Hoja de Trabajo 28

Ondas y Rotaciones Oscilaciones II

Jaime Feliciano Hernández

Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa México, D. F. 15 de agosto de 2012

INTRODUCCIÓN. En esta hoja de trabajo vamos a exponer algunas aplicaciones del Movimiento Armónico Simple, y a resolver algunos ejemplos sobre la cinemática de las oscilaciones. Ejemplo 1. Un resorte llega a estirarse 10 cm de su posición de equilibrio cuando actúa sobre él una fuerza de 5 N. Es estas condiciones se fija a un extremo del resorte un cuerpo de masa 1kg y se le estira 15 cm a partir de la posición de equilibrio sobre una mesa horizontal sin fricción. Entonces se le suelta y sigue un movimiento armónico simple. A) ¿Cuál es la constante del resorte? k

A) Para encontrar la constante del resorte, consideramos que una fuerza de 5 N produce un desplazamiento de 10 cm, entonces:

cmN

xFk

105

==

mNmcmcmNk /50

1100/5.0 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

El resorte está estirado 15 cm por lo que:

B) ¿Cuál es la fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo de 1 kg, un momento antes de soltarlo?

)100/1)(15)(/50( cmmcmmNkxF −=−=

NF 5.7−=

mNkg

kmT

/50122 ππ ==

C) ¿Cuál es el periodo de oscilación después de soltar el cuerpo?

sT 46.4414 =≈ π

D) ¿Cuál es la frecuencia? 102.046.4411 −=== s

sTν

E) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?

El desplazamiento máximo antes de soltarse el cuerpo fue de 15 cm a partir

de la posición de equilibrio, y esa es la amplitud máxima. Se espera que el

cuerpo oscile de los 15 cm hasta los -15 cm, y como no hay fricción entonces se

mantendrá así.

1

Hoja de Trabajo 28

La rapidez máxima la alcanza cuando se está en el mínimo de energía potencial:

( )( )

scmA

TAvMax 46.44

14.3302===

πω F) ¿Cuál es la rapidez máxima del cuerpo?

smsm /2

46.4420.94

≈≈

cmsAmkAaMax 15

150 22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== −ω

G) ¿Cuál es la aceleración máxima del cuerpo?

2/720 sm= En ese punto:

cmAx 5.72==

222 xA

Tv −−=∴

π

22 )5.7()15(

142

−−=ππv

25.5622571

−−=v H) ¿Cuál es la velocidad, aceleración y las energías cinética y potencial del cuerpo cuando se ha movido a la mitad del camino entre la posición inicial y el centro del movimiento?

64071168

71

−≈−=−=v

2/3755.37)5.7(

150 smx

mka −=−=−=−=

JmvEc 18236)6)(1(

21

21 22 ==−==

22 )075)(./50(

21

21 cmmNkxEc ==

JcmmNEc 1406.0)075)(./25( 2 ==

Ejemplo 2. EL PÉNDULO SIMPLE. Un péndulo simple es un cuerpo ideal que consiste de una masa puntual, suspendida de una cuerda ligera e inextensible. Cuando se separa hacia un lado de su posición de equilibrio y se le suelta, el péndulo oscila en un plano vertical por influencia de la gravedad. Establecer la ecuación de movimiento de este sistema y estudiar sus consecuencias.

2

Hoja de Trabajo 28

Las fuerzas que actúan sobre la masa son la tensión T y la acción de la gravedad.

m

θcosmgT =∴

mamgsen =θ

θgsena =⇒

Si el ángulo es pequeño, es decir que 0≈θ . Esta condición se llama de pequeñas oscilaciones, y sirve para encontrar soluciones aproximadas que son muy útiles.

La fuerza restauradora es θmgsenF −= . En la aproximación de pequeñas oscilaciones, podemos sustituir el seno del ángulo como el ángulo mismo:

xL

mgLxmgmgF −=−=−= θ

La ecuación de movimiento será:

xL

mgdt

xdmma −== 2

2

02

2

=+ xLg

dtxd

Si comparamos con la Ley de Hooke, entonces podemos decir que la “constante del péndulo”, es decir la constante , que es similar a la constante del resorte, entones vemos que, para este caso:

k

Lmgk =

El periodo será:

gL

Lmgm

kmT πππ 2

/22 ===

Así como aplicamos esta analogía o aplicación de las variables que derivamos en la Hoja de trabajo 27, entonces podemos, también, calcular el periodo, la frecuencia,

la amplitud, etcétera.

¡El periodo para pequeñas oscilaciones no depende de la masa y entonces se puede emplear

para medir el tiempo, pues sólo depende de constantes!

La frecuencia es:

Lg

gL===

π

ππνω2

22

3

Hoja de Trabajo 28

Ejemplo 3. EL PÉNDULO DE TORSIÓN. Un péndulo de torsión es un disco suspendido de un alambre, fijo al centro de masa del disco. El alambre se asegura firmemente a un soporte rígido y al disco. Establecer la ecuación de movimiento de este sistema y estudiar sus consecuencias.

Si se gira el disco, el alambre se tuerce y al dejarlo suelto se inicia una rotación. Si aplicamos la Ley de Hooke para las rotaciones, en la aproximación de pequeñas oscilaciones, tenemos:

κθτ −= Ahora κ será una constante de torsión.

κθθωατ −====∴ 2

2

dtdI

dtdII

κθθ−=2

2

dtdI

θκθIdt

d−=2

2

02

2

=+ θκθIdt

d

Si comparamos con la Ley de Hooke,

tenemos que la constante del péndulo de torsión debe cumplir con la relación:

mk

I=

κ

Imk κ=∴

El periodo será:

κπ

κπ I

Im

mT 22 ==

¡Aquí, el periodo para pequeñas oscilaciones

sí depende de la inercia rotacional por la estructura del objeto sólido!

La frecuencia es: IIκ

κπ

ππνω ===2

22

4

Hoja de Trabajo 28

Ejemplo 4. EL PÉNDULO FÍSICO. Un péndulo físico es cuerpo cualquiera real soportado por un punto P, con respecto al cual oscila.

Se puede pensar este cuerpo como una aplicación del péndulo simple, considerando un eje de rotación através del punto , a una distancia del centro de masa.

P d

La torca restauradora para el desplazamiento angular θ es:

θτ mgdsen−= Suponiendo que la inercia rotacional ocurre para ángulos pequeños:

θτ mgd−= Podemos definir una constante:

( ) θκθτ Rmgd −=−= mgdR ≡κ

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación de movimiento:

αθτ IdtdI == 2

2

θκθIdt

d R−=∴ 2

2

¿Si el objeto fuera un disco, una placa, una varilla un tubo, etcétera, cuáles

serían los valores de los parámetros? 02

2

=+ θκθIdt

d R

Comparando con la Ley de Hooke, podemos obtener la constante del péndulo físico:

mk

IR =

κ ⇒

Imk Rκ=

La frecuencia angular será:

IIR

R

κ

κπ

πω ==2

2

5

Hoja de Trabajo 28

Ejemplo 5. Determinar la longitud de un péndulo simple cuyo periodo es igual al de un péndulo físico. Solución. Igualando los periodos de ambos tipos de péndulos:

MgdI

gLT ππ 22 ==

Despejando, tenemos:

MgdI

gL=

MdIL =

También vemos que: LMdI =

Si recordamos el teorema de los ejes paralelos, esto podría ser considerado como una inercia rotacional, llamando al punto un centro de oscilación. P Ejemplo 6. Un disco está pivoteado en su orilla, en el punto . Determinar su periodo para oscilaciones pequeñas, y la longitud del péndulo simple equivalente.

P

Solución. La inercia rotacional del disco en torno a un eje que pasa por será, según en teorema de los ejes paralelos, igual a la inercia rotacional del centro de masa más la fracción correspondiente:

P

MhII CM

2+=

222

23

21 MrMrMrI =+=

Cuando consideramos , podemos calcular el periodo como: rd =

gr

MgrMr

MgrIT

232

2322

2

πππ ====

En este caso el periodo no depende de la masa.

6

Hoja de Trabajo 28

Un péndulo simple con el mismo periodo tendría una longitud:

rMrMr

MrIL

23

23 2

===

Que es 43

partes del diámetro del disco, por lo que el centro de oscilación está en O,

a una distancia de r23

por debajo del punto de soporte.

Ejemplo 6. El periodo de oscilación de un disco de radio , que realiza oscilaciones pequeñas entorno a un pivote en la orilla, es de . Determinar el valor de

cm2.10s784.0

g en esa localidad. Solución. Empleamos la relación:

grT

232π=

Entonces podemos despejar : g

2

26T

rg π=

22

2

/82.9)784.0(

)2.10(6 smscmg ==

π

¡Qué locura,…qué sacrilegio…!

¿La cambia con la distancia o la posición?

g

La ecuación 2

26T

rg π= dice que la aceleración de la gravedad con la posición, y que el

periodo también puede cambiar con r . Esto también sucede con los distintos tipos de péndulos. De hecho, se usa esta propiedad para determinar la densidad de materia en la superficie terrestre.

7

Hoja de Trabajo 28

Se puede usar un dispositivo tan simple como un resorte oscilando, en diferentes lugares de la Tierra y veremos que se encuentran patrones de variación de densidad, midiendo el periodo o la aceleración de la gravedad. Estas variaciones ocurren porque la Tierra:

a) no es una esfera, b) no tiene una distribución uniforme

de masa, c) porque está rotando sobre su

propio eje y, d) está girando alrededor del Sol.

Ejemplo 7. COMBINACIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ARMÓNICOS. Con mucha frecuencia una partícula está sometida a 2 movimientos armónicos simples lineales y perpendiculares entre sí. Esto significa que existen dos fuerzas, localizadas en ejes diferentes, por lo que el movimiento ya no ocurre en una dimensión sino en dos, o incluso en más. El movimiento resultante es la suma de las dos osciladores independientes. Podemos reconocer varios casos, dependiendo de los valores de la frecuencia, de los periodos o de las constantes de fase. En general se tiene

)cos( xxx tAx φω += (1)

)cos( yyy tAy φω += (2)

Un caso particular es cuando las frecuencias son iguales en ambos movimientos

)cos( xx tAx φω += (3)

)cos( yy tAy φω += (4) Los movimientos en x y en tienen diferente amplitud y diferente constante de fase. i las constantes de fase fueran iguales a

yφ tendríamos un movimiento

resultante que ocurre en una recta, pues podemos dividir las ecuaciones (3 y (4:

8

Hoja de Trabajo 28

)cos()cos(

φωφω

+

+=

tAtA

xy

x

y

x

y

AA

xy=

xAA

yx

y⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Se trata de una recta con pendiente

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

y

AA

m y que pasa por el origen.

Y(t) vs X(t)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1

Dos MAS compuestos

0

Supongamos que 1=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

y

AA

m entonces el ángulo que forma la recta con el eje X es

de 45°, y la recta es la identidad xy = .

Si el ángulo es de -45°, significa que la pendiente es 1−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

y

AA

m

Y(t) vs X(t)

-15

-10

-5

0

5

10

15

-15 -10 -5 0 5 10 15

Dos MAS compuestos

9

Hoja de Trabajo 28

Se dice que los movimientos están en fase cuando las constantes son iguales. Cuando son diferentes se dice que las funciones están desfasadas. Cuando y AAA yx ≡= φφφ ≡= yx , podemos ver que se trata de una circunferencia.

LA GRÁFICA QUE SE MUESTRA SE GENERÓ CON EXCEL Y PARECE UNA ELIPSE, PERO SÓLO SE TRATA DE UN EFECTO DE PROPIO DE ESE PROGRAMA.

222 Ayx =+

Y(t) vs X(t)

-15

-10

-5

0

5

10

15

-15 -10 -5 0 5 10 15

Dos MAS compuestos

Cuando las fases son diferentes se obtiene una elipse:

Se puede descargar el archivo MAS que se encuentra en la página del curso y observar el comportamiento de dos osciladores. En él se pueden generar múltiples configuraciones para diversos valores de los parámetros de los movimientos. Todas estas se llaman figuras de Lisajouss.

10

Hoja de Trabajo 28

Y(t) vs X(t)

-15

-10

-5

0

5

10

15

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Dos MAS compuestos

Y(t) vs X(t)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Dos MAS compuestos

Y(t) vs X(t)

-15

-10

-5

0

5

10

15

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Dos MAS compuestos

Y(t) vs X(t)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Dos MAS compuestos Ejemplo 8. OSCILACIÓN DE DOS CUERPOS EN UNA DIMENSIÓN. Consideremos el sistema formado por dos masas unidad por un resorte, como se muestra en la figura:

Los extremos se encuentran en y respectivamente, de tal manera que la

longitud del resorte es . 1x 2x

21 xx − Supongamos que la longitud original del resorte es L , entonces cualquier cambio de esa longitud será:

( ) Lxxx −−≡ 21

1. Si entonces y el resorte está estirado. 0>x ( ) Lxx >− 21

2. Si entonces 0<x ( ) Lxx <− 21 y el resorte está contraído.

11

Hoja de Trabajo 28

3. Si entonces 0=x ( ) Lxx =− 21 y el resorte está en reposo.

De acuerdo con el diagrama, las fuerzas que actúan son: con el correspondiente signo para cada masa.

kxF ±=

De la segunda ley de Newton aplicada a cada masa:

kxdt

xdm −=21

2

1 (A)

kxdt

xdm +=21

2

2 (B)

Multiplicando la primera por y la segunda por y las restamos. 2m 1m

xkmxkmdt

xdmmdt

xdmm 1221

2

2121

2

21 −−=−

Que podemos escribir como:

( )xmmkdt

xxdmm 21221

2

21)(

+−=−

kxdt

xdmm

mm−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

2

21

21

Podemos llamar a ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=21

21

mmmm

μ la masa reducida. Esto significa que el sistema

oscila como un todo y se comporta como si tuviera una sola masa con esta magnitud. La ecuación de movimiento será:

02

2

=+ xkdt

xdμ

Que tiene la mima forma que la del MAS, para una sola masa. Por lo tanto la frecuencia y el periodo para este sistema “reducido” serán:

μπν k

21

= y k

T μπ2=

Un sistema como este puede usarse como un modelo para estudiar moléculas como:

, CO , , etcétera, es decir moléculas con dos átomos. 2H HCl

12

Hoja de Trabajo 28

Ejemplo 9. OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO. Suponiendo que el oscilador está sujeto a una fuerza de fricción, entonces la ecuación de movimiento queda como:

fkxmaF +−==

f generalmente es una fuerza que depende de la velocidad, por lo que:

dtdxbkx

dtxdm −−=2

2

02

2

=++ kxdtdxb

dtxdm

02

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ x

mk

dtdx

mb

dtxd

El segundo sumando se llama término de atenuación, y se puede ver que la solución es del tipo:

)'´cos(' 2 φω +=− m

btAex

Con

2

2'2' ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==

mb

mkπνω

Oscilador amortiguado

)'´cos(' 2 φω +=− m

btAex

13

Hoja de Trabajo 28

Y(t), X(t)

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

1 77 153 229 305 381 457 533 609 685 761 837 913 989 1065 1141

Comparación de un mas y un mas amortiguado

El factor de atenuación va frenando la oscilación y el movimiento hasta detenerlo. EN EL ARCHIVO MAS SE ENCUENTRA UNA SIMULACIÓN DE ESTE SISTEMA. Ejemplo 10. OSCILADOR FORZADO Y RESONANCIAS. Cuando una fuerza armónica actúa sobre un sistema oscilante, ocurre un fenómeno muy interesante: las resonancias y las oscilaciones forzadas. Hasta ahora los sistemas se movían libremente o bajo la influencia de una fuerza atenuadora, pero si una fuerza armónica “obliga” a un sistema con acciones periódicos, sucede que:

tFdtdxbkx

dtxdm n ''cos2

2

ω+−−=

0''cos2

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+∴ t

mFx

mk

dtdx

mb

dtxd n ω

La solución de esta ecuación es:

)'( φω −= tsenGFm

Con

( ) 22222 ''' ωωω bmG +−= Y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

Gb ''cos 1 ωφ

El oscilador vibra con frecuencia 'ω de la fuerza impulsora en vez de hacerlo con la frecuencia natural ω , y la amplitud no disminuye sino que puede aumentar por el factor:

( ) 22222 ''' ωωω bmF

GF mm

+−=

Si no hay amortiguamiento, entonces: 0=b

14

Hoja de Trabajo 28

( ) ( )2222222 '' ωωωω −=

−=

mF

m

FGF mmm

Por lo tanto, ocurre que cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual al de la frecuencia natural de oscilación, la amplitud se va al infinito. Cuando se pueden dar valores para los cuales 0≠b ''ω es un valor máximo. Esa frecuencia se llama frecuencia de resonancia.

EN EL ARCHIVO MAS SE ENCUENTRA UNA SIMULACIÓN DE ESTE SISTEMA. B. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. Entregar un reporte virtual al correo electrónico del profesor y del ayudante, conteniendo la integración de los conocimientos construidos en esta actividad, que consiste en:

a) El mapa conceptual Individual, los elementos que se han ido agregando en cada punto.

a) El mapa conceptual del equipo. b) Las respuestas personales. c) Las aportaciones del equipo.

15