Guias Tema 1 (Parcial 1)

Semestre 3-2010

Jos Luis Quintero Octubre 2010

CLCULO I (0251) GUIAS DE PROBLEMAS PARCIAL 1

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniera

Ciclo Bsico Departamento de Matemtica Aplicada

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

Nmeros Reales y Geometra Analtica

Pg.: 1 de 3

Prof. Jos Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CLCULO I (0251) - TEMA 1

1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a. 4 3x 5 =

b. x 1 x 2 3+ + =

c. x 1 x 4 10+ + =

d. x 1 2 4 + =

e. x 3 2 4+ =

f. 2x 1 x =

g. 2x 3 1 x+ =

2. Encuentre el conjunto solucin de cada una de las siguientes inecuaciones:

a. 2 7x

2 35 2x

< +

b. 2

2

2x 3x 10

x 2x 1

+>

+

c. 6 x 2

2x x 5

+ <

+

3. Encuentre el conjunto solucin de cada una de las siguientes inecuaciones:

a. x 2 3 <

b. x 2 3 >

c. 2x 1 2

d. x 2 x 3+ < +

e. 2x 2x 2 1

f. 2x x 5 x 1+

g. 1 x 2x <

h. 21 x x 1 >

i. 2 13

2x 2 x 1

j. 7 x

3x 1

s. (x 2) x 2 3x 0+ + +

t. 3x 2 x 1 < +

4. Encuentre el conjunto solucin de cada una de las siguientes inecuaciones: a. 2 2x 3x 5 x 6 < +

b. x 1 x 2 2+

c. 4 x 2x 1 4 + +

d. x 1 x 2 2x 9+ > +

e. 2x 1 x x 1

f. (x 2)(x 6) x 4 2 +

g. 2x x 1 3

x 1 2x 2

+

+

h. (x 2) x 2 3x 0+ + +

i. x 1 x 2 2x 9+ > +

j. 2(x 1)(x 1) x 3 0+

k. (x 2) x 2 x 4+ +

l. 4 x 2x 1

x 3 1 x

m. x 1 x 2 x 1+

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO


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R E S P U E S T A S

1.a. 1/3, 3 b. ( 3 13) / 2 + , ( 3 13) / 2

c. 6, 1 d. 1, 3 e. 9, 3 f. ( 1 5) / 2 + , (1 5) / 2+

g. No tiene solucin 2.a. [ 1,4) b. ( ,0) (1, ) c. ( , 5) (0, )

3.a. (-1,5) b. (-,-1][5, )

c. [- 3 , 3 ]

d. (-5/2, )

e. (-,-1][1- 2 ,1+ 2 ][3, )

f. [-1+ 7 , 2]

g. (1/3, ) h. -{1} i. j. (-,-5) (1, ) k. -{-8} l. -{0} m. (-,1][1, 3 / 2 ][3/2, )

n. (-3/2,1/2)(1,2)

o. ((1- 37 )/6,0)(0,(1+ 37 )/6)

p. (-,-1] q. (-1,1)(5,7) r. (-,-4)(4/5, )

s. (-,(-7+ 35 )/2)

t. (1/4,3/2) 4.a. (-11/3,1/2)(1, ) b. (-,-1/2] c. d. (3,6) e. [0, 2 ] f. [2,6] g. [-1/2,-1/5][1/3, ) h. (-,(-7+ 33 )/2)

i. (3,6) j. [1- 2 ,(6- 15 )/3][1+ 2 ,3)(3,(6+ 15 )/3]

PLANO CARTESIANO Y LNEA RECTA


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1. Un cuadrado de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a

los ejes coordenados. Halle las coordenadas de sus cuatro vrtices. Rta: (a,a); (-a,a);

(-a,-a); (a,-a)

2. Los vrtices de un tringulo rectngulo son los puntos (1,-2), (4,-2), (4,2). Determine las longitudes de los catetos y despus calcule el rea del tringulo y la longitud de la

hipotenusa. Rta: 6, 5

3. Halle la distancia del origen al punto (a,b). 2 2Rta: a b+

4. Dos de los vrtices de un tringulo equiltero son los puntos (-1,1) y (3,1). Halle las coordenadas del trcer vrtice. Rta: (1,1 2 3); (1,1 2 3)+

5. Halle el permetro del cuadriltero cuyos vrtices son (-3,-1), (0,3), (3,4), (4,-1). Rta: 20.26

6. Demuestre que los puntos (-2,-1), (2,2), (5,-2), son los vrtices de un tringulo issceles.

7. Demuestre que los puntos (2,-2), (-8,4), (5,3) son los vrtices de un tringulo rectngulo y halle su rea. Rta: 34

8. Demuestre que los tres puntos (12,1), (-3,-2), (2,-1) son colineales, es decir, que estn sobre una misma lnea recta.

9. Demuestre que los puntos (0,1), (3,5), (7,2), (4,-2) son los vrtices de un cuadrado.

10. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3,-2). Si la abscisa del otro extremo es 6, halle su ordenada. Rta: 2, -6

11. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es (4,3). Halle el otro extremo. Rta: (1,-2)

12. Una recta pasa por los dos puntos (-2,-3), (4,1). Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, cul es su ordenada? Rta: 5

13. Demuestre que los puntos (1,6), (9,-2), (-5,-4) son los vrtices de un tringulo.

14. Demuestre que el punto (1,-2) es colineal con los puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidista de ellos.



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15. Halle la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(1,5) y tiene de pendiente 2. Rta:

2x-y+3=0

16. Halle la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(-6,-3) y tiene un ngulo de inclinacin de 45o . Rta: x-y+3=0

17. Halle la ecuacin de la recta cuya pendiente es 3 y cuya interseccin con el eje Y es 2. Rta: 3x+y+2=0

18. Los vrtices de un cuadriltero son A(0,0), B(2,4), C(6,7), D(8,0). Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: 2x-y=0, 3x-4y+10=0, 7x+2y-56=0, y=0

19. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por C(-2,2) y D(3,-4). Halle su ecuacin. Rta: 6x+5y-82=0

20. Halle la ecuacin de la recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto de interseccin de las rectas 2x+y-8=0 y 3x-2y+9=0. Rta: 4x+y-10=0

21. Dado el tringulo cuyos vrtices son A(-2,1), B(4,7) y C(6,-3): a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0 b. Halle la ecuacin de la recta que pasa por el vrtice A y es paralela al lado

opuesto BC. Rta: 5x+y+9=0

22. Las coordenadas de un punto P son (2,6) y la ecuacin de una recta l es 4x+3y=12. Halle

la distancia del punto P a la recta l. Rta: 14/5

23. El punto P de ordenada 10 est sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7,-2). Calcule la abscisa de P. Rta: 11

24. Determine el valor de los coeficientes A y B de la ecuacin Ax-By+4=0 de una recta, si debe pasar por los puntos C(-3,1) y D(1,6). Rta: A=20/19, B=16/19

25. Halle la ecuacin de la recta, que es perpendicular a la recta 3x-4y+11=0 y pasa por el punto (-1,-3). Rta: 4x+3y+13=0

26. Halle el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a la recta 4x+3y+7=0. Rta: 4



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27. En las ecuaciones ax+(2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0 halle los valores de a y b para que

representen rectas que pasan por el punto (2,-3). Rta: a=4, b=7

28. Halle la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto P(2,-3). Rta: 3341

41

29. Halle la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x-4y+8=0 y 6x-8y+9=0.

Rta: 107

30. Halle la posicin relativa de las rectas 72x-123y+235=0, 32y+54x-43=0. Rta: secantes

31. Una recta pasa por los puntos M(x,3) y N(7,-1). Si su pendiente es 4/5, determine el valor de x. Rta: 2

32. Se tiene el tringulo formado por los puntos A(1,6), B(-5,-2) y C(8,1). Determine: a. Su permetro. Rta: 10 178 73+ +

b. Su rea. Rta: 43

33. Una recta tiene inclinacin 32pi y pasa por el punto A(2,1). Otra recta tiene inclinacin 6

pi y

pasa por el punto B(-2,-3). Determine el punto comn a ambas.

34. Se dan los puntos A(2,1), B(-2,3) y C(-4,-1). Halle la ecuacin de la recta que pasa por el punto medio de AB y es perpendicular a la que pasa por B y C.

35. Dado el tringulo cuyos vrtices son A(-2,1), B(4,7) y C(6,-3): a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0 b. Halle la ecuacin de la recta que pasa por el vrtice A y es paralela al lado opuesto

BC. Rta: 5x+y+9=0

c. Halle las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de interseccin. Rta: (8/3,5/3)

d. Halle las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto de interseccin. Rta: (10/3,5/3)

e. Halle las ecuaciones de las alturas y su punto de interseccin. Rta: (4/3,5/3)

36. Los vrtices de un tringulo son (1,1), (4,7) y (6,3). Demuestre que el baricentro, el circuncentro y el ortocentro son colineales.

37. Halle la ecuacin de la bisectriz del ngulo agudo formado por las rectas de ecuaciones dadas por x-2y-4=0 y 4x-y-4=0. Rta: ( 17 4 5)x (2 17 5)y 4 17 4 5 0+ + =

SECCIONES CNICAS Nmeros Reales y Geometra Analtica

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1. Los extremos de un dimetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) y B(-4,5). Halle

la ecuacin de la curva. Rta. 2 2(x 1) (y 4) 10+ + =

2. Halle la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7,-6) y que pasa por el punto A(2,2). Rta: 2 2(x 7) (y 6) 89 + + =

3. Halle la ecuacin de la circunferencia de centro C(2,-4) y que es tangente al eje Y. Rta. 2 2(x 2) (y 4) 4 + + =

4. La ecuacin de una circunferencia es 2 2(x 3) (y 4) 36 + + = . Demuestre que el punto

A(2,-5) es interior a la circunferencia y que el punto B(-4,1) es exterior.

5. Halle la ecuacin de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de interseccin de las rectas 3x-2y-24=0, 2x+7y+9=0. Rta. 2 2(x 6) (y 3) 25 + + =

6. La ecuacin de una circunferencia es 2 2(x 2) (y 3) 5+ + = . Halle la ecuacin de la

tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3,3). Rta. x+2y-9=0, x-2y+3=0.

7. Halle la longitud de la circunferencia cuya ecuacin es 2 225x 25y 30x 20y 62 0+ + = .

Rta. 2 3pi

8. Demuestre que las circunferencias 2 2x y 4x 6y 23 0+ + + = y 2 2x y 8x 10y 25 0+ + =

son tangentes.

9. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0,2) y (7,3). Halle su ecuacin. Rta. 2 2(x 4) (y 1) 25 + + = , 2 2(x 3) (y 6) 25 + =

10. Determine el valor de la constante k para que la recta 2x+3y+k=0 sea tangente a la circunferencia 2 2x y 6x 4y 0+ + + = . Rta. k= -1, 25

11. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a 2 2x y 25+ = que pasan por el punto

(7,-1).

12. Halle la ecuacin y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de

sus vrtices en el punto (0,-7) y pasa por el punto 143

( 5, ) . Rta. 22 yx

9 491+ = , 2 10

7e =


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13. Halle la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son los puntos (4,0),(-4,0) y cuyos focos son

los puntos (3,0), (-3,0). Rta. 22 yx

16 71+ =

14. Los vrtices de una elipse son los puntos (1,1) y (7,1) y su excentricidad es 1/3. Halle la

ecuacin de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y

menor y de cada lado recto. 2 2(x 4) (y 1)

9 8Rta. 1 + = ; focos (5,1) , (3,1); 6, 4 2 , 16/3.

15. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vrtices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, halle la ecuacin de la elipse, su excentricidad y las

coordenadas de sus focos.

Rta. 2 2(x 2) (y 1) 15

25 10 51, e , fo cos ( 2 15, 1),( 2 15, 1)+ ++ = = +

16. Halle las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (3,-1) a la elipse 2 22x 3y x y 5 0+ + = . Rta. x y 2 0, 9x 191y 218 0+ = =

17. Determine la ecuacin de la elipse que tiene centro en (4,-1), uno de los focos est en

(1,-1) y pasa por (8,0). Rta. 2 2(x 4) (y 1)

18 91 ++ =

18. La ecuacin de una familia de elipses es 2 24x 9y ax by 11 0.+ + + = Halle la ecuacin del

elemento de la familia que pasa por los puntos (2,3) y (5,1).

Rta. 2 24x 9y 16x 18y 11 0+ = .

19. La ecuacin de una familia de elipses es 2 2kx 4y 6x 8y 5 0.+ + = Halle las ecuaciones

de aquellos elementos de la familia que tienen una excentricidad igual a .21

Rta. 2 2 2 23x 4y 6x 8y 5 0; 16x 12y 18x 24y 15 0+ + = + + =

20. Los vrtices de una hiprbola son (0,4) y (0,-4) y su excentricidad es igual a 3/2. Halle la

ecuacin de la hiprbola y las coordenadas de sus focos. Rta. 2 2y x

16 201 = focos (0,6),

(0,-6)

21. Si k es un nmero cualquiera diferente de cero, demuestre que la ecuacin 2 23x 3y k =

representa una familia de hiprbolas de excentricidad igual a 2 .

22. Halle y trace las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola 2 24x 5y 7 = .

Rta. 2x 5y 0 = , 2x 5y 0+ = .


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23. Halle los puntos de interseccin de la recta 2x 9y 12 0 + = con las asntotas de la

hiprbola 2 24x 9y 11. = Rta. (3,2) 32

( ,1)

24. Halle las coordenadas de los vrtices y focos, y la excentricidad de la hiprbola que es

conjugada a la que tiene por ecuacin 2 29x 4y 36 = .

Rta. Vrtices (0,3), (0,-3); focos (0, 13 ), (0, 13 ), e 13 3=

25. El centro de una hiprbola es el punto (4,5) y uno de sus focos es (8,5). Si la excentricidad de la hiprbola es 2, halle su ecuacin.

26. Demuestre que la elipse 2 2x 3y 6+ = y la hiprbola 2 2x 3y 3 = tienen los mismos focos.

27. Determine todos los elementos de las siguientes hiprbolas y construya su grfica: a. 2 24x 9y 32x 36y 64 0 + + + =

b. 2 2x 4y 2x 1 0 + =

c. 2 29x 4y 54x 16y 29 0 + + + =

d. 2 23x y 30x 78 0 + + =

28. Halle la ecuacin de la parbola de vrtice en el origen y directriz la recta y 5 0 = . Rta.

2x 20y=

29. Halle la ecuacin de la parbola cuyos vrtices y focos son los puntos ( 4,3) y ( 1,3) ,

respectivamente y la ecuacin de su directriz. Rta. 2(y 3) 12(x 4) ; x 7 = + =

30. Determine todos los elementos de las siguientes parbolas y construya su grfica:

a. 24y 48x 20y 71 0 =

b. 29x 24x 72y 16 0+ + + =

c. 24x 48y 12x 159 0+ + =

31. La ecuacin de una familia de parbolas es 2y ax bx= + . Halle la ecuacin del elemento

de la familia que pasa por los dos puntos (2,8) y ( 1,5) . Rta. 2y 3x 2x=

32. Halle la distancia entre el centro de la elipse que tiene por ecuacin

2 225x 9y 150x 54y 81 0+ + + = y el centro de la circunferencia de ecuacin

2 23x 3y 12x 4 3y 12 0+ + + + = . Rta. 5.32


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33. Diga si 2 2x y 4 = y 2 2x 9y 9+ = son cnicas homofocales (tienen focos iguales). Rta. Si

34. Encuentre la ecuacin de la hiprbola cuyos focos estn en los vrtices de la elipse 2 27x 11y 77+ = y cuyos vrtices son los focos de dicha elipse. Rta. 2 27x 4y 28 =

35. Dibuje la regin limitada por las curvas indicadas: 35.1. 2y x 4 , y x 2.= = +

35.2. 2 2x y , x 2y 3.= = + 35.3. y x 1 , y x 1 , y 2x 4.= + = + =

35.4. 2y 2x 8x 7 , y x 4.= + =

35.5. 2y 4 x , y x 2 , x 2 , x 3.= = + = =

35.6. 2 2x 16 y , x 6 y . = =

35.7. 2x (y 1) 1 , x 1 y 1 .= + = +

35.8. 2 2 2 2x 16 y 9 1 , x y 1.+ = + =

35.9. 2y x 1 3 , y 4(x 1) .= + =

35.10. 2 2y x , y 8 x , 4x y 12 0.= = + =

35.11. 2 22y x 4 , x y .= + =

35.12. 3y x 6 , y x , 2y x 0. = = + =

35.13. 2(x 2) 2 2

y 1 ; y x ; x 49 5 5

= = + =

35.14. 2x x

y 2x 1 ; y 1 ; y x 52 3

= + = + = +

35.15. = 2y 2(x 2) , =y 2x

35.16. = 24x y , = 24(8 x) y

35.17. y x 5 3= + + , y 0= , x 8= , x 3=

35.18. 2 2y 1 x ; x y 1 ; (x 1) (y 1) 1 + + + 35.19. = = + =3y x 6 ; y x ; 2y x 0

35.20. Primer cuadrante ; 2 2 2 2x y 3 ; x 2y ; y 2x+

35.21. 2x

x 1 y ; x 1 (y 1) ; y 2 ; y 02

= = = + =

35.22. 2x y ; x 1 1 y ; y x= = + =


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36. Dibuje las siguientes curvas:

36.1.

2 2

12

22

12

(x 2) (y 1) 4 1 y 3

y (x 2) 0 y 1

xy 1 1 y 0

4

y (x 2) 0 y 1

+ =

= +

+ = =

36.2.

2 2

2

x y 4 2 x 4

y 2 3 0 2 x 4

yx 2 4 2 3 y 2 3

3

=

=

= +

36.3.

2 2

2

2 2

x y 16y 60 8 y 10

2x y 4 0 y 8

y 4 x 4 y 0

16(x 2) (y 4) 16 2 x 1

+ =

=

+ =

+ + =

36.4.

2 2

2

x y 4 2 x 4

y 2 3 0 2 x 4

yx 2 4 2 3 y 2 3

3

=

=

= +

36.5. x y 1+ =

36.6.

2y 1 x 0 x 1

x 0 1 y 1

y x 1 0 0 x 1

=

=

+ = <

36.7.

2

2 2

2 2

y x 0 x 3

(x 3) (y 2)1 0 x 3, y 2

9 49

x (y 1) 1 1 x 0

=

+ =

+ =

a.

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