Operadores matematicos

OPERADORES MATEMATICOS 7

OPERACiÓN MATEMA TlCA:

Procedimiento que valiéndose de reglas o leyespreviamente establecidas. transforma cantidades o funciones en otra.

Operador:

Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática.

Ejemplo: r-----------------,

~ Suma ................ ( +) Resta ................ (- ) , Multiplicación .... (x)

~. División ............. ( : ) Radicación ........ (.f )

Los símbolo que se indican sor la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.

Ejemplos de Operadores:

A' B = A2 - 2B ..... ..

'-IOpe-ra-dor'--A:-Sl-en~'sco--'1 [R"egta de como opera. I Ejercicio:

SI : A ' B = A2 - 2B. Calcular: 5 · 2

Resolución:

De la condición: A • B '" A2 - 2B

Calculamos:

J, J, 5 • 2; 52 - 2(2)

5' 2 ; 25-4

. 15 • 2;2d

Simbología:

% ; Operador Porcentaje

/), = Operador Triángulo

• = Operador Asterisco

O = Operador Cuadrado

O = Operador Rectángulo. etc.

1 EJERCICIOS RESUELTOS 1

Ejercicio 1; Si se define la operación ( ... ). en los números reales comc.

a ... b = 3d+b~

Calcular.

A)19 B)21

Resolución;

De la condición :

Calculamos:

4 ... 3

C)23 D)18

a ... b = 3a+b2

J, J,

E) 24

•

4 ... 3 = 3(4) + 32

4 ... 3 =12+9

.. 1 4 ... 3 = 211

Rpta. B

Ejercicio 2: Si se define la operación ( t:. ), para cualquier par de números reales positivos 'x' e 'y'como:

Calcular: 25 Ó. 9

A)8 B) 11 C)9 D) 15 E) 20

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Resolución

De la condición: x ~ y ~ 3Vx - 2 v'Y

Calculamos:

J. J. 25 Ó 9 = :sJ25 - 2..[9 25 ó 9 ~ 3(5) - 2(3) 25 Ó 9 ~ 15 - 6

125 Ó 9= 9 I Rpta e

Ejercicio 3: Sea la operación (#) definida en los reales como:

#b _a + b a - --a - b

Calcular el valor de 'x" ; si:

x#2 = 2x#3

A)O 8)5 C)2 0)6

Resalución:

la#b -- aa +_bbl Oe la condición: . .

Calculamos: x#2 = x+2 x-2

E) 3

........ . (1)

2x # 3 ~ 2)( + 3 ....... . (11) 2x - 3

ReelTlJlazamos (I)y (11) en la expresión inoognila:

x # 2 = 2x # 3

~ ~ x + 2 _ 2x + 3 x-2 - 2)(-3

(x"{' ~ \~0) = (r-~ ~~) 2x2 - 3x + 4x - 6 = 2x2 + 3x - 4x - 6

x - 6 = -x - 6 2x = 0

RptaA

':' /~'rc;c;o 4: Sean las operaciones (%) y ( /',. ); definidas en los reales por:

a%b=a+ab+b

a /',. b = a2 + ab - ~

Calcular: (2 % 4) % (3 Ó 2)

A) 124 B) 160 C) 179 O) 168 E) NA

Resolución:

Oe la primera condición:' a % b = a + ab + b 1

Calculamos: 2%4=2+2x4+4

' 2%4=14 1 .. ... . (1)

:2 yo 4) % (3 Ó 2) = ? T

I 14 % 11 =? (Nueva incógnita)

De la primera condición: , a % b := a + ab + b 1

Calcular: 14 % 11 = 14 + 14 x 11 + 11 J.

(2 % 4) % (3 Ó 2) = 179

I (2 %4 ) % (3 Ó 2) = 1791 Rpta e

Ejercicio 5: Sí:

a * b = ab ~ (a + b) Y a ~ b = 2a + b

Calcular: 2 * 3

A) 12 B) 14 C) 16 0)17

Resolución; Oe la primera condición:

a " b = ab~ (a + b) I

E) 19

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Calculamos: 2 .. 3 = 2 x 3 tBJ (2 + 3)

.. 1 2. 3 = 6 & si ...... (a)

De la segunda condición: a jgJ b = 2a + b

Calculamos: 6jgJ 5=2 x6+5

16&5= 17 1

Luego. reemplazamos ( a ) en ( p )

2.3=6jgJS

...... ( ~)

~ Rpta O

Ejercicio6:Sean lasoperaciones: (O). (~). ( .. ). ( ... ). definidas en los reales por:

a O b = a ~ b; _ 7 a ... b = a .. b

a ... b = al> + ba; ~ a"l, b '" a ... b

Calcular:

A)2 1

B}28 Resolución:

4 O .!. 2

1 C)2"ffl"" D):i

C~)tenemos: la ") b", a ... bl

El"!-ª-33

... . .. (1)

Delasexpresiones:a1l"b;a"+be y a .... b = a ... b

Obtenemos: la ... b = ab + bal .. . .. . (11)

Reemplazamos (II) en (1):

a O b = ab + b". con esla expresión calculamos:

4 0

40

1 1 1 4 t) -= 2+ -= 2-2 16 16

RptaC

Ejercicio 7: Sabiendo que:

a CJ b '" 2a - 5b ..... .... si: a > b

aD b = 3a -7b ......... si: a < b

Calcular: (- 2 D - 1) - (- 1 CJ - 2)

A)3 B) -7 C)4 0'-2 E) N.A

Resolución:

Dela2da. condici6n: aClb ; 3a-7b; si:a<b

Calculamos: -20 -1 '" 3 (-2) -7 (-1)

1-2CJ-l=11 ... . .. (a)

Dela Ira. condición: aob =2a-5b;si: a>b

Calculamos: -1 CJ-2 = 2(-1) - 5(-2}

... 1-1CJ -2 ", 81 .... ··(P)

Reemplazamos(a)y(p)enlaexpresióninc6gnila:

(-2CJ -1) -(-1 CJ -2) = 1-8 = -7

.. I (-2 el -1)-(-1 el - 2) =-7 I RptaB

Ejercicio S: Se define la siguiente operación:

A 11 B '" AB2 • (A + 2)

si: A = x+3 y B = x+k

Hallar:

k>O. si eltérminoindependienlede A 11 Bes60.

A)2 B)4 C)O 0)3

Resolución:

En la condición: A 11 B = AB2 . (A + 2);

Reemplazamos los valores A y B.

E)1

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A 11 B = (x + 3) (x + K)2 . (x + 3 + 2)

A 11 B .. (x + 3) . (x + k)2 . (x + 5) -r= =r-

A 11 ·B = (x2 + 8x + 15) . (x + k)2

A 11 B=(x2 +3x+15).(x2+2kx+k2)

I I I

(Término independiente de A # B es 15 k')

Por dato: Tennino independiente de A 11 B = 60

Luego:

Ik=±21 Rpta. A

Ejercicio 9: Sea: I y I a I = ya . y-2 - 1

- 3

Donde: Ix2 131= 81 -8

Calcular el valor de ' x"

A)3 B)9 C) 81 D) 1/9 E) 1/3

Resolución:

En primer lugar reducimos el valor de la expre-sión: -1 rn =81-

6

ffi =818

- 3

1

3

-1 rn = 81 2 = (92

)

De la condición:

Calculamos:

1

2

= 1 9

1

2

1 6 - 4 - =x . x 9

; =x2 -+ x=±{i

Ejercicio 10: Se define la operación:

a*b =a+ b a - b

1) (a' b) + (b • a) = O

Rpta. E

11) si: x • y = 3; entonces: x:: 2y 111) a • b:: (a + 1) • (b - 1)

Son verdaderas:

A) Sólo (1) D) I Y 11

Resolución:

De la condición:

Calculamos:

b*a = b+a b - a

De la expresión (1):

B) Sólo (11) C) Sólo (111) El 11 Y 111

b • a _ _ (a + b) - (a - b)

Ca • b) + (b * al = O ; reemplazamos valores, obteniendo: D D

.... . . {verdadero)

la*b = aa _+bbl De la condición: . .

)(+Y Calculamos: x' y = -x-y pero: x = 2y

De donde: x • y = 2y + Y = 3y = 3 2y - Y Y

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(verdadero)

De la condición:

Calculamos:

a'b = a + b a - b

(a + 1) '(b _ 1) = (a + 1) + (b - 1) {a + lJ-(b - Ü

I (a + 1) • (b - 1) = a + b . 8 - b + 2

De la expresión (111) :

. rl-~-~""':"'~"":_-a-~-~-+:-b-2-'1 ; (FALSO)

Hallar el valor de:

A)16 B)4

Resolución:

De la condición:

Calculamos:

C) 1 D) 196

~=Ia+b+cl ~= ll+1+¡1

De la condición: ~ = fi2

Rpta. D

(/

E)9

... ... (u)

Calculamos: lID = 32 ~ lID = 9 ······(Il)

Reemplazamos ( Il ) en ( (l ) :

A =9 .......... ( e, Reemplazamos ( e) en:

.......... (1)

De la condición: ~

~=rl-a-+--;b:-+-c""'l

Calculamos: A ~=1-2+9-3 1

[\=0 ...... C!jI )

De la condición: ~ = a2

Calculamos: ...... (w)

Reemplazamos ( w ) en ( e> ):

¿ '=16 ...... (11)

Luego, reemplazamos (11) en (1 ):

= 16

Apta. A

Ejercicio 12: En A • B = A ; si: A < B

A • B = B; si: A > B

Luego son verdaderas .

1.- 7' 8 = 8' 7 11.- 5' 3", 3 111.- (5' 3) • 4 = 5 • (3 • 4)

J 1

3 3

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A) Sólo 1 B) Sólo 11 C)lyll E) 1, 11 Y 111 D) Sólo 111

Resolución:

A) De la condición: A' B = A; si : A < B

Calculamos: 17' 8 = 71 De la condición: A • B = 8; si: A > B

Calculamos: 1 8 ' 7 = 71

La expresión (1) es verdaderal----...J

B) De la condición: A • B = B; si A > B

C)

Calculamos: 5' 3 = 3 ~ La expresión (11) es verdadera

De la condición: A' B = B; si: A > B Calculamos 5' 3=3

De la condición: A'B=A; siA < B Calculamos: 3' 4= 3

Reemplazamos valores en la expresión (111):

(5/)'4=~4)

3'4=5'3 .............. (0:)

De la condición: A' 8 = A; si: A < B Calculamos: 3 ' 4 = 3

De la condición: A' 8 '" B; si: A,. B 5' 3=3

Luego, reemplazamos los valoreshalladosen (0:):

3'4=5'3 -!- T

3 = 3 ~ La expresión (lit) es verdadera

Ejercicio ~ Sea la operación:

@ = 3n +2 20

Entonces el valor de "n" en:

@ = n =; es :

RptaE

A) 1 8)2 C)3

Resolución:

De la condición: @ = 30 + 2 20

D)4

® 3@ +2

Calculamos: ® = 2@

3@ +2 o =

2@

Reemplazamos (1) en (11):

3l3~:2 J+ 2

o = 2( 3~~ 2 )

6n2 +4n = 130+6 6n2 -9n-6=0

6nX +3

n - 2

De donde: (6n + 3) . (n - 2) '" O

E)t.

. ... " .(1)

"" ."" " (11)

i) 60+3=0 ~ 0= - % ~ lo =- ~I ji) n - 2 = O ~ I n = 2 I

Ejercicio 14: Si"m a e b d =ad-bc

Hallar: yen;

All

I:IT]+[IT!]=!:IT:!I ~~~

8)3 C)5 D)7

RptaB

v E)9

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Resolución:

De la condición: 1: 1 ~I =ad - be

Calculamos: 1: 1 ; 1 '" 4 - 5 - 6- 1 = 14

~ = 3 · y-xl=3y -x ~ CITIl Ld.rJ = 5 ·y-x · l=5y-x

Luego, reemplazamos valores en la expresión:

tiBj.[flj=fHIj ~I ~

14 + (3y - x) = (5y - x) -) 14=2y

RptaD

Ejercicio fs: Hallar el resultado de la siguiente operación, ~valuando de izquierda a derecha.

4"1*2*2"0'3

y consultando esta tabla

• 4

4 o 3 4

2 1

1 2

o 3

A)2 8)3

Resolución

Para este tipo

de problemas

se opera de la siguiente ma

nera para ha

llar el valor de

la expresión:

:

3 2

4 3

1 2

3 2

4 o 2 1

C)5

" 4

® o 3 4

2 1

G) ?

® 3

1 o 1 1

4 2

4 3

3 4

2 o

D)4

,(3) .<21 4 3

1 2

3 2

4 o 2 1

E)6

111 .101 ¡ 1 1

4 2

4 3

3 4

2 o

4'1'2'2'-0'3 T 1"2'2'0'3 'T 0'2'0'3 T

1 • O' 3

----r' 4" 3= 4

Según la tabla:

4'1 =1

RptaD

(Para este resultado se trazado una linea horizontal y otra vertical el punto de intersección de estas dos líneas será el resultado de

• @

.\

3

2

<!> O

De igual manera se procede para el resto de operaciones. t-

Ejercicio 6: Sea: (x) la operación definida en:

L '" (a, b, c, d. e} ; mediante la tabla

x a b

a a b

b b e

e e d

d d e

e e a

Calcular: a~ x tY! x c2

\} ~

e

e

d

e

a

b

A) b Bl c ~ C) d

d e

d e

e a

a b

b e

e d

O)e E) N.A

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Resolucíón:

x a .® ,@ ,@ e

® a 'b c d e

(í)l h r. d e a

c c d e a b

(d). d El. a b c

e e a b c d

La expresión: a2 x b2 x c2, se puede escribir cerno:

a2 x b2 x c2 = (a ~ ~ x C)2

a2x¡¡ x c2"'(b ~ (l

a2 x ¡¡ x e2 = &; pero: & = d x d

a2 x ¡¡ x c2 = d x d --.::::..,

Rpta. A De la tabla:

(Estos resultados han Calculamo~ i) a x b '" b sido reemplazados en

ii) b x e == d la 9lCpresión; a' x b' x iii) d x d", b c' l

Ejercicio (2 Sabiendo que:

@) =x(x + 2) y ~ =xL1

Calcular: GJ + (g) A)3 8)4

Resolución:

De la expresión:

Calculamos: ® De la condición:

Calculamos: @ U

C)7 D) F.D E) N.A

G) =x2-1

= 22 - 1 -+ ® = 3 ...... ( a)

G) = xl-1

= l!:)2 - 1

le (x + 2) = [EF -1

'>?+2x+l, = 0 2

= [EJ2; T

• (x +1)2 . I .

a exponentes iguales, bases iguales.

[i] =x+1

De esta última expresión: [i] = x + 1

Calculamos: m = 3 + 1 -+ rn = 4 ....... ( ~ 1

Luego. reemplazamos los valores de ( ex) y ( P) en la expresión incógnita.

rnJ + <V=4+3

.. 1m dí)= 1 I Rpta. e

Ejercicio 18: Se si define la operación ( % ). para cualquier par de números reales "a" y 'b", como:

a % b =a2 -ab

Calcular el valor de ' x' si:

Ix +2) %Ix-l) = 5x

A)3 B) 6 C) -3 D} -6

Resolución:

De la condicion: a % b = a2 - ab

Calculamos:

E) NA

{x+ 2) "lo (x - 1) = (x + 2)2 - (x + 2)(x - 1) • 5)( = (x2 .. 4x + 4) - (x2 + X - 2)

Ejercicio, tp: Si:

5)( = 3x+6

2x =6

2 • 3 = 2 3 • 2 '" 2 5 • 4 '" 27 1 • 5 = 5 5"2=36

RptaA

Calcular el valor de: 2152 • 3543

Al 6 273 B) 2 572 D) 2672

C) 3572 E)N .A

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Resolución:

La expresión incógnita; se puede escribir como:

2 1 5 2 • 354 3

2 6 7 2

i) 2 • 3 = 2 r-lIevamos

ii)S'4=27 1-se pone en el

resultado

iii) 1 • 5 = L Este S lo operamos con el 2 que se llevaba de la operación anlerior.

De donde: ~ selleva

5'2=3l se pone en el resullado

IV) 2 • 3 = 2

Asi:

LEste 2 se operara con el 3 de la operación anterior

2 • 3 = 2 L Se coloca al resultado

12 152 • 3542 = 2672.

Rpta. O

Ejercicio (): Si

a#b=( a2b:a3Sb )Xb-1

Calcular el valor de: ó # [5 # (5 # 5 # < ..... > 1 ») ~)3 8)2 C)4

DI 6 E) Imposible

Resolución:

En primer lugar, trataremos de rE'rJucir la condición del problema.

a # b = ( a 2b + 35b ) x b - . 4a )

a#b = ( a2

4:3S)bX ) - 1

pero: I b x b · 1 = b x ~ = 1 1

la 11 b = a'4+a35

La expresión incógnita la transformamos de la siguiente forma:

5 11 L 5 11 (5 11 {5 11 (.. .. __ .. ) 1 ) ] = incógnita , ,

De la condición:

Calculamos:

• E

2 a#b = a +35 J.! 4a

2 5 #E = 5 + 35

4 (5)

60 5I1E = - = 3 20

[ 5 11 [5 11 (5 iI (5 11 e .u.> }») = 3 I Rpta.A

'1 O- P- E-R-A-C-IO-N-E-S-B-IN-A-R-IA-S-': 1

Las operaciones binarias más usuales y conocidas son la adición,la sustracción,la multiplicación y la división.

Puede decirse que una operación binaria consiste en la asoci ación de un par de elementos de un conjunto para obtener un nuevo elemento que es el resultado de la operación.

Pueden emplearse diferentes signos para indicar una operación cualquiera los más usados son "*" (operación asterisco), el • O • (operación· O") u otros signos convencionales .

Cuando el resultado de la operación es un elemento del conjunto de partida, se dice que el conjunto Cerrado respecto a la operación definida; si el re3ultado no en un elemento del conjunto se dice que el conjunto es Abierto respecto a la operación.

ForEjemr'o:

El conjunto de los números Naturales N es ·Cerrado· respecto a la adición (la suma de dos números Naturales es un Número Natural. 3 +4 := 7) y la multiplicación (el producto de dos

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Números Narurales es un Número Natural 2 x 4 = 8}. En cambio, no es Cerrado respecto a la sustracción (la resta de dos Número Naturales JX.tede o no ser un Número Natural . 5 • B = -3) Y la óV1Slón (el cociente de dos Números Nalurales puede

o no ser un Número Natural. ~ = 2 5) 2 '

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS

a) Conmutatividad.-

I 'ti a, b e A ~ a' b = b • a I b) Asociatividad.-

I 'ti a, b, e e A .00..) a' (b • e) = (a • b) • c

e) Distributividad.- Si se tiene dos operadones * A O en un conjunto A, para todo a, b, e e A debe verificarse:

a' (bOe) = (a' b) O (a' e)

En este caso la operación' es Distributiva respecto a la operación O .

d) Elemento Neutro.-euandoen uneonjunto A existe un elemento ' e • que tiene la propiedad en una operación ' • " de aparecer como que no interviniera en ellos, entonces de dice que" e " es el Elemento Neutro en la operación definida. Es decir.

I 'riaeA ~ a'e=al

Ejemplos:

1) Para la Adición IR el Elemento Neutro es el O; pues: a ... O = O .. a = a

2) Paralamulliplicaciónen elElemento Neulroes ell; pues: la · 1 - 1 . a = al

e) E\ementolnverso: Elinverso de un elemento a e Asedesignaa-1 ydebetenerlapropiedad que al ser "operado" aCOll a·1 debe obtenerse el Elemento Neutro es dedr:

I "ti a E A; a' a" = e I En la adición de números reales el inverso de un número ' a • es " - a ", llamándose' inverso aditivo,

Por lo tanto: a + (- a) = (- a) .. a = O pues el O es el elemento neutro para la adición en IR .

En la multiplicación en IR el inverso de • a • es ~ Ilamándosele inverso multip lieativo.

1 Entonces: Va .. o: a · a = 1 pues el 1 es el

elemento neutro para la multiplicación en

En los racionales Q el inverso multiplicativo de

a b - es - pues' b a .

1~ · ~=1 ( V a , b .. O)

Ejercicio 21: Con los elementos del conjunto: S = {a, b, e, d, e} se efectúa la operación obteniéndose el cuadro siguiente:

• a b e d e

a a b e d e

b b c d e a

e e d e a b

d d e a b c

e e a b c d

1) La operación es abierta 11) La operación es conmutativa III} Existe un elemento neutro (idéntico)

De estas afirmaciones es (son) verdadera (s)

A) Sólo lB} Sólo" D) Sólo I y"

C} Sólo 111 E) Sólo 11 y 111

Resolución:

1) La operaCión NO es abierta si no cerrada ya Que el resultado es un elemento del conjunto de partida, veamos por Ejemplo.

a'a " a l b'b"c e • e = e d • d = b e • e = d

Los resultaaos son elementos del conJunto de par1ida: S==la,b,c,d,e}

11) La operación si es conmutativa, veamos:

a'"c = c·a ~~

c=c

111) Si existe un elemento neutro (idéntico), estE' elemento neutro es:

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. r;-a a

b b

c c

d d

Fila- e e '-" ,

Columnas

b c d e

b c; d e

c d e a

d e a b

e a b C

a b c d

* Para hallar el elemen!o neutro, primero nos fijamos que los elementos de una de las filas y columnas sean iguales como en esta figu ra; la intersección de la fila y columna nos dá el elemento neutro.

RptaE

Ejercicio 22: Con los elementos del conjunto A = { -2, -1 . O. 1, 2 l se dE'fine la operación: a • b = ab .. a + b, entonces el valor ' X • ~ • y • en el cuadro de la figura adjunta es

A)x= +1; y=-2

8) x = -2; y = -1

C) x = -1; Y = -3

D) x = 1; Y = 3

El otros lIaIores.

Resolución' -•

-2 1 O

1

2

• -2

-e -1

O

1

2

- 2 - 1

'" lO

- 1 o 1 2

y

X

O 1 2

~y

I

Delacondición: a' b = ab + a + b

Calculamos: -1'-1 =(-1)(-1)+(-1)+(-1) , .

x = "'-'1..- 1

.. I x = -11

De la misma condición: a*b=ab+a+b

Calcular: ,-2' " = (-2) (1) + (-2) + (1) I

y =-2-2+1

I y= -31 Rpta. e Ejercicio 23: Se formarán los dos cuadros siguientes correspondientes a dos operaciones siguientes: .. y )

CUADRO (1)

* O 1 2 3 4

O O 1 2 3 4

1 1 2 3 4 O

2 2 3 4 O 1

3 3 4 O 1 2

4 4 O 1 2 3

CUADRO (2)

l ) O 1 2 3 4

O O O O O O

1 O 1 2 3 4

2 O 2 4 1 3

3 O 3 1 4 2

4 O 4 3 2 1

Analice estos cuadros y conteste las preguntas siguientes:

1) ¿Es conmutativa la operación' • '? 2) ¿Es conmuta tilla la operadon ' 0 '? 3) ¿Es asociativa la operación' • '7 4) ¿Es asoclatilla la operación' 0 '7 5) ¿Es distributiva la operación' .. ' sobre la ' O '7 6) ¿Es distñbutiva la operación' )' sobre la •• '7

ResolucIón:

CUADRO (1)

• O <D ® 3 4

O O 1 2 3 4

ID 1 , 3 4 O

® 2 3 ' 4 ' O 1

3 3 4 O , 1 2

4 4 O 1 2 3

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CUADRO (2)

, ) O 1 ,(2) (3) 4

° ° ° ° O O

1 ° 1 2 3 4

(2). O 2 4 1 3

@ ° 3 1 4 2

4 O 4 3 2 1

1) Analizando el primer cuadro obtenemos Que la operación " • " es conmutativa, veamos según el cuadro (1).

1·2 = 3 1 -+ 1.2 = 2.1 2 • 1 = 3 f '-r-' '--w-'

3 3 -+ (es ConmulaUva)

2) Analizando el cuadro (2), obtenemos Que la operación ",)" es conmutativa, veamos según el cuadro (2).

203=11-+ 203 =3 ,)2 302 ", I r ............... '-r-'

1 1 ..... (es corrnutativa)

3) Analizando el cuadro (1), obtenemos Que la operación (o) es asociativa, veamos segú n el cuadro (1 ).

3" (4"2)=(3~ 4)"2 ----..-' ----..-'

~=,2~2,

4=4

4) Analizando el cuadro (2), obtenemos que la operación· O • es asociativa, veamos según el cuadro (2):

3 , ) l2 C? 41 = (3 '? 2) \) 4

~=~ 4=4

5) Analizando los dos cuadros, obtenemos que la operación •• • no es distnbutiva sobre la operación· O ", veamos:

4 • \2 (? 3l = $4 : 2),0 ,(4 .. 31 ~=~

0 .. 2

6) Analizando los dos cuadros, obtenemos que la operación' O • si es distributiva sobre la operación· •• • veamos:

4W(2 • 3) = (4 o 2) • (4 ) 3) ~~~

,49°.", 30 2 V 0=0

Ejercicio 24: Se define la operación o en el conjunto: M = {a; b; e; d;} mediante la siguiente tabla de doble entrada:

• a b e d

a e d a b

b d a b e C a b e d

d b e d a

Hallar el valor de • x· en la siguiente igualdad:

a-l. b·1 = X • C

A)a D) d

Resolución:

• .~ a a f--© b d

e (a d b

B)b

b e d a a b b e @ \!!.

,d

lb (C) d)

a

C)C E) otro valor

De la tabla calculamos el elemento neutro, siendo este· c" ,luego marcamos en la tabla las letras· c • paraasi hallarlas inversas respectivas veamos:

~ = x'C

~*L~

Rpta. B

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I EJERCICIOS PROPUESTOS I

Ejercicio 1: Sabiendo que: x t:8J y = x Il y x - y

Hallar el valor de: R = (8 t:8J 6) LI (3t:8J 4)

A) O B) 5"2 C) vTO D) {f5 E) N.A

Ejercicio 2: Si: p' q = 2p + 4q

Simplificar: (p 'q) '(q , p)

E = -"----"_:"":""'-'-"-O '1

A)p B) q D)2p+4q

C) p+q El 5p + 4q

Ejercicio 3: Si: x I)J y = XV + y'

a # b=axb+ab

Simplificar la siguiente expresión:

M = SII3 2~3

A)4 B){3 el 5

Ejercicio 4: Si;

D}6

( q% r) a p p • q • r - -"( r-a-q¡~o¡.:;-o -p

Además: x % y = .¡-- x ya x=2xy - y

Hallar: E = [(2) • (- 2) • (- 3))

A) -3 B)9 C)O D) 1/9

El N.A

E)N.A

Ejercicio 5: Dada la siguiente fom\a de operación en:

% A# (A • BI = --'-'--

# 11 B (A - SI

Además:

Nn = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x '00' 0 0 x N

Hallar: E = (7 • 5)70 + (8 • 3)%

A) 56 B) 77 C) 144 D) No se puede calcular E) Ninguna

Ejercicio 6: Si:

Db =2b-ab; a' b = a + (a # b)

y: x #y = y2_ X

Hallar el valor de:

MJ ;\2' 3) ] ... ([ 211 (- 1) J' 2)

lU(-2'1)

A) -4 B) -3 C) -2 D) -1 E) O

Ejercicio 7: Dadas de las siguientes relaciones:

AOB = AA+6; AO B = BAoS y:

AOB =~t

Calcular. (3 ':>-1); sabiendo que:

x = 20S 206

A)9 D) 1

Ejercicio 8: Dado:

B) 81

Q' = 20 - 5 ..... si:

C)rN2 E) 81'1'2

0 '02 . 40 = + 1 ..... Sl: - S < 1

Calcular el valor de: . '. S = S - (- 3) -4 • • 3 - 2

• • • • 2 - 3 +0 5

1 A) 7,6 B)8 C) 6,7 D) 215 E)N.A

Ejercicio 9: Considerando las operaciones:

A % % B '" A + B - N; si: 1 < N < 5 A % % B = A + B + N; si: 5 < N < 10

Donde: "N" es la suma de las cifras de los operandos (A yB)

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. Hallar:

E = (12 %% 15) %% (3 %% 1)

A)9 B) 4 C)45 0)36 E) O

Ejercicio 10: Definimos estas operaciones:

a=~; a T =aa y a!=\Ja r? Hallar el valor de' M ' si : M = [(2 jI · (4 ! ») ! b

Al l 8)2 C)4 0)8 E) 1/4

Ejercicio 11: Considerando la operación:

aq,b=a+b+3ab

Hallar el valor de • x • en:

a4llx",1

A) a / (3a + 1) C) (1 - a) / (3a + 1) 1) El -a / (3a + 1)

SI (a + 1 1 / (3a + 1) O} -(a+1)/(3a+

Ejercicio 12: Si:

(a +b)2 2 2 altb= ; m%o=m + n

2 Hallar:

• (r-s) • en:

(r%s) - Ir 11 sl =(;J3 Al 8 B) 16 C) 64 DI 32 E)4

Ejercicio 13: Se deline la operación como:

III = ~ ~ ~ ; sabiendo esto hallar: • m • en :

UiiI '" m

A)4y2 SI 4 ó-2 C)4 DI -2 El 4 y-2


mlln=2m-n

a % b = (a 11 b) + 3a + b

SimplifICar:

(5 # 3) + 5% (5% (5% (5% .. . 00)))

A) 25 B)28 e) 30 0)32 E) 35

Ejercicio 15: Si definimos la operación (') de la siguiente manera:

A • S == A + B; sólo si: A > B > O A • B", A - B; sólo si: A> B ; B < O A • S = A - B; sólo si : A < S

Hallar el valor de: R '" (5 • 3) • (2 • 4)

A) 16 SI -4 C) 10 0164 El -12

Ejercicio fJ Si: S ..... E '" (S + E) (S .... E)

y: [(S + E) H El '" 2 SE

Hallar: 3 --} 2

A)4 B)5 C) 10 O) 20 E) 25

Ejercicio 17: Si:

p + H + 15 . 2 . ~=14

Hallar el valor de:

M =~ A) 125 SI 120 C) 205 O) 81

Ejercicio 18: Se define la operación:

a V b '" ab + b - a;

según esto. Hallar' x • en:

5 V x '" (7 V 4) V 10; .!. 2

luego determinar el valor de: (>( V ~)

A) 50 S) 35 C)40 0)25

Ejercicio 19: El siguiente cuadro:

El 60

E)N.A

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~ o o O

1

2

1

2

1

1

1

2

2

1

O

? ()

Corresponde a la ley de formación para: ~B

A+B Al A _ B 8) A+B-1 C) AB-2

D) A+B-AB E) Ninguna

Ejercicio 20: En la tabla de multiplicar de la derecha, se cumple para:

1) a2 = a • a b

11) ab = b a a a b 111) t>2 = a b b a IV) a2 . t>2 = a

A) Sólo I B) Sólo 11 C)lyll D) 11 Y IU E) Todos

Ejercicio 21: Si:

&.. = (B+ 1}"; Hallar el valor· x " en:

4=100 A) 3 B)9 C) Y3 - 1 D) ,12

Ejercicio 22: Si : m' n = 2m + 3n - 1

Hallar el valor de • x • en:

(x - 1) " (2x + 2) = 7

E)-i2 -,

A) 1 B) 3 C) 1/2 D) 1/4 E) N.A

Ejercicio 23: El resultado de la operación:

[(3" 2) • (4 • 3)) • (2 • 4) = 3

Corresponde a la tabla:

(1) (11) • 2 3 4 • 2 3 4

2 2 3 4 2 2 3 2

3 3 2 3 3 3 3 4

4 4 4 2 4 4 4 3

111)

• 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 3 4 3 2 4

A) Sólo I B) Sólo 11 C) Sólo 111 D) I Y 11 E) I Y 111

Ejercicio 24:

Sabiendo Que:

o = x2-1

1& 1 = x(x+ 2)

Calcular el valor de: lA R=(&~W)

A)9 B)6 C) 81 D)16

Ejercido 25: Dado:

Ix lo 1= 2 ;1 x I 11 = 3 Donde:

E) 36

Ixln+11=3ffi-2 k In-11;{n~O). Hallar el valor de: ct:f I x ~ -JG --¡"-;""'1U A)9 B) 12 C) 17 D)21 E)N.A

Ejercicio 26: Hallar el resultado de la siguiente operación evaluando de izquierda a derecha

4'1'2 '2"0 ' 3

y consultando ésta tabla.

• 4 3 2 1 O

4 O 4 3 1 1

3 4 1 2 4 2

2 1 3 2 4 3

1 2 4 O 3 4

O 3 2 1 2 O

A)3 8)0 C)2 0)1 E)4

Ejercicio 27: Se define (*) en el conjunto "A".

A = {O,2, 4, 6}ycon la tabla adjunta; marcar verdadero (V) o falso (F).

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IJ

11)

111)

d. U:;;:: o d , V d. V U V M

3 aE A ~ talque: a*b = bOa 3 b E A

(2*4)"6 = 2·(4' 6)

. O 2 4

O 6 4 2

2 2 O 4

4 O 2 6

6 4 6 O

6

O

6

4

2

Al FFV B) FVV C) VVV DI VVF E)VFV

Ejercicio 28: De acuerdo a la siguiente tabla:

• a b e d a a b e d

b b e d e

e e d e a d d e a b e e d b e

y dadas las siguientes ecuaciones:

x o y = b

y * z = a x • z = d

1) ~

Hallar: [(x' d) • (y • e) • (z • e))

e e

a

b

e d

A) a B) b C) c D) d E) e

Ejercicio 29: Dada la tabla definida mediante el q¡erador (! 1')

H 2 5 3 2 20 5 3 5 5 10 23 3 3 23 50

Hallar: 325 ! T 353

Al 5 053 B) 553 C) 5 023 D) 5 523 E) N.A

Ejercicio 30: Sabiendo que: aK 0 a = X2 + 1

Calcular el valor de:

Al :~~ Bl :~~ C) 601 576

576 DI 601 E)N.A.


aOb=a+b aO b

Resolver: (2x O 3X}2 + (3x O 2X)2 = (3'0 2)2

1 1 1 A) x = '4 Bl x = '2 C) x = '3

, D)x = '3 E) x=4

Ejercicio 32: Dado que:

a V b={a2~: a + b;

a .. b '7

a = b f;:l

(.J2 V4)V(8V8) o ~r'~O~ M - 1 4.-

- 8'19 i fJ Hallar.

Al M= _,_ Bl M= -'- C) M= ~ 27 54 27

4 D) M = -

27 5 E) M= -54

Ejercicio 33: Definimos la operación ' r.() • del siguiente modo:

Hallar:

A) 2 1l:> 1

B) 2 rll 2

xm _ l m ,/" n - ''''=_---'

xn -1

(3 1l:> 1}-(4 1l:> 2)

C) (2 rf' 1) -(1 ® 2)

D)(2 ~ 1) - (1 ilJ 1)

E) (2 'ti 1) - (3 'ti 2)

Ejercicio 34: Con los dígitos 1,2,3,4, se define la operación:

Entonces, en los espacios x, y, z, debe colocarse respectivamente:

• 1

2

3

4

1 2 3 4

x

y

z

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A)2;6; 7

D) 1; 4: 2

Bl 1,5; 2,5; 3,5

E) 1,5; 3,5; 3

C) 2; 3; 4

Ejer-c;cio35:Si definimos el operador" +. como:

a1< b = ~a Vb Calcular. (2+ ;)+ ~ A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/4 El4

Ejercicio 36: Se define la operación binaria' * • en • Z· medianle la siguiente relación:

a*b =a2- b2

Hallar la suma de los elementos del conjunto solución de:

A)5 Bl -2 C)3 0)4 E)2

Ejercicio 37: Se define los operadores E3 V rn. de la siguiente manera:

aGb= {(a +b)2,

ab,

aDJb= Vab

a>b

a<b

Calcular: (2E33)[O(5Bl)

Al 3 B) 5 C) 6 O) 7 El 4

Ejercicio 38: De acuerdo con las tablas adjunlas el valor de:

Ala 8)b C)C

D)d

E)e

+ a b e d e

• a b c d e

2a. (b3 + 2c) es:

a b c a o c b c d e d e d e a e a b

a b c a a a a b c a c e a d b a e d

d e a e e a a b b c e d

d e a a d e b d e c e b

Ejer-cicío 39: Con los elementos del conjunto: {a, b, e, d} se define la operación .'f obteniéndose el cuadro adjunto de «doble entrada ..

;;'r a b c d a d c b a b c b a d c b a d c d a d c b

Se afirma Que;

1) La operación ~( es conmutativa 11) La operación * es asociativa 11) El elemento neutro es .. a ..

De estas afirmaciones son verdaderas:

A) Sólo I 6) Sólo I y 111 el Sólo 11 y 111

D) las tres son falsas El lastres son verdaderas

Ejercicio 40: La operaci6n O efectuada entre los elementos del conjunto

S = p, 2, 3, 4 , 5} da el cuadro siguiente:

o 1 2 ;, 4 5

1 1 2 3 4 5

2 2 3 4 5 1

3 3 4 5 1 2

f-4 4 5 1 2 3

5 5 1 2 3 4

Se afirma Que la operación tiene las propiedades siguientes:

1) la operacion es CERRADA 11) Existe para cada elemento un INVERSO 111) Es asociaF.¡a

De estas afirmaciones sóloes (son) verdadera (s)

Al l a I D)lallylll

Bl La I y 11 E) Los tres

C)Lalylll

EjeTcicio41: Si: (x + 1) 0 (y -1) = x + y

Cálcular el valor de 'a' en:

(5 e» 4) e» (a e» 2) = 14

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5

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Ejercicio 42: Si:

lKJ ; x-x+x-x+ .. . oo


A} 2-17

B B) Z-IS

C) 2 - 19

D) 2 -20

E} 2 -21 21 operadores

q O

Ejercicio 43: Definimos la Operación (+) mediante la siguiente tabla.

* O 1 2 3

O O 1 O 1

1 1 1 2 1

2 O 2 4 O 3 1 1 O 2

Según esto, calcular:

((1 * O) ,," (O * 2)] ,1< [(3 ,1<' 1) * 2)

A) 3* 1 8)2 *2 C)3 *3 D}4 E)0*3

- - - - - - - -

Ejercicio 44: Si:

aa 1.', bb = b * a

XV * Y" = 2x + y


A)9 Bl11 C) 13 D} 14 E) 16

Ejercicio 45: Si;

(x o V) (y- x) x = y ; x,¡,y'r/x,y


R (2 ( 5)(5 ( 2)

(99 (100)(100 o 99)

A)-6 B) 6 C)9 0)-9 E)12

({ V

I CLAVE DE RESPUESTAS

I 1) B 11) C 21) E 31) B 41) C 2) E 12) E 22)C 32) B 42) D 3)A 13) B 23}A 33) O 43)C

4) A 14) D 24)8 34) E 44)B

5) B 15) C 25)C 35) A 45) C 6) B 16) D 26) E 36)C 7) E 17) E 27) B 37)C

B) A 18) C 28) E 3a)A

9)C 19) D 29) A 39) A 10) E 20) E 30)C 40) E

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Operadores matematicos

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