Derivada

Derivada e cinemática

1. Seja g a função definida por .

Mostre que as retas, r e s , tangentes ao gráfico da função g nos pontos

de abcissas 2 e -2, respetivamente, são paralelas.

x)x(g

1

Adaptado MT 11Texto

2

22

2

x

)(g)x(glim)´(gmx

r

)x(x

xlim

x

xlimxx 22

2

2

2

11

22

4

1

2

1

22

2

22

xlim

)x(x

)x(lim

xx

2

22

2

x

)(g)x(glim)´(gm

xs

2

12

C.A

)(g

.

2

12 )(g

2

2

11

2 x

xlimx

4

1

2

1

22

2

22

xlim

)x(x

xlim

xx 4

1 sm

Como os declives de r e s são iguais então as retas são paralelas.

4

1 rm

2. Considere a função f, de domínio [-2, +[, definida por

Determine, caso exista, uma equação da reta t, tangente ao gráfico da função f no ponto de

abcissa 2.

2se 106

22 se 22 xxx

x-x)x(f

2

22

2

x

)(f)x(flim)´(f

x0

02 2

22

x

xlim

x

)x)(x(

xlim

)x)(x(

xlim

xx 222

2

222

42

2

0

02

4

1

22

1

2

xlim

x 4

1 em

22

C.A

)(f

.

2 ponto no direita à de gráfico ao tangentesemirreta -

2 ponto no esquerda à de gráfico ao tangentesemirreta -

,fd

,fe

2

3

4

1

2

322 xy:ebe),(

2

42

2

86

2

21062

2

2

2

2

2

x

)x)(x(lim

x

xxlim

x

xxlim)´(f

xxx

2 242

dx

m)x(lim

62 622 xy:dbd),(

2

3

4

1y x

Podemos falar de semitangentes:

• Equação da semitangente à esquerda

62 x-y

• Equação da semitangente à direita

R: Como as derivadas laterais são distintas então não existe f ´(2), pelo

que não existe reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.

24

2

32366086

C.A.

2

xx

xxx

Adaptado Dimensões 11Santilhana

Opção (A)

3. Na figura estão representadas, em referencial o.n. parte do gráfico da

função g e a reta t tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa 1.

Sabe-se que o ângulo tem amplitude .

Indique o valor de g´(1).

(A) - (B)

(C) -1 (D)

3

33

3

3

1

A é correta opção a então

3-)33

2 sendo

3

2 e 1 que Dado

3

2 é reta da inclinação a então

3 Como

(tg)(tg)(tgmm)g´(

t

tt

3

2

4. Na figura seguinte encontra-se representada graficamente a função g .

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

012 (A) )´(g)´(g 0g´(3)

2 (B)

)´(g

02

1 (C)

)g´(-

)g´(023 (D) )´(g)´(g

Opção (B)

Expoente 11ASA

02

03

03

01

positivo) é-2, em , de gráfico ao tangentereta da declive (o 02

que se-conclui gráfico do observaçãoPor

)´(g

)´(g

)´(g

)´(g

xg)´(g

5. Na figura estão representadas:

• parte do gráfico de uma função f diferenciável em 3;

• uma reta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3;

O valor de f ´(3), derivada da função f no ponto 3, pode ser igual a:

(A) -1 (B) 0 (C) (D) 1 )(f 3

1

Adaptado de Banco Itens, GAVE

Opção (A)

03 que concluímos gráfico, de observaçãopor que, se-Note

(A). em é acontece isso onde opção únicaA

negativa.ser de terá3 em derivada a logo

0 e 3

)f(

x

mm)´(f rr

5

4a

6. A reta t é tangente ao gráfico de f no ponto A (5,2).

Se f ´(5)= então:

(A) (B) (C) (D)

2

1

5

6a 1a

9

8a

Opção (C)

Novo Espaço 11Porto Editora

102

1

2

1 então eixo o com reta da interseção de ponto do abcissa a é

2

1

2

1 Portanto

2

1

2

52

2

1 então

2

1

2

15

xx,Oxta

xy:t

bbtA

bxy:t

m)´(f t

12

1 xy7. A reta de equação é perpendicular à reta r, tangente ao

gráfico da função f no ponto de abcissa .

O valor de é:

(A) 3 (B) 2 (C) (D)

h

)(f)h(flimh

0

2

5

2

1

Opção (B)

Novo Espaço 11Porto Editora

2 então

e Como

2 então reta àlar perpendicu é dada reta a Se

0

0

h

)(f)h(flim

m)´(f)´(fh

)(f)h(flim

mr

h

rh

r

8. Seja g uma função real de variável real. Sabe-se que a reta de equação

y=-3x+2 é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa -2.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

322

(A)0

h

)h(glimh

Expoente 11ASA

32

8 (B)

2

x

)x(glim

x

32

2 (C)

2

x

)x(glimx

382

(D)0

h

)h(glimh

Se a reta de equação y=-3x+2 é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa -2

Então .

Dado que g(-2)=y(-2)=8 e utilizando a definição de derivada no ponto, concluímos que

ou . 382

0

h

)h(glimh

32 )´(g

32

8

2

x

)x(glim

x

Então a opção correta é (D)

9. Seja f uma função real de variável real tal que:

e

9.1 Indique, caso exista, o valor de .

9.2 Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.

9.3 Calcule

32 )(f 522

0

h

)(f)h(flimh

)x(flimx 2

.xx

)(f)x(flimx 65

222

Expoente 11ASA

9.1. Como então , logo existe a reta tangente ao

gráfico de f no ponto de abcissa 2 . Sendo que f (2)=3 então

52 )´(f522

0

h

)(f)h(flimh

32

)x(flimx

)x)(x(

)(f)x(flim

xx

)(f)x(flim.

xx 32

2

65

2 39

222

322

24255

065

C.A.

2

xxx

xx

32

12 )´(f

3

1

2

2

22

xlim

x

)(f)x(flim

xx

9.2 Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.

Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.

Pela alínea anterior temos que , isto é , mt=5 então t:y=5x+b.

Como o ponto de coordenadas (2,3) pertence a t, temos que:

3=5x2+b b=-7

Logo t: y=5x-7

52 )´(f

515 )(

A derivada e a cinemática

1. Um ponto P move-se numa reta de tal forma que, em cada instante t (em segundos), a

distância d (em cm) à origem O é dada pela expressão d(t) =t2 -19t +60 .

1.1 No instante inicial, qual a distância do ponto P à origem?

1.2 Determine a velocidade média do ponto P nos três primeiros segundos.

1.3 Determine a velocidade no instante t =4 e indique a distância à origem nesse instante.

1.4 Determine a expressão da velocidade em cada instante t e indique em que instante a

velocidade é nula.Caderno Apoio às

Metas

1.1 606001900 2 )(d

1.2 16

3

6012

03

0330

)(d)(d.v.m.tv ,

A distância do ponto P à origem no instante inicial é 60 cm.

A velocidade média do ponto P nos três primeiros segundos é -16 cm/s

126031933

C.A.

2 )(d

velocidade instantânea em t =4 = d´(4) =

4

4

4 t

)(d)t(dlimt

11154

154

4

06019

44

2

4

)t(lim

t

)t)(t(lim

t

ttlim

ttt

06041944

C.A.

2 )(d

A velocidade no instante t=4 é -11 cm/s e a distância à origem é 0 cm.

1.3 Determine a velocidade no instante t =4 e indique a distância à origem

nesse instante.

1.4 Determine a expressão da velocidade em cada instante t e indique em que

instante a velocidade é nula.

d(t) =t2 -19t +60

0

00

0 tt

)t(d)t(dlim)t´(d

tt

0

02

02

0

02

02 191960196019

00 tt

t tt tlim

tt

) t (t t tlim

tttt

0

000

0

02

02 1919

00 tt

) t(t)t)(tt(t lim

tt

) t(t t tlim

tttt

19219

1900

0

00

00

t)tt(lim

tt

) t(t)t(t lim

tttt

Logo d´(t)=2t - 19 2

1901920 ; tt)t´(d

A velocidade é nula ao fim de 9,5 s.

Exercícios que podem resolver nos vossos manuais

• Determinação da derivada num ponto

• Interpretação da derivada na resolução de exercício de

escolha múltipla

• Exercícios de cálculo de velocidade média e velocidade

instantânea