Guía de capacitancia iutajs

CAPACIDAD ELECTRICA

El condensador es un dispositivo que proporciona

almacenamiento temporal de energía eléctrica. La

propiedad que caracteriza las posibilidades de

almacenamiento de energía de un condensador es su

capacidad eléctrica.

Un condensador consta de dos conductores separados por el espacio libre o por un medio

dieléctrico.

Cuando se almacena energía en un condensador aparece un campo eléctrico en su interior. Esta

energía almacenada puede asociarse al campo eléctrico. De hecho todo campo eléctrico lleva

asociada una energía. El estudio de los condensadores y la capacidad nos acerca a un importante

aspecto de los campos eléctricos: la energía de un campo eléctrico. Este estudio también nos

servirá de base para aprender algunas propiedades de los aislantes. Debido a su comportamiento

en el seno de campos eléctricos, los aislantes se denominan frecuentemente dieléctricos.

Las cargas eléctricas en un material conductor se distribuyen sobre la superficie de éste, de

manera que el campo eléctrico en el interior es nulo, el conductor es así un cuerpo equipotencial.

La botella de Leyden que principalmente era una botella de vidrio

con una capa interior y exterior de un material conductor, fue el

primer condensador utilizado para almacenar carga eléctrica. Años

más tarde, Benjamín Franklin comprobó que el dispositivo para

almacenar cargas no debía tener necesariamente la forma de

botella y utilizó en su lugar vidrios de ventana recubiertos de hojas

metálicas, que se llamaron vidrios de Franklin.

MATERIA: Física II SEMESTRE: 2 CODIGOS: 70-73-80

Elaborado por: Licenciado Julio Cesar Barreto García 2

Con varios de estos vidrios conectados en paralelo, Franklin almacenó una gran carga y con ello

trató de matar un pavo. En su lugar, sufrió el mismo una fuerte descarga. Más tarde, Franklin

escribió: "Trataba de matar un pavo y por poco maté un ganso".

CONDENSADOR.

Los condensadores o capacitores son dispositivos utilizados para almacenar carga y energía

eléctrica. Están formados por dos conductores próximos uno a otro, separados por un aislante, de

tal modo que puedan estar cargados con el mismo valor pero de signo contrario. Encontrándose

los conductores a una diferencia de potencial, y generando entre ellos un campo eléctrico.

CAPACITANCIA (C)

La capacidad o capacitancia es una propiedad de los dispositivos llamados condensadores.

Esta propiedad rige la relación existente entre la diferencia de potencial existente entre las placas

del capacitor y la carga eléctrica almacenada en este mediante la siguiente ecuación:

ΔV



Donde

C es la capacidad, medida en faradios;

Q es la carga eléctrica almacenada, medida en culombios;

V es la diferencia de potencial, medida en voltios.

Cabe destacar que la capacidad es siempre una cantidad positiva y que sólo depende de la forma

del capacitor y del medio considerado. Por su definición, las dimensiones de capacidad son carga

dividido por potencial, y la unidad en el Sistema Internacional será el culombio dividido por

voltio, a esta unidad se le dado el nombre de faradio (F) en honor de Mitchell Faraday. Un

faradio una unidad de capacidad bastante grande, de forma que los condensadores que

usualmente se encuentran en los circuitos tienen capacidades mucho menores.

Las unidades más comunes en la técnica son: μF = 10−6

F ηF = 10−9

F pF = 10−12

F

CARGA DE UN CONDENSADOR

Los condensadores almacenan energía que es igual al trabajo realizado para cargarlo.

Cuando se instala el condensador a una fuente de energía E este le suministra cargas a las placas

del condensador, que producen un campo eléctrico y un potencial eléctrico entre las placas, El

potencial aumenta exponencialmente, como se puede observar en la gráfica Vc= f(t).



La máxima carga que se deposita en las placas del condensador se da cuando el potencial

eléctrico, entre las placas del condensador es igual al potencial de la fuente E. En ese instante

dejan de fluir cargas de la fuente al condensador como se puede ver en la gráfica i =f(t).

CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS

Es el capacitor más sencillo, consiste en dos placas metálicas planas y paralelas de área A y

separadas una distancia d, como se muestra en la figura:

Al conectarlo a una fuente, este realiza trabajo para poner cargas en las placas. Suponga que un

electrón se mueve a una placa; poner el siguiente electrón será más difícil debido a que la carga

original lo repelerá. La transferencia de carga adicional requiere de más y más trabajo a medida

que se acumula la carga en la placa. A la carga que recibe una de las placas la llamaremos Q, y la

carga de la otra placa será –Q.

Cuando el condensador se ha cargado completamente, las cargas están localizadas en las caras

internas y el campo eléctrico uniforme está localizado entre las placas.



La carga de un condensador y la diferencia de potencial entre sus placas no son independientes:

están vinculadas entre sí por una relación sencilla que depende de las características del

condensador. La carga por unidad de área en cada placa es σ = Q/A. Si las placas están muy

cercanas una de la otra, podemos despreciar los efectos de los extremos y suponer que el campo

eléctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otro lugar. El campo eléctrico entre las

placas está dado por:

La diferencia de potencial entre las placas es igual a Ed; por lo tanto,

Sustituyendo este resultado, encontramos que la capacitancia está dada por:

Esto significa que la capacitancia de un condensador de placas paralelas es proporcional al área

de éstas e inversamente proporcional a la separación entre ellas.

La constante de proporcionalidad C es la capacitancia y expresa la carga por unidad de voltaje.

El faradio, unidad de la capacitancia, es una unidad grande de modo que se usa con frecuencia es

el microfarad ( F = 10-6

F).



QE

r

4 2

CONDENSADOR ESFERICO

El condensador esférico está formado por dos casquetes esféricos conductores concéntricos, de

espesores despreciables, de radios a y b (b>a). Suponga que la placa interior se carga a Q+,

mientras que la placa exterior se carga a Q-. Si en la región entre placas existe vacío como

aislante, entonces el campo eléctrico en ésa región.

Suponemos la superficie interior a potencial V0 y la exterior a tierra

La capacidad del condensador esférico la obtenemos como el cociente entre la carga y la

diferencia de potencial

Un límite de interés del resultado anterior es el límite en que . En este límite



1 2

bV V 2K Ln

a

o2Q QC

b Q b bK Ln K Ln Ln

a a a

2 2

l

l

Esta es la capacidad de una esfera con carga eléctrica Q, en ausencia de otros conductores. Por

ello, podemos entender el caso de una esfera conductora, como un condensador esférico una de

cuyas placas (la de tierra) se encuentra en el infinito.

La ecuación hace evidente una propiedad general de la capacidad, la cual es que siempre depende

de la geometría de los conductores y del medio.

CONDENSADOR CILINDRICO

Un condensador cilíndrico está formado por un conductor cilíndrico de radio "a", densidad de

carga uniforme y carga Q , que es concéntrico con un cascarón cilíndrico más grande de

radio "b" y carga Q también uniformente cargado, estando cada conductor a los potenciales

eléctricos V1 y V2 respectivamente.

Si se supone que l es grande en comparación con a y b, pueden despreciarse los efectos en los

extremos. En este caso el campo es perpendicular al eje de los cilindros y está confinado en la

región entre ellas. Primero se calcula la diferencia de potencial entre los dos cilindros.

Se observa pues que la diferencia de potencial sale positiva, puesto que el cilindro interior está al

potencial más elevado. Luego



31 2

1 2 3eq

QQ QQ

C C C C

1 2 3V V V V

1 2 3

1 1 1 1

eqC C C C

Q Q Q Q 1 2 3

El resultado obtenido para la capacidad tiene sentido puesto que indica que la capacidad es

proporcional a la longitud de los cilindros. Lógicamente, la capacidad depende también de los

radios de los dos conductores cilíndricos.

ASOCIACION DE CONDENSADORES

Los condensadores se pueden conectar en dos formas básicas: en serie o en paralelo.

EN SERIE: Cuando los condensadores se conectan de tal modo que:

1. Todos los condensadores almacenan la misma carga

2.- La suma del voltaje individual que cae a través de los

capacitores es el voltaje de la fuente.

Todas las cargas tienen igual valor y se pueden cancelar. Así, para tres capacitores en serie, se

tiene la ecuación para hallar el capacitor equivalente de la serie:

(a) (b)

C1

C2

C3

V1

V2

V3

+

Q1 - Q1

+

Q2 - Q2

+

Q3 - Q3

V +

-

V Ceq +

-

+ Q

-

Q

V



V C1 C2 C3 V Ce

q

+ + V V

+

Q1 - Q1

+

Q2 - Q2 -

+

Q3 - Q3

+ Q

-

Q -

1 2 3eqC C C C

EN PARALELO: Cuando los condensadores están conectados de tal modo que:

1. La carga total es igual a la suma de las cargas individuales:

321 QQQQ

2. Las diferencias de potencial para cada

condensador tienen igual valor:

321 VVVV

Dado que Q=CV, reemplazando en la ecuación anterior: 332211 VCVCVCVCeq

Simplificando:

ENERGIA ALMACENADA EN CONDENSADORES.

La expresión para la energía que almacena un condensador se puede obtener por medio de

análisis gráfico. Una gráfica de voltaje versus carga eléctrica origina una recta con una pendiente

1/C, como se observa en la figura 11.29. Para un condensador inicialmente descargado Q = 0 y

V0 = 0, para alguna carga final Q y un voltaje final V, el trabajo total realizado por la fuente es

equivalente a la transferencia de la carga a través del voltaje medio Vm, donde:

V

Q

VOLTAJE (V)

CARGA (C)

PENDIENTE = 1/C



cE QV1

2

2

21 1 1

2 2 2c

QE QV CV

C

Así, el trabajo realizado por la fuente, es la energía almacenada, es el área bajo la curva se

expresa como

Dado que Q=CV, esta ecuación puede escribirse de otras maneras:

Problemas propuestos:

1.- En el circuito se muestra 4 condensadores iguales y un interruptor S. Si C1 es la capacidad

entre A y B con S abierto y C2 cuando S está cerrado, determine

C1 C2.

a) 0,50 d) 0,25

b) 1,20 e) 0,33

c) 0,60

2.- Halle la capacidad del condensador equivalente (en F) entre A y B, si las capacidades de los

condensadores en las diagonales son iguales a 5 F.

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

3.- Los condensadores mostrados son de C1 = 6 F, C2 = 7 F, C3 = 5 F y

C4 = 2F. Determine la diferencia de potencial (en V) entre los puntos a y d, si la diferencia de

potencial entre los puntos a y b es 20 V.

a) 20 d)120

a) 50 e) 150

b) 90

30 F

30 F

10 F 10 F 10 F

A

B

A

B

S

a b c d C1 C4

C2

C3



4.- Halle la energía almacenada (en J) en el arreglo de condensadores que se muestra en la figura,

si la capacidad de todos ellos es C = 40 F y V = 1,5 kV.

a) 18

b) 34

c) 55

d) 34

e) 72

En resumen:

Un capacitor no permite cambios abruptos (instantáneos) en voltaje.

Un capacitor permite cambios abruptos (instantáneos) en corriente.

Un capacitor se comporta como un circuito abierto en la presencia de un voltaje

constante.

Un capacitor almacena carga eléctrica.

La capacitancia relaciona la corriente inducida por un campo eléctrico que varía con el

tiempo el cual es producido por el voltaje.

Los inductores y capacitores son elementos lineales, pasivos los cuales absorben energía del circuito, almacenan esta energía temporeramente y luego la devuelven al circuito. Por esta razón son llamados

elementos de almacenaje de energía. Los elementos pasivos no generan ni (idealmente) disipan energía.

CONSTANTES DIALÉCTICAS DE ALGUNOS MATERIALES

Material

Constante dialéctica k T, C

Vacío 1

Aire 1.00059 (1 atm) 20

Hidrogeno 1.00026 100

Agua 80.4 20

Mica 3-6 25

Plexiglás 3.12 27

Cuarzo (fundido) 3.75-4.1 20

Vidrio ( pyrex) 4.5 20

Lucita 2.84 23

Hule 2.94 27

Parafina 2-2.5 20

V



EJERCICIO OPCIONAL (DESAFIO): Los cuatro condensadores de la figura tienen formas y

tamaños iguales, estando el espacio entre sus placas relleno respectivamente de los siguientes

dieléctricos: k1 = 1 (aire), k2 = 2,3 (parafina), k3 = 3 (azufre) y k4 = 5 (mica). Calcular las

diferencias de potencial entre las placas de cada uno de los condensadores y la carga que

almacena cada uno de ellos. Datos: V = 100 V y C2 = 10 – 9

F

INDUCTORES

Un inductor está construido por un embobinado de alambre alrededor de algún dieléctrico o

material ferromagnético. La corriente que fluye a través del embobinado produce un campo

magnético. Cuando la corriente cambia en magnitud, el flujo magnético cambia. Según la ley de

Faraday, cuando un campo magnético no constante cruza un embobinado, éste induce un voltaje

en los terminales de este embobinado. Para un inductor ideal, este voltaje es proporcional a la

razón de cambio de la corriente con respecto al tiempo. Esta constante de proporcionalidad se le

conoce como inductancia (L). La inductancia, L, depende de las dimensiones del embobinado y

del número de vueltas de alambre en el embobinado, entre otros. La inductancia tiene unidades

de henrios (H), el cual es equivalente a Vs/A.

1. La corriente a través de un inductor dado el voltaje: Si sabemos cuál es la corriente inicial

del inductor iL(0) y el voltaje vL(t) a través del inductor, podemos calcular la corriente

para t>0

t

LLL

t

L

ti

i

L

LL

dttvL

iti

dttvL

di

dttvL

di

0

0

)(

)0(

)(1

)0()(

)(1

)(1

dt

diLtv L

L )(

Campo

Magnético

Alrededor

del

embobinad

o



2. La potencia y la energía almacenada en un inductor: La potencia que entra al inductor es

igual al producto de la corriente y el voltaje a través del inductor. La potencia está dada

por:

dt

ditLip L

LL )(

Si el inductor tiene una corriente inicial i(t0)=0, la energía almacenada en t0=0 es igual a cero.

Por tanto, la energía magnética, Wm, almacenada en el inductor está dada por:

2

)(

0

2

1

)(

0

Lm

ti

LLm

t

t

LLm

LiW

diLiW

dtdt

ditLiW

L

En resumen:

Un inductor no permite cambios abruptos (instantáneos) en corriente.

Un inductor permite cambios abruptos (instantáneos) en voltaje.

Un inductor se comporta como un corto circuito en la presencia de una corriente

constante.

La inductancia relaciona el voltaje inducido por un campo magnético que varía con el

tiempo el cual es producido por la corriente.

3. Inductores en serie y en paralelo

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Calcular la superficie de las armaduras de un condensador de 1mF cuyo dieléctrico es un

papel de 0,2mm de espesor. La constante dieléctrica K=4,8.

Respuesta: S = 4,71m2.

321 LLLLeq

321 111

1

LLLLeq



2. Calcular la capacidad equivalente y la carga acumulada por cada condensador del

siguiente circuito:

E=100V

C1 C2 C3

C4 C5 C6

A B C

C7

C1 = 3 F

C2 = 2000nF

C3 = 6x10-6

F

C4 = 15x106pF

C5 = 15x106pF

C6 = 15x106pF

C7 = 12 F

Respuesta: Ceq = 6 F; Q1=Q2=Q3=66,6x10-6

Coulomb, Q4=Q5=Q6=333,3x10-6

Coulomb,

Q7=4x10-4

Coulomb.

3. ¿Cuál será la capacidad de un condensador formado por dos placas de 400cm2 de

Superficie separadas por una lámina de papel de 1,5mm de espesor cuya constante

dieléctrica es 3,5?

Respuesta: 0,82kpFC

4. Calcular la carga acumulada por un condensador de 100 F al cual se le aplica una ddp

de 40V.

Respuesta: CulombiosQ 3104

3. Hallar la capacidad equivalente y la carga acumulada por cada condensador del siguiente

circuito.

E=30V

C1 C2 C5

C3 C4 C6

A DB C

C1=10000 pF

C2=0,010 F

C3=6kpF

C4=3x10-9

F

C5=3nF

C6=4x10-6

F

Respuestas: nFC

Ceq 5,32

7

2

1234

Qt = 1,05x10-7

Coulombios, VVab 15 ; Vcd = Vad - Vab = 15V,

Q1 = Q2 = 0,75x10-7

Coulombios, Q3 = Q4 = 0,30x10-7

Coulombios

Q5 = 0,45x10-7

Coulombios, Q6 = 0,6x10-7

Coulombios

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