Guia 1 Aplicacones de La Derivada 2012 1
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UNIVERSIDAD DE VALPARAISO CÁLCULO II Página 1 de 10 Ingeniería en Construcción M Verdejo R GUIA NÚMERO 1 APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. En cada caso, determine la ecuación de la recta tangente, en el punto indicado. a) 4 3 3 2 x x x f , en ( -1 , -4 ) b) 1 3 x y , en x = 1 2. Encuentre todos los puntos sobre la curva 1 3 2 3 x x y en los que la recta tangente es horizontal. 3. Sea 2 3 ) ( 2 3 x x x f . ¿En qué puntos de la gráfica de ) ( x f y , la recta tangente es paralela a la recta 0 1 6 x y ? 4. Sea x x x f ln ) ( . ¿En qué puntos de la gráfica de ) ( x f y , la recta tangente es paralela a la recta 0 5 2 x y ? 5. Sea x sen x f ) ( . Determine la ecuación de la recta tangente al gráfico de ) ( x f y en los puntos a) 2 x b) x
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UNIVERSIDAD DE VALPARAISO CLCULO II
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GUIA NMERO 1
APLICACIONES DE LA DERIVADA
1. En cada caso, determine la ecuacin de la recta tangente, en el punto
indicado.
a) 433 2 xxxf , en ( -1 , -4 )
b) 1
3
xy , en x = 1
2. Encuentre todos los puntos sobre la curva 13
23
xx
y en los
que la recta tangente es horizontal.
3. Sea 23
)(23 xx
xf . En qu puntos de la grfica de )(xfy , la
recta tangente es paralela a la recta 016 xy ?
4. Sea xxxf ln)( . En qu puntos de la grfica de )(xfy , la recta tangente es paralela a la recta 052 xy ?
5. Sea xsenxf )( .
Determine la ecuacin de la recta tangente al grfico de )(xfy
en los puntos
a) 2
x
b) x
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6. En cada caso, determine los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la funcin. Adems indique los mximos y mnimos.
a) 31292)( 23 xxxxf
b) 21)( 3 xxf
c) 34 86)( xxxf
d) 234 1888)( xxxxf
e) xexxf )(
f) 1
2)(
2
2
x
xxf
g) 1
)(2
3
x
xxf
h) 32
3)( xxxf
7. Un rectngulo tiene 120 metros de permetro. Cules son las
medidas de los lados del rectngulo que dan el rea mxima?
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8. Una recta variable que pasa por el punto 2,1 corta al eje X en 0,aA y al eje Y en bB ,0 . Determine el rea del tringulo AOBde
superficie mnima. (Ver figura)
9. Una ventana tiene forma de rectngulo, culminando en la parte superior con un tringulo equiltero. El permetro de la ventana es de 3
metros. Cul debe ser la longitud de la base del rectngulo para que la
ventana tenga el rea mxima? (Ver figura)
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10. Un faro se encuentra ubicado en el punto A , situado a .5Km del
punto ms cercano O de una costa recta. En un punto B , tambin en la costa y a .6km de O , hay una tienda. Si el guardafaros puede remar a
hkm/2 , y puede caminar a hkm/4 , Dnde debe desembarcar en la
costa, para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible? (Ver
figura)
11. Calcule los siguientes lmites, usando la regla de L hopital
a) 8
4lim
3
2
2
x
x
x b)
32
65lim
5
26
1
xx
xx
x
c) 20 2
)cos(1lim
x
x
x
d)
xxsen
xxsen
x 3
2lim
0
e) x
e x
x 2
1lim
0
f)
1
12lnlim
1
x
x
x
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SOLUCIN GUIA NMERO 1
APLICACIONES DE LA DERIVADA
1.
a) 134 xy
b) 14
3
2
3 xy
2. 1,0 ;
3
1,2
3.
3
14,2 ;
2
9,3
4. ee ,
5.
a) 0y
b) xy
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6.
a)
b)
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c)
d)
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e)
f)
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g)
h)
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7. mtsx 30 ; mtsy 30 ; 2900 mtsA
8. 2a ; 4b ; 24 uA
9. mtsx36
3
; mtsy
3212
39
10. El guardafaros debe desembarcar en un punto C , que est a
.3
5km del punto O , para llegar a la tienda en el menor tiempo posible.
11. a) 3
1 b)
11
32
c) 4
1 d)
4
3
e) 2
1 f) 2
