GUIA DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN...

DANIEL SAENZ CONTRERAS EMAIL [email protected]

1

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Si f( x , y ) es una función de dos variables, al derivar la función parcialmente con respecto a

una de las variables x o y , se obtiene otra función de estas dos variables, la cual se puede

derivar parcialmente con respecto a x o y, con lo que se las derivadas parciales segundas de

f. siguiendo el mismo proceso se pueden obtener las terceras derivadas, y así

sucesivamente.

Ahora, si f( x , y ) es una función de las variables x , y, entonces:

yx ff ; , representan las primeras derivadas parciales. A partir de ellas se pueden

obtener las cuatro segundas derivadas parciales, las cuales se obtienen al derivar

parcialmente yx ff ; con respecto a la variable x y luego con respecto a la variable y.

siendo estas segundas derivadas las siguientes:

yxxx ff ; yyxy ff ;

Cuantas son las terceras derivadas parciales?

xf

xxff xx 2

2

lo cual nos indica que la funciones a la función se le debe

encontrar la segunda derivada parcial con respecto a la variable x.

xf

yxyff xy

2

lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar la

derivada parcial con respecto a la variable x y luego derivarla parcialmente con respecto a la

variable y.

yf

xyxff yx

2

lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar la

derivada parcial con respecto a la variable y y luego derivarla parcialmente con respecto a la

variable x.

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. DANIEL SAENZ CONTRERAS EMAIL [email protected]


2

2

2

2

3

xf

yxyff xxy lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar

la segunda derivada parcial con respecto a la variable x y luego derivarla parcialmente con

respecto a la variable y.

En el siguiente esquema se ilustra las tres primeras derivadas parciales de una función de

dos variables.

EJEMPLO: DADA LA FUNCION 22235),( Senyxyxyxf encontrar:

a) las primeras derivadas parciales.

222 215 xSenyyxf x 223 210 Cosyyxyxf y

b) Las segundas derivadas parciales:

22 230 Senyxyf xx

22 430 xyCosyyxf yx

22 430 yxCosyyxf xy 222223 4210 SenyxyCosyxxf yy

TEOREMA DE LA DERIVADA MIXTAS O CRUZADAS.

Si f( x , y ) y sus derivadas parciales yxxyyx ffff ;;; están definidas en toda una región abierta que contenga a un punto ( a , b ) y son todas continuas en ( a , b ) , entonces

bafbaf yxxy ,, .

F(x,y)

Fx Fy

Fxx Fxy Fyx Fyy

Fxxx Fxxy Fxyx Fxyy Fyxx Fyxy Fyyx Fyyy


3

ACTIVIDAD.

1. El plano x = 1 interseca el paraboloide z = x2 + y2 en una parábola. Encuentre la

pendiente de la tangente a la parábola en ( 1 , 2 , 5 ).

2. Encuentre la pendiente a la curva de intersección de la superficie x2 + y2 + z2 = 9

con el plano y = 2 en el punto ( 1 , 2 , 2 ).

3. La temperatura en cualquier punto ( x , y ) de una placa es T y T = 54 – 2/3 x2 – 4y2 . si la distancia se mide en pies, encuentre la rapidez de cambio de la temperatura con

respecto a la distancia recorrida a lo largo de los ejes x , y en el punto ( 3 , 1 ).

4. Determinar yxxyyyxxyx ffffff ;;;;; para las siguientes funciones.

A) xyxyyxf

22

),( B) 22235),( yxSenyxyxf

C) 23435),( Senyxyxyxf D)

3 223),( yxyxf

E) 424),( yxyxf F) 22232),( Senxyyxyxf

5. Comprobar el teorema de las derivadas cruzadas para las siguientes funciones:

A) 53232),( yxyxyxf B) Cosyeyxf x23),(

C) 223),( yxyxf D) 22235),( SenxyCosyxyxf

6. Si se dijera que existe una función f( x , y ) que tiene como primeras derivadas parciales

las funciones 4 xf x y yxf y 3 ¿usted lo creería?

7. Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas. Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial

02

2

2

2

yf

xf

se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las aplicaciones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico. Compruebe que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de Laplace.


4

A) xCoseyxf y 2),( 2 B) 22),( yxLnyxf

C) Senyeyxf x),( D) Senxeeyxf yy 21),(

DIFERENCIALES.

DEFINICION: Sea z = f ( x , y ) una función de dos variables, si x , y son los

incrementos de x y de y, el incremento de z es:

z = f( x + x , y + y ) – f ( x , y )

Ejemplo: Si z = xy – 3 , encuentre el incremento de z para incrementos de x y de y .

Sean x , y son los incrementos de x y de y, luego el incremento de z es:

z = f( x + x , y + y ) – f ( x , y )

z = ( x + x )( y + y ) – 3 – ( xy – 3 )

z = xy + x y + yx + x y – 3 - xy + 3

z = x y + yx + x y

DEFINICION: Si z = f( x , y ) y x , y son los incrementos de x y de y, entonces las

diferenciales de las variables x e y son : dx = x , dy = y y la diferencial total de z se

define como: dyyzdx

xzdz

o dyyxfdxyxfdz yx ,, .

Ejemplo: si z = x3y3 + 5xy – 3x +2 , encuentre la diferencial total:

La diferencial total se define como: dyyxfdxyxfdz yx ,, , luego

dyxyxdxyyxdz

dyyxfdxyxfdz yx

53353

,,2332


5

ACTIVIDAD

1. Encuentre la diferencial total de las siguientes funciones:

323 yxz )( 3ySenez x ySenxxCosyz

Senxyzw 332 )(22 xysenyzxw

2. Evaluar f(1,2) y f( 1.05 , 2.1) para calcular z , luego aplicar la diferencial total

para aproximar z.

229),( yxyxf yxyxf 32),(

22),( yxyxf 32),( yxyxf

3. Las dimensiones de una caja rectangular están creciendo a los ritmos siguientes: la

longitud 3 pies/min. La anchura 2 pies/min y la altura a ½ pies/min. Hallar las razones

de cambio del volumen y del área de la superficie de esa caja cuando la longitud, la

anchura y la altura son 10, 6 y 4 pies.

4. El radio de un cilindro circular recto esta creciendo a razón de 6 cm/min , mientras que

la altura decrece a razón de 4 cm/ min. Cual es la razón de cambio del volumen

cuando el radio es 12 cm y la altura de 36.

5. La gravedad especifica de un objeto esta dado por la formula WA

As

, donde A es el

numero de libras de peso del objeto en el aire y W es el numero de libras de peso del

objeto en el agua. Si el peso del objeto en el aire es de 20 libras con un posible error

del 0,01 libras y el peso en el agua es 12 libras con un posible error del 0,02 libras.

Encontrar el máximo error posible al calcular S a parir de las medidas.

6. Dos objetos viajan siguiendo trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones

parametricas: Costx 41 Senty 21 ; tSenx 222 tCosy 232

, a que ritmo varia la distancia entre los dos objetos cuando t .

DEFINICION: Una función f dada por z = f( x , y ) es diferenciable en el punto ( x0 , y0 ) si

fx ( x0 , y0 ) y fy ( x0 , y0 ) existen y z se puede expresar en la forma

z = fx ( x0 , y0 ) x + fy ( x0 , y0 )y + 1 x + 2 y

donde ambos 1 y 2 tienden a cero cuando (x , y ) tiendan a ( 0 , 0 ).

Ejemplo: probar que la función z = xy+3x+5y es diferenciable en el punto ( 1 , 2 )


6

yxyxxydzyxyxxyyxdz

yxxyyyxxyxxyyxxydzyxxyyyxxyyxxdz

yxfyyxxfdz

5353

5355335353

,,

yxyxdz

yxyxdz

65

5132

Llamado 1 = x y 2 = 0 , se tiene:

xyyfxfdz yx 212,12,1

DEFINICION: La linealización de una función f ( x , y ) en un punto ( x0 , y0 ) donde f es

diferenciable es la función:

00000000 ,,,),( yyyxfxxyxfyxfyxL yx

La aproximación ),(, yxLyxf es la aproximación lineal estándar de f en ( x0 , y0 ).

Ejemplo: encuentre la aproximación lineal de 3, 22 yxyxyxf en el

punto ( 2 , 3 ) .

La linealización de una función de dos variables se define como:

00000000 ,,,),( yyyxfxxyxfyxfyxL yx que para el

punto indicado es:

33,223,23,2),( yfxffyxL yx

Pero:

43*2223,2

132*223,210333*223,2

3,2

3,2

22

yxfyxf

f

y

x

Con lo cual la linealización nos queda:

44,

342110),(

yxyxL

yxyxL

EL ERROR EN LA APROXIMACION LINEAL ESTANDAR:


7

Si f tiene primeras y segundas derivadas parciales continuas en todo un conjunto abierto que

contenga un rectángulo R con centro en ( x0 , y0 ), y si M es cualquier cota superior para los

valores de ;xxf , yyxy ff , ; sobre R, entonces el error E( x , y ) en el que se

incurre al reemplazar f(x,y) sobre R por su linealización

00000000 ,,,),( yyyxfxxyxfyxfyxL yx satisf

ace la desigualdad:

20021),( yyxxMyxE

EJEMPLO: La linealización de la función 3, 22 yxyxyxf en el

punto ( 2 , 3 ) es 44, yxyxL , encuentre una cota superior para el errar en la

aproximación ),(, yxLyxf sobre el rectángulo

1,03 ; 1,02: yxR .

Para encontrar la cota , buscamos las derivadas parciales:

2 ;1 ;2

2:2

yyxyxx

yx

fffyxfyxf

Con lo que: 22 ;11 ;22 yyxyxx fff , la mayor de

ellas es 2, por lo que podemos escoger M = 2 .

Con ( x0 , y0 ) = ( 2 , 3 ), sabemos que ,en toda R:

04,0)3,2(

1,01,0)3,2(

321)3,2(

32221)3,2(

21),(

2

2

2

200

E

E

yxE

yxE

yyxxMyxE


8

En tanto que el punto ( x , y ) permanezca dentro de la regio R, la aproximación

),(, yxLyxf tendrá un error de no mas de 0,04.

REGLA DE LA CADENA: Si w = f ( x , y , z ) es diferenciable y x , y , z son funciones

diferenciables de t, entonces w es una función diferenciable de t y:

dtdz

zf

dtdy

yf

dtdx

xf

dtdw

Si w = f ( x , y , z ) y x = g( r , s ) , y = h( r , s ) , z = m( r , s ) son funciones

diferenciables de t, entonces w tiene derivadas parciales respecto a r y s , dadas por las

formulas:

sz

zw

sy

yw

sx

xw

sw

rz

zw

ry

yw

rx

xw

rw

DERIVADAS DIRECCIONALES, VECTORES GRADIENTE. Suponga que deseamos calcular la tasa de

cambio de en el punto ( x0 , y0 ) en la

dirección de un vector unitario arbitrario

bau ,

. Para esto consideramos la

superficie con ecuación z = f ( x , y ) (la

gráfica de f ) y sea z0 = f ( x0 , y0 ). Entonces el

punto P= ( x0 , y0 , z0 ) está sobre . El plano

vertical que pasa por el punto en la

dirección del vector

u interseca a la superficie

en la curva . La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto es la tasa

de cambio de Z en la dirección de

u .


9

Si Q( x , y , z ) es otro punto sobre la curva , y si y Q/ son las proyecciones sobre el plano

de los vectores y Q, entonces el vector

es paralelo al vector , y por consiguiente

),(// hbhauhQP

para algún escalar . Así pues,

hbyyhaxx 00 ;

y la razón de cambio está dada por

h

yxfhbyhaxfh

zzhz ,, 000

y al tomar el límite cunado obtenemos la tasa de cambio instantánea de (con

respecto a la distancia) en la dirección de , la cual se llama derivada direccional de en la dirección de .

CONCEPTO: Sea f: D R2 R una función escalar y sean P = ( x0 , y0 ) D y

un vector unitario, entonces la derivada direccional de f en P = ( x0 , y0 )en la dirección del

vector , está dada por :

Ejemplo: encuentre la derivada de f(x , y ) = x2 + xy en P( 1 , 2 ) en la dirección del vector

unitario jiu

21

11

.

La derivada direccional se define como:


10

252

5

2*112

122

112

11

2.12

12,2

11

,,

2

0

22

0

0

0000

0, 0

h

hh

Lim

h

hhhLim

h

fhhfLim

hyxfhbyhaxfLimD

h

h

h

hPu

Si f es una función diferenciable en x e y, entonces la derivada direccional de f en la

dirección del vector unitario u = Cos i + Sen j es:

SenyxfCosyxfyxfD yxu ),(),(,

Ejemplo: encuentre la derivada direccional de 3, 22 yxyxyxf en la

dirección del vector U = < 3 , 4 >.

Las derivadas parciales de la función son:

yxyxfx 2, y yxyxf y 2,

El vector unitaria en la dirección de U es:

54,

53

54,3

434,3

22UUu

jiu54

53

Con lo que la derivada direccional es:


11

yx

yxyx

yxyx

SenyxfCosyxfyxfD yxu

52

58

54

53

56

542

532

),(),(,

ACTIVIDAD:

1. ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECCIONAL EN EL PUNTO INDICADO Y EN LA

DIRECCION DEL VECTOR DADO.

jivPyxyxyxf23

21);2,1(;543),(

jivPyyxyxf22

22);3,4(;5),( 22

kjivPxzzyxyzyxf 2);1,1,1(;543),,(

kjivPxyzyxf 2);1,1,4(;),(

2. ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECCIONAL EN EL PUNTO P Y EN LA DIRECCION

DE Q.

)1,1();1,3(;4),( 22 QPyxyxf

)0,2

();,0();4(),( 22 QPyxCosyxf

)1,3,4();0,0,1();(),,( QPzyxLnzyxf

)0,0,0();0,4,2(;),,( QPxyezyxf z

DEFINICION: El vector gradiente ( gradiente ) de f( x , y ) en un punto P0 ( x0 , y0 ) es el

vector definido como: jyfi

xff

obtenido al evaluar las derivadas parciales de

f en el punto P0.


12

PROPIEDADES DEL GRADIENTE. Sea f una función diferenciable en el punto ( x , y ).

1. Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección

del vector unitario u es : uyxfyxfDu ),(),(

2. Si 0),( yxf entonces la derivada direccional de f en la dirección de cualquier

vector unitario es igual a cero.

3. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por ),( yxf , y el valor máximo

de ),( yxfDu es ),( yxf .

4. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por ),( yxf , el valor mínimo

de ),( yxfDu es ),( yxf .

DEFINICION DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL:

Sea F diferenciable en el punto P= ( x0 , y0 , z0 ) de la superficie S dada por F( x , y , z ) = 0,

con 0),,( 000 zyxf .

1. El plano que pasa por P y es normal a 0),,( 000 zyxf se conoce como el

plano tangente a la superficie S en P.

2. La recta que pasa por P y tiene la dirección de se conoce como la recta Normal a la

superficie S en P.

ECUACION DEL PLANO TANGENTE:

Sea F diferenciable en el punto ( x0 , y0 , z0 ) una ecuación del plano tangente a la superficie

S dada por F( x , y , z ) = 0, en ( x0 , y0 , z0 ) es:

0))(,,())(,,())(,,(),,( 000000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyxf zyx

ECUACION DE LA RECTA NORMAL:

Sea F diferenciable en el punto ( x0 , y0 , z0 ) las ecuaciones simétricas de La recta normal

a la superficie S dada por F( x , y , z ) = 0, en ( x0 , y0 , z0 ) son:

Como la recta tiene la dirección del vector gradiente


13

kzyxfjzyxfizyxfzyxf zyx ),,(),,(),,(),,( , se tiene las derivadas

parciales evaluadas en el punto ( x0 , y0 , z0 ) corresponden a los números directores de la

recta. Con lo que las ecuaciones buscadas son:

),,()(

),,()(

),,()(

000

0

000

0

000

0

zyxfzz

zyxfyy

zyxfxx

zyx

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