GigaGua N 1 Matemtica Estadstica

Determina las races x1 y x2 de las siguientes ecuaciones cuadrticas:

a) 23)5x()3x2( 22 =+

b) 2x

11

x

5

+=

c) 0a20axx 22 =+

d) 1x233x =+

Determina la ecuacin cuyas races son:

a) x1 = -3 y x2 = 5

b) x1 = 0 y x2 = 2

1

c) x1 = 6

1 y x2 =

2

3

Resuelve por completacin de binomio la ecuacin x2 + 11x + 24 = 0

El producto de las races de la ecuacin 0122 =+ xx es: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

Las races de la ecuacin x

x 2

28

62=

+ son:

a) 4 y 7 b) 4 y -7 c) 7 y -4 d) -4 y -7 e) 2 y 11

Una de las races de la ecuacin 09172 2 =+ xx es -9, cul es la otra raz?

a) 9 b) -2 c) 2 d) 2

1 e)

2

1

La ecuacin 025172 =+ xx tiene: I) Dos races reales y distintas II) Dos races reales e iguales III) Dos races imaginarias De estas afirmaciones, es (son) verdaderas. Slo I b) Slo II c) Slo III d) Slo I y II e) N.A.

La grfica de la funcin xxy 23 2 = intersecta al eje x en:

0 y 2 b) 0 y 3 c) 0 y 3

2 d) 0 y

3

2 e) 0 y -3

La funcin cuadrtica cbxaxy ++= 2 si posee un corte en el eje x indica:

a) a > 0 b) c > 0 c) 0> d) 0= e) c < 0

. La ecuacin cuyas races son, 11 =x y 32 =x es:

a) 0342 = xx b) 0342 =+ xx c) 0342 =+ xx d) 0342 =++ xx

En la funcin cbxaxy ++= 2 el trmino c indica:

a) La concavidad de la parbola b) Los cortes en el eje x c) El corte en el eje y d) La inclinacin con respecto al eje y e) Las soluciones de la ecuacin

Al resolver la ecuacin 0162 =x se obtiene: a) 0 y 4 b) 0 y -4 c) 2 y -2 d) 4 y -4 e) 0 y -2

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. ( 2 puntos c/u)

a) 0722 2 =x

b) ( ) ( ) 1243 = xx

c) 022

12 =+ xx

d) 016 2 = yy

e) ( ) 09273 2 =+++ xx

f) ( ) ( ) ( )222 762 =+ xxx

g) 2

497

11

x

x

x

x +=

+

h) 32

7

5

8=

+

xx

i) 04 22 = ax Encuentre el valor de x para que el rea del rectngulo tenga el valor de 12 cm

2.

2x x + 3

Determina la incgnita x en las siguientes ecuaciones enteras de primer grado

a) 5(1 x) + (x 3)4 = (x 1) (1 x)

b) (x + 1)2 = 12 + (x 5)2

c) (x 1)(x + 1) (x + 2)(x + 3) = 5x 1

d) a2b + bx = ab2 + ax

Determina la incgnita x en las siguientes ecuaciones fraccionarias de primer grado:

a) 168

5

5

2=+xxx

b) 12

3

10

75

3

2+=xxx

c) 246

7

)3(2

1

)3)(4(

13

++

+=

++

xxxx

x

d) 82

11

2

3

2

3

2

12

222

+=

+

+

x

x

x

x

x

x

e) 2=+

+

+

ax

bx

bx

ax

Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1. (x + a)(x b) x(x + a) = 0

2. x(x + a) = (x a)2

3. 2=

+

a

bx

b

ax

4. 222bxa

ab

bax

ax

bax

bax

=

+

5. ax

a

ax

aa

ax

a

+=

2)1(2122

Despeja en las siguientes expresiones la incgnita indicada:

1. M

aT = ; M = ?

2. WLQ

P= ; Q = ?

3. Ln

tA=

+; A = ?

4. Ta

Pd

= ; T = ?

5. RtC

ba=

+; b = ?

6. tPq = Pr ; P = ?

7. T

rTsQ

= ; T = = ?

8. VRP

E=+ ; P = ?

9. Rx

aTV = ; x = ?

10. F

LT = ; L = ?

Enuncia verbalmente las siguientes expresiones algebraicas: ( puntos c/u)

a) 2x + 4y :

b) (x 1)2 :

c) (3x)2 :

d) :

e) :

Expresa algebraicamente los siguientes enunciados verbales:

a) El antecesor de un nmero cualquiera :

b) El cudruple del cuadrado del exceso de un nmero sobre 6 :

c) El exceso del cudruple de un nmero sobre 3 :

d) La diferencia entre la tercera parte del cubo de un nmero y el cuadrado de su cuarta parte :

e) La suma de dos mltiplos de 4 consecutivos :

Hallar un nmero sabiendo que restando 4 del triple de dicho nmero resulta 29.

Si al cuadrado de un nmero entero se agrega 5, se obtiene el cuadrado del nmero entero que sigue. Cul es el nmero?

5) El doble de un nmero ms el triple de su sucesor es 48. Hallar el nmero.

6) Cunto de aadirse a 2/3 para obtener dos unidades?

7) Qu nmero sumado con sus 3/4 y con sus 3/8 es 2?

8) Un deudor paga 2/5 de una deuda y queda debiendo los 3/10 ms $450, Cul era la deuda?

9) Qu nmero hay que agregar a los trminos de la fraccin 23/40 para que valga 2/3?

10) Si del dinero que tengo gastase la mitad y luego la tercera parte del resto, me quedara $10. Cunto dinero tengo?

Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias de primer grado con una incgnita

1. 12x

3

10

7

x

5

3x

2+=

2. 5

5x

4

3x

3

2x

2

1x =

3. 1212x

1

44x

1

33x

1

=

++

4. 76xx

2x

49x

52x

78xx

2x222

=

++

5. a

ax

ax

1

axa

x2

2 +=

++

+

La diferencia entre un nmero y sus 2/5 es igual a los 2/3 del nmero menos 2. Cul es el nmero?

Qu nmero hay que agregar a los trminos de la fraccin 12/25 para que valga 3/4?

Si los 3/5 de una cantidad se aumentan en la mitad del resto, resulta 20. Cul es la cantidad?

Si a un nmero se le suma la quinta parte de l, se obtiene el nmero siguiente. Cul es el nmero?

Al repartir una herencia entre tres hermanos: al mayor le corresponden los 3/5, al segundo 1/6 y al menor $35.000. A cunto ascenda la herencia?

La diferencia de dos racionales es 5/8. Si uno de ellos es -1/4, cul es el otro?

Plantea los siguientes problemas verbales: 1. La edad de Jorge es 1/3 de la edad de Mario y hace 7 aos, la edad de Jorge era 1/8

de la edad de Mario. Qu edad tiene Jorge? 2. Un sptimo de la diferencia de dos nmeros es 67 y un quinto de su suma es 63.

Cules son los nmeros? 3. Si el cudruplo de un nmero se suma con el triple de otro, se obtiene 36. Si al doble

del primero se le resta el segundo se obtiene 26. Determina los nmeros. 4. Si una de dos llaves de agua queda abierta durante 36 minutos y la otra durante 21

minutos, entregan ambas 1.276 litros de agua. Si la primera queda abierta durante 17 minutos y la otra durante 39 minutos, entregan 1.382 litros de agua. Cuntos litros de agua por minuto entrega cada llave?

5. Dos nmeros estn en razn 6:7. Si el primero se aumenta en 14 y el segundo se disminuye en 5, quedan en la razn de 11: 5. Cules son los nmeros?

6. Hace 5 aos la edad de Romina era 8 veces la edad de Cristian. En 7 aos ms la edad de Romina ser 4 veces la de Cristian. Cul es la edad de cada uno?

7. Roberto tiene $ 2.550 en monedas de $100 y de $50. En total tiene 32 monedas, Cuntas son de $50?

8. Determina la medida de los ngulos interiores de un tringulo, si el doble del primero menos el segundo es 74 y el triple del segundo, menos el tercero es 12.

9. El largo de una piscina rectangular, de permetro 56, es 5 veces su ancho. Determina su largo.

10. Divide el nmero 76 en 2 partes, tales que 2/3 de la menor sea igual a 3/7 de la mayor.

11. Determina la fraccin que si se disminuye su numerador en 6 unidades y se aumenta su denominador en 7, es equivalente a una unidad. Pero si se disminuye slo el denominador en 5, ser equivalente a 3.

12. Las edades de Lorraine y Francisco estn en razn de 3 es a 4. En 5 aos ms estarn en razn de 4 es a 5. Determina ambas edades.

13. La suma de dos nmeros es 13, si el mayor se divide por el menor se obtiene por cuociente 2 y por resto 1. Encuentra ambos nmeros.

14. Un nio tiene 3 aos menos que el quntuplo de la edad de su gato. Si la diferencia entre sus edades es 6 aos. Qu edad tiene el nio?

15.Si Alberto le da a Bastin $1.000, ambos tienen lo mismo y si Bastin le da a Alberto $1.000, tendr el triple de lo que le quede a Bastin. Cunto tiene cada uno?

16.La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un nmero es 18, y si al nmero se resta 9, las cifras se invierten. Hallar el nmero. (Recordar que 74 = 710 + 4).

Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones fraccionarias

1) 2(x + 3) - 5(x 1) = 0

2) 2[(3x + 1) 2(x + 4)] (3x + 5) = 0

3) (x + 3)(x 1) = 5 + (x 2)2

4) 3x(x 5) (x 3)(x + 3) = 2(x + 5)2

5) 05

2

4

62

3

11

5

12

4

3=

+

++

+

xxxx

6) 9

1

18

413

9

5

24

6

12=

+

+

xx

x

7) 12

94

4

)52(

3

)4)(13(2

+=

+ xxxx

Plantea la ecuacin para encontrar la incgnita y luego resuelve. Juan tiene 8 aos ms que su hermano. Si la suma de las dos edades es 30. Cul es la edad de cada uno? Si Mara tiene 14 aos menos que Adriana y ambas edades suman 56 aos. Qu edad tiene cada una? Tres nmeros consecutivos suman 204. Cules son los nmeros? La suma de dos nmeros es 210. El mayor es el doble del segundo. Cules son los nmeros?

Determinar el valor de k en la siguiente ec. Cuadrtica de tal manera que la (s) solucin(es) sean distintas y reales. (2 ptos.) 3x2-kx+1=5 Determinar el valor de k en la siguiente ec. Cuadrtica de tal manera que la (s) solucin(es) sean iguales y reales. (2 ptos.) 4x2-2x+k=0 Determinar el valor de k en la siguiente ec. Cuadrtica de tal manera que la (s) solucin(es) sean distintas e imaginarias. (2 ptos.)

kxx

x=

+

1

1

PROBLEMAS DE PLANTEO SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA

1) Un nmero multiplicado por 5 sumado con el mismo nmero multiplicado por 6

da 55. Cul es el nmero? 2) Qu nmero se debe restar de p+2 para obtener 5? 3) El doble de un nmero aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5.

Cul es el nmero? 4) Tres nmeros impares consecutivos suman 81. Cules son los nmeros? 5) El doble de un nmero ms el triple de su sucesor, ms el doble del sucesor de

ste es 147. Hallar el nmero. 6) La diferencia entre los cuadrados de dos nmeros consecutivos es 103. Cules

son los nmeros?

7) En el tringulo ABC, los lados BCAB 3= y ACBC2

1= . Si su permetro es 84 m.

Cunto mide cada lado? 8) Si el lado de un cuadrado se duplica, su permetro aumenta 40 m. Calcular la

medida del lado del cuadrado. 9) Las dimensiones de un rectngulo estn en la razn 3 : 5 y su permetro es 140

m. Calcular el largo y en ancho. 10) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su permetro se

triplica. Cunto mide el lado? 11) Un padre tiene 20 aos ms que su hijo. Dentro de 12 aos, el padre tendr el

doble de la edad del hijo. Cuntos aos tiene cada uno actualmente? 12) Las edades de un matrimonio suman 62 aos. Si se casaron hace 10 aos y la

edad de la novia era 4

3 de la edad de la novia. Qu edad tienen actualmente?

13) La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 aos y a la de su amigo Juan en 2 aos. Hace 6 aos la razn entre sus edades era 2:3:4. Qu edad tienen actualmente?

14) La edad de Mara es el triple de la de Ester y excede en 5 aos a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 aos. Hallar la edad de cada una.

15) Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrs y el triple de la edad de su hermano David. Qu edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 aos?

16) Hace 6 aos un padre tena el cudruplo de la edad de su hijo. En 10 aos ms tendr slo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo.

17) Un padre tiene 52 aos y su hijo 16. Hace cuntos aos el hijo tena la sptima parte de la edad del padre?

18) Se compran 25 lpices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, ms $ 20 y cada lpiz cuesta el doble de cada goma, ms $ 8. Cunto cuesta cada material?

19) Hernn tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que Mara. Si Hernn regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a Mara, los tres quedaran con igual cantidad. Cunto dinero tiene cada uno?

20) Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. Cunto tardaran si la pintaran entre las tres?

21) El numerador de una fraccin excede en dos unidades al denominador. Si al

numerador se le suma 3, la fraccin queda equivalente a 3

4. Hallar la fraccin.

22) Hallar dos nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 103. 23) Tres nmeros enteros consecutivos suman 204. Hallar los nmeros. 24) Hallar dos nmeros enteros pares consecutivos cuya suma sea 194. 25) La suma de tres nmeros impares consecutivos es 99. Hallar los nmeros. 26) La suma de las edades de tres personas es 88 aos. La mayor tiene 20 aos

ms que la menor y la del medio 18 aos menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.

27) Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.

28) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor.

29) Hallar tres nmeros enteros consecutivos, tales que el doble del menor ms el triple del mediano, ms el cudruple del mayor equivalgan a 740.

30) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. Cunto pesa el pez?

31) La diferencia entre dos nmeros es 38. Si se divide el mayor de los nmeros por el menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los nmeros.

32) Separa el nmero 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cuocientes sea 12.

33) Qu nmero debe sumarse al numerador y al denominador de la fraccin 13

8 y

simultneamente restarse del numerador y del denominador de 51

40 para que

las fracciones resultantes sean equivalentes? 34) Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en forma de ngulo

recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los lados del ngulo formado mide 12 cm.

35) Al preguntrsele a Pitgoras por el nmero de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: La mitad de mis alumnos estudia Matemtica, la cuarta parte estudia Fsica, la sptima parte aprende Filosofa y aparte de stos hay tres nios muy chicos Puedes deducir cuntos alumnos tena el famoso matemtico griego?

36) Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una duea de casa pag $ 119. Cunto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 ms caro que el kilo de papas?

37) La entrada para una funcin de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25, nios. La recaudacin arroj un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. Cuntos nios asistieron a la funcin?

38) En un tratado del lgebra escrito por el clebre matemtico Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: En una hostera se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuntos hombres y cuntas mujeres son

39) Silvia compra un pauelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces ms que el pauelo, y el abrigo, el triple de la falda.

40) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligi a su consorte entre tres pretendientes, plantendoles el siguiente problema: cuntas ciruelas contena un canasto del cual ella sac la mitad del contenido y una ciruela ms para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que qued y una ciruela ms y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas ms, si con esto el canasto se vaci. Puedes calcularlo t?

RESPUESTAS

1) 5 2) P 3 3) 17 4) 25, 27 Y 29 5) 20 6) 51 Y 52 7) AB = 42 m., BC = 14 m y AC = 28 m. 8) 10 m 9) largo: 43,75 y ancho: 26,25 10) 4 unidaes 11) 8 y 28 aos 12) 28 y 34 aos 13) 14, 12 y 1 ao 14) Ester: 7 aos; Isabel: 16 aos; Mara: 21 aos 15) Andrs: 36 aos; Guido: 9 aos; David: 3 aos 16) 14 y 38 aos 17) Hace 10 aos 18) Lpiz: $ 198, cuaderno: $ 305; goma: $ 95 19) Hernn: $ 126, Gladys: $ 63; Mara: $ 42 20) 2 horas 13 minutos 20 segundos

21) 15

17

22) 51 y 52 23) 67, 68 y 69 24) 96 y 98 25) 31, 33 y 35 26) 27) 28) 29) 30) 11040 gramos 31) 30 y 68 32) 99 y 81 33) 7 34) 20 cm 35) 28 alumnos 36) $ 25 37) 80 nios 38) 4 hombres 16 mujeres 39) $ 50; $ 1.250; $ 3.750 40) 38 ciruelas.

Resolucin de Problemas 1. Un nmero excede a otro en 5 y su suma es 29. Cules son? 2. La diferencia entre dos nmeros es 8. Si se le suma 2 al mayor el resultado ser tres veces el menor. Encontrar los nmeros. 3. Cules son los nmeros cuya suma es 58 y su diferencia 28? 4. Encontrar un nmero tal que su exceso sobre 50 sea mayor que su defecto sobre 89. 5. Si a 288 se le suma un cierto nmero el resultado es igual a tres veces el exceso del nmero sobre 12. Encontrar el nmero.

6. Dividir 105 en dos partes una de las cuales disminuida en 20 sea igual a la otra disminuida en 15. 7. Encontrar tres nmeros consecutivos cuya suma sea 84. 8. La suma de dos nmeros es 8 y si a uno de ellos se le suma 22 resulta 5 veces el otro. Cules son los nmeros? 9. Encontrar dos nmeros que difieran en 10 tales que su suma sea igual a dos veces su diferencia. 10. La diferencia entre los cuadrados de dos nmeros consecutivos es 121. Hallar los nmeros. 11. El rea de un terreno circular ms el doble de su radio es 250 m2. Hallar el radio y el rea del terreno. 12. La diferencia de dos nmeros es 3 y la diferencia de sus cuadrados es 27. Hallar los nmeros. 13. Dividir $380,000 entre A, B y C de modo que B tenga $30.000 mas que A, y C tenga $20.000 ms que B. 14. Un padre es cuatro veces mayor que su hijo; en 24 aos mas el tendr el doble de la edad de su hijo. Encontrar sus edades. 15. La edad de A es 6 veces la edad de B y en 15 aos mas la edad de A ser el triple de la edad de B. Hallar ambas edades. 16. La suma de las edades de A y B es 30 aos y 5 aos despus A tendr el triple de la edad de B. Hallar sus edades actuales. 17. En una granja se cran gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. Cuntos animales hay de cada clase? 18. Un granjero cuenta con un determinado nmero de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. Cuntos conejos y jaulas hay? 19. En una lucha entre moscas y araas intervienen 42 cabezas y 276 patas. Cuntos luchadores haba de cada clase? 20. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. Cuntas botellas de cada clase se han utilizado? 21. Se quieren mezclar vino de 600 pesos. con otro de 35o pesos, de modo que resulte vino con un precio de 50 pesos el litro. Cuntos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla? 22. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemticas. Por cada cuestin contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestin incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. Cuntas cuestiones respondi correctamente? 23. En mi clase estn 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 lpices a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, cuntos chicos y chicas estn en mi clase? 24. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de caf y 3 de azcar, por lo que paga 1530 pesos Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al da siguiente y compra 1 Kg. de caf y 10 Kg. de azcar por lo que paga 825 pesos No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 aos. Este despus de calcular lo que su madre hubiera pagado por 6 Kg de caf y 60 de azcar halla el precio de cada artculo. Podras llegar t a resolver el problema? 25. Con 10000 pesos que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche

semidesnatada por un total de 960o pesos. Si el paquete de leche entera cuesta 115o pesos y el de semidesnatada 900 pesos. Cuntos paquetes ha comprado de cada tipo? 26. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de papas por 835 pesos y 4 Kg de naranjas y 2 Kg de papas por 1.285 pesos Calcula el precio de los kilogramos de naranja y papa. 27. Un comerciante de ultramarinos vende el Kg de azcar a 1200 pesos Adems, tiene caf de dos clases; cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a 750 pesos el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a 800 pesos el Kg Cul es el precio de cada calidad de caf? 28. El da del estreno de una pelcula se vendieron 600 entradas y se recaudaron 196.250 pesos Si los adultos pagaban 400 pesos y los nios 150 pesos Cul es el nmero de adultos y nios que acudieron? 29. En una librera han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 800 pesos y otros a 1200 pesos con los que han obtenido 19.200 pesos Cuntos libros han vendido de cada precio? 30. En una pastelera se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2,4 Kg de masa y 3 horas de elaboracin. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas de elaboracin. Calcula el nmero de tartas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa. 31. Un pastelero compra dulces a 65 pesos la unidad y bombones a 25 pesos cada uno por un total de 585 pesos Como se le estropean 2 pasteles y 5 bombones calcula que si vende cada bombn a 3 pesos ms y cada pastel a 5 pesos ms de lo que le costaron perdera en total 221 pesos Cuntos pasteles y bombones compr? 32. Halla dos nmeros tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174. 33. Un nmero consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al nmero dado ms 9 unidades. Halla dicho nmero. 34. Determina dos nmeros tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y su suma es 6. 35. Halla una fraccin equivalente a 3/5 cuyos trminos elevados al cuadrado sumen 544. 36. Calcula dos nmeros positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95. 37. Un nmero est formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del nmero y se le agregan 45 resulta el nmero con las cifras invertidas. Cul es el nmero? 38. Calcula dos nmeros que sumen 150 y cuya diferencia sea cudruplo del menor. 39. Calcula el valor de dos nmeros sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1. 40. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco pesos y otras de un peso Puedo tener en total 78 pesos? 41. Juan y Roberto comentan: Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendr tantas como t" Roberto: "S, pero si yo te tomo 4, entonces tendr 4 veces ms que t". Cuntas monedas tienen cada uno?

42. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de 220 pesos Las monedas son de 5 y 25 pesos Cuntas monedas hay de cada valor? 43. Tena muchas monedas de 1 peso y las he cambiado por centavos. Ahora tengo la misma cantidad pero 60 monedas menos. Cunto dinero tengo? 44. En la fiesta de un amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo nmero de monedas. Como a ltima hora ha acudido un chico ms nos han dado a todos 1 moneda menos y han sobrado 17. Cuntas monedas para reparta se tena? 45. El otro da mi abuelo de 70 aos de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba 300 pesos a cada uno le sobraba 600 pesos y si no daba 500 pesos le faltaba 1000. Cuntos nietos tiene? Qu cantidad quera repartir? 46. Al preguntar en mi familia cuntos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble nmero de hermanos que de hermanas. Cuntos hijos e hijas somos? 47. Hace 5 aos la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 aos slo ser el doble. Cules son las edades de mi padre y de mi hermano? 48. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 aos. Si mi abuelo tiene 50 aos ms que mi hermano, qu edad tienen cada uno? 49. Mi padrino tiene 80 aos y me cont el otro da que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese 1.000 pesos a cada nieta y 500 a cada nieto se gastara 6.600 pesos Cuntos nietos y nietas tiene mi padrino? 50. Sabemos que mi to tiene 27 aos ms que su hijo y que dentro de 12 aos le doblar la edad. Cuntos aos tiene cada uno? 51. La edad de mi ta, hoy es el cuadrado de la de su hija; pero dentro de nueve aos ser solamente el triple. Qu edad tiene cada una? 52. Mi to le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la ma y hace 7 aos no era ms que 1/7". Qu edad tienen mi to y su hija? 53. Un obrero ha trabajado durante 30 das para dos patrones ganando 207.000 pesos El primero le pagaba 6.500 pesos diarias y el segundo 8.000 pesos Cuantos das trabaj para cada patrn? 54. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana 500 pesos diarias menos que el segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero slo 24. Si el primero ha ganado 33.000 pesos ms que el segundo calcula el salario diario de cada obrero. 55. Un rectngulo tiene un permetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros ms de largo que de ancho. 56. Un rectngulo mide 40 m2 de rea y 26 metros de permetro. Calcula sus dimensiones. 57. El permetro de un rectngulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el rea no cambia. Calcula las dimensiones del rectngulo. 58. Calcula las dimensiones de un rectngulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no vara; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados. 59. El rea de un tringulo rectngulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. Cules son las longitudes de los catetos?

60. Uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo es 18 mayor que el otro. Cunto mide cada ngulo del tringulo? 61. La altura de un trapecio issceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio. 62. El permetro de un tringulo rectngulo mide 30 m y el rea 30 m2. Calcula los catetos. 63. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el rea aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el permetro y el rea de dicho rombo. 64. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio. 65. En un pueblo, hace muchos aos, se utilizaba, como unidades de medida de peso, la libra y la onza. Recientemente se encontr un documento del siglo pasado en el que aparecan los siguientes pasajes: "... pesando 3 libras y 4 onzas, es decir 1495 gramos..." y "... resultando 2 libras y 8 onzas, cuando el extranjero pregunt por el peso en gramos le contestaron 1150 gramos". Sabras calcular el valor, en gramos, de la libra y la onza? 66. En el mismo documento antes mencionado nos encontramos el siguiente pasaje: "... las dimensiones del mural eran 5 toesas y 3 pies de largo y 3 toesas y 5 pies de alto..." Como ese mural se conserva en la actualidad se ha medido con la mxima precisin posible: 4'82 m de largo por 2'988 m de alto. Con estos datos puedes decir cunto mide una toesa y un pie en metros? 67. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas ms tarde sale una moto en su persecucin a una velocidad de 120 Km/h. A qu hora lo alcanzar? A qu distancia de la ciudad? 68. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. A qu distancia de cada pueblo se encuentran? Cunto tiempo ha transcurrido? 69. Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 habitaciones y 79 camas. Cuntas habitaciones tiene de cada tipo? 70. Dos grifos han llenado un depsito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Despus llenan otro depsito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. Cuntos litros vierte por hora cada grifo? 71. Un depsito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. Cunto tardar en llenarse abriendo los dos grifos a la vez? 72. Dos grifos alimentan simultneamente un depsito tardando 2'4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardara 2 horas menos que el segundo. Cunto tiempo tardara cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente? 73. Un reloj seala las tres en punto. A partir de esa hora, a qu hora coincidirn las manecillas por primera vez? 74. Un reloj seala las tres en punto. Por tanto las manecillas del reloj forman un ngulo recto. Cunto tiempo debe transcurrir para que formen de nuevo un ngulo recto? 75. Un reloj marca las doce horas. A qu hora la manecilla que marca los minutos se encontrar otra vez con la manecilla que marca la hora?

76. Un moderno buque de turismo tiene camarotes dobles ( dos camas ) y simples ( 1 cama). Si se ofertan 65 camarotes que en total tienen 105 camas, averiguar el nmero de camarotes de cada tipo. (Resp.: 25 camarotes simples y 40 camarotes dobles). 77. Cierta vez posea muchas monedas de 25 centavos y decid cambiarlas por monedas de un peso. Si el nmero de monedas disminuy en 90, cunto dinero logr ahorrar? (Resp.: 30 pesos) 78. Hallar las edades de dos personas sabiendo que la suma de las mismas es, actualmente, 50 aos y que la razn entre las mismas era, hace 5 aos, igual a 1/3. (Resp.: 15 aos y 35 aos) 79. Cuntos objetos tiene Anbal y cuntos Bernardo sabiendo que si Bernardo le da a Anbal 5 objetos, ste tiene el triple de los que le quedan a Bernardo y que ambos quedan con el mismo nmero de objetos si Anbal le da a Bernardo 6 objetos. (Resp.: Anbal tena 28 objetos y Bernardo 16 objetos) 80. Descomponer el nmero 149 en dos partes tales que el cociente entero entre dichas partes sea 4 y el resto 4. (Resp.: 120 y 29) 81. Hallar la base y la altura de un rectngulo sabiendo que si se aumenta 3 cm a la altura y se disminuye 2 cm a la base, su rea no aumenta ni disminuye, siendo adems la altura 2 cm mayor que la base.(Resp.: base = 10 cm; altura = 12 cm) 82. Si el largo de un rectngulo fuese 9 cm ms corto y el ancho fuese 6 cm ms largo, la figura sera un cuadrado con la misma rea que el rectngulo. Cul sera el rea del cuadrado? (Resp.: 324 cm2) 83. Un total de $5000 fue depositado en dos cuentas de inters simple. Una de las cuentas paga el 8 % de inters simple anual, mientras que la segunda cuenta paga el 12%. Cunto deber ser depositado en cada cuenta para ganar un inters total anual de 520? 84. Un depsito fue hecho en una cuenta de ahorro que paga el 6% de inters simple anual. En otra cuenta fueron depositados $3500 menos que en la primera cuenta, que paga el 10% de inters simple anual en una cuenta "money market". Si el total de inters ganado en ambas cuentas al cabo de un ao fue $450, cunto dinero fue depositado en la cuenta que paga el 6%? 85. Un carnicero mezcla carne de res molida que cuesta a $2.50 la libra con carne molida que cuesta $3.10 la libra. Cuntas libras debe mezclar de cada carne para hacer una mezcla de 80 libras que se venda a $2.65 la libra? 86. Un qumico tiene una solucin de perxido al 8% y otra al 5 %. Cuntos milmetros de cada uno deber hacer mezclar para hacer 300 milmetros de una solucin que tenga 6% de perxido? 87. Un platero mezcla 50 gramos de un metal que tiene 50% de plata con 150 gramos de otro metal que contiene plata. Si el metal resultante tiene 68% de plata, hallar el por ciento de plata que tiene el de 150 gramos. 88. Un corredor de larga distancia comienza una carrera a una velocidad promedio de 6 mph. Una hora ms tarde un segundo corredor comienza la carrera a una velocidad promedio de 8 mph. Cunto tiempo se tardar el segundo corredor en alcanzar el primero? 89. Un ejecutivo se va guiando desde su casa al aeropuerto a una velocidad promedio de 30 mph., donde le espera un helicptero. El ejecutivo borda el helicptero rumbo a las oficinas corporativas y viaja a una velocidad promedio de 60 mph. Si la distancia tota era de 150 millas y el viaje en

total (comenzando en su casa) toma 3 horas, cunto es la distancia desde el aeropuerto hasta las oficinas corporativas? 90. El permetro de un rectngulo es 120 pies. El largo del rectngulo es el doble del ancho. Hallar el largo y ancho del rectngulo.

Ecuacin de Segundo Grado

I. Determina las races de las siguientes ecuaciones:

1. 100x2 =

2. 0225x2 =

3. 1225x 2 =

4. 50x 2 =

5. 0c3x 22 =

6. 7110x 2 =

7. 16723x 2 =+

8. 73x527x6 22 +=

9. 252x7 2 =

10. 22 x3131535x2 =+

11. ab10b25ax 222 +=

12. 222 n16

9mnm

9

4x ++=

13. 83)x5(3)3x2(x =

14. 11)5x2)(5x2( =+

15. 130)x7()x7( 22 =++

16. 20x80)9z2)(3x5()3x4)(5x3( ++=++

17. 40)4x)(13x()4x3)(3x2( =

18. 214)2x3)(7x2()3x4)(4x3( =

19. 22 )x8(2)x2(8 =

20. 23

8x2 2=

21. 54

4x

2

6x 22=

+

22. 2x

x7

x

3x5

+

=

23. 12x

x

2x

x=

+

+

24. 4x

40

2x

2x

2x

2x2

=+

+

+

25. 7

5

83x7x

11x5x2

2

=+

+

26. 3

4x

4x

1 =

+

27. 2199x53 2 =+

28. 4x

1x4x4x

+

+=+

29. 3x

825x53x

+=+

30. 2x10x10 =+

31. x341x39x52 =++

32. x52x325x5 =+

33. 0x3x 2 =

34. 0x42x6 2 =+

35. 0axx 2 =+

36. 6)3x)(2x( =

37. 10x9)5x)(2x( =+

38. )4x3)(9x2()6x2)(6x2( +=+

39. 10x22)5x3)(5x3()5x2)(3x8( +=++

40. 09x8)3x( 2 =+

41. 222 )5x()3x()4x( +=++

42. 222 )5x()12x()13x( ++=+

43. 183x2

54x3 =

++

44. 3

7

3x

3

3x

4=

+

45. 4x19x =+

46. x4x41x41 =+

47. 080x18x 2 =+

48. 096x4x 2 =

49. 052x17x 2 =+

50. 012x7x 2 =

51. 06x5x4 2 =+

52. 01x5x6 2 =+

53. 025x10x3 2 =

54. 09x16x7 2 =+

55. 0a12ax4x 22 =+

56. 0a6ax5x 22 =+

57. 0ab2x)ba(abx 222 =+

58. 22 )bx(b)ax(a +=+

59. 8x

15x =+

60. 05x

18

3

x=++

61. 10x2

1x

2x

8x

+

=

+

62. 6

13

x

1x

1x

x=

++

+

63. 22

x3

1x

4=

64. 1x7x +=+

65. 13xx4 =+

66. 8x3

x2

x5

x37=

67. 1x8x31x5 +=++

68. 2ax

bx

bx

ax=

+

69. 1x

3

1x

2

1x

x2

=+

70. 2x

13

18x6x

5x

6x5x

1x22

=+

++

+

+

II. Determina la ecuacin cuadrtica de races:

1. -3 y -5

2. 8 y -8

3. 9 y 7

4. 0 y 12

5. 5 y 4

3

6. 6 y 4

3

7. 4

1 y

6

5

8. 2

ba + y

4

ba

9. 2 y 25

10. 233 + y 233 +

III. Resuelve:

1. Qu valor debe tener k en la ecuacin x2 kx + 4 = 0, para que las dos races sean iguales.

2. Qu valor debe tener k en la ecuacin x2 (k+2)x + 3k = 0, para que el producto de las races sea 24?

3. Qu valor debe tener k en la ecuacin 4x2 5x + 4k (6+k) = 0, para que una de las races sea cero?

4. Qu valor debe tener k en la ecuacin 7x2 9x + k = 0, para que las races sean recprocas una de la

otra?

5. Qu valor debe tener k en la ecuacin 2x2 + kx + 5 = 0, para que una de las races sea 1?

6. Qu valor debe tener k en la ecuacin x2 (k-2)x (k+6) = 0, para que la suma de las races sea 2?

7. Para qu valor de m, la ecuacin mx2 - 6x + 5 = 0, tiene sus races reales?

8. Determinar k en la ecuacin x2 + kx + 12 = 0, de modo que una de las soluciones sea el triple de la

otra?

IV. Grafica, basndote en las propiedades de los coeficientes y el discriminante, las siguientes funciones:

1. y = 2x2 3x

2. y = -x2 5x 2

3. y = 6x2

4. y = -2x2 + 3x + 6

5. y = 4x2 4x 1

6. y = -3x2 2x

7. y = 5x2 + 2

8. y = 2x2 3

9. y = -3x2 2x + 7

10. y = x2 + x + 2

11. y = -3x2 + 4x 1

12. y = -x2 + 5

Ecuaciones de segundo grado Determina las races de las siguientes ecuaciones cuadrticas:

1) x(2x 3) 3(5 x) = 83

2) (2x + 5)(2x 5) = 11

3) (7 + x)2 + (7 x)2 = 130

4) (2x 3)(3x 4) (x 13)(x 4) = 40

5) (3x 4)(4x 3) (2x 7)(3x 2) = 214

6) 8(2 x)2 = 2(8 x)2

7) 54

4x

2

6x 22=

+

8) 2x

x7

x

3x5

+

=

9) x2 3x = 0

10) 6x2 + 42x = 0

11) x2 + ax = 0

12) (x 2)(x 3) = 6

13) (x 2)(x + 5) = 9x + 10

14) (2x + 6)(2x 6) = (2x + 9)(3x 4)

15) (x + 3)2 8x 9 = 0

16) (x + 4)2 + (x 3)2 = (x + 5)2

17) (x + 13)2 = (x + 12)2 + (x 5)2

18) 183x2

54x3 =

++

19) 3

7

3x

3

3x

4=

+

20) x2 18x + 80 = 0

21) x2 4x 96 = 0

22) x2 17x + 52 = 0

23) x2 7x 120 = 0

24) 4x2 + 5x 6 = 0

25) 6x2 + 5x 1 = 0

26) 3x2 10x 25 = 0

27) 7x2 16x + 9 = 0

28) 8x

15x =+

29) 05x

18

3

x=++

30) 10x2

1x

2x

8x

+

=

+

31) 6

13

x

1x

1x

x=

++

+

32) 22

x3

1x

4=

33) x2 + 4ax 12a2 = 0

34) x2 5ax + 6a2 = 0

35) 8x3

x2

x5

x37=

Respuestas:

1) 7 y -7 2) 3 y -3 3) 4 y -4 4) 4 y -4 5) 6 y -6 6) 4 y -4 7) 6 y -6

8) 1 y -1 9) 0 y 3 10) 0 y -7 11) 0 y a 12) 0 y 5 13) 0 y 6 14) 0 y

2

19

15) 0 y 2 16) 0 y 8 17) 0 y 12 18) 0 y 2

9 19) 0 y

7

3 20) 10 y 8

21) 12 y -8 22) 4 y 13 23) -8 y 15 24) -2 y 4

3 25) -1 y

6

1 26) 5 y

3

5

27) 1 y 7

9 28) 5 y 3 29) -6 y -9 30) 13 y -6 31) -3 y 2 32) 3 y 5

33) 2a y -6a 34) 9 y 3

11

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Determina las races de las siguientes ecuaciones cuadrticas:

1. 0652 =+ xx

2. 0452 =+ xx

3. 062 =+ xx

4. 02092 =++ xx

5. 0962 =+ xx

6. 036122 =++ xx

7. 0522 =++ xx

8. 0232 2 =++ xx

9. 0353 2 =++ xx

10. 062 2 =+ xx

11. 04563 2 =+ xx

12. 024186 2 = xx

13. xx 652 =+

14. 10582 = xx

15. 62 = xx

16. 0)2)(3( =+ xx

17. 3412 +=+ xx

18. 311)1( =+ xxx

19. 92)3)(1( 2 = xxx

Respuestas: 1) x = 3, x = 2, 2) x = 4, x = 1 3) x = - 3, x = 2 4) x = - 5, x

= - 4

5) x = 3 6) x = - 6 7) No tiene solucin real. 8) No tiene

solucin real.

9) No tiene solucin real. 10) 2

3 x,2 ==x 11) 5 x,3 ==x

12) 4 x,1 ==x 13) 5 x,1 ==x 14) 15 x,7 ==x

15) x = - 2 , x = 3 16) x = - 2 , x = 3 17) 62,62 +== xx

18) x = 22 x,22 = 19) x = 71 , x = 71+