Geom Moderna

Universidad Complutense de Madrid

Apuntes

Curvas Algebraicas

Autor:David Gomez

Profesor:Enrique Arrondo

2012-2013

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Informacion La informacion de la asignatura atraves de su pagina web. Se puede aparecer en su despacho encualquier momento. Preferiblemente, avisar si se va a pasar fuera del horario de tutorıas.

Horario Habra dos horas de teorıa y dos de practica. Quizas es poca teorıa. Se respetara la hora de ejerciciosde los martes. El viernes sera mas variable. Es posible que ese dıa la segunda hora del viernes sealargue la primera.

Ejercicios Los problemas los haran los alumnos. Se saldra a la pizarra voluntariamente. Seran organizados deantemano. Se organizaran por grupos de 3 o 4 personas. Los ejercicios seran asignados a grupos.Los ejercicios con estrella delante seran los que se hagan en la pizarra. Los ejercicios que toca hacerhay que hacerlo. Se puede pedir asistencia al profesor cuando sea necesario.

Examen Como un examen normal: con parte de teorıa y practica. La pregunta de teorıa unos 3 puntos.Los ejercicios del estilo de clase. Nos pasara unos cuantos examenes de anos anteriores al final decuatrimestre. Habra dos preguntas de teorıa a elegir una. Se daran cinco minutos para revisar lademostracion y, acto seguido, debe ser reproducida.

Puntuacion La asistencia y entrega de problema es optativa. Solo con el examen se puede sacar un 10.

David Gomez

INDICE GENERAL 2

Indice general

1. Expresion implıcita de curvas 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Polinomios homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Interseccion de curvas usando resultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. La resultante de dos polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Teorema debil de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Lema de Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Curvas irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1. Criterios de irreducibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Sistemas lineales de curvas 162.1. Consecuencias del teorema debil de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Sistemas lineales de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Haces de conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Haces de cubicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Curvas parametrizadas 233.1. Raıces de polinomios y su grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Parametrizaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Estudio local de curvas 284.1. Multiplicidad de interseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2. Anillo de series formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3. Analisis para series formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4. Series de Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5. Ramas de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5. Teorema de Bezout 53

6. Formulas de Plucker 586.1. Primera formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2. Segunda formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7. Curvas de genero bajo 667.1. Estructura de grupo de una cubica lisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

David Gomez

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Capıtulo 1

Expresion implıcita de curvas

1.1 Introduccion

Esta asignatura es una continuacion natural de geometrıa proyectiva (o lineal). Allı debimos con-vencernos de que el espacio proyectivo funciona mejor que el afın. Si ademas el espacio proyectivo es elcomplejo todo funciona todavıa mejor. Sobre todo vamos a trabajar en el plano, aunque haremos incur-siones en otra dimensiones.

¿Por que es mejor el proyectivo complejo? En el plano proyectivo dos rectas distintas se cortan siem-pre en un punto. Si consideramos una recta y una conica debemos distinguir varios casos: una recta yuna elipse pueden no cortarse en un plano proyectivo real, pero en el complejo siempre en dos. Salvoen el caso tangente podemos garantizar que una recta y una conica se cortan en dos puntos distintos.Sera importante definir que es que una recta corte una conica dos veces en el mismo punto. Querremosgeneralizar esta idea.

Una recta viene dada por una ecuacion de grado uno y una conica de grado dos. El teorema centralsera el de Bezout, que nos dira que la interseccion entre dos curvas sera el producto de los grados, conlos puntos bien contados en el sentido anterior.

¿Por que algo ası puede ser cierto? y que dificultades hay para demostrarlo. Si uno considera unacurva

C = f = 0

con f un polinomio de grado d y l es una recta. Consideremos

C ∩ l

lo mas comodo es siempre tener una ecuacion implıcitas y la otra en parametricas. Pensaremos en principioque f ∈ K[X,Y ] y la recta

l :

X = p(t)

Y = q(t)

y ya es cuestion de considerart ∈ K | f(p(t), q(t)) = 0

donde esto es un polinomio de grado d en t, que tiene d raıces contadas con su multiplicidad. Es decir,que veremos que la multiplicidad como raız de polinomio coincidira con la multiplicidad en el sentido dela interseccion.

Para conicas, como se pueden parametrizar con polinomios de grado 2. A la hora de hacer la sustitu-cion tendremos un polinomio de grado 2d con lo que tendremos 2d puntos de interseccion.

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1.2. POLINOMIOS HOMOGENEOS 4

Uno puede pensar, sigo adelante, pero a partir de grado 3 nos es en general cierto que la curva sepueda parametrizar. Tendremos que buscar trucos alternativos para probar el teorema de Bezout.

Para tener una pequena idea de como se parametrizan las conicas consideremos

Y = X2

lo haremos de modo naive. Como cualquier recta corta a la parabola en dos puntos, por ejemplocualquier recta que pase por (0, 0) elegida una recta que pase por este punto cortaran en otro punto.Para parametrizar todas las rectas que pasan por 0 podemos considerar la recta Y = 1 es decir lospuntos (t, 1). Para cada uno consideramos el sistema

Y = X2

Y = Y t

que da dos soluciones (0, 0) o bien Xt = 1 luego X = 1t e Y = 1

t2 . Desde luego nos es la mejorparametrizacion de la conica. La mejor parametrizacion hubiese salido con X = 1. Debemos observar quecomo estamos en el afın salen denominadores y cosas raras. Considerando el proyectivo estarıa el puntodoble que viene dado por la paralela a Y = 1 por 0.

1.2 Polinomios homogeneos

Empezaremos por una nocion intuitiva. Una curva plana sera un conjunto de puntos en el planodefinido por los ceros de un polinomio.

Usaremos las siguientes definiciones y notaciones:

1.1 Definicion. Espacio afın AnK con coordenadas X1, · · · , Xn. Los polinomio f ∈ K[X1, · · · , Xn].

1.2 Definicion. Espacio proyectivo PnK con coordenadas homogeneasX0, · · · , Xn y polinomios F ∈ K[X0, · · · , Xn].

Las diferencias fundamentales. En el espacio afın un polinomio f define una funcion AnK → K. Si

embargo en el espacio proyectivo esto no ocurre nunca para polinomios no constantes (es obivio con-siderando las clases).

Podrıa parecer entonces que los polinomios funcionan mejor en el espacio afın. Veamos con un ejemplopor que esto no es cierto.

1.3 Ejemplo. Consideremos los polinomios:

f = XY − 1 g = XpY − 1

Si trabajamos sobre el cuerpo K = Zp entonces los dos polinomios definen la misma funcion del plano enK.

Como f 6= g se tiene que f − g 6= 0. Sin embargo, como las funciones son iguales el polinomio

XpY −XY

define la funcion 0, pero no es el polinomio 0. Lo eXtrano de este ejemplo es que estamos trabajando enpolinomios sobre cuerpos finitos.

Tenemos un primer resultado:

1.4 Proposicion. Si K es un cuerpo infinito para cada polinomio f ∈ K[X1, · · · , Xn] no nulo existe unpunto del espacio afın (a1, · · · , an) tal que f(a1, · · · , an) 6= 0

Dem. Por induccion sobre el numero de variables.Si n = 1 entonces los ceros coinciden con las raıces, tiene como mucho tantas raıces como el grado del

polinomio. Como el cuerpo es infinito, al menos hay una no raız.

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Si suponemos cierto el caso n − 1 veamos el caso n. Tomemos f ∈ K[X1, · · · , Xn] no nulo podemosconsiderar f ∈ (K[X1, · · · , Xn−1])[Xn] es decir

f =

d∑i=0

gi(X1, · · · , Xn−1)Xin

y como era cierto el caso n− 1, existe un punto tal que

gd(a1, · · · , an−1) 6= 0

Ahora consideramos el polinomio:

h(Xn) = f(a0, · · · , an−1, Xn)

que es un polinomio de grado d en Xn, pero con coeficientes en K. Ahora podemos aplicar el caso n = 1y encontramos an ∈ K que no es raız de h. Por tanto (a1, · · · , an) no es raız de f .

1.5 Definicion. Se llama hipersuperficie de AnK a un conjunto de la forma:

V (f) = a ∈ AnK | f(a) = 0

donde f ∈ K[X1, · · · , Xn] es un polinomio no constante.

Es decir, podemos reescribir la proposicion anterior como: Si f no es constante y K es infinito en-tonces V (f) 6= An

K . Si n = 2 llamaremos curva (algebraica) afın plana a la hipersuperficie.

1.6 Definicion. Un polinomio F ∈ K[X0, · · · , Xn] se dice que es homogeneo de grado d si todos susmonomios tienen grado d.

1.7 Proposicion. Un polinomio F ∈ K[X0, · · · , Xn] es homogeneo de grado de d si y solo si F (TX0, · · · , TX1) =T dF (X0, · · · , Xn) en K[X0, · · · , Xn]

Dem. =⇒ Facil. ⇐ Podemos agrupar los terminos de igual grado

F = F0 + · · ·+ Fd

sobre cada uno de estos es inmediato Fi(TX0, · · · , TXn) = T iFi(X0, · · · , Xn) y de esta forma

F0 + · · ·+ T dFd = F0(TX0, · · · , TXn) + · · ·+ Fd(TX0, · · · , TXn)

= F (TX0, · · · , TXn) = T dF (X0, · · · , Xn) = T dF0 + · · ·T dFd

en particular podemos tomarlos como polinomios en T , calculando se dara que Fi = 0 si i 6= d.

1.8 Observacion. No basta con que esto ocurra con λ ∈ K en lugar de T . Por ejemplo, consideramos

Xp −X ∈ Zp[X]

que no es homogeneo pero si tiene la propiedad del teorema.

1.9 Corolario. Si K es infinito F ∈ K[X0, · · · , Xn] es homogeneo si y solo si para cada λ ∈ K se cumple

F (λX0, · · · , λXn) = λdF (X0, · · · , Xn)

1.10 Corolario. Tiene sentido hablar de cuando un polinomio homogeneo se anula en un punto de PnK .

1.11 Definicion. Se llama hipersuperficie de PnK a un conjunto

V (F ) = a ∈ PnK | F (a) = 0

donde F ∈ K[X0, · · · , Xn] es homogeneo de grado positivo.Observacion. Si K es infinito entonces V (F ) 6= Pn

K

Si n = 2 diremos que V (F ) es una curva algebraica projectiva.

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1.12 Corolario (Identidad de Euler). Si F ∈ K[X1, · · · , Xn] es homogeneo de grado d entonces

F0X0 · · ·+ FnXn = dF

donde ∂F∂Xi

.

Dem. Derivamos respecto de T la igualdad

F (TX0, · · · , TXn) = T dF (X0, · · · , Xn)

haciendo parciales

∂F

∂X0(TX0, · · · , TXn)X0 + · · ·+ ∂F

∂Xn(TX0, · · · , TXn)Xn = dT d−1F (X0, · · · , Xn)

y tomando T = 1 se sigue la igualdad.

En adelante sera comun para nosotros considerar curvas en el espacio proyectivo y, a menudo, con-sideraremos el espacio proyectivo como union de diferentes afines. Es decir

PnK = (Pn

K \ V (X0)) ∪ · · · ∪ (PnK \ V (Xn))

comunmente Ui = (PnK \ V (Xi)). Para considerar el espacio afın dentro del espacio projectivo

ϕ : AnK → Pn

K (a0, · · · , ai−1, ai+1, · · · , an) 7→ (a0 : · · · : ai−1 : 1 : ai+1 : · · · : an)

Una vez tenemos estas cosas hay otras que aparecen de forma natural. Si uno tiene una variedadV (F ) ⊂ Pn

K y el recubrimiento del proyectivo dado podemos considerar V (F )∩Ui ⊂ Ui∼= An

K . Un puntodel afın estara en V (F )∩Ui si es de la forma (a0, · · · , ai−1, ai+1, · · · , an) si ϕi(a0, · · · , ai−1, ai+1, · · · , an) ∈V (F ) es decir si y solo si el polinomio f definido por

f(X0, · · · , Xi−1, Xi+1, · · · , Xn) = F (X0, · · · , Xi−1, 1, Xi+1, · · · , Xn)

se anula. A este polinomio se le llama deshomogeneizado de F . Es decir, es una variedad afın.

En adelante trabajaremos con i = 0, en general con lo que hay que jugar es con la coordenada i-esima, pero esta notacion simplificara nuestra notacion. Una vez hemos hecho el proceso hacia el espacioproyectivo, pensamos en a que posible variedades en Pn

K puede corresponder una variedad de AnK . Es

decir, dada una variedad V (f), a que variedad V (F ) ∩ U0 corresponde.

1.13 Lema. Sea f ∈ K[X1, · · · , Xn] entonces todos los polinomios homogeneos cuyo deshomogeneizado (re-specto de X0) es f son de la forma Xa

0F (X0, · · · , Xn) donde

F (X0, · · · , Xn) = Xd0f

(X1

X0, · · · , Xn

X0

)para d = deg(f).

1.14 Ejemplo. Si consideramos

f(X0, X1, X2) = X21X2 − 5X1X3 + 4X3

3 − 2X1X2 + 7X2 − 3

si escribimos

f

(X1

X0,X2

X0,X3

X0

)=X2

1X2

X20

− 5X1X3

X20

+ 4X3

3

X30

− 2X1X2

X20

+ 7X2

X0− 3

y multiplicamos por X0 elevado a la potencia mas alta que aparece en un denominador

F = X21X2 − 5X0X1X3 + 4X3

3 − 2X0X1X2 + 7X20X2 − 3X3

0

es decir, lo que hacemos es rellenar los monomios de grado inferior al maXimo con la potencia correspon-diente de X0 para que todos los monomios queden del grado del polinomio (es aquı donde eliminamostantos X0s en cada monomio como grado tiene el monomio al sustituir por Xi

X0).

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Dem. (del lema). Con el ejemplo es facil asumir que al multiplicar por Xd0 de que F es un polinomio. A su vez,

es facil ver que es homogeneo y f es su deshomogeneizado. Veamos ahora el otro sentido de la implicacion.Sea G un polinomio de grado e que deshomogeiniza en f . Sabemos que

G(1, X1, · · · , Xn) = f(X1, · · · , Xn)

haciendo un pequeno abuso de notacion

G(X0, · · · , Xn) = G(X0, X0X1

X0, · · · , X0

Xn

X0) = Xe

0G(1,X1

X0, · · · , Xn

X0) = Xe

0f(X1

X0, · · · , Xn

X0) = · · ·

Sabemos, ademas, que e ≥ d, pues al deshomogeneizar (sustituir una variable por 1) el grado disminuye.Luego, e− d ≥ 0 y

· · · = Xe−d0 Xdf(

X1

X0, · · · , Xn

X0) = Xe−d

0 F (X0, · · · , Xn)

1.15 Definicion. Se llama homogeneizado de un polinomio f al menor polinomio con la propiedad anterior,es decir:

F (X0, · · · , Xn) = Xd0f

(X1

X0, · · · , Xn

X0

)Ası, V (F ) es la hipersuperficie de Pn

K mas pequena tal que

V (F ) ∩ U0 = ϕ0(V (f))

1.16 Lema. Sea f es un polinomio F su homogeneizado entonces

1. f es irreducible si y solo si lo es F

2. Si f = fa11 · · · fan

n entonces F = F a11 · · ·F an

n donde Fi es el homogeneizado de fi.

3. Si g es otro polinomio y G es su homogeneizado entonces f y g son primos entre sı si y solo si Fy G son primos entre sı .

Dem. Nos bastara probar la parte (i). (iii) sale de (ii) trivialmente, pues son primos entre sı si y solo si notiene factores irreducibles en comun si y solo si f y g tienen factores irreducibles en comun si y solo sif y g son primos entre sı. Veamos (i) ⇐ Si fuese f = f1f2 (es decir, si f no es irreducible) entoncesdegf = d, degfi = di. Llamemos Fi al homogeneizado de fi, es decir

Fi = Xdi0 fi

(X1

X0, · · · , Xn

X0

)y calculamos

F = Xd0f

(X1

X0, · · · , Xn

X0

)= Xd1

0 Xd20 f1

(X1

X0, · · · , Xn

X0

)f2

(X1

X0, · · · , Xn

X0

)= F1F2

luego F no es irreducible, esto prueba, ademas, (ii). Para (i) =⇒ por reduccion al absurdo si F = F1F2

de grados d1, d2 entonces

f = F (1, X1, · · · , Xn) = F1(1, X1, · · · , Xn)F2(1, X1, · · · , Xn)

lo importante aquı al ser F un deshomogeneizado, F no es divisible por X0 y por tanto tampoco F1, F2,luego ninguno de los dos adquieren grado 0 al evaluar en (1, X1, · · · , Xn). Si se quiere, puede hacer masriguroso empleando grados. Como X0 no divide a F entonces degf = degF , donde d = d1 + d2 y comodegFi(1, X1, · · · , Xn) ≤ di para que se preserva la suma ha de darse la igualdad para cada i. Luego sondos polinomios no constante.

1.17 Observacion. Es importante hacer notar que funciona de f hacia F , en el otro sentido F y G po-drıan ser divisibles por X0. Una forma infalible de saber si un polinomio es el homogeneizado de sudeshomogeneizado es comprar si X0 lo divide.

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1.18 Observacion. Este resultado nos dice que los polinomios homogeneos en n indeterminadas se compor-tan exactamente igual que los polinomios homogeneos en n+ 1 indeterminadas.

Nos centraremos primero en el caso de 2 indeterminadas.

1.19 Lema. Sea F ∈ K[X1, X2] un polinomio homogeneo. Entonces

1. (a0 : a1) ∈ V (F ) ⊂ P1K si y solo si a1X0 − a0X1 | F

2. Si F 6= 0 entonces V (F ) es un conjunto finito, de hecho de cardinal, como mucho, degF .

3. Si K es algebraicamente cerrado entonces F factoriza en factores lineales.

Dem. Como en el lema anterior, lo importante es la parte (i). Lo primero que hacemos es escribir

F = Xa0G(X0, X1)

donde X0 6 |G y G es homogeneo de grado degF −a y como X0 6 |G hay algun monomio donde no apareceX0. Para (i) distinguiremos dos casos.

Si (a0 : a1) = (0 : 1) es equivalente (a0 : a1) ∈ V (F ) a que F (0, 1) = 0, o bien que a que a > 0 y aque X0 | F . Si (a0 : a1) 6= (0 : 1) entonces F (1 : a1

a0) = 0 y

f = F

(1,X1

X0

)es el deshomogeneizado F . Por la regla de Ruffini, a1

a0es raız de F si solo si

X1 −a1a0| f

Como hablar de factores irreducible de un polinomio es igual a hablar de factores irreducibles de suhomogeneizado. En este caso, el homogeneizado de f es G (notese que no es F ). En cualquier caso

X1 −a1a0X0 | G

y como G | F tambien

X1 −a1a0X0 | F

y podemos multiplicar por cualquier constante, luego, cualquiera de las anteriores es equivalente a que

a0X1 − a1X0 | F

que es lo querıamos obtener. Para la parte (ii) si F es homogeneo de grado d puede tener a lo sumo dfactores lineales, entonces V (F ) tiene, como mucho, d puntos. Para (iii) si K es algebraicamente cerrado

f = λ(X1 − a1) · · · (X1 − an)

luegoG = λ(X1 − a1X0) · · · (X1 − anX0)

1.20 Observacion. Aunque homogeneizar y deshomogeneizar no definan una biyeccion, lo hacen si trabajossobre el G de la notacion de la prueba, que nos habla de todas las raıces de F fuera del ”plano delinfinito”.

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1.3. INTERSECCION DE CURVAS USANDO RESULTANTES 9

1.3 Interseccion de curvas usando resultantes

Todo esto que hemos visto para polinomios vamos ahora a emplear a curvas en el plano. Es decir,tomaremos n = 2. Al tomar cuerpos infinitos hemos eliminado la opcion de que la curva sea demasiadogrande, todo el espacio. Nos queda eliminar el problema de que la curva sea demasiado pequena, porejemplo

1.21 Ejemplo. V (X2 + y2), V (X2 + y2 + 1) ⊂ A2K . Si consideramos K = R entonces

V (X2 + y2) = (0, 0) V (X2 + y2 + 1) = ∅

Por nuestra definicion son curvas, y sin embargo... no querrıamos que lo fuesen. Ademas, la ecuacion deuna curva no esta unıvocamente determinada, por ejemplo

V (X) = V (X(X2 + y2)) = V (X(X2 + y2 + 1))

Cuando el cuerpo sea algebraicamente cerrado sı podremos hablar de ”la” ecuacion de la curva, salvoproducto por constantes. Conseguiremos hablar de un polinomio minimal, cuyas potencias seran todas lasposibles ecuaciones de la curva. Lo primero que vamos es como nos evitamos estos problemas al trabajarcon cuerpos algebraicamente cerrados.

1.22 Lema. Si K es algebraicamente cerrado entonces es infinito.

Dem. Haremos la demostracion de andar por casa para quien no sabe algebra. Si

K = a1, · · · , an

como sabemos cuales son las posibles raices, si tomamos

f = (X − a1) · · · (X − an) + 1

que es un polinomio en K[X] sin raıces.

1.23 Observacion. Es decir, que los cuerpos algebraicamente cerrados inmediatamente resuelven el problemaanterior.

1.24 Proposicion. Si f ∈ K[X,Y ] de grado positivo y K es algebraicamente cerrado entnces V (f) es unconjunto propio infinito.

Dem. Lo veremos en dos casos. Si f no depende la variable y entonces es un polinomio en una variable, es decirf ∈ K[X]. Como K es algebraicamente cerrado f tiene al menos una raız a ∈ K. Entonces para cualquierb ∈ K el punto (a, b) satisface la ecuacion de la curva. Dado que K es infinito ya tenemos un subconjuntoinfinito de V (f).

En otro caso, como hemos hecho otra veces:

f(X) = g0(X) + g1(X)y + · · ·+ gd(X)yd

con g0 6= 0. Cuando particularizo X y me de un valor, entonces, salvo si gd(X) = 0 (lo que solo ocurreen una cantidad finita de puntos) tendremos un polinomio f(a, y) ∈ K[y] para cada a ∈ K de forma que,que tendra, al menos una raız, sea ba. Luego podemos considerar el conjunto:

(a, b) | gd(a) 6= 0, f(a, b) = 0 ⊂ V (f)

que es una familia con al menos tantos puntos como K \ X | gd(X) = 0, un conjunto infinito menosuno finito, luego infinito.

Es decir, una curva en un cuerpo de esta forma ya es algo razonable.

1.25 Corolario. Sea F ∈ K[X0, X1, X2] un polinomio homogeneo de grado positivo, entonces V (F ) ⊂ P2K ,

entonces V (F ) es un conjunto propio e infinito.

Dem. Uno podrıa repetir la demostracion anterior, o bien pensar que, si F depende, al menos de una variable,por ejemplo X2. Al deshomogeneizar y considerar V (F ) ∩ U0 = V (f) tendremos un polinomio de gradopositivo. Con la proposicion aplicada a f , deducimos que V (f) es propio e infinito, luego V (F ) es propioe infinito.

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1.3.1 La resultante de dos polinomios

Supongamos que dos polinomios f =∑aiX

i y g =∑bjX

j con degf = d, degg = e. Si tienen unfactor h en comun, entonces

f = hp g = hq, deg p < d,deg q < e

o, lo que es lo mismo que existan p, q 6= 0fq = gp,

con p =∑ckX

k y q =∑dmX

m. Luego, equivalentemente que tengan un factor en comun de forma queexistan ck, dm tales que: ∑

aiXi∑

dmXm =

∑bjX

j∑

ckXk

tenemos el sistema a0d0 −b0c0 = 0a1d0 +a0d1 −b1c0 −b0c1 = 0

...adbe−1 −becd−1 = 0

que es un sistema con e+d variables, y los coeficientes son los ai, bj . Este sistema tiene solucion no trivialsi y solo si el determinante de las matrices de coeficientes es 0.

R(f, g) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 a1 · · · ad0 a0 · · · ad−1 ad

. . .e)

. . .

b0 b1 · · · be0 b0 · · · be−1 be

. . .d)

. . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1.3.2 Teorema debil de Bezout

Vamos a dar primero la idea en el espacio afın, y luego la formalizaremos en el espacio proyectivo.Supongamos que tenemos dos curvas V (f), V (g) ∈ A2

K y nos preguntamos por V (f) ∩ V (g). En gener-al, cuando uno tiene dos ecuaciones implıcitas es complicado hacer la interseccion. Uno puede aspirartambien a hacer la interseccion de dos cosas en parametricas, pero es un jaleo lo que siempre funcionabien es tener una curva en implıcitas y la otra en parametricas. De esta forma obtendremos una ecuacionimplıcita en el parametro de la que podremos, a veces, despejar. Esta ultima situacion, aunque ideal, noes siempre posible. Veremos condiciones para que una curva se pueda parametrizar. Lo que hay que haceres un truco astuto, similar al que se usa para sistemas de ecuaciones lineales.

Vamos a analizar, que quiere decir que (a, b) ∈ V (f)∩V (g). Una forma de decirlo es f(a, b) = g(a, b) =0. Otra forma de decirlo que es los polinomios f(a, Y ), g(a, Y ) comparten la raız Y = b. Esto sı sabemoshacerlo. Que tengan en comun esa raız significa que

Y − b | f(a, Y ), g(a, Y )

pero entonces estos dos factores tienen un factor comun de grado positivo y, por tanto, la resultantede esos dos polinomios f(a, Y ), g(a, Y ) es 0. Consideramos RY (f, g) ∈ K[X] de los polinomios vistos en(K[X])[Y ]. Entonces a ∈ RY (f, g) si Y solo si RY (f(a, Y ), g(a, Y )) = 0. Luego los posibles a que puedendar puntos de la interseccion seran los que resuelvan la ecuacion RY (f, g) = 0. Para calcular los posiblesb podemos hacer el caso simetrico.

En este razonamiento falla el si y solo si que hemos empleado al decir

Entonces a ∈ RY (f, g) si y solo si RY (f(a, Y ), g(a, Y )) = 0

David Gomez


Si consideramos RX(f, g) ∈ K[Y ] y tomamos una raız de b. Lo que necesitamos es que se anule laresultante RX(f(X, b), g(X, b)) y es en este caso cuando puedo decir que existe una a ∈ K con (a, b) ∈V (f) ∩ V (g). Pero el problema es que la resultante no conmuta bien. Escribamoslo con cuidado:

f(X) = a0(b) + · · ·+ ad(b)Xd g(X, b) = b0(b) + b1(b)X + · · ·+ be(b)Xe

Recordamos que hemos hecho hincapie en el grado de los polinomios. Es muy posible que la sustitucionhaya hecho que se reduzca, en algun caso, el grado de uno de esos polinomios. Es decir que

R(f(X, b), g(X, b))?= (RX(f, g))(b)

Donde, todo funciona bien si ad(b), be(d) 6= 0. Podrıa uno pensar que tenemos que tener cuidado especialcon estos casos problematicos. Esto es un poco molesto, podemos formalizarlo y ponerlo todo junto. Esteprimer error se subsana.

Hay una segunda ”mentira”, menos grave, que se puede subsanar. Es el hecho de saber que tenemosuna cantidad finita de ceros de RX(f, g). Si ocurre significa que f y g tengan una un factor comun. Comohipotesis, anadiremos que f y g no tengan factor comun.

Veamos otra aplicacion de la resultante, que aparece en los ejercicios. Si suponemos que tenemos unaparametrizacion en polinomios de la forma:

C = (p(t), q(t)) | t ∈ K

y supongamos que uno quiere saber que esto es una curva. Estamos de nuevo en pasar de parametricas aimplıcitas. Ahora (a, b) ∈ C si y solo si existe un t tal que a = p(t), b = q(t), es decir que los polinomiosp(T )− a y q(T )− b tiene una raız comun. Es decir si y solo si res(p(T )− a, q(T )− b) o bien (a, b) es raızde resT (p(T )−X, q(T )− Y ) que es un polinomio en K[X,Y ] y no hay el problema que habıa en el casoanterior, el grado no se reduce. Es decir que

C = V (resT (p(T )−X, q(t)− Y ))

Si la curva no se puede parametrizar en polinomios, y hay que parametrizarla por cocientes de poli-nomios la cosa empieza a tomar aspecto

p1(T )− ap2(T ), q1(T )− bq2(T )

y pueden aparecer el hecho de que ahora si se anule el termino de mayor grado.

Todo esto es, de nuevo, un motivo para preferir los calculos en el espacio proyectivo, como veremosen la proxima seccion.

1.26 Lema. Sean F,G ∈ K[X0, X1, X2] polinomios homogeneos de grados respectivos d y e entonces RX2(F,G)es un polinomio homogeneo de grado de si (0 : 0 : 1) /∈ V (F,G).

Dem. Ahora vamos a escribirF = Ad + · · ·+A0X

d2 G = Be + · · ·+B0X

e2

donde Ai, Bj ∈ K[X0, X1]. En este caso cambiamos los subındices de los coeficientes al reves de lo quesolemos hacerlo porque de esta forma degAi = i (y es homogeneo). Lo mismo ocurre para Bj . Entonces,si llamamos R = RX2(F,G) tenemos:

R(X0, X1) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Ad Ad−1 · · · A0

Ad Ad−1 · · · A0

. . .

Ad Ad−1 · · · A0

Be Be−1 · · · B1 B0

Be Be−1 · · · B1 B0

. . .. . .

Be · · · B0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣David Gomez


Ahora, como los polinomios Ai y Bj son homogeneos: Ai(TX0, TX1) = T iAi(X0, X1) y Bi(TX0, TX1) =T iBi(X0, X1). Entonces, echando cuentas:

T 0 · · ·T d−1T 0 · · ·T e−1R(TX0, TX1) =

=T 0 · · ·T d−1T 0 · · ·T e−1·∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

T dAd T d−1Ad−1 · · · T 0A0

T dAd T d−1Ad−1 · · · T 0A0

. . .

T dAd T d−1Ad−1 · · · T 0A0

T eBe T e−1Be−1 · · · T 1B1 T 0B0

T eBe T e−1Be−1 · · · T 1B1 T 0B0

. . .. . .

T eBe · · · T 0B0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= · · ·

cuando anadimos sobre cada fila la potencia de T correspondiente

· · · =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

T d+e−1Ad T d+e−2Ad−1 · · · T e−1A0

T dAd T d+e−2Ad−1 · · · T e−2A0

. . .

T dAd T d−1Ad−1 · · · T 0A0

T d+e−1Be T d+e−2Be−1 · · · T dB1 T d−1B0

T d+e−2Be T d+e−3Be−1 · · · T d−1B1 T d−2B0

. . .. . .

T eBe · · · T 0B0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣que diviendo todas las columnas por sus correspondientes potencias de T resulta

T 0 · · ·T d+e−1R(X0, X1)

de donde se sigue exactamenteR(TX0, TX1) = T deR(X0, X1)

o, equivalentemente, que R es un polinomio homogeneo de grado de.

1.27 Observacion. El problema entre entre las evaluaciones de las resultantes antes o despues era precısa-mente que si se anulaba el coeficiente director de alguno de los polinomios entonces el grado se reducıa, ysi aplicabamos la resultante mas tarde quizas debıamos emplear la formula de la resultante para un gradomenor. Si ocurriese entonces habrıa una discrepacian de grados. Lo que podemos sacar de este lema esque, bajo sus condiciones, los grados de ambos polinomios han de coincidir y, por tanto, si (0, 0, 1) no seanula para F y G entonces tenemos monomio en Xd

2 y G tiene un monomio en Xe2 . Por tanto el polinomio

sigue teneniendo grado de al considerarlo como polinomio en X2.

1.28 Teorema (debil de Bezout). Sean F,G ∈ K[X0, X1, X2] homogeneos sin factores comunes etonces V (F )∩V (G) es un conjunto finito de puntos de cardinal menor o igual que deg f deg g.

Dem. Cambiando el sistema de referencia podemos suponer que (0 : 0 : 1) /∈ V (FG) 1. Podemos considerarahora R = RX2(F,G), resultante no nula y homogenea por el lema anterior. Su grado, de, no nos interesamucho. Para estudiar la utilidad de la resultante miremos los puntos de interseccion. Que (a0 : a1 : a2) ∈V (F ) ∩ V (G) es equivalente a que los polinomios

F(a0,a1) := Ad(a0, a1) +Ad−1(a0, a1)X2 + · · ·A0(a0, a1)Xd2

1siempre podemos hacerlo pues esta curva no es el total, tomamos como tercer punto de un nuevo sistema de referenciaun punto exterior

David Gomez

1.4. LEMA DE STUDY 13

G(a0,a1) := Be(a0, a1) +Be−1(a0, a1)X2 + · · ·B0(a0, a1)Xd2

tienen, como raız comun, X2 = a2. Luego, la resultante respecto de la variable X2 cumple

RX2(F(a0,a1), G(a0,a1)) = 0

Lo importante es que los coeficientes A0(a0, a1), B0(a0, a1) 6= 0, y por tanto la formula para las resultanteses la misma, y tenemos

R(a0, a1) = RX2(F(a0,a1), G(a0,a1)) = 0

Luego los puntos que verifiquen estar en la interseccion, seran raıces de R y, por tanto, existe comomucho de soluciones (a0 : a1). Fijado un posible valor (a0, a1) los posibles valores de a2 tales que(a0, a1 : a2) ∈ V (F ) ∩ V (G) son las raıces, por ejemplo, de F(a0,a1). Tiene, como mucho, d raıces.De esta forma, ya sabemos que el conjunto es finito. Veamos cuantos a2 puede haber para cada (a0 : a1).

Podemos refinar la eleccion de sistema de referencia, lo elegimos tal que (0 : 0 : 1) /∈ V (F ), V (G) nien ninguna recta que una dos puntos de interseccion. Con esta eleccion las soluciones sera (a0 : a1) raızde R, como mucho de. Para cada (a0, a1) raız de R

#V (F ) ∩ V (G) ∩ V (a1X0 − a0X1) ≤ 1

pues (0 : 0 : 1) ∈ V (a1X0 − a0X1) y por contruccion esta recta solo puede contener 1 punto de intersec-cion. Que si para (a0 : a1) hay algun punto (a0 : a1 : a2) ∈ V (F ) ∩ V (G) hay uno y solo uno. De estaformaEsto concluye la prueba.

1.29 Ejemplo. Veamos como se puede aplicar el teorema debil de Bezout. Por ejemplo, V (F )∩ V (G) tienenmas de degF degG puntos entonces F y G tienen algun factor comun. Por ejemplo, si una recta y unaconica se cortan en mas de dos puntos, entonces la ecuacion de la recta y la ecuacion de la conica tienenun factor en comun que, como la ecuacion de la recta es irreducible, significa que la ecuacion de la rectadivide a la de la conica y por tanto la recta esta contenida en la conica.

Si el cuerpo es algebraicamente cerrado esta implicacion se da tambien en sentido inverso.

1.30 Corolario. Sean f, g ∈ K[X,Y ] primos entre sı, entonces V (f)∩V (g) es una cantidad finita de puntos

Dem. Basta tomar F,G ∈ K[X0, X1, X2] los completados proyectivos de f y g respectivamente. Entonces F,Gson primos entre sı, y por tanto #V (F )∩V (G) ≤ degF degG = deg f deg g y V (f)∩V (g) → V (F )∩V (G).

Veamos unos cuantos ejemplos ilustrativos, que nos den una pista de a donde queremos llegar

1.31 Ejemplo. Tenemos la recta X = 0, que se puede poner X2 = 0 y por tanto V (X) = V (X2) ⊂ V (XY )pero X2 6| XY (mientras X | XY ).

Sobre cuerpos que no sean algebraicamente cerrados pueden pasar cosas eXtranas.

1.32 Ejemplo. Trabajando en A2R tenemos 0 = V (X2 + y2) ⊂ V (X) mientras que X2 + Y 2 6| X.

1.4 Lema de Study

El teorema que impide que ocurra todo esto es el siguiente:

1.33 Teorema (Lema de Study). Si f, g ∈ K[X,Y ], con f irreducible, V (f) es un conjunto infinito2 yV (f) ⊂ V (g) entonces f | g.

Dem. Como V (f) ⊂ V (g) entonces V (f) ∩ V (g) = V (f), pero es infinitos puntos. Entonces por el corolario fy g no son primos entre sı. Tienen que tener algun factor irreducible en comun, dado que el unico factorde f es f entonces f | g.

2esto ocurre siempre si el cuerpo es algebraicamente cerrado

David Gomez

1.5. CURVAS IRREDUCIBLES 14

1.34 Corolario (Lema de Study proyectivo). Sean F,G ∈ K[X0, X1, X2] homogeneos, F irreducible, V (F )infinito y V (F ) ⊂ V (G) entonces F | G.

Este resultado es muy fuerte, en el sentido de que nos permite responder a los ejemplos anteriores. Elprimero que pusimos falla por no ser el polinomio irreducible y el segundo por ser un conjunto finito.

El lema de Study tiene, como consecuencia, que para cada curva va a existir una ecuacion, que vamosa llamar minimal, que va a consistir en quitarle a la ecuacion todo lo que sobre, por ejemplo a X2 elcuadrado.

1.35 Corolario. Sean K algebraicamente cerrado, f, g ∈ K[X,Y ] polinomios no constantes, entonces V (f) =V (g) si y solo si los dos polinomios tienen los mismos factores irreducibles (sin contar su multiplicidad)

Dem. Para cada h factor irreducible de f se tiene que V (h) ⊂ V (f) = V (g) y V (h) es infinito (por ser Kalgebraicamente cerrado) luego por el lema de Study h | g y, por tanto, h es un factor irreducible de g.Un argumento simetrico concluye la prueba.

1.36 Corolario. Sean K algebraicamente cerrado, f, g ∈ K[X0, X1, X2] homogeneos no constantes, entoncesV (F ) = V (G) si y solo si F y G comparten todos los factores irreducibles (sin contar su multiplicidad).

Dicho de otra forma, si un polinomio f descompone en factores irreducibles como f = fa11 · · · far

r conai > 0 y g es otro polinomio tal que V (f) = V (g) entonces una descomposicion en factores irreducibles deg es g = f b11 · · · f brr con bi > 0. Salvo que uno este completamente loco, lo natural es tomar el polinomioque tiene todos los exponentes 1. Esta es la ecuacion de grado mas pequeno y la mas sencilla.

1.37 Definicion. Se llama ecuacion minimal de una curva (afın o proyectiva) a una ecuacion de grado mıni-mo que define la curva.

Es decir, para la curva V (f) con f = fa11 · · · , far

r tenemos la ecuacion minimal f1 · · · fr que, al igual quela descomposicion, es unica salvo producto por constantes.

1.5 Curvas irreducibles

En adelante, trabajaremos exclusivamente con K algebraicamente cerrado.

1.38 Definicion. Una curva plana C (afın o proyectiva) se dice que es irreducible si no se puede escribircomo union de curvas mas pequenas C = C1 ∪ C2.

1.39 Lema. Una curva plana es irreducible si y solo si su ecuacion minimal es irreducible

Dem. Hagamos el caso afın.Consideremos f la ecuacion minimal. Por reduccion al absurdo supongamos f = gh en factores propios⇒entonces cualquier 0 de f los es de g o de h, es decir que V (f) = V (g) ∪ V (h). Tanto V (g), V (h) soncurvas infinitas, y llegamos a contradiccion con la irreducibilidad de V (f).

En sentido contrario , como V (g) ∪ V (h) = V (gh) tenemos que si V (f) = V (g) ∪ V (h) entonces V (f) =⇐V (gh) entonces gh tiene los mismo factores irreducibles que f , que es f , luego gh = fn. Luego V (g) =V (h) = V (f).

1.40 Teorema. Cada curva plana se puede escribir de forma unica como union finita de curvas irreducibles.

Dem. Probamos el caso afın. Sea f la ecuacion minimal de la curva, f = f1 · · · fr descomposicion en factoresirreducibles, V (f) = V (f1) ∪ · · · ∪ V (fr) cada una de ellas irreducible por el lema. Si consideramos otradescomposicion V (f) = V (g1)∪· · ·∪V (gs) (como hemos dicho curvas irreducibles, g1, · · · , gs irreducibles,pero en este caso V (f) = V (g1 · · · gs). Pero entonces tambien (si elegimos gi dos a dos distintos) tambieng1 · · · gs es ecuacion minimal, luego proporcional a f , y por tanto los gi son, tambien, los factores irre-ducibles de f .

David Gomez

1.5. CURVAS IRREDUCIBLES 15

1.41 Definicion. Llamaremos grado de una curva al grado de su ecuacion minimal.

1.5.1 Criterios de irreducibilidad

1.42 Teorema (Criterio de Eisenstein). Sea f =∑aiX

i ∈ A[X] con A dominio de factorizacion unica, conf primitivo (mcd(a0, · · · , ad) = 1). Si existe p ∈ A irreducible tal que Si p | a0, · · · , ad−1, p2 6| a0 y p 6| ado

Si p | a1, · · · , ad, p2 6| ad y p 6| a0Entonces f es irreducible.

1.43 Teorema (Criterio de Gibson). Sea f ∈ K[X, y] con f = fd−1 + fd con fd−1 homogeneo de grado d− 1y fd homogeneo de grado d (ambos no nulos) que no tienen factores en comun, entonces f es irreducible

Dem. Supongamos que f = gh. Sabemos que f solo tiene monomios de grado d− 1 y d. Ahora escribimos g, hen factores homogeneos

g = g0 + · · ·+ gr, h = h0 + · · ·+ hs

con gr, hs 6= 0. Haciendo las descomposiciones en factores homogeneos obtenemos:

fd−1 + fd = (g0h0) + (g0h1 + g1h0) + · · ·+ (gr−1hs + grhs−1) + grhs

y obtenemos un sistema. Nos preguntamos cual es los primeros gj , hi 6= 0 seran los unicos sumando delmonomio de grado i + j. Entonces i + j ≥ d− 1 con lo que i = s, j = r − 1 o i = s − 1, j = r. Luego,o bien h es homogeneo o bien g es homogeneo. El otro siempre tiene solo dos sumando homogeneos degrados consecutivos.

Supongamos que g = gr, h = hs−1 + hs. Con lo que

f = ghs−1 + ghs

con lo que fd−1 = ghs−1 y fd = ghs, pero entonces fd y fd−1 tienen un factor o g es unidad. Dado queel primer caso se excluye por hipotesis, f es irreducible.

David Gomez

16

Capıtulo 2

Sistemas lineales de curvas

2.1 Consecuencias del teorema debil de Bezout

2.1 Teorema. Dados seis puntos distintos A1, A2, A3, B1, B2, B3 ∈ P2K tales que ningun Ai este alineado

con dos Bj y ningun Bj este alineado con dos Ai. Consideramos

C1 = A2B3 ∩A3B2

C2 = A1B3 ∩A3B1

C3 = A1B2 ∩A2B1

Entonces los puntos A1, A2, A3, B1, B2, B3 estan en una conica si y solo si los puntos C1, C2, C3 estanalineados.

Figura 2.1: Los puntos

2.2 Observacion. Lo primero que observamos es que el enunciado tiene sentido. En el plano proyectivo dosrectas distintas se cortan siempre. Luego existen C1, C2, C3 por la hipotesis de alineacion. Ademas todoslos Ck son distintos de los Ai, Bj .

Dem. Podemos considerar tres rectas que cubren todos los puntos, llamaremos Fij ecuacion de AiBj y podemosconsiderar la cubica

V (F12F13F31)

que contiene a todos los puntos, y es una cubica. Tambien

V (F21F32F13)

los contiene. Ademas son dos cubicas con mınimos primos entre sı, pues los puntos no estan alineados. Nole vamos a aplicar Bezout a esto, pues tendrıamos a los mas 9 puntos de interseccion (que son precisamentelo que tenemos). La observacion interesante es que para cualquier combinacion

V (λF12F13F31 + µF21F32F13)

David Gomez

2.1. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEBIL DE BEZOUT 17

para λ, µ ∈ K, es una curva que pasa por los nueve puntos. Esto es una generalizacion de los haces deconicas. Podemos anadir un ultimo punto p ∈ P2

K podemos encontrar λ, µ de forma que

p ∈ V (λF12F13F31 + µF21F32F13)

Buscaremos, a mala leche, un punto maligno que haga pasar cosas extranas y llegaremos a contradic-cion.

Existe C una conica que pasa por Ai, Bj . Tambien la conica corta a la que encontramos por 6 puntos,⇒y tomamos el punto p ∈ C, p 6= Ai, Bj . Por lo que acabamos de observar tenemos una conica D que cortaa C en 7 puntos distintos. Tenemos una cubica y una conica que se cortan en 7 puntos, mientras que porel teorema de Bezout dirıa que se cortan, a lo mas, en 6. De esta forma lo que el teorema nos dice es queC y D tienen una componente en comun.

Si C es irreducible entonces la ecuacion de la conica es un factor de la ecuacion de D, D = C ∪ Ldonde L es una recta. Sabemos que D contiene a todos los puntos Ck (por construccion). Tenemos quever ningun Ck esta en C. Si C1 ∈ C tendrıamos Ai, Bj , C1 puntos de V (F12F23F31) tendrıa 7 puntos encomun con C, pero no puede ser ni siquiera teniendo componentes comunes, pues C es irreducible y losfactores de la otra son lineales. Ası los Ck estan en L y, por tanto, alineados.

Si C es reducible, entonces C = L1∪L2. Como los Ai no pueden estar alineados con dos Bj y viceversaluego en la misma recta no podemos colocar un Ai y Bj , pues no podrıamos anadirle mas puntos. Launica solucion es, entonces, que en una recta esten los Ai y en la otra los Bj , supongamos Ai ∈ L1 yBj ∈ L2. Si tenemos factores en comun con D supongamos, por ejemplo,

D = L1 ∪D′

Entonces debe darse que Bj ∈ D′. Ademas, Ck /∈ L1, pues entonces habrıa que incorporarle los Bj . AhoraBj , Ck ∈ D′. Pero la conica D′ contiene tres puntos alineados Bk, luego se corta con B1B2 en al menostres puntos, luego tienen algun factor comun. Por cuestion de grados debe ocurrir que

#(D′ ∩ L2) > 2 =⇒ D′ = L2 ∪ L

y Ck ∈ L.Supongamos que existe L tal que Ck ∈ L. Vamos a volver a encontrar una conica astuta. Ahora⇐

tomamos p ∈ L, p 6= Ck y existe una cubica

D = V (λF12F13F31 + µF21F32F13) 3 p

entonces, de nuevo el teorema debil de Bezout asegura:

#(L ∩D) = 4 > 3 =⇒ D = L ∪ C

que Ai, Bj /∈ L, porque si A1 ∈ L como C1, C2 ∈ L entonces L = A1C2 = A1C3 luego B3, B2 ∈ L ytendrıamos A1, B3, B2 alineados, contra la hipotesis. Luego los puntos Ai, Bj ∈ C.

2.3 Corolario (Teorema de Pascal). Si C ∈ P2K es una conica irreducible (o no degenerada) y tomamos

A1, A2, A3, B1, B2, B3 ∈ C dos a dos distintos entonces los puntos

C1 = A2B3 ∩A3B2

C2 = A1B3 ∩A3B1

C3 = A1B2 ∩A2B1

estan alineados.

2.4 Corolario (Teorema de Pappus). Dadas dos rectas distintas L1, L2 y puntos distintos A1, A2, A3 ∈L1, B1, B2, B3 ∈ L2 entonces los puntos

C1 = A2B3 ∩A3B2

C2 = A1B3 ∩A3B1

C3 = A1B2 ∩A2B1

estan alineados.

David Gomez

2.2. SISTEMAS LINEALES DE CURVAS 18

2.2 Sistemas lineales de curvas

Consideramos

Vd = polinomios homogeneos de en K[X0, X1, X2] de grado d

ycurvas en P2

K de grado d → P(Vd) = Pd

que envıa cada curva a la clase de sus ecuaciones minimales (unica salvo multiplo). La imagen es la clasede polinomios sin factores multiples, y si d = 2 entonces los unicos polinomios que no estan en la imagenson los cuadrados de formas lineales, las rectas dobles.

2.5 Lema. Se cumple que dimPd = d(d+3)2 .

Dem. Vd es el espacio vectorial con base el conjunto de monomios de grado d en X0, X1, X2. El numero demonomios es #(i, j, k) | i, j, k ≥ 0, i + j + k = d o bien el numero de combinaciones con repeticion ded elementos tomados de d en d1 es decir

dimVd =

(d+ 2

d

)=

(d+ 2

2

)=d2 + 3d+ 2

2

de donde

dimPd =d2 − 3d+ 2

2− 1 =

d(d+ 3)

2

2.6 Observacion. El espacio vectorial de los polinomios homogeneos de grado d en X0, · · · , Xn tiene di-mension

(n+dd

).

2.7 Observacion. Si tomamos el sistema de referencia proyectivo asociado a la base dada por los monomiosentonces las coordenadas de un elemento[ud00X

d0 + ud−1,1,0X

d−10 X1 + ud−1,0,1X

d−10 X2 + · · ·+ u00dX

d2

]= (ud00 : ud−1,1,0 : ud−1,0,1 : · · · : u00d)

2.8 Ejemplo. Si d = 2 tenemos

Pd 3[u200X

20 + u110X0X1 + u101X0X2 + u020X

21 + u011X1X2 + u002X

22

]es la conica de matriz u200 u110

2u101

2u110

2 u020u011

2u101

2u011

2 u002

las matrices que no estan en la imagen son aquellas de rango menor o igual que 1 o, equivalentemente,,aquellas con menores de orden 2 cero. En general se puede demostrar que los elementos de Pd que noestan en la imagen se caracterizan por ecuaciones homogeneas en las variables uijk.

EXtenderemos nuestra nocion de curva por la siguiente

2.9 Definicion. En adelante llamaremos curva a cualquier elemento de Pd.

Ahora el conjunto de curvas de grado d nos definen un espacio proyectivo (por definicion). Esto nosdara un poderosa herramienta para encontrar subconjuntos interesantes. Empezamos por la siguienteproposicion

2.10 Proposicion. Fijado un punto a ∈ P2k el conjunto de curvas que pasan por ese punto2 es un hiperplano

en Pd. Por tanto, el conjunto de curvas de grado d que pasan por r es un subespacio proyectivo de

dimension ≥ d(d+3)2 − r. En particular, si

r ≤ d(d+ 3)

2

existen curvas de grado d que pasan por r puntos dados.

1El numero de combinaciones con repeticion de m elementos tomados de d en d es(m+d−1

d

)2como una curva es una ecuacion sigue teniendo sentido decir cuando una curva se anula en un punto

David Gomez

2.3. HACES DE CONICAS 19

Dem. Tomamos coordenadas a = (a0 : a1 : a2). La curva[ud00X

d0 + ud−1,1,0X

d−10 X1 + ud−1,0,1X

d−10 X2 + · · ·+ u00dX

d2

]pasa por a si y solo si

ad0ud00 + ad−10 a1ud−1,1,0 + ad−10 a2ud−1,0,1 + · · ·+ ad2u00d = 0

que es precisamente la ecuacion de un hiperplano en Pd. Todo lo demas se sigue de las propiedades dehiperplanos proyectivos.

2.11 Definicion. Se llama sistema lineal de curvas a un subespacio proyectivo de Pd.

2.12 Definicion. Se llama haz de curvas a un sistema lineal de orden 1.

2.13 Observacion. Esto es una generalizacion del concepto de haz de conicas.

2.14 Ejemplo. No todos los sistemas lineales son conjuntos de curvas que pasan por r puntos. Si consideramos

[t0X20 + t1X

21 + t2X

22 ] | t0, t1, t2 ∈ K

en este sistema lineal tenemos [X20 ], [X2

1 ], [X22 ]. Si un punto estuviese en todas estas conicas tendrıa que

ocurrir a = 0, no hay ningun punto en todas las conicas. Este no es el sistema lineal de las conicas quepasen por una cantidad finita de puntos.

Lo que si se puede hacer dados un sistema lineal de curvas es buscar puntos que esten en todas ellas

2.15 Definicion. Llamaremos punto base de un sistema lineal de curvas a un punto por el que pasen todaslas curvas del sistema.

2.16 Definicion. Llamaremos lugar base al conjunto de todos los puntos base.

2.3 Haces de conicas

Lo interesante de todo esto viene de que hemos tenido que irnos a dimension 2. Si tomamos el haz

[t0F + t1G] | t0, t1 ∈ K ⊂ Pd

si no tienen factores comunes hay d2 puntos de interseccion (si el cuerpo es algebraicamente cerrados).Cualquier combinacion de esa forma para por V (F ) y V (G). De esta forma V (F ) ∩ V (G) 6= ∅ luegosiempre hay un punto base. Cuando anadimos una tercera curva es posible que no haya puntos base (enespecial si se congen a mala leche). Lo primero que haremos ahora sera caracterizar los haces

2.17 Lema. Sea Λ ∈ Pd un espacio lineal de dimension ≥ 1 entonces son equivalentes

1. Λ es un haz

2. Existe un punto de plano tal que hay una unica curva en Λ que pase por a

3. Existen dos puntos a, a′ ∈ P2 tal que no existe ninguna curva en Λ que pase por ambos.

Dem. Haremos la demostracion cıclicamenteTomo una curva en Λ, que nunca es el total, y podemos tomar a ∈ P2 por el que no pase la curva.1 =⇒ 2

Entonces estamos diciendo que

Λ 6⊂ Ha = hiperplano de las curvas que pasan por a

entonces Λ ∩Ha es unico punto de Pd, estas son las curvas de Λ que pasan por a.Tomamos ahora un punto por el que no pasa la unica curva en Λ que pasa por a.2 =⇒ 3Tenemos dos posibilidades, dimΛ = 1 o dimΛ > 1. Si ocurriese lo segundo la interseccion de Λ con dos3 =⇒ 1

hiperplanos serıa siempre 6= ∅. Entonces, para cualesquiera puntos a, a′ ∈ P2 tendrıamos Ha∩Ha′∩Λ 6= ∅,

David Gomez

2.3. HACES DE CONICAS 20

en contra de la hipotesis.

Estamos trabajando con haces por se puede esperar que tengan puntos base. De esta forma se puedeesperar que los haces sean el conjuntos de curvas de grado d que pasen por los puntos. Hablando deconicas se hace un poco mas complicado. Si empezamos con un haz de conicas este coincidira con lascombinaciones lineales de ecuaciones de grado 2. Una espera que dos haces de conicas se corten en cuatropuntos. Con cuatro puntos base uno se puede plantear. El conjunto de conicas que pasan por cuatro puntoscoincide con mi haz. El conjunto de conicas tiene dimension 5, y pasar por un punto es un hiperplano.Luego las conicas que pasan por cuatro puntos son la interseccion de 4 hiperplanos, luego debe quedarun hiperplano, es decir un haz. Debe ser cierto. El resultado que vamos a ver es cuando el numero depuntos adecuados impone que el sistema lineal sea un haz.

2.18 Teorema. Dados cuatro puntos distintos a1, · · · , a4 ∈ P2K distintos el sistema lineal Λ ⊂ P2

K de lasconicas que pasan por ai es un haz si y solo si los puntos no estan alineados.

Dem. En primer lugar, P2 = P5K y Λ es la interseccion de 4 hiperplanos. Estamos en las hipotesis del lema. Debe-

mos comprobar cualquiera de las condiciones equialentes. Vamos a ir estudiando las distintas posicionesrelativas de los puntos.

Primero el caso malo. Si ai estan alineados en una recta L entonces podemos aplicar el criterio 3.Necesitarıamos encontrar dos puntos a y a′ tales que ninguna curva en Λ pase por ellos. Consideramos,para cualesquiera a, a′ ∈ P2

K

L ∪ 〈a, a′〉 ∈ Λ

luego, por el lema, Λ no es un haz.Supongamos que hay una recta que contiene a 3 de los 4 puntos, pero no al cuarto. a1, a2, a3 ∈ L pero

a4 /∈ L. En este caso emplearemos la propiedad 2. Tomemos unn punto a /∈ L, a 6= a4. Sea a un conica enΛ que pasa por a. Debe ser

L ∪ L′ ∈ Λ

como los ai ∈ Λ deben estar, pero a4, a /∈ L, luego L′ = 〈a, a4〉 y esta es la unica conica en Λ que pasapor a. Con la propiedad 2 se prueba que Λ es un haz.

Supongamos que no hay tres puntos alineados entre a1, a2, a3, a4. Tomo a ∈ 〈a1, a2〉 y distintos deellos dos. Las conicas de Λ que pasen por a contendran tres puntos alineados, luego contendra a la recta〈a1, a2〉. Por tanto sera de la forma:

〈a1, a2〉 ∪ L′

donde L′ es una recta que contiene a a3, a4, luego precısamente 〈a3, a4〉

2.19 Corolario. Por cinco puntos ai pasa una unica conica si y solo si no hay cuatro puntos alineados.Ademas la unica conica es irreducible si y solo si no hay 3 puntos alineados.

Dem. Si hay cuatro puntos alineados, digamos a1, · · · , a4 ∈ L debe ser

L ∪ L′

con cualquier L′ 3 a5 es una conica que pasa por todos los puntos entonces hay infinitas conicas. Siexisten tres puntos alienados a1, a2, a3 ∈ L y a3, a4 /∈ L tenemos

L ∪ 〈a4, a5〉

es una unica conica, pero no irreducible. Si no hay tres puntos alineados, empleando el teorema, llamamosΛ al conjunto de conicas que pasan por a1, · · · , a4, que es un haz. Queremos saber si Λ ⊂ Ha5

. Para verque no nos basta encontrar una conica reducible no pase por a5. Tomamos

〈a1, a2〉 ∪ 〈a3, a4〉

que, como no hay tres puntos alineados, es una conica a la que no pertenece a5. De esta forma Λ 6⊂ Ha5

luego Λ∩Ha5 es un unico punto de P2, que es la unica conica que pasa por todos los puntos. Ademas esirreducible, pues de ser reducible serıa la union de dos rectas, pues entonces una de las rectas contendrıa3 puntos, contra la hipotesis. Esto concluye el resultado.

David Gomez

2.4. HACES DE CUBICAS 21

2.20 Ejemplo. Consideremos las conicas que pasan por (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1), (1 : 2 : 3)(el unico caso interesante es cuando son cinco puntos que no estan alineados. Podrıamos hacerlo con laecuacion general de la conica. Esta la manera bruta.

La manera fina empieza por considerar el haz que pasa por (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1)esto es

X2(X0 −X1), X1(X0 −X1)

son curvas del haz, como sabemos que es un coincidira

t0X2(X0 −X1) + t1X1(X0 −X2)

vamos a cortar este haz con el hiperplano H(1:2:3), es decir, forzarlo a pasar por (1 : 2 : 3), tenemos

−3t0 − 4t1 = 0

si consideramos4X2(X0 −X1)− 3X1(X0 −X2)

es la unica conica que pasa por los cinco puntos.

2.4 Haces de cubicas

2.21 Teorema. Dados ocho puntos ai ∈ P2K distintos y Λ = conicas que pasan por todo ai. Es un haz si y

solo si no existen conicas que pasan por los 8 puntos y no existen rectas que pasan por 5 de los 8.

Dem. Lo haremos en diferentes casos dimΛ ≥ 1, pues es la dimension de 8 hiperplanos en P3 de dimension 9.Sabemos que Λ es un ahz si y solo si existe un punto a ∈ P2 tal que existe una unica conica en Λ que pasapor a o, equivalentemente, existen dos puntos a, a′ tales que no hay cubicas en Λ que pasen por ambos.

Si existe una conicas que contenga a los 8 puntos, entonces C ∪L con cualquier L 3 a es una cubicaque en Λ que pasa por a.

A partir de ahora no hay conicas que contengan a los 8 puntos.

Si existe a una recta que contenga a cinco puntos (salvo reordenacion a1, · · · , a5), cada vez quetomemos una conica C 3 a6, · · · , a8 tenemos una cubica L ∪ C en Λ. Como hay infinitas conicasC 3 a6, · · · , a8, a tenemos infinitas cubicas en Λ que pasan por a, luego Λ no es un haz.

Si existe una recta L 3 a1, · · · , a4 y L 63 a5, · · · , a8 entonces una cubica en Λ sera L ∪ C cona5, · · · , a8 ∈ C, pero no existe L′ 3 a5, · · · , a8, pues entonces a1, · · · , a8 ∈ L ∪ L′, que no se daen este caso por hipotesis. Ahora si tomamos a /∈ L ni en ninguna recta que contenga a 3 de lospuntos a5, · · · , a8. Entonces existe una unica conica C que pasa por a5, · · · , a8, a entonces L∪C esla unica cubica en Λ que pasa por a. Ası, Λ es haz en este caso.

Si existe L 3 a1, · · · , a3 y L 63 a4, · · · , a8. Existe una unica conica C 3 a4, · · · , a8. El punto a lobuscamos en L \ a1, · · · , a3, la cubica corta a la recta en 4 puntos, luego las cubicas en Λ quepasan por a seran L∪C ′ donde a4, · · · , a8 ∈ C ′, y C ′ = C. Solo hay una tal cubica, luego Λ tambienes haz en este caso.

A partir de ahora podemos suponer que no hay tres puntos a1, · · · , a8 alineados.

Si existe un conica C 3 a1, · · · , a7 entonces es irreducible (pues no puede ser dos rectas) y corta auna cubica de Λ en 7 puntos, pero entonces debe tener con ella una componente en comun, perocomo C es irreducible debe ser C ∪L con a8 ∈ L. Con tomar a 6= a8, a /∈ C ya tenemos que la rectaL es unica, y por tanto la cubica. Ası, de nuevo Λ es un haz en este caso.

Si existe una conica C 3 a1, · · · , a6 y C 63 a7, a8, que no da problemas con el teorema de Bezout.Para emplearlo, ahora vamos a exigir a ∈ C, a 6= a1, · · · , a6 y cualquier cubica en Λ que pasa pora ha de tener con C una componente comun. Por la misma observacion de antes C es irreducible.

David Gomez

2.4. HACES DE CUBICAS 22

De nuevo, la conica es C ∪L, y debe ser L = 〈a7, a8〉. Tenemos unicidad y Λ es un haz, tambien eneste caso.

A partir de ahora tampoco hay un conica que pase por 6 de los puntos.

Este es el caso mas general. Empezamos tomando la unica conica C 3 a1, · · · , a5. Como los puntosno estan alineados la conica es irreducible. Querremos repetir un argumento similar al anterior.La astucia es pensar que ahora va a haber muchos puntos de corte, pero no querremos que existala cubica. Con dos puntos mas de manera sencilla podremos imponer condiciones similares a lasanteriores, ası que nos interesa la segunda caracterizacion. Tomamos a, a′ ∈ C, a, a′ 6= a1, · · · , a5.Cualquier cubica en Λ que pase por a y a′ debe compartir alguna componente irreducible con C,que es irreducible, luego sera C ∪ L donde L es una recta. Nos falta imponer que a6, · · · , a8 estenen la conica. Pero a6, · · · , a8 /∈ C, luego a6, · · · , a8 ∈ L. Pero esto es absurdo, pues hemos supuestoque no estaban alienados. La segunda caracterizacion nos asegura que Λ es un haz.

2.22 Corolario. Sea C ⊂ P2K cubica irreducible y ai ∈ C 8 puntos distintos. Entonces, el sistema lineal de

cubicas que pasan por todos ellos es un haz. En particular, si D es una cubica tal que

C ∩D = a1, · · · , a8, a9

entonces cualquier cubica que pasa por todo ai pasa tambien por a9.

Dem. Como C es una cubica irreducible, por el teorema debil de Bezout, no contiene 4 puntos alineados ni 7 enun conica. Entonces, por el teorema las cubicas a1, · · · , a8 forman un haz. Esto prueba la segunda partede una forma bien sencilla. Si F es la ecuacion de C y G la de D las cubicas que por a1, · · · , a8 formanun haz 3 C,D. Los elementos del haz tienen ecuacion t0F + t1G. Como F y G se anulan en los 9 puntostodas las cubicas del haz se anulan en los 9 puntos.

David Gomez

23

Capıtulo 3

Curvas parametrizadas

3.1 Definicion. Llamaremos parametrizacion a ϕ : P1K → P2

K dada por

(t0 : t1) 7→ (A0(t0, t1) : A1(t0, t1) : A2(t0, t1))

donde Ai ∈ K[T0, T1] homogeneos del mismo grad d o de forma que no existe (t0 : t1) con Ai(t0, t1) = 0para todo i.

3.2 Definicion. Dado A ∈ K[T0, T1] llamaremos raız de A un valor (t0 : t1) ∈ P1K tal que

A(t0, t1) = 0

es una raız doble si (t1T0 − t0T1)2 | A(T0, T1), en general el grado de la raız es el mayor d que podemosponer en lugar del 2.

3.3 Observacion. Si K es algebraicamente cerrado los unicos factores irreducibles son los lineales, y paraque no haya una raız comun a todos los Ai tendremos que pedir que estos no tengan factores comunes.

Nuestro objetivo sera que Imϕ sea una curva regular. Si d = 1 entonces

ϕ : (t0 : t1) 7→ (a0t0 + a1t1 : b0t0 + b1t1 : c0t0 + c1t1)

la condicion sera

rg

(a0 b0 c0a1 b1 c1

)= 2

o bien (a0 : b0 : c0) 6= (a1 : b1 : c1). Lo que tenemos es que ϕ es la imagen de la recta que pasa por estosdos puntos. Su ecuacion implıcita viene dada por∣∣∣∣∣∣

X0 X1 X2

a0 a1 a2b0 b1 b2

∣∣∣∣∣∣ = 0

Lo que haremos realmente es trabajar por columnas. Querremos que

a0T0 + a1T1, b0T0 + b1T1, c0T0 + c1T1

si nos fijamos en el espacio vectorial generado por ellos en el espacio de polinomios homogeneos de grado1 lo que queremos es que formen un subespacio vectorial de dimension mayor o igual que 2. Esto es decirque generan todo el espacio vectorial de polinomios homogeneos de grado 1. Por ser tres seran sin dudalinealmente independientes, y esto quiere decir que existe una combinacion lineal no trivial:

λ1(a0T0 + a1T1) + λ2(b0T0 + b1T1) + λ3(c0T0 + c1T1) = 0

que es una igualdad de polinomios. Podemos sustituir por cualquier valor de P1K . Esto quiere decir que

Imϕ ⊂ V (λ0X0 + λ1X1 + λ2X2). Cualquier recta se puede parametrizar y cualquier parametrizacion de

David Gomez

3.1. RAICES DE POLINOMIOS Y SU GRADO 24

grado 1 da una recta.

Supongamos que d = 2. Podemos emplear un argumento parecido al anterior. Ahora como no sontodos proporcionales entre si generan un espacio de dimension ≥ 2, ahora en el espacio de polinomioshomogeneos de grado 2 en K[T0, T1]. Ahora el ambiente tiene dimension 3. Tendremos dos posibilidades.

Si los tres vectores generan todo el espacio vectorial entonces son una base. Podemos hacer un cambiolineal y pasar de A0, A1, A2 a la base T 2

0 , T0T1, T21 . Podemos construir una proyectividad de forma que

ahora Imϕ es la imagen deϕ0 : (t0 : t1) 7→ (t20 : t0t1 : t21)

luego Imϕ0 = V (X0X2 −X21 ) que es una conica irreducible. Luego tambien Imϕ.

Si los tres vectores son linealmente dependientes. Podemos escribir

A2 = λ0A0 + λ1A1

aquı podemos hacer la siguiente maldad. Vamos a factorizar ϕ de forma

ϕ1 : (t0 : t1) 7→ (A0(t0, t1) : A1(t0, t1))

ϕ2 : (t0 : t1) 7→ (t0 : t1 : λ0t0 + λ1t1)

donde la primera aplicacion esta bien definida, pues los por como hemos escrito A2 una raız comun deA1 y A0 serıa raız comun de los tres. La aplicacion ϕ1 define una aplicacion sobreyectiva, con dos puntospreimagen en casi todo punto1. De esta forma la imagen es un conica en el sentido de que es una rectadoble.

3.1 Raıces de polinomios y su grado

3.4 Lema. Sea A ∈ K[T0, T1] entonces (t0 : t1) ∈ P1K es raız multiple de A si y solo si (t0 : t1) es raız de

A0 y A1.

Dem. ⇒) Si A = (t1T0 − t0T1)2B entonces t1T0 − t0T1 | A0, A1.⇐

La identidad de Euler garantizadA = A0T0 +A1T1

luego si es raız de A0 y A1 es raız de A. Luego A = (t1T0− t0T1)C. Todavıa necesitamos ver que (t0 : t1)es raız de C. Si derivamos

A0 = t1C + (t1T0 − t0T1)C0

luegoA0(t0, t1) = t1C(t0, t1)

y, por otro ladoA1(t0, t1) = t0C(t0, t1)

y como (t0, t1) 6= 0 entonces C(t0, t1) = 0 y por tanto (t1T0 − t0T1)2 | A.

3.5 Ejemplo. Sea aT 2 + bT + c entonces

A = aT 21 + bT0T1 + cT 2

0 , A0 = bT1 + 2cT0, A1 = 2aT1 + bT0

entonces si A0 y A1 tiene raız comun ∣∣∣∣ b 2c2a b

∣∣∣∣ = b2 − 4ac = 0

1Considerense ϕ1(t0 : t1) = (s1 : s2) ⇐⇒ s1A0(t0, t1)− s0A1(t1, t1)

David Gomez


3.6 Teorema. Si A es DFUa0T

d0 + a1T

d−10 T1 + · · ·+ adT

d1 ∈ A[T0, T1]

b0Te0 + b1T

e−10 T1 + · · ·+ beT

e1 ∈ A[T0, T1]

tienen un factor comun de grado positivo si y solo si∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 a1 · · · ad 0 · · · 0a0 a1 · · · ad · · · 0

. . .e)

a0 · · · adb0 b1 · · · be

b1 · · · be

. . .d)

b0 · · · be

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0

Dem. Tienen un factor comun si y solo si existe C de grado d− 1 y D de grado e− 1 tales que AD = BC. Esdecir

(a0Td0 + a1T

d−10 T1 + · · · )(d0T e−1

0 + · · · ) = (b0Te0 + · · · )(c0T d−1

0 + · · · )lo que es equivalente al sistema

a0d0 −b0c0 = 0a1d0 +a0d1 −b1c0 −b0c1 = 0

...adde−1 −becd−1 = 0

tenemos un sistema homogeneo en de indeterminadas ci, dj cuyos coeficientes son los del determinantedel enunciado.

3.7 Definicion. LLamaremos resultante homogenea deA yB al determinante anterior. Notaremos Res(A,B)

3.8 Observacion. Esto nos permite decir que toda curva parametrizada (por polinomios) es una curvaalgebraica. Tomaremos

C = (A0(t0, t1) : A1(t0, t1) : A2(t0, t1) | (t0 : t1) ∈ P1K

con Ai poliinomios homogeneos de grado d. Un punto (x0 : x1 : x2) ∈ C si y solo si

rg

(A0(t0, t1) A1(t0, t1) A2(t0, t1)

x0 x1 x2

)= 1

si hacemos menores de orden 2 de deben quedar todos nulos

x1A0 − x0A1, x2A0 − x0A2, x2A1 − x1A2

Esto nos da tres polinomios que deben tener una raız comun.

3.9 Teorema. Sean A0, A1, A2 ∈ K[T0, T1] homogeneos de grado d sin raıces y sea

C = (A0(t0, t1) : A1(t0, t1) : A2(t0, t1)) | (t0 : t1) ∈ P1K

Entonces existe un polinomio F homogeneo de grado d tal que

Res(X1A0 −X0A1, X2A0 −X0A2) = Xd0F



donde se consideran X1A0 −X0A1 ∈ (K[X0, X1, X2])[T0, T1] y la curva

C = V (F )

David Gomez


Dem. TenemosX1(X2A0 −X0A2) = X0(X2A1 −X1A2) +X2(X1A0 −X0A1) (3.1)

entonces

Xd1 Res(X1A0 −X0A1, X2A0 −X0A2) = Res(X1A0 −X0A1, X1(X2A0, X0A2)

= Res(X1A0 −X0A1, X0(X2A1 −X1A2) +X2(X1A0 −X0A1)) = · · ·

Observamos lo que ocurre en el determinante. Es un determinante de orden 2d, y lo que hacemos essumar la fila i multiplicada por X2 a la fila d+ i. Entonces

· · · = Res(X1A0 −X0A1, X0(X2, A1 −X1A2) = Xd0 Res(X1A0 −X0A1, X2A1 −X1A2)

de esta ecuacion podemos obtener las dos primeras igualdades. Cambiando ahora los polinomios se obtieneel resto del teorema.

Si tenemos un punto (x0 : x1 : x2) ∈ V (F ). Al particularizar la resultante obtendremos 0 en todaslas resultantes (pues F (x0, x1, x2) = 0). De esta forma existe un punto P1

K que es raız de X1A0 −X0A1

y X1A0 − X1A2. Podrıa pasar que la raız comun de estos dos polinomios no fuese raız del tercero. Lointeligente aquı es tener en cuenta en que region estamos. Si x0 6= 0 y volvemos a la igualdad (3.1) paraver que es raız de la tercera ecuacion. Si no se anulase x0 si no otra componente tomarıamos (t0 : t1) deque se anulase la resultante correspondiente para hacer este mismo truco.

Por ultimo, F 6= 0, si F = 0 entonces C = P2K . Si A0 6= 0 (por ejemplo) existe una cantidad finita de

(t0 : t1) con A0(t0, t1) = 0 y tenemos que C ∩ V (X0) es finito, luego C 6= P2K .

3.10 Observacion. La ventaja de las resultantes homogeneas es que la unica baja de grado que puede darsees pasar a ser el polinomio 0, luego se preservan las formulas para las resultantes.

3.11 Observacion. La sustitucion sobre el resultante funciona bien aunque alguno de los polinomios se anule.Si alguno de los polinomios se anula entonces los resultantes siguen quedando nulos. De hecho, al hacerla sustitucion sobre el determinante obtendremos filas de 0s. Es importante senalar que la igualdades delteorema vienen dadas para los polinomios en K[X0, X1, X2, T0, T1].

3.12 Proposicion. En las condiciones del teorema C es irreducible

Dem. Si C = V (G) ∪ V (H) = V (GH) entonces para todo (t0 : t1) ∈ P1K se tiene

G(A0(t0, t1), A1(t0, t1), A2(t0, t1))H(A0(t0, t1), A1(t0, t1), A2(t0, t1)) = 0

esto quiere decir que

G(A0(T0, T1), A1(T0, T1), A2(T0, T1))H(A0(T0, T1), A1(T0, T1), A2(T0, T1)) = 0

(en el sentido de polinomios). Uno de ellos necesariamente es 0.

G(A0, A1, A2) = 0 o H(A0, A1, A2) = 0

luego, o bien C ⊂ V (G) o C ⊂ V (H). Pero, por la expresion de C mas arriba, o bien C = V (G) oC = V (H).

3.13 Corolario. El polinomio F del teorema es una potencia de un polinomio irreducible.

3.14 Ejemplo. Sea C = (t20 : t21 : t20 + t21) | (t0 : t1) ∈ P2K. Nos quedara F = (X0 +X1 −X2)2.

3.15 Observacion. Puede ocurrir que cada punto de la curva quede asociado a varios valores de los paramet-ros (t0 : t1). De esta forma ppodemos indicar que la interseccion de una curva parametrizada con un rectatiene, a lo mas, tanto puntos como el grado de la curva.

David Gomez

3.2. PARAMETRIZACIONES AFINES 27

3.2 Parametrizaciones afines

Consideremos una curva parametrizada C y C ∩ X0 6= 0 tendremos la correspondencia con lospuntos afines (

A1(t0, t1)

A0(t0, t1),A2(t0, t1)

A0(t0, t1)

)y podemos deshomogeneinzar los polinomios para obtener

C ′ =

(A1(t0, t1)

A0(t0, t1),A2(t0, t1)

A0(t0, t1)

)| t ∈ A1

K , A0(1, t) 6= 0

de momento esto no es una curva afın. De momento

C ′ = (C ∩ X0 6= 0) \ (A0(0, 1), A1(0, 1), A2(0, 1))

luego la astucia es buscar un punto de infinito con A(0, 1) = 0, para haberlo quitado ya.En sentido contrario podremos empezar considerando

C ′ =

(p1(t)

q1(t),p2(t)

q2(t)

)| t ∈ A1

K , qi(t) 6= 0

Debemos ver la curva en el proyectivo como d = mmd(q1, q2) tendremos

C ′ ⊂(q1q2

d:p1q2d

:p2q1d

)Notamos la ventaja de trabajar en el proyectivo. En el las parametrizaciones son siempre polinomicas,

mientas que en el afın debemos permitir racionales y ademas podemos perder puntos de infinito.

David Gomez

28

Capıtulo 4

Estudio local de curvas

4.1 Multiplicidad de interseccion

4.1 Definicion. Sea ϕ : P1K → C ⊂ P2

K parametrizacion por polinomios de grado el de la curva, a ∈ C y Dde ecuacion minimal F tal que D 3 a definimos

B(T0, T1) = F (A0(T0, T1), A1(T0, T1), A2(T0, T1))

y llamaremos multiplicidad de interseccion de ϕ con D en a a∑ϕ(t0:t1)=a

multB(t0 : t1)

4.2 Ejemplo. Sea ϕ(t0 : t1) = (t30 : t0t21 : t31) 3 (1 : 0 : 0) = ϕ(1 : 0) y D = V (X0X2 −X2

1 ) tenemos

F (T 30 , T0T

21 , T

31 ) = T 3

0 T−1 T

30 T

41 = T 2

0 T31 (T0 − T1)

luego como el exponente de T1 es 3mult(1:0:0)(ϕ,D) = 3

4.3 Proposicion. La multiplicidad de interseccion no depende las coordenadas X0, X1, X2.

Dem. Hacemos un cambio de coordenadas, es decir, que tenemos nuevas coordenadas X ′0, X′1, X

′2 mediante

(X ′0 X′1 X

′2) = (X0 X1 X2)P

con lo que, en estas coordenadas la parametrizacion

(X ′0 : X ′1 : X ′2) = (A0 : A1 : A2)P = (A′0 : A′1 : A′2)

tambien polinomios homogeneos de grado d. Esta es la nueva parametrizacion. Para calcular la nuevaecuacion de D

F ′(X ′0, X′1, X

′2) = F ((X ′0, X

′1, X

′2)P−1)

Ahora tenemos que hacer la sustitucion para calcular

B′(T0, T1) = F ′(A′0, A′1, A

′2) = F ((A′0, A

′1, A

′2)P−1) = F ((A0, A1, A2)PP−1) = B(T0, T1)

luego la multiplicidad de todas las raıces se conserva.

4.4 Proposicion. La multiplicidad de interseccion es invariante por cambios de coordenadas en P1K

Dem. Es claro. La idea es considerar (T ′0, T′1) = (T0, T1)P y cambiar las variables de cada Ai y B para compro-

bar que se preservan las multiplicidades de las raıces.

David Gomez

4.1. MULTIPLICIDAD DE INTERSECCION 29

4.5 Observacion. Veamos por que podemos hablar de multiplicidad de interseccion de dos curvas en unpunto. Sean que C y D con a ∈ C,D, C parametrizable, por dos parametrizaciones como las de ladefinicion de multiplicidad de interseccion. No hay una demostracion sencilla pero se puede probar queexiste un cambio lineal en (T0, T1) que pasa de (A0, A1, A2) a (A′0, A

′1, A

′2).

4.6 Ejemplo. Si d = 1 el resultado es trivial (Geometrıa Proyectiva). Para d = 2 hay un teorema deGeometrıa proyectiva, que se llama de Chasles.

De momento solo podemos dar una primera definicion de interseccion de dos curvas, en un caso muyconcreto.

4.7 Definicion. Dada una recta L y una curva C de ecuacion minimal F se llama multiplicidad de inter-seccion de L y C en un punto a entonces definimos

multa(L,C) = multa(ϕ,C)

donde ϕ es cualquier parametrizacion de L.

4.8 Observacion. El teorema de Bezout para recta y curva como el grado de los polinomios de la parametrizacionde la recta es 1, y F ϕ ∈ K[T0, T1] es homogeneo de grado d y

deg L deg F = deg F = d =∑

a∈L∩Cmulta(L,C)

El grado de interseccion es, a todas luces, una propiedad local y, localmente, podemos asociar elespacio proyectivo con el afın. Es este espıritu:

4.9 Observacion. La multiplicidad de interseccion se puede eXtender al caso afın homogeneizando.

4.10 Ejemplo. Sean L = V (Y ), C = V (Y −X2) homogeneizando completamos las curvas

L = V (X2), C = V (X0X2 −X21 ))

una parametrizacion de L es (t0 : t1 : 0) y tomando F = X0X2 −X21 lo unico que tenemos que hacer es

F (T0 : T1 : 0) = −T 21

es decir, que el punto (1 : 0 : 0) (o (0, 0)) es decir

multa(L,C) = multa(L, C) = 2

Otra forma de hacerlo es tomar (t, 0) parametrizacion de L, sustituir en f = y −X2 para obtener

f(T, 0) = −T 2

tenemos el deshomogeneizado de −T 21 . Lo primero que perdemos es el valor del infinito, que nunca va a

ser nuestro punto (T = 0) hecha la sustitucion tenemos el polinomio en una sola variable y tenemos quebuscar que f(T, 0) = 0. Las raıces nos dara los puntos de interseccion con su multiplicidad.

4.11 Ejemplo. El caso anterior anterior se puede generalizar para una recta L y una curva C que pasenpor el punto (0, 0). Podemos parametrizar L por (at, bt) con (a, b) 6= 0. Si la curva C = V (f) entoncesdebemos estudiar f(aT, bT ). Podemos escribir f = fr + · · ·+fd con fi homogeneo de grado i. Desde luegor > 0 para que la curva para por (0, 0). Entonces

f(aT, bT ) = fr(a, b)T r + · · ·+ fd(a, b)T d, fr 6= 0

es decir, T = 0 aparece, al menos, con multiplicidad r y la igualdad se da si y solo si fr(a, b) 6= 0. Comofr es un polinomio homogeneo en dos variables habra r posibles pares (a : b) ∈ P1

K , o equivalentemente(aX + by) 6| fr(X, y).

David Gomez


4.12 Definicion. Vamos a llamar multiplicidad de C en (0, 0) a r (el grado de la componente homogenea demenor grado de la ecuacion minimal). A cada recta V (ciX + diy) con

f = (c1X + d1Y ) · · · (crX + drY ) + · · ·

la llamaremos recta tangente a C en (0, 0).

4.13 Definicion. Sea C 3 a entonces

multaC = mınmult(L,C), L 3 a

y lo que llamamos recta tangente a C en a es una recta tal que

multa(L,C) > multaC

4.14 Observacion. Se hace notar que la definicion de recta tangente en un poco rara. Podrıa ocurrir quehubiese varias rectas tangentes.

4.15 Definicion. Se dice que C es singular en a si multaC > 1 (es decir, en principio hay mas de una rectatangente) y no singular si multaC = 1 (en cuyo caso hay una unica recta tangente). Es este ultimo casonotaremos TaC a la unica recta tangente a C es a. Si a llamaremos cono tangente a la union de rectastangentes a C es a.

4.16 Observacion. Si vemos f como una funcion podemos escribir

f =∑ ∂i+jf

∂Xi∂Y j(0, 0) XiY j

y la multiplicidadmult(0,0)V (f)

es r si las derivadas de orden menor que r se anulan en (0, 0) y alguna de orden r no se anula. El punto(0, 0) es singular si y solo si ∂f

∂X (0, 0) = ∂f∂Y (0, 0).

Para extender lo que hemos hecho hasta aquı con el (0,0) nos basta cambiar el punto sobre el que”desarrollamos” el polinomio.

En general

Ta,bC = V (∂f

∂X(a, b) (X − a) +

∂f

∂Y(a, b) (y − a))

4.17 Proposicion. Si C ⊂ P2K tiene ecuacion minimal F ∈ K[X0, X1, X2] entonces

1. a es singular si y solo si F0(a) = F1(a) = F2(a) = 0

2. Si a es regular entonces TaC = V (F0(a)X0 + F1(a)X1 + F2(a)X2)

3. multaC = r si y solo si se anulan todas las parciales de orden menor que r de F en a y algunaparcial de orden r no se anula.

Dem. Sea a = (a0 : a1 : a2) podemos pasar al afın que nos convenga segun la coordenada de a que no seanule. Supondremos que a0 6= 0. Tomamos f(X,Y ) = F (1, X, Y ) el deshomogeneizado. Tenemos que∂f∂X = F1(1, X, y), ∂f

∂y = F2(1, X, y). a es singular si y solo si

F1(a0, a1, a2) = 0, F2(a0, a1, a2) = 0

(por homogeneidad). Por la identidad de Euler (corolario 1.12) tenemos que

F0(a0, a1, a2)a0 + F1(a0, a1, a2)a1 + F2(a0, a1, a2)a2 = dF (a0, a1, a2)

como el punto esta en la curva y a0 6= 0 tenemos F0(a0, a1, a2) = 0.

David Gomez


Si a es regular tenemos

F1

(1,a1a0,a2a0

)(X − a1

a0

)+ F2

(1,a1a0,a2a0

)(Y − a2

a0

)es la ecuacion de la recta en el afın, para tener la del proyectivo debemos homogeneizar

F1

(1,a1a0,a2a0

)(X1 −

a1a0X0

)+ F2

(1,a1a0,a2a0

)(X2 −

a2a0X0

)Tenemos

F1(a)

ad−10

(X1 −

a1a0X0

)+F2(a)

ad−10

(X2 −

a1a0X0

)= 0

con lo queF1(a)(a0X1 − a1X0) + F2(a)(a0X2 − a2X0) = 0

agrupando terminos

(−a1F1(a)− a2F2(a))X0 + a0F1(a)X1 + a0F2(a)X2 = 0

empleando la identidad de Euler, de nuevo, se sigue el resultado.

La prueba del ultimo punto es inmediata empleando, tambien, la identidad de Euler, como a esta sobrela curva que se anulen dos derivadas es equivalente a que se anulen las tres, y empleamos la definicion enel caso afın.

4.18 Ejemplo. Si F = u0X0 + u1X1 + u2X2 entonces TaV (F ) = V (F )

4.19 Ejemplo. Si consideramos

F = (X0X1X2)(uij)i,j

X0

X1

X2

con M simetrica tenemos

∂F

∂X0= 2u00X0 + 2u01X1 + 202X2

∂F

∂X1= 2u01X0 + 2u11X1 + 212X2

∂F

∂X2= 2u02X0 + 2u12X1 + 222X2

es decir, un punto es singular si y solo si (a0 a1 a2)(uij)i,j = (0 0 0). De ser no singular la recta tangentees

(a0 a1 a2)M

X0

X1

X2

= 0

4.20 Lema. Si F ∈ K[X0, X1, X2] es un polinomio homogeneo y fijo a = (a0 : a1 : a2), b = (b0 : b1 : b2) secumple

F (a+Tb) = F (a) + (F0(a)b0 +F1(a)b1 +F2(a)b2)T + (b0b1b2)

F00(a) F01(a) F02(a)F10(a) F11(a) F12(a)F20(a) F21(a) F22(a)

b0b1b2

T 2 + · · ·

Dem. Sea f(T ) = F (a+ Tb). Vamos a hacer el desarrollo en serie de Taylor de esta funcion. Tenemos

f(T ) = f(0) + f ′(0)T + f ′′(0)T + · · ·

donde, como mucho aparecen tantas derivadas como el grado. Aunque estamos trabajando en un cuerpoalgebraicamente cerrado general K, realmente las cuentas salen como en C. Es inmediato que

f(0) = F (a)

David Gomez


seguimos, y para ello derivamos aplicando la regla de la cadena

f ′(T ) = b0F0(a+ bT ) + b1F1(a+ bT ) + b2F2(a+ bT )

actuamos analogamente para la segunda derivada, sustituimos y obtenemos el resultado.

Queremos ahora estudiar las rectas que pasan por un punto a ∈ V (F ). Estas rectas rectas vendrandadas por uno cualquier de sus puntos distintos de a. Seran a+bT . Querremos ver la interseccion con V (F )

Para calcular V (F ) ∩ L deberemos ver F (a+ bT ). Para calcular la multiplicidad de interseccion

multa(L, V (F )) = multiplicidad de la raız T = 0 en F (a+ bT )

La formula de arriba, para a ∈ V (F ), es decir F (a) = 0, luego

F (T ) = (F0(a)b0 + F1(a)b1 + F2(a)b2)T + (b0b1b2)

F00(a) F01(a) F02(a)F10(a) F11(a) F12(a)F20(a) F21(a) F22(a)

b0b1b2

T 2 + · · ·

luego la multiplicidad sera 1 si y solo si F0(a)b0 + F1(a)b1 + F2(a)b2 6= 0 (pues es el coeficiente de T), esdecir si la recta no es la tangente a V (F ). Si corta con multiplicidad mayor que 1, hablaremos de puntosde inflexion. Vamos a dar unas definiciones y a ver un resultado previo.

4.21 Definicion. Dado un polinomio homogeneo F ∈ K[X0, X1, X2] de grado d llamaremos matriz hessianade F en a a la matriz

MF =

F00 F01 F02

F10 F11 F12

F20 F21 F22

y hessiano de F a HF = detMF , que sera un polinomio homogeneo 3(d− 2).

4.22 Lema. Sea F ∈ K[X0, X1, X2] es un polinomio homogeneo, y sea a ∈ V (F ) entonces a es no singularV (F ) si y solo si a es no singular en la conica C de matriz MF (a) y, en tal caso, la recta tangenteTaV (F ) = TaC. 1

Dem. La demostracion es bastante simple y se basa en la siguiente identidad

(a0 a1 a2)MF (a) = (a0Fi0(a) + a1Fi1a+ a2Fi2(a))i = ((d− 1)Fi(a))i

luego, en un punto con esta propiedad se anula todas las parciales, lo cual es equivalente a que el puntosea singular en V (F ). La condicion anterior es equivalente, como ya hemos visto, a que a sea singular enla conica C. Nos resta indicar que

TaC = V

(a0, a1, a2)MF

X0

X1

X2

= V

(d− 1)(F0(a), F1(a), F2(a))

X0

X1

X2

= TaV (F )

Ya podemos dar la siguiente definicion

4.23 Definicion. Un punto a ∈ V (F ) se dice que es de inflexion si

multa(Ta(V (F )), V (F )) > 2

y llamaremosFlex(C) = puntos de inflexion de C

4.24 Proposicion. Se tiene que, si C = V (F )

C ∩ V (HF ) = sing(C) ∪ Flex(C)

1Esta bien indicar como siempre que Ξ(D) 6| d− 1

David Gomez


Dem. Empezamos viendo que sing(C) ⊂ V (HF ). Si a es singular por lo que acabamos de ver (a0, a1, a2)MF (a) =(0, 0, 0) entonces estamos diciendo que la matriz hessiana MF (a) tiene nucleo no trivial, luego 0 =detMF (a) = HF (a). Esto prueba el contenido. Basta ver que si a es liso (regular) entonces a es deinflexion si a ∈ V (HF ).

Decimos que a es de inflexion si y solo si multa(TaC,C) ≥ 3. Tomaremos un punto b ∈ TaC \ a yla recta (X0 : X1 : X2) = (a0 + b0T : a1 + b1T : a2 + b2T ) que es una parametrizacion de TaC. Ademas aes obtiene solo con T = 0.

Sabemos que a ∈ Flex(C) si y solo si T 3 | F (a+ bT ) ∈ K[T ] o, equivalentemente

(b0 b1 b2)MF (a)

b0b1b2

= 0

Estamos diciendo que que el punto sea de inflexion es equivalente a que TaC \a este contenido en laconica de matrix MF (a). Ya sabıamos que a es no singular en esta conica y su tangente es TaC. Esto esequivalente (lema de Study 1.34) a que la conica de matrix MF (a) es un par de rectas una de las cualeses TaC.

Esto implica que la conica es degenerado, luego detMF (a) = 0, luego a ∈ V (HF ).

Recıprocamente, si detMF (a) = 0 en principio lo unico que sabemos es que MF (a) es degenerada, ypor tanto un par de rectas. Para ver que una de las rectas es la recta tangente consideramos el punto a.Es no singular, luego debe estar en una y solo una de las rectas. Pero la tangente a un recta en un puntono singular es la propia recta. De esta forma TaMF (a) ⊂MF (a). Sabıamos que TaMF (a) = TaC.

4.25 Corolario. Con el teorema de Bezout, si deg(C) = d y sabemos que deg(HF ) = 3(d− 2) tendremos que

#(C ∩ V (HF )) = 3d(d− 2)

el problema es que tenemos puntos multiples. Tenemos que ver cuantas veces nos va a salir cada puntosingular.

Otra de las cosas que deberemos hacer es definir bien interseccion para que funcione en este caso.

4.26 Ejemplo. Consideramos la curvaC = V (X0X

22 −X3

1 )

vemos otra vez la ventaja de trabajar con la curva en proyectivo. Nuestra curva es el completado proyectivode V (y2 −X3). Calculamos

F = X0X22 −X3

1

F0 = X22

F1 = −3X21

F2 = 2X0X2

MF =

0 0 2X2

0 −6X1 02X2 0 2X0

HF = 24X1X

22

Luego HF es la union de dos rectas, una simple y una doble. Si X1 = 0 entonces, si X0 = 0

(X0 : X1 : X2) = (0 : 0 : 1)

y si X22 = 0 tenemos (con multiplicidad 2, por la potencia de X2)

(1 : 0 : 0)

David Gomez


y si, en lugar de X1 = 0 tomamos X2 = 0 tenemos, otra vez que X1 = 0 y el punto (con multiplicidad 6)

(1 : 0 : 0)

De esta forma podemos deducir que (0 : 0 : 1) es un punto de multiplicidad 1, y como (1 : 0 : 0) conmultiplicidad 8. El (1 : 0 : 0) es el punto singular, el ”pico” de la cuspide. El punto (0 : 0 : 1) nos haquedado en el infinito, no hay punto de inflexion. Si deshomogeneizamos respecto de X2 obtenemos

u =X0

X2, v =

X1

X2

tenemos la ecuacionV (u− v3)

tenemos la cubica usual, que tiene un punto de inflexion, y el singular en infinito. De la misma forma queuna parabola es lo mismo que una hiperbola en geometrıa proyectiva la cuspide con un ”horrible” puntosingular es lo mismo que una ”inocente” u = v3.

4.27 Ejemplo. Tomamos la hiperbolaV (XY − 1)

con asıntotas verticales y horizontales. Si consideramos el completado proyectivo

V (X1X2 −X20 )

que tiene por puntos de infinito

a = (0 : 0 : 1), b = (0 : 1 : 0)

que debemos verlos como direcciones en el plano afın. Son, precısamente, las direcciones de las tangentes.Para calcular la recta tangente en estos puntos trabajaremos en el afın. Deshomogeneizamos respecto X2

u =X0

X2, v =

X1

X2

luego la deshomogeneizado V (v − u2) donde a se convierte en el punto (0, 0). La recta tangente esV (v), cuya homogeneizada es V (X0), volviendo sobre las notaciones originales esto es V (X) (el eje deordenadas).

4.28 Definicion. Una asıntota de una curva afın es una recta tangente a la curva en un punto del infinito.

4.29 Ejemplo. Tomamos la curvaV (y −X2)

con completado proyetivoV (X0X2 −X2

1 )

con punto de infinito (X0 = 0) tenemos (0 : 0 : 1). En este punto tendremos recta tangente. Deshomo-geneizamos con respecto de X2 con la notacion u, v tendremos

V (u− v2)

que es otra parabola, con recta tangente V (u), que homogeneizada es V (X0), y cuando queramos deshomo-geneizar respecto de X0 nos hemos quedado sin recta. La recta asıntota de V (y−X2) es la recta de infinito.No se acerca a ninguna recta. Afinmente no hay ”asıntota”.

Debemos mejorar la definicion 4.28

4.30 Definicion (Correcion a 4.28). Una asıntota de una curva afın es una recta, distinta de la de infinito,tangente a la curva en un punto del infinito.

Esto tambien induce otra definicion

David Gomez


4.31 Definicion. Diremos que una curva tiene una rama parabolica en una direccion (o, equivalente, en elpunto de infinito de la curva) si la tangente al completado proyectivo en ese punto del infinito es la rectade infinito.

4.32 Ejemplo. Consideramos el polinomio

f = X2 − y3 + 2y2 − y = X2 − (y − 1)2y ∈ K[X, y]

con K algebraicamente cerrado (aunque en este ejemplo podemos pensar en R). No es dificil ver que f esirreducible V (f) es una curva que pasa por el origen, que es un punto liso (mirando la parte homogeneade grado mas pequeno) y, aunque es una curva que se puede parametrizar de verdad. Olvidemos cuantosabemos sobre la asignatura.

Parametrizemos de forma naive. Tenemos

∂f

∂X= 2X,

∂f

∂y= −3y2 + 4y − 1

y, por tanto, por el teorema de la funcion implıcita se puede parametrizar con teorıa de calculo. Exis-tira una funcion g definida en un entorno de 0, tal que g(0) = 0 y f(X, g(X)) = 0, es decir

X2 − g(X)3 + 2g(X)2 − g(X) = 0

que no es una funcion que uno pueda calcular explıcitamente, y se puede calcular toda la informacionque se quiera. Sabemos que (T, g(T )) es un parametrizacion de V (f) cerca de (0, 0). El modo practico enque un analista dirıa de calcular la deriva con la expresion de arriba

2X − 3g(X)2g′(X) + 4g(X)g′(X)− g′(X) = 0

de donde g′(0) = 0. No nos debe eXtranar, pues (1, g′(T )) debe ser un vector tangente a la curva, queestara en la recta T(0,0)V (f) = V (y). Y podrıamos seguir derivando en la ecuacion

2− 3g′′(X)g(X)2 − 3g′(X)2g(X) + 4g′′(X)g(X) + 4g′(X)2 − g′′(y) = 0

de nuevo en X = 0, como g(0) = g′(0) = 0 tenemos que

g′′(0) = 2

y ası sucesivamente. En particular podremos obtener el desarrollo en serie de Taylor de la funcion g enX = 0, que empezara

g(X) =1

2g′′(0)X2 + · · · = X2 + · · ·

Un motivo por el que es mejor pensar en C que en R es porque una funcion globalmente holomorfa vienedeterminada por su desarrollo en serie de Taylor.

Un algebrista podrıa ponerse a hacer el desarrollo de serie de Taylor con coeficientes libres

g(X) = a0 + a1X + a2X2 + · · ·

y tendremos

X2 − (a0 + a1X + a2X2 + · · · )3 + 2(a0 + a1X + a2X

2 + · · · )2 − (a0 + a1X + a2X2 + · · · ) = 0

que es simplemente una expresion polinomial del desarrollo en serie de Taylor, que al desarrollar vaa dar una serie de Taylor, e impondremos que todos los terminos sean nulos. Calculemos el terminoindependientes

−a30 + 2a20 − a0 = 0

que tampoco me da mucha informacion porque hacemos, a proposito cuentas de mas. Realmente, a0 = 0para que g(0) = a0 = 0. Coeficiente de X sera

−3a20a1 + 2a0a1 − a1 = 0

David Gomez

4.2. ANILLO DE SERIES FORMALES 36

como a0 = 0 tenemos que a1 = 0 Para el coeficiente de X2

1− (3a0a21 + 3a20a1)2 + 2(a21 + 2a0a2)− a2 = 1− 3a0a

21 − 3a20a2 + 2a214a0a2 − a2 = 0

todo se anula salvo a2, es decir a2 = 1.

La idea de lo que vamos a intentar es ser mas listo que los analistas Los analistas solo saben hacercuando pueden emplear el teorema de la funcion implıcita. Si lo hacemos en el punto (0, 1) tenemos quea0 = 1. Aquı, en las ecuaciones anteriores no tenemos unicidad en los coeficientes a1 = ±1. Pero podemosseguir adelante. Esto tiene perfecto sentido, nos da las dos ramas de la curva que pasan por el punto. Esun punto de autointerseccion.

Con el cambio y′ = y − 1 tenemos

X2 − (y′)2(y′ + 1) = X2 − (y′)3 − y2

Cono tangenteV (X2 − (y′)2) = V (X + y′) ∪ V (X − y′)

con rectas tangente las anteriores. Esto nos da las tangentes a las parametrizaciones con las series quehabiamos encontrado.

4.2 Anillo de series formales

4.33 Definicion. Se llama serie formal con coeficientes en un anillo A y en la indeterminada T a una expresion

a0 + a1T + a2T2 + · · ·

con a1 ∈ A. Llamaremos A[[T ]] al conjunto de series formales, que sera anillo con las operaciones naturales

(a0 + a1T + · · · ) + (b0 + b1T + · · · ) = a0 + (a1 + b1)T + · · ·

y el producto(a0 + a1T + · · · )(b0 + b1T + · · · ) = c0 + c1T + · · ·

y

ck =∑

i+j=k

aibj

4.34 Lema. Si f ∈ K[[X]] con a0 6= 0. Entonces

1. Existe un unico g ∈ K[[X]] tal que f · g = 1

2. Para todo n existen n series h ∈ K[[X]] tales que hn = f , si K es de caracterıstica 0.

Dem. Para i buscamos b0, · · · ∈ K tales que a0b0 = 1

a0b1 + a1b0 = 0

a0b2 + a1b1 + a2b0 = 0...a0bi + · · ·+ aib0 = 0

y en general podemos obtener

bi =−a1bi−1 − · · · − aib0

a0

conocidos todos los elementos anteriores. Ademas los coeficientes son unicos.

David Gomez

4.2. ANILLO DE SERIES FORMALES 37

Para la segunda parte si h = c0 + c1X + · · · tendremoscn0 = a0(n1

)cn−10 c1 = a1(

n2

)cn−20 c21 +

(n1

)cn−10 c2 = a2(

n3

)cn−30 c1 +

(n1

)cn−10 c3 + n!

(n−2)!cn−20 c1c2 = a3

no hay forma excesıvamente facil de obtener una formula general. El termino independiente sera unaraız n-esima de a0. Tenemos, por tanto, tantas opciones como el numero de estas. Como hemos dichoque habıa precısamente este numero, veamos que el resto de coeficientes se obtienen unicamente con laeleccion de c0. De la segunda ecuacion

c1 = a1

ncn−10

c2 =a2−(n

2)cn−20 c21

ncn−10

c3 = 1ncn−1

0

(a3 −(n3

)cn−30 c31 + n!

(n−2)!cn−20 c1c2)

luego vienen unıvocamente determinados. Si consideramos el coeficiente de ci tenemos

ai =

(n

1

)cn−10 ci + f(c0, · · · , ci−1)

luego

ci =ai − f(c0, · · · , ci−1)

ncn−10

para ser estrictos

ai =∑

i=∑

j·nj

n=∑

nj

n!

n0! · · ·ni!cn00 · · · c

nii

4.35 Observacion. El lema demuestra que f ∈ K[[X]] es una unidad si y solo si a0 = f(0) 6= 0. Toda serief 6= 0 se puede escribir de forma unica

f = Xrg

con g unidad, sin mas que ”sacar factor comun” de las X con r el menor tal que ar 6= 0. Dadas dos seriesno nulas se tiene que su producto

Xr1Xr2g1g2 6= 0

luego trabajamos en un dominio de integridad.

Consideraremos K((X)) el cuerpo de fracciones de K[[X]] y notaremos

Xr1g1Xr2g2

= Xr1−r2(g1g2

)como g2 es una unidad tiene inversa, luego

Xr1g1Xr2g2

= a0Xr + a1Xr+1 + · · · = Xrg

donde r puede ser negativo, pero g vuelve a ser una unidad. Estamos trabajando con series de Laurent.

4.36 Definicion. Para cada f ∈ K((X))∗ llamaremos orden de f al entero

r = O(f)

tal que f = Xrg con g unidad de K[[X]].

Ahora el orden hace el papel de grado.

David Gomez

4.3. ANALISIS PARA SERIES FORMALES 38

4.37 Proposicion. Se cumple que

1. O(fg) = O(f)O(g)

2. O(f + g) ≥ mınO(f), O(g)

3. O(f) ≥ 0 ⇐⇒ f ∈ K[[X]]

4. O(f) = 0 ⇐⇒ f es unidad de K[[X]]

5. O(f) > 0 ⇐⇒ f(0) = 0

Pensemos en un S = f(T ) cambio de parametro, para f ∈ K[[T ]] tal que f(0) = 0. Si

f = a1T + a2T2 + · · ·

yb0 + b1S + b2S

2 + · · ·

al sustituirb0 + b1(a1T + a2T

2 + · · · ) + b2(a1T + a2T2 + · · · )2 + · · ·

4.38 Definicion. Dadas series g = b0 + b1T + b2T2 + · · · y f = a1T + · · · en K[[T ]] llamamos composicion a

g f := c0 + c1T + · · ·

donde c0 = b0

c1 = b1a1

c2 = b1a2 + b2a21

...

Debemos pensar lo siguiente, aunque sea falso. La serie g debe ser vista como una funcion definida enun entorno de 0. La funcion f debe ser considerada tambien como una funcion es un entorno de 0, quesera un cambio de variable. Lo que estamos es ”reparametrizar” pues la composicion es una nueva serie,definida en un entorno de 0, de forma que 0 7→ b0.

4.3 Analisis para series formales

Trabajaremos indistintamente con las variables X y T . Sea f ∈ K[[T ]]

f = a0 + a1T + · · ·

podemos entender f como una aplicacion f : K → K con 0 7→ a0 o como una reparametrizacion. Ademasquerremos saber cuando se puede volver hacia atras. En analisis real (y complejo) sabemos que se puedevolver hacia atras si f ′(0) 6= 0

4.39 Teorema (de la funcion inversa formal). Dada una serie formal f ∈ K[[T ]] con f(0) = 0 existe ung ∈ K[[T ]] tal que g f = T si y solamente si f ′(0) 6= 0. Ademas, en estas condiciones g es unica tal que

f g = T

y

g′(0) =1

f ′(0)

David Gomez


Dem. Tomamosf = a1T + · · ·

Buscamosg = b1T + b2T

2 + · · ·

donde b0 = 0 para que funcione como inversa con la composicion.

Hacemos la sustitucion formal

g f = b1(a1T + a2T2 + · · · ) + b2(a1T + a2T

2 + · · · )2 + · · ·

donde para hacer la sustitucion habıa que pedir que a0 = 0, pues si no aparecerıa una serie infinita comocoeficientes, que no tiene sentido en cuerpos generales. El primer coeficiente

b1a1 = 1

luego a1 6= 0 es condicion necesaria. Ademas, en ese caso

g′(0) = b1 =1

a1=

1

f ′(0)

Seguiremos imponiendo condicionesb1a2 + b2a

21 = 0

luego b2 queda determinado por las condiciones ya impuestas. Ocurrira como en la demostracion de 4.34.Tambien tendremos

b1ai + · · ·+ biai1 = 0

siempre podremos expresar

bi =l(b1, · · · , bi−1, a2, · · · , ai)

ai1

es decir que los coeficientes vendran determinados unıvocamente por recursion, si a1 6= 0. Podrıamossustituir mutatis mutandis en la composicion en sentido contrario. Resulta mucho mas comodo considerarla parte del teorema que ya hemos probado, pero para g. Como g verifica las hipotesis existira un funcionh tal que

h(g(T )) = T

pero entoncesh(g(f(T ))) = f(T )

y g(f(T )) = T luegoh(T ) = f(T )

Es decir quef g(T ) = T

.

Las condiciones que aparecen en el teorema son, precısamente, que no haya coeficiente de orden 0,pero si de orden 1, luego

4.40 Definicion. Una serie invertible es una serie f ∈ K[[T ]] de orden 1 (O(f) = 1).

4.41 Notacion. Para evitar ambiguedades la inversa para la composicion sera f−1 mientras que la inversapara el producto sera 1

f . No caben muchas dudas, pues todo de si f(0) = 0, en cuyo caso f no tiene

inversa para el producto, o f(0) 6= 0, en cuyo caso f no tiene inversa para la composicion.

4.42 Lema. Toda serie formal de orden r > 0 se puede escribir como la potencia r-esima de una serieinvertible.

David Gomez


Dem. Si f ∈ K[[T ]] con O(f) = r > 0 escribimos

f = arTr + ar+1T

r+1 + · · · = T r(ar + ar+1T + · · · )

donde ar 6= 0 yar + ar+1T + · · ·

por el lema 4.34 se puede escribir como potencia r-esima de alguna serie g. Puede verse en la demostraciondel lema 4.34 que g(0) 6= 0. Es decir

f = (Tg)r

yO(Tg) = 1

. Nuestro deseo hubiese sido parametrizar curvas por polinomios. Como no puede ser intentemos que sea

por series formales. Tendremos un version algebraica del teorema de la funcion implıcita, que vendra comoconsecuencia (naturalmente) del teorema de la funcion inversa para series formales.

4.43 Teorema (de la funcion implıcita formal). Sea f ∈ (K[[X]])[Y ] con f(0, 0) = 0, y

∂f

∂Y(0, 0) 6= 0

entonces existe una unica funcion g ∈ K[[X]] tal que g(0) = 0 y

f(X, g(X)) = 0

Dem. Escribamosf = P0(X) + P1(X)Y + · · ·+ Pd(X)Y d

con Pi ∈ K[[X]]. EscribimosPi = ai0 + ai1X + · · ·

La condicion f(0, 0) = 0 es decir a00 = 0. Lo que buscamos es una serie

g = b1X + b2X2 + · · ·

tal que

(a01X+a02X2+· · · )+(a10+a11X+a12X

2+· · · )(b1X+b2X2+· · · )+ · · ·+(ad0+ad1X+· · · )(b1X+b2X

2+· · · )d

Tenemos el sistema, coeficiente a coeficiente

a01 + a10b1 = 0

luego, b1 es unico, pues por hipotesis

a10 =∂f

∂y6= 0

para el coeficiente de segundo orden

a02 + a10b2 + a11b1 + a20b21 = 0

y, de nuevo podemos despejar b2 unıvocamente. En general, si me quiero complicar la vida, el coeficientede Xi hay que tener en cuenta lo siguiente. Lo primero que aparece es un a10bi. El bi no aparece en elproducto por el termino independiente P0, en el termino P1 ya lo hemos cogido y ya todo lo salga, porcuestion de ordenes depende solo de b1 hasta bi−1. Es decir

a10bi + l(b1, · · · , bi−1) = 0

luego podemos despejar bi unıvocamente. De esta forma la g existe y es unica con las condiciones.

David Gomez


4.44 Corolario. Si C ∈ A2K es una curva de ecuacion minimal f ∈ K[X,Y ] y (0, 0) es un punto no singular

de la curva entonces

1. Si ∂f∂y 6= 0 entonces existe una serie formal q ∈ K[[T ]] tal que

f(X, q(X))

2. Si ∂f∂y = 0 entonces ∂f

∂X 6= 0 e, intercambiando los papeles de X e Y podemos aplicar el teorema

para deducir que existe p ∈ K[[Y ]] tal que

f(p(Y ), Y ) = 0

En cualquier de los casos existen p, q ∈ K[[T ]] tales que

f(p(T ), q(T )) = 0

4.45 Definicion. Se llama parametrizacion formal de una curva afın V (f) en el punto (a, b) a un par deseries formales no constantes, p, q ∈ K[[T ]] tales que (p(0), q(0)) = (a, b) y f(p, q) = 0.

4.46 Observacion. La parametrizacion no es unica. Tanto es ası que, de no anularse las dos derivadas en unpunto, tendrıamos inmediatamente dos parametrizaciones de las anteriores. De esta forma tiene sentidodefinir

4.47 Definicion. Dos parametrizaciones (p, q) y (p′, q′) son equivalentes si y solo si existe unn polinomiof ∈ K[[T ]] inversible tal que

p′ = p f, q′ = q f

Donde f hara el papel de cambio de coordenadas.

4.48 Definicion. Sea F la ecuacion mininimal de una curva proyectiva. P0, P1, P2 ∈ K[[T ]]. con

(P0(0), P1(0), P2(0)) 6= 0

Si F (P0, P1, P2) = 0 diremos que forman una parametrizacion formal de V (F ) en (P0(0), P1(0), P2(0))

4.49 Proposicion. Toda parametrizacion formal de una curva V (f) en (a, b) es equivalente a una parametrizacionde la forma (a + T r, s(T )) con s(0) = b. Ademas r es unico y cualquier parametrizacion equivalente deesta forma es

(a+ T r, s(ωT ))

donde ω es una raız r-esima de la unidad.

Dem. Sea (p, q) una parametrizacion de V (f) en (a, b).

p(T ) = a+ a1T + · · · = a+ g(T )r

donde g es una parametrizacion invertible. Entonces

(p g−1, q g−1)

sera una parametrizacion equivalente. Sea s(t) = q g−1(T ). Tenemos

p(g−1(T )) = a+ g(g−1(T ))r = a+ T r

Supongamos que la parametrizacion es equivalente a dos de esta forma

(a+ T r, s(T )), (a+ T r′ , s′(T ))

por la transitividad de la equivalencia existe h tal que

(a+ T r′ , s′(T )) = (a+ h(T )r, s(h(T )))

David Gomez


de la primera componenteT r′ = h(T )r

Sabemos queh = c1T + c2T

2 + · · ·

donde c1 6= 0 pero entoncesh(T )r = cr1T

r + h.o.t.2

tendremos que r′ = r, que c2, c3, · · · = 0 y que cr1 = 1 (luego un raız r-esima de la unidad, digamos ω)

h(T ) = ωT

4.50 Ejemplo. Consideramos (T 2 − 1

T 2 + 1,

2T

T 2 + 1

)parametrizacion de la circunferencia X2 + y2 = 1. Escribimos

−1 + T 2

1 + T 2= (−1 + T 2)(1− T 2 + T 4 − T 6 + T 8 + · · · ) = −1 + 2T 2 − 2T 4 + · · ·

y2T

1 + T 2= 2T (1− T 2 + T 4 − · · · ) = 2T − 2T 3 + 2T 4 + · · ·

De donde rapidamente podemos obtener una parametrizacion del completado proyectivo

(1 : −1 + 2T 2 − 2T 4 + · · · : 2T − 2T 3 + 2T 4 + · · · )

En general las parametrizaciones formales en el espacio proyectivo no tiene porque tener una constanteen una coordenada. Realmente diviendo en la serie inversible siempre podemos obtenerlo. En el teorematendrıamos r = 2. Pero esto es porque parametrizamos sobre el punto (−1, 0) de pendiente vertical, y nopodrıamos despejar en el teorema de la funcion implıcita. El r no tiene nada que ver con la multiplicidaddel punto. Para trabajar como lo hemos hecho en teorıa

p = −1 + T 2(2− 2T 2 + · · · )

donde2− T 2 + · · · = (c0 + c1T + · · · )2 = c20 + 2c0c1T + (c21 + 2c0c2)T 2 + · · ·

debe darse c20 = 2. Debemos elegir entre ±√

2, pero esta multiplicidad viene precısamente de las raıcesde la unidad. Elegiremos impudicamente

√2 y aplicaremos el teorema mas adelante. Seguimos

2√

2c2 = −2

luego c2 = −√

2 y seguimosp = −1 + (

√2T −

√2T 2 + · · · )2

si llamamosT ′ =

√2T −

√2T 2 + · · ·

tendremosp = −1 + (T ′)2

y ahora debemos hacer la otra sustitucion

q = 2T − 2T 3

y queremos poner la parametrizacion en funcion del nuevo parametro T ′ (que juega ahora el papel de lah del teorema). Vamos a despejar T en funcion de T ′ escribimos

T = b1T′ + b2(T ′)2 + · · ·

2terminos de orden superior

David Gomez


La condicion sera que todo funcione al despejar

T ′ =√

2(b1T′+ b2(T ′)2 + · · · )−

√2(b1T

′+ b2(T ′)2 + · · · ) + + · · · =√

2(b1)T ′+ (√

2b2−√

2b21)(T ′)2 + · · ·

y

b1 =1√2, b2 =

1

2, · · ·

de donde escribimosq =√

2T ′ − 2(T ′)2 + · · ·y, aunque con toda probabilidad se habran ido las cuentas comprobamos que todo lo que hacemos a nivelteorico funciona. A cualquier parametrizacion que ya tenıamos podemos aplicar la forma del teoremaanterior, para obtener una parametrizacion formal. Como r = 2 si aplicamos el teorema obtendremosuna de dos parametrizaciones, o bien g(T ′) o g(−T ′) y estas son las dos unicas parametrizaciones de estetipo.

4.51 Proposicion. Dada una parametrizacion de una curva en (a, b) son equivalentes

1. La parametrizacion es de la forma(p f, q f)

con O(f) = m ≥ 2

2. La parametrizacion es equivalente a una parametrizacion de la forma

(p(Tm), q(Tm))

(es decir que la parametrizacion se puede simplificar con T ′ = Tm)

3. La parametrizacion de la parametrizacion anterior es de la forma

(a+ T rm, s(Tm))

para m ≥ 2

Dem. Procedemos (1) =⇒ (2) Si f(T ) = g(T )m con g invertible. Entonces es equivalente a

(p f g−1, q f g−1) = (p(Tm), q(Tm)

(2) =⇒ (3) Si (p, q) ∼ (a+ T r, s(T )) = (p f, q f) con f invertible tendremos

p(Tm) = pff−1(Tm) = a+ f−1(Tm)r = · · ·

y podemos pensar, como f es invertible, O(f−1(Tm)) = m se tendra

f−1(Tm) = h(T )m

luego· · · = a+ h(T )mr

y, dado que g f = s se tendra g(Tm) = s f−1(Tm) o

q(Tm) = s(h(T )m)

luego la parametrizacion es equivalente a

(a+ Tmr, (s h)(Tm))

(3) =⇒ (1) Es evidente.

4.52 Definicion. Se llama parametrizacion reducida a una parametrizacion que no es de la forma

(p′ g, q′ g)

con O(g) ≥ 1.

David Gomez

4.4. SERIES DE PUISEUX 44

4.53 Definicion. Se llama rama o lugar de una curva en un punto (a, b) a una clase de equivalencia deparametrizaciones reducidas en (a, b).

4.54 Ejemplo. Con esto estamos diciendo que si ∂f∂y (0, 0) 6= 0 podemos despejar y en funcion de X y existe

una unica parametrizacion de la forma (T, q(T )), en este caso r = 1, y lo que tenemos es que existe ununico lugar de la curva en el punto. En otras palabras la curva pasa una vez por el punto. Esto es natural,pues el punto es liso.

4.55 Observacion. Si (T, q(T )) es una parametrizacion en (0, b) lo que sabemos es que

f(X, q(X)) = 0

dicho de otra forma, si escribimosf ∈ (K[[X]])[Y ]

esto lo que nos esta diciendo en realidad es que Y = q(X) es una raız del polinomio. Lo que esto nosesta diciendo es que si tomamos la curva en esta forma encontrar parametrizaciones en el punto (0, b) esencontrar raıces viendo el polinomio en esta forma. Es decir, que buscamos raıces en el anillo de seriesformales.

Una parametrizacion en (0, b) va a ser equivalente a una parametrizacion (T r, q(T )), es decir que

f(T r, q(T )) = 0

ya no podemos hacer el truco de antes. Para volver a tener lo de antes vamos a hacer una ”marranada”.Si lo que quiero es tener otra vez X en el primer hueco, simplemente

f(X, q(X1r ))

y, ¿esto que quiere decir?. De momento es solo una notacion. Veamoslo en un ejemplo

4.56 Ejemplo. Seaf = Y 2 −X3

tenemos la parametrizacion(T 2, T 3)

o bienY = X

32

raız de f ∈ (K[X])[Y ].

De esta forma siq(T ) = a0 + a1T + · · ·

entoncesq(X

1r ) = a0 + a1X

1r + a2X

2r + · · ·

Veamos como podemos hacer funcionar esto

4.4 Series de Puiseux

4.57 Definicion. Llamaremos anillo de series de Puiseux a

KX =⋃r∈N

K[[X1r ]]

Hay un resultado tecnico que nos dice que el cuerpo de fracciones de este anillo es algebraicamentecerrado, luego funcionara muy bien teorico. A la hora de echar cuentas sera ”absolutamente asqueroso”.No es todo lo asqueroso que podrıa, los exponentes son 1

r , por ejemplo

David Gomez


4.58 Ejemplo. La serieX

12 +X

23 +X

34 +X

45 + · · ·

no es una serie de Puiseux, pues no existe un r que sea comun denominador de los exponentes

4.59 Observacion. Para una serie de Puiseux podemos seguir definiendo el valor en el 0, que sera a0

4.60 Ejemplo. Seaf(X,Y ) = XY 2 − 2X3Y +X5 − Y 6 +X7Y 2

con (0, 0) ∈ V (f). Lo vamos a hacer ”tirandonos a lo loco”. Buscamos q(X) ∈ KX tal quef(X, q(X)) = 0. Vamos a imaginarnos el aspecto que tiene, escribirla y sustituir. El problema que nosvamos a encontrar ahora, con respecto al caso de la ecuacion implıcita es que ahora no tenemos el comundenominador r. Si supiesemos a priori su valor podrıa sustituir tal cual. No lo sabemos, luego lo quetenemos que hacer, y para esto nos va a hacer falta una algoritmo, es ir termino a termino. Desde luegoq(0) = 0, luego no hay termino independiente. Lo complicado es decir

q(X) = cXq + · · ·

donde q ∈ Q. Vamos con un poco de paciencia. Empezamos a sustituir

X(cXq + · · · )2 − 2X3(cXq + · · · ) +X5 − (cXq)6 +X7(cXq + · · · )2 = 0

tenemos que buscar el termino de menor grado y anularlo. Como no sabemos quien es q pues tenemos quebuscar al candidato en cada sumando. Los posibles terminos de menos grado son lo que tengo escritosquitando los · · · .

c2X2q+1,−2cXq+3, X5,−c6X6q, c2X2q+7

Desde luego el 2q + 7 no es, porque esta 2q + 1. Como querıamos algo de menor grado que se puedacancelar nos hara falta un c. Vamos a ver casos,

Si 2q + 1 = q + 3, q = 2 entonces tendrıamos 2q + 1 = q + 3 = 5.Si tomamos 6q = 5, es decir q = 5

6 entonces q + 3 < 5 y ya no serıa el termino el de menor grado.Si uno hace que 6q = 2q + 1, tenemos q = 1

4 y esta poosibilidad tiene sentido.

La cuestion es que ya no tenemos que tener unicidad. En el caso de curvas un poco complicadas elprimer termino por que puedo empezar pueden ser varios. De lo que se tratarıa es, por ejemplo para q = 2los tres tienen el mismo grado y c2 − 2c + 1 = 0, luego c = 1 es una unica posibilidad. Si hubiese dosposibilidades para c ya tendrıamos mas opciones de polinomio q. Cuando q = 1

4 tendremos que c2−c6 = 1,luego c4 = 1 y esto nos da hasta cuatro posibilidades. Que haya 4 opciones es lo que tenemos que esperar,pues esto nos lo sugerıa ya el teorema 4.49.

Todo esto se puede hacer de forma un poco mas visual. En general, definimos

4.61 Definicion. Dado f ∈ KX[Y ] vamos a llamar soporte de f a

Sup(f) = (i, j) | XiY j tiene coeficiente no nulo

y ver los posibles terminos de menor grado d. Los posibles terminos de menor grado seran

XiY j 7→ XiXjq = Xjq+i

y buscamos q, d tal que, para todo (i, j) ∈ Sup(f)

jq + i ≥ d

y haya dos puntos del soporte donde se de la igualdad (para tener un polinomio sobre c). Es decirbuscamos rectas que pasen por, al menos, dos puntos del soporte y queden por debajo de todo el soporte.

David Gomez


Figura 4.1: Soporte de f para el ejemplo y las rectas que unen dos puntos

4.62 Lema. Sea f ∈ KX[Y ] con f(0) = 0 y ∂f∂y (0, 0) 6= 0 entonces existe una unica g ∈ KX con

g(0) = 0 que es raız de f .

Dem. Seaf = P0(X) + P1(X)Y + · · ·+ Pd(X)Y

con P0(0) = 0 y P1(0) 6= 0. Tomo r ∈ N tal que Pi ∈ K[[X1r ]] para todo i. Ahora

f(Xr, Y ) = P0(Xr) + P1(Xr)Y + · · ·+ Pd(Xr)Y d

que es un polinomio f(X,Y ) ∈ K[[X]][Y ]. Para este polinomios f(0, 0) = (0, 0) y ∂f∂y (0, 0) = P1(0) 6= 0.

Por el teorema de la funcion implıcita formal existe un unica g ∈ K[[X]] raız de f con g(0) = 0. Equiva-

lentemente existe g(X) = g(X1r ) ∈ KX es una raız de f y g(0) = 0.

Si tenemos g1 ∈ KX otra raız de f con g1(0) = 0, entonces g1 ∈ K[[X1r′ ]] para algun r′. Entonces,

si˜f(X,Y ) = f(Xrr′ , Y ) ∈ (K[[X]])Y

que tambien verifica las condiciones de la funcion explıcita y g1(Xrr′) y g(Xrr′) ∈ K[[X]] son raıces, yambas g1(0) = 0 = g(0). Entonces, por la unicidad del teorema de la funcion implıcita g1(Xrr′) = g(Xrr′),pero entones coinciden coeficiente a coeficiente para cada X

nrr′ . Pero entonces los coeficientes coinciden

y los polinomios son iguales.

4.63 Observacion. Si Pi ∈ K[[X1r ]] entonces las raıces que encuentro estan en K[[X

1r ]]

4.64 Observacion. El poligono de Newton en la situacion del lema. Si estudiamos

f = P0(X) + P1(X)Y + · · ·

donde tenemos P0(0) = 0 y P1(0) 6= 0 entonces (0, 1) estara en el polıgono. Si P0(X) 6= 0 entonceshabra un punto de la forma (q, 0). Este resultado interpretado en entre lenguaje es que es que el triangulointerpretado nos dice que la recta mas baja que podemos tener, y si la altura es j = 1 entonces la soluciones unica. Ademas, la solucion unica que encuentro tiene los mismos denominadores que f .

4.65 Teorema. Dado f ∈ KX[Y ] con algun monomio en Y j y algun monomio en Xi. Entonces f tienealguna raız en KX

Dem. Hacemos la demostracion por pasos, que coinciden con los del ejemplo 4.66

1. Tomamos una recta i + qj = d del polıgono de Newton (esto ocurre al buscar posibles raıcesY = cXq + · · · Por la hipotesis empleamos que hay dos puntos en el segmento (i1, j1), (i2, j2) dedonde

q :=i1 − i2j2 − j1

, d := i1 + qj1

Nos interesa considerar (0, j1) ¿donde empleamos la hipotesis de (i, 0) ∈ sup(f)?

David Gomez


2. Escribimos los elemenos del soporte orden de arriba abajo i1 < i2 < · · · < ir (o, equivalentemente,j1 > j2 > · · · > jr)

f(X,Y ) =∑i,j

aijXiY j =

∑i+qj=d

aijXiY j +

∑i+qj>d

aijXiY j

donde ik + qjk = d. Esto tambien se puede escribir

g(T ) =∑

i+qj=d

aijTj

3. Escribo la posible raız comoY = Xq(c+ Y1)

donde Y1 ∈ KX e Y1(0) = 0 (no tiene termino independiente). Esto podemos hacerlo por comobuscamos las raıces. Se puede sacar factor comun Xq. Queremos que

f(X,Xq(X + Y1)) = 0

La conclusion a la que llegabamos en el ejemplo 4.60 es que el termino de menor grado es Xd, quees justo el queremos anular. Haciendo la sustitucion vamos a tener

f(X,Xq(c+ Y1)) =Xd

∑i+qj=d

aij(c+ Y1)j +∑

i+dj>d

aijXi+qj−d(c+ Y1)j

=Xd

g(c+ Y1) +∑

i+dj>d

aijXi+qj−d(c+ Y1)j

debemos calcular el termino de menor orden en Y1, que es g(c).

es decir queremos g(c) = 0.

4. (Mirar el caso analogo del ejemplo antes de la parte teorica) Lo que tenemos que buscar es una raızde g, y parece que la multiplicidad tiene importancia. Sea c 6= 0 una raız de g con multiplicidad m.Esto quiere decir que g se puede escribir como

g(T ) = T jr (T − c)mh(T )

con h(c) 6= 0. Ahora tenemos que hacer la sustitucion

f(X,Y ) =Xdg(Y

Xq) + · · · = Xd

(Y

Xq

)jr ( Y

Xq− c)m

h

(Y

Xq

)+ h.o.t

f(X,Xq(c+ Y1)) =Xdg (c+ Y1)jr Y m

1 h(c+ Y1) + h.o.t

=Xd((c+ Y1)jrY m

1 h(c+ Y1) + h.o.t)

= Xdf1(X,Y1)

donde los terminos h.o.t se toman en sentido de grado en X.

Por como hemos expresado antes f podemos escribir

f1(X,Y1) = (c+ Y1)jrY m1 h(c+ Y1) + h.o.t

Estudiemos el polıgono de Newton para f1. Como h(c+Y1) tiene termino independiente en Y1 (puesh(c) 6= 0) luego en el nuevo polıgono de Newton tendremos (0,m). Luego el polıgono tiene altura m.

Si jr > 0 o gr(h) > 0 entonces se tiene que m < jr +m+ gr(h) = gr(g) = j1 y como el termino demenor grado es cjrY m

1 h(c) se tiene que (0,m) ∈ sup(f1) y m < j1. El problema es si

g(T ) = (T − c)j1

David Gomez


Lo que queremos es repetir el argumento encontrando Yn hasta que resulte que (0, 1) ∈ sup(fn) (encuyo caso estamos en el teorema de la funcion implicıta formal, y volviendo sobre Y encontramosuna solucion). Podrıa ocurrir, hasta donde hemos probado, que llegasemos a una altura de formaque, para todo k ≥ k0 se tuviese

fk(X,Yk) = αY mk + · · ·

(es decir que gk(T ) = (T − ck)m para k ≥ k0).

Este es un caso especial, y muy tecnico. Baste decir sobre el que dado que la m se ha estancado,cada uno de los polinomios fk de la cadena seran muy parecidos, de forma que el denomicador q sepodra tomar constante y encontraremos infinitos ck para las igualdades Yk+1 = Xqk(ck + Yk) quenos permitiran, finalmente, despejar una serie de Puiseux Y que resuelva el problema.

El ejemplo sigue los pasos de la demostracion exactamente

4.66 Ejemplo. Volviendo sobre el ejemplo 4.60, pag. 45

1. Son las rectas en rojo que ya habıamos tomado (en rojo en la figura 4.1)

2. En este caso tendremosf = XY 2 − 2X3Y +X5 + · · ·

3. Tenemos ahora −Y 6 +XY 2, con q = 14 . ik + qik = 1 + 1

2 . si Y 6= 0 tenemos

−Y 4 +X = 0

es decirY = ωX

14

donde ω = ω4 raız cuarta de la unidad. Esto lo que nos dice es que las raıces seran

Y = ωX14 + h.o.t

El polinomiog(T ) = −T 6 + T 2 = T 2(−T 4 + 1)

Para la otra recta XY 2 − 2X3Y +X5 = 0, con d = 5. Es decir Y = X2 con lo que las raıces seranY = X2 + · · · .

4. Volviendo sobre q = 14 ponemos ω = 1 y ya veremos despues lo que pasa en general. Buscamos

Y = X14 (1 + Y1)

entonces

0 =X(X14 (1 + Y1))2 − 2X3X

14 (1 + Y1) +X5 + (X

14 (1 + Y1))2

=X32 (1 + 2Y1 + Y 2

1 )− 2X134 (1 + Y1) +X5 −X 3

2 (1 + 6Y 1 + · · ·+ Y 61 ) +X

152 (1 + 2Y1 + Y 2

1 )

=X32

((2Y1 + Y 2

1 )− 2X74 (1 + Y1) +X

72 − (6Y1 + · · ·+ Y 6

1 ) +X6(1 + 2Y1 + Y 21 ))

=X32 f1(X,Y1)

Y para este polinomio f1 tenemos el termino 2Y1, que nos dice que (0, 1) esta en su polıgono de

Newton, luego existe un unico Y1 ∈ K[[X14 ]] con Y1(0) cumpliendo las condiciones. En este caso

hemos encontrado queY = X

14 + · · · ∈ K[[X

14 ]]

es una raız de f . Lo que buscabamos era una parametrizacion. Esta se obtendra, naturalmente comoX = T 4

Y = T + · · · = g(T )

David Gomez


donde g ∈ K[[T ]]. Todas las parametrizaciones equivalentes seran Y = q(ωT ) con ω raız cuartade la unidad. Aquı es donde garantizamos que no hemos perdido nada al hacer ω = 1 en el pasoanterior (salen las otras raıces que no hemos querido calcular). Este caso (con sus cuatro raıces)nos da un solo lugar de la curva (con sus cuatro parametrizaciones equivalentes).

El segundo caso Y = X2(1 + Y1). Ahora si hacemos la sustitucion

0 =f(X,X2(1 + Y1)) = X(X2(1 + Y1))2 − 2X3X2(1 + Y1) +X5 − (X2(1 + Y1))6 +X7(X2(1 + Y1))2

=X5(Y 21 −X7(1 + 6Y1 + · · ·+ Y 6

1 ) +X6(1 + 2Y1 + Y 21 ))

=X5f1(X,Y1)

donde Y1 es raız de f1. Ahora (0, j) mas bajo es para j = 2. El (i, 0) mas bajo es (6, 0), y el polıgonode Newton tiene un solo lado. Podrıamos repetir el juego anterior a este caso. En este caso nos hasalido una raız doble Y = X2, y esto afecta a la altura del segmento en el polıgono de Newton (quenos acaba de quedar 2). Para las raıces de f1 tenemos

Y = ±X3

tenemosY1 = X3(1 + Y2)

yY1 = X3(−1 + Y2)

con lo que Y2 va a ser solucion de un polıgono de Newton de altura 1, luego habra solucion.

En cualquier caso es que si considero (0, 0) ∈ V (f) tenemos tres clases equivalentes de parametrizacionesX = T 4

Y = T + · · ·

El otroY = X2(1 + Y1) = X2(1 +X3(±1 + Y2)) = X2 ±X3 + · · · ∈ K[[X]]

es decir X = T

Y = T 2 + T 3 + · · ·

X = T

Y = T 2 − T 3 + · · ·

Hay dos trozos, una de altura 4, una de altura que corresponde a una raız cuadruple. El otro segmen-to de altura 2 corresponde a dos parametrizaciones de multiplicidad 1 (X = T ), que corresponden a lasmultiplicadades de las raıces. Lo que tenemos es que la curva pasa tres veces por el punto (0, 0) y las tresformas en las que pasa es con tangentes (0, 1) y (1, 0) y (1, 0). Osea, tangente X = 0 una vez y tangenteY = 0 dos veces.

Volviendo sobre la ecuacion podemos mirar la parte de grado mas pequeno, es XY 2, que significamultiplicidad 3. Puede pasar una vez con multiplicidad 3, dos veces, una con multiplicidad 2 y otra conmultiplicidad 1 o bien que pase tres veces con multiplicidad 1. De nuevo, tangente X = 0 una vez ytangente Y = 0 dos veces.

Del teorema anterior se deduce que el cuerpo de fracciones de KX es algebraicamente cerrado.

4.67 Corolario. El cuerpo de fracciones de KX es algebraicamente cerrado

Dem. Seap0(X) + p1(X)Y + · · ·+ pd(X)Y d

polinomio con coeficientes en el cuerpo de fracciones de KX. Quitando denominadores puedo suponerque pi ∈ KX y p0(0) = 0. Si hace falta multiplicando por X. Vamos a hacer un cambio de variable

Y =Y ′

Xa

David Gomez

4.5. RAMAS DE UNA CURVA 50

para que quede algo como lo del teorema para polıgonos de Newton. Para que todo esto sigan siendoseries de Puiseux a no puede ser eXcesivamente grande.

a = mın

O(p1(X))

1, · · · O(pd(X))

d

luego

f ′(X,Y ′) = f

(X,

Y ′

Xa

)= p0(X) +

p1(X)

XaY ′ + · · ·+ pd(X)

Xad(Y ′)d

y, por tanto, alguna de las series pi(X)Xai tendra termino independiente y por tanto el polıgono de Newton

tiene un punto de la forma (0, i). En estas condiciones el polinomio f ′ tiene una raız Y ′ = q(X) que unaserie de Puiseux. Entonces

Y =q(X)

Xa

es una raız de f .

4.68 Observacion. En KX∗ se puede definir O(q) como el mınimo r tal que el coeficiente de Xr en qes no nulo. Se cumple

O(q1 · q2) = O(q1) +O(q2)

y O(q) = 0 si y solo si q es una unidad (recordemos que, las series de Puiseux con termino independientetienen inversa).

4.5 Ramas de una curva

Lo que hemos conseguido hasta aquı es formalizar la idea intuitiva de cada una de las ”ramas”en las que una curva pasa por un punto. Recordamos la definicion 4.53. Dicho de otra forma, hemosparametrizado curvas homeomorfas a rectas contenidas en la curva original. Esto nos permite dar lasiguiente definicion

4.69 Definicion. Dadas curvas V (f) y V (g) que pasen por un punto (a, b) donde V (g) tiene una rama Rdada por una parametrizacion (p(T ), q(T )) se llama multiplicidad de interseccion en (a, b) de V (f) y R a

mult(a,b)(V (f), R) = O(f(p(T ), q(T )))

donde esta definicion no depende del representante (pues las clases de equivalencia es con series de orden1).

Esta idea generaliza la idea de multiplicidad de interseccion entre una curva y una recta, pues ahoraestamos tomando las ramas de una en una.

4.70 Definicion. Si R es una rama en un punto (a, b) se llama multiplicidad de la rama a

min(O(p− a), O(q − b))

donde (p, q) es un representamente de la curva

4.71 Proposicion. Sea R una rama de multiplicidad r en (a, b) con representante

(a+ arTr + · · · , b+ brT

r + · · · )

(donde ar o br 6= 0). Entonces para toda recta L que pase por (a, b) tenemos

multa,b(L,R) ≥ r

(notese que la definicion de interseccion que habıamos hecho entre una recta y una curva, luego no entraen conflicto con la que ya habıamos hecho. Esta debe tomarse en el nuevo sentido). La igualdad se da siy solo si

L 6= V (br(X − a)− ar(Y − b))

David Gomez


Dem. Sabemos que L pasa por (a, b) si y solo si

L = V (λ(X − a) + µ(Y − b))

ahora sustituimos la parametrizacion que tenemos para R

λ(p− a) + µ(q − b) = λ(arTr + · · · ) + µ(brT

r + · · · ) = (λar + µbr)T r + · · ·

luegoO(f(p, q)) ≥ r

y, tendremos igualdad si y solo siλar + µbr 6= 0

que es decir que ∣∣∣∣λ µbr −ar

∣∣∣∣ 6= 0

es decirL 6= V (br(X − a)− ar(Y − b))

4.72 Observacion. Es decir, que la multiplicidad de rama en un punto es mas o menos la misma que lamultiplicidad de curva en un punto.

4.73 Definicion. Se llama recta tangente a una rama R en un punto (a, b) a la unica recta T(a,b)R tal que

multa,b(T(a,b)R,R) > multa,bR

4.74 Observacion. Con las notaciones del teorema, simplemente

T(a,b)R = V (br(X − a)− ar(Y − b))

que es lo que nos dirıa la definicion mas natural de variedades diferenciales.

Si queremos ver que relacion tiene esto con el cono tangente

4.75 Teorema. Dada una curva C y un punto p ∈ C entonces la ecuacion del cono tangente a C en p es,precısamente, el producto de las ecuaciones de las rectas tangentes a cada rama de C en p, elevada a lamultiplicidad de la rama. En particular, la multiplicidad de C en p es la suma de las multiplicidades delas ramas.

Dem. Supondremos C ⊂ A2K y f ∈ K[X,Y ] y, despues de un cambio de variable f es monico en Y . Podemos

pensar f ∈ KX[Y ] y sabemos que el cuerpo de fracciones KX es algebraicamente cerrado. Comof es monico en Y todas las raıces estan en KX (por la regla de Ruffini y aplicando que siempre hayuna de las raıces en KX). Entonces

f = (Y − q1(X)) · · · (Y − qd(X))

La parte homogenea de grado mas pequena de f sera el producto de las partes homogeneas mas pequenas.Si qi(0) 6= 0 la parte homogenea de grado mas pequeno de Y − qi(X) = −qi(0). Solo nos interesan lasraıces en que quede un 0.

Para obtener el resultado vamos a juntar Y − qi(X) de forma inteligente. Fijemos nuestra atencionen una rama de este tipo, tal que una de sus parametrizaciones sea

X = T r

Y = q(T r)

Vamos a suponer que tenemosq = aX

cr + · · ·

David Gomez


donde r es el comun denominador de q. Es decir q ∈ KX 1r . Esto se corresponde con una parametrizacion

X = T r

Y = aT c + · · · = m(T )

y cualquier otra parametrizacion equivalente seraX = T r

Y = m(ωT ) = aωcT c + · · ·

que se corresponde con una raız deaωcX

cr + · · · = q(ωX)

Luego, agrupando para cada rama los polinomios ası obtenidos para todas sus parametrizaciones equiv-alentes obtendremos

pR(X) :=∏ωr=1

(Y − q(ωX))

que es, en principio, un elemento en K[[X1r ]][Y ]. De hecho ocurre que

pR(X)?= (Y − aX)r + · · ·

donde el termino de menor orden es la ecuacion de la recta tangente a la rama. Entonces en la ecuacionde f cuando agrupemos las parametrizaciones de una misma rama obtendremos, si nombramos por qj aun conjunto de polinomios de ramas dos a dos no equivalentes

f =∏j

pRj

como en cada unos de estos tenıamos termino homogeneo de menor orden (Y − ajX)rj donde aj nos dala ecuacion de la recta tangente y rj la multiplicidad de la rama j-esima tendremos precısamente

f =∏

Rj rama

(Y − ajX)rj + · · ·

precısamente lo que querıamos probar

David Gomez

53

Capıtulo 5

Teorema de Bezout

5.1 Proposicion. Si a ∈ C y R es una rama en a (no necesariamente de C) entonces

multa(C,R) ≥ multa(C)mult(R)

con igualdad si y solo si la tangente a R no es tangente a C en el punto a

Dem. Sea f la ecuacion minimal de C, supondremos que a = (0, 0). Si llamamos r := mult(R) entonces

R :

X = arT

r + · · ·Y = brT

r + · · ·

con ar o br 6= 0.y este es el vector director de la recta tangente a la rama en el punto. Si ahora llamamoss := multa(C) esto se traduce en

f = fs + h.o.t

y, para calcular la multiplicidad de interseccion lo unico que tenemos que hacer es calcular el orden

O(f(arTr + · · · , brT r + · · · ))

y para esto tenemos que encontrar el termino de grado mas pequeno

fs(arTr, brT

r) = T rsfs(ar, br)

por ser fs homogeneo de grado s luego

O(f(arTr + · · · , brT r + · · · )) ≥ rs

Tendremos igualdad si y solo si fs(ar, br) 6= 0. Pero fs es la ecuacion del cono tangente a C en a (la partehomogenea de grado mas pequeno)

fs = (λ1X + µ1Y ) · · · (λrX + µrY )

y las tangentes son λiX + µiY . Si fs(ar, br) = 0 se tendra que anular alguno de los factores

λiar + µibr

luego (ar, br) ‖ (µi,−λi) (el vector director de una tangente a C) luego la igualdad se da si y solo latangente a R no es tangente a C en a.

Como parece que la informacion de una curva en un punto viene dada completamente por la infor-macion en las ramas ya podemos definir

5.2 Definicion. Dadas dos curvas C y D y a un punto comun se llama multiplicidad de interseccion de Cy D en a a

multa(C,D) :=∑

R rama de D

multa(C,R)

David Gomez

54

5.3 Observacion. De momento parece que C y D juegan papeles asimetricos. No sera ası.

5.4 Proposicion. Si a ∈ C ∩D entonces

multa(C,D) ≥ multa(C)multa(D)

y la igualdad se da si y solo C y D no tienen rectas tangentes comunes.

Dem. Simplemente, aplicando la definicion y la proposicion anterior

multa(C,D) =∑

R rama de D

multa(C,R) ≥∑

R rama de D

multa(C)multa(R)

=multa(C)∑

R rama de D

multa(R) = multa(C)multa(D)

y la igualdad se da si y solo cada vez que aplicamos la proposicion tenemos igualdad. Es decir la igualdadse da si y solo si la tangente a cada rama de D no es tangente a C. Como toda tangente a D es unatangente a una de sus ramas deducimos que la igualdad se da si y solo C y D no tienen tangentes comunes.

Antes de probar el resultado mas importante, y para que lo siguiente no quede en medio de lademostracion vamos a dar un lema

5.5 Proposicion. Seaf = (X −X1) · · · (X −Xd)

yg = (X − Y1) · · · (X − Ye)

EntoncesRX(f, g) =

∏i,j

(Yj −Xi) = f(Y1) · · · f(Ye)

Dem. Ambos polinomios estan en (K[X1, · · · , Xd, Y1, · · · , Ye])[X]. Podemos reescribir

f = Ad(X1, · · · , Xd) +Ad−1(X1, · · · , Xd)X + · · ·+A0(X1, · · · , Xd)Xd

yg = Be(Y1, · · · , Yd) +Be−1(Y1, · · · , Yd)X + · · ·+B0(Y1, · · · , Ye)Xe

Entonces podemos escribir

RX(f, g) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Ad Ad−1 · · ·e)

. . .

Ad · · ·Be Be−1 · · · 1

d)

. . .. . .

Be · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Donde los polinomios Ai, Bj son polinomios simetricos elementales (A0 = B0 = 1). Como las variablesXi, Yj son independientes (por definicion) la resultantes no se anularan. Sin embargo, si sustuimos porelementos de algun cuerpo, entonces es posible que este polinomio se anule. Llamemos

R′ :=∏i,j

(Yj −Xi)

que es un polinomio de grado de en las variables X1, · · · , Xd. Ademas, R y R′ tienen el mismo coeficientedirecto. Pero lo que afirmamos es que R = R′. Si sustuimos Yj por Xi entonces

RX(f, g)∣∣Yj=Xi

= 0

David Gomez

55

si vemos el polinomio R′ en las variables Yj entonces Yj = Xi es una raız. Pero entonces

Yj −Xi | RX(f, g)

pero esto ocurre para todo i, j. Pero entonces R′ | R y tienen el mismo grado. Se diferencian en unaconstante. Comparando el coeficiente directo la constante es 1 y R = R′.

Esto tambien nos vale si Xi, Yj son elementos de un cuerpo. Esto nos caracteriza la resultante comoel producto de las diferencias de las raıces. Si ahora desarrollamos

R′ =

e∏j=1

(Yj −X1) · · · (Yj −Xd) =

e∏j=1

f(Yj) = f(Y1) · · · f(Ye)

5.6 Corolario. Sean f, g ∈ K[X] y g es monico. Si f = λf0 con f0 monico

g = (X − α1) · · · (X − αe)

entoncesR(f, g) = λeR(f, g0) = λef0(α1) · · · f0(αe) = f(α1) · · · f(αe)

Para calcular la resultante parece que lo necesitamos es calcular las raıces. Esto es lo que estamos

haciendo cuando consideramos polinomios de Puiseux. Vamos a ver un resultado practico, que sera unpoco mas general de lo que nos hace falta para el teorema de Bezout.

5.7 Lema. Sean F,G ∈ K[X0, X1, X2] polinomios homogeneos y minimales, G monico en la variable X2

(que, salvo constante, es equivalente a que (0 : 0 : 1) 6∈ V (G)). Entonces la multiplicidad de una raız(a : b) de RX2

(F,G) es, precısamente, la suma de las multiplicidades de interseccion de V (F ) y V (G) enlos puntos de la recta V (bX0 − aX1). En otras palabras

multRX2(F,G)(a, b) =

∑p∈V (bX0−aX1)

multp(V (f), V (g))

Dem. No podemos hacer cambios de variables que involucren a X2, pues podrıamos cambiar la resultante. Sinembargo los cambios que solo involucren a X0, X1 estan permitidos. Podemos suponer que la raız es(1 : 0). Por tanto lo que estamos buscando son puntos de interseccion en la recta X1 = 0. Deshomo-geneizamos en X0, y proseguimos.

Resulta que estamos suponiendo que g es monico en la variable Y (pues G lo era en X2). Cuandotenemos un polinomio g ∈ K[X,Y ] ⊂ KX[Y ] entonces tenıa tantas raıces dadas por series de Puiseuxcomo su multiplicidad. Es decir

g = (Y − q1(X)) · · · (Y − qr(X))

ahora simplemente la resultante como polinomios en Y son

RY (f, g) = f(X, q1(X)) · · · f(X, qr(X))

(donde hemos evaluado Yj = qj(X) en la proposicion 5.5). Cada una de estas raıces nos da una

parametrizacion. Si Y = q(X) ∈ K[[X1r ]] es una raız de g entonces

q(X) = cR,0 + cR,1X1r + cR,2X

2r + · · ·

esto nos da una parametrizacion de la forma

R :

X = T r

Y = cR,0 + cR,1T + cR,2T2 + · · ·

David Gomez

56

es decir una rama de V (g) en el punto (0, cR,0) y sabemos que la multiplicidad

multA(V (f), R) = O(f(T r, g(T r))) = · · ·

Si pensamos enh(X) := f(X, g(X)) = aX

cr + · · ·

tendremos O(h(X)) = cr , mientras que si consideramos

h(T r) = aT c + · · ·

que es decir O(h(T r)) = c = rO(h(X)). De esto

· · · = r ·O(f(X, g(X))) = · · ·

y cada vez que tenemos una raız r-esima de la unidad tenemos una representacion equivalente

R :

X = T r

Y = cR,0 + cR,1(ωT ) + cR,2(Tω)2 + · · ·

luego cuando nos sale la raız Y = q(X) tambien nos salen las raıces Y = q(ωT ), es decir que los terminosf(X, qi(X)) se pueden juntar de acuerdo a las ramas a las que pertenen. Acumulemos los terminosY − q(ωX) de asociados a una misma rama R, por ejemplo definiendo

pR(X) :=∏ωr=1

f(X, q(ωX))

Como O(f(X, q(X)) = O(f(X, q(ωX)) tendremos que

· · · =∑ωr=1

O(f(X, q(ωX))) = O

( ∏ωr=1

f(X, q(ωX))

)de aquı, finalmente

mult(0,cR,0)(V (f), R) = · · · = O

( ∏ωr=1

f(X, qω(X))

)entonces, lo que decimos

mult(0,cR,0)(V (f), R) = O(pR(X))

Ademas, como las parametrizaciones de ramas no se repiten, podemos escribir

RY (f, g) = f(X, q1(X)) · · · f(X, qe(X)) =∏

R ramade V (g)

pR(X)

de donde

O(RY (f, g)) =O

∏R ramade V (g)

pR(X)

=∑

R ramade V (g)

O(pR(X)) =∑

R ramade V (g)

mult(0,cR,0)(V (f), R)

=∑

(0,b)∈V (f)∩V (g)

∑R ramade V (g)en (0,b)

mult(0,b)(V (f), R) =∑

(0,b)∈V (f)∩V (g)

mult(0,b)(V (f), V (g))

Si p ∈ K[X] tenemos

p(X) = arXr + ar+1X

r+1 + · · · = Xr(ar + ar+1X + · · · )

luego, inmediatamente deducimos O(p) = r = multp(0). Ası, simplemente

multRY (f,g)(0) = O(RY (f, g)) =∑

(0,b)∈V (f)∩V (g)

mult(0,b)(V (f), V (g))

David Gomez

57

Es inmediato ver quemultRX2

(F,G)(1, 0) = multRY (f,g)(0)

Esto prueba el resultado.

5.8 Corolario. Para cada a ∈ C ∩D se cumple

multa(C,D) = multa(D,C)

Dem. Sean F,G ecuaciones minimales de C y D. Tomamos coordenadas X0, X1, X2 tales que (0 : 0 : 1) 6∈V (F )∪V (G) y la recta V (b′X0−a′X1) que pasa por a y (0 : 0 : 1) no contiene mas puntos de interseccionque a. Por el lema, la multiplicidad de la raız (a′ : b′) en RX2(F,G) es multa(F,G). Pero, por el mismomotivo, la

mult(a′,b′)RX2(G,F ) = multa(D,C)

como, salvo signo,RX2

(F,G) = ±RX2(G,F )

(donde ± a la hora de calcular multiplicidades es irrelavente) tenemos que

multa(C,D) = multa(D,C)

5.9 Teorema (de Bezout). Dadas dos curvas C y D en P2K sin componentes comunes, entonces∑

a∈C∩Dmulta(C,D) = deg(C)deg(D)

Dem. La demostracion es repetir lo que ya hemos hecho. Tomamos coordenadas y polinomios minimales comoes habitual, de forma que (0 : 0 : 1) 6∈ C ∪D ni en ninguna recta que pase por dos puntos de interseccion.Entonces sabemos que RX2

(F,G) es homogenea de grado deg(C) deg(D) (lema 1.26) y, por tanto, tienetodas estas raıces (contadas con multiplicidad). Con las hipotesis escribimos

deg(C)deg(D) =∑

RX2(F,G)(a,b)=0

multRX2(a, b)

=∑

RX2(F,G)(a,b)=0

∑p∈V (bX0−aX1)

multp(V (F ), V (G))

=∑

p∈V (F )∩V (G)

multp(V (F ), V (G))

pues, como sabemos, todo punto p = (x0 : x1 : x2) ∈ V (F )∩V (G) esta en alguna recta de ecuacion (a, b),donde este es raız de RX2

(F,G) (esto puede comprobarse en la demostracion del teorema 1.28)

David Gomez

58

Capıtulo 6

Formulas de Plucker

6.1 Primera formula

Consideremos una curva C ⊂ P2K . Llamemos, como es habitual, F a su ecuacion minimal. Si queremos

calcular los puntos de inflexion tenemos

Flex(C) ∪ sing(C) = C ∩ V (HF )

C tiene grado d y V (HF ) tiene grado 3(d−2) y el teorema de Bezout lo que nos dice es que el numero depuntos de interseccion (si las curvas no tienen componentes comunes) interseccion tiene 3d(d− 2) puntoscontados con multiplicidad. La primera formula de Plucker nos dira el numero de puntos de inflexion.Para ver con que multiplicidad cuentan los puntos de inflexion tenemos el siguiente lema

6.1 Lema. Si a ∈ C es liso (entonces la hay una unica recta tangente, con multiplicidad mayor que 1) ymulta(C, TaC) = r entonces

multa(C, V (HF )) = r − 2

Dem. Vamos a escoger buenas coordenadas para hacer las cuentas. Cambiando coordenadas a = (1 : 0 : 0) yTaC = V (X2). Si tomamos f ∈ K[X,Y ] el deshomogeneizado de F respecto de X0 entonces

f = Y + h.o.t.

pues no hay termino independiente y el termino de menor grado determina la recta tangente. Si hacemosY = 0 tiene que salir el punto 0 con multiplicidad r. De esta forma

f(X, 0) = Xrg(X)

luegof = Y + cXr + · · ·

donde c 6= 0, y el resto de terminos son XiY j donde i ≥ r. Volviendo sobre d

F = Xd−10 X2 + cXd−r

0 Xr1 + · · ·

al derivar

F0 =(d− 1)Xd−20 X2 + c(d− r)Xd−r−1

0 Xr1 + · · ·

F1 =crXd−r0 Xr

1 + · · ·F2 =Xd−1

0 + · · ·F00 =(d− 1)(d− 2)Xd−3

0 X2 + c(d− r)(d− r − 1)Xd−r−20 Xr

1 + · · ·F01 =cr(d− r)Xd−r−1

0 Xr−11 + · · ·

F02 =(d− 1)Xd−20 + · · ·

F11 =cr(r − 1)Xd−r0 Xr−2

1

David Gomez

6.1. PRIMERA FORMULA 59

Debemos ahora elegir una parametrizacion formal de una de las curvas, naturalmente F , y sustituiren la ecuacion de la otra. Tomamos una parametrizacion afın, mediante el diagrama en el polıgono deNewton-Puiseux, en el que tenemos los puntos (0, 1) y (0, r), y en este segmento no hay mas puntos. Estocorresponde a Y + cXr y a la hora de parametrizar

Y = −cXr + · · ·

esto nos dice que una parametrizacion es X = t

Y = −ct2 + · · ·

y sustituimos

HF (1, t,−ct2+· · · ) =

∣∣∣∣∣∣−c(d− 1)(d− 2)tr + c(d− r)(d− r − 1)tr + · · · cr(d− r)tr−1 + · · · (d− 1) + · · ·

cr(d− r)tr−1 + · · · cr(r − 1)tr−2 + · · · ∗(d− 1) + · · · ∗ ∗

∣∣∣∣∣∣ = · · ·

cuando queremos ver el monomio de grado mas pequeno tenemos va a estar en la F 202F11, pues los demas

tienen tr−1 es decir· · · = −cr(r − 1)(d− 1)2tr−2 + · · ·

luegomulta(C, V (HF )) = r − 2

Queremos que cada punto cuente solo una vez, ası que definimos

6.2 Definicion. Llamaremos punto de inflexion ordinario a un punto a ∈ C tal que multa(C, TaC) = 3(comprobando en la formula si es menor que 3 no cuenta en la interseccion con V (HF ) y por tanto nopuede ser de inflexion y si es mayor cuenta varias veces).

6.3 Observacion. Si ahora tenemos un punto a con multaC = 2 entonces o bien tenemos dos ramas demultiplicidad 1 o bien una rama de multiplicidad 2. Si hay dos ramas de multiplicidad 1 entonces la curvapasa dos veces por el punto, de forma lisa, y tiene dos rectas tangente. Desde luego no querremos queestos puntos cuenten como puntos de interseccion.

6.4 Definicion. Se llama nodo ordinario a un punto que tiene dos ramas de multiplicidad 1 con tangentesdistintas y la multiplicidad de interseccion de cada rama con su recta tangente es 2.

6.5 Lema. Si a es un nodo ordinario entonces

multA(C, V (HF )) = 6

Dem. De nuevo hacemos un cambio de coordenadas a = (1 : 0 : 0) y las rectas tangentes V (X1) y V (X2). Sitomamos f el deshomogeneizado respecto de X0 tendremos

f = XY + h.o.t

la condicion de que ninguna de las ramas sea de inflexion, cuando cortamos con cada una de las tangentesse tiene que la interseccion de tangentes con las ramas a las que no son tangentes es 1, y cada tangentecorta a su rama con multiplicidad 2. De esta forma

f(X, 0) = c1X3 + · · ·

f(0, Y ) = c2Y3 + · · ·

es decir quef = XY + c1X

3 + c2Y3 + · · ·

David Gomez

6.1. PRIMERA FORMULA 60

luego

F =Xd−20 X1X2 + c1X

d−30 X3

1 + c2Xd−30 X3

2 + · · ·F0 =(d− 2)Xd−3

0 X1X2 + (d− 3)c1Xd−40 X3

1 + (d− 3)c2Xd−40 X3

2 + · · ·F1 =Xd−2

0 X2 + 3c1Xd−30 X2

1 + · · ·F2 =Xd−2

0 X1 + 3c2Xd−30 X2

2 + · · ·F00 =(d− 2)(d− 3)Xd−4

0 X1X2 + (d− 3)(d− 4)c1Xd−50 X3

1 + (d− 3)(d− 4)c2Xd−50 X3

2 · · ·F01 =(d− 2)Xd−3

0 X2 + 3(d− 3)c1Xd−40 X2

1 + · · ·F02 =(d− 2)Xd−3

0 X1 + 3(d− 3)c1Xd−40 X2

2 + · · ·F11 =6c1X

d−20 X1 + · · ·

F12 =Xd−20 + · · ·

F22 =6c2Xd−30 X2 + · · ·

A la hora de parametrizar en el origen tendremos los puntos del polıgono de Newton

(0, 3), (1, 1), (3, 0)

y cada uno de los lados nos da cada una de las ramas. El trozo de altura 2 nos dara problemas, pues eltruco nos servıa para despejar Y en funcion de X, y la tangente es vertical. Para (1, 1) (3, 0) obtenemosuna parametrizacion

R1

X = t

Y = −c1t2 + · · ·

por simetrıa es muy facil ver que la otra rama es

R2 :

X = −c2t2 + · · ·Y = t

en la ecuacion de la curva hessiana tendremos

HF (1, t,−c1t2 + · · · ) = det

∣∣∣∣∣∣∗t3 + · · · ∗t2 + · · · (d− 2)t+ · · ·∗t2 + · · · 6c1t+ · · · 1 + · · ·

(d− 2)t+ · · · 1 + · · · ∗t2 + · · ·

∣∣∣∣∣∣ = ∗t3 + · · ·

donde el coeficiente que sale no es 0. De aquı

multa(R1, V (HF )) = 3

y por simetrıa multa(R2, V (HF )) = 3 con lo que sumando obtenemos el resultado.

Tener una sola rama con multiplicidad 2 quiere decir que casi toda recta corta con multiplicidad 2(toda recta salvo la tangente que lo hace con multiplicidad mayor)

6.6 Definicion. Llamaremos cuspide ordinaria a un punto a de una curva, doble con una unica rama y talque la multa(C, TaC) = 3.

6.7 Lema. Si a es una cuspide ordinaria entonces

multa(C, V (HF )) = 8

Dem. Podemos hacer de nuevo las mismas cuentas, podemos suponer que a = (1 : 0 : 0) y la tangente V (X2)entonces la ecuacion de

f = Y 2 + · · ·

y al hacer Y = 0 tiene salir multiplicidad 3, luego

f = Y 2 − c2X3

David Gomez

6.2. SEGUNDA FORMULA 61

donde el cuadrado de c es para que todo salga mejor. De esta forma

F = Xd−20 − c2Xd−3

0 X31 + · · ·

y puede uno hacer las derivadas. Lo importante aquı es la parametrizacion, los puntos del polıgono deNewton tiene lados (0, 2), (3, 0) que es

Y = cX32 + · · ·

luego la parametrizacion X = t2

Y = ct3 + · · ·

a partir de lo cual se obtieneHF (1, t2, ct3 + · · · ) = ∗t8 + · · ·

Una vez sabemos cual es la multiplicidad de estos tipos de puntos tenemos que

6.8 Corolario (Primera formula de Plucker). Si C es una curva cuyos puntos de inflexion son todos ordi-narios y cuyas unicas singularidades son δ nodos ordinarios y κ cuspides ordinarias entonces C tiene

3d(d− 2)− 6δ − 8κ

puntos de inflexion.

6.2 Segunda formula

6.9 Definicion. Dada C ⊂ P2K se llama curva dual de a C∗ ⊂ (P2

K)∗ dada por las rectas tangentes a C.

6.10 Observacion. La curva dual realmente es una curva. La idea es que si L = V (u0X0+u1X1+u2X2) ∈ C∗se tiene que (u0 : u1 : u2) ∈ C∗ si y solo si (salvo en puntos singulares) en C ∩L aparece algun punto conmultiplicidad de interseccion mayor o igual que 2. Si u2 6= 0 entonces

L :

x0 = t0

x1 = t1

x2 = −u0

u2t0 − u1

u2t1

lo anterior es equivalente a que

F (t0, t1,−u0u2t0 −

u1u2t1)

tenga alguna raız multiple. Si escribimos

F (t0, t1,−u0u2t0 −

u1u2t1) =

G(t0, t1, t2)

td0

tambien G tendra alguna raız multiple. Equivalentemente G0 y G1 tienen una raız comun, lo que es a suvez equivalente a que

Res(G0, G1) = 0

esta ultima es una ecuacion homogenea en u0, u1, u2.

Ahora el objetivo es calcular el grado de esta curva. Llamemoslo d∗. Para esto necesitamos calcular#C∗ ∩ L∗ donde L∗ es una recta en (P2

K)∗. L∗ es el haz de rectas que pasan por un punto a ∈ P2K .

Finalmente, lo que hemos de calcular es el conjunto de rectas tangentes a C que pasan por a.

En el contexto de las conicas las rectas tangentes a una conica cortaban a esta en los puntos de unarecta llamada recta polar. Intentaremos extender este razonamiento.

David Gomez


Sea b ∈ C y supongamoslo liso. Supongamos, ademas que a ∈ TbC. Esta recta es

V (F0(b)X0 + F1(b)X1 + F2(b)X2)

luego lo que estamos pidiendo es que

aF0(b) + a1F1(b) + F2(b) = 0

es decir queb ∈ V (a0F0 + a1F1 + a2F2)

por tanto parece logico definir

6.11 Definicion. Llamaremos curva polar de a respecto de C A la curva

P (a,C) := V (a0F0 + a1F1 + a2F2)

que tiene una ecuacion de grado d− 1.

De esta forma los puntos lisos b seran, precısamente b ∈ C ∩ P (a,C). Pero, en los puntos singulares(si b ∈ sing(C)) entonces es inmediato que F0(b) = F1(b) = F2(b) y por tanto b ∈ P (a,C).

6.12 Observacion. Como ocurre con puntos de inflexion, tenemos

C ∩ P (a,C) = b ∈ C | TbC 3 a ∪ sing(C) (6.1)

Debemos emplear un argumento similar al que tenıamos para la primera formula de Plucker parasaber cual es el grado de C∗.

6.13 Lema. Sea b ∈ C, liso y multb(C, TbC) = r. Dado un punto a ∈ TbC (y por tanto b ∈ P (a,C) ∩ C)entonces

multb(C,P (a,C)) =

r − 1, a 6= b

r, a = b

Dem. Cambiando coordenadas podemos suponer que b = (1 : 0 : 0) y TbC = V (X2). Esto lo que nos dice esque el deshomogeneizado respecto de X0 f de F sera

f = Y + cXr + · · ·

luegoF = Xd−1

0 X2 + cXd−r0 Xr

1 + · · ·

por otra parte debemos tomar un punto a ∈ TbC, luego a = (a0 : a1 : 0). La curva polar

P (a,C) = V

(a0((d− 1)Xd−2

0 X2 + c(d− r)Xd−r−10 Xr

1 + · · · ) + a1(crXd−r0 Xr−1

1 + · · · ))

Si para C consideramos la parametrizacionx0 = 1

x1 = t

x2 = −ctr + · · ·

con lo que al sustituir

a0((d− 1)(−ctr + · · · ) + c(d− r)tr + · · · ) + a1(crtr−1 + · · · )

luego si b 6= a (es decir si y solo si a1 6= 0) tenemos termino en tr−1, mientras que si b = a tenemostermino en tr. Precısamente lo que querıamos probar.

David Gomez


6.14 Lema. Si b ∈ C es un nodo ordinario entonces

multb(C,P (a,C)) ≥ 2

y, ademas, la igualdad se da si y solo a esta en alguna de las tangentes a C en b.

Dem. Tomamos coordenadas tales que b = (1 : 0 : 0) y las rectas tangentes a C en b son V (X1), V (X2). Esto setraduce (como en la seccion anterior) en

F = Xd−20 X1X2 + · · ·

entonces

P (a,C) = V

(a0((d− 2)Xd−3

0 X1X2 + · · · ) + a1(Xd−20 X2 + · · · ) + a2(Xd−2X1 + · · · )

)Si a1, a2 6= 0 (que es equivalente a a /∈ V (X1), V (X2)) al deshomogeneizar la parte homogenea de gradomas pequeno es a0Y + a1X luego

TbP (a,C) = V (a1X2 + a2X1) 6= V (X1), V (X2)

de lo que deducimos que

multb(C,P (a,C)) = multb(C)multbP (a,C) = 2 · 1

Si a ∈ V (X1)∪V (X2) tenemos que TbP (a,C) es precısamente una de ellas, y b ∈ sing(P (a,C)) y portanto

multb(C,P (a,C)) > multb(C)multbP (a,C) ≥ 2

6.15 Lema. Si b ∈ C es una cuspide ordinaria entonces

multb(C,P (a,C)) ≥ 3

con igualdad si y solo si a no esta en la recta tangente a C en b.

Dem. Cambiamos coordenadas del modo habitual. Entonces la ecuacion F se puede escribir

F = Xd−20 Xr

2 − c2Xd−30 X3

1 + · · ·

que corresponde a una parametrizacion x0 = 1

x1 = t2

x2 = ct3 + · · ·

la polar

P (a,C) = V

(a0(d−2)Xd−3

0 X22−c2(d−3)Xd−4

0 X31 + · · · )+a1(−3c2Xd−3

0 X21 + · · · )+a2(2Xd−2

0 X2+ · · · ))

al sustituir

a0(d− 2)(ct3 + · · · )2 − c2(d− 3)t3 + · · · ) + a1(−3c2t2 + · · · ) + a2(2(ct3 + · · · ) + · · · )

Si a /∈ TbC = V (X2) entonces multb(C,P (a,C)) = 3 y si a ∈ TbC entonces multb(C,P (a,C)) > 3.

6.16 Lema. Si C ⊂ P2K entonces el grado de C es el mayor numero de puntos de interseccion de C con una

recta.deg(C) = max

Lrecta#(C ∩ L)

David Gomez


Dem. Sabemos, por el teorema debil de Bezout que

#(C ∩ L) ≤ deg(C)

y el teorema de Bezout nos dice que se da la igualdad contando los puntos con multiplicidad. Lo que nosqueda por probar es que existe una curva L para la que se da la igualdad. Equivalentemente, todos lospuntos de corte deberan de contar con multiplicidad 1. Vamos a hacerlo.

Sea a /∈ C. Buscamos L que pase por a tal que L no pase por ningun punto singular (pues inmediata-mente en ese punto la multiplicidad no es 1) y no es tangente a C en ningun punto (pues la multiplicidadde interseccion de un punto de una curva y su tangente es mayor que 1). Con la ecuacion (6.1) sabemosque los puntos malos son, precısamente C∩P (a,C) = b1, · · · , bs. Si tomamos L 6= ab1, · · · , abs tenemosque corta en todos los puntos con multiplicidad 1, y por tanto por el teorema de Bezout

#(C ∩ L) = deg(C)

6.17 Teorema. Si C es una curva irreducible de grado d ≥ 2 cuyas unicas singularidades son δ nodosordinarios y κ cuspides ordinarias entonces

d∗ = deg(C∗) = d(d− 1)− 2δ − 2κ

Dem. Debemos calcular C∗ ∩ L∗, donde L∗ = Ω(a) el haz de rectas por a. Para saber cuantos puntos deinterseccion salen debemos calcular C ∩ P (a,C). Entonces, teniendo en cuenta los lemas

#(C ∩ P (a,C)− sing(C)) ≤ d(d− 1)− 2δ − 3κ

(segun donde haya tomamdo en punto a). Si queremos que precısamente coincidan deberemos tomar ade forma astuta. Tomo a ∈ P2

K que no este en una recta de inflexion, en una recta tangente a un puntosingular.

Para que el numero de rectas este en biyeccion con el numero de puntos en C ∩ P (a,C) debe ocurrirque cada tangente a C por a tenga un solo punto de tangencia. Para esto debemos exigimos tambien quea no este en una recta bitangente. En ese caso ocurre que se da la igualdad.

6.18 Teorema. (C∗)∗ = C

Dem. Si consideramos un punto de C∗, Ω(L) (es decir el dual de una recta L), donde L sera la recta tangentea C en un punto, en un punto que llamaremos b. Sabemos que Ω(L) ∈ Ω(a) si y solo si a ∈ L. Vamos asuponer que L no es de inflexion. Si a 6= b

multb(C,P (a,C)) = multb(C, TbC)− 1 = 1

y si a = bmultb(C,P (a,C)) = multb(C, TbC) = 2

pero entonces estamos diciendo que Ω(b) es la recta tangente a Ω(L). Si (C∗)∗ coincide con C al menos entodos los puntos lisos que no son de inflexion se puede probar que la igualdad se da en todos los puntos.

6.19 Observacion. Si trabajamos en un punto de inflexion ordinario, digamos Ω(L′), entonces el mismo ra-zonamiento tambien nos dice todos los puntos cortan con multiplicidad 2 salvo una (Ω(b′)), que corta conmultiplicidad 3, y por tanto la recta tangente es Ω(b′). Es decir, que un punto de inflexion ordinario enC se convierte en una cuspide ordinaria en C∗. Como la dual de la dual es la inicial un cuspide ordinariavolvera a convertir se un punto de inflexion para C∗.

6.20 Observacion. Con un razonamiento analogo, si consideramos una recta bitangente tendremos una unicarecta L que es tangente en dos puntos, b1 y b2. Al dualizar tenemos un unico punto Ω(L) que tiene dostangente Ω(b1),Ω(b2), es decir un nodo ordinario en C∗. Visto en sentido contrario un nodo ordinario enC nos da una recta bitangente en C∗.

David Gomez


6.21 Corolario (Formulas de Plucker). Dada una curva irreducible C de grado d cuyas unicas singularidadesson δ nodos ordinarios y κ cuspides ordinarias cuyos puntos de inflexion son exactamente i puntosordinarios y sus rectas bitangentes son b ordinarias. Tenemos

i =3d(d− 2)− 8δ − 9κ

d∗ =d(d− 1)− 2δ − 3κ

κ =3d∗(d∗ − 2)− 8b− 9i

d =d∗(d∗ − 1)− 2b− 3i

Dem. Basta aplicar las formulas de Plucker que tenemos a C y C∗.

6.22 Ejemplo. Si C es lisa de grado d (δ = 0, κ = 0) tenemos

i =3d(d− 2)− 8δ − 9κ = 3d(d− 2)

d∗ =d(d− 1)− 2δ − 3κ = d(d− 1)

d =d∗(d∗ − 1)− 2b− 3i = d(d− 1)(d2 − d− 1)2b− 9d(d− 2)

de donde2b = d4 − 2d3 − 9d2 + 18d = d(d− 2)(d− 3)(d+ 3)

en la que podemos observar, por ejemplo, que en conicas y cubicas no podemos tener rectas bitangentes.

David Gomez

66

Capıtulo 7

Curvas de genero bajo

7.1 Teorema. Sea C ⊂ P2K una curva irreducible de grado d. Entonces

#sing(C) ≤ (d− 1)(d− 2)

2

y si se da la igualdad entonces C se puede parametrizar.

Dem. En Pd−2 el conjunto de curvas de grado d− 2 y tenemos

dimPd−2 =

(d

2

)− 1 =

d2 − d− 2

2

supongamos que C tiene exactamente

(d− 1)(d− 2)

2+ 1 =

d2 − 3d+ 4

2

puntos singulares tenemos que

d2 − d− 2

2− d2 − 3d+ 4

2= d− 3 ≥ 0

(pues en el caso d = 1, 2 el teorema es trivial). Si tomamos los puntos pi puntos singulares, tomamosq1, · · · , qd−3 otros puntos distintos de C. Sea D una curva de grado d−2 que pase por los dimPd−2 puntospi y q1, · · · , qd−3. Pero entonces y C ∩D tienen en comun a todos los pi y qj . Ademas

multpi(C,D) ≥ multpi

(C)multpi(D) ≥ 2 · 1

y contando multiplicidades

(d2 − 3d+ 4) + (d− 3) = d2 − 2d+ 1 = d(d− 2) + 1 > degCdegD

que es una contradiccion con el teorema de Bezout salvo que C y D compartan una componente. PeroC es irreducible, y entonces deberıa de ser C una componente de D. Por cuestion de grados esto es unacontradiccion.

Supongamos ahora quesing(C) = p1, · · · , p d2−3d+2

2

Fijo q1, · · · , qd−3 otros puntos distintos de C, y ahora

d2 − 3d+ 2

2+ (d− 3) = dimPd−2 − 1

con lo que, si consideramos el sistema lineal Λ ⊂ Pd−2 de curvas que pasan por pi y qj , tenemos que

dim Λ ≥ 1

David Gomez

67

Para comprobar que es un haz empleamos el lema 2.17. Tomo q, q′ distintos de los anteriores y sea D ∈ Λtal que D 3 q, q′. Contando con multiplicidades obtenemos (con el argumento del parrafo anterior) lleg-amos a contradiccion con el teorema de Bezout. De esta forma no hay D ∈ Λ que pase por q, q′ probandoque Λ es un haz.

Vamos a emplear Λ para parametrizar la curva. Si D ∈ Λ ' P 1K tomamos

D 7→ (C ∩D) \ pi, qj

y dado que, al contar#(C ∩D) ≥ d2 − 3d+ 2 + (d− 3) = d(d− 2)− 1

en la interseccion nos queda exactamente un punto.

7.2 Ejemplo. Sea C = V (X20X

21 +X2

0X22 − 2X1X2

2 ) que viene dada por un polinomio irreducible con

sing(C) = (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1)

que podemos completar con el punto q = (1 : 1 : 1) para formar una referencia proyectiva. Por tanto C,segun la demostracion, lo vamos a poder parametrizar empleando el haz Λ de conicas que pasan por loscuatro puntos. Tomamos un par de conicas degeneradas (dadas cada una por dos rectas por dos de lospuntos) para obtener el haz de conica

D(t0:t1) = V (t0X2(X0 −X1) + t1X1(X0 −X2))

Para calcular interseccion no parece buena estrategia parametrizar. Para D no la vamos a parametrizarporque es un jaleo (fundamentalmente porque depende del parametro) y una parametrizacion de C es elobjetivo del ejercicio. La otra estrategia es emplear resultantes

RX2(F,G) = X20X

21 (X0 −X1)(t0X0 + t21X0 − t20X1 − 2t0t1X1 + t21X1)

y observamos las correspondencias X2

0 ≡ (0 : 1 : 0)

X21 ≡ (1 : 0 : 0)

X0 −X1 ≡ (1 : 1 : 1)

Hay que observar que la resultante no esta del todo bien tomada. Ası que vamos a perder informacion.Pero solo nos iba a dar puntos de interseccion que ya conocıa, por lo que no es grave. Ahora el punto quenos queda en la parte que no conocıamos es

(X0 : X1) = (t20 + 2t0t1 − t21 : t20 + t21)

yRX1

(F,G) = X20X

22 (X0 −X2)(t20X0 + t21X0 + t20X2 − 2t0t1X2 − t− 12X2)

y ahora nos queda el punto nuevo

(X0 : X2) = (−t20 + 2t0t1 + t21 : t20 + t21)

tenemos el problema de que X0 no nos ha quedado proporcional en las dos expresiones, de hecho nisiquiera tienen factores comunes. Podemos, sin embargo multiplicar

(X0 : X1 : X2) =

((t0+2t0t1+t21)(−t0+2t0t1+t21) : (t20+t21)(−t0+2t0t1+t21) : (t0+2t0t1+t21)(t20+t21)

)Esto era lo que nos podıamos esperar, pues la curva tenıa grado 4. Las relaciones entre X0 y X1 esmediante expresiones de grado 2, pero cuando tenemos que poner los tres juntos queda algo de grado 4.

David Gomez

7.1. ESTRUCTURA DE GRUPO DE UNA CUBICA LISA 68

7.1 Estructura de grupo de una cubica lisa

Sea C ⊂ P2K una cubica lisa irreducible. Definimos

∗ : C × C → C

donde a ∗ b es el unico punto tal que existe una recta L de modo que

C ∩ L = a, b, a ∗ b

donde si un punto esta repetido cuenta con multiplicidad. Por ejemplo si a es un punto de inflexion a ∗ ala unica recta posible es la recta tangente y por tanto a∗a = a. Basicamente lo que queremos decir es quea ∗ b = c si y solo si a, b y c estan alineados, luego b ∗ a = c (la operacion es conmutativa) o bien a ∗ c = by b ∗ c = a. Con una operacion ası, si queremos dar estructura de grupo, debemos buscar un elementoneutro. Dado que parece poco probable encontrarlo habra que cambiar un poco la operacion. Buscaremosun punto o que haga la funcion de neutro. Como en principio no hay ningun punto con preferencia fijamosun punto o.

7.3 Definicion. Definiremosa+ b = (a ∗ b) ∗ o

y, de esta forma, cuando b = o tenemos a+ o = a

7.4 Teorema. Con la suma ası definida C tiene estructura de grupo abeliano en la que o (que hemos fijado)es el elemento neutro.

Dem. Como la operacion ∗ es conmutativa la suma es conmutativa. Como ya hemos observado o es el elementoneutro a+ o = (a ∗ o) ∗ o pues a, a ∗ o y o son tres puntos de la recta 〈a, o〉. Para la propiedad asociativa

(a+ b) + c = (a+ b) ∗ c ∗ o = ((a ∗ b ∗ o) ∗ c) ∗ o = (a ∗ (b ∗ o ∗ c)) ∗ o = (a ∗ (b ∗ c ∗ o)) ∗ o = a+ (b+ c)

Realmente lo que queremos probar es ((a+ b) ∗ c) ∗ o = (a ∗ (b+ c)) ∗ o nos basta probar que (a+ b) ∗ c =a ∗ (b+ c). Esto se ejemplifica en la siguiente figura

Figura 7.1: Representacion de la prueba

Nos falta encontrar el elemento inverso. Debemos tomar o′ = o ∗ o y definir a′ = a ∗ o′ y por comohemos construido las cosas

a+ a′ = (a ∗ a′) ∗ o = o′ ∗ o = o

Como pasar por o′ parece rebuscado, y tenemos libre la eleccion de o entonces podemos intentar que

o′ = o. Esto podemos conseguirlo de forma sencilla pidiendo que o sea de inflexion. En adelante, comoestamos en un grupo abeliano, notaremos a veces o por 0.

David Gomez

7.1. ESTRUCTURA DE GRUPO DE UNA CUBICA LISA 69

7.5 Teorema. Si + se construye eligiendo o un punto de inflexion entonces

a+ b+ c = 0

si y solo si a, b y c estan alineados.

Dem. Desde luego a+ b+ c = 0 si y solo si (a ∗ b) ∗ 0 = a+ b = −c = c ∗ 0. Pero la operacion ∗ es cancelativa,luego

a ∗ b = c

pero esto es decir que estan alineados.

7.6 Teorema. Si C es una cubica lisa y a, b ∈ C son puntos de inflexion entonces a ∗ b es tambien puntode inflexion.

Dem. Tomo o punto de inflexion. y + la suma en que o es el neutro. Que a sea de inflexion es equivalente esque a ∗ a = a (es decir que la recta tangente en a corta con multiplicidad 3). Esto es equivalente a que

a+ a+ a = 0

tenemos queb+ b+ b = 0

y, por estar alineadosa+ b+ (a ∗ b) = 0

pero sumando tres veces

0 = (a+b+(a∗b))+(a+b+(a∗b))+(a+b+(a∗b)) = (a+a+a)+(b+b+b)+(a∗b+a∗b+a∗b) = (a∗b+a∗b+a∗b)

luego a ∗ b es de inflexion.

7.7 Observacion. Sabemos que C tiene 9 puntos de inflexion. El teorema dice que dados dos cualesquierade ellos el tercero es tambien de inflexion. Esto implica que, aunque la curva sea real, los 9 puntos nopueden ser reales. De hecho, como mucho, hay 3. La mejor forma de convencerse de estos es intentarpintarlo.

David Gomez

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