HORMIGON I-Tema 7 Análisis y Diseño a Torsión.

7/27/2019 HORMIGON I-Tema 7 Anlisis y Diseo a Torsin.

1/57

1

Instituto de Mecnica Estructuraly Riesgo Ssmico

HORMIGN IUnidad 7:

ANLISIS Y DISEO A TORSIN

Profesor: CARLOS RICARDOLLOPIZ.


2/57

2

CONTENIDO.

7.1. INTRODUCCIN.

7.2. TORSIN POR EQULIBRIO Y POR COMPATIBILIDAD.

7.3 HORMIGN SIMPLE SOMETIDO A TORSIN.7.3.1 COMPORTAMIENTO ELSTICO.7.3.2 COMPORTAMIENTO PLSTICO.

7.4 TORSIN EN ELEMENTOS DE HORMIGN ARMADO.

7.5 TORSIN Y CORTE.

7.6 ARMADURAS MNIMAS.7.6.1 ARMADURA TRANSVERSAL.7.6.2 ARMADURA LONGITUDINAL.

7.7 DETERMINACIN DEL MOMENTO TORSOR MAYORADO TU.CRITERIO DEDIFERENTES NORMAS.

7.7.1 TORSIN POR EQUILIBRIO. ACI-318-057.7.2 TORSIN POR COMPATIBILIDAD. ACI-318-057.7.3 TORSIN POR EQUILIBRIO. NZS-31017.7.4 TORSIN POR COMPATIBILIDAD. NZS-31017.7.5 PREVISIONES ADICIONALES DEL CIRSOC 201-2005.

7.8 TORSIN CRTICA.7.9 RIGIDEZ A TORSIN.

7.10 EJEMPLOS DE APLICACIN.

7.11 REFERENCIAS.

7.12. Apndice: ejemplo de Torsin por Compatibilidad.

Filename Emisinoriginal

Revisin1

Revisin2

Revisin3

Observaciones

T7-Torsin.doc Marzo2004

Enero2006

Octubre2007

Diciembre2008

Pginas 44 51 51 57


3/57

3

7.1. INTRODUCCIN.

La torsin en estructuras de hormign armado aparece generalmente debido a lacontinuidad entre sus elementos componentes. La situacin ms comn en lasestructuras es la presencia de momentos flectores, fuerzas de corte y axiales. Sin

embargo, hay casos en que se pueden presentar fuerzas de torsin que intentantorcer el elemento con respecto a su eje longitudinal. La existencia de torsin puraes extremadamente rara ya que generalmente est combinada con momentosflectores, esfuerzos de corte y esfuerzos axiales.

Por muchos aos los efectos de torsin fueron ignorados en el diseo. Como sever ms adelante, en algunos casos es justificado, pero no en otros. Se tomaba ala torsin como una accin secundaria y en general no era tenida en cuenta en eldiseo; su influencia era absorbida por el factor de seguridad global de lasestructuras diseadas a otros esfuerzos muy conservadoramente. Sin embargo,aos posteriores surgi la necesidad de considerar la torsin porque por un lado los

mtodos ms sofisticados de anlisis permitan estructuras ms livianas, menosconservadoras y por lo tanto con menor coeficiente de seguridad global; por otrolado se increment el uso de elementos estructurales en los cuales la torsin jugabaun rol principal en la respuesta ante las acciones, como es el caso de vigas depuentes curvos, vigas cargadas excntricamente, estructuras prefabricadas sincontinuidad para redistribucin de esfuerzos, balcones, losas helicoidales, etc.

A partir de los aos 60 se comenz a dar impulso en la investigacin delcomportamiento de elementos a torsin y la primera recopilacin se materializ enun simposio organizado por el American Concrete Institute, ACI, en el ao 1968. Lasprimeras previsiones de cdigo para torsin aparecieron en el ACI en la versin1971. Los procedimientos para abordar el problema de la torsin permanecieronprcticamente invariables hasta la versin del ao 1989. En esta generacin decdigos, la torsin cubra slo a las estructuras de hormign armado no pretensado.El procedimiento para diseo y anlisis a torsin era similar al aplicado a corte. Laresistencia a torsin consista en una contribucin por parte del hormign, designadacomo Tc, y otra debido a los estribos y armadura longitudinal, designada como Ts,que estaba basada en la analoga del reticulado con diagonales a 45 grados. Verpor ejemplo, ref. [1], ACI-318-83.

Las previsiones para torsin fueron completamente revisadas en la versin del

ACI-1995. El nuevo procedimiento, tanto para secciones macizas como huecas, estbasado en la analoga del reticulado espacial aplicado a tubos de pared delgada, yaque como se ver luego, la porcin central de una viga slida puede serconservadoramente ignorada en el proceso de diseo. Las suposiciones sonapoyadas por resultados de ensayos. El mtodo se aplica tanto a hormign armadocomo a hormign pretensado.

7.2. TORSIN POR EQULIBRIO Y POR COMPATIBILIDAD.

Los esfuerzos de torsin pueden aparecer como el resultado de acciones

primarias o secundarias. El caso de torsin primaria aparece cuando la cargaexterna no tiene otra alternativa que ser resistida por esfuerzos de torsin. En tales


4/57

4

casos la torsin, que es requerida inevitablemente para mantener el equilibrio,puede ser determinada en forma unvoca mediante el slo uso de las condicionesde equilibrio esttico. Esta situacin se conoce como de torsin por equilibrio. Latorsin en este caso se transforma en un problema de resistencia puesto que laestructura o sus componentes colapsarn si no se suministra la adecuada

resistencia a torsin. La Fig.7.1(a) muestra un caso tpico donde la viga empotradaest sometida, adems de flexin y corte, a torsin que le es transferida por elmomento de flexin de la viga perpendicular sometida a la carga de punta P. Elmomento flector M= P.ade la viga cargada se transforma directamente en momentotorsor T= P.aen la viga empotrada. La viga cargada adems est sometida a corteV= P, y la viga empotrada a momento flector M= P.l, y a cortante V= P. Si elempotramiento no fuera capaz de restringir esa torsin, y/o la viga no resiste atorsin, el colapso es inevitable.

Fig. 7.1(a)Ejemplo de torsin por equilibrio:voladizo cargado excntricamente

La Fig.7.1(b) muestra otro caso muy tpico de torsin por equilibrio donde laflexin de la losa en voladizo se transforma en torsin de su viga soporte la cual ensus apoyos debe contar con restriccin a torsin y por otro lado resistir tanto torsincomo flexin. El momento de torsin en los extremos de la viga induce momentosflectores del mismo valor en las columnas. Note que en dicha figura para que elefecto sea estrictamente de torsin primaria, la losa debe estar en voladizo, es decirsu nico apoyo debe ser la viga de borde indicada, por lo que el momento mEde lalosa, por unidad de longitud, en su apoyo no puede ser nulo. No hay posibilidadesde redistribuir o ignorar los momentos de torsin inducidos en la viga de borde.

El momento torsor mximo en los extremos de la viga, o cara de la columna, esigual al momento T=(mE/m) xL/2, (MTen la figura) siendo L la luz libre de la viga. Elmomento torsor a lo largo de la viga vara, con valor mximo en los apoyos y nulo enel centro. Esto se puede visualizar si se toma a la viga de borde como un cuerpolibre y se sigue el camino inverso de las cargas: supngase que, por ejemplo, laflexin de la columna de la izquierda, de valor MB, es ahora la que produce torsinde la misma intensidad T, y con sentido de giro anti-horario en la cara que se ve dela viga. A su vez, seccin a seccin, hacia el interior de la viga, la flexin de la losava induciendo momentos torsores por cada metro, (mE/m) que se van oponiendo altorsor del apoyo, T, ya que son en sentido horario, y lo hacen disminuir hastaanularlo en el centro de la viga. Como la flexin sigue en la viga de borde hacia el

apoyo ms alejado, ahora se comienza a acumular torsin en sentido contrario laque aumenta hasta un mximo MB en el apoyo coincidente con la columna. sta


5/57

5

reaccionar con un torsor de igual valor y sentido contrario, nuevamente anti-horario.Se deja al alumno la deduccin de cmo seran los esfuerzos de torsin en la vigade borde si la losa hipotticamente estuviera desconectada en todo el borde de laviga excepto en el centro de la misma, donde transmite toda la flexin y el corte.

Fig.7.1(b) Ejemplo de torsin primaria: viga de borde que soporta un entrepiso.

La Fig.7.2, de ref. [2], muestra en (a) y (b) dos casos tambin muy frecuentes deencontrar en la prctica, siendo el tercero en (c) anlogo al presentado en laFig.7.1(b). Todos corresponden a torsin primaria.

Fig.7.2Tres nuevos ejemplos detorsin primaria o porequilibrio.

En estructuras estticamente indeterminadas, se genera torsin como accinsecundaria para satisfacer los requerimientos de compatibilidad o continuidadestructural. El no considerar tal continuidad en el diseo puede conducir a unacantidad y ancho de fisuras excesivas, pero no tendra otras serias consecuenciascomo el colapso. La Fig.7.3 muestra claramente cmo se pasa de torsin por


6/57

6

equilibrio en el caso (a) a torsin por compatibilidad del caso (b), al tener la losa ensu borde A la posibilidad de redistribuir los momentos negativos de apoyo hacia elcentro por existir un apoyo adicional en la lnea B, es decir que se tiene ms de unaalternativa para el equilibrio. El caso tpico de la Fig.7.3(b) muestra la losa monolticade hormign armado y si la viga es rgida a torsin y est reforzada adecuadamente,

y si las columnas pueden suministrar el momento resistente a flexin inducido portorsin de la viga, los momentos en la losa en su borde de apoyo sernaproximadamente los que corresponden a apoyo exterior rgido, con cierto valor quese esquematiza en la Fig.7.3(c). Sin embargo, si la viga tiene una rigidez baja atorsin y no est armada en forma apropiada para este efecto, se producefisuracin, se reduce an ms su rigidez al giro de la seccin transversal y losmomentos de borde de la losa disminuyen notablemente, aproximndose a los deun borde articulado, como lo muestra la Fig.7.3(d). Diseando la losa para lasituacin de momentos redistribuidos evitar el colapso de la estructura.

Fig. 7.3Efectos de torsin en hormignarmado.(a) torsin primaria en viga pordescarga de losa en voladizo.(b) torsin secundaria o decompatibilidad en viga de borde deentrepiso.(c) momentos en las losas si la viga

de borde es rgida a torsin(d) momentos en las losas si la vigade borde es flexible a torsin.

En la torsin inducida por equilibrio, la magnitud del momento torsor esgeneralmente independiente de la rigidez a torsin, pero en la torsin inducida porcompatibilidad el momento torsor resultante depende directamente de la rigidez. LaFig.7.4 muestra en forma simultnea casos de torsin por equilibrio y compatibilidad,cuando una porcin de un puente est sometido a acciones ssmicas. En el caso(a), por respuesta longitudinal, la columna fuera de la placa del puente que estunida monolticamente a la viga transversal se espera que desarrolle rtulasplsticas de flexin en su cabeza y pi. El momento flector en la cabeza de lacolumna llevado al eje longitudinal de la viga debe ser equilibrado por el momento

torsor de la viga de igual magnitud. En este caso, un diseo por capacidad requiereque el momento torsor resistente de la viga debe mayor que la torsin que


7/57

7

corresponde al desarrollo de la capacidad plstica de la columna a flexin en esaseccin. A menos que esa lnea estructural del puente sea estabilizada por otraslneas transversales adyacentes que resistan el sismo longitudinal, la resistencia atorsin de la viga es indispensable para mantener el equilibrio. Esto es torsin porequilibrio. Si se incluyen lneas resistentes alternativas para el sismo longitudinal, no

sera necesaria la torsin de equilibrio, pero a la vez, la falta de resistencia a torsinllevara a una reduccin de los momentos de flexin en los extremos de lascolumnas, lo cual hara que en definitiva no se produjeran los momentos plsticosen extremos de columnas.

Fig. 7.4Torsin porequilibrio y porcompatibilidad enpuentes bajo

accin ssmica.

El mismo ejemplo induce torsin de compatibilidad en las columnas. Debido a ladeformacin de flexin que la viga soporta por el corte necesario para inducir flexinen las columnas, la columna sufre giro alrededor de su eje longitudinal, es decir setuerce, aparece torsin. La magnitud de ese momento torsor depender de la rigideza torsin de la columna. Si esta es nula, el momento torsor ser cero. De hecho, con

rtulas plsticas en extremos de columna, la rigidez a torsin ser muy baja y losrequerimientos para una respuesta adecuada sern la habilidad de las articulacionesplsticas de las columnas desarrollando una respuesta dctil mientras sobrellevanrotaciones torsionales mnimas.

La Fig.7.5 muestra un caso real de construccin similar al esquema deFig.7.4(a), y corresponde a un tramo del puente China Basin, viaducto I-280, quesufri daos durante el terremoto de Loma Prieta, 17 de Octubre de1989, California,por lo que en la figura aparece apuntalado hasta su reparacin.

El caso de Fig. 7.4(b) muestra otro ejemplo de torsin por compatibilidad ante

acciones horizontales inducidas en la porcin de puente limitada por juntas demovimiento. La superestructura cuenta con una columna corta y otra larga. Sesupone que est sometida a sismo transversal al eje longitudinal del puente. Comoconsecuencia de la diferente altura de las columnas, el centro de rigidez se desplazadesde el centro de masa (casi en el centro del tablero) hacia la columna ms corta.Ante movimientos horizontales por sismo, se induce un modo de torsin indicadocon lnea a trazos y giro de planta alrededor del eje vertical. Esta rotacin implicatorsin en las columnas, con magnitud proporcional a la rigidez a torsin de lascolumnas. Sin embargo, an con rigidez cero a torsin de dichas columnas, elsistema es an estable. En este caso es posible la redistribucin de esfuerzos.


8/57

8

Fig. 7.5Puente con viga y columnaexteriores, con falla de corte y denudo durante el terremoto deLoma Prieta, Octubre de 1989.

El diseo para torsin por equilibrio y por compatibilidad es diferente. En elprimero la resistencia a torsin debe ser asegurada. En el segundo es suficiente consuministrar una capacidad rotacional adecuada. El torsor por equilibrio debe serresistido por acciones elsticas (no se refiere ac al fenmeno de fisuracin sino alde fluencia plstica). La torsin no es un modo apropiado de respuesta inelstica.En los casos de torsin por compatibilidad, la resolucin numrica generalmente noes necesaria. Es suficiente con asegurar, como se demostrar luego, una buenadistribucin de armaduras longitudinales y de estribos para aliviar la rotacin de laseccin de hormign. La ref. [3] indica que los ensayos sobre columnas conrotulacin plstica bajo la combinacin de desplazamientos que generan flexin yrotaciones de torsin han demostrado que la capacidad plstica de columnas

circulares tpicas no se ve adversamente afectadas si las rotaciones torsionales nosuperan el valor del 5 %.

Es importante considerar lo que la ref.[3] seala con relacin al comportamientoinherente del hormign armado a torsin. Para flexin, como se vio en captulosanteriores, la relacin esfuerzo-deformacin para la seccin transversal est dadapor:

EIM = (7.1)

donde es la curvatura (rotacin por unidad de longitud) y (EI) el mdulo de rigideza flexin, y que en forma aproximada para la viga de la Fig.7.4(a) se podra tomarcomo mdulo de rigidez efectiva:

E.Ie= 1.0 Ec.Igpara el caso de hormign precomprimido, yE.Ie= 0.5 Ec.Igpara el caso de hormign armado,

siendo Ecel mdulo de elasticidad longitudinal del hormign, e Igel momento deinercia de toda la seccin transversal de hormign.

A su vez, para torsin, si bien an no hemos hecho referencia a los parmetros

que controlan la respuesta, a partir del fenmeno descrito hasta ahora se puedeadivinar que en el mdulo de rigidez de la seccin a torsin deben intervenir el


9/57

9

mdulo de elasticidad transversal del hormign, G, y el momento de inercia polar dela seccin, J. Si t es la rotacin de la seccin transversal, entonces la relacinsimilar a flexin ser:

tGJT = (7.2)

La citada referencia indica que, sin necesidad de mayor sofisticacin, la rigideztorsional de la viga, se puede aproximar como:

G.Je= 1.0 Gc.Jgpara el caso de hormign precomprimido o no fisuradoG.Je= 0.05 Gc.Jgpara el caso de hormign armado fisurado.

Se ve entonces que la rigidez a torsin se reduce drsticamente una vez que elhormign se fisura. Es por ello que la ref.[2] indica que un anlisis apropiado paraestructuras estticamente indeterminadas evitar la introduccin de torsoresimportantes, resultando la utilizacin de armaduras mnimas de torsin. En cualquier

caso, grandes torsores pueden ser soportados slo a expensas de grandes giros, locual raramente puede ser suministrado para cargas de servicio. Por ello parecieraque para la mayora de las situaciones la suposicin de cero rigidez a torsin esrazonable. Esto simplifica grandemente el anlisis. Sin embargo, en elementossometidos a torsin, es importante suministrar al menos la armadura mnima detorsin, con separaciones pequeas, para asegurar que dichos miembros soncapaces de sobrellevar giros de una manera dctil sin exhibir excesiva fisuracin alos niveles de cargas se servicio.

La Fig. 7.6 muestra una idealizacin de la respuesta en torsin. Como se verms adelante, la suposicin implcita en las ecuaciones de diseo de la formacin

de una serie de fisuras en espiral alrededor de la seccin requiere de una longituddel elemento igual a varias veces el ancho o profundidad del miembro para que sedesarrolle el mecanismo en forma completa. Para miembros cortos, comonormalmente ser el caso de la viga de Fig.7.4(a), la fisuracin espiralada completade torsin no se podr formar por lo que las ecuaciones son de validez dudosa. Porello, en la ref. [3] se sugiere que, para casos similares a los de la Fig. 7.4(a), cuandola longitud libre de la viga sea menor de 1.5veces la menor dimensin transversalde la seccin es ms apropiado considerar que los esfuerzos se van a transferir porcorte por friccin cuando se de esa combinacin de corte y torsin.

Fig. 7.6Idealizacin de las caractersticas Torsin-Giroen hormign armado.

En la actualidad existen herramientas computacionales muy poderosas quepermiten evaluar los momentos torsores en estructuras estticamente


10/57

10

indeterminadas, an de alta complejidad. Sin embargo, el comportamiento no lineal,en particular ante la accin de terremotos, hace dudosa la validez de dichosresultados. Adems, la redistribucin de esfuerzos en el hormign armado es por unlado inevitable y por otro muy conveniente. Por ello las normas, por ejemplo el ACI-318, como luego se ver, permiten ignorar los esfuerzos de torsin bajo ciertas

circunstancias, en particular en los casos de torsin por compatibilidad.

En la Fig. 7.7(a) se muestra un mltiple cruce de carreteras de EEUU, cerca dela ciudad de Los ngeles donde, como se aprecia, varios tramos sufrieron colapsodurante el terremoto de Northridge del 17 de Enero de 1994. Por simple inspeccinse puede observar que los efectos de torsin deben ser considerados en este tipode estructuras. Se aclara que las fallas en este caso no fueron necesariamente portorsin sino por fallas frgiles de corte que se iniciaron en las columnas ms cortasde los puentes, refs. [13 y 14].

Fig. 7.7(a)Colapsos en dos sobre-pasos de las rutas I-5/SR-14, cerca de Sylmar y San Fernando, enlas afueras y a 45 Km de Los Angeles, duranteel terremoto de Northridge del 17 de Enero de1995. Los colapsos fueron atribuidos al inicio defallas por corte en las columnas ms cortas ypor ende ms rgidas, que atrajeron msmomento flector.

Fig. 7.7(b). Elevacin y dimensiones del soporte 2 (bent 2), del conector Sur (que aparece alfrente de la figura). Los otros apoyos son similares pero tenan alturas diferentes


11/57

11

Fig. 7.7(c). Planta y elevacin con dimensiones y designacin de los apoyos, del conectorSur de la ruta I-5/SR-14. La falla comienza en el soporte (bent) No. 2. Las columnas, porcostumbre, eran reforzadas con la misma armadura longitudinal y el mismo estribo,tpicamente equivalente a dimetro de 13 mm (barra No.4 en EEUU) cada 30 cm.Obviamente, las columnas ms cortas entraban antes en fluencia con demandas de cortemucho mayores que en las columnas esbeltas. All empez la tragedia para esos cruces alas 4:40 del lunes 17 de enero de 1994. Epicentro a 30 Km. NW de centro de Los ngeles.

7.3 HORMIGN SIMPLE SOMETIDO A TORSIN.El comportamiento del hormign armado en torsin, antes de producirse la

fisuracin, puede basarse en el estudio del hormign simple puesto que lacontribucin de la armadura en ese estado puede considerarse insignificante.

7.3.1 COMPORTAMIENTO ELSTICO.Para establecer los efectos de torsin en hormign simple se pueden utilizar los

conceptos que aparecen en los textos de mecnica estructural, ver por ejemploRefs.[4] y [5]. La Fig.7.8 muestra un elemento de seccin circular sometido a torsin,y las resultantes trayectorias de traccin y compresin. Para este caso, la ecuacinde la torsin, similar en forma y concepto a la ecuacin de la flexin que relaciona elMomento flector Mcon el momento de inercia I, fue propuesta cerca de 1775 por el

ingeniero francs Coulomb, y se expresa as:

J

Trvmx =

Tmomento torsor, rradio de la seccin circular y Jmomento de inercia polar.

Fig. 7.8Trayectorias de lastensiones principalesen una barra cilndrica

sometida a torsin pura.


12/57

12

Fig. 7.9Distribucin de tensionesde torsin en seccionesrectangulares, circulares yhuecas.

Para secciones rectangulares, se puede utilizar la solucin clsica de St. Venant,debida al famoso cientfico francs B. de St. Venant, desarrollada en 1853, aplicadaa secciones de hormign, como las que se muestran a la izquierda en la Fig. 7.9. Enbase a sta solucin, la mxima tensin de torsin vtse produce en la mitad del ladoms largo y puede obtenerse mediante la expresin:

yx

Tvt 2= (7.3)

donde T=momento de torsin en la seccin.y,x= dimensiones totales de la seccin transversal, con y>xt = un factor de tensin que es funcin de la relacin y/x, y que aparece

cuantificado en la Fig. 7.10.

Fig. 7.10Factores de Rigidez yde tensin paraseccionesrectangularessometidas a torsin.

Para representar la respuesta carga-deformacin, como se la present en laFig.7.6, es necesario establecer la relacin entre la variable esttica que es elmomento Torsor T, y la cinemtica que es la rotacin o ngulo de giro torsor t.Como se expres en la ecuacin (7.2):


13/57

13

GC

T

d

d

z

t=

(7.4)

Como se expres antes:T=momento torsor aplicado, que puede variar en funcin de la ubicacin de la

seccin a lo largo del elemento estructural,G=el mdulo de elasticidad transversal, dado por:

)1(2 +=

cEG (7.5)

donde Eces el mdulo de elasticidad longitudinal del hormign y el mdulo orelacin de Poisson, de valor 0.16 a 0.30para hormign normal,

C= momento de inercia torsional, a veces llamado constante de torsin o

momento de inercia polar equivalente,

z=distancia a lo largo del elemento estructural.

Para secciones rectangulares, el momento de inercia torsional est dado por:

yxCt

3= (7.6)

en la cual el coeficiente tdepende de la relacin y/x, se aprecia en Fig. 7.10, ytiene en cuenta la distribucin no lineal de deformaciones de corte a travs de la

seccin, lo cual se manifiesta en las secciones de la Fig. 7.9, y en la Fig. 7.11.

Fig. 7.11Torsin en un elemento rectangular.

Estas expresiones permiten calcular la rigidez torsional de un miembro delongitud l, definida como la magnitud del momento torsor requerido para producir unngulo de giro unitario en dicha longitud, como:

l

GCKt = (7.7)

Para el anlisis de estructuras hiperestticas tanto la rigidez a flexin, ecuacin(7.1), como la rigidez a torsin son necesarias de cuantificar. La ecuacin (7.7) queexpresa la rigidez a torsin de un miembro se puede comparar con la ecuacin parala rigidez a flexin del mismo miembro cuando su extremo ms alejado est


14/57

14

empotrado, definido como el momento requerido para producir una rotacin unitaria,y de valor 4EI/l, en un esquema como el representado en la Fig. 7.12.

Fig. 7.12Esquema de viga empotrada con momentoM en el extremos libre.

Fig. 7.13Divisin de componentes desecciones transversales paraun anlisis a torsin mssimple.

La respuesta de seccionescompuestas, como Ly T, esms complejo. Es comnaceptar a los fines del diseoque la seccin estapropiadamente dividida en

rectngulos y que cada unode ellos absorbe una porcin del momento torsor total en funcin de su rigidez.

La Fig. 7.13 muestra casos tpicos y divisiones posibles. En el caso de losas queforman parte de alas de las vigas, el ACI-318-05, en la seccin 11.6.1 especifica queel ancho del ala en voladizo que se debe considerar (lo que indica la Fig. 7.13, deref.[2], es anterior a la versin 2005) es el mismo que se estableci para seccinefectiva en la evaluacin de la rigidez de las vigas para ser comparada con la rigidezde las losas, seccin 13.2.4 de la misma norma y que se muestra en la Fig. 7.14.

Fig. 7.14Tomada de CIRSOC 201-2005. Seccin de losaa considerar con la viga como alas para lacontribucin a la torsin, en los casos deconstruccin monoltica.


15/57

15

Con la aproximacin citada, la fraccin de la torsin total T que resiste elelemento 2 de la Fig. 7.13(a) es entonces:

TK

KT

tii

t

==

3

1

22

(7.7a)

y la mxima tensin de corte por torsin segn la ecuacin (7.3) est dada por:

2

2

2

222

yx

Tv tt = (7.7b)

Esta es una aproximacin conservadora pues se ha ignorado el efecto de uninentre los elementos.

La distribucin de tensiones de corte por torsin sobre secciones compuestas ode formas que hagan difcil su resolucin matemtica puede ser visualizada a partirde una analoga muy descriptiva e ingeniosa publicada en 1903 por el famosoingeniero cientfico alemn L. Prandtl, conocida como la analoga de la membrana.Ocurre que la solucin de la ecuacin diferencial parcial que se debe resolver en losproblemas de torsin es automticamente satisfecha por una membrana delgada, talcomo una la de una pelcula de jabn, suavemente estirada sobre un orificio, el cualdebe ser geomtricamente similar a la seccin transversal en estudio. Con laaplicacin de una presin de aire liviana y uniforme en un lado de la membrana, delotro lado se forma un volumen tal que:

(i) las tensiones de corte en cualquier punto son proporcionales a la mayorpendiente de la membrana estirada en ese punto. Otra forma de decirloes que la tensin de corte, vt, actuando en cualquier direccin y encualquier punto de la seccin es proporcional a la pendiente de lamembrana inflada en dicho punto, midiendo la pendiente en la direccinperpendicular a la de la tensin vt.

(ii) La direccin de una tensin de corte particular en cualquier punto estangente al contorno (un lnea que une puntos de igual elevacin) de lamembrana en dicho punto.

(iii) El doble del volumen comprendido entre el plano del contorno y lamembrana deformada (es decir el volumen encerrado por la membrana)es proporcional al momento torsor soportado por la seccin.

La analoga de la membrana tambin se puede ver como una membranadelgada estirada sobre la seccin transversal en estudio e inflada por presin.


16/57

16

Adems de ser una herramienta muy til y que ha sido utilizada en varioscasos prcticos, ref. [5], es una herramienta mental excelente para visualizar lastensiones y capacidades de torsin, en el rango elstico. Por ejemplo, todas lassecciones que se muestran en la Fig. 7.15 pueden soportar aproximadamente elmismo momento torsor para la misma tensin mxima de corte (es decir para la

misma pendiente mxima de la membrana), puesto que el volumen encerrado por lamembrana ser casi el mismo en los tres casos. Adems, con poco esfuerzo ellector puede convencerse de que las lneas de contorno de una pelcula jabonosa seapilarn en el punto a de la seccin angular, por lo que en dicho punto se produciruna alta concentracin de tensiones.

Fig. 7.15Miembros con igual seccin transversal yespesor t resisten el mismo torsor (no es

aplicable a secciones tubulares).

En estructuras de hormign armado es muy raro encontrar condiciones en lasque el comportamiento es lineal y elstico.

7.3.2 COMPORTAMIENTO PLSTICO.

Cuando el material es dctil al corte es posible alcanzar un estado en el cual lafluencia en corte ocurrir sobre el rea total de la seccin transversal en estudio.Cuando esto ocurre el momento torsor plstico puede ser evaluado con ciertafacilidad.

Considere la seccin cuadrada que aparece en la Fig. 7.16, en la cual se haalcanzado la tensin de corte de fluencia, vty, en todos los cuadrantes. La fuerza decorte total Vtactuando sobre un cuadrante es:

tytyt vb

vb

bV42

1

2

2

== (7.7c)

por lo que la resistencia total al corte es:

tyt vbb

VT33

43

== (7.7d)

Fig. 7.16Seccin cuadrada cometida a torsin en la que

se considera que se ha alcanzado la fluencia portorsin.


17/57

17

Al mismo resultado se podra haber llegado utilizando la analoga de Ndais,1931, de la arena acumulada. De acuerdo a ella, el volumen de arena colocadosobre la seccin transversal dada es proporcional a la capacidad de torsin plsticade dicha seccin. En el caso de la Fig.7.16 el techo del montn de arenaacumulado, ver Fig.7.17, hubiera sido tyxv , donde x es la menor dimensin de la

seccin transversal. Esto es porque el ngulo del talud o pendiente debe ser lamisma para todos los bordes, por lo que la mxima altura que se alcance estcontrolada por la dimensin menor, x en este caso. El volumen de la pirmide sobrela seccin cuadrada de Fig. 7.16, da un valor idntico al anterior, es decir:

ty

tyv

bbvbT

33

32

== (7.7e)

Fig.7.17Esquema de aplicacin de la analoga delmontculo de arena de Nadai para una seccinrectangular.

Para el caso de la seccin rectangular de Fig.7.17, el volumen del montculo dearena sobre la seccin da el torsor plstico con esta simple expresin:

( ) tytyty

vxyxxvxxyxvxT

=+=

3223

22 (7.7f)

por lo que la tensin de fluencia de corte plstica es:

yx

Tv tyty 2= (7.8)

donde:

yxty

3/1

2

= (7.9)


18/57

18

Dado que xy, cuandox= y el factor ty= 3.0, su mximo valor posible, y (7.8) sehace igual a (7.e), mientras que cuando x/y= 0, resulta ty= 2.0. La ecuacin (7.8) esanloga a la (7.3).

El hormign no es suficientemente dctil, particularmente en traccin, para

permitir una distribucin plstica perfecta de tensiones de corte, por lo que laresistencia mxima a torsin de secciones de hormign simple estar comprendidaentre los valores predichos por la teora elstica, analoga de la membrana, y laplstica, analoga del montculo de arena. Las Figs. 7.18 y 7.19 presentanrespectivamente esquemas de interpretacin de las analogas elstica y plsticasegn la ref. [6].

Fig. 7.18.Analoga de lamembrana de L.Prandtl parargimen elstico

.

Fig. 7.19. Analoga del montculo de arena de A. Nadai para rgimen plstico.

7.3.3 MOMENTO TORSOR DE FISURACIN.

Se trata a continuacin de encontrar una expresin que permita calcular elmomento torsor de fisuracin para el hormign, lo designaremos con Tcr, y que es elque corresponde al valor de Tpara el cual la tensin principal de traccin alcanza sumximo valor.

La Fig.7.20(a) muestra una porcin de elemento prismtico de hormignsometido a momentos torsores, T, iguales y opuestos en sus caras extremas. Como

se dijo antes, aceptando la teora elstica de St. Venant, la distribucin de tensionesen la seccin transversal es como se indica en la Fig.7.20(b). Las mayores


19/57

19

tensiones se presentan en el centro de las caras ms anchas. Si el material fueracapaz de sobrellevar deformaciones inelsticas, como se espera en el hormign, ladistribucin de esfuerzos se aproxima a la indicada con lneas de trazos. Note ladiferencia de la distribucin de tensiones de corte de secciones rectangulares con lade una seccin circular, observando la Fig.7.9 y Fig.7.11. En la seccin circular la

tensin es mxima en el punto ms remoto, mientras que para la rectangular latensin es cero en el punto ms lejano.

Fig. 7.20Elemento prismtico rectangular sometidoa torsin y esfuerzos internos resultantes.

Los esfuerzos de corte resultantes,

indicados con en la figura, actansiempre en pares sobre las caras oplanos mutuamente perpendicularesde elementos diferenciales. Como sesabe, este estado es equivalente a unestado de fuerzas de traccin, en la

figura = y compresin, = -, iguales a la tensin de corte, y actuando en lascaras de un elemento rotado a un ngulo de 45o con respecto a la direccin delcortante. Las tensiones inclinadas son similares a las inducidas por fuerzas de cortetransversal, pero en el caso de torsin, puesto que las tensiones tienen signosopuestos en las dos caras opuestas, Fig. 7.20(b), los esfuerzos de traccin diagonalresultan perpendiculares entre s, en una cara a45oy en la opuesta a 135o, es decirson hlices que se cruzan a lo largo de la barra, como muestra la Fig.7.21(a).

La Fig.7.21(b) muestra la fisuracin de un prisma de hormign armado sometidoa torsin pura, ref.[6]. Como se ve, la armadura ms adecuada, para un elemento dehormign sera una espiral con inclinacin siguiendo las lneas de traccin. Esto noes nada prctico ni eficiente por estar la torsin combinada con otros esfuerzos. Porello se ver otra forma de armado.

Cuando los esfuerzos de traccin diagonal exceden la resistencia a traccin del

hormign, se forma una fisura en algn sitio donde se encuentra alguna debilidad enel material, y la misma se propaga inmediatamente a travs de la viga. El valor delmomento torsor asociado a la formacin de la primer fisura diagonal se llamamomento torsor de fisuracin, Tcr.


20/57

20

Fig. 7.21(a). Trayectorias de las tensiones principales para torsin pura.

Fig. 7.21(b) Fisuracin en un prisma de hormign armado solicitado a torsin pura.

Tal como lo sugiere la distribucin de tensiones de Fig. 20(b), para los efectosdel diseo una buena aproximacin es la de idealizar que en una seccin maciza latorsin slo es resistida por una seccin o tubo de pared delgada, ignorando la partecentral. Cinco razones fundamentales soportan esta analoga:

(i) Las tensiones en la parte central son muy pequeas.(ii) Los brazos de palanca de las resultantes de las tensiones en el centro

son tambin menores.(iii) Por las dos razones anteriores, la contribucin al momento torsor de laparte central es doblemente menor que en las partes externas.

(iv) En la parte externa la tendencia a entrar en campo no lineal del materialhace que en ese tubo idealizado de pared delgada la tensin tienda a seruniforme, y se acrecientan entonces las diferencias con las tensionesinternas cada vez ms relativamente menores.

(v) Los resultados experimentales avalan la modelacin propuesta.

En definitiva entonces, en la viga de seccin maciza se puede considerar que losesfuerzos de corte por torsin son constantes a travs de un espesor finito t

alrededor de la periferia del elemento, permitiendo representar a la viga como untubo equivalente como muestra la Fig.7.22.

Fig. 7.22Tubo de pared delgada sometido a torsin.


21/57

21

Dentro de las paredes del tubo la torsin es resistida por el corte de flujo q, cuya

trayectoria, como lo muestra la Fig.7.23, (tomada de ref. [7]) y con unidades defuerza por unidad de longitud, se representa por una lnea en la mitad del espesoridealizado t. En la analoga dicho flujo, q= .t,se considera constante en el permetro

(la tensin y el espesor son constantes).

Fig. 7.23.Ejemplo de una vigasometida a torsinque se idealiza comoun tubo de pared

delgada (a) en queno se considera elncleo de hormignde la seccintransversal maciza,siendo Ao el reatotal encerrada porla trayectoria delflujo de corte.

Como muestra la Fig.7.22, las resultantes de las componentes individuales delflujo de corte estn localizadas dentro de las paredes del tubo, actan a lo largo delas longitudes yo y xo en las paredes verticales y horizontales respectivamente,medidas por supuesto, en el plano medio del tubo. Esta suposicin facilita

enormemente el planteo de las ecuaciones de equilibrio, ya que la relacin entremomento torsor actuante y resultante de esfuerzos internos es:

ooooooo qAyqxxqyyqxT 222/22/2 ==+= (7.10)

donde Ao= xo.yo, representa el rea total encerrada por la trayectoria del flujo decorte, por lo que entonces el esfuerzo de corte unitario que acta dentro de lasparedes, tomado como uniforme es:

tA

T

t

q

o2== (7.11)


22/57

22

Dado que ya se explic que dicho esfuerzo es igual a la tensin principal detraccin, cuando ste alcance la resistencia a traccin del hormign, ft, se alcanzarel momento torsor de fisuracin. Ya se vio en el captulo 2, ecuacin (2.23) que:

3

1

ct

ff = (7.12)

con = 1.0para hormign de densidad normal. Por lo tanto, el momento torsor defisuracin (note: cr por cracking) resulta:

)2(3

1 tAfT occr = (7.13)

El valor de Ao se puede representar como una fraccin del rea total Acpencerrada por el permetro de la seccin transversal, pcp. A su vez, el espesor tse

puede aproximar como una fraccin de la relacin Acp/pcp. Para elementos slidoscon seccin transversal rectangular, t puede tomarse como un valor comprendidoentre 1/6a 1/4del ancho mnimo. Utilizando un valor de t= 1/4x, para y/x= 2, resulta,(ver luego la demostracin) como se indica en la Fig.7.23, una relacin aproximada:

cpO AA3

2= (7.14)

y tambin que:

cp

cp

p

At

4

3= (7.15)

por lo que en definitiva el momento torsor de fisuracin, para torsin pura, enfuncin de las dimensiones totales de la seccin, vale:

cp

cp

ccrp

AfT

2

3

1= (7.16)

Se ha encontrado que el uso de la ecuacin (7.16) permite en forma razonableevaluar el momento de fisuracin por torsin para elementos de hormign armadoindependientemente de la forma de su seccin transversal.

En un elemento hueco con paredes continuas, la determinacin de Aoincluye elrea del hueco, y se utiliza directamente la ecuacin 7.13.

Para llegar a la aproximacin de ecuacin 7.14, se tiene en cuenta que:Acp= rea total de hormign (cpor concrete y ppor perifrico o total)pcp= permetro de dicha seccin total (dem explicacin por los subndices)Para el caso de y = 2x, resulta:

Acp= x . 2x = 2 x2

pcp= 2(x+2x) = 6x

Ao= xo.yo, donde en este caso:


23/57

23

xo= x- t = x x/4 = xyo= 2x x/4 = 7/4 xresulta entoncesAo= 21/16 x

2

por lo que la relacin:Ao/ Acp= 21/16 x2/ 2x2= 21/32 = 2.1/3.2 2/3, es decir:

cpO AA3

2= (7.14)

y la relacin:Acp/ pcp= 2x

2/ 6x = 1/3 x = 1/3 x 4tpor lo que:t = A cp/ pcp, que es la ecuacin (7.15).

7.4 TORSIN EN ELEMENTOS DE HORMIGN ARMADO.

Como se dijo antes, colocar la armadura siguiendo en forma estricta y continualas trayectorias de las lneas de traccin en un elemento de hormign armadosometido a torsin es difcil, costoso, poco prctico y, para combinacin deesfuerzos, poco eficiente. Por ello, para resistir torsin se utiliza una combinacin deestribos poco separados y barras longitudinales. Esto implica que, de ser aplicable,se deben adicionar refuerzos de acero a los necesarios para corte y flexin(esfuerzos con los que normalmente coexiste la torsin).

Los ensayos han demostrado que con barras longitudinales solamente, seaumenta muy poco la resistencia a torsin por encima del valor dado por la ecuacin(7.16). Esto es razonable pues las mismas slo pueden contribuir con el mecanismode taco o dovela, el cual es dbil y poco confiable si el fracturamiento longitudinal alo largo de las barras no es restringido por armadura transversal.

Fig. 7.24(a)

Analoga del reticuladoEspacial para torsin

Cuando los elementos se refuerzan en forma adecuada como muestra la

Fig.7.24(a) y (b), las primeras fisuras en el hormign aparecen para un momentotorsor igual o un poco mayor que el que corresponde a elemento no armado a


24/57

24

torsin, y aproximado por la ecuacin (7.16). Esto es similar al mejoramiento de laresistencia al corte en vigas de hormign por efecto de los estribos. Las fisurastienen una configuracin similar a la que indica la Fig.7.24(a). Luego de ocurrir lafisuracin, la resistencia del hormign slo cae cerca de un 50 %y sobreviene unaredistribucin de esfuerzos hacia las armaduras. Cuando la resistencia a torsin de

la seccin se aproxima a su mximo valor, el recubrimiento del acero est muydeteriorado y empieza a desprenderse, por lo cual su contribucin en este estadodebe ignorarse.

Fig. 24(b) Concepto de Aohpara seccin efectiva a torsin.

Se define el rea Aoh= xoyo como el rea encerrada por el eje de la armaduratransversal cerrada ms extrema dispuesta para resistir torsin, y adems elpermetroph= 2(xo + yo)del eje de la armadura de torsin transversal cerrada ubicadaen la posicin ms externa.

La resistencia a torsin en elementos de hormign armado se puede obtener apartir de la analoga del reticulado espacial, en la que existen diagonalescomprimidas de hormign en espiral que toman los esfuerzos paralelos, pero no losperpendiculares, a las fisuras de torsin, tensores de acero transversales quecorresponden a los estribos cerrados y cordones de traccin que corresponden a lasarmaduras longitudinales.

De acuerdo a la Fig. 7.24(a), la resistencia de torsin correspondiente a unelemento con una seccin transversal rectangular puede representarse como lasuma de las contribuciones de los cortantes en cada una de las cuatro paredes deltubo equivalente. Por ejemplo, la contribucin del cuarto elemento, pared verticalderecha del tubo es:

2

4

4

oxVT = (7.17)

Fig. 7.25Diagrama de cuerpo libre paraEquilibrio vertical.


25/57

25

Como lo indica la Fig.7.25, el equilibrio en dicha pared vertical, con fisuras enngulo , que son atravesadas por nestribos de seccin transversal At (una rama

pues refiere a una solacara) y tensin de fluencia fyv, con separacin s, requiere:

nfAVyvt=4 (7.18)

y como n= yocot./s, resulta:

cot4

s

yfAV

oyvt= (7.19)

por lo que combinando las ecuaciones (7.17) y (7.19), se obtiene:

cot24 s

yxfA

T

ooyvt

= (7.20)

Para las cuatro paredes existirn expresiones similares, por lo que sumando lacontribucin de todos los lados, la resistencia nominal a torsin de la seccin es:

cot2

s

fAAT

yvtoh

n = (7.21a)

Sin embargo, los ensayos han demostrado que, despus de que ocurre lafisuracin, el rea encerrada por el flujo de corte, Ao, es menor que el rea

encerrada por las dimensiones xo e yo, medidas hasta la lnea central del estribocerrado ms externo. En consecuencia, la versin ACI-318-2005, seccin 11.6.3.6especifica que debe utilizarse Aoen vez de Aohpara determinar el Momento TorsorNominal con esta expresin:

cot2

s

fAAT

yvto

n = (7.21b)

donde Aose debe determinar en forma analtica, o bien adoptar:

Ao= 0.85 Aoh (7.22)y Aohsegn la Fig.7.24(b). El ngulo de las diagonales comprimidas debe adoptarsede forma tal que 30o60o. La norma especifica que puede tomarse:

(a) = 45o para elementos no pretensados o pretensados con valoresmenores a los que da el punto (b), y

(b) = 37.5o para elementos pretensados tal que la fuerza efectiva depretensado sea mayor que el 40 % de la resistencia a traccin de laarmadura longitudinal.

La resistencia de diseo a torsin, Td, se obtiene aplicando el factor de

reduccin de resistencia = 0.75, por lo que la ecuacin bsica de diseo es:


26/57

26

unnd TTTT == 75.0 (7.23)

siendo Tu el momento torsor demanda en estado ltimo o torsor requeridomayorado, el cual, como se ver ms adelante, se determina segn lo queespecifica el ACI-318 en su seccin 11.6.2.

Las bielas comprimidas de las Figs.7.24(a) y 7.25, que transmiten esfuerzos decompresin paralelos a las fisuras diagonales, son necesarias para el equilibrio de laseccin transversal. Como se muestran en la Fig.7.26, para cualquier cara i, lafuerza de corte vertical Vise puede descomponer en una diagonal Dicon inclinacin, y y otra horizontal Ni, tal que:

sen

VD ii = (7.24a)

y

cotii VN = (7.24b)

Fig. 7.26Diagrama de cuerpo librePara equilibrio horizontal.

La fuerza Niest centrada a media altura de la pared ipuesto que se supone

que el flujo de corte q es constante en el ancho del la pared. En la analoga delreticulado espacial entonces para cada cordn superior e inferior le corresponde unafuerza Ni/2. Internamente se supone que el acero longitudinal fluye cuando sealcanza la resistencia a torsin, por lo que la contribucin total de la pared verticalderecha 4 al cambio de la fuerza axial del elemento por presencia de torsin es:

244 cotcots

yfAVN

oyvt==

Totalizando el efecto para todas las caras:

( ) 2cot2cot ooyvt

iiyllylli yxsfAVNfAfA +====

y como:( )ooh yxp += 2 (7.25)

es el permetro de la lnea central de los estribos cerrados, en forma reducida elequilibrio se escribe como:

2cothyvt

yll ps

fAfA =

de donde se obtiene la expresin del refuerzo longitudinal que se debe suministrarpara materializar la fuerza axial de traccin iN :


27/57

27

2cotyl

yv

ht

lf

fp

s

AA = (7.26)

Al= rea total del refuerzo longitudinal para resistir la torsin (en todo el permetro)fyl= resistencia de fluencia del acero longitudinal,

Esta es la expresin que da el ACI-318, como armadura longitudinal adicional(a flexo-compresin) requerida por torsin, en su seccin 11.6.3.7. Para el casocomn en que las tensiones de fluencia de ambos aceros, longitudinal y transversal,sean iguales, y se adopte ngulo de las fisuras = 45o, la expresin se simplifica a:

ht

l ps

AA = (7.27)

A partir de la ecuacin (7.21) se obtiene el rea requerida para la seccintransversal de una rama de estribo para torsin como:

cot2 yvo

ut

fA

sTA = (7.28)

7.5 TORSIN Y CORTE.

La situacin ms comn es que los elementos no estn sometidos a torsinpura sino que aparezca una combinacin con momentos flectores y esfuerzos de

corte. En un elemento de hormign armado en estado I, no fisurado, el corte y latorsin producen esfuerzos de corte que son resistidos por el hormign. En elelemento fisurado, el corte y la torsin aumentan las fuerzas en las diagonalescomprimidas, incrementan el ancho de las fisuras, aumentan las tensiones en lasbarras longitudinales y crecen las fuerzas en los estribos.

El ACI-318-05, seccin 11.6.3.1 establece un control de las tensiones decorte para la combinacin de corte por flexin y torsin. En corte por flexin limitacon:

7275.0)67.030.0(75.0 ccnu ffvv =+

que de no verificar lleva a modificar las dimensiones para bajar la tensin mximade corte. Para torsin y corte, la norma impone con similar concepto este lmite:

(a) para secciones macizas:

+

+

2

2

2

3

2

7.1 c

w

c

oh

hu

w

u fdb

V

A

pT

db

V (7.29)

(b) para secciones huecas:


28/57

28

+

+

2

3

2

7.1 c

w

c

oh

hu

w

u fdb

V

A

pT

db

V (7.30)

La diferencia entre estas ecuaciones tiene su origen en la Fig.7.27. Para un

elemento de seccin slida, como en la Fig.7.27(b), las tensiones de corte portorsin se distribuyen principalmente alrededor del permetro, tal como lo sugiere laanaloga del tubo hueco, pero toda la seccin transversal es efectiva para resistircorte por flexin. En la seccin hueca, Fig. 27(a), en el punto A las tensiones decorte se suman en forma directa, y por ello la forma de la expresin (7.30). Sinembargo, en la seccin maciza, el corte que no es de torsin se distribuye a travsdel ancho. Por esto, y corroborado por ensayos, la ecuacin (7.29) permite unamejor representacin, y a la vez no tan conservadora, de las tensiones de corte.

Fig. 27.Suma de esfuerzos de torsin y de corteen secciones huecas y macizas.

Si alguna de las ecuaciones(7.29) o (7.30) no se cumple, la norma

exige que deben aumentarse lasdimensiones o utilizar un hormign demayor resistencia.

A su vez la norma, en la seccin11.6.3.2, especifica que si el espesorde la pared vara a lo largo delpermetro de una seccin hueca, laecuacin (7.30) se debe evaluar para el

caso en que las demandas, es decir la parte izquierda de la ecuacin resultemxima. En el punto A de la figura anterior las tensiones son aditivas por lo que

puede ser un punto crtico. Si las alas superior e inferior de la seccin hueca sonms delgadas que el alma, puede ser necesario verificar la expresin en los puntosB y C. De todos modos en esos puntos las tensiones de corte son normalmentepequeas y la norma dice que pueden ignorarse.

Tambin la norma aclara que si el espesor real de la pared es t


29/57

29

La norma tambin hace la diferencia para casos de secciones en Lo Tque

se construyan o no monolticamente. En la seccin 11.6.1.1 dice que se debenutilizar las especificaciones de la seccin 13.2.4 para obtener los valores de Acpy depcp, y se debe establecer la relacin entre (Acp

2/pcp) y comparando los casos en que

se incluye y no se incluyen las alas. Ms adelante en un ejemplo se utiliza esteconcepto.7.6 ARMADURAS MNIMAS.7.6.1 ARMADURA TRANSVERSAL.

De la ecuacin (7.28) se obtiene la armadura transversal para torsin. Lamisma debe combinarse con la necesaria para el esfuerzo cortante. En el casotpico de estribos de dosramas, el requerimiento puede expresarse como:

+=

+

s

A

s

A

s

A tvtv 2 (7.31)

La norma ACI-318, en la seccin 11.6.5 especifica que en toda zona donde elmomento torsor Tu mayorado supere un cierto valor crtico, que luego se vercmo se determina, ser necesario contar con armadura de torsin, y la mnimacantidad a colocar debe ser tal que:

( )yv

wctv

f

sbfAA

16

12 + (7.32a)

y tambin:

( )yv

wtvf

sbAA

33.02 + (7.32b)


30/57

30

Fig. 7.28 Estribos y armaduras longitudinales de torsin.

Fig. 29.Descascar amiento en las esquinas devigas solicitadas a torsin.

La norma aclara tambin quelos estribos transversales paratorsin deben ser cerrados paraproporcionar la capacidad a traccina travs de las fisuras potencialesdiagonales en todas las caras de la

viga. Por ello, ciertas formas de colocar estribos en U no cerrados pueden no seraptos para el caso de torsin. La Fig.7.28 muestra detalles permitidos, haciendohincapi en la necesidad de cerrar estribos con ganchos a 135o a menos que secuente con confinamientos de las ramas no cerradas. Se hace notar que para zonassmica, tanto para corte, confinamiento o evitar pandeo, los estribos cerrados sonlos ms eficientes.

Adems, en sus comentarios menciona que cuando una viga falla por torsinlas esquinas de las vigas tienden a desprenderse debido a las tensiones inclinadasde compresin en las diagonales de hormign del reticulado espacial, que cambian

de direccin en la esquina. La Fig.7.29(a) muestra la zona potencial dedescascaramiento, y en la Fig.7.30(a) y (b) esquemas de cuerpo libre que explicanel fenmeno citado. Los ensayos demuestran que si los estribos slo tienen ganchosa 90olos mismos no son efectivos por el salto potencial del recubrimiento. Por ello lanorma exige que los estribos deben anclarse dentro del hormign confinado. Slo enel caso en que el descascaramiento est restringido se permiten utilizar ganchos a90o. La Fig.7.28 muestra las exigencias de la norma.

La separacin sde los estribos se limita con el fin de asegurar el desarrollo dela resistencia ltima a torsin, prevenir prdida de rigidez luego de la fisuracin,conferir adecuada capacidad de rotacin a torsin y controlar el ancho de las fisuras.

La exigencia es que:


31/57

31

8

hps (7.33a)

mms 300 (7.33b)

Fig. 30(a) Desvo de los elementos comprimidos en la arista.

Fig. 30(b)Modelo de una seccin llena fisurada en torsin.

7.6.2 ARMADURA LONGITUDINAL.La ecuacin (7.26) es la que permite calcular el rea de armadura longitudinal

para torsin:

2cotyl

yv

ht

lf

fp

s

AA = (7.26)

y la norma aclara que, a los efectos de evitar cantidades excesivas de armadura

longitudinal, la relacin (At/s) debe tomarse con el mismo valor que resulta de laecuacin de armadura transversal (7.28), sin que se vea modificado por los


32/57

32

requerimientos de acero transversal mnimo que especifica en la seccin 11.6.5.2 o11.6.5.3.

Hasta la edicin del ACI-318-1989 se utilizaba una expresin que exiga unacuanta longitudinal de acero cercana al 1 %para vigas sometidas a torsin pura, y

valores menores para vigas con corte y torsin en funcin de las relaciones entredichos esfuerzos. La siguiente ecuacin es la que adopta el ACI-318-2005 paraestablecer la mnima cantidad de armadura longitudinal de torsin que es necesariodisponer para los casos en que sea necesario armadura de torsin:

yt

yv

h

t

yl

cpc

lf

fp

s

A

f

AfA

=

12

5

min, (7.34)

donde:

yv

wt

f

b

s

A

6

1 (7.35)

Existen estudios crticos sobre las armaduras mnimas de torsin exigidas porel ACI-318-1995, como los presentados en ref.[8].

En su seccin 11.6.6.2 la norma aclara que la separacin entre las barraslongitudinales no debe ser mayor de 300 mm, y debe distribuirse en lo posibleuniformemente alrededor del permetro de la seccin transversal. Esto es porque laarmadura longitudinal es necesaria para resistir la suma de las fuerzas de traccinlongitudinales debidas a torsin inducidas en las paredes de los tubos de pareddelgada. Como el flujo se considera constante, el baricentro de la armadura

longitudinal adicional por torsin debe coincidir en forma aproximada con elbaricentro de la seccin.

Adems, el dimetro mnimo de la armadura longitudinal ds, en funcin de laseparacin de estribos s, es segn norma:

24/

10

sd

mmd

s

s

(7.36)

(Considero que en nuestro medio podra usarse 8 mm como dimetro mnimo).

Debe existir al menos una barra longitudinal en cada esquina de estribo.El ACI-318- seccin 11.6.4.3 establece que la armadura longitudinal debe ser

anclada en ambos extremos del elemento sometido a torsin. En la seccin 11.6.6.3aclara que la armadura se debe prolongar, como mnimo, una distancia (bt+d)msall del punto en el que ya no es tericamente necesaria, siendo btel ancho de laparte de la seccin transversal que contiene los estribos cerrados que resisten latorsin. Aclaran los comentarios que la distancia (bt+d)que se toma es mayor que laque se utiliza para la armadura de corte y flexin pues ahora las fisuras de traccinpor torsin se desarrollan en forma helicoidal.


33/57

33

7.7 DETERMINACIN DEL MOMENTO TORSOR MAYORADO TU. CRITERIO DEDIFERENTES NORMAS.

Se presentan a continuacin los criterios de las normas CIRSOC-201-05 quesigue al ACI-318, y el de la norma NZS-3101 1995, ref.[17]. En mi interpretacin,

esta ltima es ms clara cuando se trata de decidir sobre cmo resolver los casosde torsin por compatibilidad. El ACI-318-2005, en su seccin 11.6.2 especifica loscasos diferentes para evaluar el momento de torsin Tultimo o requerido comodemanda. El NZS 3101 trata el tema en su captulo 9.

7.7.1 TORSIN POR EQUILIBRIO. ACI-318-05

La Fig.7.31, torsin primaria o por equilibrio, y que ratifica los conceptos antesexplicados, muestra el caso en que el momento torsor, obtenido por simpleequilibrio esttico, no se puede reducir, ya que el mismo se necesitaindefectiblemente para el cumplir condiciones de equilibrio. En este caso, se debe

disponer de armadura de torsin, obtenida con los criterios antes explicados, parasoportar la totalidad del momento torsorTu. Esto es lo que expresa la norma en suseccin 11.6.2.1.

Fig. 7.31Ejemplo de accin demomento torsor queel reglamento no

permite reducir.

7.7.2 TORSIN POR COMPATIBILIDAD. ACI-318-05

En los casos como muestra la Fig.7.32, estructura estticamenteindeterminada, ver seccin C-201-05 11.6.2.2, es posible una reduccin de lasfuerzas internas, incluidas las debidas a torsin, invocando redistribucin deesfuerzos que se producen despus de la fisuracin. Esto es posible cuando existatorsin por compatibilidad. Esto significa que la norma dice que hay que evaluar elmomento torsor a partir de un anlisis estructural que contemple la compatibilidadde deformaciones por continuidad estructural, pero permite una reduccin de dichomomento mximo mayorado Tua los siguientes valores:

(a) En elementos no pretensados con N= 0:


34/57

34

cp

cp

cup

AfT

2

3

1= (7.37)

(b) En elementos no pretensados con axial de traccin o compresin:

2

31

3

1

cg

u

cp

cp

cu

fA

N

p

AfT += (7.38)

donde Nuse toma con valor positiva en caso de compresin y negativa en traccin, ycorresponde a la carga axial para el estado ltimo que se analiza (no esnecesariamente una carga mayorada).

Esto implica, como se ve, que la norma ha tomado el momento que producefisuracin como referencia para la mxima redistribucin posible (es decir, se puede

redistribuir todo el exceso por encima de ese valor de referencia), pero afectadopor el factor de reduccin de resistencia , ya que Tcr (por cracking) vimos estdado por:

cp

cp

ccrp

AfT

2

3

1= (7.16)

Fig. 7.32.Situacin en la queel momento torsorltimo puedereducirse.

En sntesis, hasta aqu la norma C-201-05 nos indicara que los casosposibles que se pueden presentar luego de obtener el Tu, a partir de un anlisiselstico basado en propiedades de la seccin no fisurada (ver comentario delcdigo en seccin C 11.6.2.1 y C 11.6.2.2, ltimo prrafo) son tres:

(i) Si Tues menor que la torsin crtica y que es un valor mnimo dereferencia, el cual ya se ver luego cmo se obtiene, la torsinpuede ignorarsey slo se provee armadura mnima.

(ii) Si Tu es mayor que la torsin crtica pero menor que mnimaposible resultante de la redistribucin (y que slo depende de

propiedades geomtricas), entonces se disea con el valor de Tu(esto es obvio pues no hay razones para redistribuir).


35/57

35

(iii) Si Tu es mayor que el momento torsor que resulta de laredistribucin permitida, entonces es posible aferrarse a laredistribucin y disear con esos momentos reducidos.

Esto es lo que interpreta tambin la Ref.[16], captulo 7, seccin 7.5.7, y que

aplica en el Ejemplo 7.3. En definitiva, por lo expresado hasta ahora, el ACI-318 nopermitira ignorar la torsin por compatibilidad cuando, como en los casos (ii) y (iii)se supera el valor crtico. Note adems que en sus comentarios habla de unanlisis elstico basado en propiedades de la seccin no fisurada. Sinembargo, y ahora aparecen ciertas incongruencias o ambigedades en la norma, enla seccin 8.6 dedicada a Rigidez y comentario C 8.6 en particular, dice que lasrigideces de un elemento EI y GJ deben tener en cuenta el grado de fisuracin yplastificacin ocurrida antes de la fluencia. Como esto es complejo, admite, dasimplificaciones para prticos arriostrados para los valores de EI(recordar que estoes vlido slo para cargas gravitatorias: para combinacin con sismo referirse a IC-103-05, parte II). En otro prrafo siguiente del comentario manifiesta que es

necesario incorporar la rigidez a torsin cuando se necesita evaluar la interaccinflexin y torsin. Luego dice que en el caso de torsin por compatibilidad, la rigideza torsin con frecuencia puede no ser tomada en consideracin. La falta de claridadque observo en la aplicacin de la norma se refieren a:

(i) habla de seccin no fisurada para torsin, cap. 11.(ii) en el cap. 8, dice que hay que tener en cuenta el grado de fisuracin.(iii) mismo cap. 8, en torsin por compatibilidad, dice que con frecuencia

podra tomar GJ=0.

7.7.3 TORSIN POR EQUILIBRIO. NZS-3101-1995.En la Seccin 9.3.7.2 da lineamientos similares a los del ACI-318.

7.7.4 TORSIN POR COMPATIBILIDAD. NZS-3101-1995.

Es en esta parte donde la norma de Nueva Zelanda trata el tema con mayorclaridad y consistencia que el ACI-318. En sus comentarios, seccin C9.3.7.2 elNZS aclara que las previsiones para torsin siguen los lineamientos del Cdigo deCanad en vez de los del ACI-318.

En su seccin 9.3.7.3 el NZS dice claramente que si la torsin en un

miembro aparece porque ste debe torcerse para mantener compatibilidad, el efectode torsin puede ignorarse, siempre que los momentos y cortes en la estructurasean evaluados suponiendo que el elemento en cuestin carece de rigidez a torsin,y que se adoptan las siguientes previsiones:

(i) se debe suministrar una armadura mnima de torsin (verprevisiones 9.3.8 y 9.39)

(ii) en aquellos elementos que se unen al miembro en cuestin y en elque ocurrirn momentos debido a la restriccin torsional, se debecolocar la armadura mnima de flexin la cual debe serapropiadamente anclada para desarrollar la mxima resistencia.

(iii) Si la fisuracin por torsin bajo el estado de cargas de servicio debe

ser tenida en cuenta, se debe suministrar una armadura de torsin


36/57

36

que resista al menos 2/3 del momento torsor que produce lafisuracin.

Como se ve, la norma NZS no deja dudas sobre cmo tratar el tema, ysugiere ignorar la torsin por compatibilidad salvo casos muy especiales. Cuando se

la ignora se debe adoptar GJ=0para que los momentos y cortes resultantes seancoherentes con la hiptesis adoptada.

El NZS aclara an ms el tema en sus comentarios de seccin C9.3.7.3donde expresa que cuando aparece la torsin por compatibilidad sera necesarioevaluar tanto la rigidez a flexin como la de torsin. Adopta el tubo de pareddelgada equivalente para determinar la rigidez a torsin para una seccin nofisurada a travs de la siguiente expresin:

oc

ccocgrossc

p

tAGKG

2)(4

= (7.39)

con el significado segn Fig. 7.33, donde Gcpuede tomarse como 0.4Ec.

Fig. 7.33Concepto de tubo equivalen-te para secciones de hormi-gn no fisuradas.

Tener cuidado con la notacin (an en la fuente se ha observado errores:note correccin en Fig.7.33). El resumen sera:

Aco= rea encerrada por el permetro de la seccin Acpdel ACIpc= permetro correspondiente a dicha rea pcpdel ACIpoc= permetro definido a mitad del espesor de tubo de pared delgada.Aoc= rea encerrada por el permetro poc. Puede tomarse Aoc= 0.67Aco

Note similitud con ecuacin (7.14) del ACI:

cpO AA3

2= (7.14)

tc= espesor del tubo equivalente, supuesto constante, y segn la Fig.7.33 note laequivalencia con lo del ACI:

cp

cp

p

At

4

3= (7.15)

Es importante seguir leyendo los comentarios de la norma NZS pues all

aclara, tal cual antes se expres, que la rigidez a torsin del miembro fisurado esuna fraccin pequea del que corresponde a seccin no fisurada. Se puede


37/57

37

demostrar (ref.[2], ver cap. 8, ecuacin 8.36) que la rigidez a torsin de una seccinfisurada es controlada primariamente por las deformaciones de la armadura, ypuede evaluarse mediante:

o

lt

o

os

crc sp

AA

p

AE

KG

2)(4

2=

(7.40)

La norma aclara que para vigas tpicas se encuentra que la rigidez a torsindada por la ecuacin anterior es menos del 10 %de la que corresponde a seccinno fisurada. Dice la norma que al pasar al seccin fisurada, la rigidez a flexin sereduce cerca del 50 %, por lo que para obtener esfuerzos, habra que hacer elanlisis, por ejemplo, con seccin no fisurada para flexin y dividiendo la rigidez atorsin por 5 (cinco). Esto es como tomar rigidez a flexin dividida por 2 (dos) y la detorsin por 10 (diez). Los elementos diseados para resistir torsin a partir de lashiptesis anteriores, se comportarn en forma satisfactoria. Sin embargo, el anlisis

puede involucrar un trabajo significativo, dice la norma. Si la torsin en los miembrosaparece slo porque los mismos deben girar en torsin para mantener lacompatibilidad de deformaciones, la magnitud de la torsin ser casi directamenteproporcional a la rigidez de torsin. Esto queda nuevamente demostrado en laFig.7.34 y donde se expresan adems los requerimientos de la norma NZS. Por lotanto, disminuyendo la cantidad de armadura de torsin hace decrecer la rigidez(note la dependencia de rigidez con resistencia en el rango no lineal) por lo que sereduce entonces el torsor inducido. Esto es coherente con las hiptesis adoptadas.

Fig. 7.34Torsin porcompatibilidad.

En tales casos, es decir, donde la torsin no es necesaria para mantener elequilibrio, el NZS permite al diseador suministrar una mnima cantidad de armadurade torsin apropiadamente detallada y suponer que la rigidez a ese esfuerzo esnula. Como en realidad cierta torsin es inevitable, se exige la mnima armadura deflexin en el elemento de apoyo como indica la figura. Ello implicar en cierto gradouna reduccin en el corte que produce la fluencia de la armadura de alma. Sinembargo, si el elemento ha sido correctamente diseado al corte (es decir para fallaren forma dctil por flexin en vez de frgil por corte), la pequea torsin no tendrun efecto significativo en la carga de falla del elemento.


38/57

38

La Fig. 7.35 muestra la seccin efectiva para resistencia a torsin en vigas

de hormign armado segn el NZS, con la siguiente notacin:

to= 0.75 Ao/po

po = permetro supuesto como pasando por los centros de las barraslongitudinales.Ao= boho= rea que encierra po= 2(ho+bo)bo= se puede tomar como 0.5(b

o+b

o)

Fig. 7.35 Secciones efectivas para resistencia a torsin.

Hasta este punto este trabajo desarrolla los conceptos de la norma NZS, losque simplemente han sido explicados para por un lado ver la diferencia detratamiento del problema con el ACI-318, y para aclarar sus fundamentos. Se deja allector la referencia indicada para mayor profundizacin del tema.

7.7.5 PREVISIONES ADICIONALES DEL CIRSOC 201-2005.El cdigo ACI-318 establece que los momentos flectores y esfuerzos de corte

obtenidos luego de la redistribucin de momentos en los elementos adyacentes, sepueden utilizar para el diseo de dichos elementos; ver Fig. 7.3(d).

Tambin aclara la norma que para secciones huecas el valor de Acp no sedebe reemplazar por el de Ag, como se hace para obtener el valor de torsin crtica(ver ms adelante). Es decir que en secciones huecas se debe usar Acp, que darun valor mayor de torsin, por lo tanto ms conservador para torsin. Habra queusar directamente la ecuacin 7.13.


39/57

39

La norma aclara, seccin 11.6.2.3, que los momentos torsores provenientesde la losa se pueden considerar como uniformemente distribuidos a lo largo de laviga, a menos que se determinen por medio de un anlisis ms preciso.

En los elementos no pretensados, las secciones ubicadas a una distancia

menor que d medida desde la cara del apoyo, se deben dimensionar para unatorsin mnima Tuque se evala a la distancia h/2desde la cara del apoyo. Sinembargo, si existiera un torsor concentrado dentro de dicha distancia, al igual queocurra con el esfuerzo de corte, la seccin crtica debe ser la que corresponde a lacara del apoyo.

7.8 TORSIN CRTICA.

La norma ACI-318 considera que cuando los momentos torsores Tu nosuperen un valor crtico o de referencia, Tcrtico, no provocarn una reduccinsignificativa a la resistencia de flexin y corte, por lo que pueden ser ignorados. El

valor crtico se toma, en forma aproximada, como del momento de torsin queproduce la fisuracin, Tcr. En consecuencia, en la seccin 11.6.1 la norma indicaque el efecto de torsin puede ser ignorado si resulta:

(a) En elementos no pretensados con N= 0:

cp

cp

ccr

criticoup

Af

TTT

2

12

1

4==

= (7.39)

(c) En elementos no pretensados con axial de traccin o compresin:

2

31

12

1

cg

u

cp

cp

cu

fA

N

p

AfT += (7.40)

Para valores superiores a los de torsin crtica, el efecto de torsin no puedeignorarse y hay que tomar los recaudos de diseo necesarios.

Cuando se trata de secciones huecas la norma dice que se debe utilizar Agen lugar de Acp. Agel rea bruta o total de la seccin, que en las secciones huecasno incluye los vacos. Esto se hace para bajar el valor de la torsin crtica o decomparacin. Solamente si Tu es menor que dicho valor la torsin por equilibriopuede ser ignorada. Se ve adems que se incluye el valor de , factor de reduccinde resistencia, 0.75en esta versin, para hacer an menor el valor de comparacin.

7.9 RIGIDEZ A TORSIN.

Al slo efecto de completar el tema, se presentan algunos conceptosadicionales sobre la rigidez a torsin.

A partir de la teora clsica de elasticidad se puede obtener la rigidez a torsin

de vigas de material homogneo con diferentes secciones transversales. Lasecuaciones (7.2) a (7.7) relacionan variables estticas y cinemticas con ese


40/57

40

propsito. Experimentos llevados a cabo sobre elementos de hormign armadoindican que existe una buena concordancia con las expresiones tericas.

La Fig. 7.36 presenta una sntesis de tensiones mximas por torsin endistintos puntos de diferentes secciones transversales y el momento de inercia

polar C= JTque corresponde a cada seccin.

Fig. 7.36.Mximastensiones detorsin ymomentos deInercia Polar Jpara algunasseccioneshomogneassegn la teorade laelasticidad.


41/57

41

Sin embargo, cuando el hormign armado se fisura, lo cual es lo normal,estos valores dejan de tener relevancia. Los ensayos de torsin efectuados sobrevigas de 250 mm x 381 mm y presentados en la Fig.7.37, muestran que en larelacin momento torsor vs. ngulo de giro, al inicio aparece un comportamientofrancamente lineal, y luego de la fisuracin si bien se pierde rigidez existe un

incremento de la resistencia por encima del momento Tcr. Una vez fisurada la vigaun nuevo mecanismo, como puede ser el explicado antes y referido comoreticulado espacial, es el que soporta la torsin. Para este caso, el ngulo de giropor torsin est controlado no por las deformaciones de corte sino por lasdeformaciones que sufren las diagonales comprimidas de hormign y lasdeformaciones de traccin tanto en los estribos como en las barras longitudinales.La Fig.7.35 muestra en forma esquemtica deformaciones de un trozo de vigasometido a torsin. Note que las diagonales comprimidas est simultneamentesometidas a tracciones transversales por lo que su rigidez y resistencia se venafectadas.

Fig. 7.37Tpicas RelacionesTorsin-ngulo de giropara vigas segnensayos presentados enref.[2].

El ncleo de una seccin slida no contribuye significativamente a laresistencia a torsin, tal cual antes se expres; por lo tanto, a los efectos de

determinacin de rigidez la seccin slida fisurada se puede reemplazar por unaseccin hueca. Se ha encontrado adems que la relacin y/xno es una variable


42/57

42

significativa en la determinacin de la prdida de rigidez por fisuracin. La Fig.7.36muestra una sntesis de experimentos sobre vigas con el mismo rea del ncleo(xoyo= constante) y con relaciones de 1y/x6, las cuales muestran casi la mismarigidez en todos los estados asociados con la fisuracin. La rigidez del reticuladoespacial depende en gran medida del contenido de acero de torsin. Note que se

da un fenmeno similar a la dependencia de la rigidez a flexin en funcin de laresistencia de la viga (contenido de armadura en traccin) que ha sido manifestadopor Paulay y Priestley en sus ltimos trabajos, ref.[12].

Fig. 7.38 Deformacin por torsin de un elemento de viga.

Fig. 7.38. Rigidez torsional para secciones rectangulares y huecas de hormign armadodiagonalmente fisuradas.


43/57

43

7.10 EJEMPLO DE APLICACIN No1.

Se trata del diseo de una viga prefabricada sometida a combinacin de corte ytorsin. La misma debe soportar elementos de techos prefabricados, simplementeapoyados sobre el lateral de la viga, como se muestra en la Fig.E1-1, en planta y

elevacin. Las vigas a disear estn conectadas a las columnas para transferir latorsin y el corte. No se suministra continuidad entre las vigas soporte. Tomado deRef. [15]

A) Datos:D= doble TT + aislacin + piso= 0.30 ton/m2L = 0.15 ton/m2fc= 35 MPa = 3500 ton/m

2 wc= 2.4 ton/m3 fy= 420 MPa= 42000 ton/m

2

Fig. E1-1. Planta. Ejemplo de aplicacin. 1pi=0.305m, 1pulgada=0.0254m: para elejemplo se toma luz de vigas a ejes 9.0 m y columnas de 0.40x0.40 m. Luz de vigas de

techo TT a ejes de columnas 18 m.

Fig. E1-2. Elevacin. Ejemplo de aplicacin. 1pi=0.305m, 1pulgada=0.0254m: para elejemplo se toma viga de ancho arriba de 0.40m, altura toral 0.80 m y ancho inferior 0.55m.Saliente de apoyo de vigas TT de 0.15m de ancho por 0.20m de altura. Distancia de eje de

apoyo a eje de viga 0.275m. Altura de vigas TT 0.60 m.


44/57

44

B) Resolucin.

1) determinar los esfuerzos internos. Suponer carga uniforme de las vigas TTsobre las vigas a disear.

Reaccin de techo sobre viga:Luz l= 18 m 2 x 0.2750 m = 17.45 m

Reaccin a D...........RD= 0.30 x 17.45/2 t/m = 2.62 t/mReaccin a L ...........RL= 0.15 x 17.45/2 t/m = 1.31 t/m

Peso propio de viga:[(0.40x0.80) + (0.20x0.15)] m2x 2.4 t/m3= 0.84 t/m

Carga mayorada para Muy Vu:U = 1.2 D + 1.6 L = 1.2 (2.62 + 0.84) + 1.6 X 1.31 = 6.25 t/m

Momento en el centro del tramo:Mu6.25 t/m x 9

2/8 m2= 63.30 tm

Corte en los extremos:Vu= 6.25 t/m x 9/2 m = 28.13 t

Carga mayorada para Tu:U = 1.2 D + 1.6 LD = 2.62 t/m + (0.15 x 0.20) x 2.4 t/m = 2.70 t/mU = 1.2 x 2.70 + 1.6 x 1.31 = 5.35 t/m

Torsin en los extremos:Tu= (5.35 t/m x 9 m) x (0.075 + 0.20)m / 2 = 6.65 tm

El corte y la torsin crtica estn a una distancia ddesde la cara del soporte.Se supone altura til d = 80cm 5 cm = 75 cm. Por lo tanto, la seccin crtica esta 75cm + 20cm= 95 cmdel centro o eje de la columna, es decir:Seccin crtica desde el centro del tramo (4.50m 0.95m) = 3.55 m

Esfuerzos en secciones crticas:

Vu= 28.13 t x 3.55/4.50 = 22.20 tTu= 6.65 tm x 3.55/4.50 = 5.25 tm

La viga debe ser diseada para resistir en forma completa el momento torsorTupues se trata de un caso de torsin por equilibrio.

2) Verificar si es posible ignorar la torsin.


45/57

45

Torsin de fisuracin:

cp

cp

ccrp

AfT

2

3

1= (7.16)

y se puede ignorar si la torsin es menor de 0.25 ese valor, afectado por , esdecir:

cp

cp

cup

AfT

2

12

1= (7.39)

Acp= rea encerrada por el permetro exterior de la viga incluido el borde de apoyo

Acp= (0.40 x 0.80 + 0.15 x 0.20) = 0.35 m2.

pcp= permetro exterior de la viga = 2 (0.40 + 0.80 + 0.15 ) m = 2.70 m

tmMNmm

mTcr 95.80895.0

7.2

35.035

3

142

===

y la torsin crtica o lmite es:

Tlim= 0.75 x 0.25 x 8.95 tm = 1.68 tm

que resulta menor que la demanda Tu= 5.25 tm, por lo cual NOpuede ignorarse elefecto de torsin.

3) Verificar si la seccin transversal de la viga es suficiente, es decir verificar latensin mxima de corte por combinacin de efectos.

Tiene como objeto cuidar que las diagonales comprimidas no estn sobrecargadas. Por tratarse de seccin maciza:

+

+

2

2

2

32

7.1 c

w

c

oh

hu

w

u fdb

VApT

dbV (7.29)

En la Fig. E1-3 se dan detalles que permiten obtener:

Aoh= rea encerrada por el permetro externo de estribo cerrado.Aoh= 0.33 x 0.73 + 0.15 x 0.13 = 0.26 m

2

ph= permetro correspondiente = 0.33+0.73+0.48+0.13+0.15+0.60 = 2.43 m


46/57

46

Fig. E1-3.Se ha tomado como distancias a ejes de estribos:Arriba (13) 0.33m (es decir 3.5cm de recubrimientoa eje de estribos), izquierda (29) 0.73m; abajo (19)0.48m; borde apoyo (5) 0.13m; las 6= 0.15m y las24= 0.60m.

la contribucin del hormign a se vez debe ser tal que:

30.0 c

w

cc f

db

Vv =

2/43030.43597.075.0

3

230.0 mtMPaxff cc ===

+

22

2

42

2

2/430/133122225476

26.07.1

42.225.5

75.040.0

20.22mtmt

mx

mtmx

mx

t


47/57

47

5) Determinar el rea de estribos por corte.

tVVVVVV ruscnd 20.22)( ==+==

vc= 0.167 35 = 0.99 MN/m2= 99 t/m2

corte ltimo:

vu= 22.20 t / (0.40 x 0.75) m2= 74 t/m2

necesario a tomar por acero:

vs= vu- vc= 74 0.75 x 99 = 0 t/m2

por lo que no es necesario armadura de corte.

6) rea total de estribos por combinacin de corte y torsin.

Si se adopta un solo estribo cerrado:

en cada rama y cada 30 cm.

En este caso resultara un estribo con dimetro 12 mm cada 30 cm.

El dimetro del estribo cumple adems el requerimiento de norma de ser mayor de10 mm.

7) Verificar armadura mnima de estribos.

El rea total de las dos ramas del estribo debe ser:

( ) 222 05.13040420

350625.0

16

126.2)13.120.0(2 cmcmxxx

f

sbfcmxAA

yv

w

ctv ===+=+

y( ) 222 94.03040

420

33.033.026.22 cmcmxx

f

sbcmAA

yv

w

tv ===+

con lo cual se verifican ambos requerimientos.

8) Obtener la armadura longitudinal adicional por torsin.

22

210.90.10.1242

30

13.1cot cmxcmxx

cm

cm

f

fp

s

AA

yl

yv

h

t

l ===

213.113.10

2cmA

At

v=+=

+


48/57

48

9) Verificar la cantidad mnima de armadura longitudinal por torsin.

yt

yv

ht

yl

cpc

lf

fp

s

A

f

AfA

=

12

5

min,

22

min,44.1110.954.20242028.0

42012

3500355cmcmcmx

x

cmxAl ===

debindose cumplir adems que:

15.0420

400167.0

6

143.3

300

1132

==== mmf

b

mm

mm

s

A

yv

wt

y se ve que controla la condicin de cuanta mnima adicional por torsin.

El acero longitudinal requerido por torsin debe ser distribuido alrededor delpermetro del estribo cerrado, con separacin mxima de 30 cm, y estar dentro delestribo, con una barra en cada esquina del mismo.

En las siguientes figuras se indican esquemas de armado. De topas maneras,se ver que se ha apartado de lo calculado para el ejemplo, adoptando armaduraspara corte y torsin un poco ms conservadoras.

Se adoptan 12 barras de dimetro 12 mm que suministran 13.56 cm2. Elpermetro donde se deben colocar es de 243 cm, lo que da una barra cada 20 cmaproximadamente. La Fig. E1-4 muestra cul sera la primer tentativa de armaduralongitudinal por torsin. La misma puede verse levemente modificada en funcin decmo se acomode la armadura de flexin.

Fig. E1-4. Armaduras parciales de torsin, corte y flexin.


49/57

49

10) Armadura de flexin en el centro del tramo:

2

292.23

)575(/2.490.0

6330

)(

/cm

cmtx

tcm

ddf

MA

y

u=

=

mientras que la cuanta mnima por flexin es (1.4/fy) = 0.3333, por lo que:

Amin= 0.333 x 40 cm x 75 cm = 10 cm2

por lo que controla el momento demanda.

En los extremos, donde el momento flector es nulo, se debe suministrar almenos 1/3 de la armadura que cubre el momento mximo, segn el ACI-318,seccin 12.11, es decir (24 cm2/ 3 = 8 cm2).

Teniendo ya presente los requerimientos de torsin, para la armadura deflexin se adoptan 4barras de dimetro 25 mm, 2 de 20 mm y una de 12 mm, lo queda un total de 27 cm2, dispuestos como lo indica la Fig. E1-4. Con esta disposicin, ysin tener en cuenta la armadura de torsin, pues es adicional, un anlisis seccionalpreciso da los siguientes resultados, para el estado ltimo o resistencia nominal:

Mn= 72.47 tm smax=1.7 % por lo que = 0.90, con eje neutro a 11.23 cm

Md= 0.90 x 72.47 tm = 65 tm > 63 tm, O.K.

La Fig. E1-5 muestra en definitiva las secciones transversales en tramo y apoyocuando se combinan los requerimientos de torsin, flexin y corte.

Fig. E1-5. Diseo de la seccin transversal en Tramo y Apoyo.


50/57

50


Una viga con un extremo empotrado y otro libre en voladizo, de seccin con

ancho b= 0.30my altura total h= 0.50 mest sometida a un par torsor en su extremolibre igual a Tu= 4.0 tm. El hormign es calidad H21y el acero ADN 420. Disear laseccin a torsin.

Solucin.

(1) Es torsin por equilibrio, por lo que hay que evaluar Tu, que es dato paraeste problema.

(2) Torsin crtica:

Acp= 0.15 m2

pcp= 1.6 m

Torsin que produce fisuracin:

cp

cp

ccrp

AfT

2

3

1= (7.16)

Tcr= 0.016 MNm = 1.6 tm

Torsin crtica = Tcr= 0.40 tm < 4.0 tm

por lo que la torsin no puede ser ignorada.

(3) Verificacin de dimensiones de hormign

Distancia de bordes a centros de estribos estimada en 2.5 cm, por lo que:

ph= (0.25 m + 0.45m) x 2 =1.40 m

Aoh

= (0.25 x 0.45) m2= 0.1125 m2

Tux ph/ 1.7 x Aoh2= 2.60 MNm < 0.97 (fc)

1/2= 0.75 x 0.97 x (21)1/2= 3.33 MNm

por lo que la condicin queda satisfecha.

(4) Armadura transversal:

De la ecuacin de diseo se obtiene

cot2 yvo

u

t fA

sTA = (7.28)


51/57

51

y para s=17 cm


52/57

52


La viga de la Fig. E3-1 es continua, est apoyada en columnas tal que la distanciaentre caras de columnas es de 8.50m y soporta una losa construida

monolticamente con un voladizo de luz libre 1.70m. La losa tiene espesor de 15 cmy la viga es de 30 cm de ancho y 60 cm de alto. La altura til de la viga es d= 55 cm.La losa soporta una carga viva L= 0.25 t/m2.

El hormign es H30 y el acero ADN420. La viga adems soporta una cargaaccidental centrada en su eje longitudinal y uniformemente distribuida de L=1.50 t/m.

Evaluacin de Cargas ltimas:

Peso propio de losa = 0.15m x 2.40 t/m3= 0.36 t/m2Carga ltima sobre la losa U= 1.2 x 0.36 + 1.6 x 0.25 = 0.83 t/m2

Peso propio de la viga = 0.30 x 0.60 x 2.4 t/m = 0.43 t/mCarga ltima en viga U= 0.83 t/m2x 1.70m +1.2 x 0.43 t/m + 1.6 x 1.5 t/m = 4.33 t/m

Fig. E3-1. Viga continua sometida a Torsin por losa en vodadizo.

Esfuerzos para estado de diseo por resistencia.

A) losa.

Momento flector a cara de viga (ver ACI-318-seccin 8.7, luz de clculo)Mu/m = (0.83 t/m

2/m) x 1.702m2/ 2 = 1.20 tm/mEs el momento de empotramiento en losa por unidad de longitud de viga.

Vu/m = 0.83 t/m2/m x 1.70m = 1.40 t/m

B) Viga.Momento flector:Mu= 4.33 t/m x 8,50

2m2/ x x = f(del grado de empotramiento)Corte:Vu= 4.33 t/m x 8.50 m / 2 = 18.50 t


53/57

53

Momento Torsor mximo en caras de columnas o extremos de vigas:Tu= 0.83 t/m

2x 1.70 m (1.70/2 + 0.15) m x 8.50 m /2 = 6.0 tm

Relaciones geomtricas:

(i) como seccin rectangular:Acp= 0.30m x 0.60m = 0.18 m

2

pcp= (0.30 + 0.60) m x 2 = 1.80 mAcp/ pcp= 0.018

(i) como seccin rectangular L:

Acp= 0.30m x 0.60m + 0.15 x 0.45 = 0.2475 m2

pcp= (0.60 + 0.30 + 0.45 + 0.45 + 0.15 + 0.75) m = 2.70 mAcp/ pcp= 0.023

por lo que controla este valor, y se debe considerar el efecto de las alas.

El valor de Tlimo crtico es:

Tlim= 1/12 x 0.75 x (30)1/2x 0.023= 7.87x10-3MNm= 0.79 tm

y resulta bastante menor que Tu= 6.0 tm, por lo que la torsin no puede serignorada.

Suponiendo un recubrimiento de 3.4 cm en toda la periferia (a borde exteriorde estribo), y considerando que se colocar estribo de 12 mm (prediseo), resultan:

xo= 30 cm 2(3.4+1.2/2) = 22 cm yo= 52 cm

por lo que:

ph= (0.22 m + 0.52 m) x 2 =1.48 mAoh= (0.22 x 0.52) m

2= 0.1144 m2

vt= Tux ph/ 1.7 x Aoh2= 3.99 MNm = 399 t/m2

(note que el cdigo NZS-3101 designa a la tensin de corte por torsin comovt=Tu/(2tAo),y observando la ecuacin 7.15 se ve que son similares)

y el corte es:

vu= 18.50 t / 0.30 x 0.56m2= 110 t/m2

(vt2+vu

2)1/2= 413 t/m2> 0.97 (fc)1/2= 0.75 x 0.97 x (30)1/2= 3.98 MNm= 398 t/m2

por lo que es necesario modificar las dimensiones.

Se deja al lector la continuidad del ejercicio.


54/57

54

7.11 REFERENCIAS.[1] Building Code Requirements for Reinforced Concrete. ACI-318-83 y ACI-318-2005.[2] Reinforced Concre

HORMIGON I-Tema 7 Análisis y Diseño a Torsión.

Documents

Transcript of HORMIGON I-Tema 7 Análisis y Diseño a Torsión.