COLEGIO PRE UNIVERSITARIO II-Geom-6TO Grado 5RA

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A

B C

D

ADBC

CDAB

A

B C

D

DB

CA

Definición: Es aquel polígono de cuatro lados. Cuando los 4 ángulos internos del cuadrilátero son menores que 180º el cuadrilátero es convexo, y cuando posee un ángulo interno mayor que 180º el cuadrilátero es no convexo (o cóncavo).

Elementos: : Convexo.Lados: Vértices: Ángulos interiores:Ángulos exteriores:Diagonales:

Propiedades1. La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 360º.

2. La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360º.

En la figura, : cóncavo

Diagonales:

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS

Los cuadriláteros convexos se clasifican según el paralelismo de sus lados opuestos, en:

PARALELOGRAMO

Es aquel cuadrilátero convexo que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos.

PROPIEDADES1. Los lados opuestos son congruentes.

2. Los ángulos opuestos son congruentes.

3. Las diagonales se cortan en su punto medio.

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A

B

C

D

A

B

D

C

BDyAC

A

B C

D

AD//BC

CD//AB

A

B C

D

ODBO

OCAO

diagonales:BDyAC

B C

D

a a

b

b

A

B C

D

O

m

m

m

m

CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS

A. ROMBOIDE

Es aquel paralelogramo que tiene los lados consecutivos de diferente longitud y sus ángulos interiores tienen medidas distintas de 90º. No es equilátero ni equiángulo.

En la figura, ABCD: Romboide

B. ROMBO

Es aquel paralelogramo que tiene sus lados congruentes y sus ángulos interiores tienen medidas distintas de 90º. Es equilátero y no equiángulo.

Fig. (2)

En las figuras (1) y (2):

ABCD: Rombo

C. RECTÁNGULO

Es aquel paralelogramo que tiene sus lados consecutivos de diferente longitud y las medidas se sus ángulos son iguales a 90º. Es equiángulo pero no equilátero.

Fig. (1)

Fig. (2)

En las figuras (1) y (2):

ABCD: Rectángulo

D. CUADRADO

Es aquel paralelogramo que tiene sus lados congruentes y las medidas de sus ángulos igual a 90º. Es equilátero y equiángulo, es decir que el cuadrado es un polígono regular.

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A

B C

D

m

m

n

n

b

a

180º-

a

b180º-

O

A

B

C

D

mm

n

n

A

D

A

B

C

l l

l l

BDAC

Fig. (1)

a

a

aa

A

B C

D

Fig. (1)

Fig. (2)

En las figuras (1) y (2):

ABCD: Rectángulo

TRAPECIO

Es aquel cuadrilátero convexo que sólo tienen un par de lados opuestos paralelos. A los lados paralelos se les llama bases.

En la figura, si: entonces es un trapecio.

Bases: Laterales: Altura:

CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOSLos trapecios se clasifican de acuerdo a la longitud de sus lados laterales en:

A. TRAPECIO ISÓSCELES

Es aquel trapecio cuyos lados laterales son congruentes (o de igual longitud).

En la figura. si:

En la figura. si:

En las figuras (1) y (2):

Trapecio Isósceles

B. TRAPECIO ESCALENO

Es aquel trapecio cuyos lados laterales tienen diferente longitud.

En la figura. si:

Trapecio Escaleno

C. TRAPECIO RECTÁNGULO

Es aquel trapecio en el que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.

En la figura. si:

o

Trapecio Rectángulo

- 4 -

A D

m

O

45ºB C

mm m

45º

45º45º 45º

45º

45º45º

HA

B

D

C

A

B C

D

CB

DA

BDAC

A

B C

D

d d

Fig. (1)

Fig. (2)

A

B C

D

A

B C

D

MN//BC2ba

x

El trapecio rectángulo, también es un trapecio escaleno.

PROPIEDADES EN TRAPECIOSTeorema 1.

En todo trapecio la base media es paralela a sus bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de sus bases.

En la figura, es la base media del trapecio . Se cumple:

Teorema 2.En todo trapecio el segmento que une

los puntos medios de sus diagonales es paralelo a sus bases y su longitud es igual a la semidiferencia de las longitudes de dichas bases.

En la figura, , y son los puntos medios de y respectivamente.Se cumple:

TRAPEZOIDE

Es aquel cuadrilátero convexo que no presenta lados opuestos paralelos.Un trapezoide puede ser simétrico (trapezoide donde una de la diagonales es parte de la mediatriz de la otra diagonal) o asimétrico (trapezoide que no cumple la condición del trapezoide simétrico).

En la figura, : trapezoide simétrico.Entonces: (eje de simetría) es parte de la mediatriz de

TALLER # 1

1. Completa la siguiente tabla con Sí o No, según corresponda.

Los 4 lados ¿Son congruentes?

Los lados opuestos ¿Son congruentes?

Los lados consecutivos ¿Son perpendiculares?

Los lados opuestos ¿Son paralelos?

¿Hay sólo dos lados opuestos paralelos?

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A

B C

M N

Da

x

b

m

m

l

l

PQ//BC2

bax

C

Q

Da

x

b

A

B

P

A

B

D

C

m

m

a

a

b

b

Te toca a ti amiguito

2. Si al rotar el cuadrado, se convierte en un rombo. Explique si es cierto o no es cierto

03. Marque (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda.a) El rombo es un tipo de cuadrilátero. ( )b) El cuadrado es un paralelogramo. ( )c) El trapecio es un paralelogramo. ( )d) La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 180°. ( )04. Observa cada cuadrilátero y completa.

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………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

E

F G

HA

B C

D

M

N

P

Q ………………………......

- Lados Paralelos:

…………………………..

- Diagonales:

…………………………..

- Sus diagonales son:

…………………………..

………………………......

- Lados Paralelos:

…………………………..

- Lados no paralelos

…………………………..

- Sus diagonales son:

…………………………..

………………………......

- Lados Paralelos:

…………………………..

- Diagonales:

…………………………..

- Sus diagonales son:

…………………………..

05. Ahora encuentra 10 palabras relacionadas a este tema en el siguiente pupiletras:

C U A D R I L A T E R O N TU U P C C R E D I O B M O RA R A N D E N O I R A M R AR M R D T C T B R E C E D PT D A R R T I U O C E C E EA L L R A A O O M P D L D CM I E D O N D N B A D A N IE S L R N G L O A R O M B ON O O O R U T R A P E N D OG M G A C L O O C A R I R AU O R H A O I T I C I R R IA S A N T O I T O M A S I TN A M A M I T I N E R C L AT O O B E D I O Z E P A R T

PROBLEMAS

01. En un paralelogramo ABCD, y . Hallar “x”

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6

02. En un trapecio isósceles ABCD, , y . Hallar

“x”

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 1

03. Dos lados de un rombo miden y . Hallar “x”

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

04. En un cuadrilátero ABCD, , , y .

Hallar el valor de “x”.

A) 40° B) 30° C) 20°D) 50° E) 60°

05. Uno de los lados de un rectángulo mide y su lado opuesto mide 8. Hallar “x”

A) 4 B) 6 C) 5D) 3 E) 8

06. Los lados consecutivos de un cuadrado miden y . Hallar “x”.

A) 4 B) 2 C) 3D) 1 E) 6

07. Calcular “x” en:

- 7 -x

x2x3

60

A

B C

D

x

A

B

D

CF

A

B C

DM

A) 50° B) 10° C) 20°D) 30° E) 40°

08. La figura está formada por los siguientes cuadriláteros, ABCD es un rombo, ADEF es un paralelogramo, FEJG es un trapecio isósceles y JIHG es un cuadrado, si . Hallar GH.

A) 2 B) 6 C) 3D) 4 E) 5

09. En un cuadrilátero convexo la suma de las medidas de tres ángulos interiores es 280°. Hallar la medida del cuarto ángulo interior.

A) 50° B) 60° C) 70°D) 80° E) 90°

10. En un trapecio isósceles ABCD, , y

Hallar el valor de “x”

A) 20° B) 40° C) 30°D) 25° E) 10°

11. Las longitudes de las bases de un trapecio miden cm. y cm. Si la mediana mide 27 cm. ¿Cuánto mide el segmento que une los puntos medios de las diagonales?

A) 15 cm. B) 6 cm. C) 8 cm.D) 30 cm. E) 40 cm.

TAREA DOMICILIARIA

01. En el rectángulo de la figura, es bisectriz del ángulo . Halle el

valor de “ ”.

A) 100ºB) 105ºC) 120ºD) 135ºE) 140º

02. En un paralelogramo , y . Halle “ ”.

A) 1 B) 2 C) 2,5D) 1,5 E) 0,5

04. En un cuadrilátero , , , y

. Halle el valor de “ ”.

A) 10º B) 37º C) 40ºD) 45º E) 60º

05. En el paralelogramo de la figura, es bisectriz del ángulo ,

, . Halle .

A) 2B) 4C) 5D) 6E) 7

06. El perímetro de un rombo es igual a 120. Halle la longitud de su lado.

A) 20 B) 30 C) 40D) 50 E) 60

07. Halle la medida de uno de los ángulos interiores de un rombo, si una de sus diagonales es congruente con su lado.

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A

B

C

D E

F G

JI

H

x

º56A

B C

D

N

M

A B C

A) 45º B) 30º C) 53ºD) 60º E) 90º

08. En el paralelogramo de la figura, encuentra el valor de “ ”.A) 100ºB) 105ºC) 120ºD) 135ºE) 140º

09. En la figura “A” es un cuadrado, “B” es un triangulo equilátero y “C” es un rombo. Halle:

A) 2B) 4C) 3D) 6E) 3

10. Las longitudes de las bases de un trapecio miden 3x cm. y 6x cm. Si la mediana mide 72 cm. ¿Cuánto mide el segmento que une los puntos medios de las diagonales?

A) 24 cm. B) 48 cm. C) 8 cm.D) 36 cm. E) 40 cm.

11. Calcular “x” en:

A) 50° B) 21° C) 20°D) 30° E) 40°

12. Una de las diagonales de un rectángulo mide 23 cm. ¿Cuánto mide la otra diagonal?

A) 46° B) 48° C) 11.5°D) 23° E) 40°

“Una palabra cualquiera puede ocasionar una discordia.Una palabra cruel puede destruir una vida.Una palabra amarga puede crear odio.Una palabra brutal puede golpear y humillarUna palabra a tiempo puede iluminar el día.Una palabra con amor y cariño puede curar, consolar y bendecir tu vida.”

PROF. HENRY E. JURADO VELIZ

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x

x3x6

30

A

B C

D