PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICASegundo Semestre de 2010

MAT 1630 - Calculo IIIGuıa III.

Los siguientes ejercicios complementan los hallados en las secciones 12.4 y12.5 y en todo el capıtulo 14 del texto guıa (Stewart, IV Ed.) ası como en lassecciones correspondientes del texto de Pita Ruiz.

1. Encontrar y analizar los puntos crıticos de f(x, y) = x2y + y2.

2. Encontrar y analizar los puntos crıticos de f(x, y) = (y − x)2(y + x).

3. Encontrar y analizar los puntos crıticos de f(x, y) = (x2 + 3y2)ex2−y2.

4. Encontrar y analizar los puntos crıticos de f(x, y, ) = x5y + xy5 + xy.

5. Encontrar y analizar los puntos crıticos de:

f(x, y) = 2x3 + (x− y)2 − 6y .

6. Extremar la expresion x−y + z en la esfera de ecuacion x2 +y2 + z2 = 1.

7. Extremar la expresion x − y + z en la region x2 + y2 + z2 ≤ 1 x ≥ 0,y ≥ 0 y z ≥ 0.

8. Dada la funcion f(x, y) = x2 + y2 − xy − 6y + 14, extremarla en lasregiones:

(i) D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0}.(ii) D = {(x, y) ∈ R2 | x + y ≤ 4, 0 ≤ y ≥ x2, x ≥ 0}.

1

9. ¿Para que puntos P (x, y) es mınima la suma de los cuadrados de susdistancias a los puntos Pk(xk, yk), k = 1, 2, 3, · · · , n?

10. Determinar los puntos de la superficie S : z = (xy)−1 que estan mascercanos al origen

11. Determinar y analizar los puntos crıticos de:

(i) f(x, y) = x2 + xy + y2 − 6x + 2

(ii) g(x, y) = x3 − 3xy + y3

(iii) h(x, y) = sen x + sen y + sen(x + y).

12. Determinar los angulos α, β, γ de un triangulo de modo que el productode sus senos sea maximo.

13. Determinar los valores extremos de la expresion cuadratica x2+y2 sujetosa la condicion 3x2 + 4xy + 6y2 = 140. Interpretar geometricamente losresultados.

14. Determinar la mınima distancia de la recta de ecuacion x + y = 4 a laelipse de ecuacion x2 + 4y2 = 4.

15. Determinar las dimensiones del paralelepıpedo recto de maximo volumen

que puede inscribirse en el elipsoide de ecuacionx2

9+

y2

16+

z2

36= 1.

16. Demostrar que la distancia mınima desde el origen a la curva determinada

por la interseccion de las superficies xyz = a, y = bx es 3

√a(b2 + 1)

2b.

17. Hallar el punto de la elipse de ecuacion 5x2− 6xy + 5y2 = 4 para el cualla respectiva recta tangente esta a la mayor distancia del origen

18. Determinar el area de la region encerrada por la elipse que se genera al

cortar el elipsoide de ecuacionx2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1, con el plano de ecuacion

Ax + By + Cz = 0 .

2

19. Encontrar un primer punto en el espacio de modo que cumpla la condi-cion

x2

3+

y2

4+

z2

9= 1 ,

y un segundo punto que satisfaga la ecuacion x + y + z = 12 y de modoque la distancia entre ellos sea mınima.

20. La ecuacion del plano tangente al elipsoide de ecuacionx2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

en su punto P0(x0, y0, z0) esxox

a2+

y0y

b2+

z0z

c2= 1. Determinar el mınimo

volumen encerrado entre este plano tangente y los planos coordenados.

21. Si el volumen de un elipsoide con semiejes a, b, c es4

3πabc, determinar

la ecuacion del elipsoide de volumen mınimo que teniendo como ejes desimetrıa a los ejes coordenados pasa por el punto P0(2,−3, 5).

22. Si xk , k = 1, 2, 3, · · · , n son n numeros reales positivos tales quen∑

k=1

xk = 1, ¿cuales seran los valores de ellos que hacen maxima la expre-

sionn∑

k=1

xk log1

xk

?

23. Una confiterıa produce pastillas y calugas a un costo de $ 50 y $ 60 labolsa, respectivamente. Si la bolsa de pastillas se vende a $ x y la decalugas a $ y entonces se pueden vender 250(y − x) bolsas de pastillasy 32000 + 250(x − 2y) de calugas. ¿Cuales son los precios de venta quemaximizan la utilidad?

24. Un fabricante produce maquinas y hojas de afeitar a un costo medioconstante de 40 centavos de dolar por maquina y 20 centavos de dolarpor docena de hojas. Si las maquinas se venden a x centavos cada unay las hojas a y centavos la docena y la demanda del mercado en cada

semananes4000000

xymaquinas y

8000000

xydocenas de hojas. Determinar

si existen precios de venta que maximicen la ganancia; en caso afirmativoencontrarlos.

25. Calcular,utilizando extremacion condicionada, el volumen encerrado porel elipsoide de ecuacion

11x2 + 9y2 + 15z2 − 4xy − 20xz + 10yz = 80 .

3

26. Un fabricante produce pernos, tuercas y tornillos a un costo unitario de$ 40, $ 20 y $ 60, respectivamente. Si los pernos se venden a $ x cadauno, las tuercas a $ y cada una y los tornillos a $ z cada uno, entonces enel mercado es posible colocar x + y + z unidades de cada clase. Debido alas condiciones de mercadotecnia los precios de venta deberan satisfacerlas relaciones:

2x + 3y + 6z = 700 y x2 + y2 = 4900 ,

¿Cuales son los precios de venta que maximizan las utilidades?

27. Mostrar que los valores estacionarios de la funcion u = x2+y2+z2 sujetaa las condiciones

ax2 + by2 + cz2 + 2fyz + 2gyz + 2hxy = 1 , `x + my + nz = 0 ,

estan dados por la ecuacion:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a− 1

uh g `

h b− 1

uf m

g f c− 1

un

` m n 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 .

28. Si x, y, z ∈ R+, encontrar el valor maximo de xmynzp, con m, n, p ∈ R+,cuando x + y + z = a. Deducir que:

1

2x +

1

3y +

1

6z ≥ x

12 · y 1

3 · z 16 .

4