GUIA N° 1 MATEMATICA II.

Docentes: Octavio Echeverry Valencia. Luis Fernando Arias Ramírez.

GUIA N° 1 MATEMATICA II

FUNCIONES DE TIPO R EN R

CONCEPTO Y DEFINICION DE FUNCION.

Una función f de un conjunto A en un conjunto B notada f: A B es una ley que asocia

a cada elemento de A exactamente un elemento de B; el conjunto A se denomina

dominio de la función, el conjunto B se denomina codomínio y los elementos de B que

están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado rango de la

función.

Si x es un elemento del dominio, la notación f(x) se utiliza para designar el elemento que

en el recorrido corresponde a x en la función f, y se denomina valor de la función f en x o

imagen de x por f. El dominio de f se nota por Df y el recorrido de f por Rf.

Ejemplo 1. Dados los conjuntos:

A = {1,2,3,4,5}

B = { 25,20,16,10,9,8,7,6,5,4,2

7,

2

5,2,

2

3,1,

2

1}

Y las funciones definidas por:

f(x) = 2x, g(x) = x², h(x) = x/2, con x € A y f(x), g(x) y h(x) € B.

Encontremos el dominio y el recorrido de cada una de las siguientes funciones:

f(x) = 2x,

f(1) = 2(1) = 2,

f(2) = 2(2) = 4,

f(3) = 2(3) = 6,

f(4) = 2(4) = 8,

f(5) = 2(5) = 10.

Df = A y Rf = {2,4,6,8,10}.

g(x) = x²,

g(1) = 1² = 1,

g(2) = 2² = 4,

g(3) = 3² = 9,

g(4) = 4² = 16,

g(5) = 5² = 25

Dg = A y Rg = {1,4,9,16,25}.

h(x) = x/2,

h(1) = 1/2,

h(2) = 2/2 = 1,

h(3) = 3/2,

h(4) = 4/2 = 2,

h(5) = 5/2


Dh = A y Rh = {1/2, 1, 3/2, 2, 5/2}.

Ejemplo 2. Las siguientes ecuaciones definen funciones de A en R. Determinar el

dominio de cada una de ellas.

f(x) = 2x – 3

g(x) = 3/(x-4)

h(x) = 42 x

Como se observa al graficar f(x), está definida para cualquier valor real de x; luego Df= R

Como se observa al graficar g(x), está definida para todos los valores de x tales que el

denominador sea diferente de cero.

X – 4 ≠ 0; es decir x ≠4.

Por tanto Dg = R - {4}.

Como se observa al graficar h(x), está definida para valores de x tales que el radicando

sea mayor o igual a cero. Es decir 2x – 4 0 o x 2 Luego Dh = [2, ) .


TRABAJO INDIVIDUAL No 1

Encuentre los valores propuestos en cada una de las siguientes funciones de A en R con

A R .

1. Si f(x) = 3x – 2, Halle f(-1), f(0), f(2), f(2/3).

2. Si g(x) = 3x² - 1, Halle g(-1), g(0), g(2), g(3).

3. Si h(x) = 13 x , Halle h(-1/3), h(0), h(5), h(8).

4. Si m(x) = 2x – 1/x, Halle m(2), m(4), m(-4), m(-2).

Elabore la gráfica de las siguientes funciones y halle su dominio.

1. n(x) = 3 Función constante.

2. r(x) = 3x – 6 Función lineal.

3. s(x) = 2 x² Función cuadrática.

4. w(x) = x³ Función cúbica.

5. p(x) = x/(x² - 9) Función Racional.

6. t(x) = 3x Función de raíz cuadrada.

7. v(x) = 2 x Función exponencial.

8. y(x) = xlog2

Función logarítmica.


FUNCION SUMA Y FUNCION DIFERENCIA.

Sean f y g dos funciones con dominios A y B respectivamente; entonces las funciones

suma y diferencia f + g y f – g se definen asi:

(f + g) (x) = f(x) + g(x). Dominio de (f + g) = A ∩ B

(f - g) (x) = f(x) - g(x). Dominio de (f - g) = A ∩ B


Determine el dominio de f + g y f – g para las siguientes funciones.

1. f(x) = 3x – 3, g(x) = 1x

2. f(x) = 1x , g(x) = 1x

3. f(x) = 2 - 3x, g(x) = 3x

4. f(x) = 2

2

x

x , g(x) =

12

5

x

x


FUNCION Y PRODUCTO Y COCIENTE

Sean f y g dos funciones con dominios A y B, respectivamente, entonces la función

producto f.g se define asi:

(f . g) (x) = f(x). g (x). Dominio de (f . g) = A B

(f/g) (x) = .)(

)(

xg

xf Dominio de

g

f = }0)(/{ xgBxBA


Determine el dominio del producto y cociente de cada par de funciones

1. f(x) = x - 2, g(x) = x 2 - 1

2. f(x) = 4x , g(x) = 2x -1

3. f(x) = 1

2

x, g(x) =

2

3

x

4. f(x) = 1

2

x, g(x) = x - 3


COMPOSICION DE FUNCIONES

Dadas dos funciones f y g, la función compuesta (f o g) (x) esta definida por

(f o g) (x) = f(g(x)) que indica que al calcular (f o g) (x) primero se aplica la función g a x y

después la función f a g (x).

Ejemplo

1. Si f(x) = 5x - 2, g(x) = 3x, (f o g)(x) = f(3x) = 5(3x) – 2 = 15x - 2

2. Si f(x) = 5x - 2, g(x) = 3x, (g o f) (x) = g(5x - 2) = 3(5x -2) = 15x - 6

3. Si f(x) = 514)4())((.....4)(,....1 xxxfxgfxxgx

4. f(x) = 2x 9611061)53(2)53())((,53)(,12

2 xxxxfxgfxxg


Calcule el valor indicado en cada uno de los siguientes ejercicios

1. f(x) = x + 3, g(x) = x 2 f(g(2) = g(f(4)) =

2. f(x) = 23)(,52 xxgx f(g(1)) = g(f(2)) =

3. f(x) = 2)(,32 xxgx f(g(3)) = g(f(1)) =

4. f(x) = 2 ,42 x g(x)= 13 x f(g(-1)) = g(f(-3)) =


FUNCION INVERSA

Consideremos la función f: [0,1] [1,3] x f(x) = 2x + 1

El recorrido de f es el intervalo [1,3]; cada punto x de [0,1] es llevado por f a un

único punto y de [1,3], a saber, y = 2*x+1 recíprocamente, para todo y de [1,3], existe

un único X en [0,1] para el que y = f(x). Para encontrar este x se resuelve la anterior

ecuación, se obtiene x =2

1(y-1) esta ecuación define x como función de y; si

llamamos g a esta función, tenemos g (y) = 2

1 (y-1) para cada y de [1,3] la función g

se denomina inversa de F.

La inversa de f se nota f 1 .Si la grafica de f contiene el punto (a,b), entonces la gráfica de

f 1 contiene el punto (b,a) y recíprocamente.


Escriba si existe la función inversa de las siguientes:

1. f(x) = 2x -1

2. g(x) = 6 - 3x

3. h(x) = 2x - 1

4. f(x) = 3x + 5

5. 5(x) = 103 x

6. r(x) = 4( 2x +3)


FUNCION CRECIENTE DECRECIENTE

Una función f es creciente en un intervalo I, si f( 1x ) < f( 2x ) siempre que 1x < 2x en I

Una función f es decreciente en un intervalo I, si f( 1x ) > f ( 2x ) siempre que

( 1x ) < ( 2x ) en I.


Elabore la gráfica de cada una de las siguientes funciones e indique los intervalos en

los que dicha función es creciente o decreciente.

1. f(x) = 2x - 3 2. g(x) = 2x - 2x +1 3. h(x) = 5 - x

4. m(x) = 2x +1 5. t(x) = x2 6. p(x) = 1

3

x

x

7. r(x) = (x+3) 2 8. w(x) = x

1 9. z(x) =

x

2

1


FUNCION VALOR ABSOLUTO

Elaboremos la siguiente función f(x) = x si x>0

0 si x=0

-x si x<0

La función que asigna a cada numero real x el numero no negativo IxI se denomina

función valor absoluto y se define y grafíca como se hizo inicialmente.


Dibuje la gráfica y halle los puntos de corte con el eje x

1. f(x) = Ix+1I 2. g(x) = I5-xI 3. h(x) = IxI-1

4. m(x) = I3-xI 5. r(x) = 3 - Ix+1I 6. t(x) = I2x+4I-1

7. w(x) = Ix

xI 8. 5(x) = x - IxI 9. h(x) = I 12 x I


ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1. Encuentre el dominio y el recorrido de las siguientes funciones

a. f(x) = 2-3x b. f(x) = 1522 xx c. f(x) = Ix+1I -2

d. f(x) = Ix+5I e. f(x) = Ix+1I -2 f. f(x) = 3x

2. Si f(x) = xx 22 y g(x) = 42 x

xhalle lo indicado y su dominio.

a. 3f(x) b. (f+g)(x) c. g

f(x)

3. Si f(x) = 5 42 x y g(x) = 5

3

x

x halle:

a. (f o g) (x) b. (g o f) (x) c. f(f(x)) d. f(g(-4))

4. Indique el conjunto de los números reales para los cuales las siguientes funciones

son crecientes o decrecientes

a. f(x) = -3+4 b. f(x) = 2 12 x c. f(x) = - 3x d. f(x) = IxI

GUIA N° 1 MATEMATICA II.

Documents

Transcript of GUIA N° 1 MATEMATICA II.