GUÍA SEGUNDO AÑO.docx

8/16/2019 GUÍA SEGUNDO AÑO.docx

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SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICAADMINISTRACIÓN FEDERAL DE SERVICIOS EDUCATIVOS EN EL DISTRITO FEDERAL

DIRECCIÓN GENERAL DE OPERACIÓN DE SERVICIOS EDUCATIVOSCOORDINACIÓN SECTORIAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

SUBDIRECCIÓN DE OPERACIÓNDIRECCIÓN OPERATIVA DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN ACAPOTZALCO

CUAUHTÉMOC Y MIGUEL HIDALGO

GUIA GENERAL DE CONOCIMIENTOS

2016-2017

DIRECCIÓN OPERATIVA 1 DELEGACIÓN! """"CUAUHTEMOC""""" ZONA ESCOLAR! #II

E$%&'() S'%&*+),) D&,*) N./ 26! FRANCISCO I/ MADERO T&,*.! MATUTINO

E$'%)(+)+! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" GRADO! """"""""""""

N.34,' +'( )(&3*. 5)! """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

N./ D' )%',.$""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

C)(8%)%9* 5%.* *:3',. ; (',)! """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

N.34,' ; 8,3) +'( ,.8'$., 5) ) +'( '?)3'*

MULTIPLICACI@N DE NÚMEROS ENTEROS Recuerda que si consideramos una recta en la que señalamos un punto # como origen $a dividimos %aciala derec%a y %acia la i&quierda en partes iguales !ada una de estas partes representa el segmento unidad$os enteros positivos los situamos a la derec%a del origen #, y los enteros negativos a la i&quierda de dic%opunto O,='*

N:3',. N:3',.'*',.$ '*',.$

*'=).$ .$.$

M&((%)%9* +' N:3',.$ E*',.$/Para multiplicar dos o m's n"meros enteros, aplicamos la regla de los signos, y procedemos a multiplicar los valores absolutos de los factores

L';'$ +' (.$ $=*.$ +' () 3&((%)%9*!

por ( ) ( m's por m's igual a m's por ) ( menos por menos igual a m's por ) m's por menos igual a menos

por ( ) menos por m's igual a menosE'3(.$!

* ( + * ( - ) ( ./ * ( 0 * 1 ) .# * 2 * ( . ) /3 * 3 * 4 ) ( 4 * / * ( 1 ) 3# * ( 4 * - ) .0

E',%%.$ 1Resuelve las siguientes multiplicaciones:

a * 5 4 * 5 1 ) e * 3/ * 5 0 ) i * 5 1 * # )

b * 5 2/ * 5 4 ) f * 5 3.0 * -3 ) j * 5 10 * + )

c * 1 * 5 - ) g * 2/ * 4 ) 6 * 5 ./ * ( ./ )

1

Loque

debes

recordar


2/29

d * 5 -+ * 5 0 ) % * / * 1 * - ) l * 5 -4 * 2 )

E',%%. 27ncuentra el n"mero que falta en cada caso

a * 5 2 * ) 10 e * * 5 3 ) 5 +//b * * 5 3 ) 5 3. f * 3+ * ) 5 +3c * * 5 /0 ) 3.# g * /- * ) 10d * 5 .- * ) . 30/ % * * 42 ) 5 - -0/

e

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

$a división es la operación recíproca de la multiplicación donde conociendo el producto de dos factores*dividendo y uno de ellos *divisor debemos encontrar el otro factor *cociente es decir, se divide eldividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos 8na división es exacta cuando el resto es #

E'3(.$!

S $' ++'* +.$ *:3',.$ +' =&)( $=*. '( %.%'*' '$ .$.

* + 9 * / ) - * 0 9 * . ) /

P.,


3/29

/

3-

− ) 42/

−−

) 3

+-−

) 2

43

)

//

/-/−

) -

.0

− ) 3+4

) /

.-

−−

)

3/

3+#

) .#

30/

− ) /./44

−−

) -0

/++3−

)

2

3+

−−

) .

./

) 2-

#.03

− ) 333./−

)

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS7n una expresión algebraica se llaman ,3*.$ $'3')*'$ a todos aquellos términos que tienen =&)( ()),' (',)(, es decir, a aquellos términos que tienen =&)( () . ()$ (',)('$ e =&)('$ '?.*'*'$/ Por ejemplo:

6)2 4 es término semejante con 2)2 4 porque ambos términos tienen la misma parte literal 5)2 4

.?; es término semejante con 1?; porque ambos términos tienen la misma parte literal 5? ;

#.)2% no es término semejante con -)%2 porque los exponentes de las literales no son iguales

R'+&%, términos semejantes significa $&3), . ,'$), (.$ %.'8%'*'$ *&3,%.$ en una expresiónalgebraica, que tengan la misma parte literal

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se %.*$',) ()3$3) ),' (',)(/ 7jemplos:

1x 5 2x 5 /x ( 0x ) 33x 5 4x ) /x

xy. 5 .x/y ( 1xy. 5 3/ x/y ( 0 ) 0xy. 5 31x/y ( 0

E',%%. 1R'+&%' (.$ $=&'*'$ ,3*.$ $'3')*'$!

3 /a 5 2a )/ 5 2m 5 +m )

. +x ( 4x )

- 5 +b 5 +b )

1 3/a 5 .-a )

0 5 /m 5 2m )

2 2x ( 0x )

+ 5 -b 5 +b )

4 4a 5 -a )

3# 5 4m 5 4m )

33 5 -m1n2 5 2m1n2 )

3/ 5 .1x+y. 5 .- x+y. )

3. 5 .+d/e0f ( /1d/e0f )

3- 02x+y.& ( 4+ x+y.& )

31 /4g 5 /.g )

30 5 -q+ ( 3#q+ )

32 4x/y 5 .x/y )

3+ 1c/ 5 4c/ ( +c/ )

.2 5 -s2

t-

( /s2

t-

5 1s2

t-

)./ 5 /x/y. 5 /x/y. ( +x/y. )

.. 5 2a-b1c0 5 .a-b1c0 ( 4a-b1c0 )

02 1abc/ ( 4abc/ ( +abc/ )

0+ 5 1m/n. 5 .m/n. ( 4m/n. )

04 5 .y. ( /y. 5 4y. )

2# /x ( .x 5 33x )

-- 5 /2xy& 5 1-xy& )-1 4a.b1 5 0a.b1 )

-0 5 4x/y0 5 4 x/y0

-2 3/abc ( -abc )

-+ 5 3+m/ n1 5 3+m/ n1 )

-4 5 d-e1f 0 5 d-e1f 0 ( d-e1f 0 )

1# 5 1-abc 5 ./abc )

13 5 2f + 5 4f + )

1/ 5 2c4d 5 +c4d )

1. 5 /m/n. 5 4m/n. ( 31m/n. )

1- 5 06/

x.

( 346/

x.

5 26/

x.

)

3

Loque

debes

recordar


4/29

34 5 3#m/n. ( 1m/n. 5 2m/n. )

/# -p2 5 1p2 5 3#p2 )

/3 +x-y1&0 5 1x-y1&0 ( 2x-y1&0 )

// -df / 5 +df / ( 3/df / )

/. /a ( 3#a 5 32a )

/- -% 5 +% 5 /% )

/1 5 1a 5 3/a ( /-a )

/0 .p0q2 ( /p0q2 5 4p0q2 )

/2 5 4bc 5 4bc ( 3/bc )

/+ 5 +6/x. 5 46/x. 5 .6/x. )

11 5 +s2t- ( .s2t- 5 4s2t- )

10 0ac ( 2ac 5 31ac )

12 5 -x/y. 5 2x/y. ( 1x/y. )

1+ /b ( 2b 5 1b )

14 5 2gm 5 +gm 5 2gm )

0# 5 /a-b1c0 5 /a-b1c0 ( 2a-b1c0 )

03 2a 5 4a 5 -a )

0/ 5 /%x 5 /%x 5 /%x )

0. 4r ( /r 5 1r )

0- 5 /c-d1e0 5 -c-d1e0 ( 1c-d1e0 )

ADICIÓN ALGEBRAICA

x ( x ( x ( x ) - x e suman algebraicamente los coeficientes de/x ( .x 5 x 5 +x ( /x ) 5 /x los términos semejantes

!uando se suma de forma %ori&ontal se buscan los términos semejantes y se reducen:/a ( .a 5 /b 5 -a 5 .b ) a 5 1b1mn 5 2mn/ 5 +m / n 5 4mn/ ( .mn ( 4m/ n ) +mn 5 30mn/ ( m/n

!uando se trata de una adición de polinomios, puedes colocar los sumandos uno abajo del otro, procurandoque los términos semejantes queden en columna * m- ( -m. n 5 1n/ ( * 5 0m- 5 /m. n ( -n/ ( * .m- ( .m. n 5 +n/ )

m- ( -m. n 5 1n/ 5 0m- 5 /m. n ( -n/ ; se suman algebraicamente los coeficientes

.m- ( .m. n 5 +n/ 5 /m- ( 1m . n 5 4n /

E',%%. 1R'$&'(' ()$ $=&'*'$ )+%.*'$!

a * 0m0 ( 2n1 ( * +m0 5 /n1 ( * 2m0 5 -n1 )b */ab ( 3+c 5 ./ ( * 3+ab 5 3.c ( 1d 5 3/.

c *.x ( / ( * /x ( 3 (* .x ( / ( */x ( 3 )d * 3+a ( .a 5 /b ( * .a ( 1a 5 .b)

e) * /#a 5 .b ( .c ( * 3+a ( 3/b 5 1c )

E',%%. 2R'$&'(' ()$ $=&'*'$ )+%.*'$ )(='4,)%)$

3 0c/ 5 2 c ( 2c/ ) / 5 06/x. ( 16.x/< 46/x. )

. 5 2a+ 5 3# q+ ( 4q+ ) - 5 31 p2 5 .q2 ( 3#q2 )

1 /b ( 2a ( 1 c ) 0 5 2a ( +b 5 1a )

2 0m ( +n 5 2n ) + -x/ ( 2a- 5 / x/ )4 1y ( +x 5 2y ) 3# /p0q2 5 4 p/q/ ( 2p0q2 )

33 /x ( .y 5 2x ( 2x 5 +y ( 2x 5 /y ( -y 5 1x 5 .x )

3/ 5 2ab ( /ya0b 5 2ya0& ( .ya0b 5 -ya0& 5 /ya0& ( /a0b 5 +ab )

3. 5 4s0t/ ( /s0t/ ( +s2t- 5 1s2t- 5 3#s0t/ 5 4s2t- ( 2s2t- )

3- 0a/b1c. ( 4b.c2d. 5 4a/b1c. ( + b.c2d. ( . b.c2d. )

31 5 /x/y.&- 5 -x-y1&0 ( 1x-y1&0 5 /x/y.&- 5 .x/y.&- ( 0x-y1&0 )

30 * 2a ( 1b 5 2c ( * 5 4a < /b ( 0c ( * /a ( /b 5 .c )

4

Lo

que

debes

recor

dar


5/29

32 * 2ab ( /ac ( 0ad ( * 5 4ab 5 .ac 5 -ad ( * .ab 5 .ac 5 .ad )

3+ * .a 5 0a/ ( +a. 5 0a- ( * 5 /a ( /a- 5 .a/ ( .a. ( * +a 5 -a/ ( /a. 5 a- )

34 * ab 5 abc 5 abcd ( * 5 ab 5 abc 5 abcd ( * 5 ab ( abc 5 abad )

/#

/a/b1c. -b.c2d. 1a/b.c- 1a/b1c. 4b.c2d. .a/b.c-

0a/b1c. .b.c2d. -a/b.c-

/3

2s0t/ /s2t- 4s/t/

/s0t/ 1s2t- 1s/t/

.s0t/ /s2t- -s/t/

//

/a -b 1c +d -a 4b 2c -d

/a -b 0c 2d

4a 2b 0c 2d

SUSTRACCIÓN ALGEBRAICA7sta operación se efect"a de igual manera que la adición pero sumando a los términos del minuendo elinverso aditivo de los términos del sustraendo

0m 5 * 2m ) 0m 5 2m ) 5 m 5 .m 5 * 5 4m ) 5 .m ( 4m ) 0m

* -c/

5 .d/

( cd 5 * 1c/

5 /d/

5 /cd * 5 1m2

5 -n.

q

( 2xy/

5 * 1m2

( 2n.

q

( /xy/

-c/ 5 .d/ ( cd 5 1m2 5 -n.q ( 2xy/

5 1c/ ( /d/ ( /cd 5 1m2 5 2n.q 5 /xy/

5 c/ 5 d/ ( .cd 5 3#m2 5 33n.q ( 1 xy/

E',%%. 1Resuelve las siguientes sustracciones

a * m

/

5 2mn ( 0n

/

5 * 5 /m

/

5 .mn 5 2n

/

)b * a / 5 /ab ( b/ 5 * b / 5 .ab ( a/ )c * -y/ 5 .&/ ( y& 5 * -y/ 5 /&/ 5 /y& )d * a/ 5 2ab ( 0b/ 5 * 0=/ ( 4ab 5 /b/ )e * x / 5 /xy ( y/ 5 * y / 5 .xy ( x/ )f * -c/ 5 .d/ ( cd 5 * -c/ 5 /d/ 5 /cd )

3 /c < * 2c )

- 2ab 5 * 5 +ab )

2 5 4ad 5 * 5 33ad )

3# 5 /ad 5 *5 1ad )

3. 5 3#q+ < * 4q+ )

30 +abc 5 *5 4abc )

34 .xy/ 5 * 5 4xy/ )

// 5 2a 5 * 5 -a )

/ 1c/ 5 * +c/ )

1 3#m/n. 5 * 5 1m/n. )

+ 5 +x-y1&0 5 * .x-y1&0 )

33 5 +% 5 * 5 /% )

3- 5 31p2 5 * 5 3#p2 )

32 5 2df / 5 * 3/df / )

/# 3#a 5 * 5 3/a )

/. 5 4bc 5 * 3/bc )

. +mn 5 * 2mn )

0 xy& 5 * 4xy& )

4 5 /m/n. 5 *5 4m/n. )

3/ 5 06/x. 5 *5 346/x. )

31 5 0g 5 * 2g )

3+ 1x/y 5 * .x/y )

/3 5 g% 5 * .g% )

/- 5 +s2t- 5 * .s2t- )

5

Loque

debes

recordar

I*',$. )+. +'($&$,)'*+.

I*',$. )+. +'($&$,)'*+.

M*&'*+. S&$,)'*+.

M*&'*+.S&$,)'*+.

M*&'*+. S&$,)'*+.M*&'*+. S&$,)'*+.

I*',$. )+. +'( $&$,)'*+.I*',$. )+. +'( $&$,)'*+.


6/29

/1 * 5 ab 5 abc 5 abcd 5 * 5 ab ( abc 5 abcd )

/0 * .ab-c/ 5 4ab- < 0a/b-c/ 5 * 5 0ab-c/ ( -ab- ( 4a/b-c/ )

/2 * 5 2s0t/ 5 4s2t- < .s/t/ 5 * 5 4s0t/ ( 1s2t- ( +s/t/ )

/+ * 0a ( 2b < .c ( 3#d 5 * 4a 5 2b ( -c 5 0d )

/4 * .a-b1 5 4b.d0 < 0b/c. 5 * +a-b1 5 2b.d0 ( 2b/c. )

.# * 5 .m0

n/

( 1n2

q-

5 4r /

>/

5 * -m0

n/

5 .n2

q-

( +r /

>/

)

.3

5 1a/b1c. 5 4b.c2d. ( .a/b.c-

5 0a/b1c. 5 .b.c2d. ( -a/b1c.

./

/s0t/ 5 1s2t- 5 1s/t/

5 .s0t/ ( /s2t- ( -s/t/

..

/a ( -b 5 1c ( +d

5 4a 5 2b 5 0c ( 2d

LEYES DE E#PONENTESProducto de potencias de igual base:* x * x. ) x 3 ( . ) x - e suman los exponentes de igual basea/b1 * a- b. ) a/ ( - b 1 ( . ) a0 b+

Potencia de potencia

* x.

0

) x. * 0

) x3+

e multiplican los exponentes* a/b1 - ) a / * - b 1 * - ) a + b /#

!ociente de potencias de igual base

5

8

x

x

) x + 5 1 ) x . e restan los exponentes de igual base

?odo n"mero diferente de cero elevado al exponente cero es igual a 3

. # ) 3 -10 # ) 3 x # ) 3 * 1x # ) 3 * a ( b # ) 3

0

b

a

) 3?odo n"mero distinto de cero elevado a un exponente negativo, es igual a una fracción cuyo numerador es

la unidad, y el denominador ese mismo n"mero elevado a ese mismo exponente, pero positivo:

m< + )8

1

m r 5 . )3

1

r * a ( b 5 0 )6)(

1

ba +

E',%%. 1Resuelve las siguientes operaciones

a 5 + ) b 1 b 2 b . ) m0 m- m/ ) m 5 1 )

* 10 * 1. ) x 5 0 y/ & 5 . ) * a - b 2 c . / ) * 5 0=- b1 c2 # )

*5 x/y. 9 *xy ) *xy *5 y. *5 x/y ) * 1xy& # ) * x-y * y/ * 5 xy2 )

* /m1 n. p2 . ) * a2 * a. * ./ * .1 ) * x1 -

* a- * a0 * a ) *a b2 * c. b1 5 - ) * /. * / * /. )

6

Lo

que

debesrecor

dar

) )

)


7/29

Lo que debes recordar

0

39

6

baab

)

* x. 1 )3

7

bb

)

+x4 /x0

3

7

bb

) 5

8

aa

)

5

3

6

m

m

)2

4

33

)

m 5 /4 ) & . & / & & 4 ) m2 m/ m/ m/ ) m 5 1 )

* 30 * 3. * 3- * 3 ) x 5 - y0 & 5 + ) * a . b * > * >/ ) * x1 y-&/ . ) * 5 2d/ e1 f - g / ) ( %- * %/ * %- )

+0

-0

nmnm

) 0

4

6

6

)

0

.

1

v

v

)+

-

g

g

)

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICAM&((%)%9* +' 3.*.3.$:e multiplican primero los signos, después los coeficientes y se suman los exponentes de las literales

igualesPor ejemplo:

5 4 5 )42 5 4 J 1 )4

ignos * 5 * ( * ( ) 5

!oeficientes * . * 1 * 3 ) 31

$iterales iguales * b * b/ * b ) b3(/(3 ) b- *la ley de los exponentes para la multiplicación dice que se suman

$a literal ) no tiene otra con la que se multiplique por lo que se queda igual, el resultado es 1 )4

M&((%)%9* +' .(*.3. ., 3.*.3.

5 2? 4?2 4? 5 4? J K4? 12 42? 4?2

e aplica la propiedad distributiva del término 5 -bx

e multiplica el primer término por el factor com"n * /x. * 5 -bx ) 5 +bx-

e multiplica el segundo término por el factor com"n * 5 .bx/ * 5 -bx ) ( 3/ b/x.

e multiplica el tercer término por el factor com"n * b.x * 5 -bx ) 5 -b-x/

M&((%)%9* +' .(*.3.$

@sí como al multiplicar un polinomio por un monomio aplicaste la propiedad distributiva también paramultiplicar polinomios la aplicas, al multiplicar el multiplicando o primer polinomio por cada uno de lostérminos del multiplicador, acomodando en columnas los términos semejantes para después reducirlos

5)2 46 % 57)2 K46 6% J

3o Aultiplicas el primer polinomio /o Aultiplicas el primer polinomio por * 5 +b0 yPor * 2a/ ordenas en columnas los términos semejantes

.a/ 5 -b0 ( 1c- .a/ 5 -b0 ( 1c- 2a/ 5 +b0 5 0c- 2a/ 5 +b0 5 0c-

/3a- 5 /+a/ b0 ( .1a/ c- /3a- 5 /+a/ b0 ( .1a/ c-

5 /-a/ b0 ( ./b3/ 5 -#b0 c-

7

)


8/29


.o Aultiplicas el primer polinomio por * 5 0c- y ordenas en columnas los términos semejantes y sumasalgebraicamente las columnas .a/ 5 -b0 ( 1c-

2a/ 5 +b0 5 0c- /3a- 5 /+a/ b0 ( .1a/ c-

5 /-a/ b0 ( ./b3/ 5 -#b0 c- 5 3+a/ c- ( /-b0 c- 5 .#c+

/3a- 5 1/a/ b0 ( 32a/ c- ( ./b3/ 5 30b0 c- 5 .#c+

E',%%. 11/ * 5 .ab/ * 5 /a/b-c ) 2/ * 5 .x/y/& * 0xy&. )

/ * 5 x/ ( 3#x 5 // * x/ ( .x 5 1 )

/ * .df 5 1f ( /d */d 5 .f )

/ * 5 2d/ ( -e 5 0f . * d/ ( .e ( .f . )

6/ /a ( -b 5 1c

5 4a 5 2b 5 0c

7/ /s0t/ 5 1s2t- 5 1s/t/

5 .s0t/ ( /s2t- ( -s/t/

PRODUCTOS NOTABLESP,.+&%. +' 4*.3.$ %.*&=)+.$

on binomios que se forman por los mismo términos y, difieren en su signo, por ejemplo:5 ? 7 5 ? 7 , su producto equivale a: BCuadrado del primer término menos cuadrado del segundotérminoC , es decir, una diferencia de cuadrados Por ejemplo:

* x ( / * x 5 / ) * x / 5 * 1 / ) x/ 5 /1 * 1y ( 2 * 1y 5 2 ) /1y/ 5 -4

P,.+&%. +' 4*.3.$ %.* ,3*. %.3:*7n los binomios encontramos un término que se repite, por ejemplo: 5 ? 2 5 ? 7 , su producto equivalea: BCuadrado del término común, la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el términocomún, el producto de los términos no comunes” , es decir, un trinomio cuadrado Por ejemplo:

* x ( 1 * x ( - ) * x / (x * 1(- ( * 1 * - ) x/ ( 4x ( /#

* 1y ( 3 * 1y 5 2 ) * 1y / ( * 1y * 3 5 2 ( * 3 *5 2 ) /1y/ 5 .#y 5 2

B*.3. )( %&)+,)+. 5 ? 2 2, su producto equivale a: B$a suma algebraica del cuadrado del primer término, más el doble

producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término”, es decir, untrinomio cuadrado perfecto Por ejemplo:

* x ( 1 / ) * x / ( / * x * 1 ( * 1 / ) x/ ( 3#x ( /1

* /x 5 .y / ) * /x / ( /* /x * 5 .y ( * .y / ) -x/ 5 3/xy ( 4y/

E',%%. 1R'$&'(' (.$ $=&'*'$ 4*.3.$ %.*&=)+.$!

*.x 5 1 *.x ( 1 ) *2m 5 .y *2m ( .y )

*+x/ 5 - *+x/ ( - ) * 4 5 2y * 4 ( 2y )

( 35 x−1)(3

5 x+1)

)

*/m. 5 3# */m. ( 3# )

8


9/29


10/29

2 * 3/y. ( 31y& 5 3+y1 9 * 5 .y/ )

+../

4./

&yx2

&yx3-−

) 423#

43-0-

ba/-

ba.-ba1- +

) 3#23#

43-0-

ba/-

ba.-ba1- +

)

33 ponm3/0

ponm0..1/

.12-−

) 3//40

0./

cba3/

cba3/

) 3.+420

1/.-

tsr q0-

tsr q-

− )

3- +/

411+0424

&x.

&yx.0&x4&yx3/ −+−

)

31./.

0/..--122

cba2

cba.1cba2cba0. −−

)

30pnm/1

pnm21pnm3#1pnm/1-/

+-/--.21-

−

−−−

)

32/-

/-0-+111

y>+

yx>./y>/-yx>0- +−

)

3++-/

..//--24

cba3#

cba4#ca4#cba.#

−

+−−

)

ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA ax ( bx ( c ) dx ( ex ( f 7cuación, igualdad condicionada al valor de una *%9=*)I*%9=*), es la literal de la expresión que representa una cantidad desconocida ésto nos permite resolver problemas y encontrar uno o m's datos desconocidos Dbserva el ejemplo y para ampliar tu informaciónconsulta la siguiente p'gina electrónica

>>>ingunlpeduarEdecanatoEingresoEcontenidosE#4+


11/29


. 5 /y 5 - ) 5 x 5 3 - .m ) 1m ( 0

1 /x 5 / ( 1 ) .x ( / 0 5 x ( . 5 .x ( . ) /x 5 3

2 1c ( 0c 5 +3 ) 2c ( 3#/ ( 01c + .e 5 + ( 0e 5 3/ ) e 5 3# ( 4e 5 3.

4 /r ( 2 5 +r ( 1 5 .r ) 4 5 r ( 0 5 1r 5 3. 3# /t ( / ) 33 5 t

SISTEMAS DE ECUACIONESGay varios métodos para poder resolver los sistemas de ecuaciones simult'neas:

3< Por el método de sustitución /< Por el método de reducción

.< Por el método de igualación -< Por el método gr'fico

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN a ( b ) 3+ HHH * 3 a 5 b ) 0 HHH * /

3< e despeja una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones a ) 3+ 5 b HHH * 3 / e sustituye ese valor en la otra ecuación y se resuelve la ecuación a 5 b ) 0 HHH* / 3+ 5 b 5 b ) 0 7cuación con una sola incógnita 3+ 5 /b ) 0 3+ 5 3+ 5 /b ) 0 5 3+ 5 /b ) 5 3/

2b2

−−

) 212−−

b ) 0 Primer valor

.< 7ste primer valor se sustituye en alguna de las ecuaciones y se resuelve a ( b ) 3+ HHH * 3 a ( 0 ) 3+ a ( 0 5 0 ) 3+ 5 0

a ) 3/ egundo valor

-< e comprueban los valores %allados, en ambas ecuaciones a ( b ) 3+ a 5 b ) 0

3/ ( 0 ) 3+ 3/ 5 0 ) 0 3+ ) 3+ 0 ) 0 i quedan identidades * valores iguales en ambos miembros los valores encontrados son correctos

E',%%. 1R'$&'(' (.$ $=&'*'$ $$'3)$ +' '%&)%.*'$ $3&()*')$

11


12/29


2x ( -y ) 3. 1x ( 0y ) 3# x ( y ) /1x 5 /y ) 34 -x 5 .y ) 5 /. x 5 y ) 0

x ( /y ) . /x ( y ) 1 5 -x ( y ) /#/x 5 y ) 3 x ( .y ) 1 0x 5 4y ) #

MÉTODO POR REDUCCIÓN

? 2; J K / 5 1

? ; J 20 / 5 2 e restan ambas ecuaciones

x ( /y ) + 5 x 5 1y ) 5 /#

5 .y ) 5 3/

y ) 312−−

y ) - e sustituyen el valor de ByC en cualquiera de las / ecuaciones

$o %aremos en la *3

x ( /y ) + HH * 3 x ( /*- ) +

x ( + ) + x ) # Respuesta:

? J 0 ; J

E',%%. 1 @%ora desarrolla y comprueba los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:

x 5 y ) / 1x ( .y ) 3. /x 5 /y ) 5 1/x ( .y ) 34 x 5 y ) 5 33 .x ( -y ) 5 33

12


13/29


14/29

R'$&'$)! ? J ; J

E',%%. 1Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simult'neas

.x ( /y ) /- x ( .y ) + .x 5 -y ) -3-x ( y ) // x 5 y ) - 33x ( 0y ) -2

x ( y ) - .m ( /n ) 1 3/x 5 3+y ) 3.

x 5 y ) / 1m ( n ) 5 3 5 3/x ( .#y ) 5 34

E',%%. 2R'$&'(' (.$ $=&'*'$ ,.4('3)$ +' $$'3)$ +' '%&)%.*'$ (*')('$ ., '( 3.+.


15/29


e 7l costo de cinco discos compactos de m"sica de igual precio menos I 3/# es igual al costo de tresdiscos compactos m's I 3/+ K !u'nto cuesta cada disco compacto L

f K !u'les ser'n dos n"meros que sumados dan 3#- y restados dan + L

g 7l cu'druplo de un n"mero es + unidades menor que el doble de otro, mientras que el séptuplo delprimero es igual al triple del segundo K !u'les son dic%os n"meros L

% i + 6g de naranja y 1 6g de papa cuestan I /+21, y 0 6g de naranja y / 6g de papa cuestan I 3+1#,K cu'l es el precio por 6ilogramo de cada producto L

i Mos n"meros suman /-3 y su diferencia es 44 KNué n"meros sonL

NGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

Para ver la clasificación de 'ngulos, consulta la siguiente p'gina

>>>geo6anetEgeometriaE )*=&(.$%tml

Me la intersección de dos paralelas y una secante se forman + 'ngulos cuatro internos y cuatro externos, por la posición que guardan las paralelas respecto a la secante se establecen diversas relaciones de igualdadentre ellos, así podemos encontrar:

*=&(.$ .&'$.$ ., '( ,%', 'ngulos formados por la prolongación de las mismas rectas, por lo queson iguales, pero se encuentran a ambos lados del vértice

*=&(.$ $&('3'*),.$ son los 'ngulos que al sumarlos dan 3+#O y pueden encontrarse juntos oseparados

*=&(.$ )+;)%'*'$, son los 'ngulos que comparten el mismo vértice y uno de sus lados

*=&(.$ %.,,'$.*+'*'$ son 'ngulos iguales locali&ados en el mismo lado de la secante, en diferentes

paralelas, uno es interno y otro externo*=&(.$ )(',*.$, pueden ser internos o externos, son iguales y se locali&an en la parte interna o externade las paralelas uno de un lado y otro lado de la secante

*=&(.$ %.()',)('$, pueden ser internos o externos son suplementarios y se encuentran en el mismo ladode la secante

@lgunos de los 'ngulos que se %an mencionado anteriormente los podemos distinguir a continuación

i l3 ll l/

a cuatro 'ngulos internos /, ., 0 y 2 b cuatro 'ngulos externos 3, 1, -, + m 3 / c por su posición ∠ 3 es opuesto por el vértice de ∠ 0

15

http://www.geoka.net/geometria/angulos.htmlhttp://www.geoka.net/geometria/angulos.htmlhttp://www.geoka.net/geometria/angulos.htmlhttp://www.geoka.net/geometria/angulos.htmlhttp://www.geoka.net/geometria/angulos.html


16/29

. - d por su posición ∠ 3 es correspondiente de ∠ . 1 0 2 + e ∠ 1 es alterno externo de ∠ - f ∠ 0 es colateral interno de ∠ 2 g ∠ / es alterno interno de ∠ 2

l3 l/

*=&(.$ *=&(.$ *=&(.$ *=&(.$ *=&(.$

%.,,'$.*+'*'$ )(',*.$ *',*.$ )(',*.$ '?',*.$ %.()',)('$ *',*.$ %.()',)('$ '?',*.$ ∠ 3 ) ∠ . ∠ / ) ∠ 2 ∠ 3 ) ∠ + ∠ / ( ∠ . ) 3+# ∠ 3 ( ∠ - ) 3+#

∠ / ) ∠ - ∠ 0 ) ∠ . ∠ 1 ) ∠ - ∠ 0 ( ∠ 2 ) 3+# ∠ 1 ( ∠ + ) 3+#∠ 1 ) ∠ 2∠ 0 ) ∠ +

E',%%. 1

Dbserva la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes:

3 K!ómo se llaman son los 'ngulos 3 y /L

/ K!ómo podemos llamar a los 'ngulos 3 y -L

. Kon suplementarios los 'ngulos / y -L

- Kon iguales los 'ngulos / y .L KPor quéL

1 Kon correspondientes los 'ngulos . y 2L

0 K!ómo son los 'ngulos - y 0L

2 K7l 'ngulo 0 es correspondiente al 'ngulo .L

+ Kon iguales los 'ngulos 1 y +L KPor quéL

4 K!ómo puedes llamarles a los 'ngulos 3 y +L

3# Kon alternos internos los 'ngulos 1 y 0L

E',%%. 2!onsidera que las rectas PN y R son paralelas, calcula y anota las medidas de 'ngulos que %acen falta

33/O

331O

16

∢a ) FFFFFFFFFF ∢b ) FFFFFFFFFF ∢c ) FFFFFFFFFF ∢d ) FFFFFFFFFF ∢e ) FFFFFFFFFF ∢f ) FFFFFFFFFFF

∢g )FFFFFFFFFFF ∢% ) FFFFFFFFFF

R

-2O

S


17/29


K!u'nto miden los 'ngulos internos ) % y ' del tri'ngulo que aparece en la siguiente ilustración, si el'ngulo bQ mide -1 y el 'ngulo dQ mide 0#L

7n cada una de las siguientes figuras obtén la medida de los 'ngulos B?C y B;C seg"n corresponda

SUCESIONES NUMÉRICAS/7l conjunto de varios n"meros ordenados con base en una determinada regla constituye una sucesiónnumérica

Por ejemplo: m"ltiplos de . menores de .# ., 0, 4, 3/, 31, 3+, /3, /-, /2

Para descubrir la generali&ación, fórmula o patrón de una sucesión se tienen que calcular las diferencias que%ay entre las cantidades, este se escribir' como el factor constante de la expresión:

Por ejemplo: ., + 3., 3+, /., /+, FFFF , FFFFF . + 3. 3+ /. /+

a 7l incremento de posición a posición ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 en este caso es 1 como se observa

b e integra el incremento como factor con BnC *

recuerda que BnC es la posición

17

∠ a ) FFFFFFFFFF

∠ c ) FFFFFFFFFF

∠ e ) FFFFFFFFFF

4

')

% +

)+'

4


18/29


Posteriormente se multiplica el factor encontrado por uno que es la primera posición y se revisa si falta osobra para obtener el primer n"mero de la sucesión

c Posición uno i BnC es 3 entonces 1* 3 ) 1

d !omo en la primera posición %ay . sobran / entonces el patrón ser' * 2

e i se va a calcular otra posición que no esté en i el n"mero que ocupa la posición BnC es /1 la secuencia se sustituye en el patrón dic%o entonces:

valor 1* /1 5 / ) 3/1 5 / ) 3/. 7l n"mero que ocupa la posición /1 en la sucesión es 12

E',%%. 17ncuentra la generali&ación de cada una de las siguientes sucesiones

S&%'$9* G'*',)()%9*3 5 0, 5 4, 5 3/, 5 31, 5 3+, H

/ -, /, #, 5 /, 5 -, 5 0, H

. .0, .3, /0, /3, 30, 33, H

- 5 2, 5 3, 1, 33, 32, /., /4, H

1 5 3., 5 34, 5 /1, 5 .3, 5 .2, 5 -., 5 -4,,H

0 5 ./1, 5 2/1, 5 33/1, 5 31/1, 5 34/1, 5 /./1, 5 /2/1, H

2 5 3, 5 /, 5 ., 5 -, 5 1, 5 0, H

+ /#, 3+, 30, 3-, 3/, 3#, H

4 5 1, 5 +, 5 33, 5 3-, 5 32, 5 /#, H

3# 5 /-, 5 3+, 5 3/, 5 0, #, 0, H

33 5 .#, 5 /1, 5 /#, 5 31, 5 3#, 5 1, H

3/ 5 2, 5 1, 5 ., 53, 3, ., H

3. 31, 4, ., 5 ., 5 4, 5 31, H

INTERÉS SIMPLE

e denomina interés simple al interés que se aplica siempre sobre el capital inicial, debido a que losintereses generados no se capitali&an

7l interés simple es un tipo de interés que $'3,' $' %)(%&() $.4,' '( %))( *%)( sin la capitali&aciónde los intereses, de suerte que los intereses generados no se incluyen en el c'lculo futuro de los intereses,permaneciendo el capital fijo, es decir es el resultado que se obtiene cuando los intereses producidosdurante el tiempo que dura una inversión se deben :*%)3'*' )( %))( *%)(

i depositamos un capital ! en un banco durante un año, el banco nos dar' una cantidad I, llamada interés,que se obtiene aplicando un porcentaje ,Q, llamado rédito, a la cantidad C

i depositamos el capital durante años, el interés se calcular' con la fórmula:

18

I ) nterés% ) !apital, ) rédito * S ) ?iempo

http://es.wikipedia.org/wiki/Inter%C3%A9shttp://es.wikipedia.org/wiki/Inversi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Capital_financierohttp://es.wikipedia.org/wiki/Inter%C3%A9shttp://es.wikipedia.org/wiki/Inversi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Capital_financiero


19/29

) 3##

tr c

E'3(.

8n capital de I 3# ### a un interés del 1S mensual prestado por 3/ meses

) 3##

3/1###3#

c . r . t

100

I = 3##

###0##

I = 6 000

El interés anual es de $ 6 000

Vems !ue $ 6 000 "rres#nde a 12 meses si se !uiere saer "u%nts intereses es mensual s&l di'ide entre

12 c . r . t

100

I = 3/

###0

I = 500

El interés mensual !ue dee #aarse es de $ 500

E',%%. 1Resuelve los siguientes problemas

3 !alcula el interés que generan I / 1## durante + meses al + S mensual

/ !alcula el interés que generan I 0# ### durante 0. días al 4 S diario

. !alcula el interés que generan I 3/ ### durante . meses al +/1 S mensual

- !alcula el interés que generan I 31 ### al 3# S mensual en el tiempo transcurrido entre el - deabril y el 3+ de septiembre

1 !alcula el interés que produce un capital de I 30 ### con un interés simple del .//1 S anual durante- años

0 !alcular el interés que produce un capital de I // +## colocado a un interés simple del -/1 S mensualdurante /3 meses

2 !alcular el interés que produce un capital de I /0 1## a un interés simple del / S mensual durante ./4días

+ !alcular el capital que %ay que prestar durante . años a un rédito del - S anual para que produ&ca uninterés de I 1 0-#

C&',. N.34,' A,$)$ V,%'$ F9,3&() +'( .(&3'* D'$),,.((. ()*.

!ubo3/ + T ) U

$ado ) U

19

FORMULARIO DE VOLÚMENES DE PRISMAS Y PIRMIDES

.


20/29

Prismarectangular 3/ +

T ) b a %b ) $argo de la basea ) @nc%o de la base% ) altura del prisma

Prismatriangular 4 0

2bh

V J 5 )

b ) base% ) altura de la basea ) altura del prisma

Prisma%exagonal 3+ 3/

V J 2

apP •

5 )

P ) perímetro ap ) apotema a ) altura

Venerali&ando el volumen de los prismas es:uperficie de la base por altura

Pir'midetriangular 0 -

T )

3

hxbaseladeárea

Wrea de la base ) 2bh

% ) altura de la pir'mide

Pir'mide%exagonal 3/ 2

T ) 3

hxbaseladeárea

Wrea de la base ) 2

apP •

% ) altura de la pir'mide

Pir'midecuadrangula

r+ 1 T )

3

hxbaseladeárea

Wrea de la base ) U% ) altura de la pir'mide

Venerali&ando el volumen de las pir'mides es:uperficie de la base por altura entre tres

E',%%. 1!ompleta la tabla siguiente

C&',.D).$ +' () 4)$' A(&,) +'(

%&',. 5%3V.(&3'*

5%3L),=. 5%3 A*%. 5%3Prisma cuadrangular 4 3#Prisma cuadrangular - /-#Prisma rectangular + / 1Prisma rectangular / /# 3+#Pir'mide rectangular 1 . 3+#Pir'mide cuadrangular 1 3#

20

/


21/29


A

B

C

C&',.D).$ +' () 4)$' A(&,) +'(

%&',. 5%3V.(&3'*

5%3L)+. 5%3 A.'3) 5%3Prisma pentagonal 1 . 3/Pir'mide %exagonal 0 - .0#Prisma octagonal 0 /# /-#

C&',.D).$ +' () 4)$' A(&,) +'(

%&',. 5%3V.(&3'*

5%3B)$' 5%3 A(&,) 5%3

Prisma triangular - 3/ 30+Pir'mide triangular 1 4 3#Pir'mide triangular - 0 -#

E',%%. 2Resuelve los siguientes problemas

3 8na pileta de natación tiene 2 m de anc%o por 31 m de largo con una profundidad constante de 3/+# mi se llena %asta /# cm antes del borde K!u'l es en m. el volumen que ocupa el agua que contieneL

/ $a base de un prisma %exagonal regular de lado 3/2 cm y apotema 3/1 cm !alcula su volumen sabiendoque su altura es ./4 cm

. $a base de esta pir'mide pentagonal regular de lado 3/. cm y de apotema #/4 cm !alcula su volumensabiendo que su altura es //2 cm

- $a Vran Pir'mide de Vi&a es la "nica que perdura de las siete maravillas del mundo antiguo @ctualmentetiene una altura de 3.2 m y la base es un cuadrado de /.# m de lado K!u'l es su volumen aproximadoL

1 8n tinaco de la escuela tiene forma de un prisma %exagonal cuya base tiene una 'rea de 3--cm/ y elnivel de agua llega %asta /# cm, K cu'l es el volumen de agua que tiene el tinaco L

SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES DE UN POLGONO!omo sabes, la suma de los 'ngulos interiores de un tri'nguloes 3+#O A B % J 1K0

21


22/29

A

BE

B

C

DE

H

I

F

G

8n cuadril'tero, puede descomponerse en dos tri'ngulos$a suma de sus 'ngulos interiores es

1K05 2 J 60

Me forma similar un pent'gono se descompone en tres tri'ngulos

$a suma de sus 'ngulos interiores es1K05 J 0/

7l polígono tiene 4 lados 1K05 7 J 1 2608n polígono de * lados puede triangularse, 5 * 2 tri'ngulosPor tanto: L) $&3) *=&(.$ *',.,'$ ) 1K05 * 2

D.*+' * '$ '( *:3',. +' ()+.$

E',%%. 1!ontesta las siguientes preguntas sobre los 'ngulos internos de distintos polígonos convexos

P.(>=.*. F>=&,)N:3',. +' ()+.$

+'( .(>=.*.N:3',. +' ,*=&(.$ '*(.$


23/29

$as tres medidas de tendencia central, la 3'+), 3'+)*) y 3.+), no son igualmente "tiles para obtener una medida de tendencia central Por el contrario, cada una de estas medidas tiene características que%acen que su empleo sea una ventaja en ciertas condiciones y en otras no

Para resumir en un conjunto de datos numéricos podemos utili&ar la 3'+) ),3%), la 3'+)*) o la3.+) $a 3'+) ),3%) . ,.3'+. representa el reparto equitativo, el equilibrio, la equidad 7s elvalor que tendrían los datos, si todos ellos fueran iguales D, también, el valor que correspondería a cadauno de los datos de la distribución si su suma total se repartiera por igual i se ordenan todos los datos, demenor a mayor, la 3'+)*) es el valor que ocupa la posición central i el n"mero de datos es par, lamediana es la media aritmética de los dos centrales $a 3.+) es el valor que m's se repite o, lo que es lomismo, el que tiene la mayor frecuencia

7l uso de la media aritmética y de la mediana *también llamada promedio es algo que se usacotidianamente en nuestra vida

M'+) ),3%) . ,.3'+.7s el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el n"mero total de datos

7jemplo

Xotas de 1 alumnos en una prueba fueron: @lumno Xota

3 0#/ 1-. .3- 2#1 03

e suman las notas:0# ( 1- ( .3 ( 2# ( 03 ) /20

7l total se divide entre la cantidad de alumnos:

1/1

1

0/2x

$a media aritmética en este problema es 11/

P,.'+)+'$ +' () 3'+) ),3%) . ,.3'+.

1/ $a media es una medida muy "til para comparar dos o m's poblaciones

2/ u c'lculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos

/ u valor es "nico para una serie de datos dados

/ e interpreta como Ypunto de equilibrioY del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar losdatos respecto de su propio valor:

/ $a sumatoria de las desviaciones de cada término respecto de la media es igual a cero!omprobemos la anterior propiedad con un caso sencillo e tiene que para los datos 1, 2, 4, 33 y 3.J lamedia aritmética es 4

$a sumatoria de las desviaciones de cada término respecto de la media es la siguiente:

*4 5 1 ) -*4 5 2 ) /*4 5 4 ) #*4 5 33 ) 5 /*4 5 3. ) 5 -

#

Dbserva que la sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es igual a cero

M'+)*)

7s el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor e tieneque 1#S de las observaciones se encuentran por arriba de la mediana y 1#S por debajo de ella

E'3(.!

N:3',. +' +).$ *.*'$

#, #, 3, 3, 3, /, /, /, /, /, /, /, ., ., ., ., ., ., ., -, -, 1, 1, 0, 0

23

M'+)*) 3/ datos3/ datos


24/29

N:3',. +' +).$ ),'$

#, #, #, 3, 3, 3, /, /, /, /, /, /, /, ., ., ., ., ., ., ., -, -, 1, 1, 0, 0

1/

/

1

L)$ ,.'+)+'$ +' () 3'+)*)1/ 7s "nica, sólo existe una mediana para un conjunto de datos

2/ Xo se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños

/ Puede calcularse para una distribución de frecuencias en los

M.+)7s el valor que aparece con m's frecuenciaPuede determinarse para todos los niveles de datos Xo se ve afectada por valores muy altos o muy bajos

Para muc%os conjuntos de datos no %ay valor modal porque ning"n valor aparece m's de una ve&Para algunos conjuntos de datos %ay m's de una moda * bimodal, que tiene dos modas, o polimodal m's de dosmodas

/, ., ., -, -, -, -, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 2, +, +, 4, 4, 4, 4, 3#

., ., -, -, -, -, 1, 0, 2, +, +, 4, 4, 4, 4, 3# /, /, /, -, 1, 0, 0, 0, +, +, +, 4, 4, 4, 3#

E',%%. 1

3 8n objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por nueve estudiantes de una clase, obteniéndoselos siguientes valores en gramos:

0/, 0#, 0#, 31., 0., 03, 0/., 031, 0/ K!u'l es la media, mediana y moda L

/ $a tabla muestra el n"mero de frecuencia de las calificaciones de %istoria del arte de los -# alumnos deuna clase:

? 3 / . - 1 0 2 + 48 / / - 1 + 4 . - .

Galla la media aritmética, la moda y la mediana

. @ tomar una muestra de estaturas en centímetros de /3 estudiantes de secundaria se registraron lassiguientes:311, 31+, 30#, 312, 311, 30#, 30/, 303,30#, 30#, 30#,301, 30., 30+, 30.,30/, 30#, 30-, 303, 30., 30#

K!u'l es la media, mediana y moda L

- 7n un estudio que se reali&ó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de los que pueden caminar sindificultades Zuscar la media, la mediana y la moda de las siguientes edades

04 2. 01 2# 23 2- 01 04 0# 0/

24

3. datos3. datos

/ ( . ) 1

M'+)*)2/

Mato ue m's se re ite

M.+)

M.+)W

M.+)K

M.+)6

M.+)2



M.+)W

M.+)

P.(3.+)(B3.+)(


25/29

1 7l director del programa de becas de una secundaria tiene 30 solicitudes para su aprobación el próximootoño $as calificaciones de la prueba de los solicitantes son:

/2, /2, /2, /+, /2, /1, /1, /+, /0, /+, /0, /+, .3, /#, /0, /0

0 e escogió un salón de clases de cuarto grado, con un total de /1 estudiantes, y se les pidió quecalificaran del 3 al 1 un programa televisivo *1 ) 7xcelente - ) Zueno . ) Regular - ) Xo muy bueno 3 ) [atal 7stos fueron los resultados:

3, ., ., -, 3, /, /, /, 1, 3, -, 1, 3, 1, ., 1, 3, -, 3, /, /, 3, /, ., 1 Zusca la media, la moda y la mediana,

2 $a agencia de viajes Aoore, una agencia de viajes nacional, ofrece tarifas especiales en ciertas travesíaspor el !aribe a ciudadanos de la tercera edad 7l presidente de la agencia quiere información adicionalsobre las edades de las personas que viajan 8na muestra aleatoria de -# clientes que %icieron uncrucero el año pasado dio a conocer las siguientes edades

22, 3+, 0., +-, .+, 1-, 1#, 14, 1-, 10, .0, /., 1#, .-, --, -3, 1+, 1+, 1., 13,

0/, -., 1/, 1., 0., 0/, 0/, 01, 03, 1/, 0#, 0#, -1, 00, +., 23, 0., 1+, 02, 23

Drgani&a los datos y calcula la media, mediana y moda

+ $as puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba %an sido:31, /#, 31, 3+, //, 3., 3., 30, 31, 34, 3+, 31, 30, /#, 30, 31, 3+, 30, 3-, 3.


4 7l n"mero de estrellas de los %oteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:., ., -, ., -, ., 3, ., -, ., ., ., /, 3, ., ., ., /, ., /, /, ., ., ., /, /, /, /, /, ., /, 3, 3, 3, /, /, -, 3


3# $as calificaciones de 1# alumnos en Aatem'ticas %an sido las siguientes:1, /, -, 4, 2, -, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, /, 3#, 1, 0, 1, -, 1, +, +, -, #, +,-, +, 0, 0, ., 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2, ., 1, 0, 4, 0, 3, -, 0, ., 1, 1, 0, 2


7n cada caso obtén la moda, mediana y media3, 3, ., ., -, -, 0, 0, +, +Ao )

Ae )

? J

+, 4, 4, 4, 3#, 3#, 3#, 3/, 3., 3-, 31, 31, 31, 32, 32, 3+Ao )

Ae )? J

1, 1, 1, 0, 0, 2, 2, +, 4, 4, 4, 3#, 3#, 3#+Ao )

Ae )

? J

-, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2 ,2 ,2 ,+ ,+ ,+, 4, 4, 4, 4, 3#, 3#, 3#Ao )

Ae )?

GRFICAS$as variaciones existentes entre las magnitudes que intervienen en un fenómeno físico o social, muc%asveces se representan por medio de dibujos, que reciben el nombre de gr'ficas

7xisten diferentes clases de gr'ficasJ gr'fica de barras, gr'fica poligonal, gr'fica de sectores circulares, etc

25

Lo

que

deb

es

reco

rdar


26/29

H$.=,)3)$a gr'fica de barras recibe el nombre de %istograma, en esta clase de gr'ficas se utili&an barras de lamisma anc%ura y cuya altura debe ser proporcional a la cantidad que se va a representar

7n la base del %istograma se indica la claseJ y en la altura a la frecuencia de clase, esta clase de gr'ficasnos permiten resumir y anali&ar grandes cantidades de datos, es una forma de comunicar información deforma clara y sencilla sobre situaciones complejas

E'3(.7n una prueba de conocimientos generales un grupo de -# alumnos obtuvo los siguientes reactivos

correctos

G,8%) .(=.*)(!e utili&a, al igual que el %istograma, para representar distribuciones de frecuencias de variablescuantitativas continuas, pero como no se utili&an barras en su confección sino segmentos de recta, de a%í elnombre de polígono

$as gr'ficas poligonales se utili&an para mostrar la evolución o los cambios de un fenómeno durante unperíodoJ la variación del precio de un artículo, el índice de enfermedades de un país, el crecimiento enestatura de un niño y otros datos semejantes, donde interesa saber cómo cambian en el tiempo

Gabitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo gr'fico m's de una distribución, ya que por laforma de construcción del %istograma sólo se puede representar una distribución Para su confección, unave& construidas y rotuladas las escalas, de manera similar a como se reali&a para un %istograma, los valoresde alturas obtenidos se marcan sobre el punto medio o marca de clase de los intervalos correspondientes yluego se procede a unir esos puntos con segmentos de recta

7jemplo: 7n la materia de Aatem'ticas la profesora anali&a los resultados de dos grupos

E',%%. 1S&4,);) () ,'$&'$)

3 $a siguiente gr'fica representa el n"mero de anotaciones de cinco integrantes del equipo de futbol @mérica en uno de los "ltimos torneos:

26

W

1

1 K!u'l es el n"mero de alumnos queobtuvieron entre /+ y .1 reactivoscorrectosL

2K )(&3*.$

K!u'l es el mayor n"mero de reactivoscorrectos obtenidoL

1 1W ,')%.$ %.,,'%.$

K!u'ntos alumnos del grupo #obtuvieron m's de + decalificaciónL 7 )(&3*.$

K7n cu'l grupo 1 alumnosobtuvieron 1 de calificaciónL

E* '( =,&. Y


27/29

REYNA ES!E"A #EN$%E& R'S$NE$ ('N%ENE)R'0

24

6

8

10

12

14

16

18

K!u'ntos goles anotaron entre todosLa 11 goles b 10 goles c -1 goles d -0 goles

/ \aime preguntó a sus vecinos: KNué fruta te gusta m'sL y con las respuestas obtenidas elaboró lasiguiente gr'fica:

P*A%AN' (AN&ANA P$+A (AN)' PERA !,A0

5

10

15

20

25

K!u'l de las siguientes afirmaciones es correctaLa /# personas prefieren el mango o la perab Aan&ana y pl'tano son las frutas preferidas de sus vecinosc $a fruta de mayor preferencia es la uvad \aime preguntó a 1# vecinos sobre su fruta preferida

. $a siguiente gr'fica representa la cantidad de bolsas de palomitas que se vendieron en las cuatrofunciones reali&adas en un cine de la !iudad de Aéxico

Pr-mera /- Seda /- %erera /- ara /-0

100

200

300

400

500

600

Me acuerdo con los datos que se muestran, Kcu'l fue el promedio de bolsas de palomitas vendidasLa .21 personasb .## personasc -## personasd -1# personas

27

Lo

que

deb

es

reco

rdar


28/29

P,.4)4(+)+ %($%)7s el cociente del n"mero de veces que ocurrió un evento entre el n"mero de veces que se reali&ó elexperimento

P * 7 ) posiblesresultadosdetotalX"mero

eventoalfavorablesresultadosdeX"mero

7jemplo:7n una urna %ay . bolas blancas, / rojas y - a&ules !alcula la probabilidad de que al extraer una bola al

a&ar, salga rojaGay en total 2 bolas rojas en la urnaGay en total W bolas en la urna que es el n"mero total de resultados posibles

P * alir bola roja ) 4

/

7xperimento:&' %)=) '* &* +)+.! P,.4)4(+)+ F.,3) +'%3)(

20

#E'*. 3.$4(' porque en un dado no %ay n"mero 2

10

33 7 0 ) #32

3 ó 0 0/

/ 7 0 ) #..

X"mero par * /, -, 0 0

.. 7 0 ) #1#

X"mero par ó el n"mero 10

-- 7 0 ) #02

X"mero par ó losn"meros ., 1 0

11 7 0 ) #+.

X"mero par ón"mero impar 0

0 0 7 0 ) 3#E'*. $'=&,. * cualquier n"mero del dado

E',%%. 1C.*'$) (.


29/29

un %ombre FFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

una mujer FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

una mujer rubia FFFFFFFFFFFFFFFFF

una mujer morena FFFFFFFFFFFFFFF

un %ombre moreno FFFFFFFFFFFFFF

un %ombre rubio FFFFFFFFFFFFFFFF

FECHA DE APLICACIÓN! """""""""""""""""""""""""""""""""

NOMBRE Y FIRMA DEL 5LA PROFESOR 5A UE ELABORÓ EL E#AMEN!"""""""""""""""""""""""""""""""

R'$.! P,.8'$., V%'*' S)* X&)*

""""""""""""""""""""""""" S&4+,'%., A%)+3%.

V./ B./

P,.8)/ I,3) H',**+' L'9*""""""""""" NOMBRE Y FIRMA DEL 5LA DIRECTOR 5A

Recuerda que eres E#CELENTE y tu puedes ser mejor solamente estudia, administra tu tiempo y triunfar's

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