COLEGIO PRE UNIVERSITARIO II-Geom-6TO Grado 2DA

1

TRIÁNGULO

DEFINICIÓN.Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos. O también, se llama triángulo al polígono que tiene tres lados.

Elementos: - Vértices: A, B y C- Lados: AB, BC y AC - Ángulos interiores:

BAC, ABC y ACB- Ángulos exteriores: e1, e2 y e3

- Perímetro (2P):

Notación:Triángulo ABC:

REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL TRIÁNGULO

Observación: Para hallar el

semiperimetro:

PROPIEDADES FUNDAMENTALESA. Suma de medidas de los ángulos internos.En el

B. Suma de las medidas de los ángulos externos.En el

C. Medida del ángulo exterior.En el

D) Relación de existencia o desigualdad triangular.

En el Si a > b > cSe cumple:

E) Propiedad de correspondenciaEn el Si a > c

CLASIFICACIÓN

A. SEGÚN SUS LADOS.

Triángulo Equilátero.Es aquel cuyos lados son de igual medida (congruentes). Y sus tres ángulos también.

2

A

B

C

1e

2e

3e

c a

b

A C

B

Área o Región Triangular

Región Exterior relativa a

BC

Región Exterior relativa a

AB

Región Exterior relativa a AC

A C

B

a

a

a

A C

B

x

z

y

AC

B

x

A C

B

b

ac

A C

B

ac

A C

B

En la figura, si AB = BC =AC :

: es EquiláteroEntonces:

Triángulo IsóscelesEs aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud; el lado desigual se recibe el nombre de base. Los ángulos en la base son congruentes.

En la figura, si AB = BC (laterales)

: es Isósceles Se cumple:

Triángulo Escaleno.Es aquel triángulo, en el cual sus lados y ángulos tienen diferente longitud (no son congruentes).

En la figura: Si a, b y c son diferentes entre sí, entonces:

: Escaleno

Además: también son diferentes.

B. SEGÚN SUS ÁNGULOS.

Triángulo Acutángulo.Es aquel triángulo, que tiene sus ángulos internos agudos.

En la figura: ; ; : Acutángulo

Triángulo Obtusángulo.Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso. El lado opuesto al ángulo obtuso es el lado mayor del triángulo.

En la figura: : Obtusángulo

Además Triángulo RectánguloEs aquel triángulo que tiene un ángulo recto.

En la figura: m ABC = 90º

3

a a

bA C

B

c a

bA C

B

c a

bA C

B

AC

B

b

ac

A C

B

b

c a

AB y BC : CatetosAC : HipotenusaAdemás:

TALLER # 1

01. Observa estos triángulos y completa la tabla.

Triángulo Vértices Lados Ángulos

02. Dibuja y clasifica cada triángulo según las medidas dadas (en tu cuaderno).

Triángulo ABC Triángulo EFG

es ......... es ..........

Triángulo MNQ

es .........

03. Marca con un aspa (X) la alternativa correcta en cada caso:

Un Triángulo equilátero tiene:3 lados congruentes ( )2 ángulos de congruentes ( )3 lados de igual medida ( )

Un triángulo acutángulo tiene:3 lados de igual medida ( )Un ángulo interior < 90º ( )3 ángulos interiores son agudos ( )

Un Triángulo Escaleno2 lados de igual medida ( )3 ángulos congruentes ( )3 lados distintos ( )

Un Triángulo Isósceles tiene:2 ángulos congruentes ( )2 lados de igual medida ( )3 lados de igual medida ( )

Un Triángulo oblicuángulo puede ser:Un rectángulo ( )Un acutángulo ( )Un recto ( )

04. Puedes construir el triángulo que tenga por lados las medidas:

a) a = 14 mm b) a = 9 cmb = 4 mm b = 12 cmc = 2 mm c = 18 cm

4

A

C B

NM O

P

R QFE

G

YX

Z

05. Observa estos triángulos y completa:

AB = …………. EF = …………. RP = …………. MN = ………….

AC = …………. EG = …………. PQ = …………. NT = ………….

AC = …………. FG = …………. RQ = …………. MT = ………….

06. Marca con un aspa (X) los casilleros correspondientes a la clasificación de cada

triángulo según sus lados y según sus ángulos.

Escaleno

Isósceles

Equilátero

Rectángulo

Acutángulo

Obtusángulo

07. Escribe V o F, según corresponda.a. Los triángulos isósceles tienen dos ángulos de igual medida ( )b. Todo triángulo rectángulo tiene dos ángulos obtusos ( )c. Un triangulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso ( )d. No es posible construir un triangulo rectángulo que sea isósceles ( )e. Todo triángulo equilátero es oblicuángulo ( )

08. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 3m, 5m y 11m?

09. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 2cm, 4cm y 10cm?

10. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 6cm, 7cm y 12cm?

5

B

A

C

GE

F P

Q

RM

N

T

LINEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

CEVIANA.Es aquel segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su prolongación.

En el

pertenece a

: ceviana interior relativa a

En el

pertenece a la prolongación

: ceviana exterior relativa a

MEDIANAEs la ceviana que biseca el lado al cual es relativa.

En el

es punto medio de

: mediana relativa a

MEDIATRIZEs aquella recta perpendicular a un lado que biseca dicho lado.

En el : L y

L : mediatriz de

ALTURA Es una ceviana perpendicular al lado, al cual es relativa; la posición de una altura respecto al triángulo depende del tipo de triángulo.

En el

: altura relativa a

En el

: altura relativa a la hipotenusa

A

B

CD

A

B

C E

A

B

M Cl l

A

B

M Cb b

L

A

B

H C

CA

B

H

H

P

A

B

Q

C

SEXTO GRADO

En el : obtusángulo

: altura relativa a

: altura relativa a

: altura relativa a

BISECTRIZEs aquella ceviana interior o exterior que biseca a un ángulo interior o exterior respectivamente.

En el :

: bisectriz interior relativa a

En el :

: bisectriz exterior relativa a

TEOREMAS

A)

B)

C)

D) En el BH: altura y BM: bisectriz

E)

En el : mediana relativa a la hipotenusa

Teorema de los Puntos Medios

D

A C

B

EA C

B

x

x

x

ºa ºbH

MC

B

A

x

CA

B

Ma a

a

A C

B

NM

En el

Si MN//AC y “M” Punto Medio de AB;

entonces: “N” punto medio de BC

TALLER # 2

01. Trace las alturas en los siguientes triángulos, que partan del vértice A.

PROBLEMAS 01

01. Calcular la medida del menor ángulo de un triángulo, si sus ángulos miden

, y

A) 17º B) 16º C) 25ºD) 18º E) 22º

02. En la figura, calcular “ ”

A) 60° B) 40° C)30°

D) 80° E) 70°

03. De la figura calcular “ ”

A) 18° B) 15° C) 16°

A

C B

A

B

CA

BC

A

BC

AB

C

AB

C

A

BC

º40

)º( ax )º( ax

º5

º7

º6

D) 24° E) 20°

04. Si AB = BC, calcular la

A) 100° B) 90° C) 80°D) 75° E) 60°

05. Calcular “x”

A) 10º B) 12º C) 15ºD) 18º E) 20º

06. En la figura , calcular “x”

A) 15º B) 20º C) 25ºD) 30º E) 35º

07. Del grafico, calcular el valor de “ ”

A) 12º B) 10º C) 15ºD) 18º E) 20º

08. Del grafico calcular “ ”

A) 54º B) 48º C) 72º D) 45º E) 36º

09. Del grafico, calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar “ ”

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

10. Calcule el valor de “ ”.

A) 6º B) 10º C) 30ºD) 20º E) 5º

11. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, el ángulo C mide 40º. Sobre AC se toma el punto M de modo que

. Halle AC, si

A) 16 B) 14 C) 18D) 20 E) 24

TAREA DOMICILIARIA

01. Calcule el valor de “x” en cada figura:

º3x

ºx

A

B

C

20º

º5x

º2x

º80

xA

B

D C

4

3

2

8 3

x

2

6

02. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

A) Un triángulo equilátero es un triángulo acutángulo.

B) Si dos ángulos internos de un triángulo suman 50º, entonces se trata de un triángulo obtusángulo.

C) Un triángulo oblicuángulo es un triángulo rectángulo.

D) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º.

E) Un triángulo escaleno tiene todos sus lados diferentes.

03. Calcular la , si PQ = QR.

A) 55° B) 65° C) 50°D) 45° E) 70°

04. en la figura mostrada, calcule “x”

A) 26° B) 36° C) 82°D) 62° E) 70°

05. Dado el ABC. ¿Cuál es el menor perímetro entero que puede tener dicho triángulo?

A) 26cm B) 13cm C) 14cmD) 16cm E) 20cm

06. Calcula la medida del menor ángulo de un triángulo ABC si las medidas de sus ángulos interiores son proporcionales a 4, 5 y 6.

A) 12 B) 48 C) 24D) 20 E) 36

07. En la figura mostrada, calcula “ ”

A) 36° B) 18° C) 40°D) 90° E) 36

08. En la figura mostrada, hallar “x”.

º118

x

º75 º40

x

º70 º65

x

º110

º130x

º122

x

º70P

R

Q

20xP

R

Q 26x

x

A

B

C

x cm4

cm6

A

B

C

A) 120° B) 130° C) 60°D) 90° E) 110°

PROBLEMAS 03

01. En un triángulo , se traza su mediana tal que: y

. Halle “ ”.

A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 1,5

02. La recta L es mediatriz del lado , si y . Halle “x”.

A) 2 B) 3 C) 4D) 6 E) 7

03. En un triángulo se traza su bisectriz interior de modo que:

y . Halle el valor de “ ”.

A) 50º B) 10º C) 40ºD) 20º E) 30º

04. En un triángulo , , y . Halle el valor

de“ ”.

A) 50º B) 10º C) 40º

D) 20º E) 30º

05. En la figura, si es bisectriz del y , halle

A) 125° B) 35° C) 55°

D) 75° E) 95°

06. En la figura, es un triángulo. Se tiene que es bisectriz, y . Halle el valor de

A) 130° B) 140° C) 150°D) 110° E) 115°

07. En el triángulo ABC. Se tiene que

, , y

, Halle . Además, es

punto medio de y

A) 16cm B) 8cm C) 4cmD) 2cm E) 1cm

08. De la figura, calcular “ ”

A

B

C40

4

3 x

L

A

B

C

F

DA

B C

C

D

A

B E

P

A

B

CQN

M

A) 40° B) 45° C) 50 D) 55° E) 35°

09. En la figura, es un triángulo, halle la

A) 47º B) 133º C) 130ºD) 120º E) 110º

10. En la figura, es mediatriz. Halle el valor de “ ”.

A) 10º B) 20º C) 30ºD) 40º E) 60º

TAREA DOMICILIARIA

01. ¿Cuánto miden los ángulos congruentes de un triángulo isósceles, si su ángulo desigual mide 30º?

A) 60º B) 50º C) 90ºD) 75º E) 85º

02. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden y . Halle el valor de “ ”.

A) 5º B) 6º C) 8ºD) 10º E) 12º

03. Si los lados de un triángulo miden 2, 5, 3; ¿indicar la naturaleza del triángulo?

A) Acutángulo B) ObtusánguloC) Rectángulo D) EscalenoE) No existe

04. Calcule “ ” en:

A) 110º B) 105º C) 120ºD) 115º E) 130º

05. En un triángulo es equilátero, encuentra el valor de “ ”.

A) 115º B) 120º C) 130ºD) 135º E) 140º

06. En el triángulo de la figura, encuentra “ ”, si .

A) 5º B) 10º C) 20ºD) 15º E) 25º

07. Calcule“ ” en:

40º

100º60º

A

B

C

x

A

B

D

E

C110º

x

A

BF

E C

20º

x

30º 40ºx

AD

C

B

º55

º20

ºx

º30

A

B

C

N

M

º86

M

N

A) 90º B) 85º C) 105ºD) 95º E) 100º

08. Encuentra “ ”, el triángulo es equilátero.

A) 60º B) 30º C) 15ºD) 45º E) 20º

09. Calcule“ ” en:

A) 25º B) 20º C) 40ºD) 50º E) 30º

10. Calcule “ ”.

A) 50º B) 60º C) 70ºD) 20º E) 40º

11. Halle “ ”, si .

A) 40º B) 50º C) 60ºD) 30º E) 45º

12. Halle “ ”, si .

A) 15º B) 30º C) 10ºD) 5º E) 20º

13. Si es mediatriz de , calcule su longitud.

A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 11

PROF. HENRY E. JURADO VELIZ

L

A B7x 12x

xA D

C

B

C

ED

B

A

125º

105º

x

x

20º CH

A

B

x

20º

CH

A

B

75º D

CA

B

D

X