8/16/2019 Guia Ecuaciones MateII

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Facultad de Ciencias

MATEMATICA II

Práctica XIIIEcuaciones Diferenciales.

1.   En los siguientes problemas, establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal. Indiqueel orden de cada ecuación.

a )   (1 − x)y − 4xy + 5y = cos x

b)   yy

+ 2y  = 1 + x2

c )   x2dy + (y − xy − xex)dx = 0

d )   x3y(4) − x2y + 4xy − 3y = 0

e )   dydx   = 

1 + ( d2y

dx2 )2

 f  )   (sin x)y − (cos x)y = 2

g )   (1−

y2)dx + xdy  = 0

2.   Resuelva la ecuación diferencial por separación de variables.

a )   dydx  = sin 5x

b)   dydx   = (x + 1)2

c )   dx + e3xdy = 0

d )   (x + 1)y = x + 6

e )   xy = 4y

 f  )   dydx

  =   y3

x2

g )   dxdy   =  x2y2

1+x

h )   dydx   = e3x+2y

i )   (4y + yx2)dy − (2x + xy2)dx = 0

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 j )   (1 + x2 + y2 + x2y2)dy  =  y2dx

k )   2y(x + 1)dy =  xdx

l )   y ln xdxdy   = (y+1x   )2

m )   sec2 xdy + csc ydx  = 0

3.   Resuelva la ecuación diferencial por separación de variables, sujeta a la condición inicial res-pectiva.

a )   (e−y + 1) sin x dx = (1 + cos x)dy, y(0) = 0

b)   (1 + x4)dy + x(1 + 4y2)dx = 0, y(1) = 0

c )   ydy  = 4x 

1 + y2dx = 0, y(0) = 1

d )   dydx  + ty  =  y, y(1) = 3

e )   dxdy   = 4(x2 + 1), x(π/4) = 1

 f  )   x2y = y − xy, y(−1) = −1

g )   dydx   =  y2−1x2−1

, y(2) = 2

4.   Determine la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden dada.

a )   dydx   = 5y

b)   3 dydx  + 12y = 4

c )   dydx  + y  =  e3x

d )   y + 3x2y  =  x2

e )   x2y + xy  = 1

 f  )   (x + 4y2)dy + 2y dx = 0

g )   x dy  = (x sin x− y)dx

h )   (1 + x2)dy + (xy + x3 + x)dx = 0

i )   (1 + ex)y + ex = 0

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 j )   cos x y + y sin x = 1

k )   xy + 4y  =  x3 − x

l )   x2y

+ x(x + 2)y =  ex

m )   cos2 x sin x dy + (y cos3 x − 1)dx = 0

n )   y dx + (xy + 2x − yey)dy  = 0

˜ n )   xy + (3x + 1)y  =  e−3x

o)   y dx − 4(x + y6)dy  = 0

p)   y + y  = 1−

e−2x/ex + e−x

q )   y dx + (x + 2xy2 − 2y) dy  = 0

Soluciones por sustitución (Ecuaciones Homogéneas y Ecuaciones de Bernoulli)

1.   Resuelva cada una de las ecuaciones con la sustitución apropiada.

1. (x − y) dx + x dy = 0 2. (x + y) dx + x dy = 0

3.  x dx + (y − 2x) dy  = 0 4.  y dx = 2(x + y) dy

5. (y2 + yx) dx − x2 dy  = 0 6.   dydx  =  y−xy+x

7. −y dx + (x + √ xy) dy  = 0 8.  xy − y = 

x2 + y2

2.   Resuelva la ecuación homogénea, sujeta a la condición inicial respectiva.

a )   xy2y = y3 − x3, y(1) = 2

b)   (x + yey/x)dx − xey/x dy  = 0, y(1) = 0

c )   (x2 + 2y2)x = xy, y(−1) = 1

d )   ydx + x(ln x − ln y − 1)dy  = 0, y(1) = e

3.   Resuelva la ecuación de Bernoulli, empleando una sustitución adecuada.

1.  xy + y  =   1y2   2.  y − y  =  exy2

3.  y = y(xy3 − 1) 4.  x dydx − (1 + x)y =  xy2

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5.  x2 dydx  + y2 = xy   6. 3(1 + x2)y = 2xy(y3 − 1)

7.  x2y − 2xy  = 3y4, y(1) = 1/2 8.   y1/2y + y3/2 = 1   y(0) = 4

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