Guia Ley de Gauss
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Gu´ ıa N ◦ 3 ejercicios: Ley de Gauss. F´ ısica II (CF-342) Departamento de F´ ısica, Facultad de Ciencias B´asicas, Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile 3 de septiembre de 2014 1. Considere una caja triangular cerrada por la cual pa- sa un campo el´ ectrico uniforme de magnitud E =7,8 × 10 4 [N/C], como se muestra en la figura. Calcule el flujo de campo el´ ectrico a trav´ es de: a) la superficie vertical, b) la superficie inclinada, y c) de toda la caja triangular. Sol a) Φ E =-2340[Nm 2 /C], b) Φ E =2340[Nm 2 /C], c) Φ E = 0. 2. Para las cuatro superficies cerradas, S 1 a S 4 , junto con las cargas que se muestran en la Figura. Encon- trar el flujo el´ ectrico a trav´ es de cada superficie. Sol: a) Para S 1 ,Φ E = −Q/ϵ 0 , b) Para S 2 ,Φ E = 0, c) Para S 3 ,Φ E = −2Q/ϵ 0 , d) Para S 4 ,Φ E = 0. 3. Una esfera de radio R rodea a una carga puntual Q localizada en su centro. a) Calcule el flujo el´ ectrico a trav´ es de una tapa circular de medio ´angulo θ, como aparece en la figura. b) Determine el valor del flujo el´ ectrico a trav´ es de la superficie cerrada, es decir, para cuando el ´angulo θ = π. a) Φ E = Q 2ϵ 0 (1 − cos θ), b) Φ E = Q ϵ 0 . 4. Una carga puntual Q se coloca justo sobre el centro de la cara plana de un hemisferio de radio R, como se muestra en la figura. a) ¿Cu´al es el flujo el´ ectri- co a trav´ es de la superficie curva del hemisferio? b) ¿Cu´ al es el flujo el´ ectrico a trav´ es de la cara plana del hemisf´ erio? Sol: a) Φ E = Q 2ϵ 0 , b) Φ E = − Q 2ϵ 0 . 5. Considere un cascar´on esf´ erico delgado de radio 14[cm] con una carga total de 32[µC ] distribuida uni- formemente sobre la superficie. Calcule la magnitud del campo el´ ectrico a una distancia de: a) 10[cm] y b) 20[cm] desde el centro de la distribuci´on de carga. Sol: a) E=0, b) E =7,2 × 10 6 [N/C ]. 6. Considere una esfera aislante de radio R, con carga total Q, con una distribuci´on volum´ etrica de carga no uniforme dada por ρ(r)= ρ 0 (1 − r 2 R 2 ). A una distancia 3R a la derecha de la esfera se encuentra una carga positiva q de masa m. La carga q est´a unida a una cuerda sin masa la cual, en equilibrio forma un ´angulo θ con la vertical. a) Determine la carga total Q de la esfera aislante en t´ erminos de ρ 0 y R. b) Haga un diagrama de fuerzas sobre la part´ ıcula de masa m. c) Encuentre el valor de la carga q, en t´ erminos del ´ angulo θ, la masa m, el radio R y la carga Q. Sol: a) Q = 8 15 πρ 0 R 3 , c) q = 30 π mg tan θ kρ 0 R 7. En el ejercicio (6) considere que la esfera aislante tie- ne densidad de carga volum´ etrica constante, pero se mantiene la carga total Q. ¿Cuanto cambia la carga q respecto al ejercicio (6)? Sol: la carga q es la misma que la anterior, q = 16R 2 mg tan θ kQ . 8. Dos laminas infinitas no conductoras de cargas son paralelas, como se muestra en la Figura. La l´amina de la izquierda tiene una densidad superficial σ y la de la derecha tiene una densidad superficial de carga −σ. Determine el campo el´ ectrico en puntos: a) a la izquierda b) entre y c) a la derecha de las dos laminas infinitas. Sol: a) E = 0, b) E = σ ϵ 0 hacia la derecha, c) E = 0. 1
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Gua N3 ejercicios: Ley de Gauss.
Fsica II (CF-342)Departamento de Fsica, Facultad de Ciencias Basicas,
Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile
3 de septiembre de 2014
1. Considere una caja triangular cerrada por la cual pa-sa un campo electrico uniforme de magnitudE = 7;8 104[N/C], como se muestra en la gura.Calcule el ujo de campo electrico a traves de: a) lasupercie vertical, b) la supercie inclinada, y c) detoda la caja triangular. Sol a) E=-2340[Nm
2/C],b) E=2340[Nm
2/C], c) E = 0.
2. Para las cuatro supercies cerradas, S1 a S4, juntocon las cargas que se muestran en la Figura. Encon-trar el ujo electrico a traves de cada supercie.Sol: a) Para S1, E = Q=0, b) Para S2, E = 0,c) Para S3, E = 2Q=0, d) Para S4, E = 0.
3. Una esfera de radio R rodea a una carga puntual Qlocalizada en su centro. a) Calcule el ujo electrico atraves de una tapa circular de medio angulo , comoaparece en la gura. b) Determine el valor del ujoelectrico a traves de la supercie cerrada, es decir,para cuando el angulo = .
a) E =Q
20(1 cos ), b) E = Q
0.
4. Una carga puntual Q se coloca justo sobre el centrode la cara plana de un hemisferio de radio R, comose muestra en la gura. a) >Cual es el ujo electri-co a traves de la supercie curva del hemisferio? b)>Cual es el ujo electrico a traves de la cara plana
del hemisferio? Sol: a) E =Q
20, b) E = Q
20.
5. Considere un cascaron esferico delgado de radio14[cm] con una carga total de 32[C] distribuida uni-formemente sobre la supercie. Calcule la magnituddel campo electrico a una distancia de: a) 10[cm] yb) 20[cm] desde el centro de la distribucion de carga.Sol: a) E=0, b) E = 7;2 106[N=C].
6. Considere una esfera aislante de radio R, con cargatotal Q, con una distribucion volumetrica de carga nouniforme dada por (r) = 0(1 r2R2 ). A una distancia3R a la derecha de la esfera se encuentra una cargapositiva q de masa m. La carga q esta unida a unacuerda sin masa la cual, en equilibrio forma un angulo con la vertical. a) Determine la carga total Q de laesfera aislante en terminos de 0 y R. b) Haga undiagrama de fuerzas sobre la partcula de masa m.c) Encuentre el valor de la carga q, en terminos delangulo , la masa m, el radio R y la carga Q.
Sol: a) Q =8
150R
3, c) q =30
mg tan
k0R
7. En el ejercicio (6) considere que la esfera aislante tie-ne densidad de carga volumetrica constante, pero semantiene la carga total Q. >Cuanto cambia la cargaq respecto al ejercicio (6)? Sol: la carga q es la misma
que la anterior, q =16R2mg tan
kQ.
8. Dos laminas innitas no conductoras de cargas sonparalelas, como se muestra en la Figura. La laminade la izquierda tiene una densidad supercial y lade la derecha tiene una densidad supercial de carga. Determine el campo electrico en puntos:a) a la izquierda b) entre y c) a la derecha de las dos
laminas innitas. Sol: a) ~E = ~0, b) E =
0hacia la
derecha, c) ~E = ~0.
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9. Una peque~na esfera de masa m y carga q esta sus-pendida de una cuerda sin masa formando un angulo con una lamina innita no conductora uniforme-mente cargada, como se observa en la gura. a) >Enque direccion apunta la fuerza electrica sobre la car-ga q? b) Haga un diagrama que muestre todas lasfuerzas que actuan sobre la masa m. c) Usando la leyde Gauss, determine la magnitud del campo electri-co en terminos de la densidad de carga supercial .d)Determine la densidad de carga supercial de la
lamina innita. Sol: a) Hacia la derecha, c) E =
20,
d) = (2mg0 tan )=q
10. Considere una barra innita que tiene una densidadlineal de carga uniforme . Usando la ley de Gaussdetermine el campo electrico generado por la barraen un punto p ubicado a una distancia d sobre el eje
y, tal como aparece en la gura. Sol: ~E = 2k
d(j^).
11. Una lamina cilndrica de radio 7[cm] y largo 240[cm]tiene carga distribuida uniformemente sobre su su-percie. La magnitud del campo electrico a un pun-to 19[cm] radialmente hacia afuera desde su eje es36[kN=C]. Calcule a) la carga neta de la laminacilndrica b) el campo electrico a una distancia de4[cm] desde el eje, medida radialmente hacia afueradesde el centro de la lamina cilndrica. Sol: a) 912[nC],b) E=0.
12. Un cilindro aislante innito de radio R tiene una den-sidad de carga por unidad de volumen que vara con
el radio con = 0
a r
b
donde, 0, a y b son
constantes positivas y r es la distancia desde el ejedel cilindro. Mediante la ley de Gauss determine lamagnitud del campo electrico a una distancia radial
(a) r < R y (b) r > R. Sol: a) ~E =0r
0(a
2 r
3b)r^,
para r < R, b) ~E =0R
2
0r(a
2 R
3b)r^, para r > R.
13. Una esfera solida aislante de radio a tiene una den-sidad de carga uniforme y una carga total Q.Concentrica con la esfera se encuentra una esfera con-ductora sin carga de radio interior b y radio exteriorc, como se muestra en la Figura. Encuentre el campoelectrico para: a) r < a, b) a < r < b, c) b < r < cd) r > c, e) Determine la carga inducida por unidadde area sobre las supercies de la esfera conductora.
Sol: a) ~E =kQr
a3r^, para 0 r < a, b) ~E = kQ
r2r^, para
a r < b, c) ~E = 0, para b < r < c, d) ~E = kQr2
r^, pa-
ra r > c, e) =Q4b2
, supercie interior, f) =Q
4c2supercie exterior.
14. Considere una esfera aisladora de radio R, con unacarga por unidad de volumen dada por(r) = Cr, donde C es una constante positiva. Estaesfera esta rodeada por un cascaron esferico conduc-tor descargado concentrico a ella, de radio interior2R y radio exterior 3R. Entre la esfera aislante y elcascaron conductor existe espacio vaco. a) Calcule lacarga total Q en la esfera aislante. b) Determine lacarga en las supercies interior y exterior del cascaronconductor. c) Determine el campo electrico en todoel espacio. Solucion: a) Q = CR4, b) -Q supercieinterior y +Q supercie exterior, c) ~E = Cr2=(40)r^,0 r < R; ~E = (kQ=r2)r^, R < r < 2R; E = 0,2R < r < 3R; ~E = (kQ=r2)r^, r > 3R.
15. Considere una esfera conductora de radio R, con unacarga total Q positiva. Esta esfera esta rodeada porun cascaron esferico conductor concentrico que tieneuna carga neta igual a 3Q. Entre la esfera conduc-tora y el cascaron conductor existe espacio vaco. a)Determine la carga por unidad de area (densidad su-percial de carga) sobre cada supercie. b) Determineel campo electrico en todo el espacio.Sol: a) 1 = Q=(4R
2), 2 = Q=(36R2), 3 =Q=(16R2), b) E = 0, 0 r < R; ~E = (kQ=r2)r^,R r < 3R; E = 0, 3R < r < 4R; ~E = (4kQ=r2)r^,r > 4R.
16. Una esfera aislante de radio R y carga total Q tieneuna distribucion de carga cuya densidad vara como(r) = Br=R, donde B es una constante positiva, yr es la distancia medida desde el centro de la esfe-ra. A la derecha, a una distancia 2R de la esfera, seencuentra un alambre de longitud 5R cargado unifor-memente con carga total Q positiva. a) Encuentre elcampo electrico producido por la esfera en el puntoP . b) Determine el campo electrico producido por elalambre en el punto P . c) >Cual es el campo electricototal en el punto P?.
Sol: a) ~E =kQ
4R2i^, b) ~E = kQ
6R2i^, c) ~Ep =
kQ
12R2i^
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