleg a ser encarcelado (1570). Absuelto un ao despus, pero privado del derecho de publicar obra alguna, se traslad a Roma ciudad en la que redact su autobiografa Mi propia vida, que concluy poco antes de su muerte. 1.9 Blaise Pascal (1623 - 1662) Filsofo, fsico y matemtico francs. Su madre falleci cuando l contaba tres aos, a raz de lo cual su padre se traslad a Pars con su familia (1630). Fue un genio precoz a quien su padre inici muy pronto en la geometra e introdujo en el crculo de Mersenne, la Academia, a la que l mismo perteneca. All Pascal se familiariz con las ideas de Girard Desargues y en 1640 redact su Ensayo sobre las cnicas (Essai pour les coniques), que contena lo que hoy se conoce como teorema del hexgono de Pascal. La designacin de su padre como comisario del impuesto real supuso el traslado a Run, donde Pascal desarroll un nuevo inters por el diseo y la construccin de una mquina de sumar; se conservan todava varios ejemplares del modelo que ide, algunos de cuyos principios se utilizaron luego en las modernas calculadoras mecnicas. En Run Pascal comenz tambin a interesarse por la fsica, y en especial por la hidrosttica, y emprendi sus primeras experiencias sobre el vaco; intervino en la polmica en torno a la existencia del horror vacui en la naturaleza y realiz importantes experimentos (en especial el de Puy de Dme en 1647) en apoyo de la explicacin dada por Torricelli al funcionamiento del barmetro. La enfermedad indujo a Pascal a regresar a Pars en el verano de 1647; los mdicos le aconsejaron distraccin e inici un perodo mundano que termin con su experiencia mstica del 23 de noviembre de 1654, su segunda conversin (en 1645 haba abrazado el jansenismo); convencido de que el camino hacia Dios estaba en el cristianismo y no en la filosofa, Blaise Pascal suspendi su trabajo cientfico casi por completo. Pocos meses antes, como testimonia su correspondencia con Fermat, se haba ocupado de las propiedades del tringulo aritmtico hoy llamado de Pascal y que da los coeficientes de los desarrollos de las sucesivas potencias de un binomio; su tratamiento de dicho tringulo en trminos de

una geometra del azar lo convirti en uno de los fundadores del clculo matemtico de probabilidades. 1.10 Bhaskara (1114-c. 1160) Uno de los matemticos indios ms notables. Fue un destacado representante de la escuela Ujjain, uno de los centros del renacimiento de las matemticas indias durante la edad media. Sus principales obras fueron Lilavati, Bijaganita y Sidhnta siromani. La primera de ellas, que se cree que la escribi para distraer a su hija que tena el mismo nombre, cubre aspectos de geometra, aritmtica y lgebra. Fue traducida al persa durante la poca del emperador mogol Akbar, en el siglo XVI, y se hizo sumamente popular, siendo objeto de numerosos comentarios escritos. Bijaganita analiza expresiones algebraicas e investiga soluciones a las ecuaciones cuadrticas. Es, sin embargo, Sidhnta siromani su obra ms importante, en la que trata cuestiones de aritmtica, lgebra, trigonometra y astronoma. Resume y se basa en el trabajo de antiguos matemticos indios como Brahmagupta y Padmanabha. En esta obra se encuentran tablas de senos y otras relaciones trigonomtricas, e incluso indicios de ideas subyacentes sobre el clculo que no se iban a desarrollar explcitamente hasta varios siglos ms tarde. No se le debe confundir con otro matemtico indio del mismo nombre anterior a l: Bhaskara (c. 600). Entre los problemas geomtricos da una resolucin del teorema de Pitgoras: Teniendo en cuenta el cuadrado de una suma, (b+c)2=b2+c2+2bc y observado la figura

(b+c)2=2bc+a2 y por tanto se obtiene a2=b2+c2.

1.11 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Matemtico alemn conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la fsica, especialmente por sus estudios del electromagnetismo. Naci en Braunschweig el 30 de abril de 1777 y estudi lenguas antiguas, pero a los 17 aos

comenz a interesarse por las matemticas e intent dar una solucin al problema clsico de la construccin de un heptgono regular, o figura de siete lados, con una regla y un comps. No solamente consigui probar que esto era imposible, sino que sigui aportando mtodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados. Durante estos estudios, prob que la construccin, con regla y comps, de un polgono regular con un nmero de lados impar slo era posible cuando el nmero de lados era un nmero primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65.537 o un producto de dos o ms de estos nmeros. A raz de este descubrimiento abandon sus estudios de lenguas y se dedic a las matemticas. Estudi en la Universidad de Gotinga desde 1795 hasta 1798; para su tesis doctoral present una prueba de que cada ecuacin algebraica tiene al menos una raz o solucin. Este teorema, que ha sido un desafo para los matemticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental de lgebra (vase lgebra; Teora de ecuaciones). Su tratado sobre la teora de nmeros, Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obra clsica en el campo de las matemticas. Ms tarde, Gauss dirigi su atencin hacia la astronoma. El asteroide Ceres haba sido descubierto en 1801, y puesto que los astrnomos pensaban que era un planeta, lo observaron con mucho inters hasta que lo perdieron de vista. Desde sus primeras observaciones, Gauss calcul su posicin exacta, de forma que fue fcil su redescubrimiento. Tambin plane un nuevo mtodo para calcular las rbitas de los cuerpos celestes. En 1807 fue nombrado profesor de matemticas y director del observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su muerte. Aunque Gauss hizo valiosas contribuciones tanto a la astronoma terica como prctica, trabaj sobre todo en matemticas y en fsica matemtica, abarcando prcticamente todas sus ramas. 1.12 Apolonio de Perga El contacto de Grecia con las civilizaciones vecinas de Egipto y Mesopotamia va a resultar determinante para la evolucin de su ciencia, superando en la mayor parte de los campos a sus maestros. En matemticas se produjo un importante avance al introducir signos numerales similares a los latinos, utilizando tablas para realizar los clculos. La geometra se desarroll espectacularmente gracias a Tales de Mileto y Pitgoras, quienes desarrollaron la teora de los tringulos semejantes y el famoso teorema, respectivamente. La figura de Euclides ser capital al resumir las teoras matemticas y sentar las

bases de la geometra con sus famosos axiomas. La ingeniera avanzar espectacularmente gracias a los trabajos de Empdocles de Agrigento inventor de un calorfero -, Ctesibio - constructor de una bomba contra incendios, de un autmata y una bomba para elevar agua -, Filn de Bizancio - creador de fuentes mviles - y Arqumedes de Siracusa - inventor de las poleas compuestas y de un can que lanzaba pequeos proyectiles gracias al agua -. El estudio matemtico ser fundamental para el desarrollo de otras ciencias como la astronoma, realizando las primeras especulaciones sobre la posibilidad de que la Tierra fuera plana y estuviera flotando en el espacio, no sujeta a algn elemento como se crea hasta ese momento. Pitgoras ya plante la posibilidad de la esfericidad mientras que Anaximandro seal que la Tierra era el centro de un conjunto, girando en crculos a su alrededor la Luna, el Sol y las estrellas, teora que fue ampliada por Aristteles quien introdujo los planetas en su sistema. Sin embargo, Aristarco de Samos ya plante que la Tierra era un planeta ms por lo que deba girar alrededor del Sol. Hiparco de Bitinia desarroll la trigonometra, de gran utilidad para la medicin del espacio, alcanzando conclusiones bastante acertadas respecto al dimetro de la Luna o su distancia respecto a la Tierra. El deseo de conocer la Tierra llev a su representacin grfica, provocando la evolucin de la geografa. Se establece la distincin entre Europa y Asia, oriente y occidente, y los cuatro puntos cardinales. Los mapas permitirn un giro radical en los viajes, que a su vez favorecern el desarrollo de la cartografa. Una de las figuras que ms aportar en este sentido ser Alejandro al promover su campaa conquistadora de Asia, alcanzando los confines de la India. Dicearco estableci la circunferencia de la Tierra en 54.000 kilmetros mientras que confeccion el mejor mapa de su tiempo y redujo la medida a unos 39.600 kilmetros, planteando la posibilidad de poder viajar desde la pennsula Ibrica a la India por mar, anticipndose as a Coln. Eratstenes es considerado el mejor gegrafo de la Antigedad. La medicina experimentar importantes avances, manifestando Hipcrates de Cos que "todas las enfermedades tienen una causa natural, sin la cual no pueden producirse". A pesar de esta acertada mxima, todava se otorgaba un importante papel a la magia en la curacin de enfermedades. Continuando el nivel mdico alcanzado en Egipto, la medicina griega obtuvo un grado de desarrollo significativo, introduciendo la experimentacin como frmula de conocimiento. En esta lnea debemos plantear la habitual prctica de disecciones a partir del siglo V a. C., establecindose un amplio nmero de escuelas mdicas en todo el territorio de la Hlade. Figuras como Alcmen de Crotona - autor del primer tratado mdico griego conocido -, Empdocles quien san a la ciudad de Selinunte de la malaria al desviar el cauce de uno de los ros para incrementar de agua al otro -, o Demcrito de Abdera anteceden a Hipcrates, quiz el mdico ms popular de Grecia gracias al famoso Juramento Hipocrtico y a la realizacin de importantes operaciones

con las que consigui curar a numerosos enfermos. Proxgoras de Cos establecera una aceptable distincin entre venas y arterias al tiempo que planteaba como entre la columna vertebral y el cerebro exista continuidad. Serapin de Alejandra y Filino de Cos son los creadores de la escuela emprica basada en la experiencia y en la observacin, producindose un importante desarrollo de la ciruga, destacando Filoxeno de Alejandra, el autor del primer tratado de ciruga conocido. Pero no debemos olvidar la importancia de los santuarios de Asclepios y Dionisos como lugares de curacin relacionados con la magia, realizndose ceremonias curativas en las que el dios y el enfermo se unan para sanar los males. Los baos sern una de las terapias ms recomendadas por los mdicos helenos, existiendo una red de balnearios curativos frecuentemente visitados. La sanidad era costeada en buena parte por el Estado al pagar a los mdicos y financiar los tratamientos de los sectores sociales ms humildes. En relacin con la medicina se produjo tambin un importante desarrollo de la botnica gracias a Empdocles, Teofrasto o Aristteles. Las plantas fueron divididas en rboles, arbustos e hierbas. La botnica permiti el avance de la farmacologa, elaborndose herbarios que compilaban las plantas medicinales conocidas. El ao heleno tena 12 meses de 30 das resultando un desfase de 11 das con respecto al ao astronmico. Para solucionarlo incorporaron un nuevo mes cada dos aos aunque tampoco el resultado fuera perfecto lo que oblig a continuas modificaciones. Los meses estaban divididos en tres grupos de diez das y respecto a la hora, siguieron la divisin caldea de una hora como la vigesimocuarta parte del da, estando dividida en 60 minutos, cada uno de ellos dividido a su vez en 60 segundos. La medida del tiempo se realizaba con relojes de arena y de agua. 1.13 Leonard Euler (1707-1783) Matemtico suizo, cuyos trabajos ms importantes se centraron en el campo de las matemticas puras, campo de estudio que ayud a fundar. Euler naci en Basilea y estudi en la Universidad de Basilea con el matemtico suizo Johann Bernoulli, licencindose a los 16 aos. En 1727, por invitacin de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrtico de fsica en 1730 y de matemticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemticas en la Academia de Ciencias de Berln a peticin del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regres a San Petersburgo en 1766, donde permaneci hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una prdida parcial de visin antes de cumplir 30 aos y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemticas importantes, as como reseas matemticas y cientficas.

En su Introduccin al anlisis de los infinitos (1748), Euler realiz el primer tratamiento analtico completo del lgebra, la teora de ecuaciones, la trigonometra y la geometra analtica. En esta obra trat el desarrollo de series de funciones y formul la regla por la que slo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. Tambin abord las superficies tridimensionales y demostr que las secciones cnicas se representan mediante la ecuacin general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del clculo (incluido el clculo de variaciones), la teora de nmeros, nmeros imaginarios y lgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemtico, realiz tambin aportaciones a la astronoma, la mecnica, la ptica y la acstica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del clculo diferencial (1755), Instituciones del clculo integral (1768-1770) e Introduccin al lgebra (1770). 1.14 Isaac Newton (1642-1727) Matemtico y fsico britnico, considerado uno de los ms grandes cientficos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teoras sirvieron de base a la mayor parte de los avances cientficos desarrollados desde su poca. Newton fue, junto al matemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemticas denominada clculo. Tambin resolvi cuestiones relativas a la luz y la ptica, formul las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitacin universal. Vase Mecnica. Naci el 25 de diciembre de 1642 (segn el calendario juliano vigente entonces; el 4 de enero de 1643, segn el calendario gregoriano vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire. Cuando tena tres aos, su madre viuda se volvi a casar y lo dej al cuidado de su abuela. Al enviudar por segunda vez, decidi enviarlo a una escuela primaria en Grantham. En el verano de 1661 ingres en el Trinity College de la Universidad de Cambridge y en 1665 recibi su ttulo de bachiller. Despus de una interrupcin de casi dos aos provocada por una epidemia de peste, Newton volvi al Trinity College, donde le nombraron becario en 1667. Recibi el ttulo de profesor en 1668. Durante esa poca se dedic al estudio e investigacin de los ltimos avances en matemticas y a la filosofa natural, que consideraba la naturaleza como un organismo de mecnica compleja. Casi inmediatamente realiz descubrimientos fundamentales que

le fueron de gran utilidad en su carrera cientfica La ptica fue otra rea por la que Newton demostr inters muy pronto. Al tratar de explicar la forma en que surgen los colores lleg a la idea de que la luz del Sol es una mezcla heterognea de rayos diferentes representando cada uno de ellos un color distinto y que las reflexiones y refracciones hacen que los colores aparezcan al separar la mezcla en sus componentes. Newton demostr su teora de los colores haciendo pasar un rayo de luz solar a travs de un prisma, el cual dividi el rayo de luz en colores independientes.En 1672 Newton envi una breve exposicin de su teora de los colores a la Royal Society de Londres 1.15 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Tambin conocido como barn Gottfried Wilhelm von Leibniz. Filsofo, matemtico y estadista alemn, considerado como uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. Nacido en Leipzig, se educ en las universidades de esta ciudad, de Jena y de Altdorf. Matemticas La contribucin de Leibniz a las matemticas consisti en enumerar en 1675 los principios fundamentales del clculo infinitesimal. Esta explicacin se produjo con independencia de los descubrimientos del cientfico ingls Isaac Newton, cuyo sistema de clculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el mtodo de notacin ideado por Leibniz fue adoptado universalmente. En 1672 tambin invent una mquina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer races cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo de la lgica matemtica. Filosofa En la exposicin filosfica de Leibniz, el Universo se compone de innumerables centros conscientes de fuerza espiritual o energa, conocidos como mnadas. Cada mnada representa un microcosmos individual, que refleja el Universo en diversos grados de perfeccin y evolucionan con independencia del resto de las mnadas. El Universo constituido por estas mnadas es el resultado armonioso de un plan divino. Los humanos, sin embargo, con su visin limitada, no pueden aceptar la existencia de las enfermedades y la muerte como partes integrantes de la armona universal. Este Universo de Leibniz, el mejor de los mundos posibles, es satirizado como una utopa por el autor francs Voltaire en su novela Cndido (1759) . Entre las obras filosficas fundamentales de Leibniz se incluyen Ensayos de Teodicea sobre la bondad de Dios, la libertad del hombre y el origen del mal (2 vols., 1710), Monadologa (1714; publicado en latn como Principia

Philosophiae, 1721), y Nuevo tratado sobre el entendimiento humano (1703; pub. 1765). Los dos ltimos influyeron mucho en los filsofos alemanes del siglo XVIII, incluyendo a Christian von Wolff e Immanuel Kant. 1.16 Leonardo Fibonacci (c. 1170-c. 1240)

Tambin llamado Leonardo Pisano, matemtico italiano que recopil y divulg el conocimiento matemtico de clsicos grecorromanos, rabes e indios y realiz aportaciones en los campos matemticos del lgebra y la teora de nmeros; introdujo los nmeros arbigos en Europa. Naci en Pisa, una ciudad comercial donde aprendi las bases del clculo de los negocios mercantiles. Cuando tena unos 20 aos, se fue a Argelia, donde empez a aprender mtodos de clculo rabes, conocimientos que increment durante viajes ms largos. Utiliz esta experiencia para mejorar las tcnicas de clculo comercial que conoca y para extender la obra de los escritores matemticos clsicos, como los matemticos griegos Diofante y Euclides. Nos han quedado pocas obras de Fibonacci. Escribi sobre la teora de nmeros, problemas prcticos de matemticas comerciales y geodesia, problemas avanzados de lgebra y matemticas recreativas. Sus escritos sobre matemticas recreativas, que a menudo los expona como relatos, se convirtieron en retos mentales clsicos ya en el siglo XIII. Estos problemas entraaban la suma de sucesiones, como la sucesin de Fibonacci que l descubri (kn = kn-1 + kn-2, por ejemplo, 1, 2, 3, 5, 8, 13). A cada trmino de esta sucesin se le denomina nmero de Fibonacci (la suma de los dos nmeros que le preceden en la sucesin). Tambin resolvi el problema del clculo del valor para cualquiera de los nmeros de la sucesin. Le fue concedido un salario anual por la ciudad de Pisa en 1240 como reconocimiento de la importancia de su trabajo y como agradecimiento por el servicio pblico prestado a la administracin de la ciudad. 1.17 Evariste Galois (1811-1832) Matemtico francs conocido por el desarrollo de la teora de grupos. Galois naci en Bourg-la-Reine, un suburbio de Pars, y tuvo una formacin autodidacta. En dos ocasiones se rechaz su entrada en la Escuela Politcnica, principal institucin para el estudio de las matemticas en Francia, y tres ensayos que present a la Academia de Ciencias se perdieron o fueron

rechazados por incomprensibles. Se dedic entonces a la poltica activa y fue arrestado y hecho prisionero por sus abiertas convicciones republicanas. Poco antes de su muerte, a la edad de 21 aos, escribi de forma precipitada algunas de sus teoras algebraicas. Con la publicacin de sus manuscritos entre 1846 y 1870, la reputacin de Galois como matemtico de gran altura se extendi ampliamente. Muchas de sus construcciones, que hoy se denominan grupo de Galois, cuerpos de Galois y teora de Galois, permanecen como conceptos fundamentales en el lgebra moderna. 1.18 Albert Einstein (1879-1955) Fsico alemn nacionalizado estadounidense, premiado con un Nobel, famoso por ser el autor de las teoras general y restringida de la relatividad y por sus hiptesis sobre la naturaleza corpuscular de la luz. Es probablemente el cientfico ms conocido del siglo XX.Naci en Ulm el 14 de marzo de 1879 y pas su juventud en Munich, donde su familia posea un pequeo taller de mquinas elctricas. Ya desde muy joven mostraba una curiosidad excepcional por la naturaleza y una capacidad notable para entender los conceptos matemticos ms complejos. A los doce aos ya conoca la geometra de Euclides. A la edad de 15 aos, cuando su familia se traslad a Miln, Italia, a causa de sucesivos fracasos en los negocios, Einstein abandon la escuela. Pas un ao con sus padres en Miln y viaj a Suiza, donde termin los estudios secundarios e ingres en el Instituto Politcnico Nacional de Zurich. Durante dos aos Einstein trabaj dando clases particulares y de profesor suplente. En 1902 consigui un trabajo estable como examinador en la Oficina Suiza de Patentes en Berna. Primeras Publicaciones Cientficas En 1905 se doctor en la Universidad de Zurich, con una tesis sobre las dimensiones de las molculas; tambin public cuatro artculos tericos de gran valor para el desarrollo de la fsica del siglo XX. En el primero de ellos, sobre el movimiento browniano, formul predicciones importantes sobre el movimiento aleatorio de las partculas dentro de un fluido, predicciones que fueron comprobadas en experimentos posteriores. El segundo artculo, sobre el efecto fotoelctrico, anticipaba una teora revolucionaria sobre la naturaleza de la luz. Segn Einstein, bajo ciertas circunstancias la luz se comportaba como una partcula. Tambin afirm que la energa que llevaba toda partcula de luz, denominada fotn, era proporcional a la frecuencia de la radiacin. Lo representaba con la frmula E = hu, donde E es la energa de la radiacin, h una constante universal llamada constante de Planck y u es la frecuencia de la radiacin. Esta teora, que planteaba que la energa de los rayos luminosos se

transfera en unidades individuales llamadas cuantos, contradeca las teoras anteriores que consideraban que la luz era la manifestacin de un proceso continuo. Las tesis de Einstein apenas fueron aceptadas. De hecho, cuando el fsico estadounidense Robert Andrews Millikan confirm experimentalmente sus tesis casi una dcada despus, ste se mostr sorprendido e inquieto por los resultados. Einstein, interesado por comprender la naturaleza de la radiacin electromagntica, propugn el desarrollo de una teora que fusionara las ondas y partculas de la luz. De nuevo fueron muy pocos los cientficos que comprendieron y aceptaron estas ideas. Teora especial de la Relatividad de Einstein La tercera publicacin de Einstein en 1905, Sobre la electrodinmica de los cuerpos en movimiento, y la cuarta titulada Depende la inercia de un cuerpo de la energa que contiene?, formulaban lo que despus lleg a conocerse como la teora especial de la relatividad (o teora restringida de la relatividad). Desde los tiempos del matemtico y fsico ingls Isaac Newton, los filsofos de las ciencias naturales (nombre que reciban los fsicos y qumicos) haban intentado comprender la naturaleza de la materia y la radiacin, y su interaccin en algunos modelos unificados del mundo. La hiptesis que sostena que las leyes mecnicas eran fundamentales se denomin visin mecnica del mundo. La hiptesis que mantena que eran las leyes elctricas las fundamentales recibi el nombre de visin electromagntica del mundo. Ninguna de las dos concepciones era capaz de explicar con fundamento la interaccin de la radiacin (por ejemplo, la luz) y la materia al ser observadas desde diferentes sistemas de inercia de referencia, o sea, la interaccin producida en la observacin simultnea por una persona parada y otra movindose a una velocidad constante. En la primavera de 1905, tras haber reflexionado sobre estos problemas durante diez aos, Einstein se dio cuenta de que la solucin no estaba en la teora de la materia sino en la teora de las medidas. En el fondo de su teora restringida de la relatividad se encontraba el hallazgo de que toda medicin del espacio y del tiempo es subjetiva. Esto le llev a desarrollar una teora basada en dos premisas: el principio de la relatividad, segn el cual las leyes fsicas son las mismas en todos los sistemas de inercia de referencia, y el principio de la invariabilidad de la velocidad de la luz, segn el cual la velocidad de la luz en el vaco es constante. De este modo pudo explicar los fenmenos fsicos observados en sistemas de inercia de referencia distintos, sin tener que entrar en la naturaleza de la materia o de la radiacin y su interaccin, pero nadie entendi su razonamiento. En su cuarto artculo, Einstein dedujo la famossima frmula E = mc2 que relaciona la energa (E) con la masa (m) y la velocidad de la luz (c). Como el valor de c es muy elevado, una pequea masa equivale a una gran cantidad

de energa. 1.19 Al- Jwarizmi (c. 780-c. 835) Matemtico rabe, nacido en Jwrizm (actualmente Jiva, Uzbekistn). Fue bibliotecario en la corte del califa alMamun y astrnomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de lgebra, aritmtica y tablas astronmicas adelantaron enormemente el pensamiento matemtico y fue el primero en utilizar la expresin al-abr (de la que procede la palabra lgebra) con objetivos matemticos. La versin latina (por el traductor italiano Gerardo de Cremona) del tratado de al-Jwrizm sobre lgebra fue responsable de gran parte del conocimiento matemtico en la Europa medieval. Su trabajo con los algoritmos (trmino derivado de su nombre) introdujo el mtodo de clculo con la utilizacin de la numeracin arbiga y la notacin decimal. 1.20 John Neper (1550-1617) Matemtico escocs nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudi en la Universidad de San Andrs y durante su estancia all fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia y aos ms tarde tom parte activa en los asuntos polticos promovidos por los protestantes. Es autor de la primera interpretacin importante en Escocia de la Biblia. Napier es ms conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, descrito en Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614). Los sistemas comunes y naturales de logaritmos que se utilizan actualmente no usan la misma base que los logaritmos de Napier, aunque a los logaritmos naturales a veces se les denomina logaritmos neperianos. Napier fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notacin decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemtica. Tambin invent sistemas mecnicos para realizar clculos aritmticos, descritos en Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo (1617).

2. Terminologia Matematica

2.1 Vocabulario

Alfabeto Griego

Alfanumerico: adj. inform. que est formado por letras, nmeros y otros caracteres. teclado alfanumrico. Algoritmo: (quiz del lat. tardo *algobarismus, y este abrev. del r. cls. isbu lubr, clculo mediante cifras arbigas). m. conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solucin de un problema. || 2. mtodo y notacin en las distintas formas del clculo. Algebra: Rama de las matemticas en la que se usan letras para representar relaciones aritmticas. al igual que en la aritmtica, las operaciones fundamentales del lgebra son adicin, sustraccin,

multiplicacin, divisin y clculo de races. la aritmtica, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemticas, como el teorema de pitgoras, que dice que en un tringulo rectngulo el rea del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. la aritmtica slo da casos particulares de esta relacin (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). el lgebra, por el contrario, puede dar una generalizacin que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. el lgebra clsica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza smbolos en vez de nmeros especficos y operaciones aritmticas para determinar cmo usar dichos smbolos. el lgebra moderna ha evolucionado desde el lgebra clsica al poner ms atencin en las estructuras matemticas. los matemticos consideran al lgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. as, en su forma ms general, se dice que el lgebra es el idioma de las matemticas. Altura:. || 9. geom. en una figura plana o en un slido, distancia entre un lado o cara y el vrtice o el punto ms alejado en la direccin perpendicular. || 10. geom. recta o segmento sobre el cual se mide esa distancia. Analisis matematico: matemticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lgicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. en el pasado las matemticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometra), a los nmeros (como en la aritmtica), o a la generalizacin de ambos (como en el lgebra). hacia mediados del siglo xix las matemticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. esta ltima nocin abarca la lgica matemtica o simblica ciencia que consiste en utilizar smbolos para generar una teora exacta de deduccin e inferencia lgica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas ms complejos. Ao luz: unidad de longitud empleada en astronoma para medir grandes distancias. es igual a la distancia recorrida por la luz en un ao solar medio. tomando para la velocidad de la luz un valor de 300.000 km/s, un ao luz equivale en nmeros redondos a 9.461.000.000.000 km. vase parsec. Apotema: (del gr. , deponer, bajar). f. geom. distancia entre el centro de un polgono regular y uno cualquiera de sus lados. || 2. geom. altura de las caras triangulares de una pirmide regular. Axonometria: sistema de representacin de un cuerpo en un plano mediante las proyecciones obtenidas segn tres ejes.

Billon: (del fr. billion, de bi, por bis, y la t. de milln). m. mat. un milln de millones, que se expresa por la unidad seguida de doce ceros. Binario: el sistema binario desempea un importante papel en la tecnologa de los ordenadores. los primeros 20 nmeros en el sistema en base 2 son 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011 y 10100. cualquier nmero se puede representar en el sistema binario, como suma de varias potencias de dos. por ejemplo, el nmero 10101101 representa, empezando por la derecha, (1 20) + (0 21) + (1 22) + (1 23) + (0 24) + (1 25) + (0 26) + (1 27) = 173. las operaciones aritmticas con nmeros en base 2 son muy sencillas. las reglas bsicas son: 1 + 1 = 10 y 1 1 = 1. el cero cumple las mismas propiedades que en el sistema decimal: 1 0 = 0 y 1 + 0 = 1. la adicin, sustraccin y multiplicacin se realizan de manera similar a las del sistema decimal. Binomio: expresin algebraica que est formada exactamente por dos trminos separados por + o -, como x + y o ab - cd. Calendario: (del lat. calendarum). m. sistema de representacin del paso de los das, agrupados en unidades superiores, como semanas, meses, aos, etc. || 2. lmina o conjunto de lminas en que se representa grficamente el calendario. || 3. almanaque. || 4. distribucin de determinadas actividades en distintas fechas a lo largo de un ao. calendario de trabajo, de actividades. Cantidad: (del lat. quanttas, -tis, y este del gr. ). f. porcin de una magnitud. || 2. cierto nmero de unidades. || 3. porcin grande o abundancia de algo. || 4. porcin indeterminada de dinero. || 5. fon. y mtr. en ciertas lenguas, como el griego y el latn, tiempo de emisin de las vocales y slabas, clasificadas habitualmente en breves y largas. || 6. mat. nmero que resulta de una medida u operacin. Cantidaes imaginarias: en un nmero complejo a + bi, a se conoce como la parte real y b como la parte imaginaria. el nmero complejo -2 + 3i tiene parte real -2 y parte imaginaria 3. la adicin de nmeros complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado. por ejemplo, para sumar 1 + 4i y 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuacin las partes imaginarias 4 y -2, dando el nmero complejo 3 + 2i. Capacidad: capacidad, cantidad de informacin que una computadora o un dispositivo conectado a ella es capaz de procesar, transmitir o almacenar. con respecto a las partes especficas de un sistema informtico. Cateto: cada uno de los dos lados que forman el ngulo recto en un tringulo rectngulo.

Circunferencia: en geometra, curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. no se debe confundir con el crculo (superficie), aunque ambos conceptos estn estrechamente relacionados. la circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cnicas, pues una circunferencia se puede definir como la interseccin de una superficie cnica con un plano perpendicular a su eje. cualquier segmento rectilneo que pasa por el centro y cuyos extremos estn en la circunferencia se denomina dimetro. un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. una cuerda es un segmento rectilneo cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. un arco de circunferencia es la parte de sta que est delimitada por dos puntos. un ngulo central es un ngulo cuyo vrtice es el centro y cuyos lados son dos radios. Coeficiente: (de co- y eficiente). adj. que juntamente con otra cosa produce un efecto. || 2. m. coloq. persona que acompaa en sus exmenes al aspirante a ingreso en las academias militares. || 3. fs. y qum. expresin numrica de una propiedad o caracterstica de un cuerpo, que generalmente se presenta como una relacin entre dos magnitudes. coeficiente de dilatacin. || 4. mat. factor constante que multiplica una expresin, situado generalmente a su izquierda. Combinacion: combinatoria, rama de las matemticas que estudia las posibles agrupaciones de objetos tomados de un conjunto dado; es de gran importancia en otras ramas de las matemticas. por ejemplo, se utiliza para el desarrollo del binomio de newton; en la teora de la probabilidad y en estadstica (para calcular el nmero de casos posibles de un sistema). tambin tiene importantes aplicaciones en el diseo y funcionamiento de ordenadores o computadoras, as como en las ciencias fsicas y sociales. de hecho, la teora combinatoria es de gran utilidad en todas aquellas reas en donde tengan relevancia las distintas maneras de agrupar un nmero finito de elementos. Conjunto: (del lat. coniunctus). adj. unido o contiguo a otra cosa. || 2. mezclado, incorporado con otra cosa diversa. Constante: (del ant. part. act. de constar; lat. constans, -antis). adj. que

consta. || 2. que tiene constancia. || 3. dicho de una cosa: persistente, durable. || 4. continuamente reiterado. u. t. c. s. f. la irona es una constante en su obra. || 5. f. mat. cantidad que tiene un valor fijo en un determinado proceso, clculo, etc.Denominador: (del lat. denomintor, -ris). adj. que denomina. u. t. c. s. || 2. m. mat. en los quebrados, nmero que expresa las partes iguales en que la unidad se considera dividida. se escribe debajo del numerador y separado

de este por una raya horizontal. || 3. mat. en los cocientes de dos expresiones o trminos, el que acta como divisor. Diagrama catesiano: distribucin estadstica en la que intervienen dos variables, x e y, y, por tanto, a cada individuo le corresponden dos valores, xi, yi. estos dos valores se pueden considerar como coordenadas de un punto (xi, yi) representado en un diagrama cartesiano. as, a cada individuo de la distribucin le corresponder un punto, y toda la distribucin se ver representada mediante un conjunto de puntos.por ejemplo, supongamos que si a los cinco hijos, a, b, c, d y e, de una familia se les pasan unas pruebas que miden la aptitud musical (mu) y la aptitud para las matemticas.esta tabla es una distribucin bidimensional porque intervienen dos variables: valoracin mu, valoracin ma. a cada individuo le corresponden dos valores: a(5,6), b(7,10), c(4,5), d(8,6), e(2,4). de este modo se asocia a cada individuo un punto en un diagrama cartesiano. Digito: (del lat. digtus, dedo). m. mat. nmero que consta de una sola cifra o guarismo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. || 2. astr. cada una de las doce partes iguales en que se divide el dimetro aparente del sol y el de la luna en los cmputos de los eclipses. Disyuncion: (del lat. disiuncto, -nis, desunin). f. accin y efecto de separar y desunir. || 2. fil. separacin de dos realidades, cada una de las cuales est referida intrnsecamente a la otra; p. ej., masculino y femenino; izquierdo y derecho. || 3. ret. figura que consiste en que cada oracin lleve todas sus partes necesarias, sin que necesite valerse para su perfecto sentido de ninguna de las otras oraciones que preceden o siguen. Divisor: de un nmero entero a, es cualquier otro entero b tal que la divisin a : b es exacta. por ejemplo, 15 es divisor de 45 porque la divisin 45 : 15 = 3 es exacta.la relacin b es divisor de a se puede expresar as: b | a, que se lee b divide a a. esta relacin es equivalente a a es mltiplo de b: todo nmero natural, a, tiene, al menos, dos divisores: el propio a y el 1. Ecuacion: igualdad en la que intervienen una o ms letras, llamadas incgnitas. es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas. las expresiones que estn a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuacin: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. se llama solucin de una ecuacin a un valor de la incgnita, o a un conjunto de valores de las incgnitas, para los cuales se verifica la igualdad. una ecuacin puede tener una, ninguna o varias soluciones. Ecuacion lineal: ecuacin polinmica de primer grado, es decir, ecuacin en la cual las incgnitas aparecen con grado 1: ax + by + cz += k, en donde a, b, c,, k son nmeros reales y x, y, z, son las incgnitas. las ecuaciones lineales con dos incgnitas son de la forma

ax + by = c con a o b no nulos. se representan mediante rectas cuyos puntos son las soluciones de la ecuacin. las ecuaciones lineales con tres incgnitas son de la forma ax + by + cz = d con a o b o c no nulos. se representan mediante planos cuyos puntos son las soluciones de la ecuacin.un sistema de ecuaciones es lineal si todas las ecuaciones que lo forman son lineales. Equivalencia: expresin matemtica que significa igual valor o igual validez, segn los objetos matemticos que relacione.las afirmaciones o proposiciones equivalentes son las que tienen igual validez, o que significan lo mismo, pues cada una de ellas implica a la otra. por ejemplo, el tringulo es equiltero y el tringulo es equingulo son afirmaciones equivalentes, pues todo tringulo equiltero es equingulo y viceversa. para indicar que dos afirmaciones son equivalentes se pone entre ellas el signo . Estadistica: (del al. statistik). f. estudio de los datos cuantitativos de la poblacin, de los recursos naturales e industriales, del trfico o de cualquier otra manifestacin de las sociedades humanas. || 2. conjunto de estos datos. || 3. rama de la matemtica que utiliza grandes conjuntos de datos numricos para obtener inferencias basadas en el clculo de probabilidades. Exponente: trmino utilizado en matemticas para indicar el nmero de veces que una cantidad se ha de multiplicar por s misma. un exponente se escribe normalmente como un pequeo nmero o letra en la parte superior derecha de la expresin, como x2, ledo x al cuadrado y que representa x x; (x + y)3, se lee x + y al cubo y significa (x + y) (x + y) (x + y); y sen4x, que se lee seno de x a la cuarta potencia y que expresa que el seno de x debe multiplicarse por s mismo cuatro veces. en los clculos, los exponentes siguen ciertas reglas llamadas leyes de los exponentes. Factorial: descomposicin factorial, de un nmero natural, es el proceso por el cual se obtiene un conjunto de nmeros primos cuyo producto es el nmero dado. tambin se llama descomposicin factorial al resultado final de dicho proceso. se dice que el nmero se ha descompuesto factorialmente o que se ha descompuesto en factores primos. Fraccion decimal: decimal. f. mat. aquella cuyo denominador es una potencia de diez. Formula: (del lat. formla). f. medio prctico propuesto para resolver un

asunto controvertido o ejecutar algo difcil. || 2. manera fija de redactar algo. || 3. composicin de una mezcla e instrucciones para su elaboracin. || 4. expresin concreta de una avenencia o transaccin entre diversos pareceres, partidos o grupos. || 5. mat. ecuacin o regla que relaciona objetos matemticos o cantidades. || 6. qum. combinacin de smbolos qumicos que expresa la composicin de una molcula. Funcion: f. mat. aquella en que el valor de la variable dependiente no es directamente calculable a partir de los valores que toman la variable o variables independientes. || ~ inversa. f. mat. funcin recproca asociada a una funcin invertible. || ~ invertible. f. mat. aquella cuya relacin recproca es tambin una funcin. || ~ lineal. f. mat. aquella cuya variable o variables son de primer grado. || ~ trigonomtrica. f. mat. cada una de las funciones que dan las distintas relaciones entre los lados y los ngulos de un tringulo rectngulo. || en ~, o en funciones. locs. adjs. en ejercicio propio de su cargo. || 2. en sustitucin de quien ejerce en propiedad el cargo. || en ~ de. loc. prepos. dependiendo de, de acuerdo con. v. cero de una ~, polo de una ~. Funcion cuadratica: las ecuaciones polinmicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman cuadrticas. son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, (x 2)2 + 7x =5 + x. Funcion cubica: a principios del siglo xvi los matemticos italianos scipione del ferro, tartaglia y gerolamo cardano resolvieron la ecuacin cbica general en funcin de las constantes que aparecen en la ecuacin. ludovico ferrari, alumno de cardano, pronto encontr la solucin exacta para la ecuacin de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la frmula de las races de las ecuaciones de quinto grado y superior. sin embargo, a principios del siglo xix el matemtico noruego niels abel y el francs variste galois demostraron la inexistencia de dicha frmula. Geometria: (del lat. geometra, y este del gr. ). f. estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. || ~ algortmica. f. mat. aplicacin del lgebra a la geometra para resolver por medio del clculo ciertos problemas de la extensin. || ~ analtica. f. mat. estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los mtodos del anlisis matemtico. || ~ del espacio. f. mat. parte de la geometra que considera las figuras cuyos puntos no estn todos en un mismo plano. || ~ descriptiva. f. mat. parte de las matemticas que tiene por objeto resolver los problemas de la geometra del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en l las figuras de los slidos. || ~ plana. f. mat. parte de la geometra que considera las figuras cuyos puntos estn todos en un plano. || ~ proyectiva. f. rama de la geometra que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano.

Geoplano: contiene un geoplano cuadrado interactivo que sirve para formar figuras geomtricas y nombrarlas, de esta manera los nios pueden conocer las formas geomtricas de una manera entretenida y educativa. Grupo: (del it. gruppo). m. pluralidad de seres o cosas que forman un conjunto, material o mentalmente considerado. || 2. esc. y pint. conjunto de figuras pintadas o esculpidas. || 3. gram. conjunto de palabras estructuradas, relacionadas en torno a un ncleo. generalmente, le corresponde un comportamiento sintctico unitario. || 4. mat. conjunto dotado de una operacin asociativa, con un elemento neutro, y que contiene un elemento simtrico para cada uno de sus elementos. Hipotenusa: el lado opuesto al ngulo recto en un tringulo rectngulo. Hipotesis: hiptesis, trmino procedente del griego que designa, etimolgicamente, aquello que se encuentra debajo de algo sirvindole de base o fundamento. en lgica filosfica, se entiende por hiptesis un enunciado (o un conjunto de enunciados) que precede a otros enunciados y constituye su fundamento. asimismo, puede definirse como una proposicin cuya verdad o validez no se cuestiona en un primer momento, pero que permite iniciar una cadena de razonamientos que luego puede ser adecuadamente verificada. as, un razonamiento por hiptesis es aquel que comienza suponiendo la validez de una afirmacin, sin que sta se encuentre fundamentada o sea universalmente aceptada. la formulacin de hiptesis adecuadas y correctamente fundamentadas en la experiencia es uno de los rasgos esenciales del mtodo cientfico, desde galileo e isaac newton. en lgica, la hiptesis toma la forma de un enunciado condicional, que debe seguir determinadas reglas para su admisin como razonamiento vlido. Homotecias: de centro el punto o y razn el nmero real k 0, es una transformacin geomtrica que hace corresponder a cada punto p otro punto p tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el nmero k). Incognita: (del lat. incogntus). adj. no conocido. || 2. m. situacin de un personaje pblico que acta como persona privada. su majestad guarda el incgnito. || 3. f. mat. cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuacin o en un problema para resolverlos. || 4. causa o razn oculta de algo. Indice: ~ de audiencia. m. nmero de personas que siguen un medio de comunicacin o un programa en un perodo de tiempo determinado. || ~ de octano. m. qum. unidad en que se expresa el poder antidetonante de una gasolina o de otros carburantes en relacin con cierta mezcla de hidrocarburos que se toma como base. || ~ de precios al consumo. m.

expresin numrica del incremento de los precios de bienes y servicios en un perodo de tiempo con respecto a otro perodo anterior. || ~ de refraccin. m. fs. razn entre las velocidades de propagacin de la luz en el vaco y en un determinado medio. || ~ expurgatorio. m. catlogo de los libros que la iglesia catlica prohiba o mandaba corregir. Inecuacion: la solucin de una inecuacin es un valor o un conjunto de valores de las incgnitas para los cuales se produce la desigualdad prescrita. Infinitesimal: (del fr. infinitsimal). adj. mat. perteneciente o relativo a

las cantidades infinitamente pequeas. u. t. c. s. m. v. clculo ~.Inteligencia: capacidad para aprender o comprender. suele ser sinnimo de intelecto (entendimiento), pero se diferencia de ste por hacer hincapi en las habilidades y aptitudes para manejar situaciones concretas y por beneficiarse de la experiencia sensorial. en psicologa, la inteligencia se define como la capacidad de adquirir conocimiento o entendimiento y de utilizarlo en situaciones novedosas. en condiciones experimentales se puede medir en trminos cuantitativos el xito de las personas a adecuar su conocimiento a una situacin o al superar una situacin especfica. los psiclogos creen que estas capacidades son necesarias en la vida cotidiana, donde los individuos tienen que analizar o asumir nuevas informaciones mentales y sensoriales para poder dirigir sus acciones hacia metas determinadas. no obstante, en crculos acadmicos hay diferentes opiniones en cuanto a la formulacin precisa del alcance y funciones de la inteligencia; por ejemplo, algunos consideran que la inteligencia es una suma de habilidades especficas que se manifiesta ante ciertas situaciones.no obstante, en la formulacin de los tests de inteligencia la mayora de los psiclogos consideran la inteligencia como una capacidad global que opera como un factor comn en una amplia serie de aptitudes diferenciadas. de hecho, su medida en trminos cuantitativos suele derivar de medir habilidades de forma independiente o mediante la resolucin de problemas que combinan varias de ellas. Intervalos: diferencia de altura entre dos tonos musicales odos sucesiva o simultneamente. en la armona occidental, los nombres de los intervalos indican el nmero de notas de la escala diatnica (la escala de siete notas que usa los tonos de do a si) comprendidas en el intervalo. as, el intervalo do-sol se denomina de quinta, ya que comprende cinco notas de la escala diatnica (los intervalos siempre se cuentan con ambos extremos incluidos). el unsono (del italiano, 'una sola nota') consiste en dos tonos idnticos (por ejemplo, dos voces que cantan el do central). la octava (del latn, octavus) es un intervalo entre dos notas separadas por 5 tonos y 2 semitonos (por ejemplo, del do central al do inmediatamente superior en la escala). trminos

como quinta o tercera no resultan suficientemente precisos para definir completamente a los intervalos diatnicos, por lo que se aaden los trminos calificativos de mayor, menor, perfecta, disminuida o aumentada. los unsonos, octavas, cuartas y quintas pueden calificarse como intervalos perfectos. su identidad acstica es tan fuerte que si su tamao se viera alterado de forma perceptible, perderan su carcter esencial. por ejemplo, se puede analizar una cuarta perfecta como do-fa para descubrir dos tonos enteros (do-re y re-mi) y un semitono (mi-fa). la escala diatnica tambin contiene el intervalo fa-si (de tres tonos enteros), que el odo percibe como radicalmente diferente de una cuarta perfecta. en este ltimo caso, se denomina cuarta aumentada, ya que es mayor que la cuarta perfecta en un semitono. los otros intervalos diatnicos (segundas, terceras, sextas y sptimas) aparecen en dos tamaos, uno de ellos mayor que el otro en un semitono. la tercera menor mi-sol (un semitono, mi-fa, ms un tono entero, fa-sol) coexiste junto a la tercera mayor do-mi (dos tonos enteros, do-re y remi) al constituir juntos el acorde de do mayor. con el tiempo la msica occidental ha ido escogiendo su material tonal ms all de los lmites de la escala diatnica, lo que ha dado origen a la aparicin de otros intervalos aumentados (como la sexta aumentada entre do y la sostenido, un semitono mayor que la sexta mayor do-la) y disminuidos (menores en un semitono; por ejemplo, la tercera disminuida entre do sostenido y mi bemol). los intervalos mayores que una octava mantienen la identidad acstica bsica de los intervalos menores de la octava que les corresponden. de ah que la duodcima a veces se denomine quinta compuesta, es decir, una octava ms una quinta. Inverso multiplicativo: sa. (del lat. inversus). adj. alterado, trastornado. que multiplica numeros o expresiones. Limite: (del lat. limes, -tis). m. lnea real o imaginaria que separa dos terrenos, dos pases, dos territorios. || 2. fin, trmino. u. en aposicin en casos como dimensiones lmite, situacin lmite. || 3. extremo a que llega un determinado tiempo. el lmite de este plazo es inamovible. || 4. extremo que pueden alcanzar lo fsico y lo anmico. lleg al lmite de sus fuerzas. || 5. mat. en una secuencia infinita de magnitudes, magnitud fija a la que se aproximan cada vez ms los trminos de la secuencia. as, la secuencia de los nmeros 2n/(n+1), siendo n la serie de los nmeros naturales, tiene como lmite el nmero 2. Logaritmos decimales: ~ decimal. m. mat. el que tiene como base el nmero 10. 2.54 Logaritmos naturales: . logaritmo, en matemticas, es el exponente o potencia a la que un nmero fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un nmero dado. por ejemplo, en la expresin 102 = 100, el logaritmo de 100 en

base 10 es 2. esto se escribe como log10 100 = 2. los logaritmos fueron originalmente inventados para simplificar los procedimientos aritmticos de multiplicacin, divisin, potencias y extraccin de races, pero actualmente tienen muchas aplicaciones tanto en las matemticas puras como en las aplicadas. Logica matematica: (del lat. logca, y este del gr. ). f. ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento cientfico. || 2. tratado de esta ciencia. escribi una lgica que fue muy comentada. || ~ borrosa, o ~ difusa. f. la que admite una cierta incertidumbre entre la verdad o falsedad de sus proposiciones, a semejanza del raciocinio humano. || ~ formal, o ~ matemtica. f. la que opera utilizando un lenguaje simblico artificial y haciendo abstraccin de los contenidos. || ~ natural. f. disposicin natural para discurrir con acierto sin el auxilio de la ciencia. || ~ parda. f. coloq. gramtica parda. Magnitud: (del lat. magnitdo). f. tamao de un cuerpo. || 2. grandeza, excelencia o importancia de algo. || 3. astr. medida logartmica de la intensidad relativa del brillo de los objetos celestes, medida que es mayor cuanto menor es su luminosidad. || 4. fs. propiedad fsica que puede ser medida; p. ej., la temperatura, el peso, etc. Masa: (del lat. massa). f. magnitud fsica que expresa la cantidad de materia que contiene un cuerpo. su unidad en el sistema internacional es el kilogramo (kg). || 2. mezcla que proviene de la incorporacin de un lquido a una materia pulverizada, de la cual resulta un todo espeso, blando y consistente. || 3. mezcla de harina con agua y levadura, para hacer el pan. || 4. pastel ( mezcla de harina y manteca al horno, ordinariamente con un relleno). || 5. volumen, conjunto, reunin. Mecanica: rama de la fsica que se ocupa del movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas. las descripciones modernas del movimiento comienzan con una definicin cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleracin, la masa y la fuerza. sin embargo, hasta hace unos 400 aos el movimiento se explicaba desde un punto de vista muy distinto. por ejemplo, los cientficos razonaban siguiendo las ideas del filsofo y cientfico griego aristteles que una bala de can cae porque su posicin natural est en el suelo; el sol, la luna y las estrellas describen crculos alrededor de la tierra porque los cuerpos celestes se mueven por naturaleza en crculos perfectos. Megaton: (del ingl. megaton). m. unidad de potencia destructiva de un explosivo, equivalente a la de un milln de toneladas de trinitrotolueno. Metodo: (del lat. methdus, y este del gr. ). m. modo de decir o hacer con orden. || 2. modo de obrar o proceder, hbito o costumbre que

cada uno tiene y observa. || 3. obra que ensea los elementos de una ciencia o arte. || 4. fil. procedimiento que se sigue en las ciencias para hallar la verdad y ensearla. || ~ real. m. va administrativa del estado para la tramitacin de las preces de los fieles a la santa sede. Metodo de demostracion: induccin matemtica, axioma y a veces mtodo de demostracin usando el axioma de induccin. la induccin matemtica no debe confundirse con la induccin en otros campos, en donde se define como la tcnica de extraccin de conclusiones generales a partir de un gran nmero de casos o experimentos individuales. en matemticas, esta conclusin, aunque pueda parecer completamente razonable, puede ser falsa. sin embargo, la induccin matemtica se usa a menudo para verificar, o probar, una conjetura obtenida mediante induccin no matemtica. hablando con precisin, el axioma de induccin dice: si m es un conjunto de enteros positivos, con las siguientes propiedades ia. m contiene al entero 1, y, iia. si m contiene al entero n, se puede demostrar que m contiene adems al entero n + 1, entonces m contiene a todos los enteros positivos. Mol: (acort. de molcula). m. molcula gramo. (del dim. del lat. moles, mole). f. unidad mnima de una sustancia que conserva sus propiedades qumicas. puede estar formada por tomos iguales o diferentes. || unidad bsica del sistema internacional de unidades, definida como la cantidad de una sustancia que contiene tantas entidades elementales (tomos, molculas, iones, electrones u otras partculas) como tomos hay en 0,012 kg. (12 g) de carbono 12. esa cantidad de partculas es aproximadamente de 6,0221 1023, el llamado nmero de avogadro. por tanto, un mol es la cantidad de cualquier sustancia cuya masa expresada en gramos es numricamente igual a la masa atmica de dicha sustancia. Multiplo: de un nmero entero, b, es otro nmero, a, tal que a = b c, para algn entero c. as, 45 es mltiplo de 15 porque 45 = 15 3. tambin se dice que b es divisor de a o que b divide a a, y se expresa as: b | a. es decir, las afirmaciones a es mltiplo de b y b es divisor de a todo nmero es mltiplo de s mismo, pues a = a 1. los mltiplos de un nmero se obtienen multiplicndolo por los sucesivos nmeros naturales y por sus opuestos, 1, 2, 3 por tanto, cualquier nmero tiene infinitos mltiplos.en problemas de divisibilidad es frecuente necesitar obtener un nmero natural que sea mltiplo comn de otros y, en concreto, el menor de dichos mltiplos comunes, al que se denomina mnimo comn mltiplo y se designa abreviadamente como m.c.m. NASA: siglas de national aeronautics and pace administracin, organizacin del gobierno de estados unidos fundada en 1958 con la misin de planificar, dirigir y manejar todas las actividades aeronuticas y espaciales

de estados unidos, exceptuando las que tuvieran fines militares en sentido estricto. el administrador de la nasa es un civil nombrado por el presidente, con el debido consentimiento del senado de estados unidos. la organizacin coordina la participacin de la comunidad cientfica en la planificacin de medidas y observaciones mediante vehculos espaciales y aeronuticos, y despus proporciona los resultados correspondientes para que la informacin sea difundida. con el advenimiento del programa del trasbordador espacial, la nasa se vio envuelta en ms actividades de tipo militar, a pesar de que la intencin original era la de ser un organismo de tipo civil. debido a la larga demora provocada por el desastre del trasbordador challenger en 1986, el ejrcito estadounidense comenz a desarrollar su propia flota de cohetes acelerados. Notacion: en las ciencias o en las artes, cualquier sistema de marcas o signos que se emplean para representar de forma abreviada y sin palabras las entidades, procesos, hechos o relaciones. vase tambin reaccin qumica; notacin musical. en el mundo de las artes, la notacin se usa en la danza y la coreografa, (vase notacin de la danza) as como para sealar los movimientos de una cmara de cine, vdeo o televisin, y en el proceso de montaje. existen vocabularios especiales que resultan muy tiles para algunos juegos, como el ajedrez; en algunos deportes, sirven para representar las tcticas ofensivas o defensivas de los equipos por medio de diagramas; tambin se utiliza en la estrategia de los militares. la taquigrafa es un tipo concreto y determinado de notacin. para la historia de la notacin en las matemticas, vase nmeros. Notacion cientifica: forma de expresar un nmero mediante la cual se aprecia, de un golpe de vista, el orden de magnitud del mismo.un nmero escrito en notacin cientfica consta de un decimal con una nica cifra distinta de cero en su parte entera, multiplicado por una potencia entera de 10: a,bcd 10n con a 0, por lo que el nmero a,bcd es mayor o igual a 1 y menor que 10. n es un nmero entero, positivo o negativo.la notacin cientfica es muy til para manejar nmeros muy grandes o muy pequeos. por ejemplo, 3,548 1012 es un nmero grande, que puesto en la forma habitual sera 3.548.000.000.000. para interpretarlo habra que contar sus cifras, tarea que se da hecha en la expresin cientfica.el nmero 5,5491 10-20 = 0,000000000000000000055491 es un nmero muy pequeo. es clara la ventaja que supone la notacin cientfica sobre la habitual para interpretar su valor. Numerador: (del lat. numertor, -ris, el que cuenta). m. aparato con que se marca la numeracin correlativa. || 2. mat. guarismo que seala el nmero de partes iguales de la unidad contenidas en un quebrado. se escribe separado del denominador por una raya horizontal o inclinada. || 3. mat. en los cocientes de dos expresiones o trminos, guarismo que acta como dividendo.

Numero:(del lat. numrus). m. mat. expresin de una cantidad con relacin a su unidad. (del lat. numrus). m. mat. expresin de una cantidad con relacin a su unidad. || 2. signo o conjunto de signos con que se representa el nmero. || 3. cantidad de personas o cosas de determinada especie. || 4. condicin, categora, situacin o clase de personas o cosas. || 5. en una publicacin peridica, cada una de las hojas o cuadernos correspondientes a distinta fecha de edicin, en la serie cronolgica respectiva. Numeros complejos: expresin de la forma a + bi, en donde a y b son nmeros reales e i es . estos nmeros se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemticas. en fsica e ingeniera los nmeros complejos se utilizan para describir circuitos elctricos y ondas electromagnticas. el nmero i aparece explcitamente en la ecuacin de onda de schrdinger que es fundamental en la teora cuntica del tomo. el anlisis complejo, que combina los nmeros complejos y los conceptos del clculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teora de nmeros o el diseo de alas de avin. Numeros impares: (del lat. impar, -ris). adj. que no tiene par ( igual). || 2. m. mat. nmero impar. Nmeros pares: m. mat. el entero que es exactamente divisible por dos. Numeros primos: nmero primo, nmero natural mayor que 1 cuyos nicos divisores son l mismo y el 1. los nmeros no primos se llaman compuestos. el 40 es un nmero compuesto porque tiene divisores que no son 1 ni 40, como el 5. cualquier nmero compuesto se puede expresar como producto de nmeros primos. por ejemplo, 40 = 2 2 2 5 = 23 5. se dice que ha sido descompuesto en factores primos, o bien que 23 5 es la descomposicin factorial de 40. Numeros reales: nmero real, cualquier nmero racional o irracional. los nmeros reales pueden expresarse en forma decimal mediante un nmero entero, un decimal exacto, un decimal peridico o un decimal con infinitas cifras no peridicas.se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Operacin: entre los elementos de un conjunto, es la correspondencia que asocia a dos de estos elementos otro elemento del mismo conjunto. tambin se llama ley de composicin interna. Opuesto: (del part. irreg. de oponer; lat. oppostus). adj. contrario ( que se muestra completamente diferente). || 2. bot. dicho de una parte de una planta, como una hoja, una flor o una rama: que nace enfrente de otra. || 3.

mat. se dice de las cantidades cuya suma es igual a cero. || 4. el salv. y nic. dicho de una persona: que constantemente desafa a otra de mayor tamao o fortaleza. v. ngulos ~s por el vrtice. Ordinal: (del lat. ordinlis). adj. perteneciente o relativo al orden. || 2. m. gram. adjetivo ordinal. || 3. mat. nmero ordinal. Origami: "origami", es el arte japons del plegado de papel, viene de las palabras japonesas "ori" que significa plegado, y "gami" que significa papel. el origami es una ocupacin apasionante para aquel que siente placer en las figuras y las formas, tambin apropiado como ocupacin de grupo, sirve para ayuda y estmulo ya sean nios, jvenes o adultos. su gran ventaja es sin dudas el material empleado, solamente "papel". Paralelismo: (de paralelo). m. cualidad de paralelo o continuada igualdad de distancia entre lneas o planos. Pareja ordenada: rama de las matemticas en la que se desarrolla la teora de las diferencias entre parejas de trminos sucesivos en una sucesin. los resultados tienen muchas aplicaciones. la frmula yn = 3n - 1 genera, para n = 1, 2, 3..., la progresin aritmtica 2, 5, 8, 11, 14...; la diferencia entre parejas sucesivas en esta progresin es 5 - 2 = 8 - 5 = ... = 3. una sucesin numrica y su correspondiente sucesin de diferencias se escriben normalmente de la siguiente forma: 2 5 8 11 14 ...,3 3 3 3 ... la frmula yn = n2 - 3n - 2 genera, para n = 1, 2, 3..., la sucesin que aparece en la primera lnea de la siguiente tabla: -4 -4 -2 2 8 16 ...,0 2 4 6 8 ...,2 2 2 2 ... Permutacion: las permutaciones son las distintas formas en que se pueden ordenar los n elementos de un conjunto. si se