11

1

12

2

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo de investigación, abarca especialmente la física fundamental como Ciencia, cuyo objetivo es explicar los fenómenos naturales que la comprenden, relativos a la materia y a la energía, así

como las leyes que los rigen; es decir, los vectores, movimientos, fuerza.

13

3

MAGNITUDES

MAGNITUDES VECTORIALES

Son las que para quedar perfectamente definidas es necesario dar:

- Punto de aplicación - Dirección - Sentido

- Módulo o valor del VECTOR

MODULO Y COSENOS DIRECTORES

Módulo de a ax bx cx 2 2 2

Los cosenos directores corresponden a las fórmulas:

ESPACIOS VECTORIAL, AFÍN Y EUCLIDEO

Ángulo formado por dos vectores. Sean dos vectores libres a y b equipolentes (mismo

módulo, dirección y sentido) Se designa el ángulo formado por a y b () de la siguiente manera:

a) si los vectores son perpendiculares = 90º

b) si los vectores tienen la misma dirección y sentido = 0º

c) si los vectores tienen la misma dirección pero sentido distinto = 180º

DEFINICION DE PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

Se define el producto escalar de dos vectores libres a y b como el producto de los módulos

de cada uno de ellos por el coseno del ángulo que forma

Consecuencias de esta definición:

1.- el producto escalar es 0 si alguno de los dos vectores es nulo 2.- el producto escalar es 0 cuando ambos son perpendiculares, ya que (cos 90 = 0)

Otra definición de producto escalar: Es la que se usa cuando se dan las componentes de ambos vectores.

. Consecuencia de ello el resultado del producto escalar es un escalar, es decir, un número

entero. No ocurre lo mismo en el producto vectorial, del que como su propio nombre indica se obtiene un vector.

cos

cos

cos

ax

a

ay

a

az

a

a b a b cos

a b x x y y 1 2 1 2

14

4

Propiedades:

Conmutativa: a · b = b · a

Distributiva: a (b+c)= a·b + a·c

Para cualquier número: (·a)·b = (a·b)

DEFINICION DE PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

Como ya sabemos de su resultado se obtiene otro vector. Propiedades:

El punto de aplicación es el mismo

Módulo de

La dirección de c es perpendicular a la de a y b

Sentido se obtiene de la regla de MAXWELL (ijk)

VECTOR UNITARIO

Un vector es unitario cuando su módulo vale la unidad. Se definen tres vectores unitarios para definir representar los ejes:

A partir de a:

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR

El valor absoluto de (a·b) es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del

otro vector sobre él. Demostración:

(a · b) = [a]·[b]· (cos)

cos.

OH

b

C opuesto

Hipotenusa

OH = [b] · cos (a · b)= [a] · OH

NORMA DE UN VECTOR

Dado un vector libre (a), se llama norma de dicho vector al producto escalar del vector por

sí mismo, designándose de la siguiente manera: (a)2 = a · a Consecuencias de esa definición:

la norma de un vector coincide con su módulo al cuadrado: [a] · [a] · cos (a,a) = cos 0 = 1

a x b = c

C a b sin • •

Vua

a

(a · b) = [a]·[b] · cos

[a]·[a] = [a]2

15

5

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dados los puntos a y b: d(AB) = ( ) ( )x x y y2 1 2 12 2

Propiedades:

la distancia entre dos puntos es 0 únicamente en el caso en que A = B

para cualquiera de los puntos su distancia siempre es +

Simétrica aunque estén en sentidos contrarios

Propiedad triangular: la distancia AB es siempre la suma de las distancias entre

AC Y BC A

Un lado es siempre menor que la suma de los otros dos.

B C

ANGULO ENTRE DOS VECTORES Utilizando la definición de producto escalar podemos calcular el cos (AB) despejando:

PARALELISMO DE RECTAS

Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales o si

coinciden sus pendientes (m).. Su producto escalar es igual a 1. Para construir una recta paralela a otra se utiliza el mismo vector director y se pone el punto

por donde se desea que pase la nueva recta. Se utiliza la ecuación punto pendiente. PERPENDICULARIDAD

dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores lo son, es decir, que sean ortogonales y que su producto escalar sea igual a 0.

Ax2 + Bx + C = 0

Vd de una ecuación = (-B,A) Pendiente (m)= B

A (DEL VECTOR DIRECTOR)

Pendiente directamente de la ecuación en forma general: (m)= A

B

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

cos( • )•

[ ] •[ ]cos

•

[ ] •[ ]a b

a b

a barco

a b

a b

16

6

Dado un punto P(x1,y1) y una recta Ax + Bx + c = 0, se define la distancia entre el punto p

y la recta de la siguiente forma:

* La distancia desde el punto a la recta es en línea recta y es siempre perpendicular.

ECUACION NORMAL DE LA RECTA

Nos da directamente la distancia de la recta al origen de coordenadas, siendo los

coeficientes de X e Y los cosenos directores.

Ec. Normal: A

A BX

B

A BY

C

A B2 2 2 2 2 2

MOVIMIENTO, MAGNITUDES FISICAS DEL MOVIMIENTO

MOVIMIENTO: el movimiento es el cambio de posición de una partícula, interviniendo además dentro de ese movimiento el tiempo, la trayectoria y la causa que ha producido

dicho movimiento.

VECTOR DE POSICION

El vector posición representa la posición de la partícula en cada momento.

Siendo su módulo

Vector desplazamiento: corresponde a la variación del vector de posición con respecto al tiempo y viene dado por la fórmula:

r r rf 0

VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTANEA

Velocidad es la variación de la posición de un móvil en un sentido determinado respecto del tiempo empleado en esa variación.

Se distinguen dos tipos de Velocidad:

Velocidad media = la variación del vector desplazamiento respecto a la variación del

tiempo

d p rAx By C

A B( , )

( )

1 1

2

r = x + y r x y 2 2

Vmediar

t

rf ro

tf tom s

/

17

7

Velocidad instantánea: es la derivada del vector de posición respecto al tiempo:

ACELERACION

Siempre que hay cambios en la velocidad existe aceleración. Al igual que en la velocidad

existe una aceleración media y una instantánea:

Aceleración media: Es el cociente entre la variación de la velocidad y el intervalo de

tiempo transcurrido

Aceleración instantánea: es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

Componentes intrínsecas de la aceleración:

Dependen de la misma aceleración:

Aceleración tangencial: Atd v

dt

Aceleración normal o centrípeta:

anV

r

2

La tangencial es la que empuja hacia a fuera y la centrípeta hacia dentro. *CELERIDAD= Módulo de la aceleración

Vinstr

t

dr

dtm s

/

a mv v

t t

v

tm s

2 1

2 1

2

/

adv

dt

d r

dtm s

2

2

2/

* Por lo que a a n a t2 2 2

18

8

MOVIMIENTO RECTILINEO, CIRCULAR Y VIBRATORIO

ARMONICO SIMPLE

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME:

Se define como aquel movimiento cuya velocidad es constante en módulo, dirección y sentido. Por ello prescindimos de la notación vectorial, MAGNITUD ESCALAR, indicándose mediante signos + o -

para indicar el sentido.

A partir de la fórmula de la velocidad instantánea vds

dt obtenemos que

ds vdt por lo que al integrar:

ds v dt s s vt

t

s

s

0

0

0

Así obtenemos la fórmula de la posición

MOVIMIENT RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

En él la aceleración es constante, por lo que a partir de la fórmula de la aceleración tangencial:

a adv

dtdv a dt dv a dtt

s

s t

• •

0 0

A partir de ella obtenemos la ecuación desde una posición inicial:

MOVIMIENTO CIRCULAR

Ahora la unidad del sistema Internacional es el Rad. /seg.

rpm rps x •2

60

vuelta

segundos Longitud de la circunferencia = 2·r

1 vuelta = 2 rad.

Radián: es la longitud de arco que es igual a la longitud de radio. La longitud del arco que mide lo mismo que el radio.

S= S0+ vt

v = v0 + a·t

s s v t at 0 0

21

2

19

9

Posición: 0 0

21

2w t t•

Velocidad angular: wt

w w t 0 • wT

2

Aceleración: w w

t

f o Centrípeta o normal: a

v

r

w r

rw rc

2 2

2( • )

•

MOVIMIENTO VIBRATORIO

Se trata de una clase especial de movimiento periódico. Un movimiento es periódico si su trayectoria se repite a intervalos iguales de tiempo.

F k y

• De donde: F= la fuerza recuperadora

k= constante recuperadora del resorte N/m y= vector de posición

Características:

Elongación: la posición de la partícula en cada instante del móvil

Amplitud: Es la elongación máxima

Período: (T) es el tiempo que tarda en dar un ciclo completo. Ida y vuelta hasta

el punto de origen

Frecuencia: Corresponde a la inversa del período 1/T. corresponde al nº de

veces que cumple 1 ciclo en 1 segundo.

RELACIÓN ENTRE EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Y EL VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE.

Elongación: A sin w t• ( • ) . Como wT

2

A sinT

t• •2

A sin f t• ( • )•2

Velocidad: dy

dt

d A sin wt

dt

( • • ) v Aw wt •cos

Aceleración: dv

dt

d A w w t

dtAw sin wt w y

( • • cos• • )( ) •2 2

Representación gráfica: Se coloca en el eje de abscisas (OX) el tiempo, tomando fracciones sencillas de T. En ordenadas se colocan valores de la elongación.

T= tiempo

110

10

= valor de la elongación, del que se hace el coseno.

COMPOSICION DE MOVIMIENTOS

Galileo en el siglo XVI enuncio:

El vector de posición del móvil es la suma vectorial de los vectores de posición.

Igualmente la velocidad resultante es la suma vectorial de las

velocidades de cada movimiento

Cuando se efectúa un tiro vertical hacia arriba el valor de la aceleración es inverso, quiere decir que:

v v gt 0

Es por ello que un movimiento en el espacio vectorial se puede expresar

de las siguientes maneras:

s Vx Vy O Vx Vy

, ( ) ( )2 2

TIRO PARABOLICO

Xmaxv

g

2 2sen Ymax

v

g

2 2

2

sen

Eje de la X: Eje de la Y:

Vy Vo

Vy Vo t

sen

sen •

2

02

1atVoyyy Vx Vo

Vx Vo t

cos

cos •

111

11

DINÁMICA

Dinámica: parte de la física que estudia el movimiento y las causas que lo producen.

Concepto dinámico de fuerza: Fuerza es toda causa capaz de modificar

el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo o de producir en él una deformación.

LEYES DE NEWTON

Principio de Inercia: cuando no se ejerce ninguna fuerza sobre un cuerpo, éste permanece en reposo, y si se mueve, su movimiento es rectilíneo y uniforme.

Ej.: cuando se pone en marcha un autobús, cuando movemos un vaso de agua y este se derrama.

Estos fenómenos se deben a la inercia de los cuerpos en movimiento, en virtud del cual éstos tenderían a seguir moviéndose con la velocidad que poseen y en el mismo sentido que el vehículo.

1.- El movimiento de una llanta de bicicleta a la aplicación del freno

2.- El choque de un carro ocasionado por la velocidad alta.

3.- El contacto de un jugador con el otro al no poder detener por diferentes circunstancias

PROPORCIONALIDAD ENTRE FUERZAS Y ACELERACIONES

F m a •

Cuando a un cuerpo se le somete sucesivamente a varias fuerzas

constantes, adquiere unas aceleraciones que son proporcionales a estas fuerzas y de su mismo sentido. La fuerza que se aplica a un cuerpo es igual al producto de la masa por

la aceleración que le comunica.

-Debido a la presencia de la gravedad, los cuerpos que por ella se mueven poseen una

fuerza proporcional a su masa, a la que llamamos peso, y cuya fórmula es: P m g

•

FUERZA DE INERCIA: es una fuerza virtual igual a la masa por la aceleración, pero de

sentido contrario a ésta. F Fi

0

PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN:

Cuando un cuerpo A ejerce sobre otro B una fuerza (acción), el segundo ejerce sobre el primero otra fuerza igual y de sentido contrario (reacción).

112

12

F F

1 2

La dirección de la aceleración es la misma que la de la fuerza neta

aplicada. La aceleración de un determinado cuerpo es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Esto significa que la relación de fuerza de aceleración

es siempre constante por lo tanto

f1 = f2 = f3 = fm = K (constante) a1 a2 a3 am El valor de la K representa la propiedad del cuerpo que recibe el nombre

de la masa, m = f/a

Ecuación dimensional SI M = N = Kg. m/s = Kg.

n/s m/s

Ecuación. La fuerza de un N es la fuerza resultante que el importe a una masa de un Kg. una aceleración de 1 m/s

Ecuación dimensional en cgs

M = D = gr. cm/s = gr. Cm/s cm/s

Ecuación dimensional MKS (Técnico)

M = Kg. = utm M/s

(utm) se le conoce como unidades técnicas de masa la utm se define como la masa a la que

una fuerza de 1 Kg. Le imprime una aceleración de 1 m/s.

Ecuación dimensional en el sistema ingles técnico

M = lb = slug Ft/s

El slug se define como la masa a la que una fuerza de una libra le imprime una aceleración de 1 ft/s.

Como el peso de un cuerpo representa la fuerza con que la tierra atrae a la masa de dicho cuerpo su ecuación se representa de la siguiente forma:

113

13

W=mg__1 sustitución 3 en 1

M= w =___2 F = mg___4 F = ma___6

F = w ___3 m = f/a___5

Sustituyendo en el 2 en 6

F = w a ecuación de la 2° ley de newton G Dónde: F= fuerza aplicada (N)

W= peso del cuerpo (N) G= aceleración de la gravedad (9.8 m/s)

A= aceleración que recibe el cuerpo (m/s)

REFORMULACION DE LAS LEYES DE NEWTON

Ley de Inercia: I Fdt

Si la resultante de las fuerzas exteriores es nula, conserva su momento lineal, es decir, no cambia el momento lineal o cantidad de movimiento.

F = m·a: al conservar su momento lineal Fd p

dt

Acción - Reacción: Si la resultante de todas las fuerzas exteriores es 0 y sólo hay fuerzas interiores, la variación de la cantidad de movimiento del cuerpo A es igual a - la variación

de cantidad de movimiento del cuerpo B.

p p

1 2

FUERZAS DE ROZAMIENTO

Son fuerzas que se oponen al movimiento de los cuerpos, es decir, su valor no puede superar NUNCA la fuerza que es aplicada, por lo que no

cambia el sentido del movimiento del cuerpo, solo lo frena. Es una fuerza paralela al desplazamiento pero de sentido contrario. Es proporcional a las fuerzas normales entre las superficies de contacto.

No depende del área de la superficie de contacto, pero sí de la naturaleza de las sustancias.

Es mayor al iniciarse el movimiento que cuando se encuentra en movimiento.

Coeficiente estático de rozamiento:

114

14

Se denomina así al cociente entre la fuerza de rozamiento apreciada en el

momento de iniciar el movimiento y la fuerza normal a la superficie de contacto.

Fr

N

Fr

m g•lo que implica que Fr mg , en un plano inclinado

Fr mg • cos

Px Fx mg

Py Fy mg

• sen

• cos

IMPULSO MECANICO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Impulso mecánico de una fuerza es el producto de la fuerza por el tiempo que está actuando.

Se trata de una magnitud vectorial, producto del vector fuerza por un escalar, el tiempo:

F dt m d v

F t p

•

El impulso mecánico es igual a la variación de la cantidad de movimiento.

P= m·v magnitud vectorial

Principio de conservación de la cantidad de movimiento: En un sistema aislado, en el que no se ejerce fuerza ninguna desde fuera, la cantidad de movimiento no varía.

ECUACIONES DE LA DINAMICA DE ROTACION

Rotación de una partícula con respecto a un punto

acv

RRw n

2

2

Según la segunda ley de Newton esta aceleración debe estar producida por una fuerza de la misma dirección y sentido por lo que:

Fc mV

RmRw n

2

2

Rotación de un sólido rígido

I Fdt

Fd p

dtPero si

d p

dt

0

115

15

Se trata de un sólido indeformable al estar sometido a fuerzas de cualquier tipo. La

variación de la rapidez de giro depende de la fuerza aplicada, del punto donde se ejerce la fuerza y de la dirección de ésta.

Estos tres elementos pueden hacer variar el momento de una fuerza o de un par de fuerzas. Por ello aparece una nueva magnitud física, el MOMENTO DE INERCIA. Se trata de una magnitud escalar.

M I

Momento de Inercia. Radio de giro

I m 2

El radio de giro ,, es un radio medio y equivale a la distancia desde el eje a un punto donde tendríamos que concentrar la masa del sólido para que el momento de inercia de esa

<<masa puntual>> fuese el del sólido.

Momentos de Inercia de algunos sólidos:

· Partícula: I m R • 2

Anillo: I m R • 2

Disco: I mR1

2

2

Cilindro: 2

5

2mR

Momento Angular:

El momento angular o cinético (L) de una partícula de masa m que gira en torno a

(0,0) es el producto vectorial de r por mv (momento de la cantidad de movimiento)

Su módulo es L= mrv

Como v = r w, sustituyendo se obtiene: L mr w Iw I w

2

Por lo que el módulo del momento angular es igual al producto del momento de inercia por

la velocidad angular.

Impulso Angular

Es el producto del momento de una fuerza (M) por el tiempo que está actuando. Es un

vector de dirección y sentido igual al de M cuyo módulo viene dado por:

Esto nos demuestra que es equivalente al momento angular.

L r x m v

Mt = Iw

116

16

Conservación del momento angular Si la resultante de los momentos M aplicados a un sólido en rotación es nula, se cumplirá

que:

M

d I w

dt

0

Un sólido en rotación no sometido a momentos exteriores mantiene constante su momento angular.

117

17

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

CINEMÁTICA

1. – Un golfista logra un hoyo en uno en tres segundos después de que la pelota fue golpeada. Si la pelota viajó con una rapidez promedio de 0.8 m/s, ¿Cuan lejos se encontraba el hoyo?

2. – Un camión de mudanza viajó 640 mi en un recorrido de Atlanta a Nueva York, el viaje

total duró 14 horas pero el conductor hizo dos escalas de 30 minutos para su alimentación ¿Cuál fue la velocidad promedio durante el viaje?

3. – Un camión de volteo obtiene 9 mi por galón de combustible, que cuesta un dólar el galón, ¿Cuál será el costo de conducción de este camión durante dos horas si el promedio

de velocidad es de 30 mi/h? 4. – Un camión viaja durante dos horas a una velocidad media de 60 km/h. Enseguida viaja

durante tres horas a una velocidad media de 40 km/h, ¿Cuál ha sido la distancia total recorrida y la velocidad media para el viaje completo?

5. – La distancia de México a Guadalajara es de 681 km. Un automóvil hace el recorrido en 12 horas, 20 minutos, ¿Cuál es la velocidad media del recorrido? La velocidad instantánea

que el velocímetro marcó en un momento dado fue 80 km/h, ¿En cuánto tiempo hubiera hecho el recorrido si hubiera conservado constante esa velocidad?

6. – Un automóvil recorre una distancia de 300 km y desarrolla una velocidad media de 80 km/h en los primeros 240 km en tanto que en los últimos 60 km, tiene una velocidad media

de 60 km/h. Calcule a) El tiempo total del viaje, b) La velocidad media de todo el viaje.

7. – Dos corredores A y B parten del mismo lugar. A partió 30 segundos antes que B con una velocidad constante de 5 m/s. B sigue la misma trayectoria con una velocidad constante de 6 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida el corredor B alcanzará a A?

8. – Un automóvil que inicialmente viaja a 30 mi/h, aumentó su velocidad a 80 mi/h

mientras cubre una distancia de 2,000 pies, encontrar: a) El tiempo transcurrido, b) La aceleración en ft/s2.

9. – Un tren inicialmente viaja a 16 m/s, recibe una aceleración constante de 2 m/s2, a) ¿Cuán lejos viajará en 20 segundos?, ¿Cuál será su velocidad al final de los 20 segundos?

10. – La velocidad de un tren se reduce uniformemente de 12 m/s a 5 m/s. Sabiendo que durante ese tiempo recorre una distancia de 100 m, calcular: a) La aceleración, b) La

distancia que recorre a continuación hasta detenerse, sufriendo la misma desaceleración.

118

18

11. – un conductor de un automóvil observa en su velocímetro una velocidad de 50 mi/h, 10

segundos después su velocidad es de 62 mi/h, ¿Qué distancia recorrió en este tiempo suponiendo que la aceleración fue constante?

12. – la velocidad de un tren se reduce uniformemente de 72 km/h a 45 km/h en un tramo de 80.5 m. Calcular: a) la desaceleración, b) Tiempo transcurrido para el cambio de

velocidad, c) El tiempo empleado para detenerse, d) la distancia que recorre hasta detenerse en metros.

13. – Un tren arranca del reposo y alcanza una velocidad de 80 ft/s, en una distancia de 1,000 ft, calcule: a) El tiempo que transcurrió, b) La aceleración, c) Su velocidad al final de

cuatro segundos.

14. – Un cañón antiaéreo lanza una granada verticalmente con una velocidad de 350 m/s, calcular: a) La máxima altura que alcanza la granada, b) El tiempo empleado en alcanzar dicha altura, c) La velocidad a los 2.5 segundos.

15. – Una bala se dispara verticalmente hacia arriba desde la tierra con una velocidad de

280 m/s, a) ¿Cuánto tardará para llegar al punto más alto?, b) Cuál es la altura del punto más alto?, c) ¿En qué tiempo estará la bala a una altura de 300 m?, d) ¿Qué tiempo tardará en llegar al punto de partida?

16. – Se lanza verticalmente una piedra hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s,

calcular: a) El tiempo que está ascendiendo, b) La máxima altura que alcanza, c) El tiempo que tarda desde que es lanzada hacia arriba hasta que regresa al punto de partida, d) Los tiempos a partir del momento de ser lanzada que emplea en adquirir una velocidad de 25

m/s.

17. – Desde un globo se deja caer un cuerpo que tarda en llegar a la tierra 20 segundos. Calcular la altura del globo: a) Si está en reposo en el aire, b) si está ascendiendo a una velocidad de 50 m/s.

119

19

TIRO PARABÓLICO Y TIRO HORIZONTAL

1. Desde un acantilado de 60m de altura se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad de 20m/sg. Calcular:

a) ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2sg después? (40,20)

b) ¿Qué velocidad tienen en ese instante? 28’28m/sg 45º c) ¿Cuánto tiempo tarde en llegar a la superficie del agua? 3’4sg

d) ¿Qué velocidad tiene en ese instante? 59´53º e) ¿Cuánto vale el alcance máximo? 69’2m

2. Un avión de bombardeo vuela a 4500m de altura sobre el suelo con una velocidad

constante de 360km/h y pretende bombardear un objetivo inmóvil situado sobre el suelo.

a) ¿A qué distancia del objetivo medida a partir de la vertical del pie del avión debe

soltar la bomba? 3000m

3. Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 400m/sg y un ángulo de elevación de 30º. Calcular:

a) Posición y velocidad del proyectil a los 5sg.(1732’05,875) 377´48m/sg 23´41º b) En que instante o instantes el proyectil se encuentra a 1000m de altura y que velocidad tiene en esos puntos. 34’14sg 5’86sg

c) Altura máxima alcanzada por el proyectil.

d) Velocidad en ese instante.

e) Alcance máximo.

f) Velocidad en el punto de alcance máximo.

4. Se golpea una pelota de golf de manera que su velocidad inicial forma un ángulo de 45º con la horizontal. La pelota alcanza el suelo a 180m del punto en que se lanzó. Calcula

su velocidad inicial y el tiempo en que ha estado en el aire. 6sg Vo=42’43m/sg

5. Se dispara un proyectil con un ángulo de tiro de 60º. El proyectil alcanza una colina

situada a 2km en un punto de 800m de altitud, respecto al punto de lanzamiento. a) ¿Con que velocidad se disparó el proyectil? 174’07m/sg

b) ¿Qué velocidad tiene el proyectil al alcanzar la colina? 118’21m/sg 42’58º

c) ¿Cuánto tiempo ha estado el proyectil en movimiento? 22’97sg

6. Desde un acantilado de 100m de altura se lanza un objeto con una velocidad inicial de 400m/sg, formando un ángulo de 30º con la horizontal.

120

20

a) ¿Altura máxima sobre el nivel del mar? 120m

b) Velocidad a los 3sg de lanzamiento. 36’05m/sg

c) ¿En qué punto y con que velocidad se producirá el choque del objeto en el agua?

6’828sg 59’96m/sg

7. Se tiene un río de 100m de ancho y se pretende cruzar remando una barca. La barca se

mueve en dirección perpendicular a la orilla con una velocidad constante de 8m/sg. Paralelamente el agua del río desciende con una velocidad constante de 5m/sg. Calcular:

a) ¿En que punto desembarcaría la barca? 62’5m

b) Posición y velocidad a los 5sg.(25,40) 9’43m/sg

c) Posición y velocidad a los 10sg.(50,80) 9’43m/sg

d) Ecuación de la trayectoria.y=5 x/8

e) En virtud de los resultados anteriores, indicar que tipo de movimiento es el

movimiento resultante. Rectilíneo uniforme

8. Lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30m/sg.

Paralelamente el aire experimenta sobre el cuerpo una fuerza hacia la derecha que le implica una aceleración constante de 2m/sg2. Calcular: a) Altura máxima alcanzada.

b) Posición y velocidad a los 2sg de lanzamiento. c) Posición y velocidad del punto de choque con el suelo.

d) Ecuación de la trayectoria. 9. Sobre un acantilado de 100m de altura se lanza un objeto con una velocidad inicial de

50m/sg, formando un ángulo de –30º con la horizontal. Calcular: a) Posición y velocidad a los 3sg de lanzamiento.

b) Alcance máximo. c) Velocidad en el punto de alcance máximo. d) Ecuación de la trayectoria.

10. Dos aviones están situados en la misma vertical. La altura en la que se

encuentra uno de ellos es 4 veces mayor que la del otro. Pretenden bombardear un objetivo común. ¿Qué relación debe de haber entre las velocidades de ambos aviones?

11. Se dispara un cañón con un ángulo de elevación de 30º y una velocidad de 200m/sg.

Calcular: a) El alcance horizontal del proyectil. b) Velocidad del proyectil al llegar al suelo.

c) Si a la mitad del recorrido hubiese una colina de 600m de altitud, ¿tropezaría con ella? d) En caso afirmativo, ¿qué solución daríamos para hacer blanco en el mismo objeto

lanzando el proyectil con la misma velocidad y desde el mismo punto?

121

21

12. Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30º con la horizontal, y al llegar a su extremo queda en libertad con una velocidad de 10m/sg. La altura del edificio

es de 60m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30m. Calcular: a) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared opuesta? b) Tiempo que tarda en llegar al suelo.

c) Velocidad en ese momento.

d) En qué posición la velocidad forma un ángulo de 45º con la horizontal.

122

22

DINÁMICA

1. Un cuerpo se deja caer libremente desde lo alto de un rascacielos. Al cabo de un tiempo tA, pasa por un punto A. Cinco segundos más tarde, pasa por un punto B. La energía cinética de ese cuerpo en B es 36 veces mayor que en A. Hallar:

a) El tiempo tA. b) Distancia que están separados entre sí los puntos A y B.

Rta.: 1 s, 172 m (P.A.U. Sep 92)

2. Partiendo del reposo, una esfera de 10 g cae libremente, sin rozamientos, bajo la acción de la gravedad, hasta alcanzar una velocidad de 10 m/s. En ese instante comienza a actuar una

fuerza constante hacia arriba, que consigue detener la esfera en 5 segundos. a) ¿Cuánto vale esta fuerza?

b) ¿Cuál fue el tiempo total transcurrido en estas dos etapas?

Dato g = 10 ms-2. Rta.: 0’12 N, 6 s (P.A.U. Sep 94)

3. Con ayuda de una cuerda se hace girar un cuerpo de 1 kg en una circunferencia vertical de 1 m de radio, cuyo centro está 10'80 m por encima de un suelo horizontal. La cuerda se

rompe cuando la tensión es de 11'2 kg, lo que ocurre en el punto más bajo de su trayectoria. Calcular: a) La velocidad que lleva el cuerpo cuando se rompe la cuerda.

b) Su velocidad en el instante de chocar contra el suelo. Rta.: 10 m/s; 17'1 m/s (P.A.U.)

4. Un carro de 1 tm avanza horizontalmente y sin rozamiento sobre un carril con una velocidad de 10 ms-1, según se muestra en la figura (posición A). A continuación entra en un lazo

vertical de 4 m de radio. Calcular: a) La fuerza que ejerce el carril sobre el carro al pasar éste por el

punto B; b) ¿Lleva el carro suficiente velocidad en A para alcanzar el punto C más alto del lazo? DATO: g = 10 ms-2

Rta.: 5000 N; no (P.A.U. Sep 93)

5. Se lanza hacia arriba sobre un plano inclinado 30° un bloque de 5 kg con una velocidad

inicial de 12 m/s. Transcurridos 2 segundos, el bloque comienza a deslizar hacia abajo hasta el punto de partida. Calcular: a) el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado.

b) la velocidad del bloque cuando vuelve a la posición inicial. Rta.: 0'13, 9'55 m/s (P.A.U.)

6. Un montacargas inicia su ascenso con una aceleración constante de 5 m/s2. Transcurridos 4 segundos su velocidad se hace constante.

A

B

C

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a) Calcúlese la fuerza que ejerce sobre el piso del montacargas una persona de 75 kg antes y

después de los 4 segundos. b) Supóngase ahora que un ascensor partiendo del reposo comienza a descender con una

aceleración constante de 5 m/s2 y que al cabo de 4 segundos alcanza una velocidad constante. ¿Qué fuerza ejercerá sobre el piso del ascensor, antes y después de los 4 s, esa misma persona?

Rta.: 1.110 N; 735 N; 360 N; 735 N (P.A.U.)

7. Una masa de 4 kg se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento a la velocidad

de 3 m/s, y comprime un muelle elástico de masas despreciable y de constante recuperadora 90Nm-1. Determinar : a) la compresión máxima del muelle, b) velocidad de la masa cuando el muelle se ha comprimido 10 cm.

Rta :. 0’2 m ; 2’6 m/s ( P.A.U. Jun 97)

8. Un cuerpo de 10 kg de masa, lanzado desde el suelo formando un ángulo de 30º con la

horizontal, alcanza 138’6 m. Hallar . a) El momento angular en el punto más alto de la trayectoria, respecto al punto de

lanzamiento

b) La energía mecánica del cuerpo a los 2 s del lanzamiento ( g=10 m/s) Rta a: L=692'8 k kg·m2s-1; b) E=8000 J (PA.U. Sept 98)

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BIBLIOGRAFÍA:

Sambrano, V. (2003). FÍSICA VECTORIAL 1. Quito: Geafiti Ofssett.

Cuasés, B. (2009). Viblioteca virtual. Bolívar. Daniel Shaum, B. S. (1984). FÍSICA GENERAL. Colombia: Andes, Bogotá Colombia.