Ecuaciones Diferenciales Lineales

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA

FACULTAD DE ING. CIVIL

ESCUELA DE INFORMÁTICA

PROYECTO DE MATEMÁTICAS IV

INTEGRANTES:

Daniel Sánchez

Ronald Ganán

CURSO: Cuarto Quimestre “B”

TEMA:

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la

forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:

O usando otra notación frecuente:

Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen

productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si

usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación

anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones

tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda

a la hora de encontrar dichas soluciones.

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

Donde y son funciones continuas en un intervalo . La

solución de esta ecuación viene dada por:

Resolución detallada

Es Posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la

idea consiste en encontrar una función que nos permita transformar:

en la derivada de un producto.

Para ello necesitamos que . En efecto, si despejamos p(x) e

integramos ambos miembros tenemos dentro de la integral y por

resolución de integrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el

logaritmo es convertir en exponencial ambos miembros, y así obtenemos

.

Ahora si multiplicamos la ecuación diferencial por obtenemos:

Lo que equivale a escribir:

Con .

Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas

usando la expresión:

Ecuaciones Diferenciales Lineales

EJERCICIOS Primer Ejercicio

Dividiendo la ecuación para X a toda la ecuación nos queda:

Reemplazando por

Determinamos el valor de u

Integrando nos queda:

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Determinamos el valor de z

Reemplazando el valor de u=x2

Integrando nos queda:

+ c

Reemplazando los valores de u y z

Respuesta

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Grafico 1:

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Segundo Ejercicio:

Dividendo para x a toda la ecuación:

Determinamos el valor de z

Reemplazando el valor de u

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Integración por partes

Nos queda:

Reemplazando los valores de u y z

Respuesta

Grafico 2:

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Graficando los Ejercicios

1. Área de Trabajo, hacemos clic en Archivo, escogemos “2-dim” o presione F2.

2. Insertando la solución del Ejercicio, haciendo clic en “Ecum”, luego

seleccionamos “Explicita” o presione F1

Ecuaciones Diferenciales Lineales

3. Escribimos la solución del ejercicio la siguiente ventana que aparece.

4. La curva del ejercicio es:

Ecuaciones Diferenciales Lineales

5. Damos más valores para más curvas, haciendo clic en duplicar y cambiamos el

valor de la constante y así sucesivamente:

Primer ejercicio nos queda:

Segundo Ejercicio nos queda:

Ecuaciones Diferenciales Lineales

6. Demostración de las curvas de los ejercicios planteados:

1.

2.

Ecuaciones Diferenciales Lineales