UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

“ MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE

PARRILLA”

CURSO : ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

DOCENTE : ING. IVAN LEON MALO

NUEVO CHIMBOTE - OCTUBRE , 2014 1

Las parrillas son estructuras reticulares sometidas a cargas que actúan perpendicularmente a su plano. Ejemplos de ellas se encuentran en muchas estructuras industriales, en losas de entrepiso con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fábricas sometidas a la acción del viento. Los nudos se suponen rígidos y en consecuencia las acciones principales sobre sus miembros son torsión, flexión y corte.

UNS / AE-II / IVAN 2

FIGURA 1. Sistema de parrilla típica

zY

X

UNS / AE-II / IVAN 3

Resumiendo en proceso de análisis se tiene:

FIGURA 2. Elemento de parrilla orientado en la dirección positiva del eje «X»

zY

X

z , wj j

M , 0yj yj

M , 0xj xj

z , wi i

M , 0yi yi

M , 0xi xi

JGL

0

JGL

0

0

0

0

6EI

L2

0

6EI

L2

0

0

6EI

L2

JGL

0

JGL

0

0

0

0

6EI

L2

0

6EI

L2

0

6EI

L2

0

6EI

L2

4EI

L

2EI

L

6EI

L2

12EI

L3

12EI

L3

2EI

L

4EI

L

12EI

L3

12EI

L3

0xi

0yi

wi

0xj

0yj

wj

=

Mxi

Myi

Z i

Mxj

Myj

Z j

Mxi

Myi

Z i

Mxj

Myj

Z j

+

E

E

E

E

E

E

ECUACIÓN 1. Ecuación básica de un elemento de parrilla en coordenadas locales orientada en la dirección del eje «X». válida para el sistema de coordenadas globales.

UNS / AE-II / IVAN 4

FIGURA 3. Elemento de parrilla orientado en la dirección positiva del eje «Y»

Yz

X

z , wi i

z , wj j M , 0yj yj

M , 0xj xj M , 0yi yi

M , 0xi xi

0

0

0

6EI

L2

06EI

L2

0

0

0

0

4EI

L

12EI

L3

12EI

L3

12EI

L3

12EI

L3

0xi

0yi

wi

0xj

0yj

wj

=

Mxi

Myi

Z i

Mxj

Myj

Z j

Mxi

Myi

Z i

Mxj

Myj

Z j

+

E

E

E

E

E

E

2EI

L

6EI

L20

JGL

0

JGL

6EI

L2

0

0

2EI

L

6EI

L2

4EI

L

6EI

L20

JGL

0

JGL

6EI

L2

0

6EI

L2

0

ECUACIÓN 2. Ecuación básica de un elemento de parrilla en coordenadas locales orientada en la dirección del eje «Y». válida para el sistema de coordenadas globales.

UNS / AE-II / IVAN 5

EJEMPLO: Hallar las reacciones, fuerzas internas y la deformada del siguiente sistema:

2Tn/m4Tn

5Tn3.00m

1.50m1.50m

E = 2188198 Tn/m2

G = 951391 Tn/m2

Viga: 0.25x0.50 m2

Solución: 1.- Etiquetamos en cada nodo los GDL. 2.- Enumeramos cada elemento y la dirección de análisis respectivo.

2

1

1g2g

3g

5g

6g

4g

8g

9g

7g

1 , 2 : Elemento

1g 2g 3g 4g 5g 9 : GDLg, , , , , 6g , 7g , 8g ,

Calculamos el momento de inercia rotacional y torsional de cada elemento:

𝐽 =1

3𝑏3ℎ [1 −

192𝑏

ℎ𝜋5

1

𝑘5tanh (

𝑘ℎ𝜋

2𝑏)]∞

𝑘=1,3,5.. , 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 < ℎ

𝐼 =𝑏 ℎ3

12=0.25 𝑥 0.503

12= 0.002604𝑚4; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 𝑦 2

𝐽 = 0.001787𝑚4; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 𝑦 2

ELEMENTO L 4EI/L 2EI/L 12EI/L³ 6EI/L² JG/L

1 3.00 7597.91 3798.95 2532.64 3798.95 566.58

2 3.00 7597.91 3798.95 2532.64 3798.95 566.58

Resumiendo las rigideces a flexión, a cortante, a flexión cortante y torsional, tenemos:

UNS / AE-II / IVAN

Para el elemento 1:

La matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales está orientada en la dirección del eje «X». válida para el sistema de coordenadas globales.

UNS / AE-II / IVAN

1

1g

2g3g

5g6g

4g

X

Y

Z

X

Y

ZJGL

0

JGL

0

0

0

0

6EI

L2

0

6EI

L2

0

0

6EI

L2

JGL

0

JGL

0

0

0

0

6EI

L2

0

6EI

L2

0

6EI

L2

0

6EI

L2

4EI

L

2EI

L

6EI

L2

12EI

L3

12EI

L3

2EI

L

4EI

L

12EI

L3

12EI

L3

=K

1g 2g 3g 4g 5g 6g

566.58 0 0 -566.58 0 0 1g

0 7597.91 -3798.95 0 3798.95 3798.95 2g

K = 0 -3798.95 2532.64 0 -3798.95 -2532.64 3g

-566.58 0 0 566.58 0 0 4g

0 3798.95 -3798.95 0 7597.91 3798.95 5g

0 3798.95 -2532.64 0 3798.95 2532.64 6g

Para el elemento 2:

La matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales está orientada en la dirección del eje «Y». válida para el sistema de coordenadas globales.

UNS / AE-II / IVAN

0

0

0

6EI

L2

06EI

L2

0

0

0

0

4EI

L

12EI

L3

12EI

L3

12EI

L3

12EI

L3

2EI

L

6EI

L20

JGL

0

JGL

6EI

L2

0

0

2EI

L

6EI

L2

4EI

L

6EI

L20

JGL

0

JGL

6EI

L2

0

6EI

L2

0

=K2

1g

2g3g

8g9g

7g

Y

X

Z

YX

Z

1g 2g 3g 7g 8g 9g

7597.91 0 3798.95 3798.95 0 -3798.95 1g

0 566.58 0 0 -566.58 0 2g

K = 3798.95 0 2532.64 3798.95 0 -2532.64 3g

3798.95 0 3798.95 7597.91 0 -3798.95 7g

0 -566.58 0 0 566.58 0 8g

-3798.95 0 -2532.64 -3798.95 0 2532.64 9g

1g 2g 3g 4g 5g 6g 7g 8g 9g 1g 2g 3g 4g

K = 5g 6g 7g 8g 9g

Ensamblando la matriz de rigidez global del sistema se tiene:

UNS / AE-II / IVAN

1g 2g 3g 4g 5g 6g 7g 8g 9g 8164.49 0.00 3798.95 -566.58 0.00 0.00 3798.95 0.00 -3798.95 1g

0.00 8164.49 -3798.95 0.00 3798.95 3798.95 0.00 -566.58 0.00 2g 3798.95 -3798.95 5065.27 0.00 -3798.95 -2532.64 3798.95 0.00 -2532.64 3g -566.58 0.00 0.00 566.58 0.00 0.00 0 0 0 4g

K = 0.00 3798.95 -3798.95 0.00 7597.91 3798.95 0 0 0 5g 0.00 3798.95 -2532.64 0.00 3798.95 2532.64 0 0 0 6g

3798.95 0.00 3798.95 0 0 0 7597.91 0.00 -3798.95 7g 0.00 -566.58 0.00 0 0 0 0.00 566.58 0.00 8g

-3798.95 0.00 -2532.64 0 0 0 -3798.95 0.00 2532.64 9g

kLL kLR

kRL kRR

KLL

KLR

KRL

KRR

FLL

FRR

=D

LL

DRR

x

KLL

FLL

= DLL

x + KLR

DRRx

KRL

FRR

= DLL

x + KRR

DRRx

KLL

FLL

= DLL

x KRL

FRR

= DLL

xy

Ensamblando el vector de fuerzas y desplazamientos, tenemos:

UNS / AE-II / IVAN

=

F3

F6

F

M2

M1

FLibres

= FLL

FRestringidas

= FRR

F9

=

0

0

-4

M5

M4

M8

M7

F6

F9

M5

M4

M8

M7

=

D3

4

5

D6

D

2

1

DLibres

= DLL

DRestringidas

= DRR7

8

D9

=

D3

0

0

0

00

0

0

00

0

0

0

2

100

Así que: Los desplazamientos nodales y reacciones lo podemos determinar con las siguientes ecuaciones:

KLL

FLL

=DLL

x-1K

LLF

LL= D

LLx K

RLF

RR= D

LLxy

Pero debemos tener en cuenta que las cargas o fuerzas aplicadas a lo largo del elemento deben ser transformadas a cargas aplicadas en el extremo o nodo.

Para el elemento 1: P = 5Tn

6g3g

2.5 Tn 2.5 Tn

5g2g

1.875 Tn.m

P = 5Tn P

Pab

L

2 La b

2

Pab

L

2

2

Pb(3a+b)

L

2

3

Pa(a+3b)

L

2

3

Por tanto, las ecuaciones quedarían así:

UNS / AE-II / IVAN

Reemplazando los datos en las ecuaciones anteriores se tiene:

Para el elemento 2: W = 2Tn/m

9g3g

3 Tn 3 Tn

W = 2Tn/m

7g1g

1.5 Tn.m 1.5 Tn.m

W

W L2

W L2

W L12

2

W L12

2 L

KLL

FLL

= DLL

x KRL

FRR

= DLL

xy

KLL

FLL

= DLL

x + FE RR

= DLL

x + FE

KRL

F

0 8164.49 0.00 3798.95 θ1 1.5

0 = 0.00 8164.49 -3798.95 x θ2 + -1.875

-4 3798.95 -3798.95 5065.27 D3 5.5

θ1 0.0022279 rad

θ2 = -0.00218197 rad

D3 -0.00518291 m

UNS / AE-II / IVAN

Ahora dibujamos los diagramas solicitados :

M4 -566.58 0.00 0.00 0.00

M5 0.00 3798.95 -3798.95 0.002227897 1.875

F6 = 0.00 3798.95 -2532.64 x -0.00218197 + 2.50

M7 3798.95 0.00 3798.95 -0.00518291 -1.50

M8 0.00 -566.58 0.00 0.00

F9 -3798.95 0.00 -2532.64 3.00

M4 -1.262 Tn.m

M5 13.275 Tn.m

F6 = 7.337 Tn

M7 -12.726 Tn.m

M8 1.236 Tn.m

F9 7.663 Tn

F = 7.337 Tn6

M = 1.262 Tn.m4

M = 13.275 Tn.m5

2Tn/m4Tn

5Tn

M = 12.726 Tn.m7

M = 1.236 Tn.m8

F = 7.663 Tn9

UNS / AE-II / IVAN

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

-

-

+

13.275 Tn.m.

12.726 Tn.m.

1.236 Tn.m.

1.264 Tn.m.

DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES

DIAGRAMA DE MOMENTO TORSOR DEFORMADA

(+)7.337 Tn.

(-)7.663 Tn.

(+)2.34 Tn.

(-)1.66 Tn. --

++

(+)1.24 Tn.m.

(-)1.26 Tn.m.

+

-

D = -0.005182 m3

10 =0.0022279 rad

20 =-0.00218197 rad

UNS / AE-II / IVAN

AHORA TE TOCA A TI: HALLAR LAS REACCIONES, FUERZAS DE CORTE, MOMENTOS FLECTORES, TORSIÓN Y DESPLAZAMIENTOS, DE LA SIGUIENTE ESTRUCTURA:

EXITOS!!!!