Ejercicios de aplicación

Mecánica de Materiales

Mg. Ing. Norberto D. Ñique G.

Ingenieria de Materiales

Un material se distorsiona producto de cargas externas y tomala forma punteada de la figura mostrada.Determinar:(a)¿Cuáles son las deformaciones unitarias normales y ladeformación unitaria cortante?(b)¿Cuál es la deformación unitaria normal a lo largo de la lineaBE?Nota: El material se comporta elásticamente.

sss'-

prom ΔΔΔε =

mmmm

mmmm

CDCDD'C'

xx'-x

x210256

808085= −=

−=

−= x.)(

ΔΔΔε

mmmm

x2-6.25x10=ε

mmmm

mmmm

ACACAC

yy'-y

y 0125

125125= =−

=−

=)(

ΔΔΔε

mmmm

y 0=ε

´θπ−=

2xyγ

rad mmmmarctgxy 07980574

2510 .º. ==

=γ rad xy 07980.=γ

rad mm 100

BB'BABB' tg 07980.α === mm ΒΒ' 987.=

mm

mm DFDD' tg 120

12515 .β ===

rad 120846 .º.β ==

mm

EE'EFEE' tg 120

50.

β === mm EE' 6=

Hallando la distancia EE’

Para determinar la distancia, B’E’ se hace uso del triangulo B’G’E’ , en el que el segmento B’G’ seconsidera constante por lo que no hay deformación en la dirección y , el segmento GE si se deformaen la dirección x, por lo que su valor corresponderá a:

mm mm EFBAG'B' 5050100 =−=−= )(

mm mm EEBB'AFE'G' 1178689780 .).(' =+−=+−=22222

117850 .' +=+= EG'G'B'E'B' mm E'B' 7492.=

222228050 +=+= GEBGBE mm BE 3494.=

mmmm

mmmm

BEBEE'B'

xx'-x

BE 016903494

34947492= ..

)..(ΔΔΔε −=

−=

−=

mmmm

BE 01690= .ε −

Determinar:a. Las deformaciones unitarias para un elemento

orientado según un ángulo θ= 30º.b. Deformaciones unitarias principales y las

direcciones principales.c. Las deformaciones unitarias cortantes máximas y

sus direcciones.d. Considerando solo las deformaciones unitarias en

el plano muestre todos los resultados obtenidossobre un croquis de un elemento adecuadamenteorientado de manera apropiada.

θθε 22

222

senγ

cosεεεε xyyxyx

x' +−

++

=

)º()º(ε ' 601090601011510225 666 sen cos x−−− ×+×+×=

610360 −×='ε x

'' εεεε yxyx +=+66 109010360110340 −− ×=×−+=−+= xyxy )(εεεε ''

θθ 22

222

cosγ

senεεγ xyyxy'x' +

−−=

)º()º( 60109060101152

66 cos sen γ y'x' −− ×+×=

610552

−×−= γ y'x'

61090 −×=y'ε

22

21 222

+

−±

+= xyyxyx γεεεε

,ε

2626621 10901011510225 )()(ε ,

−−− ×+×±×=

6621 1014610225 −− ×±×=,ε

61080 −×= 2ε

yx

xyγtgεε

θp −=2

78260110340

1802 .εε

θp =−

=−

=yx

xyγtg

ºθp 382 =

22

222

+

−= xyyxminmax, γεεγ

622

10146222

−×=

+

−= xyyxmax γεεγ

610292 −×=maxγ6

1 10370 −×=ε

Sustituyendo 2θp = 38º en la ecuación θsen γ

θcos εεεε

ε xyyxyxx' 2

22

22+

−+

+=

610370 −×== px' εε

Este resultado determina que la deformación unitaria principal, esta orientado:y la deformación principal εp2

, actúa a 90° de esa dirección; es decir a :

º191=pθ

º1092=pθ

2yx εε +

=pε

6102252

−×=+

= yx εεpε

En la figura se muestra un elemento adecuadamenteorientado con las deformaciones unitarias cortantesmaximas en el plano. Sin embargo todos estosresultados pueden obtenerse con el método grafico deMohr

Usando una roseta de 60° se han determinado las siguientesdeformaciones en el punto q sobre la superficie de una base demaquina de acero:

ε1=40µ, ε2=980µ y ε3=330µ

Usando los ejes coordenados mostrados, determine en el punto Q.a. El estado de deformación planab. Deformaciones principalesc. Deformación cortante máximaConsidere el ν=0.29 para el material.

θθγθεθεε coscos 22´ sensen xyyxx ++=

µ40)1)(0()0()1(1 ==++= xxyyx εγεεε

)5.0)(866.0()866.0()5.0( 222 xyyx γεεε ++=

)5.0)(866.0()866.0()5.0( 223 −++−= xyyx γεεε

µεεεε 860)22(31

132 =−+=y

µεεγ 750)(3

232 =−=xy

µ40=xε µε 860=y µγ 750=xy

µ40=xε

µε 860=y

µγ 750=xy

µ10061 =ε

µ1062 −=ε

°−=

=

4.4224103752tan

p

p

θ

θ

θγ

θεεεε

ε 22

2cos22´ senxyyxyx

x +−

++

=µ40=xε µε 860=y µγ 750=xy

°= 2.21pθ

yx

xypεε

γθ

−=2tan

¿Cree usted que hay deformación en z?

El esfuerzo producido en la superficie es nulo, haciendo uso de la ecuación:

)(1 213 εε

ννε +−

=

µε 3683 −=

)1061006(29.01

29.03 µµε −

−=

Respecto de la deformación cortante máxima se aplica la siguiente ecuación:

minmax εεγ −=maxima

µγ 1374=maxima

La mensula mostrada en la figura esta hecha de acero,determinar el estado de esfuerzo en el punto A.Las deformaciones obtenidas mediante una roseta de 60°fueron:

ε1=272x10-6, ε2=33.8x10-6

( )[ ] ( )[ ]21321111 σνσσσνσε −=+−=EE

( )[ ] ( )[ ]12312211 σνσσσνσε −=+−=EE

( )[ ] 011233 =+−= σσνσε

E

MPaMPa 92

916

102003.0

1020010272

×−

×=× − σσ

MPaMPa 91

926

102003.0

10200108.33

×−

×=× − σσ

Resolviendo las simultáneamente las ecuaciones anteriores:MPa621 =σ

MPa4.252 =σ

61060 −×=xε610246 −×=yε

610149 −×−=xyγ

yx

x EEσνσε −=

xy

y EEσνσ

ε −=

yx

PaPaσσ

996

102003.0

102001060

×−

×=× −

xy

PaPaσ

σ99

6

102003.0

1020010246

×−

×=× −

+

=EG

)1(21 ν GPaGPaEG 9.76)1(2

200)1(2

=+

=+

=νν

xyxy Gτγ 1

= MPaG xyxy 46.1110149109.76 69 −=×−××== −γτ

El circulo de Mohr para el estado de esfuerzo plano tiene como punto de control A (29.4,-11.46) yde centro C (43.7,0) el radio se determina en el triangulo, por lo tanto, el estado de esfuerzo será:

MPa621 =σ

MPa4.252 =σ

MPaMPaMPa 623.187.431 =+=σ

MPaMPaMPa 4.253.187.432 =−=σ

Un recipiente de presión se construye enrollando sobre un mandriluna placa de acero larga y estrecha y soldándola luego a lo largo delos bordes para formar una junta helicoidal como se muestra en lafigura. El cordón helicoidal de soldadura forma un ángulo α= 55ºcon el eje longitudinal. El recipiente tiene un radio interior de 1,8 my un espesor de pared de 20mm. La presión interna p es de800KPa.

Esfuerzos longitudinal y circunferencialLas deformaciones unitarias longitudinal y circunferencial.El estado de esfuerzo normal y cortante en el cordón de soldadura.

MPamm

mkPatprσ 72

208.1800

1 =×

== MPat

prσ 3622 ==

622 1072

200)]30.0(21[36)1( −×=

−=−=

GPaMPa

Eνσε

611 10306

2002)]30.0(2[72)2(

2−×=

×−

=−=GPa

MPaE

νσε

Un recipiente de presión cilíndrico mostrado en la figura,se fabrico soldando los cantos de una lámina de acerodelgada con el cordón de soldadura en forma de espiralque forma un ángulo de 65º con el eje longitudinal delcilindro. El radio nominal del cilindro es de 2 pulgadas, elespesor de la lamina de 0.05 pulgadas y la presión de 500psi. Utilizando la teoria del esfuerzo cortante máximo(Criterio de Fluencia de Tresca), determine si el recipientefallará, para un coeficiente de seguridad de 1.2. psi)acero(y 25000=σ

psi)soldadura(y 15000=σ

Determinando los esfuerzos principales tanto el circunferencial y el longitudinal:

psi 2000005.0

25001 ==

×== σσ

tpr

Htpr

H ==σσ1

2tpr

A ==σσ 2 psi 10000t2

pr2 === σσ A

Para el caso de la soldadura: aplicando el mismo criterio:

211500020000

.≥

1250020000 ≥

1250010000 ≥

Respuesta: Para el estado tensional determinado la soldadura fallará

Para el caso del acero: aplicando el criterio del esfuerzo cortante máximo:

22ymax σσ

≥

El criterio se considera ymax σσ ≥

para un coeficiente de seguridad de 1.221

2500020000.

≥ 8332020000 .≥

Respuesta: Para el estado tensional determinado el acero no fallará

Dos miembros de acero se conectan por medio de un tornillo,como se muestra en la figura. Esta estructura fue diseñadacon un factor de seguridad de 2(a).¿Cuál es la relación que debe existir entre la cargaaplicada (P) y el diámetro del perno para cumplir con losrequerimientos de diseño?. Si el esfuerzo de fluencia delmaterial del perno es de 140 Mpa.(b).¿Cuál seria el esfuerzo cortante permisible en el perno,considerando un factor de seguridad 3?En ambos casos use el criterio de HencKy-Von Mises

2max πτ

φP2

=

22221

21 yσσσσσ =+−El Criterio de HencKy-Von Mises para un estado de esfuerzo

biaxial determina:De acuerdo al diagrama de Mohr de corte puro y elcriterio anterior se puede deducir:

2P2

231

φπσ

=

= yτ

2

6 P2210140

31

φπ=

×=

Paτ )m(N . 227)( 10356P φ×=

El esfuerzo cortante permisible en el perno, considerando un factor deseguridad 3, estará dado por:

Pa.Paτ y 76

106942310140

31

331

×=

×=

=

σ

MPa .9426=τ

BIBLIOGRAFIA

(1) “Mecánica de sólidos”. E. P. Popov. .(2) “Mecánica de materiales”. R. C. Hibbeler.(3) “Mecánica de materiales”. Gere y Timoshenko.