Guía de ejercicios aplicación de la calidad

Guía de Ejercicios Prácticos

Asignatura:

Aplicación de la Calidad Total para

la Ingeniería Industrial

Catedrático:

Ing. Jairo Núñez

Alumno:

Erick Joel Ocampo

0201198500735

La Ceiba, Atlántida, Honduras, C.A.

10 de octubre de 2011

UNICAH

Universidad Católica de Honduras

“Nuestra Señora Reina de la Paz” Campus San Isidro

GUÍA DE EJERCICIOS

1. En una empresa, mediante un análisis se ha detectado que se tiene seis tipos básicos de

quejas de los clientes, pero cada tipo de queja causó diferente grado de insatisfacción o

molestia para el cliente. La escala que se ha utilizado para medir el grado de molestia es el

siguiente: máxima molestia (10 puntos), mucha insatisfacción (8), molestia moderada (6),

poca (4), muy leve (2). Además en el análisis se determinó la frecuencia con la que han

ocurrido en el último semestre las distintas quejas. En las tablas siguientes se sintetiza los

resultados de tal análisis:

Tipo de queja Grado de molestia Frecuencia de ocurrencia

A 4 12%

B 8 5%

C 2 40%

D 6 25%

E 4 10%

F 8 8%

Realice un análisis de Pareto para determinar sobre qué tipo de queja se deben dirigir los esfuerzos

para atender sus causas. Aplique la recomendación 2 del diagrama de Pareto.

Tipo de queja Grado de molestia Frecuencia de

ocurrencia

Frecuencia por

gravedad

Frecuencia por

gravedad acumulada

D 6 25% 150% 150%

C 2 40% 80% 230%

F 8 8% 64% 294%

A 4 12% 48% 342%

E 4 10% 40% 382%

B 8 5% 40% 422%

0%

50%

100%

150%

200%

250%

300%

350%

400%

450%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

160%

D C F A E B

Fre

cue

nci

a

Clase

Diagrama de Pareto

Frecuencia

% acumulado

Análisis

Para poder realizar este análisis de Pareto y determinar así la queja que más contribuye a la

insatisfacción de los clientes se multiplicó el grado de la queja por la frecuencia de ocurrencia. Con

ellos vemos que la queja D supera a las demás en magnitud, por lo tanto es en esta que se debe de

poner el mayor atención ejecutar acciones destinadas a reducir las causantes del descontento de los

clientes y de ser posible eliminar tal tipo de insatisfacción.

2. De acuerdo con la información de una hoja de verificación en una línea del proceso de

envasado de tequila, se presentaron en el último mes los siguientes resultados en cuanto a

defectos y frecuencia:

Defecto de envasado Frecuencia

Botella 804

Tapa 715

Etiqueta 1,823

Contraetiqueta 742

Botella sin vigusa 916

Otros 102

Total de botellas envasadas en el mes 424,654

Realice un diagrama de Pareto y obtenga conclusiones.

Defecto de envasado Frecuencia % Frecuencia F. Acumulada

Etiqueta 1,823 36% 36%

Botella sin vigusa 916 18% 54%

Botella 804 16% 69%

Contraetiqueta 742 15% 84%

Tapa 715 14% 98%

Otros 102 2% 100%

Total de botellas

envasadas en el mes 5,102 100%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0 200 400 600 800

1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000

Fre

cue

nci

a

Clase

Histograma

Frecuencia

% acumulado

Análisis

De acuerdo al análisis estadístico realizado se puede apreciar claramente que los defectos de

etiqueta, botella sin vigusa, en la botella y en la contraetiqueta componen el 84% de los problemas

que se presentan en el proceso de envasado del tequila. De los cuales, componen el 36% y 18% los

defectos en las etiquetas y la botella sin vigusa. Debido a esto la empresa deberá fijar toda su

atención para poder encontrar las causas que los generan para poder garantizar la calidad y poder

proporcionar mayor satisfacción a sus clientes.

3. En una empresa procesadora de carnes frías se detecta mediante inspección 100% los

problemas en las salchichas. A continuación se muestran los resultados de una semana.

Máquina

empacadora Turno

Problema y número de paquetes defectuosos

Falta de vacío Mancha verde Mancha amarilla

A I 4,300 700 700

II 6,300 650 650

B I 3,500 700 400

II 6,600 500 420

C I 8,500 800 324

II 9,120 655 345

a) Considerando que la gravedad de los tres problemas es la misma, realice un análisis de

Pareto para problemas y detecte cuál es el vital.

b) Sobre el problema vital, haga un Pareto de segundo nivel (causas) tanto para máquina

como para turno.

Pareto I Nivel (Problemas)

Problema Frecuencia % Frecuencia F. Acumulada

Falta de Vacío 38,320 85% 85%

Mancha verde 4,005 9% 94%

Mancha amarilla 2,839 6% 100%

Total 45,164

75%

80%

85%

90%

95%

100%

105%

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

35,000

40,000

45,000

Falta de Vacío Mancha verde Mancha amarilla

Fre

cue

nci

a

Clase

Análisis de Pareto para Problemas

Frecuencia

% acumulado

Pareto II Nivel (Turnos)

Falta de vacío Frecuencia % Frecuencia F. Acumulada

Turno II 22,020 57% 57%

Turno I 16,300 43% 100%

Total 38,320 100%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

Turno II Turno I

Fre

cue

nci

a

Clase

Análisis de Pareto para Turnos

Frecuencia

% acumulado

Pareto II Nivel (Máquinas)

Máquina Frecuencia % Frecuencia F. Acumulada

C 17,620 46% 46%

A 10,600 28% 74%

B 10,100 26% 100%

Total 38,320 100%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0

5,000

10,000

15,000

20,000

C A B

Fre

cue

nci

a

Clase

Análisis de Pareto para Máquinas

Frecuencia

% acumulado

Análisis

En el primer análisis de Pareto se observa de forma clara que el 85% de los problemas

relacionados al procesado de las salchichas se deben a la falta de vacío, por lo que este es

identificado como el problema vital más relevante, en consecuencia se desarrollará por lo

tanto un Pareto de segundo nivel tanto en las máquinas como en los turnos para identificar

en cuál de ellos se presentan mayores fallas.

En el diagrama de Pareto que considera los turnos se puede apreciar que la cantidad de

problemas relacionados con la falta de vacío en el procesamiento de las salchichas es mayor

durante el turno 2, ya que éste constituye el 57% del total de los problemas de este tipo.

Con esto se concluye, a través del análisis de Pareto, que los problemas de falta de vacío se

dan con mayor frecuencia en la máquina C, durante el turno 2.

Con base en el Pareto de 2do. Nivel se puede observar que las máquinas C y A son las

principales causas de la falta de vacío; siendo la causa más significante la maquina C ya que

representa el 46% de los problemas relacionados con la falta de vacío que es el principal

problema con el que cuenta el proceso y el que necesita de una pronta solución.

4. En una fábrica de pintura se requiere reducir el tiempo de secado del barniz, los siguientes

datos corresponden al tiempo del secado del barniz (horas) y a la cantidad de aditivo con el

que se intenta lograr tal reducción.

Cantidad de

Aditivo

Tiempo de

Secado

0 14

1 11

2 10

3 8

4 7.5

5 9

6 10

7 11

8 13

9 12

10 15

a) Mediante un diagrama de dispersión investigue la relación entre el tiempo de secado y la

cantidad de aditivo.

b) Con base en la relación, ¿alrededor de qué cantidad de aditivo recomendaría para reducir

el tiempo de secado?

c) Obtenga el coeficiente de relación entre ambas variables e interprételo.

d) Al parecer el coeficiente de correlación lineal es muy bajo. ¿Quiere decir entonces que el

tiempo de secado no está relacionado con la cantidad de aditivo?

Análisis

a) Como se observa en la gráfica la cantidad de aditivo y el tiempo de secado tienen una

relación lineal positiva baja, lo que indica que son directamente proporcionales, es decir, a

mayor cantidad de aditivo se necesitarán más horas de secado.

b) Basado en la relación, recomendaría el 4 de aditivo para reducir el tiempo de secado, pues

según la gráfica, es el que registra menor tiempo de secado, es decir, 7.5 horas.

c) El coeficiente de relación es de 0.33 este valor muestra que existe una relación positiva baja

entre la cantidad de aditivo y el tiempo de secado.

d) En efecto si existe relación pero es una relación baja ya que el coeficiente de correlación es

un tanto leve.

5. En una industria se desea investigar cómo influye la temperatura (°C) en la presión del

vapor B-trimetilboro. Los datos obtenidos para tal propósito se muestran a continuación:

y = 0.2409x + 9.75 R² = 0.1116

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2 4 6 8 10 12

Tie

mp

o d

e S

eca

do

Cantidad de Aditivo

Relación Aditivo - Tiempo de Secado

Tiempo de Secado

Lineal (Tiempo de Secado)

Temperatura Presión

13.0 2.9

19.5 5.1

45.7 30.5

56.1 51.4

64.4 74.5

71.4 100.2

80.5 143.7

85.7 176.9

22.5 8.5

27.2 10.3

31.8 14.6

a) Construya un diagrama de dispersión e interprételo.

b) Obtenga el coeficiente de correlación y al interpretarlo compare con lo observado en el

inciso a.

y = 2.213x - 47.935 R² = 0.8981

-50

0

50

100

150

200

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0

Presión

Temperatura

Relación Temperatura - Presión

Presión

Lineal (Presión)

Lineal (Presión)

Lineal (Presión)

Análisis

Existe una relación lineal positiva entre la presión y la temperatura, aunque se asemeja más a una

relación del tipo exponencial. El coeficiente de correlación es de R=0.95 lo que muestra que existe

una alta relación entre las variables estudiadas, con lo que podemos afirmar que la temperatura

incide de manera importante sobre la presión, es decir, a mayor temperatura, mayor presión.

6. Como parte del análisis del problema de ausentismo se decide investigar la relación entre

edad del empleado y días que faltó a laborar en el año. Los datos del último año se

muestran a continuación.

Empleado Edad Faltas Empleado Edad Faltas

1 29 6 21 25 7

2 33 5 22 38 3

3 40 0 23 22 0

4 23 8 24 30 4

5 31 6 25 24 7

6 20 9 26 39 10

7 30 5 27 35 5

8 38 5 28 20 1

9 23 8 29 32 5

10 25 6 30 25 5

11 26 7 31 36 5

12 30 5 32 30 5

13 42 2 33 20 10

14 34 5 34 38 4

15 31 6 35 39 4

16 18 11 36 34 4

17 33 6 37 35 6

18 33 4 38 27 7

19 33 5 39 40 3

20 32 5 40 31 6

a) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables.

b) ¿Qué tipo de relación observa y cuáles son algunos hechos especiales?

c) Calcule el coeficiente de correlación e interprételo.

Análisis

Se puede observar que existe una relación lineal negativa entre las variables que son objeto de

nuestro estudio, la edad y el número de días que los empleados faltan a sus trabajos; esto sugiere

que entre más joven es el empleado esta más susceptible al ausentismo. Al calcular el coeficiente

de correlación el cual es de R= 0.44 se tiene una mayor certeza que entre las variables existe una

relación lineal negativa media.

7. Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de hule,

cuya longitud ideal es de 200mm, con una tolerancia de ± 3 mm. Al final del turno un

inspector toma una muestra e inspecciona que la longitud cumplía especificaciones. A

continuación se muestran las últimas 110 mediciones para ambas máquinas.

Muestras (mm)

199.2 201.7 200.9 201.0 200.6 199.5 199.0 199.2 199.0 198.9

199.7 201.4 200.7 201.4 200.1 198.6 198.4 198.8 199.0 199.2

201.8 201.4 200.5 201.4 201.3 200.3 199.1 198.5 198.7 197.9

202.0 200.8 201.2 201.1 200.6 198.5 198.8 198.9 199.1 200.3

201.0 202.1 201.7 201.2 200.7 198.2 198.3 198.8 200.3 199.6

201.5 200.7 201.2 201.0 201.8 199.6 198.9 198.7 200.5 199.4

200.0 200.9 201.2 200.6 200.5 198.2 199.6 199.2 198.1 198.7

199.8 201.0 200.5 202.0 200.5 198.4 199.0 199.3 198.3 198.5

200.7 201.5 200.1 201.0 200.8 199.0 198.7 199.7 199.6 198.7

y = -0.1665x + 10.47 R² = 0.1958

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50

Día

s Fa

ltad

os

Edad del Trabajador

Relación Edad - Faltas

Faltas

Lineal (Faltas)

201.4 201.2 201.4 201.5 200.3 199.7 200.5 197.8 199.0 198.6

200.4 201.3 200.2 201.6 200.7 199.7 198.4 199.9 199.7 198.5

a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la tendencia central

del proceso es adecuada.

b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales con base en estos

decida si la variabilidad de los datos es aceptable.

c) Obtenga un histograma e interprételo (con tendencia Central, variabilidad, acantilados,

sesgos, etc.).

0

5

10

15

20

25

30

Fre

cue

nci

a

Milímetros

Histograma

Media 200.05

Error típico 0.12

Mediana 200.1

Moda 199

Desviación estándar 1.29

Varianza de la muestra 1.66

Curtosis 2.53

Coeficiente de asimetría 0.80

Rango 8.20

Mínimo 197.80

Máximo 206

Suma 22005

Cuenta 110

Análisis

Tomando las 110 muestras, se obtuvo una media de 200.05 mm, una mediana o percentil 50 de

200.10 mm que nos dice que la mitad de los datos son menores que 200.10 mm y la otra mitad

mayores o iguales a 200.10 mm, y una moda de 201.4. Además se obtuvo un error típico de 0.12;

La desviación estándar de 1.29 lo que nos indica que el grado de dispersión de los datos respecto

a su media. El coeficiente de asimetría de 0.80 indica que existe una curva asimétrica positiva. El

coeficiente de Curtosis es de 2.53, nos demuestra que la grafica posee una forma leptocúrtica, es

decir que presenta un elevado grado de concentración de valores a la derecha de la media que a su

izquierda. Podemos notar también que la forma de la gráfica obedece a una Histograma centrado

con mucha variabilidad. El Rango de los datos es de 8.2 mm, ya que el menor es 197.8 mm y el

mayor es 206 mm, por lo tanto extensión de la variación de los datos no es tan grande. Podemos

afirmar que el histograma no presenta acantilados en su gráfica, pero si posee sesgo a la izquierda

de la media, lo que podemos constatar observando la barra de color verde el cual es la clase con

mayor numero de datos asociados. Los límites reales se definan por:

8. En un área de servicio dentro de una empresa de manufactura se hace una encuesta para

evaluar la calidad del servicio proporcionada y el nivel de satisfacción de los clientes

internos. La encuesta consiste de 10 preguntas, donde cada una de ellas evalúa diferentes

aspectos del servicio proporcionado. Las respuestas para cada pregunta es un número entre

0 y 10. Para hacer un primer análisis de los resultados obtenidos, se suman los puntos

LRS 203.91

LRI 196.18

obtenidos de las 10 preguntas para cada cuestionario. A continuación se muestran los

puntos obtenidos en 50 cuestionarios.

Muestras

78 78 82 85 81 86 80 73 84 78

68 84 75 78 76 76 82 85 91 80

70 87 77 82 84 48 49 39 39 43

35 42 34 44 49 34 30 43 31 34

41 42 45 42 35 38 39 42 43 29

a) A los datos anteriores calcúleles sus medias de tendencia central, su dispersión y de una

primera opinión sobre la calidad del servicio.

b) Realice el histograma e interprételo con cuidado.

Media 59.8

Error típico 2.99

Mediana 58.5

Moda 42



Curtosis -1.80

Coeficiente de asimetría -0.02

Rango 62

Mínimo 29

Máximo 91

Suma 2990

Cuenta 50

0

5

10

15

29 37.86 46.71 55.57 64.43 73.29 82.14 y mayor...

Fre

cue

nci

a

Calificación

Histograma

Análisis

Los datos estadísticos obtenidos a través de la encuesta, proporcionaron los siguientes resultados:

una media de 59.8 puntos, la mediana o percentil 50 es de 58.5 puntos y una moda de 42 puntos.

Un error típico de 2.99; la desviación estándar de los datos con respecto a su media es de 21.13

puntos un valor demasiado elevado por lo que podemos afirmar que los datos se encuentran muy

dispersos con respecto a su media, es decir que existe mucha variabilidad. Con una Curtosis de -

1.80, nos expone que la campana de Gauss posee una forma plana, es decir, una forma achatada.

La curva asimétrica es negativa esto se puede observar a través del valor del coeficiente de asimetría

que es de -0.02. Con una puntuación mínima de 29 y máxima de 91, nos indica que existe una

gran variabilidad en los datos ya que posee un rango de 62 puntos el cual mide la gran amplitud en

la variación de los datos. La forma del histograma supone una descentralización con mucha

variabilidad y dos realidades, es decir que es bimodal.

9. En la elaboración de envases de plásticos, primero se elabora la preforma, para la cual se

tienen varios criterios de calidad, uno de ellos es ep peso de la preforma. Para cierto

envase se tiene que el peso debe estar entre 28.00 ± 0.5g. A continuación se muestran los

últimos 112 datos obtenidos mediante una carta de control para esta variable.

Muestras

27.72 28.39 28.21 28.19 28.02 27.92 27.89 27.88

28.06 27.91 27.91 27.95 27.96 27.94 28.04 28.05

27.81 27.74 27.95 27.91 27.93 28.07 28.13 27.93

27.87 27.87 27.82 28.23 27.90 27.91 28.16 27.94

27.86 27.84 27.70 27.98 28.02 28.00 27.99 28.13

28.26 28.10 27.94 28.07 27.84 27.90 27.87 27.76

27.95 27.94 27.81 27.76 27.96 27.84 27.85 27.93

28.22 27.96 27.88 28.08 28.04 28.19 27.89 28.08

28.09 28.02 27.85 28.27 27.75 27.98 27.75 27.82

28.13 27.88 28.11 28.05 28.14 28.11 28.08 28.16

28.04 28.05 27.75 27.89 27.94 28.19 28.10 27.78

27.63 27.93 27.74 28.10 28.14 27.91 27.84 28.21

27.85 27.84 28.12 28.01 27.97 27.88 28.00 28.10

28.16 28.16 28.01 28.13 27.97 27.90 27.87 27.94

a) Obtenga las medidas de tendencia central y señale si la tendencia central de las mediciones

es adecuada.

b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales y con base en estos

decida si la variabilidad de los datos es aceptable.

c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad, acantilados, sesgos,

etc.).

Media 27.97

Error típico 0.01

Mediana 27.95

Moda 27.94



Curtosis -0.30

Coeficiente de

asimetría

0.21

Rango 0.76

Mínimo 27.63

Máximo 28.39

Suma 3133.19

Cuenta 112

Análisis

Con relación a los datos de las 112 muestras se obtuvieron los siguientes resultados una media de

27.97, una mediana de 27.95, la moda es de 27.94. Un error típico de 0.01; la desviación estándar

es de 0.14, lo que indica que hay poca dispersión en el peso de los envases con respecto a la media

de los datos. La Curtosis es -0.26, lo que indica que el curva de Gauss tiene una forma platicúrtica,

es decir, que la grafica es de forma achatada. El rango es de 0.76, puesto que el peso menor es

27.63 y el máximo de 28.39. Por lo tanto la amplitud de la variación de los datos es un tanto

0

5

10

15

20

25

30

Fre

cue

nci

a

Gramos

Histograma

aceptable. La grafica posee un coeficiente de asimetría que muestra que es una curva asimétrica

positiva. En cuanto a la forma del histograma podemos aseverar que éste está centrado con mucha

variabilidad. No hay acantilados y no hay evidencia de sesgo ni datos aislados.

10. Los siguientes datos corresponden a la medición de la viscosidad, variable importante en la

calidad del adhesivo.

a) Calcule los límites de control para las cartas X-R e interprételos

b) Elabore la carta de control X y la R y de sus conclusiones.

Semana 29 Semana 30 Semana 31

H H H H H H H H H

1 2 3 4 5 6 7 8 9

I I I II II II I I I

17-jul 18-jul 19-jul 19-jul 25-jul 26-jul 31-jul 01-ago 02-ago

1 34.0 33.0 34.0 35.0 34.0 35.0 33.0 34.0 35.0

2 34.0 33.0 34.0 35.0 34.0 35.0 33.0 34.0 35.0

3 34.0 34.0 34.0 34.0 34.0 34.0 34.0 35.0 35.0

4 35.0 34.0 34.0 34.0 35.0 34.0 34.0 35.0 34.0

5 35.0 35.0 35.0 34.0 35.0 33.0 34.0 35.0 34.0

6 35.0 35.0 35.0 34.0 35.0 33.0 34.0 34.0 34.0

7 35.0 35.0 35.0 35.0 35.0 34.0 35.0 34.0 35.0

8 34.0 34.0 34.0 35.0 34.0 35.0 35.0 35.0 35.0

9 34.0 34.0 34.0 35.0 34.0 35.0 35.0 35.0 35.0

Carta X

33.4

33.6

33.8

34.0

34.2

34.4

34.6

34.8

35.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Promedio

LCS

LCC

LCI

Análisis: El proceso de viscosidad en los adhesivos esta dentro de control estadístico en cuanto a

su medida de tendencia central, con un LIC= 33.90 y un LCS= 34.80. Todos los datos

muestreados están dentro de los límites de control establecidos para esta carta.

Carta R

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rango

LCS

LCC

LCI

LCS 34.8

LCC 34.4

LCI 33.9

A2 0.337

Análisis: El proceso de viscosidad en los adhesivos esta dentro de control estadístico en cuanto a la

variabilidad de los datos, es decir en cuanto a sus rangos, ningún valor excede los límites de control

respectivos. El rango de la viscosidad de dichos adhesivos se encuentra entre 0.25 y 2.42 con un

rango promedio de 1.3. Lo cual indica que existe poca variabilidad en la viscosidad del adhesivo.

11. En una industria alimenticia se quiere garantizar que la concentración mínima de grasa de

un producto sea de 1.8%. En la siguiente tabla, se muestran los datos obtenidos para el

estudio inicial, con tamaño de subgrupo de 4.

SUB

GRUPO

GRASA

SUB

GRUPO

GRASA

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1.88 1.93 1.98 1.88 11 1.93 1.95 1.90 1.93

2 1.93 1.97 1.89 1.94 12 1.95 1.98 1.89 1.90

D3 0.1838

D4 1.8162

LCS 2.4

LCC 1.3

LCI 0.2

3 1.92 1.95 1.90 1.98 13 1.88 1.93 1.88 1.90

4 1.89 1.89 1.90 1.94 14 1.97 1.88 1.92 1.96

5 1.95 1.95 1.93 1.90 15 1.91 1.91 1.96 1.93

6 2.00 1.95 1.94 1.89 16 1.98 1.90 1.92 1.91

7 1.95 1.93 1.97 1.85 17 1.93 1.94 1.95 1.90

8 2.87 1.98 1.96 2.04 18 1.82 1.92 1.95 1.94

9 1.96 1.92 1.98 1.88 19 2.00 1.97 1.99 1.95

10 1.99 1.93 2.01 2.02 20 1.98 1.94 1.96 1.88

a) Calcule los límites de control para las cartas X-R e interprételos.


Carta X

n 4

A2 0.729

X 1.946

LCS 2.035

LCI 1.858

LCC 1.946

R 0.122

1.600

1.700

1.800

1.900

2.000

2.100

2.200

2.300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Promedio

LCS

LCI

LCC

Análisis: El proceso de concentración de grasa en el producto se encuentra fuera de control

estadístico en cuanto a su medida de tendencia central ya que la muestra 8 está por arriba del límite

de control superior, el punto 9 viola la regla 14 la cual dice que este punto está por debajo de 4

sigmas. Y la muestra 18 viola la prueba 8 que indica que hay 8 puntos consecutivos en la zona C (1

sigma). La concentración de grasa en los productos se encuentra entre 1.86 y 2 con un promedio

de 1.95.

Carta R

LCS 0.28

LCC 0.12

LCI 0

D3 0

D4 2.28

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

0.900

1.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Rango

LCS

LCC

LCI

Análisis: El proceso de concentración de grasa en los productos se encuentra fuera de control

estadístico en cuanto a su medida dispersión o variabilidad ya que la muestra 8 está por arriba del

límite de control superior. El rango de la concentración de grasa en los productos se encuentra

entre 0.0% y 0.28% con un rango promedio de 0.1 %. Lo cual indica que existe poca dispersión en

la viscosidad del adhesivo.

12. En la fábrica de discos ópticos una máquina metaliza disco. Para garantizar la uniformidad

del metal en el disco, la densidad debe ser de 1.93, con una tolerancia de ±0.12, en la tabla

siguiente se muestran los datos obtenidos para un estudio inicial, con tamaño de subgrupo

5.

SUB

GRUPO DATOS

1 1.909 1.917 1.865 1.991 1.906

2 1.957 1.829 1.87 1.917 1.971

3 1.861 1.946 1.903 1.951 1.893

4 1.938 1.913 1.884 1.907 1.95

5 1.941 1.966 1.935 1.936 1.955

6 2.032 1.914 1.911 1.82 1.932

7 1.889 1.963 1.943 1.918 1.911

8 1.891 1.978 1.907 1.922 1.908

9 1.929 1.87 1.943 1.819 1.946

10 1.956 1.904 1.904 1.907 1.864

11 1.904 1.91 1.904 1.903 1.901

12 1.926 1.984 1.899 1.938 1.978

13 1.936 1.903 1.915 1.932 2.014

14 1.937 1.949 1.898 1.952 1.869

15 1.916 1.961 1.953 1.954 1.939

16 1.867 1.898 1.929 1.953 1.952

17 1.939 1.918 1.925 1.949 1.91

18 1.94 1.88 1.882 1.949 1.91

19 1.944 1.919 1.84 1.94 1.942

20 1.933 1.965 2.031 1.902 1.923

21 1.817 1.878 1.938 2.058 1.938

22 1.939 1.956 1.951 1.898 1.969

23 1.931 1.894 1.972 1.936 1.924

24 1.927 1.895 1.938 1.859 1.938

25 1.973 1.949 1.912 1.87 1.971

a) Calcule los límites de control para las cartas X-R e interprételos.


Carta X

n 5

A2 0.577

X 1.924

LCS 1.979

LCI 1.869

LCC 1.924

R 0.095

1.800

1.820

1.840

1.860

1.880

1.900

1.920

1.940

1.960

1.980

2.000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Promedio

LCS

LCI

LCC

Análisis: Con base en el análisis de los datos mediante una carta X el proceso de fabricación discos

ópticos la densidad se encuentra bajo control estadístico en cuanto a su medida de tendencia

central ya que todos los datos están dentro de los límites de control superior e inferior. La

densidad en el metal para los discos se encuentra entre 1.924 y 1.979 con un promedio de 1.869.

En conclusión el proceso está bajo control estadístico.

Carta R

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Rango

LCS

LCC

LCI

Análisis: Basado en la Carta de Rangos el proceso de fabricar discos ópticos la densidad está fuera

de control estadístico en cuanto a su variabilidad ya que los puntos 6 y 21 se encuentran por

encima del límite de control superior. El rango de la densidad en el metal para fabricar los discos

ópticos se encuentra entre 0.00 y 0.200 con un rango promedio de 0.095.

13. En la presentación de servicios en una empresa se registra diariamente la evaluación de los

clientes. La forma operativa que se hace es la siguiente: todos los días en forma aleatoria se

le pide a 5 clientes atendidos que contesten una encuesta de satisfacción en el servicio, la

escala de satisfacción va de 0 a 100. Los datos obtenidos durante el último mes se

muestran en la tabla siguiente.

a) Mediante una carta de medias analice la estabilidad de la calidad en el servicio.

DÍA CALIFICACIÓN DE SERVICIOS MEDIA

1 83 84 63 68 93 78.20

2 84 88 71 87 93 84.60

3 87 76 92 75 79 81.80

4 71 69 79 79 62 72.00

5 76 81 100 85 100 88.40

6 69 86 98 84 89 85.20

7 88 89 75 72 86 82.00

8 96 76 71 97 73 82.60

9 61 71 57 90 79 71.60

10 82 93 87 87 76 85.00

11 80 82 66 83 83 78.80

12 69 84 89 88 65 79.00

13 50 92 76 62 71 70.20

14 74 94 73 79 67 77.40

15 66 74 86 78 72 75.20

16 80 82 84 60 83 77.80

17 57 87 74 94 72 76.80

18 99 88 83 90 80 88.00

19 87 80 89 89 77 84.40

20 79 85 65 71 70 74.00

21 93 70 77 80 74 78.80

22 73 76 81 80 65 75.00

n 5

LCS 131.67

LCC 79.40

LCI 27.13

A2 0.58

R promedio 90.59

Carta X

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Media

LCS

LCC

LCI

Análisis: Según la carta de medida de tendencia central, la calidad del servicio se encuentra en

control estadístico, ya que todas las observaciones caen dentro de los límites de control para dicha

carta. La satisfacción de los clientes se encuentra entre 131.67 y 27.13 con una satisfacción

promedio de 79.4.

Carta R

D3 0

D4 2.11

LCS 191.55

LCC 90.59

LCI 0

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Rango

LCS

LCC

LCI

Análisis: Basados en la Carta R, la calidad del servicio se encuentra bajo control estadístico, en

cuanto a la variabilidad de los datos se refiere ya que todas las observaciones no violan los límites

de control. El rango de satisfacción en los clientes se encuentra entre 0.0 y 191.55 con una

satisfacción promedio de 90.59. Por tanto podemos concluir que tal proceso funciona de una

forma estable.

CAPÍTULO 2

1. Con los datos del ejercicio de las dos máquinas operadas por una persona, considerando

que los primeros 55 datos (ordenados por reglón) corresponden a una máquina, y los

últimos 55 a otra, conteste lo siguiente.

a) Evalúe las dos máquinas en cuanto a su centrado (tendencia central) respecto a la

longitud ideal (200).

b) Analice la dispersión de ambas máquinas, utilizando la desviación estándar.

c) Haga un histograma para cada máquina e interprete cada uno de ellos.

d) Con base en lo anterior, ¿cuál es el problema de cada máquina?

e) Considerando que cada máquina es operada por una persona diferente, discuta cuáles

son las posibles causas de los problemas señalados en el inciso anterior y señale qué

haría para corroborar cuáles son las verdaderas causas.

f) Vuelva a analizar el histograma realizado en el inciso c del ejercicio anterior y vea si de

alguna forma se vislumbraba lo que detectó con los análisis hechos en este ejercicio.

g) A la luz de lo anterior, ¿qué recomendaciones respecto a la obtención de datos y su

análisis daría para hacer más eficiente la inspección y el control del funcionamiento de

cada máquina?

Máquina 1

Media 200.13

Error típico 0.17

Mediana 200.3

Moda 201.4



Curtosis -1.39


Rango 4.2

Mínimo 197.9

Máximo 202.1

Suma 11007.1

Cuenta 55

Análisis: Basados en la información y gráficos obtenidos se ve claramente de que en la máquina 1

los datos se encuentran poco dispersos con respecto a la media (dispersión), pero sin embargo, la

empresa debe de reducirla. La mediana o percentil 50 nos indica que la mitad de los datos tienen

un valor por debajo de 200.3 mm, y la otra parte, su valor es mayor o igual a 200.3 mm. La curtosis

es de -1.39 lo que indica que la curva de la distribución normal presenta un grado reducido de

concentración alrededor de los valores centrales de la variable estudiada, es decir que presenta una

forma aplanada o achatada. El coeficiente de asimetría es 0 por lo que se concluye que existe una

mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha. Aquí se aprecia que se

presentan dos realidades distintas (bimodal) lo que indica que hay situaciones que causan esto y

deben ser identificadas para erradicarlas.

0

2

4

6

8

10

12

14

Fre

cue

nci

a

Milímetros

Histograma "Máquina 1"

Máquina 2

Media 199.97

Error típico 0.18

Mediana 199.8

Moda 200.5



Curtosis 5.52


Rango 8.2

Mínimo 197.8

Máximo 206

Suma 10998.4

Cuenta 55

0 2 4 6 8

10 12 14 16 18

Fre

cue

nci

a

Milímetros

Histograma "Máquina 2"

Análisis: Basados en la información y gráficos obtenidos se puede ver que en la máquina 2 los

datos se encuentran poco dispersos con respecto a la media (dispersión), pero sin embargo es

mayor que el de la máquina 1 y la empresa debe de reducirla. La mediana o percentil 50 nos

indica que la mitad de los datos tienen un valor por debajo de 199.8 mm, y la otra parte, su valor es

mayor o igual a 199.8 mm. La curtosis es de 5.52 lo que indica que la curva de la distribución

normal presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la

variable estudiada, es decir que presenta una forma alargada en el centro. El coeficiente de

asimetría es >0 por lo que se concluye que existe una mayor concentración de valores a la derecha

de la media que a su izquierda. Con respecto a la máquina 1, la 2 presenta un mejor estado porque

en esta claramente solo hay una realidad por lo tanto es más fácil poder controlarlo y erradicarlo.

2. Con el propósito de mejorar la calidad que se tenía en cuanto al grosor de las láminas, un

grupo implementa un proyecto de mejora siguiendo la metodología. Varios de los cambios

implementados fueron relativos a los procedimientos empleados durante el proceso ya y la

estandarización de los mismos. Para verificar si el plan tuvo éxito, se eligieron láminas

aleatoriamente y midiendo su grosor. Los 120 datos obtenidos durante tres días se

muestran a continuación.

4.8 4.3 4.8 5.1 4.9 4.6 4.9 4.6 5.0 4.9 4.8 4.5

4.7 5.7 4.5 5.3 4.4 5.1 4.6 4.9 4.2 4.6 5.3 5.2

4.7 4.1 5.1 5.0 5.0 4.9 4.6 4.9 5.2 4.8 4.7 5.1

4.9 4.8 4.7 5.1 5.1 5.3 5.1 5.0 5.3 5.0 5.1 5.2

4.7 5.0 5.0 5.3 5.1 5.1 4.5 5.2 4.1 5.1 4.9 4.9

4.6 5.0 4.6 4.8 4.7 4.9 4.4 4.5 5.3 5.3 4.4 5.0

4.2 4.5 5.3 5.1 4.8 4.4 4.7 5.3 5.1 4.7 4.7 4.8

5.0 5.0 4.9 5.2 5.6 5.1 5.2 4.5 4.6 5.2 4.9 5.0

5.3 4.9 5.0 4.4 4.9 4.7 4.6 5.3 4.8 4.7 4.6 5.1

4.4 5.0 4.5 5.0 5.2 4.7 5.0 5.3 5.6 5.0 5.0 4.5

a) Calcule la media y mediana de estos datos, y comparándolas con sus correspondientes

antes del proyecto, decida si con los cambios se mejoró el centrado del proceso.

μ= 4.75, mediana= 4.7

b) Calcule la desviación estándar, y con ésta, obtenga los nuevos límites reales, y decida si la

variabilidad se redujo. σ= 0.45

c) Construya un histograma.

d) Con base en todo lo anterior, ¿el proyecto dio buenos resultados? Argumente.

e) Si hubo mejoras, ¿éstas son suficientes para garantizar un producto dentro de

especificaciones?

Datos del Estudio Anterior

Desviación estándar 0.45 mm

Grosor óptimo 5 mm

Discrepancia 0.8 mm

Mediana 4.7 mm

Media 4.75 mm

LRS 6.1 mm

LRI 3.4 mm

Datos del Estudio Actual

Media 4.88

Error típico 0.03

Mediana 4.9

Moda 5



Curtosis -0.12


Rango 1.6

Mínimo 4.1

Máximo 5.7

Suma 586.1

Cuenta 120

0

5

10

15

20

25

Fre

cue

nci

a

Milímetros

Histograma

LRS 5.83 mm

LRI 3.94 mm

Análisis: Se puede ver claramente que los datos, en cuanto a su dispersión con respecto a la media

se redujo, la desviación estándar paso de 0.45 0 0.32 aproximándose más a cero, que es lo ideal. El

índice de Curtosis nos dice que la curva de la normal tiende a ser achatada con colas cortas y el

coeficiente de asimetría nos dice que existe mayor concentración de datos a la izquierda que a la

derecha. Con ello se puede afirmar que se ha logrado una mejora pero se debe seguir mejorando

ya que, aunque el proceso está centrado presenta variabilidad.

3. Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad y un componente que

influye en tal densidad es la cantidad de arenas que se utilizan en su elaboración. La

cantidad de arena en la formulación de un lote se controla con base en el número de

costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin embargo, continuamente se tienen

problemas en la densidad de la pintura, que es necesario corregir con retrabajo y

reprocesos adicionales. En este contexto en la empresa se preguntan, ¿cuánta arena

contienen realmente los costales? Para averiguarlo deciden tomar una muestra aleatoria de

30 costales de cada lote pedido (500 costales). Los pesos obtenidos en las muestras de los

últimos tres lotes se muestran a continuación. Las especificaciones iniciales que se

establecen para el peso de los costales de arena son 200.8 kg.

Lote Peso de costales de la muestra

1

18.6 19.2 19.5 19.2 18.9 19.4 19.0 20.0 19.3 20.0

19.1 18.6 19.4 18.7 21.0 19.8 19.0 18.6 19.6 19.0

19.6 19.4 19.8 19.1 20.0 20.4 18.8 19.3 19.1 19.1

2

18.6 19.9 18.8 18.4 19.0 20.1 19.7 19.3 20.7 19.6

19.5 19.1 18.5 19.6 19.4 19.6 20.3 18.8 19.2 20.6

20.0 18.4 18.9 19.7 17.8 19.4 18.9 18.4 19.0 19.7

3

20.1 20.2 21.0 19.7 20.1 20.0 19.1 20.4 19.6 20.6

20.0 19.7 20.8 19.7 19.7 20.4 19.8 20.5 20.0 20.0

20.2 19.7 20.0 19.6 19.7 19.8 19.9 20.3 20.4 20.2

a) Tomando en cuenta los 90 datos, ¿el centrado del proceso es adecuado?

b) ¿La variabilidad es poca o mucha? Apóyese en los estadísticos adecuados.

c) Obtenga un histograma para los noventa datos, inserte las especificaciones e interprételo

con detalle.

d) Dé su conclusión general sobre si los bultos cumplen con el peso especificado.

e) Haga un análisis de cada lote por separado y con apoyo de estadísticos y gráficas, señale si

hay diferencias grandes entre los lotes.

f) ¿Las diferencias encontradas se podrían haber inferido a partir del histograma del inciso c?

Costales

Media 19.562

Error típico 0.069

Mediana 19.6

Moda 20



Curtosis -0.29


Rango 3.2

Mínimo 17.8

Máximo 21

Suma 1760.6

Cuenta 90

0

5

10

15

20

25

Fre

cue

nci

a

Kilogramos

Histograma "Peso de los Costales"

Análisis: Los datos que corresponden al peso de los costales se encuentran con muy poca

variabilidad, ya que esto es evidente por el coeficiente de asimetría, Curtosis y la desviación

estándar, cuyos valores se aproximan a cero. Se puede constatar que existe un ligero sesgo a la

izquierda.

Lote 1

Media 19.35

Error típico 0.10

Mediana 19.25

Moda 19.1



Curtosis 1.39


Rango 2.4

Mínimo 18.6

Máximo 21

Suma 580.5

Cuenta 30

Análisis: El lote 1, con respecto a la población total de los costales, cuenta con mayor variabilidad,

con una mayor concentración de los datos a la derecha de la media.

Lote 2

Media 19.2967

Error típico 0.1260

Mediana 19.35

Moda 18.4


0

2

4

6

8

10

12

14

18.6 19.08 19.56 20.04 20.52 y mayor...

Fre

cue

nci

a

Kilogramo

Histograma "Lote 1"


Curtosis -0.26


Rango 2.9

Mínimo 17.8

Máximo 20.7

Suma 578.9

Cuenta 30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

17.8 18.38 18.96 19.54 20.12 y mayor...

Fre

cue

nci

a

Kilogramos

Histograma "Lote 2"

Análisis: El lote presenta mayor variabilidad en relación al 1 y 2 con sesgo a la derecha donde la

mayoría de los datos se concentran a la derecha y la curva normal presenta una forma ligeramente

achatada.

Lote 3

Media 20.04

Error típico 0.07

Mediana 20

Moda 19.7



Curtosis 0.46


Rango 1.9

Mínimo 19.1

Máximo 21

Suma 601.2

Cuenta 30

0

2

4

6

8

10

12

19.1 19.48 19.86 20.24 20.62 y mayor...

Fre

cue

nci

a

Kilogramos

Histograma "Lote 3"

Análisis: El proceso se encuentra con una ligera variabilidad en los datos, con acantilado lo que

ocasiona que los mismos presenten variabilidad, debido a que los datos tiendan a agruparse más a

la derecha de la media causando una desviación de 0.4 y dándole una forma alargada a la curva

normal.

4. En una empresa que fabrica y vende equipo para fotocopiado utilizan como un indicador

importante de la calidad en el servicio posventa el tiempo de respuestas a solicitudes de

apoyo técnico debido a fallas en los equipos. Para problemas mayores, en cierta zona del

país, se ha establecido como meta que la respuesta se dé en un máximo de 6 horas hábiles;

es decir, de que habla el cliente solicitando apoyo, y que si el problema se clasifica como

grave no deben pasar más de 6 horas hábiles en que un técnico acuda a resolver su

problema. A continuación se aprecian los tiempos de respuestas en horas para los primeros

9 meses del año (65 datos).

5.0 5.4 7.1 7.0 5.5 4.4 5.4 6.6 7.1 4.2

4.1 3.0 5.7 6.7 6.8 4.7 7.1 3.2 5.7 4.1

5.5 7.9 2.0 5.4 2.9 5.3 7.4 5.1 6.9 7.5

3.2 3.9 5.9 3.6 4.0 2.3 8.9 5.8 5.8 6.4

7.7 3.9 5.8 5.9 1.7 3.2 6.8 7.0 5.4 5.6

4.5 6.5 4.1 7.5 6.8 4.3 5.9 3.1 8.3 5.4

4.7 6.3 6.0 3.1 4.8

a) Calcule las medidas de tendencia central y con base en éstas, ¿cree que se cumple con la

meta?

b) Haga un histograma e interprete sus aspectos más relevantes.

c) A partir del análisis que se ha hecho, ¿qué recomendaciones daría para ayudar a cumplir

mejor la meta?

Columna1

Media 5.37

Error típico 0.20

Mediana 5.5

Moda 5.4



Curtosis -0.52


Rango 7.2

Mínimo 1.7

Máximo 8.9

Suma 348.8

Cuenta 65

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Fre

cue

nci

a

Tiempo de Respuesta

Histograma

Análisis: Los datos correspondientes se encuentran con una variabilidad ligera donde la curva de la

normal tiende a ser achata y con colas muy cortas presentando un acantilado donde la mitad de los

datos son menor que 5.5 y la otra mitad son mayores o iguales a ese valor.

5. Los datos de la tabla siguiente representan las horas caídas de equipos, por semana, de tres

líneas de producción.

Semana Línea 1 Línea 2 Línea 3 Semana Línea 1 Línea 2 Línea 3

1 7.7 6.6 7.5 14 6.3 6.5 8.5

2 6.8 5.2 8.1 15 7.8 7.7 8.0

3 8.5 7.2 6.2 16 6.7 7.4 7.7

4 8.6 9.2 7.4 17 7.3 6.1 7.5

5 5.7 6.7 8.2 18 5.7 6.2 8.2

6 7.9 6.2 6.0 19 6.2 7.3 7.7

7 8.1 7.1 8.2 20 7.3 6.9 7.0

8 7.6 8.1 8.1 21 5.0 6.1 .5

9 7.1 6.4 6.7 22 5.0 6.9 6.2

10 7.3 6.3 8.0 23 5.4 8.4 6.0

11 7.8 8.2 8.1 24 7.5 5.0 6.1

12 6.1 8.4 8.1 25 6.0 7.4 5.8

13 6.4 7.4 7.0

a) Analice los datos para cada línea, anote las principales características de la distribución

de los datos.

b) Compare las tres líneas, ¿nota alguna diferencia importante?

Línea 1

Media 6.87

Error típico 0.21

Mediana 7.1

Moda 7.3



Curtosis -0.94


Rango 3.6

Mínimo 5

Máximo 8.6

Suma 171.8

Cuenta 25

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5 5.72 6.44 7.16 7.88 y mayor...

Sem

anas

Horas Caídas

Histograma "Línea 1"

Análisis: La curva de la normal tiende a ser plana o achatada debido a como los datos se

encuentran distribuidos, aunque la deviación estándar no es grande en magnitud, sigue siendo un

problema muy grande ya que la variabilidad existe en el proceso y mientras la empresa no le de

solución va a seguir perdiendo tiempo, un factor importante para los clientes y así cumplir con los

tiempos de entrega. También presenta sesgo a la izquierda.

Línea 2

Media 7.00

Error típico 0.20

Mediana 6.9

Moda 7.4



Curtosis 0.01


Rango 4.2

Mínimo 5

Máximo 9.2

Suma 174.9

Cuenta 25

Análisis: El coeficiente de asimetría nos muestra que hay mayor concentración de datos a la

derecha de la media y el coeficiente de Curtosis se aproxima mucho a 0 lo que nos dice que la

campada de Gauss se aproxima más a la curva normal deseada, curva que en este caso representa

el proceso en la línea 2.

Línea 3

Media 7.07

Error típico 0.32

Mediana 7.5

Moda 8.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5 5.84 6.68 7.52 8.36 y mayor...

Sem

anas

Horas Caídas




Curtosis 11.35


Rango 8

Mínimo 0.5

Máximo 8.5

Suma 176.8

Cuenta 25

Análisis: La línea 3 presenta mayor variabilidad en su proceso, con acantilado y un coeficiente de

asimetría de -2.96 y cuyo coeficiente de Curtosis nos muestra que la curva es alargada en el centro.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.5 2.1 3.7 5.3 6.9 y mayor...

Fre

cue

nci

a

Clase


6. Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de grasa.

En una industria en particular se ha fijado como estándar mínimo que debe cumplir el

producto que recibe directamente de los establos lecheros, 3.0%. Por medio de muestreos

y evaluaciones en cierta época del año se obtuvieron los siguientes 90 datos sobre

concentración de grasa, en cierta región.

2.7 3.4 3.5 4.0 3.1 3.3 3.5 3.3 3.2 3.4 2.6 3.1

3.4 2.7 3.3 3.6 2.9 2.8 3.0 3.6 3.5 2.8 3.1 2.8

2.2 3.4 3.3 2.5 3.4 2.7 2.9 3.6 3.3 2.7 3.7 3.3

3.2 3.1 2.9 2.7 3.3 3.6 3.3 3.1 3.1 3.4 3.0 3.5

3.4 3.0 2.9 3.2 3.2 3.0 3.3 3.9 3.3 3.0 3.0 3.5

2.9 3.5 3.1 3.5 3.0 3.1 2.9 3.1 3.1 2.9 2.9 3.4

3.4 3.1 3.2 3.3 3.2 3.3 3.0 3.2 3.5 3.4 3.8 3.2

2.9 3.0 3.2 3.2 3.3 3.8

a) Calcule las medidas de tendencia central y de variabilidad, y comente sobre el

cumplimiento del estándar mínimo para la concentración de la grasa.

b) Obtenga un histograma, inserte el estándar mínimo e interprete ampliamente.

c) La población de donde provienen estos datos, ¿cumple el estándar mínimo?

Columna1

Media 3.19

Error típico 0.03

Mediana 3.2

Moda 3.3



Curtosis 0.52


Rango 1.8

Mínimo 2.2

Máximo 4

Suma 286.9

Cuenta 90

Análisis: Aquí los datos obtenidos sobre el nivel de concentración de grasa en la leche de vaca

presentan poca variabilidad donde la curva normal tiende a ser un poco alargada.

7. A continuación se muestran 100 datos obtenidos en las pruebas destructivas de la

resistencia de botellas.

28.3 26.8 26.6 26.5 28.1 24.8 27.4 26.2 29.4 28.6 24.9 25.2

30.4 27.7 27.0 26.1 28.1 26.9 28.0 27.6 25.6 29.5 27.6 27.3

0

5

10

15

20

25

Fre

cue

nci

a

Concentración

Histograma

26.2 27.7 27.2 25.9 26.5 28.3 26.5 29.1 23.7 29.7 26.8 29.5

28.4 26.3 28.1 28.7 27.0 25.5 26.9 27.2 27.6 25.5 28.3 27.4

28.8 25.0 25.3 27.7 25.2 28.6 27.9 28.7 25.3 29.2 26.5 28.7

29.3 27.8 25.1 26.6 26.8 26.4 26.4 26.3 28.3 27.0 23.7 27.7

26.9 27.7 26.2 27.0 27.6 28.8 26.5 28.6 25.7 27.1 27.8 24.7

27.1 26.4 27.2 27.3 27.0 27.7 27.6 26.2 24.7 27.2 23.8 27.4

29.5 26.4 25.8 26.7

a) Calcule medidas de tendencia central y de variabilidad.

b) Estime los límites reales y comente si las botellas cumplen la resistencia mínima e

interprete ampliamente.

c) Obtenga un histograma, inserte la resistencia mínima e interprete ampliamente.

d) Con base en los análisis anteriores, dé su opinión sobre si el proceso cumple con la

especificación inferior.

Columna1

Media 27.10

Error típico 0.14

Mediana 27.1

Moda 27.7



Curtosis -0.10


Rango 6.7

Mínimo 23.7

Máximo 30.4

Suma 2709.5

Cuenta 100

LRS 31.26

LRI 22.93

Análisis: La información obtenida de las pruebas destructivas para ver la resistencia de las botellas

tiene mucha variabilidad ya que la desviación estándar así lo indica, donde la curva normal tiende a

ser achatada.

8. En la elaboración de una bebida se desea a garantizar que el porcentaje de CO2 esté entre

2.5 y 3.0. De los datos obtenidos del monitoreo del proceso se obtuvieron los siguientes

115 datos.

0

5

10

15

20

25

Fre

cue

nci

a

Resistencia de las Botellas

Histograma

2.61 2.56 2.63 2.61 2.56 2.60 2.56 2.60 2.55 2.64 2.66 2.65

2.69 2.51 2.56 2.64 2.52 2.57 2.60 2.67 2.48 2.57 2.66 2.59

2.61 2.61 2.66 2.64 2.56 2.58 2.61 2.57 2.56 2.59 2.67 2.57

2.57 2.49 2.58 2.69 2.61 2.64 2.57 2.55 2.70 2.65 2.67 2.65

2.73 2.65 2.58 2.67 2.53 2.67 2.62 2.57 2.64 2.55 2.64 2.52

2.60 2.67 2.71 2.51 2.57 2.57 2.51 2.67 2.50 2.56 2.65

2.61 2.49 2.66 2.52 2.60 2.63 2.61 2.60 2.56 2.67 2.61

2.62 2.52 2.72 2.53 2.64 2.52 2.60 2.53 2.62 2.64 2.60

2.53 2.61 2.68 2.59 2.63 2.66 2.59 2.58 2.65 2.57 2.52

2.64 2.55 2.63 2.59 2.62 2.52 2.49 2.55 2.60 2.61 2.58

a) Con medidas de tendencia central señale si la tendencia central de las mediciones es

adecuada.

b) Calcule las desviaciones estándar y una aproximación de los límites reales y con base en

éstos decidida si la variabilidad de los datos es aceptable.

c) Obtenga un histograma e interprételo.

d) Con la evidencia obtenida antes, cuál es su opinión sobre la capacidad del proceso referido.

Columna1

Media 2.599

Error típico 0.005

Mediana 2.600

Moda 2.610



Curtosis -0.587


Rango 0.250

Mínimo 2.480

Máximo 2.730

Suma 298.870

Cuenta 115

Análisis: Se puede decir, en este caso, que la variabilidad de los datos con respecto al porcentaje de

CO2 es mínima, lo que es indicado por la desviación, la asimetría y el coeficiente de Curtosis,

donde se ve que los datos tienden a estar centrados con poca variabilidad.

0

5

10

15

20

25

Fre

cue

nci

a

Porcentaje de CO2

Histograma

CAPÍTULO 6

1. En un proceso de manufactura las piezas resultan defectuosas por distintas razones. Para

entender cuál es la regularidad estadística de esta problemática se decide registrar los datos

de la inspección. Para el diseño de la hoja de verificación se toma en cuenta que las

posibles fuentes de variabilidad (origen de los problemas) son las máquinas, el día y el

turno. En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos en una semana.

Máquina Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

AM PM AM PM AM PM AM PM AM PM

A oo

x

-

O

X

ooo

o

xx

ooooo

xxx

-

ooooo

xxx

/

ooo

x

- -

o

xx

/

ooo

//

xx

B oooo

xx

-

oooo

xxx

-

ooo

xx

oooooo

xx

- /

oooooooo

-

x

oooooooo

xx

ooooo

xx

- - /

oooo

xx

-

ooooo

/

ooo

x

C oo

x

O

x

oo

/

oooooo

oooooo

x

oo o

-

oo

*

oo

/

D oo

x

O

x

oo

/

oo

*

ooo

/

*

oooo

x

oo

-

oo

*

oo

**

/

o

***

(o) Rasguños superficiales, (x) Rupturas, (-) Incompletas, (/) Forma inapropiada, (*) Otro.

a) Realice un Pareto para problemas y encuentre cuál es el predominante.

b) Para el defecto principal, realice Paretos de segundo nivel en función de:

Máquinas.

Día.

Turno.

c) De los Paretos de segundo nivel, ¿con cuáles se encontró pistas específicas para localizar la

causa? Explique.

d) En resumen, ¿cuáles son las pistas concretas para orientar los esfuerzos de mejora?

Pareto de Problemas

Problema Frecuencia % Frecuencia Frecuencia

Acumulada

Rasguños superficiales 119 62% 62%

Rupturas 39 20% 82%

Incompletas 13 7% 89%

Forma inapropiada 12 6% 95%

Otros 9 5% 100%

Total 192 100%

0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%

0 20 40 60 80

100 120 140

Fre

cue

nci

a

Tipo de Defecto

Diagrama de Pareto

Frecuencia

Frecuencia acumulada

Análisis: El problema de rasguños superficiales y las rupturas cusan el 82% de los problemas, de

los cuales el primero constituye el 62% y ese es el problema que debe tener prioridad para ser

erradicado.

Pareto de Máquinas

Máquinas Frecuencia %

Frecuencia

Frecuencia

Acumulada

B 50 42% 42%

A 24 20% 62%

C 24 20% 82%

D 21 18% 100%

Total 119 100%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0

10

20

30

40

50

60

B A C D

Fre

cue

nci

a

Máquina

Diagrama de Pareto

Frecuencia


Análisis: Las máquinas B, A y C generan el 82% de los problemas que surgen en el proceso, ya sea

por averías o fallas. De ellas la que produce mayor cantidad de problemas es la B, donde debería

de hacerse un estudio y determinar si las fallas son de origen humano o tecnológico.

Pareto de Días

Día Frecuencia %

Frecuencia

Frecuencia

Acumulada

Miércoles 45 38% 38%

Jueves 20 17% 55%

Martes 19 16% 71%

Viernes 18 15% 86%

Lunes 17 14% 100%

Total 119 100%

Análisis: Los días en los que se hacen presentan la mayor cantidad de fallas son el miércoles,

jueves, martes y viernes. Es en esos días donde se producen 82% de los problemas que hay en el

proceso.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0

10

20

30

40

50

Fre

ceu

nci

a

Día

Diagrama de Pareto

Frecuencia


Pareto de Turnos

Turnos Frecuencia %

Frecuencia

Frecuencia

Acumulada

I 66 55% 55%

II 53 45% 100%

Total 119 100%

Análisis: El turno en el que se dan la mayor cantidad de problemas es el turno I, donde se generan

el 55% de los problemas y es en el que se tiene que investigar la causas por las cuales se originan

dichas fallas.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0

10

20

30

40

50

60

70

I II

Fre

cue

nci

a

Turno

Pareto de Turnos

Frecuencia


2. En una fábrica de aparatos de línea blanca se han tenido problemas con la calidad de las

lavadoras. Un grupo de mejora de la calidad decide revisar los problemas de la tinta de las

lavadoras, ya que frecuentemente es necesario retrabajarla para que ésta tenga una calidad

aceptable. Para ello estratificaron los problemas en la tina de lavadora por tipo de defecto,

con la idea de localizar cuál es el defecto principal. A continuación se muestra el análisis de

los defectos encontrados en las tinas producidas en cinco meses. Realice un análisis de

Pareto y obtenga conclusiones.

Defecto Frecuencia

Ovalada la boca de la tina 1,200

Perforaciones deformes 400

Boca de tina despostillada 180

Falta de fundente 130

Mal soldada 40

Total 1,950

Defecto Frecuencia % Frecuencia Frecuencia

acumulada

Boca de la tina ovalada 1200 62% 62%

Perforaciones deformes 400 21% 82%

Boca de la tina despostillada 180 9% 91%

Falta de fundente 130 7% 98%

Mal soldada 40 2% 100%

Total 1950 100%

Análisis: Los defectos principales en las tinas de lavadora son que la boca de las mismas sea

ovalada o que tenga perforaciones deformes ya que constituyen el 82% de los problemas y es aquí

donde se deben concentrar los esfuerzos para reducir tales defectos.

3. En cierta empresa es usual pagar horas extras para cumplir con los tiempos de entrega. En

este centro productivo, un grupo de mejora de calidad está tratando de reducir la

proporción de piezas malas. Con este propósito deciden investigar la relación entre la

0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%

0

500

1000

1500

Fre

cue

nci

a

Defecto

Diagrama de Pareto

Frecuencia


cantidad de horas extras, X, y el porcentaje de artículos defectuosos, Y. A continuación se

muestran los datos obtenidos.

Semana Horas extras Porcentaje de

defectuosos

1 340 5

2 95 3

3 210 6

4 809 15

5 80 4

6 438 10

7 107 4

8 180 6

9 100 3

10 550 13

11 220 7

12 50 3

13 193 6

14 290 8

15 340 2

16 115 4

17 362 10

18 300 9

19 75 2

20 93 2

21 320 10

22 154 7

a) Obtenga el diagrama de dispersión para estas variables.

b) ¿Qué relación observa?

c) Con base en lo anterior, ¿puede concluir con seguridad que cuando se trabaja tiempo extra

se incrementa el porcentaje de defectuosos, porque ocurren factores como calentamiento

de equipo, cansancio de obreros, etc., que causan mayores problemas en la calidad de las

piezas?

Análisis: La relación existen entre la cantidad de horas extras y el número de defectos es lineal

positiva, lo que quiere decir que a más horas de trabajo mayores defectos, ya que por el cansancio

los trabajadores van a laborar sin motivación alguna.

4. En una empresa del ramo gráfico se ha llevado durante dos meses el registro del tipo de

defectos que tienen los productos finales, obteniéndose los siguientes problemas con sus

respectivos porcentajes: fuera de tono, 35%; manchas, 30%; fuera de registro, 15%; mal

corte, 12%; código de barras opaco, 8%. De acuerdo con el principio de Pareto, ¿se puede

decir que el problema vital, desde el punto estadístico, es fuera de tono?

Problemas % Frecuencia F. acumulada

Fuera de tono 35% 35%

Manchas 30% 65%

Fuera de registro 15% 80%

Mal corte 12% 92%

Código de barras opaco 8% 100%

Total 100%

Análisis: Realmente el 80% de los problemas no es únicamente causado por fallas fuera de tono,

sino también por manchas y errores fuera de registro.

y = 0.0171x + 2.111 R² = 0.7368

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 200 400 600 800 1000

Series1

Lineal (Series1)

CAPÍTULO 7

1. Según la información proporcionada por cada carta X-R sobre un proceso de producción

de piezas metálicas, la media de la longitud de tales piezas es 50mm y el rango medio con

tamaño de muestra 5, es 0.6; conteste:

a) Obtenga la desviación estándar del proceso.

b) Calcule los límites de control para la carta X (tamaño de sub-grupo 5) e interprételos.

c) También obtenga los límites de control para la carta R y explique su significado práctico.

d) Si la especificación inferior y superior para esta pieza es 49 y 51 mm, respectivamente;

calcule los límites reales o naturales e interprételos.

e) Explique para qué sirven los límites que obtuvo en los incisos b y c y para qué los que

obtuvo en el inciso d.

f) ¿El proceso es capaz? Argumente.

g) ¿Tiene información suficiente para comprobar si el proceso es estable (está en control

estadístico)? Explique y argumente.

Límites de Control, Carta R

LCS 0.6

LCI 0.6

LCC 0.6

Límites Naturales

LRS 50.7739

LRI 49.2261

Interpretación: Los límites de la carta X establecen de donde a donde deben estar ubicados los

datos de un proceso con respecto a la centralidad del mimo y los límites de la carta R miden la

variabilidad de los mismos. Y para poder comprobar si la estabilidad del proceso es estable se

necesita recolectar datos procedentes del proceso.

Límites de Control, Carta X

LCS 50.3462

LCI 49.6538

LCC 50

2. El peso ideal del contenido neto de una caja de cereal es de 250.0g, y se tiene una

tolerancia de ±2.5 g. Para monitorear tal peso se usa una carta de control X–R. de datos

históricos se tiene que la media y la desviación estándar del proceso son µ = 249.0 y σ =

0.70, respectivamente. Con esta información conteste las siguientes preguntas:

a) ¿Cuáles son las especificaciones para el peso? Y explique por qué es importante

cumplirlas. Las especificaciones del peso son:

ES 252.5

EI 247.5

Las especificaciones son importantes porque son dadas por los clientes, por quienes la

empresa funciona.

b) Explique en forma y con sus palabras, ¿Qué se le controla al peso con la carta X y que

con la carta R? Considerando un tamaño de subgrupo de 4, obtenga la línea central y

los límites de control para la correspondiente carta X, e interprete.

LCS 4.223

LCI 0.578

LCC 2.4

Con la carta X se mide cuán centrado está el proceso y con la carta R la variabilidad que hay en el

mismo.

3. En una empresa en la que se fabrican corcholatas o tapas metálicas para bebidas gaseosas,

un aspecto importante es la cantidad de PVC que lleva cada corcholata, el cual determina el

espesor de la película que hace que la bebida quede bien cerrada. El peso de los gránulos

de PVC debe estar entre 212 y 218 mg. Si el peso es menor a 212 mg, entonces, entre otras

cosas, la película es muy delgada y eso puede causar fugas de gas en la bebida. Pero si el

peso es mayor a 218 g, entonces se gasta mucho PVC y aumentan los costos. Para asegurar

que se cumple con especificaciones, de manera ordinaria se usa una carta de control: cada

30 minutos se toma una muestra de cuatro gránulos consecutivos de PVC y se pesan. En la

siguiente tabla se muestran las últimas 25 medias y los rangos obtenidos del proceso.

Subgrupos Media Rango

1 214.18 2.5

2 213.48 2.7

3 213.98 2.2

4 214.12 1.8

5 214.46 2.5

6 213.38 2.7

7 213.56 2.3

8 214.08 1.8

9 213.72 2.9

10 214.64 2.2

11 213.92 2.4

12 213.96 3.6

13 214.2 0.4

14 213.74 3.2

15 214.26 1.2

16 214.18 2.2

17 214.0 1.0

18 213.6 2.0

19 214.2 2.7

20 214.38 0.8

21 213.78 2.0

22 213.74 1.6

23 213.32 2.4

24 214.02 3.2

25 214.24 1.1

Media 213.966 2.136

a) Calcule los límites de una carta X-R y obtenga las cartas.

b) Interprete las cartas (puntos fuera, tendencias, ciclos, etcétera)

c) ¿El proceso muestra una estabilidad o estado de control estadístico razonable?

d) Analice la capacidad del proceso, para ello:

a. Calcule los límites reales del proceso e interprételos.

Interpretación: El proceso de fabricación de las corcholatas se encuentra fuera de control

estadístico en cuanto a su centrado ya que no se cumplen una serie de criterios para poder afirmar

su estabilidad y buen funcionamiento. En la carta X 13 puntos se encuentran fuera de control

estadístico pero sin embargo, en la carta R se cumple con los niveles de variabilidad en el mismo.

Carta X

LCS 216.97

LCI 213.85

LCC 215.41

A2 0.729

200

205

210

215

220

225

230

235

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Promedio

LCS

LCI

LC

Carta R

LCS 4.874779

LCI 0

LCC 2.136

d3 0

d4 2.2822

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Rango

LCS

LCI

LC

4. En el caso de la longitud de las bolsas del ejercicio 11, se decide emplear una carta de

control X – R utilizando un tamaño de subgrupo de cinco, en donde se toman cinco bolsas

consecutivas cada determinado tiempo. En la siguiente tabla se muestran las medias y los

rangos de los últimos 40 subgrupos (los datos están en milímetros)

a) Calcule los límites de una carta X – R y obtenga las cartas.

b) Interprete las cartas (puntos fuera, tendencias, ciclos, altas variabilidad, etc.).

Subgrupo Media Rango Subgrupo Media Rango

1 301.12 1.9 21 302 4.6

2 300.96 1 22 299.02 3.5

3 301.16 3.6 23 299.5 3.1

4 300.5 1 24 300.3 2.3

5 301.28 2.5 25 301.64 3.4

6 299.92 2.3 26 300.88 2.9

7 300 2.3 27 301.28 1.8

8 301.86 1.5 28 300.75 1.5

9 301.52 2.3 29 301.6 3.1

10 302.8 0.4 30 300.53 2.8

11 299.01 3 31 300.41 1.4

12 300.02 2.5 32 300.19 2.1

13 300.1 2.3 33 301.12 3.4

14 301.28 3.4 34 300.8 3.2

15 301.02 1.1 35 300.27 3.4

16 300.7 3.9 36 300.91 2.7

17 301.2 3.1 37 300.48 3.2

18 300.96 3.1 38 302 1.8

19 300.24 3.7 39 299.22 3.5

20 301.86 2.7 40 300.59 3

Carta X

n 40

A2 0.153

X 300.775

LCS 301.174

LCI 300.376

LCC 300.775

R 2.608

Interpretación: En la carta X se puede apreciar como varios puntos se encuentran fuera de control

estadístico, lo que hace al proceso impredecible ya que se rompe el criterio 14, además se puede

apreciar en la gráfica los cambios bruscos que hay dentro del proceso, y esto es algo que se debe

erradicar totalmente de dicho proceso.

Carta R

n 40

D3 0.4597

D4 1.5403

297

298

299

300

301

302

303

304

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Media

LCS

LCI

LCC

LCS 1.199

LCI 4.016

LCC 2.608

R 2.608

Interpretación: La longitud de las bolsas en cuanto a su variabilidad se encuentran fuera de control

estadístico, ya que al igual que la carta X no se cumplen muchos criterios y la variabilidad

experimenta muchas subidas y caídas bruscas.

5. Se desea que la resistencia de un artículo sea de por los menos 300 psi. Para verificar que

se cumple con tal característica de calidad, se hacen pequeñas inspecciones periódicas y los

datos se registran en una carta X-R. El tamaño de subgrupo que se ha usado es de tres

artículos, que son tomados de manera consecutiva cada dos horas. Los datos de los últimos

subgrupos se muestran en la tabla 7.5. Conteste:

a) ¿Dado que la media de media es 320.73, el proceso cumple con las especificación inferior

(El=300)? Explique.

b) Calcule los límites de la Carta X-R, e interprételos.

c) Obtenga las cartas e interprételas.

Subgrupo Datos Media Rango

1 315.6 319.2 303.8 312.87 15.4

2 218.8 309.2 321.4 316.47 12.2

3 311.2 312.1 342.9 322.07 31.7

4 322.0 321.1 329.1 324.07 8.0

5 315.2 327.4 300.6 314.40 26.8

6 310.3 319.8 338.5 322.87 28.2

7 320.6 315.9 318.3 318.27 4.7

0

1

2

3

4

5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Rango

LCS

LCI

LCC

8 322.2 303.6 323.4 316.40 19.8

9 329.1 306.7 312.4 316.07 22.4

10 322.4 318.8 299.7 313.63 22.7

11 326.2 310.1 338.5 324.93 28.4

12 328.8 325.0 322.0 325.27 6.8

13 328.8 306.3 305.6 313.57 23.2

14 318.7 320.8 310.3 316.60 10.5

15 326.7 316.7 327.3 323.57 10.6

16 313.4 307.4 329.5 316.77 22.1

17 337.3 312.9 324.4 324.87 24.4

18 316.3 314.1 323.0 317.80 8.9

19 327.2 338.2 340.9 335.43 13.7

20 337.8 343.0 337.4 339.40 5.6

21 309.2 321.7 310.5 313.80 12.5

22 314.3 321.6 318.0 317.97 7.3

23 318.9 322.2 333.5 324.87 14.6

24 303.7 326.3 337.1 322.37 33.4

25 319.3 338.8 320.9 326.33 19.5

26 317.0 327.4 312.5 318.97 14.9

27 310.6 318.5 336.7 321.93 26.1

28 319.5 326.0 333.2 326.23 13.7

29 308.6 321.7 306.0 312.10 15.7

30 316.2 321.6 328.5 322.10 12.3

320.73 17.2

Carta X

n 3

A2 1.023

Gran Media 320.73

LCS 338.331

LCI 303.133

LCC 320.732

R 17.203

280

290

300

310

320

330

340

350

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Promedio

LCS

LCI

LCC

Interpretación: La resistencia de los artículos se encuentra fuera de control estadístico ya que se

cumplen los criterios 1, 3 y 14 que hacen que dicho proceso sea impredecible estadísticamente. En

cuanto a su centralidad dicho proceso está fuera de control.

Carta R

d4 2.5735

d3 0

R 17.20

LCS 44.27

LCI 0

LCC 17.20

Interpretación: En cuanto a la variabilidad en la resistencia de los artículos estos se encuentran

dentro de control estadístico ya que ninguno de los puntos sale de los límites de control.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Rango

LCS

LCI

LCC

6. Una empresa que hacen impresiones en láminas de acero que después se convierten en

recipientes de productos de otras empresas. Un aspecto importante a vigilar en dicha

impresión es la temperatura de “Horneado”, donde, entre otras cosas, se da adherencia y

se seca la lámina una vez que ha sido impresa. En una fase particular de la horneada se

tiene que la temperatura de cierto horno debe ser 125 grados centígrados, con una

tolerancia de más menos 5 grados centígrados. Si no se cumple con tal rango de

temperatura, entonces se presentan problemas en la calidad final de la impresión. A pesar

que el horno se la programa la temperatura, en la tabla 7.9 se muestran los últimos 45 datos

en el orden que se obtuvieron, con el rango móvil para facilitar cálculos.

a) ¿Por qué utilizar en este caso una carta de individuales y no una carta X-R?

b) Estime los límites de control para la carta de individuales e interprételos.

c) Obtenga la carta e interprétela.

d) En el punto 32 se decidió hacer un ajuste al horno, ¿tiene algún fundamento estadístico la

decisión de hacer el ajuste? ¿la decisión fue oportuna?

e) Alguien no está del todo de acuerdo en la decisión tomada, argumentando que la

temperatura todavía estaba dentro de especificaciones, ¿Qué opina al respecto?

Subgrupo Temperatura Rango Móvil

Subgrupo Temperatura Rango Móvil

1 27.4 24 26.5 2.7

2 26.8 0.6 25 23.3 3.2

3 24.3 2.5 26 23.8 0.5

4 26.6 2.3 27 25.5 1.7

5 26.5 0.1 28 26.4 0.9

6 25.6 0.9 29 27.5 1.1

7 25.1 0.5 30 27.7 0.2

8 26.5 1.4 31 28.5 0.8

9 25.8 0.7 32 29.8 1.3

10 24.7 1.1 33 25.1 4.7

11 23.3 1.4 34 25.0 0.1

12 23.3 0.0 35 22.9 2.1

13 24.7 1.4 36 23.6 0.7

14 23.4 1.3 37 24.7 1.1

15 27.4 4.0 38 24.4 0.3

16 24.7 2.7 39 25.4 1.0

17 21.7 3.0 40 23.5 1.9

18 26.7 5.0 41 27.8 4.3

19 24.2 2.5 42 25.5 2.3

20 25.5 1.3 43 26.4 0.9

21 25.3 0.2 44 24.5 1.9

22 25.0 0.3 45 23.5 1.0

23 23.8 1.2 Media 25.32 1.57

d2 1.1218

LCS 29.55975

LCI 21.08914

LCC 25.32

Interpretación: El proceso de horneado se encuentra fuera de control estadístico ya que la

variación en la temperatura hace que uno de los puntos se salga de los límites de control

establecidos.

0

5

10

15

20

25

30

35

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

Temperatura

LCS

LCI

LC

7. En una empresa se lleva el registro por consumo de agua por semana, y de acuerdo con los

datos históricos se sabe que μ= 170.2 metros cuadrados con σ=10.4.

a) Es mejor llevar el control de esta variable a través de una carta de control. ¿Por qué?

b) Obtenga los límites de control para la carta de individuales e interprételos.

c) ¿Cómo se detectaría en la carta los efectos de un programa de ahorro de agua?

LCS 201.4

LCI 167.2

LC 170.2

8. En el departamento de sistemas se lleva un registro del tiempo de respuesta a solicitudes de

servicio de clientes internos. Los últimos datos en horas y en el orden de ocurrencia se

muestran a continuación (el orden es por región).

39 92 38 33 119 32 96 32

35 34 42 39 78 37 26 32

38 43 46 37 28 40 35

35 41 37 44 37 34 43

42 86 117 43 42 33 37

98 126 31 40 52 29 71

49 57 33 34 34 23 36

42 27 33 37 37 96 29

39 87 109 37 122 33 62

a) ¿Es apropiado analizar estos datos mediante una carta de individuales?

b) Organice los datos en columna y obtenga la columna de rangos móviles de orden dos.

c) Obtenga los límites de control para una carta de control de individuales e interprételos.

d) Obtenga la carta de control e interprétela.

e) ¿El tiempo de respuesta es estable?

f) Grafique los datos en un histograma.

g) Observe cómo se aprecia en el histograma lo especial percibido en la carta, comente.

h) ¿Cuál sería su conclusión sobre la causa de los que se puede observar de especial?

d2 1.128

LCS 48.97

LCS 50.89

LCC 49.92

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64

Respuesta de solicitudes

LCS

LCI

LC

9. En el departamento de capacitación de una empresa se lleva un registro por alumno del

porcentaje de asistencia a cada evento de capacitación. Con el total de alumnos que asisten

a cada curso. A continuación se muestran los resultados de los últimos 30 cursos:

71 74 79 65 85 76 76 61 74 78

78 99 70 76 88 78 82 67 72 76

70 79 71 74 80 70 83 69 77 75

71 72 75 71 70 73 69 74 77 78

78 79

a) Organice los datos en columna y obtenga la columna de rangos móviles de orden dos.

b) Analizar estos datos mediante una carta de individuales.

c) Obtenga la carta de control e interprétela.

d) ¿Se puede considerar satisfactoria la calidad de los cursos?

e) ¿Qué observa de especial en la carta?

f) ¿Cuáles podrían ser las razones de los puntos especiales?

g) ¿Qué límites de control utilizaría a futuro, de tal forma que reflejen la realidad

prevaleciente?

h) ¿A su juicio cuáles podrían las causes comunes que contribuyen al nivel de ausentismo

observado?

d2 1.128

LCS 94.57

LCI 55.91

LCC 75.24

0

20

40

60

80

100

120

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

Asistencia

LCS

LCC

LCI

CAPÍTULO 8

1. En una empresa del ramo metalmecánico se fabrican válvulas. Después del proceso de

fundición se hace una inspección y las piezas que no cumplen con ciertas características son

rechazadas. Las razones por las que pueden ser rechazadas son diversas: piezas

incompletas, porosas, mal formadas, etcétera. Para evaluar la variabilidad y la magnitud de

la proporción de piezas defectuosas en el proceso de fundición se decide implementar una

carta p. el proceso de fundición se hace por lotes. Aunque regularmente el tamaño de lote

es fijo, n=300, en ocasiones por diferentes motivos en algunos lotes se hacen unas cuantas

piezas de más o de menos. En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos durante

una semana para un cierto tipo de válvulas.

Lote Tamaño de lote Defectuosas Proporción

1 300 15 0.050

2 300 12 0.040

3 300 15 0.050

4 300 7 0.023

5 300 16 0.048

6 300 6 0.020

7 300 18 0.060

8 280 10 0.036

9 290 9 0.031

10 300 15 0.050

11 300 9 0.030

12 300 4 0.013

13 300 7 0.023

14 300 9 0.030

15 305 5 0.016

16 295 15 0.051

17 300 19 0.063

18 300 7 0.023

19 300 12 0.040

20 300 10 0.033

21 300 4 0.013

Total 6,300 224

a) Calcule los límites de control utilizando el tamaño de subgrupo (lote) promedio.

b) ¿Cómo explicaría los límites de control a alguien que no tiene conocimientos profundos de

estadística?

c) Grafique la carta correspondiente e interprétela.

d) ¿El proceso es estable?

e) ¿Se puede considerar que la calidad del proceso es aceptable? Argumente.

n 21

LCS 0.0674

LCI 0.0034

LC 0.03538

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Proporción, p¡

LCS

LCI

LC

2. En el caso del ejercicio 5:

a) Suponga que todos los lotes tienen el mismo tamaño (el promedio), calcule los límites

de control para una carta np, e interprételos.

b) Grafique la correspondiente carta np y analícela.

c) ¿El proceso es estable?

d) ¿Observa alguna diferencia importante entre la carta p y la np?

e) ¿Cuál, carta p o la np sería la más conveniente en este caso? Argumente.

n 300

N° Lotes 21

p-promedio 0.036

LCS 20.29

LCC 10.67

LCI 1.044

np 10.67

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Componentes Defectuosos

LCS

LCC

LCI

3. En un proceso se lleva una carta p, cuya línea central es 0.08. Si se toma un lote de 100

artículos y se obtienen 16 defectuosos, ¿ese lote es anormal?, es decir, ¿en la producción

de ese lote el proceso estuvo fuera de control estadístico? Conteste calculando los límites

de control considerando n= 100 y p= 0.08.

n 100

p 0.08

Defectos totales 16

p-promedio 16%

LCS 27%

LCI 5%

LCC 16%

4. En un proceso de producción se produce por lotes de tamaño 500, en la inspección final

de los últimos 30 lotes se obtuvieron la siguiente cantidad de artículos defectuosos.

Lote Tamaño Lote Tamaño

1 11 16 11

2 12 17 20

3 15 18 15

4 17 19 12

5 11 20 17

6 10 21 18

7 13 22 14

8 25 23 10

9 17 24 8

10 13 25 10

11 11 26 6

12 12 27 7

13 17 28 5

14 8 29 9

15 12 30 6

a) Calcule los límites de control para una carta p.

b) Grafique la carta p e interprétela.

c) ¿El proceso es estable?

d) Con sus palabras diga que significan los límites de control y la línea central.

e) A partir del lote 20 se empezó a ejecutar un plan de mejora, ¿hay algún tipo de evidencia

de que el plan haya dado resultado?

p 2.48%

LSC 4.57%

LIC 0.39%

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Fracción defectuosa p

LCS

LCI

LCC

5. En una empresa se ha usado una carta p para analizar la variación en la proporción de

artículos defectuosos.

a) Si la línea central de esta carta es 0.05, el tamaño de subgrupo es de 150, calcule los límites

de control de la carta e interprételos.

b) Si la proporción de defectuosos de nueve lotes consecutivos de tamaño 150, fueron los

siguientes: 0.02, 0.065, 0.07, 0.08, 0.09, 0.07, 0.11, 0.10, 0.09. Analice estos datos con los

datos del inciso anterior y señale si en la producción de estos lotes el proceso estuvo en

control estadístico o si hubo algún cambio importante.

c) Haga lo mismo que el inciso a pero utilizando un tamaño de subgrupo de 300, e interprete

los límites que obtenga.

d) ¿Qué efecto tiene el tamaño de subgrupo en la amplitud de los límites de control de una

carta p?

LCS 0.103

LCC 0.05

LCI 0

n 150

Lote Proporción LCS LCI LCC

1 0.02 0.12 0.03 0.08

2 0.07 0.12 0.03 0.08

3 0.07 0.12 0.03 0.08

4 0.08 0.12 0.03 0.08

5 0.09 0.12 0.03 0.08

6 0.07 0.12 0.03 0.08

7 0.11 0.12 0.03 0.08

8 0.10 0.12 0.03 0.08

9 0.09 0.12 0.03 0.08

p-promedio 0.08

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Proporción

LCS

LCI

LCC

6. Para analizar el desempeño de un proceso y tratar de mejorarlo, se decide analizar la

proporción de defectuosos. Para ello se toman subgrupos de tamaño 200 y se cuantifica la

cantidad de defectuosos. Los datos obtenidos durante 6 días son los siguientes:

Lote Defectuosos Lote Defectuosos

1 10 11 10

2 6 12 9

3 12 13 13

4 7 14 9

5 9 15 11

6 6 16 6

7 8 17 15

8 9 18 7

9 8 19 4

10 6 20 8

a) Calcule lo límites de control para una carta p, y explique el significado de los límites de

control que obtuvo.

b) Mediante una carta p analice los datos y obtenga conclusiones.

c) De acuerdo a los costos de producción el nivel de defectuosos máximo tolerable es de 5%.

Con base en esto alguien sugiere que el límite de control superior de la carta p debe ser

0.05, ¿es correcta esa sugerencia?

LCS 0.086

LCC 0.043

LCI 0.0

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Proporción

LCS

LCC

LCI

7. En el caso del ejercicio anterior, se aplica un plan de mejora, y se toman varias acciones.

Los datos obtenidos en la semana posterior a las mejoras son:

Lote Defectuosos Lote Defectuosos

1 7 11 4

2 4 12 6

3 5 13 4

4 5 14 6

5 6 15 4

6 4 16 5

7 3 17 8

8 4 18 3

9 7 19 7

10 6 20 8

a) Utilizando los límites de control obtenidos antes de la mejora, analice estos últimos datos

mediante una carta p.

b) ¿Las mejoras dieron resultado? Argumente.

LCS 0.061

LCC 0.027

LCI 0.0

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.070

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Proporción

LCS

LCC

LCI

8. En un proceso se produce por lotes y estos se prueban al 100%. Se lleva un registro de la

proporción de artículos defectuosos por diferentes causas. Los datos de los últimos 25 lotes

se muestran a continuación:

Lote Tamaño Defectuosos Lote Tamaño Defectuosos

1 200 21 14 200 21

2 200 20 15 200 25

3 200 27 16 200 29

4 200 33 17 200 20

5 200 22 18 220 28

6 200 40 19 220 18

7 180 27 20 220 24

8 180 23 21 200 13

9 180 20 22 200 23

10 200 26 23 200 12

11 200 28 24 200 19

12 200 21 25 200 26

13 200 23

Total 5,000 589

a) Obtenga una carta p usando el tamaño de subgrupo (lote) promedio.

b) ¿Cómo explicaría los límites de control que obtuvo a alguien que no tienen conocimientos

profundos de estadística?

c) Obtenga una carta p con límites de control variables.

d) Suponiendo que todos los lotes tienen el mismo tamaño (el promedio), obtenga una carta

np para tales datos.

e) ¿Observa alguna diferencia importante entra la carta p y la np?

f) ¿De qué depende la elección entre la carta p o np?

P-promedio 0.117

LCS 0.184

LCI 0.049

LCC 0.117

Carta p

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Proporcion

LCS

LCI

LCC

Carta p (Límites Variables)

Carta np

n 200

p 0.117

np 23.458

LCS 37.110

LCC 23.458

LCI 9.807

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Defectos

LCS

LCC

LCI

9. En una fábrica de artículos de plástico inyectado se tiene el problema de la rebaba en las

piezas, que es necesario eliminarla con el retrabajo. Con el propósito de evaluar la realidad

actual y detectar posibles causas especiales de variación se decide implementar una carta de

control para el producto que más se fabrica, los datos obtenidos en 24 lotes de tamaño 500,

en cuanto a la cantidad de piezas con rebaba se muestran a continuación.

Lote Piezas defectuosas Lote Piezas defectuosas

1 86 13 98

2 95 14 126

3 113 15 9

4 93 16 124

5 88 17 129

6 101 18 115

7 90 19 95

8 85 20 78

9 111 21 97

10 80 22 110

11 96 23 108

12 89 24 118

a) Calcule los límites de control para una carta p e interprételos.

b) Grafique la carta p y analícela.

c) Obtenga una carta np e interprétela.

d) ¿A su juicio cuál de las dos cartas es más conveniente es este caso? Argumente.

e) ¿El proceso es estable?

f) ¿Se puede considerar que el proceso genera buena calidad?

N 500

P 20.18%

LSC 25.56%

LIC 14.79%

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Proporción

LCS

LCI

LCC

Carta np

10. En una empresa se registra el número de quejas por mal servicio. Los datos de las últimas

25 semanas se muestran enseguida.

Semana Número de quejas Semana Número de quejas

1 6 14 4

2 2 15 5

3 3 16 6

4 4 17 7

5 5 18 8

6 6 19 9

7 7 20 0

8 8 21 1

9 9 22 2

10 0 23 3

11 1 24 4

12 2 25 5

13 3

a) ¿Es adecuado analizar éstos mediante una carta p? Argumente.

b) Calcule los límites de control para una carta c e interprete los límites obtenidos.

c) Obtenga la carta c y analícela.

d) ¿El proceso es estable?

e) ¿El nivel de calidad se puede considerar satisfactorio?

Subgrupo 25

c 4.4

LCS 10.69

LC 4.4

LCI -1.89

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

quejas

LCS

LCI

LC

11. En una línea de ensamble o montaje de pequeñas piezas en tarjetas electrónicas se

cuantifica el número de defectos de diferente tipo por muestra de 10 tarjetas. Los defectos

encontrados en las últimas 30 muestras se listan a continuación.

Muestra Defectos Muestra Defectos

1 28 16 24

2 22 17 6

3 25 18 20

4 21 19 25

5 26 20 29

6 22 21 26

7 36 22 24

8 22 23 32

9 32 24 31

10 22 25 29

11 23 26 24

12 27 27 27

13 26 28 21

14 18 29 27

15 29 30 31

31 20

32 22

33 28

34 26

35 24

a) Nótese que en promedio hay más de un defecto por tarjeta, ¿es adecuado analizar estos

datos mediante una carta p? Argumente.

b) Calcule los límites de control para una carta c e interprete los límites obtenidos.

c) Obtenga la carta c y analícela.

d) El dato de la muestra 17 es especial, por lo que habría que buscar las posibles causas que

ocasionaron esto, ¿por qué?

e) ¿Qué opina de la estabilidad del proceso?

f) ¿El nivel de calidad se puede considerar satisfactorio?

g) ¿Cómo aplicaría un análisis Pareto para enfocar mejor un proyecto de mejora?

n 10

u 2.5

LCS 4

LCI 1

LCC 2.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Defecto /Tarjeta (U)

LCS

LCI

LCC

12. En un hotel se ha llevado el registro de quejas de los clientes desde hace 15 semanas con el

número de clientes por semana, los datos se muestran en la siguiente tabla.

Semana Clientes Quejas Promedio de defectos por

unidad

1 114 11 0.096

2 153 15 0.098

3 115 5 0.043

4 174 14 0.080

5 157 16 0.102

6 219 11 0.050

7 149 10 0.067

8 147 9 0.061

9 131 10 0.076

10 91 10 0.110

11 112 10 0.089

12 158 11 0.070

13 244 30 0.123

14 111 11 0.099

15 120 11 0.092

Total 2,195 184

a) Calcule los límites de control para una carta u para el número de quejas por cliente e

interprete los límites de obtenga.

b) Grafique la carta u correspondiente y analícela.

c) ¿La estabilidad del proceso es aceptable?

d) ¿Considera que la calidad del hotel es buena? Explique.

LCS 0.1556

LCI 0.0120

LCC 0.0838

U promedio 0.0838

n 146.33

Subgrupos 15

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Quejas

LCS

LCI

LCC

13. Con el propósito de analizar la posibilidad de eliminar los estándares de trabajo en un

sector de una fábrica, se decide analizar el número de cierto tipo de operaciones que

realiza cada trabajador por día y semana. a continuación se muestran los resultados

obtenidos en una semana para 14 trabajadores (cada dato corresponde a un trabajador).

295 306 292 297 294 343 285 240 329 305 277 260 337 320

a) Calcule los límites de control para una carta c para el número de operaciones por

trabajador e interprete los límites que obtenga.

b) Investigue mediante la carta c correspondiente si algún trabajador está fuera del sistema.

c) En caso de estarlo, ¿qué recomendaría que se haga con tal trabajador?

Subgrupo 14

c-promedio 292.1

LCS= 343.4

LCI= 240.9

LCC= 292.1

0

50

100

150

200

250

300

350

400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

C

LCS

LCI

LC

Bibliografía

Control Estadístico de la Calidad y Seis Sigma

Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar

McGraw-Hill, México D.F. 2004

Guía de ejercicios aplicación de la calidad

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