APUNTES de 4B - Tema 4 - Ecuaciones e Inecuaciones

Captulo 4

Inecuaciones.

A diferencia de la anterior unidad, dedicada a las funciones, esta unidad vuelve a ser de tipo algebraico, de modo

que podramos haberla visto tras la factorizacion de polinomios. No obstante, como utiliza aspectos de tipo grafico,

como la representacion de rectas en el plano, se ha preferido darla tras las funciones, entendiendo que en este punto

los alumnos poseen un mayor dominio de la representacion grafica de puntos y rectas en el plano. Basicamente, para

nosotros una inecuacion sera una comparacion en la que la expresion comparativa no es un signo de igualdad, sino

otro de desigualdad, ya sea estricto; < (menor que), > (mayor que) o flexible; (menor o igual que), (mayor oigual que); siempre leyendo de izquierda a derecha. Esta diferenciacion sera fundamental, ya que una propiedad nueva

a la hora de resolver inecuaciones es que si multiplicamos sus dos miembros por un numero negativo, la inecuacion

cambiara de smbolo comparativo. Esta unidad la podemos considerar una utilsima herramienta para resolver algunos

tipos de problemas como el calculo de dominios de funciones donde haya races cuadraticas pares.

4.1. Repaso de las ecuaciones (polinomicas) de primer y segundo grado.

Se recuerda que una ecuacion era una expresion algebraica equivalente a A = 0, donde A erauna expresion polinomica en la variable x, por ejemplo x + 3 (polinomio de primer grado), o bienx2 4 (polinomio de segundo grado), de modo que al igualar ambas expresiones polinomicas a ceroobtenemos las ecuaciones x+3 = 0 y x2 4 = 0, la primera de primer grado, la segunda de segundogrado.

Resolver las ecuaciones consiste en encontrar aquellos valores reales de x de modo que al sustituirla x por dichos valores obtengamos una identidad. Por ejemplo, si cambiamos la x por 3 en laprimera expresion obtenemos (3) + 3 = 0, lo cual es siempre cierto, y por ello se dice que x = 3es la solucion de la ecuacion polinomica de primer grado x+ 3 = 0.

Respecto x2 4, al igualarla a cero vemos que dos soluciones son x = +2 y x = 2, de modo queefectivamente (2)2 4 = 0 siempre, as como (2)2 4 = 0 siempre. Teniendo en cuenta que unaecuacion polinomica de segundo grado posee solo dos races o soluciones, ya las habramos encontradotodas.

Si bien existen mas ecuaciones ademas de las polinomicas, la mayora de las veces nos encon-traremos con las mismas, y no deberemos resolver ecuaciones de otro tipo hasta que tengamos queresolver problemas matematicos o cientficos mas complejos.

4.1.1. La ecuacion (polinomica) de primer grado

Las ecuaciones polinomicas de primer grado son aquellas equivalentes a la expresion ax+ b = 0,donde a y b son numeros reales, habitualmente racionales y en la mayora de las veces nos encon-traremos numeros enteros. Para resolverlas, nos basta despejar la x, obteniendose por unica solucion

x = ba

Teniendo en cuenta que este tipo de ecuaciones tiene una unica solucion, la anterior sera la solucionbuscada, eso s, habra que hacer algunos comentarios a esta ultima afirmacion:

1

2 4ESO Opcion B Departamento de Matematicas del I.E.S. Vicente Aleixandre, BARBATE

Lo mas seguro es que al principio la ecuacion no sea tan sencilla como ax+ b = 0, por lo quedeberemos hacer operaciones como quitar parentesis o denominadores, sumar las x con las x ylo que no son x con lo que no son x, hasta llegar a la forma anterior.

Si a fuese cero, no tendra sentido la ecuacion, ya que sera equivalente a 0x + b = 0, esto es,b = 0, que en general sera falso (b no es una variable, sino un valor constante), salvo que de lacasualidad de que b sea cero, en cuyo caso la ecuacion quedara 0x+ 0 = 0, esto es, 0 = 0, quesiempre es cierto, por lo que cualquier x sera solucion. Resumiendo:

La unica solucion de ax+ b = 0, con a 6= 0, es x = ba.

Si acudimos a la representacion grafica, dicho punto x es aquel donde la recta y = ax + bcorta al eje de las X (es aquel punto de la recta donde y = 0).

Si a = 0 y b = 0, cualquier numero real x es solucion de ax+ b = 0, que sera equivalentea 0x + 0 = 0, esto es, 0 = 0, cierto para cualquier x. Esto es, la ecuacion posee infinitassoluciones.

Si a = 0 pero b 6= 0, entonces no existira solucion, ya que la ecuacion sera equivalente a0x+ b = 0, esto es, b = 0, cuando se esta diciendo que b 6= 0, y esto es un absurdo, una cosano puede ser igual y distinta a cero al mismo tiempo.

4.1.2. La ecuacion (polinomica) de segundo grado.

Esta ecuacion es aquella a la que tras efectuarle operaciones de simplificacion (quitar parentesis,denominadores, agrupar las potencias de las x de un mismo ndice...) obtenemos la expresion reducidaax2 + bx + c = 0, donde a, b y c, llamados coeficientes, son numeros reales, usualmente numerosracionales, y casi siempre seran numeros enteros. Veamos algunas caractersticas de este tipo deecuaciones:

Siempre poseen dos races, dadas por x = b

b2 4ac

2a= b

2a.

A b2 4ac se le llama discriminante, y se designa por (delta mayuscula), y se puede decirque:

Si > 0, entonces son dos numeros distintos, uno positivo y otro negativo, y por ello,la ecuacion tiene dos races reales distintas, situacion que se corresponde a que la funciony = ax2 + bx+ c, con forma de parabola, corta al eje de las X en dos puntos distintos.

Si = 0, entonces = 0 = 0 = 0, y por ello, las dos soluciones de la ecuacionson en realidad una doble, x = b/2a, que se corresponde a que la parabola es tangente aleje de las X en dicho punto.

Por ultimo, si < 0, no tiene sentido en la aritmetica de los numeros reales calcular ,por lo que se dice que la ecuacion tiene dos soluciones complejas conjugadas. Esta situacionse corresponde a que la parabola y = ax2 + bx+ c siempre queda por encima o por debajodel eje de las X, mas no lo corta nunca.

La suma de las dos races, ya sean reales o complejas es ba

, y el producto esc

a.

Ya se ha dicho pero se repite; las soluciones reales de una ecuacion de primer, segundo, tercer,cuarto... grado son los puntos donde la grafica de la funcion asociada a dicha ecuacion corta aleje de las X.

UD4 - Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. 3

Una situacion especial de las ecuaciones de segundo grado son las llamadas ecuaciones bicuadradas,o aquellas de la forma ax4 + bx2 + c = 0, cuyas soluciones vienen dadas por la formula:

x =

bb2 4ac2a

4.1.3. Ecuaciones (polinomicas) de grado superior a dos.

De la misma forma que existen metodos que calculan las soluciones a ecuaciones polinomicas degrado 1 y 2, existen metodos que calculan las soluciones a ecuaciones de grado 3 y 4 que no seannecesariamente bicuadradas. Teniendo en cuenta que dichos metodos usan los numeros complejos,aunque todas las soluciones sean reales, quedan fuera de nuestro alcance. De todas formas, y aunquesolo sea por mostrar parte de la historia de las matematicas, el metodo de resolucion de las ecuacionescubicas y cuarticas trajo en el siglo XIV una de las mayores polemicas en cuanto a sus descubridores.

En efecto, desde tiempos antiguos es conocido el metodo que permite resolver la ecuacion ax2+ bx+ c = 0,si bien hasta que no se domino el concepto de numero complejo muchas de ellas quedaban sin solucion.Ahora bien, que suceda con las ecuaciones de tercer y cuarto grado, en particular las primeras? Pareceser que el primer descubrimiento de algo parecido (un caso particular) a un metodo de resolucion de laecuacion de tercer grado haba sido establecido en Bolonia por Scipione Del Ferro (1465-1526).

Ciertamente, una de las mayores dificultades en este campo es que al resolver ax3 + bx2 + cx + d = 0,lo frecuente (no siempre) es encontrarse con races complejas, y teniendo en cuenta que todava faltabancasi tres siglos (finales del XVIII) para el manejo de los numeros complejos, buscar metodos de resolucionque permitiesen salvar el obstaculo de los complejos para encontrar cuando menos la raz real no fue nadafacil; es mas, si bien por aquella epoca ya era usual utilizar los signos negativos cuando era preciso, nose aceptaban como solucion de ecuaciones, pues entonces pareca ilogico aceptar que un problema de lavida real tuviera solucion negativa, no siendo hasta un siglo mas tarde cuando Johann Hudde utilizo porprimera vez los numeros negativos con las mismas propiedades que los positivos.

Si bien, como deca, la primera persona que resolvio algun tipo de ecuacion cubica fue Del Ferro, debido aque este no estaba demasiado interesado en publicar sus descubrimientos, estos no trascendieron, pasandolosa su alumno Fior, por cierto, pesimo matematico, en su lecho de muerte. Una vez que Fior vio el importantelegado (pero a su pesar incompleto) que le haba dejado Del Ferro, fue pregonando por ah que posea elmetodo de resolucion de ecuaciones cubicas. Comienzan los choques; Nicolo Fontana Tartaglia (1449-1577),que tambien haba investigado el problema por su cuenta, llegando a conclusiones mas avanzadas que lasde Del Ferro (segun algunos rumores porque conoca las de este mediante alguna oscura jugada, si bien nose ha podido demostrar esto) reto a Fior a un duelo, celebrado en 1535, consistente en resolver cada uno30 cuestiones propuestas por el otro. Fior no se daba cuenta de que Del Ferro solo le haba ensenado unode los varios tipos de ecuaciones cubicas, y pensaba que todas eran la misma; por contra, Tartaglia conocamas acerca del problema al que se estaba enfrentando que Fior, por lo que aquel vencio sin dificultad en elduelo, resolviendo todas las cuestiones planteadas por Fior con total brillantez, mientras este se atascaba,y atascaba, hasta que no pudo seguir.

As, la fama de Tartaglia se extendio por la region, y hacia 1539, Girolamo Cardano (1501-576), interesadoen conocer el famoso y buscado metodo, se acerco a Tartaglia, invitandolo a su casa y prometiendoleun mecenas que le hiciese despreocuparse de todo tipo de problemas economicos en un futuro. Tartagliarehuso a publicar su metodo, pero acepto a colaborar con Cardano, tal que tras colaborar algun tiempo,este consiguio la autorizacion de Tartaglia para publicarlo una vez que ya lo hubiera publicado el propioTartaglia, siempre mediante palabra de honor por parte de Cardano.

El hecho es que Cardano incumplio su palabra. Antes de ello, Ludovico Ferrari (1522-1565) haba llegado en1536 como sirviente a la casa de Cardano, y una vez que este vio que saba leer y escribir, le enseno muchasdisciplinas, entre ellas matematicas, donde destacara, eso s, siempre al servicio, ayuda y defensa de sututor Cardano. Una de las muchas tareas de Ferrari fue ayudarle con la ecuacion cubica, tal que conel esfuerzo suyo, siempre dirigidos por el camino ya recorrido por Tartaglia, encontraron hacia 1540 elmetodo que permita resolver todos los casos de la ecuacion cubica; tuviera races complejas o no. Laecuacion cubica haba sido resuelta, y de paso la cuartica (cuyo merito se le atribuye exclusivamente aFerrari). Solo restaba publicar los metodos. Que que pasaba con la promesa dada a Tartaglia? Supongoque Cardano considero que muchos de los descubrimientos eran suyos (por no decir de Ferrari, en todo casono de Tartaglia); por otra, Cardano acepto como cierto un rumor que deca que lo que conoca Tartaglia losaba de Del Ferro, no siendo propio, y por ello podra utilizar aquello que Tartaglia le mostro. Finalmente,


supongo que Cardano tambien considerara que desde que trabajo con Tartaglia hasta su publicacion (1545)ya habran pasado casi seis anos, tiempo de sobra para que Tartaglia publicase lo que tuviese.

Que pasaba con Tartaglia? que tuvo un mal presentimiento desde el principio, y el mismo ano que co-laboro con Cardano (1539) ya se percato de que contarle sus conocimientos a este haba sido un error yque lo pagara muy caro; es mas, por esas fechas Cardano publico dos libros de matematicas, y tan prontocomo los tuvo en sus manos, Tartaglia busco con avidez que su formula no estuviera includa. Pero el hechoes que incluso algunos anos mas tarde, cuando se corrio el rumor de que se haba encontrado el metodode resolver la ecuacion cubica, Tartaglia siguio sin publicar lo que tena (reservandoselo para un posibledebate posterior), tal vez porque muy a su pesar aun no haba conseguido cerrar todos los casos de laecuacion cubica, algo que s haban hecho Cardano y Ferrari.

Pero en 1545 se rompieron las hostilidades, pues Cardano publico su Ars Magna, en el que se resolva laecuacion cubica y la cuartica. Un ano despues, en 1546, un furioso Tartaglia publica su teora del tercergrado, a la que anade diversas consideraciones sobre los numeros y curiosidades matematicas; ademas,escribe su version de lo sucedido, insistiendo en que Cardano haba actuado con mala fe. De todos modos,para la comunidad matematica de la epoca, el Ars Magna mostro implcitamente la supremaca comomatematico de Cardano sobre Tartaglia, siguiendo la historia con numerosas rencillas y disputas queculminaron con un debate publico (1548) entre Tartaglia y Ferrari (defendiendo a Cardano), enconadodebate que gano este ultimo. Aunque hoy se considera tanto a Tartaglia como Cardano padres de la ecuacioncubica, y a Ferrari de la cuartica, Tartaglia sufrio mucho tras este ultimo debate, perdiendo reputacion,fama y pagas economicas que se le deban (de resultas que acabo pasando penurias economicas), albergandohasta su muerte (1557) un profundo resentimiento hacia Cardano.

Para finalizar la historia, hacia 1550, Raffaele Bombelli (1526-1572) profundizara en su famoso algebraacerca de la formula de Cardano, comprobando que la misma lleva a expresiones como

1 o 3, a losque llama numeros sofisticados, operando con ellos como si se tratara de numeros reales, y que mas tardese acabaran llamando numeros complejos.

Una vez que se domino el metodo para resolver las ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado, seplanteo el problema de hacer lo propio con las ecuaciones de quinto grado; esto es, encontrar un modo derazonar que permitiera resolver ecuaciones de la forma a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x+ a0 = 0 para loscoeficientes ai reales (entonces era suficiente que fueran racionales) y constantes; incluso, de ser posible,encontrar las soluciones a ecuaciones algebraicas de cualquier grado. Por mas metodos que se abordaron,el fracaso fue comun a todos ellos, si bien algunos matematicos celebres no se daban por vencidos [Euler(1707-1783), por sus publicaciones comprendidas entre los anos 1732 y 1749 estaba convencido de que elloera posible].

Posiblemente Leibniz (1646-1716) fue uno de los primeros matematicos que se acerco a la respuesta correcta,incluso dando una prueba (falsa, eso s) de que no podra existir tal metodo. Gauss (1777-1855), un siglomas tarde, en su famosa disertacion inagural, daba por hecho la imposibilidad de encontrar tal metodo; peroaun no haba demostracion. La primera demostracion que realmente se acerco fue la de Ruffini (1765-1822),pero no era rigurosa, por lo que todos los honores se los llevo el noruego Niels Henrik Abel (1802-1829),con una demostracion que s era correcta.

En la demostracion de este (1826), poco antes de su temprana muerte, se plantea claramente el concepto depolinomio irreducible sobre un cuerpo dado, si bien los mayores avances sobre este campo se le atribuyen aotro matematico contemporaneo de aun mas de corta vida, el frances Evariste Galois (1811-1832), que trasestudiar las obras de Lagrange, Gauss y Abel desarrollara una extensa teora de la teora de las ecuacionesalgebraicas, escribiendo todos sus descubrimientos (que daran lugar al Algebra Commutativa por mediode la aparicion de las llamadas Extensiones Algebraicas o Galoisianas) en la madrugada del da en quefallecio tras batirse en duelo. Tal vez si hubiera dormido mas esa noche hubiera vivido mas anos.

Resumiendo; existen metodos que permiten resolver las ecuaciones polinomicas de grado 3 (ocubica) y 4 (o cuartica), pero que son bastante laboriosos al utilizar los numeros complejos. Porotra, no solo no existen metodos que calculen las soluciones a ecuaciones polinomicas de gradoestrictamente superior a cuatro, sino que Abel demostro que no pueden existir tales metodos.

Para concluir, el que no existan metodos que determinen las soluciones a ecuaciones polinomicasde grado superior a 4 no significan que estas no posean soluciones, y es necesario hablar del lla-mado Teorema Fundamental del Algebra, que dice que toda ecuacion polinomica de grado n poseejustamente n races, reales o complejas, las cuales vendran dadas por parejas.

Este resultado fundamental es el que nos dice que la ecuacion ax+ b = 0 tiene solo una raz real(salvo que a = 0), que ax2 + bx + c = 0 tiene dos, reales o complejas, que ax3 + bx2 + cx + d = 0tendra tres, siempre una real y otras dos reales o una pareja de complejas. Teorema conocido cuya


demostracion fue buscada infructuosamente desde mediados del siglo XV III, hasta que el genialGauss (1777-1855), en su tesis doctoral (1799) da la esquiva demostracion.

4.2. Desigualdades. Operaciones.

4.2.1. Desigualdades numericas

De la misma forma que una igualdad establece en una comparacion que dos cosas son iguales,por ejemplo 4 2 = 7 5, podramos hablar de comparaciones en las que los dos miembros no sonnecesariamente iguales, pero aun as son comparables. A estas expresiones se las llama desigualdades,o sea, que dos cosas son desiguales, y para ello se utiliza el smbolo 6=, as por ejemplo, si A es distintode B, se dice que A 6= B.

Aunque para decir que dos cosas no son iguales no es necesario que estas sean numeros, porejemplo, como conjuntos {, ,} 6= {4,,,}, un caso particular de las desigualdades escuando los dos miembros que se comparan son numeros reales, ya que en estos, la relacion de ordentotal que se establece nos dice que dados dos numeros reales, o son iguales, o uno es estrictamentemayor que otro, y por ello al comparar dos numeros o expresiones reales Ay B podramos decir que:

A = B; o sea, A es igual a B, o equivalentemente B = A.

A < B; o sea, A es menor estricto que B, o equivalentemente B > A. Si situamos A y B en larecta real, A esta a la izquierda de B.

A > B; o sea, A es mayor estricto que B, o equivalentemente B < A. Si situamos A y B en larecta real, A esta a la derecha de B.

A B o A A.Significa que se pueden dar dos posibilidades, que A es menor estricto que B, o que A es iguala B. De estas dos posibilidades; se puede dar cualquiera, pero solo se da una de ellas.

A B o A => B; o sea, A es mayor o igual que B, o equivalentemente B A o B A, lo habitual es situar las expresionesordenadas de menor a mayor en la recta real. Esto es, si de izquierda a derecha en la recta real laprimera expresion que aparece es A al ser la mas pequena, suele escribirse A < B (A a la izquierdade B) en lugar de B > A. De todos modos ambas expresiones son correctas.

Ejemplo 4.1 En la situacion de la imagen del margen, dados los pun-tos A, B, C, D y E, donde A = D y B = E, se tienen entre otraslas desigualdades: A < B, A < C, B < C, D < E, A B, A E,A C, A < E, A C, y las no menos ciertas A D y B E. Enlas primeras se da el menor estricto, en las dos ultimas la igualdad.

Ejemplo 4.2 Si tenemos los numeros 2 y 4 podemos decir que 2 < 4 (2 es menor estricto que 4), obien 2 4, ya que o bien 2 = 4 (esta no se da), o bien 2 < 4 (esta s se da). Lo que no se puede decires que 4 < 2, ya que es falsa. Igualmente es falsa su desigualdad asociada 2 > 4.

Ejemplo 4.3 Si tengo las expresiones 31 y4 (ambas son iguales), puedo escribir tanto 31 = 4como 31 4 como 31 4, entendiendose en las dos ultimas que o bien se da el menor/mayorestricto (no) o bien la igualdad (s). Lo que no puede decirse es que 3 1 < 4 o que 3 1 > 4 yaque ambas cosas, 3 1 y 4 son iguales y no desiguales.Nota 4.2 Como se ve, a la hora de comparar con los smbolos menor/igual/mayor que, da igual quelos dos miembros sean numeros reales concretos, 1 0, o expresiones que tras desarrollarse dennumeros reales exactos, 8 6 < 22 1.


4.2.2. Operaciones con las desigualdades

Abriendo boca; operaciones con las igualdades

Trabajar con igualdades es muy facil, ya que se verifican las siguientes propiedades, que no vamosa demostrar (son faciles de aceptar):

Si A = B y C = D son dos igualdades, A+ C = B +D. Esto es, la suma miembro a miembro de dosigualdades es otra igualdad. Por ejemplo, si (3) = (52) y (1) = (76), se tiene que (3)+(1) = (52)+(76).Si A = B y C = D son dos igualdades, AC = BD. Esto es, la diferencia miembro a miembro de dosigualdades es otra igualdad. Por ejemplo, si 1+6 = 92 y 5 = 83, se tiene que (1+6) (5) = (92) (83).Si A = B y C = D son dos igualdades, A C = B D. Esto es, el producto miembro a miembro de dosigualdades es otra igualdad. Por ejemplo, si (4 3) = (1) y (3) = (5 2), se tiene que (4 3)(3) = (1)(5 2).Si A = B y C = D son dos igualdades, con C = D distinta de la igualdad 0 = 0, AC = BD.Esto es, la division de una igualdad A = B por otra C = D distinta de 0 = 0 es otra igualdad. Por ejemplo, si(6 + 8) = (16 2) y (7) = (7), se tiene que (6 + 8) (7) = (16 2) (7).Si A = B, cualquier operacion permitida que podamos hacer con cualquiera de sus miembrostambien podremos hacerla con el otro, resultando otra igualdad. Por ejemplo, si A = B, tambientendremos que A2 = B2, que A3 = B3... Igualmente, si A = B, ambos mayores que cero, tendremos queA =

B.

Las reglas anteriores podramos simplificarlas como que dada una igualdad, si le sumamos, resta-mos, multiplicamos, dividimos por un mismo numero distinto de cero a cada uno de los miembrosde la igualdad, seguiremos teniendo igualdad. Igualmente, si hacemos una misma transformacion acada uno de los miembros de una igualdad seguiremos teniendo una igualdad.

Nota 4.3 A la hora de dividir hemos hablado de que la igualdad divisor sea distinto de 0 = 0. Enrealidad todas las igualdades son equivalentes a la igualdad 0 = 0, pero por ejemplo no es lo mismodividir por 2 = 2 que consiste en dividir miembro a miembro por 2, que hacerlo por la 0 = 0, queconsistira en dividir miembro a miembro por 0.

Operaciones con las desigualdades

A la hora de trabajar con las desigualdades, algunas de las reglas que son validas para las igual-dades tambien lo seran para las desigualdades, pero otras sencillamente no. Por ejemplo, si tenemosla desigualdad 3 < 7, si a ambas le sumamos un mismo numero, por ejemplo el 5, seguiremos te-niendo la misma desigualdad, 3 + 5 < 7 + 5, igualmente sucedera si restamos un mismo numero,3 2 < 7 2, igualmente si multiplicamos por un mismo numero mayor que cero; 3 6 < 7 6, ahorabien, si multiplicamos por un mismo numero menor de cero, la cosa vara, por ejemplo, 3 < 7, simultiplico todo por 1, ya no tengo que (3)(1) < (7)(1), o sea, que 3 < 7, sino que en realidadlo que se tiene es que 7 < 3, esto es, que la desigualdad habra cambiado de sentido. por ello sepuede decir que las desigualdades numericas poseen las siguientes propiedades:

Si se suman/restan miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, el resultado esotra desigualdad del mismo sentido:

A B

C D

= A+ C B +DSi se multiplican/dividen los dos miembros de una desigualdad por un mismo numero realpositivo, el resultado es otra desigualdad del mismo sentido:

A B

C > 0

= A C B C


Si se multiplican/dividen los dos miembros de una desigualdad por un mismo numero realnegativo, la desigualdad cambia de sentido:

A B

C < 0

= B C A CNota 4.4 Respecto otras transformaciones que se pueden hacer con las desigualdades, el resultadodependera de cual es dicha operacion y cual la desigualdad. Por ejemplo, 4 9, y si calculo laraz cuadrada a ambos miembros, el resultado seguira siendo una desigualdad del mismo sentido,4 9. Ahora bien, si la desigualdad es por ejemplo 3 < 1, y la transformacion es calcular el

valor absoluto, lo que ahora se tendra es la desigualdad contraria; | 3| = 3 > 1 = |1|.Nota 4.5 A la hora de hacer las operaciones anteriores, se trabaja con los miembros de una mismaparte de una igualdad; por ejemplo, si A < B y C < D, siempre sera cierto que A+ C < B +D. Sise comparasen miembros distintos, no se puede conocer a priori el resultado. Por ejemplo, si A < By C < D, a priori no se si A+D sera mayor o menor que B + C.

Nota 4.6 De la misma forma que se dice que una cadena es tan fuerte como el mas debil de suseslabones, si efectuamos dos operaciones con desigualdades, una estricta y otra de tipo flexible, elresultado final sera estricto; por ejemplo:

A B

C < D

= A+ C < B +D y AC < BD4.3. Inecuaciones. Soluciones.

Asociado al concepto de igualdad estaba el concepto de ecuacion, que consista en una presuntaigualdad en la que haba que encontrar los valores x para que efectivamente se diera una identidad.Por ejemplo, x+1 = 0 es una ecuacion. Ello quiere decir que no siempre tenemos una identidad, porejemplo para x = 2 se tendra que 2 + 1 6= 0, cosas distintas. La solucion de la ecuacion es x = 1,porque para dicho valor 1 + 1 = 0, que s es siempre cierto.

Lo mismo sucedera con cierto tipo de desigualdades, que nos van a dar lugar a cierto tipo deecuaciones, que se llamaran inecuaciones. Nosotros vamos a referirnos solo a las de tipo polinomico.

Definicion 4.1 (inecuacion) Se llama inecuacion en la incognita x a cualquiera de las desigual-dades siguientes, donde P (x) y Q(x) son dos polinomios:

P (x) Q(x), o equivalentemente Q(x) P (x).P (x) < Q(x), o equivalentemente Q(x) > P (x).

Ejemplo 4.4 Una inecuacion en la incognita x es: 5x 4 < 4x2 2x+ 1.Ejemplo 4.5 Otra inecuacion en la incognita x es: 3x4 2x3 1 0.Definicion 4.2 (solucion de la inecuacion) Una solucion de la inecuacion P (x) < Q(x) o bienP (x) Q(x) (y sus formas equivalentes), es cualquier valor real x0 de modo que P (x0) < Q(x0) obien P (x0) Q(x0).Definicion 4.3 (conjunto solucion de la inecuacion) El conjunto solucion de una inecuaciones el conjunto formado por todas las soluciones de una inecuacion.

Definicion 4.4 (resolver una inecuacion) consiste en determinar si una inecuacion posee o nosolucion, y en su caso, determinar su conjunto solucion.


Ejemplo 4.6 Consideremos la inecuacion x + 3 < 0. El punto x0 = 4 es una solucion, ya que4 + 3 = 1 < 0. Igualmente, el punto x0 = 6 es otra solucion, ya que 6 + 3 = 3 < 0. Porcontra, x0 = 2 no es una solucion, ya que 2 + 3 = 1 que no es menor que 0. Para calcular elconjunto solucion, sumemos 3 a ambos miembros de la inecuacion; nos quedara x+3 3 < 0 3,esto es x < 3, y ese es el conjunto solucion; todas las x menores estrictas que 3, o sea, (,3).Nota 4.7 Como hemos visto, una forma de resolver la inecuacion puede ser realizar transformacionespara dejar la x sola en uno de los dos miembros de la desigualdad.

Ejemplo 4.7 Determinar el conjunto solucion de la inecuacion x2 9 0.Lo primero que hacemos es sumar +9 a ambos miembros de la desigualdad, y x2 9 0 se convierte enx2 9 + 9 0 + 9, o sea, x2 9.Ahora nos preguntamos quienes son los numeros x0 cuyo cuadrado es menor o igual que 9, y vemos quela solucion es [3, 3]. Cualquier numero fuera de ese intervalo cerrado es al cuadrado mayor que nueve, ypor ello no verifica x02 < 9. Cualquier numero dentro de ah s lo verificara.

Definicion 4.5 (inecuaciones equivalentes) Dos inecuaciones se dicen equivalentes si poseen elmismo conjunto solucion.

Ejemplo 4.8 Las inecuaciones x3 27 y x 3 son equivalentes, ya que ambas tienen el mismoconjunto solucion (, 3].Ejemplo 4.9 Las inecuaciones x2 < 4 y x2 4 no son equivalentes, ya que el la primera 2 y 2 noson soluciones, en la segunda s.

Proposicion 4.1 (teorema fundamental) Una inecuacion a la que se le aplica las propiedades delas desigualdades vistas en la pagina 6 es equivalente a la inecuacion inicial, esto es:

1. Si a los dos miembros de una inecuacion se le suma o resta una misma expresion, resulta unainecuacion equivalente.

P (x) Q(x) P (x) + R(x) Q(x) +R(x)

P (x) Q(x) P (x)R(x) Q(x)R(x)

P (x) < Q(x) P (x) + R(x) < Q(x) +R(x)

P (x) < Q(x) P (x)R(x) < Q(x)R(x)2. Si se multiplican/dividen los dos miembros de una inecuacion por un mismo numero real positivo,

resulta otra inecuacion equivalente.

P (x) Q(x) P (x) k Q(x) k si k > 0

P (x) Q(x) P (x) k Q(x) k si k > 0

P (x) < Q(x) P (x) k < Q(x) k si k > 0

P (x) < Q(x) P (x) k < Q(x) k si k > 03. Si se multiplican/dividen los dos miembros de una inecuacion por un numero negativo, resulta

una inecuacion de sentido contrario a la dada.

P (x) Q(x) P (x) k Q(x) k si k < 0

P (x) Q(x) P (x) k Q(x) k si k < 0

P (x) < Q(x) P (x) k > Q(x) k si k < 0

P (x) < Q(x) P (x) k > Q(x) k si k < 0


Nota 4.8 Llegados a este punto, veamos como resolver algunos tipos de inecuaciones y sistemas deinecuaciones, algunas de las cuales ya han aparecido.

4.4. Resolucion de la inecuacion de primer grado con una incognita.

Definicion 4.6 Una inecuacion de primer grado en la incognita x es cualquier inecuacion equiva-lente a una del tipo siguiente:

ax+ b < 0 (o su forma alternativa ax+ b > 0)

ax+ b 0 (o su forma alternativa ax+ b 0)Ejemplo 4.10 As, son inecuaciones de primer grado en la incognita x las siguientes:

3x+ 2 03x 0 (es equivalente a 3x 0)4x 5 3x + 2 (es equivalente a x 7 0)2x2 + 5x 4 + 2 > 3x+ 2x2 6 (es equivalente a 2x+ 4 > 0)

Nota 4.9 (importante) Las inecuaciones de primer grado con una incognita no son nada difciles,pero hablar de su teora es algo laborioso, ya que debemos considerar cuatro posibilidades para suforma reducida; ax+ b < 0, ax+ b 0, ax+ b > 0 y ax+ b 0. Para simplificar algo la notacion alhablar de teora vamos a adoptar los siguientes acuerdos:

1. Cuando demos la forma reducida vamos a suponer que a > 0. Ello no es ningun tipo de restriccion,ya que si multiplicamos todo por 1, o equivalentemente lo pasamos al miembro contrario, corregiremos el signode a. Por ejemplo, si tenemos 3x+ 1 < 0, ello es lo mismo que 3x 1 > 0, si tuviesemos 1 5x, ello sera lomismo que 5x+ 1 0. El signo de b no me importa.

2. Al hablar de teora me voy a olvidar de las desigualdades estrictas, y me voy a ocupar solo de lasdesigualdades que contemplan el igual. Todo lo que se diga para el tipo de desigualdad flexiblese podra aplicar tambien para las estrictas. As, de la misma forma que al multiplicar todo por 1 el se convierte en y viceversa, al multiplicar por 1 el > se convierte en < y viceversa.. En los problemasresolvere lo que me encuentre.

3. Con estos acuerdos, en al teora solo contemplo dos tipos de desigualdades, ax + b 0 yax+ b 0. En ambos casos, a > 0.

Proposicion 4.2 El conjunto soluciones de una inecuacion de primer grado en la incognita x dela forma ax + b 0 es (, b

a]. Si por contra la desigualdad es ax + b 0, el conjunto solucion

es [ ba,+). Si la inecuacion fuese estricta, los respectivos conjuntos solucion seran (, b

a) y

( ba,+), esto es, los puntos extremos no entraran.Demostracion:

Probemoslo para la inecuacion ax+ b 0. Lo primero que hacemos es sumar b a ambos miembrosde la inecuacion, resultando la inecuacion equivalente ax+ b b 0 b, o sea, ax b.A continuacion, dividimos ambos miembros de la inecuacion por a > 0, quedandonos x b

a, que nos

marca el conjunto solucion, (, ba].

Si la desigualdad fuese estricta, lo que al final resultara es x < ba, o sea, el punto extremo no entrara,

y el conjunto solucion sera (, ba)

Probemoslo para la inecuacion ax+ b 0. Lo primero que hacemos es sumar b a ambos miembrosde la inecuacion, resultando la inecuacion equivalente ax+ b b 0 b, o sea, ax b.A continuacion, dividimos ambos miembros de la inecuacion por a > 0, quedandonos x b

a, que nos

marca el conjunto solucion, [ba,+).

Si la desigualdad fuese estricta, lo que al final resultara es x > ba, o sea, el punto extremo no entrara,

y el conjunto solucion sera (ba,+)


Nota 4.10 La demostracion anterior se hace para las inecuaciones ax + b 0 o ax + b 0. Nor-malmente no nos encontraremos inicialmente inecuaciones tan sencillas, sino que deberemos quitarparentesis y denominadores, sumar x y lo que no son x para llegar a dicha forma reducida.

Ejemplo 4.11 Resolver la inecuacion 5 3(2x 1) > 4x 8.Lo primero que hacemos es buscar la forma reducida de la inecuacion, para lo cual quitamos losparentesis y simplificamos; tenemos la inecuacion equivalente 5 6x 3 > 4x 8, que a su vez esequivalente a 5 6x 3 (4x+ 8) > 4x 8 (4x 8), o sea, 10 2x > 0.Como la demostracion la hemos hecho para el caso a > 0, debo cambiar el signo de la x, y como lainecuacion anterior es equivalente a 10 2x (10 2x) > 0 (10 2x), o sea, 0 > 10+ 2x, esto es,2x 10 < 0.Paso el 10 al otro miembro, para lo que sumo +10 a ambos lados, me queda 2x 10 + 10 < 0 + 10,esto es, 2x < 10.Ahora vamos a dividir todo por 2, que como es positivo, no cambia el signo de la desigualdad,quedandome 2x2 >

102, esto es, x > 5, que nos marca el conjunto solucion (5,+).

Nota 4.11 En realidad no hay que liarse sumando lo mismo a ambos miembros, basta con trabajary despejar como si estuvieramos trabajando con una igualdad (lo que suma pasa restando, lo queresta pasa sumando, lo que multiplica pasa dividiendo y lo que divide pasa multiplicando). Eso s,deberemos tener cuidado de cambiar el sentido de la desigualdad si dividimos o multiplicamos poruna cantidad negativa.

Nota 4.12 Otra forma de resolver la inecuacion ax + b 0 o ax + b 0 consiste en resolver laecuacion ax + b = 0, cuya solucion es x = b/a, y dar valores dentro de los intervalos (, b

a) y

(ba,+), y ver en cual de ellos se tiene que ax+ b < 0. Ese sera el intervalo bueno.

Ejemplo 4.12 Resolver la inecuacion 4x 1 3(x 1) 3(2x + 4)Lo primero que hacemos es buscar su forma reducida. Para ello, desarrollamos 4x13(x1) 3(2x+4),que es lo mismo que 4x 1 3x + 3 6x + 12, o sea, que 4x 1 3x + 3 6x 12 0, esto es, que5x 10 0. Como en estos apuntes estoy siguiendo el criterio de que a > 0, y 5 no lo es, lo multiplicotodo por 1, cambiando el sentido de la desigualdad, o equivalentemente paso 5x 10 al otro miembro,quedando como positivo pero sin tocar el smbolo de desigualdad. Al final lo que me queda es 0 5x+10, oequivalentemente 5x+10 0, que es la forma reducida que estamos usando para escribir las desigualdades.A partir de ahora:

Forma primera de resolverlas; resuelvo 5x + 10 0 pasando el 10 al segundo miembro; 5x 10,divido por 5 (positivo) y me queda x 105 = 2, que es el conjunto solucion de la desigualdad;{x R : x 2}, o equivalentemente el intervalo (,2].Forma segunda de resolverla; resuelvo la igualdad 5x+ 10 = 0, cuya solucion es x = 2, lo que meplantea dos posibilidades (prescindo de la posibilidad de igual, ya se que 5x + 10 es cero en 2), elintervalo (,2) o el intervalo (2,+). Uno de ellos, y solo uno es la solucion.Para determinar cual, tenemos en cuenta que la desigualdad que se ha de cumplir es 5x+ 10 0, yle damos un valor a cualquier punto x0 representante de cada uno de los intervalos. Por ejemplo, de(,2) tomo el 4, y de (2,+) el 0. Puedo elegir cualquier punto de cada intervalo, absoluta-mente cualquiera, si bien intentare que sean sencillos.

Pruebo con el x0 = 4, y veo que efectivamente 5x0 + 10 = 5(4) + 10 = 20 + 10 = 10 0, quees la condicion que se ha de cumplir, por lo que el intervalo bueno es (,2] (ahora s consideroel punto extremo). Si cogemos cualquier otro punto x0 del mismo, de nuevo tendremos que 5x0+10 0.

Veamos que efectivamente el intervalo (2,+) no era bueno. Decidimos coger como representanteel punto x0 = 0, al hacer 5x0 + 10 = 5 0 + 10 = 10 0 vemos que efectivamente es falso que 10 seamenor que cero. Si hubieramos cogido cualquier otro punto de dicho intervalo, ninguno habra sidosolucion, ya que en cualquier caso nos aparecera 5x0+ 10 > 0, cuando lo que habra de verificarse esla desigualdad contraria .

Ejercicio 4.1 Comprobar que el conjunto solucion de 2x 4 < 0 es (, 2)Ejercicio 4.2 Comprobar que el conjunto solucion de 4x 16 es [4,+)Ejercicio 4.3 Comprobar que el conjunto solucion de 5x+ 1 > 7x + 7 es (,3)Ejercicio 4.4 Comprobar que el conjunto solucion de 4x+ 5(x 1) 3(x+ 2) + 4 es (, 5

2)


4.5. Resolucion de la inecuacion de primer grado con dos incognitas.

4.5.1. Introduccion

Definicion 4.7 Una inecuacion de primer grado en las incognita x e y es cualquier inecuacionequivalente a una del tipo siguiente:

ax+ by + c < 0 (o su forma alternativa ax+ by + c > 0)

ax+ by + c 0 (o su forma alternativa ax+ by + c 0)Ejemplo 4.13 As, son inecuaciones de primer grado en las incognitas x e y las siguientes:

2x+ 2y 1 04x 3y 1 (es equivalente a 4x 3y + 1 0)x+ 5y 5 2x+ 4y 1 (es equivalente a x y + 4 0)3x2 + 3y 1 > 3x + 3x2 1 (es equivalente a 3x 3y < 0)

Nota 4.13 Al tratar las inecuaciones de primer grado con dos incognitas podremos garantizar queo bien a o bien b (los coeficientes de la x y la y) sean mayores que cero, o igual a 1, pero no queambos sean mayores que cero siempre. Podra ser mayor que cero uno u otro, cualquiera de los dospodras er igual a 1, pero en general ambos no podran ser mayores que cero al mismo tiempo.

Nota 4.14 A diferencia del caso de las inecuaciones de primer grado con una sola incognita, quetenan un conjunto solucion infinito y facil de calcular, con las inecuaciones de primer grado con dosincognitas no podremos calcular su conjunto solucion, al ser doblemente infinito.

En efecto, para cada valor d que tome la variable y nos encontraremos con la inecuacion de primergrado ax+ bd+ c < 0, ax+ bd+ c > 0, ax+ bd+ c 0 o ax+ bd+ c 0, de la que se puede calcularla solucion, pero teniendo en cuenta que no lo podremos hacer infinitas veces, una para cada valord R de la variable y, realmente no podremos conocerlas todas, y a eso me refiero al decir que elconjunto solucion es doblemente infinito.

Nota 4.15 Esto es, para cada valor de la variable x o de la variable y tendremos una inecuacionde primer grado con una incognita que podremos resolver, pero obviamente no podremos hacer esteproceso infinitas veces.

Nota 4.16 De todos modos, s se puede decir que el conjunto solucion se correspondera a un semi-plano de R2, aquel de frontera ax+ by + c = 0.

Nota 4.17 De otro modo, podemos considerar las soluciones de una inecuacion de primer grado condos incognitas x e y como pares ordenados {(x0, y0)} de modo que ax0 + by0 + c < 0 (por usar soloun tipo de inecuacion), pero no hay ninguna formula que nos escriba todos los pares ordenados.

Ejemplo 4.14 Una solucion de la inecuacion 3x y + 5 > 0 es el par1 {(2, 0)}, ya que se verifica3(2) (0) + 5 = 11 > 0. Otra solucion es el punto {(7, 2)}, ya que 3(7) (2) + 5 = 24 > 0. Un puntoque no es solucion es el {(0, 6)}, ya que 3(0) (6) + 5 = 1 < 0, que es la desigualdad contraria ala que se deba verificar.

Ejemplo 4.15 Sigamos con la inecuacion 3x y+5 > 0. Encontrar las soluciones de la misma paralos casos puntuales x = 2 y para y = 3.

Para el caso particular x = 2, nuestra inecuacion 3x y + 5 > 0 se convierte en 3(2) y + 5 > 0, osea, 6 y + 5 > 0, o sea, 11 y > 0, o sea, y < 11. Por ello, para este caso particular son solucionesel conjunto de puntos del plano {(2, y) : y < 11}. Notese como el punto (2, 0), que vimos que era unasolucion esta en este conjunto.Para el caso particular y = 3, nuestra inecuacion 3x y + 5 > 0 se convierte en 3x (3) + 5 > 0,o sea, 3x+ 8 > 0, o sea, 3x > 8, o sea, x > 8/3. Por ello, para este caso particular son solucionesel conjunto de puntos del plano {(x,3) : x > 8/3}.

1Notese como para no confundir los intervalos abiertos con puntos del plano o pares ordenados encierro a estos entre llaves, lo que enmatematicas significa: el conjunto formado por los puntos.


4.5.2. Representacion grafica de la situacion

Ya sabemos que es una inecuacion de primer grado con dos incognitas, as como como encontrarsoluciones parciales para una x o una y fija. Demos una vuelta de tuerca mas; no sabemos como en-contrar las soluciones del conjunto doblemente infinito, no, pero s podemos representar graficamentelas citadas soluciones, tal como se ha insinuado en la nota 4.16. Veamoslo con un ejemplo, por ciertoimportantsimo.

Ejemplo 4.16 Representar graficamente el conjunto solucion de la inecuacion y < 2x+ 1

Supongamos para empezar que no tenemos que resolveruna inecuacion, sino representar graficamente la funciony = 2x+1. Dicha funcion se corresponde a la lnea rectade la imagen, lnea que pasa por ejemplo por los puntos(0, 1) y (2,3).La expresion y = 2x+ 1 significa que para lo que valgala x, cordenada horizontal, la multiplicamos por dos, lesumamos uno, y esa es la altura de la funcion. Comovemos, dicha grafica, en forma de recta, divide a todo elplano R2 en dos trozos.Vayamos al semiplano superior, en color claro, cualquierpunto de el queda por encima de la recta, lo que quieredecir que para cualquier x, su cordenada de altura yqueda por encima de la recta 2x + 1, y por ello dichosemiplano se corresponde a las soluciones de y > 2x+1,que no es el que nos interesa.

El que nos interesa, en color oscuro, es el semiplano inferior, ya que dado un punto (x, y) del mismo, sucordenada y queda por debajo de la operacion 2x + 1, esto es, todos los puntos del semiplano inferiorverifican que y < 2x+ 1, y por ello son las soluciones de la inecuacion y < 2x+ 1.

Curioso, verdad? No sabemos escribir quienes son todos los puntos del conjunto solucion, pero s podemosdibujarlos.Por cierto, las soluciones parciales se ven con muchaclaridad una vez que hacemos el dibujo; por ejemplo,supongamos que deseo las soluciones parciales y < 2x+1para el valor y0 = 1. Dichas soluciones tienen que teneruna altura constante y = y0 = 1, y como deben estardentro de la zona sombreada, que se corresponde cony < 2x + 1, son precisamente todos los puntos de lasemirrecta horizontal que parte del punto (1,1), quese ha representado con un color azul. Como el punto(1, 1) no entra, ya que son soluciones de y < 2x + 1,he puesto una circunferencia vaca para indicar que elpunto extremo no entra.Igualmente, las soluciones parciales para y0 = 2 se cor-responden a la semirrecta pintada en naranja, de nuevohorizontal, altura y = 3, que parte del punto (2,3)y que esta includa en la zona de soluciones.Si lo que deseamos son soluciones parciales para la x, por ejemplo para x0 = 1, las semirrectas sonahora verticales, pero siempre includas en la zona sombreada de las soluciones buenas. En esta ocasionla semirrecta es de color verde. En todos los casos, los puntos extremos no entran, representandose porcircunferencias vacas.

Creo que queda claro como calcular los puntos solucion de una inecuacion de primer grado con dosincognitas; primero se representa la recta y = ax+ b, que es la lnea frontera del conjunto solucion, yde los dos semiplanos resultantes, se ve cual de los dos es la solucion, mirando para ello la desigualdad.

Veremos mas ejemplos graficos cuando resolvamos graficamente los sistemas de inecuaciones deprimer grado con dos incognitas.


4.6. Resolucion de la inecuacion de segundo grado con una incognita.

Definicion 4.8 Una inecuacion de segundo grado en la incognita x es cualquier inecuacion equiva-lente a una del tipo siguiente:

ax2 + bx+ c < 0 (o su forma alternativa ax2 + bx+ c > 0)

ax2 + bx+ c 0 (o su forma alternativa ax2 + bx+ c 0)Ejemplo 4.17 As, son inecuaciones de primer grado en la incognita x las siguientes:

3x2 2x + 1 05x2 x 1 (es equivalente a 5x2 + x 1 0)3 + 2x > 5x2 (es equivalente a 5x2 + 2x+ 3 < 0)3x2 + 5x(x 2) > 4x 2x2 + 1 (es equivalente a 8x2 14x 1 > 0)

Nota 4.18 (importante) De nuevo, a la hora de estudiar este tipo de inecuaciones, por lo menosen lo que a la teora se refiere, vamos a efectuar un par de simplificaciones:

1. Cuando demos la forma reducida vamos a suponer que a > 0. El signo de b y c no me importa.

2. Al hablar de teora me voy a olvidar de las desigualdades estrictas, y me voy a ocupar solo de lasdesigualdades que contemplan el igual. Todo lo que se diga para el tipo de desigualdad flexiblese podra aplicar tambien para las estrictas. En los problemas resolvere lo que me encuentre.

3. Con estos acuerdos, en al teora solo contemplo dos tipos de desigualdades, ax2 + bx+ c 0 yax2 + bx+ c 0. En ambos casos, a > 0.

Nota 4.19 Notese que si a fuese cero, entonces estaramos trabajando en realidad con la inecuacionreducida ax2+ bx+ c 0x2 + bx+ c, esto es, bx+ c 0 o bx+ c 0, que se ajusta al tipo estudiadoen el anterior punto 4.4.

Nota 4.20 (importante) Antes de seguir,quisiera recordar las funciones cuadraticasf(x) = ax2+ bx+ c. Si a > 0 la parabola es ha-cia arriba, y si a < 0 la parabola es hacia abajo.Notese que nosotros estamos haciendo la sim-plificacion a > 0, por lo que en todo este puntonuestras parabolas van a tener un mnimo ab-soluto en el vertice. Por otra, segun el signo deldiscriminante tendremos ninguna ( < 0),una ( = 0) o dos soluciones ( > 0), ya que elvertice estara muy por encima, estara dentro, oestara por debajo del eje de las X.

Nota 4.21 Se recuerda igualmente que las soluciones de la ecuacion ax2 + bx+ c = 0 vienen dadaspor la expresion

x1,2 = b

b2 4ac

2a

Nota 4.22 Igualmente se recuerda que si x1 y x2 son las dos soluciones, reales o complejas, de laecuacion de segundo grado ax2 + bx+ c = 0, soluciones dadas por la expresion anterior, se tiene lafactorizacion

ax2 + bx+ c a(x x1)(x x2)


Nota 4.23 Con estas aclaraciones, ya tenemos un metodo para resolver las inecuaciones de segundogrado en una incognita x:

1. Desarrollaremos las inecuaciones hasta tener su forma reducida, ax2+bx+c 0 o ax2+bx+c 0,con a > 0.

2. Resolveremos la ecuacion cuadratica ax2+ bx+ c = 0, encontrando sus dos2 races reales x1, x2,formando los intervalos candidatos a solucion (, x1), (x1, x2), y (x2,+).

3. Daremos valores a puntos interiores a cada uno de los intervalos que se formen, y comprobaremossi en esos puntos se verifica o no la inecuacion. Si se verifica en un punto interior, se verificara entodo el intervalo, ya que como se ve, la funcion f(x) = ax2 + bx+ c tiene el mismo signo a lolargo de cada trozo que delimita desde el menos infinito hasta el mas infinito cada una de susraces. Si no se verifica en dicho punto, no se verificara en dicho intervalo.

4. Elegiremos como conjunto solucion aquellos intervalos donde la inecuacion sea cierta en algunode sus puntos interiores.

Ejemplo 4.18 Resolver la inecuacion x2 + x+ 2 > 0.Lo primero que hacemos es pasar esa inecuacion a su forma reducida, con a > 0. En este caso, lainecuacion de partida equivale a x2 x 2 < 0.Resolvemos la ecuacion de segundo grado x2 x 2 = 0, que nos da por soluciones x1 = 1, x2 = 2.Ello nos permite formar tres intervalos (,1), (1, 2), (2,+). Ahora solo queda dar valores, yver si se verifica que (x0)2 (x0) 2 < 0 o no: En (,1) elijo el punto x0 = 2, y tengo que (2)2 (2) 2 = 4 + 2 2 = 4 que no esmenor que cero, luego en todo (,1) no se verifica la inecuacion.

En (1, 2) elijo el punto x0 = 0, y tengo que (0)2 (0) 2 = 0 0 2 = 2 < 0 que s es menorque cero, luego en todo (1,2) s se verifica la inecuacion.

En (2,+) elijo el punto x0 = 3, y tengo que (3)2 (3) 2 = 9 3 2 = 4 que no es menor quecero, luego en todo (2,+) no se verifica la inecuacion.

Luego la solucion de la inecuacion solo es el conjunto (1, 2).Observese una cosa; tenemos una funcion polinomica de segundo grado x2x2 con a = 1 > 0, luegorepresentada por una parabola hacia arriba. Como ecuacion, dicha funcion tiene dos soluciones, > 0,por lo que se distinguen dos regiones donde la funcion es mayor que cero, los extremos (,1) y(2,+), y una sola donde es menor que cero, el intervalo (1, 2). Como la inecuacion es x2x2 < 0,lo que nos piden es donde la grafica esta estrictamente por debajo del eje de las X, y eso sucede soloen dicho intervalo (1, 2), nuestra solucion.

Ejemplo 4.19 Resolver la inecuacion x2 + 2x 1 0.Lo primero que hacemos es pasar esa inecuacion a su forma reducida, con a > 0. En este caso, lainecuacion de partida equivale a x2 2x+ 1 0.Resolvemos la ecuacion de segundo grado x2 2x+ 1 = 0, que nos da por solucion doble x1 = 1.Ello nos permite formar dos intervalos (, 1), y (1,+). Ahora solo queda dar valores, y ver si severifica que (x0)2 2(x0) + 1 0 o no: En (, 1) elijo el punto x0 = 0, y tengo que (0)2 2(0) + 1 = 1 que es mayor que cero, luegoen todo (, 1) s se verifica la inecuacion.

En (1,+) elijo el punto x0 = 5, y tengo que (5)2 2(5) + 1 = 25 10 + 1 = 16 que s es mayorque cero, luego en todo (1,+) s se verifica la inecuacion.

Luego la solucion estricta de la inecuacion es tanto el conjunto (, 1) como (1,+), ademas delpunto {1} en el que se da la igualdad, luego la solucion es toda la recta real R = (,+). Si larestriccion de inecuacion hubiese sido estricta, el punto x = 1 no sera solucion, ya que en dicho puntolo que se da es la igualdad.

2Si solo hubiese una raz real solo formaramos dos intervalos, de menos infinito a la raiz, y de la raz a mas infinito. Si no hubieseninguna raz real, solo habra un intervalo candidato, toda la recta real.


Observese una cosa; tenemos una funcion polinomica de segundo grado x2 2x + 1 con a = 1 > 0,luego representada por una parabola hacia arriba. Como ecuacion, dicha funcion tiene una soluciondoble, por lo que es tangente al eje X, existiendo dos regiones donde la funcion es estrictamente mayorque cero, los extremos (, 1) y (1,+), y un punto {1} donde es igual que cero. Como la inecuaciones x2 2x+ 1 0, lo que nos piden es donde la grafica esta por encima o igual del eje de las X, y esosucede en toda la recta real, nuestra solucion.

Ejemplo 4.20 Resolver la inecuacion x2 + 2x+ 3 < 0.

En este caso ya tenemos la inecuacion en su forma reducida, con a > 0 Y la buena suerte aun no seha acabado!

Resolvemos la ecuacion de segundo grado x2+2x+3 = 0, que tiene el discriminante negativo, = 8,por lo que no hay ninguna raz real.

Con ello solo se puede formar un intervalo, toda la recta real (,+). Ahora solo queda dar valores,y ver si se verifica que (x0)2+2(x0)+3 < 0 o no. Para ello tomo el representante mas sencillo posible,x0 = 0, y veo que (0)2 + 2(0) + 3 = 3, que no es menor estricto que cero, luego en todo el intervalo,el unico, no hay solucion.

Luego la solucion de la inecuacion es el conjunto vaco, ; no hay ningun punto real x0 en (,+)que verifique (x0)2 + 2(x0) + 3 < 0.

de nuevo observese una cosa; tenemos una funcion polinomica de segundo grado x2 + 2x + 3 cona = 1 > 0, luego representada por una parabola hacia arriba. Como ecuacion, dicha funcion no tieneninguna solucion, por lo que siempre esta por encima del eje de las X. La inecuacion se pregunta enque puntos la grafica queda por debajo del eje de las X, y como eso o pasa, por eso no hay solucion.

Si lo que se hubiera preguntado es cuando x2 + 2x+ 3 > 0, entonces la solucion hubiera sido toda larecta real.

Ejemplo 4.21 Calcular el dominio de la funcion f(x) =x2 2x 3

Lo primero que tenemos que hacer en este tipo de problemas es interpretarla funcion, y plantearnos cual es su dominio. En este caso, la funcion es unaraz cuadrada, f(x) = , que solo no existe cuando su radicando (lo dedentro de la raz) es estrictamente negativo. Por ello, el dominio de la estoes, aquel donde lo de dentro, x2 2x 3, es mayor o igual a cero (la razcuadrada de cero s existe).As que lo que tenemos que resolver es x2 2x 3 0, y de nuevo, lo quetenemos que hacer es determinar las solucuiones de la ecuacion x22x3 =0, que son 1 y 3, lo que nos deja tres intervalos en los que debemos estudiarel signo; (,1), (1, 3) y (3,+).Si damos valores intermedios, vemos que la funcion es positiva en el primero y el tercero, y negativa en el cen-tral, por lo que en el intervalo central, (1, 3), marcado en rojo, no puede calcularse f(x) =

x2 2x 3,

y por ello el dominio es toda la recta real menos ese intervalo, o de otra forma:

D(f) = {R\(1, 3)} = {(,1] [3,+)}

Eso ya se saba con solo mirar la funcion; para los puntos de (1, 3), marcados en rojo, x2 2x 3 esmenor que cero, para el resto de puntos, x2 2x 3 es mayor o igual que cero, que es lo que nos interesa.

Ejemplo 4.22 El dominio de f(x) =x2 + 1 es toda la recta real.

En efecto, para cualquier x R, x2 siempre es mayor o igual que cero, al estar al cuadrado, y x2+1 siemprees estrictamente positivo, ya que le sumo +1 a algo que siempre es mayor o igual que cero. Por ello, paratodo x R, x2 + 1 > 0, esto es, el radicando nunca es negativo, y por ello no hay ningun problema paracalcular su raz.

Si representamos graficamente la parabola y = x2 + 1, veremos que siempre esta por encima del eje deabcisas, teniendo su verticce, mnimo absoluto, en el punto (0, 1).

Ejercicio 4.5 Probar que el dominio de f(x) =x2 1 es (,1) (1,+).

Ejercicio 4.6 Probar que el dominio de f(x) =1 x2 es el intervalo [1, 1].


4.7. Resolucion de un sistema de inecuaciones de primer grado con dos

o mas incognitas.

En el punto 4.5 vimos que era una inecuacion de primer grado con dos incognitas; aquella que seajustaba al modelo ax+ by + c < 0, ax+ by + c > 0, ax+ by + c 0 o ax+ by + c 0, con a y bdistintos de cero.

En dicho punto vimos que las soluciones a las citadas inecuaciones eran un semiplano de R2, aquelcuya frontera o lmite exterior era precisamente la recta ax+by+c = 0. Ahora no vamos a consideraruna sola inecuacion de la forma anterior, sino dos o mas de ellas, y vamos a ver que sus solucionesvan a ser la interseccion3 de los conjuntos solucion de cada una de ellas, lo que nos dara en la mayorade las veces un angulo del plano R2 (no siempre).Definicion 4.9 Un sistema de dos inecuaciones de primer grado en las incognita x e y es cualquiersistema de inecuaciones equivalente a cualquiera de los siguientes, donde a1 y a2 no pueden ser nulasal mismo tiempo, al igual que b1 y b2: a1x+ b1y + c1 0

a2x+ b2y + c2 0

a1x+ b1y + c1 < 0a2x+ b2y + c2 0

a1x+ b1y + c1 < 0a2x+ b2y + c2 < 0

Nota 4.24 En la definicion anterior hemos considerado las tres posibles combinaciones de desigual-dades (,), (, ), pero si se observa, no se mezclan los mayor que (iguales o no) con los menor que. Ello escorrecto, y los sistemas con los que nos encontremos seran equivalentes a los tres anteriores, si bien ala hora de resolver estos problemas nos dara igual de que tipo son las igualdades, y lo que primara esque podamos despejar bien una de las dos variables, usualmente la y.

Ejemplo 4.23 Resolver graficamente

x+ y 1 < 02x y 1 < 0

Comencemos considerando la desigualdad x + y 1 < 0, que es equivalente aescribir y < x+1. Una vez que representamos graficamente la recta y = x+1,por ejemplo viendo que pasa por los puntos (0, 1) y (1, 0), tomamos aquellos puntosque quedan por debajo (y < ...) de la misma, y son la zona sombreada de la imagenque queda a la derecha, que es el conjunto solucion de la inecuacion x+ y 1 < 0.Como la desigualdad es estricta, los puntos de dicha recta no se incluyen comosolucion; solo los puntos del plano que estan estrictamente por debajo.

Consideremos ahora la desigualdad 2xy1 < 0, que es equivalente a y > 2x10.Busco esta forma equivalente de escribir la inecuacion, buscando la forma y = ax+bde la recta, ya que en esta forma, al considerar la recta frontera y = 2x1 es muyfacil, mirando en la desigualdad si las y han de quedar por encima o por debajo dela misma, sombrear la zona correspondiente. Una vez que represento y = 2x 1,y tomo los puntos que quedan por estrictamente por encima, tal como me dice ely > ..., obtengo otra zona sombreada, conjunto solucion de la segunda inecuacion,que de nuevo no incluye la recta frontera y = 2x 1, al ser la desigualdad mayorestricta, y > 2x 1.

Viene lo mejor. Hasta ahora, lo que hemos obtenido son, por separado, los conjun-tos solucion de las desigualdades x+ y 1 < 0 y 2x y 1 < 0. Lo que me estanpidiendo es que resuelva un sistema de inecuaciones, o sea, aquellos puntos queal mismo tiempo verifican las dos inecuaciones, y para ello me basta considerarla interseccion de los dos conjuntos anteriores, esto es, el conjunto de puntos queestan al mismo tiempo en ambos sombreados, que es la zona mas oscura de laimagen de la izquierda. Todos los puntos en la zona mas oscura verifican estar almismo tiempo en los conjuntos solucion de las dos inecuaciones, y esa es la solucional sistema de inecuaciones anterior; un angulo casi enteramente contenido en loscuadrantes segundo y tercero que tiene por vertice el punto (1, 1).

3Se recuerda que la interseccion de dos conjuntos eran todos aquellos elementos que estaban al mismo tiempo en los dos conjuntos.


Nota 4.25 Como vemos, al igual que suceda en el punto 4.5, nos va a seguir siendo difcil determinartodos los puntos que verifican el sistema de inecuaciones, pero vamos a poder representar graficamenteel conjunto solucion como aquel que resulta de la interseccion del conjunto solucion de la primerainecuacion con el conjunto solucion de la segunda. Veamos mas ejemplos.

Ejemplo 4.24 Resolver graficamente

x+ y 3 0y + x+ 2 0

Este sistema de inecuaciones se resuelve igual, repre-sentandose graficamente los dos conjuntos solucion, esos, da la casualidad de que las rectas frontera tienen lamisma pendiente 1 (por cada unidad que avanza la x,baja una unidad la y), y por eso en este caso la solucionno va a ser un angulo sino toda una banda. En este casolas rectas fronteras entran dentro del conjunto solucion,ya que la desigualdad no es estricta.

Digamos que la primera de las dos inecuaciones es equivalente a y x + 3,o sea, lo que queda por debajo de la recta y = x + 3 incluyendo la propiarecta, zona que se corresponde con la parte de la izquierda de la imagen superior.Por otra, la segunda de las inecuaciones es equivalente a y x + 2, o sea, suconjunto solucion es lo que queda por encima de la recta y = x + 2, incluyendola misma, que se corresponde con la parte derecha de la imagen superior. Paracalcular el conjunto final, calculamos la interseccion de las dos zonas sombreadas,obteniendose la banda mas oscura de la imagen de la derecha. Ese es el conjuntosolucion. Por cierto, en este caso las rectas frontera s entran dentro de la solucion.

Nota 4.26 No siempre existiran soluciones a este tipo de problemas;por ejemplo, si con las mismas rectas frontera anteriores las condi-ciones hubieran sido y x + 3, as como y x 2, tal como seve en la figura al margen, no habra interseccion, ya que los conjuntossolucion por separado van cada uno hacia un lado distinto. Esto sedebe a que en este ultimo ejemplo las dos rectas tienen la misma pen-diente, y a diferencia del ejemplo anterior no ha habido coincidencias.No sera el caso mas habitual, pero vemos que se ha producido. En unsistema de dos inecuaciones en el que las dos rectas fronteras tengandistinta pendiente, siempre habra solucion, un angulo de vertice lainterseccion de las dos rectas.

Nota 4.27 Observese que para resolver estos problemas, mas importante que el hecho de que lossmbolos de las desigualdades tengan o no la misma direccion [(,), (,)), (, >), etc.], masimportante es que la variable y quede despejada a un mismo lado, y podamos interpretar si la zonasombreada es la que queda por arriba o por abajo de la recta, dibujando con facilidad.

Nota 4.28 En ocasiones no nos encontraremos con sistemas de dos inecuaciones con dos incognitas,sino que tengan tres o mas inecuaciones. En la teora no hemos visto que hacer con ellos, peroen realidad lo que se hace es lo mismo, reescribir el sistema de modo que sea facil de representargraficamente. Veamos un ejemplo de un sistema con tres inecuaciones:


Ejemplo 4.25 Resolver graficamente el sistema

y x 2 0

y + 2x 4 0

y + 3/2 > 0

Dicho sistema de tres inecua-ciones es equivalente al si-guiente, mas facil de repre-sentar graficamente: y x+ 2y 2x+ 4

y > 3/2

Y ahora se hace como en problemas anteriores, se representan las rectasfronteras, se representan graficamente los puntos soluciones, por separa-do, de cada una de las inecuaciones, y se toma la interseccion, en estecaso una figura en forma de triangulo. Una diferencia con problemas an-teriores es que ahora todos los puntos frontera no son del mismo tipo; labase del triangulo no entrara como solucion, los otros dos lados s, yaque la restriccion base es y > 3/2, esto es, los puntos solucion debenquedar estrictamente por encima de la recta y = 3/2, mientras que lasrestricciones y x+2 y 2x+4 0 nos dicen que los lados lateralesdel triangulo s entran.

Nota 4.29 Notese en este tipo de problemas que nada nos impide seguiranadiendo inecuaciones, cada una de las cuales ayudara a definir unpolgono plano. Por ejemplo, si al sistema anterior le anadieramos la re-striccion y 2, en vez de un triangulo tendramos un trapecio, o sea, escomo si al triangulo anterior le quitaramos un pequeno pico superior. Siahora le anadieramos la restriccion x > 2, le quitaramos un nuevo tro-zo, otro pico a la izquierda de la figura algo mayor que el anterior, de modoque la figura sera ahora un pentagono no regular. Mientras anadamoscondiciones, (y esto es importante) y la interseccion siga siendo no vaca,iremos perfilando el conjunto solucion, que cada vez se ira haciendo mascomplejo en su permetro y mas pequeno en su superficie.

Nota 4.30 En este tipo de problemas de sistemas de varias inecuaciones, en el momento que dosconjuntos solucion cualesquiera tengan interseccion vaca, la solucion total sera vaca.

APUNTES de 4B - Tema 4 - Ecuaciones e Inecuaciones

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